最小二乘支持向量机

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《基于最小二乘支持向量机的短时交通流预测方法研究》范文

《基于最小二乘支持向量机的短时交通流预测方法研究》篇一一、引言随着城市化进程的加快和交通网络复杂性的提升，准确预测短时交通流量对于智能交通系统的建设和交通规划显得愈发重要。

准确的短时交通流预测能够提高交通运行效率、降低交通拥堵程度、改善城市居民出行体验，并有助于实现智能交通系统的智能化和自动化。

然而，由于交通流量的动态变化性、非线性和不确定性，传统的预测方法往往难以满足实际需求。

因此，本文提出了一种基于最小二乘支持向量机（Least Squares Support Vector Machine，LSSVM）的短时交通流预测方法。

二、最小二乘支持向量机理论最小二乘支持向量机是一种基于统计学习理论的机器学习方法，它通过构建一个高维空间中的超平面来对数据进行分类或回归。

与传统的支持向量机相比，LSSVM在处理回归问题时具有更好的泛化能力和更高的预测精度。

此外，LSSVM还具有算法简单、计算量小等优点，适用于处理大规模数据集。

三、短时交通流预测模型的构建1. 数据预处理：首先，收集历史交通流量数据，并对数据进行清洗、去噪和标准化处理，以消除异常值和噪声对预测结果的影响。

2. 特征提取：从历史交通流量数据中提取出与短时交通流预测相关的特征，如时间、天气、节假日等。

3. 模型构建：利用LSSVM构建短时交通流预测模型。

具体地，将历史交通流量数据作为输入，将预测的目标值（如未来某一时刻的交通流量）作为输出，通过优化算法求解得到模型参数。

4. 模型训练与优化：利用训练数据集对模型进行训练，通过交叉验证等方法对模型进行优化，以提高模型的预测精度。

四、实验与分析1. 数据集与实验环境：本文采用某城市实际交通流量数据作为实验数据集，实验环境为高性能计算机。

2. 实验方法与步骤：将实验数据集分为训练集和测试集，利用训练集对模型进行训练和优化，利用测试集对模型进行测试和评估。

3. 结果与分析：通过对比LSSVM与其他传统预测方法的预测结果，发现LSSVM在短时交通流预测方面具有更高的预测精度和更强的泛化能力。

最小二乘支持向量机算法在数据分类中的应用

最小二乘支持向量机算法在数据分类中的应用数据分类是机器学习领域的一个重要研究方向，它涉及到很多的算法技术。

早期的机器学习算法包括朴素贝叶斯、决策树以及神经网络等。

这些算法都各有优缺点，在不同的场合下都有各自适用的情况。

本文将重点介绍一种数据分类算法：最小二乘支持向量机算法。

一、最小二乘支持向量机算法概述最小二乘支持向量机算法（Least Squares Support Vector Machines，LS-SVM）是由比利时科学家Suykens等人于1999年提出的分类算法。

与传统的支持向量机算法SVN相比，LS-SVM 将在线性不可分的情况下，将数据映射到高维的空间中，通过引入核函数来实现。

这种算法的特点是在保持支持向量机分类精度的基础上，大大降低了训练时空复杂度，是一种较为理想的数据分类算法。

二、最小二乘支持向量机算法原理1. 建立模型假设给定的训练集为{(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)}，其中xi∈Rn为输入向量，yi∈R为对应的输出标记。

目标是将训练集分成两类（如果是多类别问题，可以通过人为定义将其转化为二类问题）。

在支持向量机算法中，我们的目标是找到一个最优的超平面，将两类数据分开。

但在LS-SVM中，我们并不直接寻找超平面，而是建立一个目标函数：最小化误差平方和：min(1/2 w^Tw +Cξ^Tξ)s.t. y_i(w^Tφ(x_i)+b)-1+ξ_i≥0,i=1,2,...,n其中w为权重向量，b为常量，C为惩罚因子，ξ为标准化后的误差。

2. 求解问题由于上述问题中，自变量的个数远大于因变量的个数，因此对于w和b的求解需要采用最小二乘法来进行。

对于任意一个输入向量xi和输出标记yi，我们都可以得到如下的判别函数：f(x)=sign(w^Tφ(x)+b)可以发现，这个函数的取值只有两种可能：+1或-1。

因此，最小二乘支持向量机算法就可以通过这个判别函数来对新样本进行分类。

基于最小二乘支持向量机控制器的研究

Ｖ１３ｏ２ｏ．３Ｎ．
ＨｅｏｇｉｎｌｃｒｏｅｉｎｊｇＥｅｔｃＰｗｒｌａｉ
Ａｒ２１ｐ．０１
基于最小二乘支持向量机控制器的研究
胡兴武，毅罗
（北电力大学控制与计算机工程学院，京１２０）华北０２６摘要：阐述了支持向量机与最小二乘支持向量机的特点，计了基于最小二乘支持向量机的控制器，控制器构设该
Ｏ引言
目前，中国城市生活垃圾成分复杂、水率高、含热值低、机物含量高、机物含量少，无有给焚烧炉燃
烧控制带来一定难度。因此，用全局建模方法很采
（Ｖ方法已在许多领域取得了成功应用。支持ＳＭ）
难精确描述系统，传统的建模方法（神经网络而如
等）数基于经验风险最小化原则，化能力不强，多泛存在“ 过拟合 ” 问题。支持向量机¨ （ｕｐ￣ＶｃｏＳｐｏｅｔｒＭａｈｎｓＳＭ）近年来应用于建模的一种新学习ｃｉｅ，Ｖ是方法，与传统的神经网络相比，持向量机算法最支终将转化为一个二次型寻优问题，理论上得到的在是全局最优点，解决了在神经网络中无法避免的局部极小值问题。最小二乘支持向量机是标准支持
中图分类号：Ｔ７．２Ｐ２３２文献标识码：Ａ文章编号：０２—１６（０１００９０１０６３２１）２— ０８— ４

支持向量机和最小二乘支持向量机的比较及应用研究

支持向量机和最小二乘支持向量机的比较及应用研究一、本文概述随着和机器学习技术的迅速发展，支持向量机（Support Vector Machine, SVM）和最小二乘支持向量机（Least Squares Support Vector Machine, LSSVM）作为两类重要的分类和回归算法，在诸多领域都取得了显著的应用成果。

本文旨在对SVM和LSSVM进行深入研究，对比分析两者的理论原理、算法特性以及应用效果，探讨各自的优势和局限性，从而为实际问题的求解提供更为精准和高效的算法选择。

本文首先回顾SVM和LSSVM的基本理论和算法实现，阐述其在处理分类和回归问题时的基本思想和方法。

随后，通过对比分析，探讨两者在算法复杂度、求解效率、泛化性能等方面的差异，并结合具体应用场景，评估两种算法的实际表现。

在此基础上，本文将进一步探索SVM和LSSVM在实际应用中的优化策略，如参数选择、核函数设计、多分类处理等，以提高算法的性能和鲁棒性。

本文将总结SVM和LSSVM的优缺点，并对未来研究方向进行展望。

通过本文的研究，希望能够为相关领域的研究者和实践者提供有益的参考，推动SVM和LSSVM在实际应用中的进一步发展。

二、支持向量机（SVM）的基本原理与特点支持向量机（Support Vector Machine, SVM）是一种基于统计学习理论的机器学习算法，它主要用于分类、回归和异常检测等任务。

SVM 的基本思想是通过寻找一个最优超平面来对数据进行分类，使得该超平面能够最大化地将不同类别的数据分隔开。

这个超平面是由支持向量确定的，这些支持向量是离超平面最近的样本点。

稀疏性：SVM 的决策函数仅依赖于少数的支持向量，这使得模型具有稀疏性，能够处理高维数据并减少计算复杂度。

全局最优解：SVM 的优化问题是一个凸二次规划问题，这意味着存在唯一的全局最优解，避免了局部最优的问题。

核函数灵活性：SVM 可以通过选择不同的核函数来处理不同类型的数据和问题，例如线性核、多项式核、径向基函数（RBF）核等。

一种最小二乘支持向量机的算法改进与实现

Ｙ是输入数据。在权Ｗ空间中的ＬＳ．ＳＶＭ分类问题即
１＇ Ⅳ
ｅ＝； … ；ｅｒｅ］，ａ＝【； … ；】。应用Ｍｅｒｃｅｒ条件，可得０＝％）） … ＝ＹｋＹｚ￣（Ｘｋ，而）式（６）中，（，）为核函数。由以上可知，ＬＳ — ＳＶＭ分类问题可通过求解线性方程获得，不用解决二次规划问题。常见的核函数为ＭＬＰ核、Ｂ样条核及多项式核等。
２０１３年第５期
（总第１２７期）
信息通信
ＩＮＦＯＲＭＡＴＩＯＮ＆Ｃ０ＭＭＵＮＩＣＡＴ１０ＮＳ
２０１３
（Ｓｕｍ．Ｎｏｌ２７）
一
种最小二乘支持向量机的算法改进与实现
许小梅，李蕴华
（南通大学电子信息学院，江苏南通２２６０１９）
・・
其中为拉格朗日乘子，并且 ∈丑。对式（３）进行优化，
即
・
＋ ” ＋ ” ＋一 — ● 一“ — ■ 一” ＋－＋－－＇４＂－－ ” ＋－ — ・ ● 一＂－＇－” Ｉ — －＋一
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参考文献：
ｐ
其中，ｚ＝【）； … ；
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ｌＬＳ — ＳＶＭ的理论分析与算法改进
１．１ＬＳ — ＳＶＭ的理论分析
ＬＳ — ＳＶＭ中的支持向量即训练样本。设训练样本集为Ｄ＝｛（，ｙｋ）ｌｋ＝ｌ，２，．．．， Ⅳ｝， ∈Ｒ，Ｙｋ ∈Ｒ，是输入数据，

最小二乘支持向量机

最小二乘支持向量机：用于分类和回归问题的机器学习算法随着计算机技术的不断发展，机器学习（Machine Learning）已经成为当前人工智能领域的重要应用之一。

（Least Squares Support Vector Machines，LSSVM）是一种用于分类和回归问题的机器学习算法。

它利用最小二乘法，将样本数据分为不同的类别或预测目标。

LSSVM有着广泛的应用领域，例如语音识别、图像处理、生物医学工程等，具有较好的效果。

SVM的发展背景SVM（Support Vector Machine）是由Vapnik等人在1980年代发明的。

它是一种二分类模型，通过构建一个最优的超平面来分离数据。

SVM在许多问题中取得了出色的解决方案。

然而，它们只设计了处理训练样本是线性可分的情况。

在实际问题中，许多数据集是线性不可分的。

因此，LSSVM是SVM的发展方向之一，它可以用于处理过度拟合或线性不可分的数据集。

支持向量机的数学模型支持向量机（SVM）是一种基于概率的监督学习算法，在分类和回归问题中广泛应用。

在二分类问题中，SVM的目标是找到一个最优的超平面，将样本数据分为两个类别。

其中，这个超平面的特点是离两个类别最近的样本点最远。

这两个样本点被称为“支持向量”。

SVM的数学模型可以表示为：$ \min \limits_{\alpha, b} \frac{1}{2} \alpha^T H \alpha - \alpha^T e $其中， $H$是Gram矩阵， $e$是所有样本的标签向量，$ \alpha $是拉格朗日乘子。

LSSVM是一种推广了SVM算法的机器学习算法。

它通过最小化重建误差，把训练样本映射到高维空间，从而实现非线性分类和回归。

LSSVM和SVM都是在特征空间中构造一个超平面，但LSSVM选择使用最小二乘法来解决优化问题。

LSSVM的数学模型为：$ \min \limits_{w, b, e} \frac{1}{2} w^T w +\frac{C}{2}\sum_{i=1}^{n} e_i^2 $$ y_i = w^T\phi(x_i) + b = \sum_{j=1}^n \alpha_j \phi(x_j) \phi(x_i) +b $其中w是一个权重向量， $b$是常数项， $e$是松弛变量。

基于支持向量机和最小二乘支持向量机的入侵检测比较

能做了统计。实验结果表明，ＶＭ比Ｌ－ＶＭ分类能力强，ＳＳＳ但是Ｌ－ＶＭ耗时较少。ＳＳ关键词支持向量机，最小二乘支持向量机，入侵检测，主元分析
ＣｏｍｐｒｓｎｆＳＶＭｎｄＬＳＳａｉｏｓｏａ－ＶＭｏｎｔｕｉｎｔｃｉｎｆｒＩｒｓｏＤｅｅｔｏ
计算机科学２０Ｖｏ３Ｎ，００８１５＿１．ｏ
基于支持向量机和最小二乘支持向量机的入侵检测比较
任勋益王汝传谢永娟
（京邮电大学计算机学院南京２００）南１０３（南京大学计算机软件新技术国家重点实验室南京２０９）１０３
ＲＥＸｕ－ｉＷＡＮＧＲ－ｈａＸＥＹｏｇｊａＮｎｙｕｃｕｎ，Ｉｎ－ｎｕ
（ｏｌｇｆｏｕｅ，ｎｉｇＵｎｖｒｉｆｏｔａｄＴｌｃｍｍｕｉｔｎ，ｎｉｇ２００，ｉａＣｌｅｏｍｐｔｒＮａｊｉｅｓｙｏｓｓｎｅｅｏｅＣｎｔＰｎｃｉｓＮａｊ１０３Ｃｈｎ）ａｏｃｎｌｇ，ＮａｊｇＵｎｖｒｉ，ａｊｇ２０９，ｈｎ）ＳａｅＫｅａｏａｏｙｆｒＮｖｌｏｔｅＴｅｈｏｏｙｗａｎｉｉｅｓｙＮｎｉ１０３Ｃｉａｎｔｎ
ａｉｇＣｈｒｃｅｉｔｓｃｒｅｏｅａｕｔｌｓｉｉｒＳａｉｉｆＳｔａａｔｒｓｉｕｖｓｔｖｌａｅｃａｓｆ ’ ｂｌｙｏＶＭｎ－ＶＭ，ｎｔｔｓｉｔｏｔＥｘｅｉｎａｎｃｅｔａｄＬＳＳａｄｓａｉｔｃｉｍｅｃｓ．ｐｒｍｅｔｌｒｓｌｈｗＶＭａｒｌｓｉｉｇａｉｔｈｎＬＳＳｅｕｔｓｏＳｓｈｓｍｏｅｃａｓｆｎｂｌｙｔａ－ＶＭ，ｕＳＳｙｉｂｔＬ－ＶＭｐｎｓｌｓｉｈｎＳｓｅｄｅｓｔｍｅｔａＶＭ．ＫｅｗｏｄＳｐｏｔｖｃｏｃｉｅＬａｔｓｕｒｕｐｒｅｔｒｍａｈｎ，ｎｒｓｏｅｅｔｏＰｒｃｐｌｏｏｅｔａａ— ｙｒｓｕｐｒｅｔｒｍａｈｎ，ｅｓｑａｅｓｐｏｔｖｃｏｃｉｅＩｔｕｉｎｄｔｃｉｎ，ｉｉａｍｐｎｎｎｌｎｃ

回归型模糊最小二乘支持向量机

回归型模糊最小二乘支持向量机
吴青，刘三阳，杜
（西安电子科技大学理学院，西西安陕
吉吉
７０７）１０１
摘要：为了克服最小二乘支持向量机对于孤立点过分敏感的问题，模糊隶属度概念引入最小二乘支将持向量机中，出了基于支持向量域描述的模糊最小二乘支持向量回归机．方法先对样本进行数据域提该描述得到一个包含该组数据的最小半径的超球，根据特征空间中样本与超球球心的距离确定它们的再
（ＳＶＭｓ，ｗｈｃｖｒｏｅｔｅｄｓｄａｔｇｈｔＬＳＶＭｓａｅＳｓｎｉｖｏｏｔｅｓｉｒｉｉｇＬＳ）ｉｈｏｅｃｍｓｈｉａｖｎａｅｔａＳｒＯｅｓｔｅｔｕｌｒｎｔａｎｎｉｉｓｍｐｅ．Ａｎｈｎｆｚｙｌａｔｓｕｒｕｐｒｅｔｒｍａｈｎｓ（ＬＳＶＭｓａｅｐｏｏｅａｅｎａｌｓｄｔｅｕｚｅｓｑａｅｓｐｏｔｖｃｏｃｉｅＦＳ）ｒｒｐｓｄｂｓｄｏｓｐｏｔｖｃｏｏｉｅｃｉｔｏ（ＶＤＤ）ＤａａｓｍｐｅｎｔｅｆａｕｅｓａｅａｅｄｓｒｂｄａｄｔｅｕｐｒｅｔｒｄｍａｎｄｓｒｐｉｎＳ．ｔａｌｓｉｈｅｔｒｐｃｒｅｃｉｅｎｈ

最小二乘支持向量机的一种改进算法

维普资讯
第３第６期０卷２００６年ｌ２月
南昌大学学报（科版）理
ＪｕｎｌｏａｃａｇＵｎｖｒｉ（ａｕａｃｅｃ）ｏｒａｆＮｎｈｎｉｅｓｙＮｔｒｌＳｉｎｅｔ
Ｖｏ．０１３Ｎｏ．６Ｄｅ．０ｃ２０６
文章编号：０６— ４４２０）６— ６６— ４１００６（０６００１０
最小二乘支持向量机的一种改进算法
周博韬，安贵李
（京科技大学应用科学学院，京１０８）北北００３
摘
要：最小二乘支持向量机相比传统的支持向量机，丧失了解的稀疏性，响了二次学习的效率。对原有的最小影
二乘支持向量机在稀疏性上进行了改进，通过实验，并对改进后的摄小二乘支持向量机的分类效果进行了验证。关键词：支持向量机；最小二乘支持向量机；剪枝算法
中图分类号：Ｐ９Ｔ３９文献标识码：Ａ
支持向量机（ｕｐｒＶｃｒＭａｈｎｓＳＭ）Ｓｐｏｔｅｔｃｉｅ，Ｖ是ｏ
上式中的ｐ（・）舅是一个非线性映射，：将输人数据映射到一个高维特征空间。
开始成为克服“ 维数灾难 ” 过学习” 和“ 等传统困难
的有力手段。
为了使支持向量机能够对大样本情况进行学
在最小二乘支持向量机中，求解最优超平面问题等价于求解如下的二次规划问题：
堕：０

最小二乘向量机作用

最小二乘向量机作用最小二乘向量机（Least Squares Support Vector Machine，简称LS-SVM）是一种基于支持向量机（Support Vector Machine，简称SVM）的改进算法。

与传统的SVM使用Hinge损失函数不同，LS-SVM使用最小二乘损失函数，使得模型具有更好的拟合能力。

在传统的SVM中，我们希望找到一个超平面，使得该超平面能够将不同类别的样本点分隔开。

而在LS-SVM中，我们希望通过最小化预测值与真实值之间的均方误差来求解模型的参数。

LS-SVM的基本原理是通过引入松弛变量来允许一些样本点处于错误的一侧，并通过最小化误分类样本点与超平面之间的距离来求解模型参数。

具体来说，LS-SVM通过求解一个凸二次规划问题来得到模型的参数，使得样本点在超平面上的投影与真实值之间的均方误差最小化。

LS-SVM相对于传统的SVM有以下几个优点。

首先，LS-SVM使用最小二乘损失函数，使得模型更加稳定，对噪声数据具有更好的鲁棒性。

其次，LS-SVM的求解问题是一个凸二次规划问题，可以通过现有的优化算法高效地求解。

此外，LS-SVM在处理非线性问题时，可以通过使用核函数来将样本映射到高维空间，从而提高模型的拟合能力。

LS-SVM在实际应用中有着广泛的应用。

例如，在模式识别和分类问题中，LS-SVM可以用于进行图像识别、人脸识别、手写数字识别等。

此外，LS-SVM还可以应用于回归问题，用于进行数据拟合和预测。

在工程领域，LS-SVM可以用于建立回归模型、预测模型等。

总结起来，最小二乘向量机是一种基于支持向量机的改进算法，通过最小化误分类样本点与超平面之间的距离来求解模型参数。

LS-SVM具有较好的拟合能力和鲁棒性，适用于模式识别、分类和回归等问题。

LS-SVM在实际应用中有着广泛的应用前景，为解决实际问题提供了有效的工具和方法。

SVM与LSSVM

4 相关名词解释
维理论： VC 维理论：
为了研究经验风险最小化函数集的学习一致收敛速度和推广性，SLT 定义了一些指标来衡量函数集的性能，其中最重要的就是VC维(VapnikChervonenkis Dimension)。对于一个指示函数（即只有0和1两种取值的函数）集，如果存在h个样本能够被函数集里的函数按照所有可能的2h种形式分开，则称函数集能够把h个样本打散，函数集的VC维就是能够打散的最大样本数目。所谓 VC 维是对函数类的一种度量，可以简单的理解为问题的复杂程度，VC 维越高，一个问题就越复杂。正是因为 SVM 关注的是 VC维，后面我们可以看到，SVM 解决问题的时候，呾样本的维数是无关的（甚至样本是上万维的都可以，这使得 SVM 径适合用来解决文本分类的问题，当然，有这样的能力也因为引入了核函数）。
SVM概述 1 SVM概述
LSSVM概述 2 LSSVM概述
Suykens J.A.K提出一种新型支持向量机方法—最小二乘支持向量机（Least Squares Support Vector Machines，简称LS-SVM）用于解决模式分类和函数估计问题等。最小二乘支持向量机方法是采用最小二乘线性系统作为损失函数，代替传统的支持向量机采用的二次规划方法。 LS-SVM方法简化了计算的复杂性。另外，由于LS-SVM采用了最小二乘法，因此运算速度明显快于支持向量机的其它版本。
2 例如 : ( x 1 , x 2 ) a Φ ( x 1, x 2 ) = ( x 12 , x 2 , x 1 x 2 )
根据泛函的有关理论，只要一种核函数K（xi,xj）满足Mercer条件，它对应某一变换空间中的内积。因此，在最优分类面中采用适当的内积函数 K（xi,xj）就可以实现某一非线性变换后的线性分类，而计算复杂度却没有增加。其中，K是核函数，其种类主要有：

最小二乘支持向量机算法及应用研究

最小二乘支持向量机算法及应用研究最小二乘支持向量机算法及应用研究引言：在机器学习领域中，支持向量机（Support Vector Machines, SVM）算法是一种广泛应用于分类和回归分析的监督学习方法。

而最小二乘支持向量机算法（Least Square Support Vector Machines, LS-SVM）则是支持向量机算法的一种变种。

本文将首先简要介绍支持向量机算法的原理，然后重点探讨最小二乘支持向量机算法的基本原理及应用研究。

一、支持向量机算法原理支持向量机是一种有效的非线性分类方法，其基本思想是找到一个超平面，使得将不同类别的样本点最大程度地分开。

支持向量是指离分类超平面最近的正负样本样本点，它们对于分类的决策起着至关重要的作用。

支持向量机算法的核心是通过优化求解问题，将原始样本空间映射到更高维的特征空间中，从而实现在非线性可分的数据集上进行线性分类的目的。

在支持向量机算法中，线性可分的数据集可以通过构建线性判别函数来实现分类。

但是，在实际应用中，往往存在非线性可分的情况。

为了克服这一问题，引入了核技巧（Kernel Trick）将样本映射到更高维的特征空间中。

通过在高维空间中进行线性判别，可以有效地解决非线性可分问题。

二、最小二乘支持向量机算法基本原理最小二乘支持向量机算法是一种通过最小化目标函数进行求解的线性分类方法。

与传统的支持向量机算法不同之处在于，最小二乘支持向量机算法将线性判别函数的参数表示为样本点与分类超平面的最小误差之和的线性组合。

具体而言，最小二乘支持向量机算法的目标函数包括一个平滑项和一个约束条件项，通过求解目标函数的最小值，得到最优解。

最小二乘支持向量机算法的求解过程可以分为以下几个步骤：1. 数据预处理：对原始数据进行标准化或归一化处理，以确保算法的稳定性和准确性。

2. 求解核矩阵：通过选取适当的核函数，将样本点映射到特征空间中，并计算核矩阵。

3. 构建目标函数：将目标函数表示为一个凸二次规划问题，包括平滑项和约束条件项。

基于最小二乘支持向量机的机组能耗曲线拟合

摘
要：电厂能耗曲线的拟合不仅是进行机组优化的前提，且对于检测机组的稳定性和可靠性都具有重而
要意义．先用模糊聚类算法对大量数据进行分类整理，中找出最能反映机组稳定运行时的一些数据，首从然后利用最ｔ－乘支持向量机回归理论对能耗曲线进行拟合．过对贵州某电厂的能耗曲线进行实际拟合，Ｊ－，通表
明此方法速度快，差小，误拟合精度高，以满足实际需求．可关键词：电厂能耗；糊聚类；小二乘支持向量机；曲线拟合模最
中图分类号：ＴＭ６１２２．文献标识码：Ａ
Ｃｕｖｉｔｎｇｏｎｒｙｃｎｕｐｉｎｂｓｄｏｒｅｆｔｉｆｅｅｇｏｓｍｔｏａｅｎ
ｌａｓｑｕａｅｕｐｐｏｔｖｅｔｒｍａｃｎｅｅｔｓｒｓｓｒｃｏｈｉｓ
，
ＭＡｉＲｕ，ＺＨＯＮＧｉＫａ
（ｃｏｌｏｌｃｒａｎｎｏｍａｉｎＥｎｉｅｒｎＳｈｏｆＥｅｔｉｌａｄＩｆｒｔｏｇｎｅｉｇ，ＣｈｎｓａＵｎｖｒｉｆｃａｇｈｉｅｓｔｏｙＳｉｎｅａｄＴｅｈｏｏｙ，Ｃｈｎｓａ４００，Ｃｈｎ）ｃｅｃｎｃｎｌｇａｇｈ１０４ｉａ
Ｖｏ．．１８Ｎｏ１

在线鲁棒最小二乘支持向量机回归建模

在线鲁棒最小二乘支持向量机回归建模张淑宁;王福利;何大阔;贾润达【摘要】鉴于工业过程的时变特性以及现场采集的数据通常具有非线性特性且包含离群点,利用最小二乘支持向量机回归（least squares support vector regression,LSSVR）建模易受离群点的影响.针对这一问题,结合鲁棒学习算法（robust learning algorithm,RLA）,本文提出了一种在线鲁棒最小二乘支持向量机回归建模方法.该方法首先利用LSSVR模型对过程输出进行预测,与真实输出相比较得到预测误差;然后利用RLA方法训练LSSVR模型的权值,建立鲁棒LSSVR模型;最后应用增量学习方法在线更新鲁棒LSSVR模型,从而得到在线鲁棒LSSVR模型.仿真研究验证了所提方法的有效性.%Industrial processes possess time-varying feature,and data from industrial field usually possess nonlinear feature and contain outliers.Modeling with least-squares-support-vector regression （LSSVR） method may suffer from these outliers.To deal with this problem,we develop an online robust LSSVR method by combining with the robust learning algorithm（RLA）.The LSSVR model is used to predict process outputs,and the residuals are formed from real outputs and predicted outputs.The RLA trains the weights of LSSVR model iteratively.The trained robust LSSVR model is then updated by means of incremental updating algorithm.An online robust LSSVR model is also developed.Simulation results show the effectiveness of the proposed approach.【期刊名称】《控制理论与应用》【年(卷),期】2011(028)011【总页数】6页(P1601-1606)【关键词】鲁棒学习算法;最小二乘支持向量机;鲁棒性;非线性【作者】张淑宁;王福利;何大阔;贾润达【作者单位】东北大学信息科学与工程学院,辽宁沈阳110004;东北大学信息科学与工程学院,辽宁沈阳110004;东北大学流程工业综合自动化国家重点实验室,辽宁沈阳110004;东北大学信息科学与工程学院,辽宁沈阳110004;东北大学流程工业综合自动化国家重点实验室,辽宁沈阳110004;东北大学信息科学与工程学院,辽宁沈阳110004【正文语种】中文【中图分类】TP2731 引言(Introduction)实际工业过程中,由于工艺和技术等方面的限制,许多重要的过程变量难以实时在线检测.而软测量技术则是实现此类变量实时估计的一种非常有效的方法,其核心问题是建立软测量的数学模型.机理建模、数据建模和混合建模方法是常用的软测量建模方法.数据建模方法能够充分利用采集到的过程数据信息,具有较高的预测精度.因此,足够丰富的过程数据是数据建模方法的基础.然而实际工业过程中采集到的数据非常有限,并且由于过程干扰、人为因素造成数据异常,使得许多数据建模方法的应用范围受到限制,因此,研究小样本建模方法具有重要意义.统计学习理论(statistical learning theory,SLT)是由Vapnik建立的一种专门研究小样本下机器学习规律的理论,而基于此理论的支持向量机(support vector machines,SVM)方法[1,2]因其具有非线性拟合、结构简单、全局最优和较好泛化能力等优点,广泛应用于许多领域.然而,SVM每增加一个新的样本,需进行一次二次优化求解,运算过于复杂且不具有实时性.为了提高求解速度,Suykens等人提出了最小二乘支持向量机回归(least-squares-support-vector regression,LSSVR)[3].它使用等式约束代替了不等式约束,将二次规划问题转化为线性方程组求解,简化计算的复杂性.但是LSSVR算法是在假设所有训练样本相互独立分布的情况下得到的,然而在实际工程中,由于现场干扰以及过失差错等原因,离群数据的存在是在所难免的.此时,LSSVR采用的误差平方和评价函数会导致不稳健的估计结果.针对采样样本中存在离群点问题,文献[4～7]对离群点的影响进行了研究.结果表明离群点对模型精度有很大影响,特别是小样本建模问题,这种影响尤为突出.因此,由于离群点影响,使LSSVR模型在实际过程中的应用受到很大限制.针对此问题,文献[8]通过对样本加权来减小离群点的影响,提出了加权最小二乘支持向量机(WLSSVR).文献[9]应用模糊聚类的思想对每个样本进行加权,使模型获得鲁棒估计.二者都考虑应用对样本加权的思想减小离群点的影响来获得鲁棒性,尤其对显著离群点进行了相应处理,但是因为训练过程中模型的权重是一个常数,且易受到LSSVR参数选择的影响,所以上述两种方法对非显著离群点的处理显得无能为力.因此,文献[10]利用鲁棒学习(robust learning algorithm,RLA)提出了鲁棒RBF网络来解决这个问题,然而RBF网络的初始权值和结构较难确定.针对上述问题,并且考虑到工业过程的时滞性以及过程动态变化特点,结合LSSVR结构容易确定的优点,本文提出了一种在线鲁棒最小二乘支持向量机回归建模方法.该方法首先在LSSVR模型基础上,通过RLA克服离群点影响来获得鲁棒估计,为了能更好克服非显著离群点影响,本文对RLA进行了改进,提出了利用离群点(outliers)检测方法的鲁棒代价函数端点确定的方法.接下来应用增量学习方法更新鲁棒LSSVR模型,达到实时跟踪过程动态特性的目的.仿真分析验证了该方法的可行性和有效性.2 最小二乘支持向量机回归(Least-squaressupport-vector regression)SVM回归方法首先把原始的输入空间非线性映射到一个高维甚至无穷维的特征空间,然后在这个特征空间中寻找使得结构风险最小的线性决策函数[11].对一组输入样本,LSSVR通过非线性变换将训练样本集映射到高维特征空间.然后在这个变换后的特征空间中应用某一线性函数g(x)=wTϕ(x)来对函数进行估计.在LSSVR回归估计中,求解下面的优化问题:其中:J(w,e,b)为目标函数,C为惩罚系数,其值的大小决定了对误差的惩罚力度,eT=[e1e2···en]为容许误差向量.应用Lagrange法可以将式(1)的二次规划问题化简为求解线性方程组问题,即其中:=[1 ··· 1],yT=[y1 ··· yn],In为n维单位阵,αT=[α1 ···αn]为Lagrange乘子向量,Kij=k(xi,xj)= ϕ(xi)Tϕ(xj).求解出式(2)的α和b得到LSSVR模型为其中:k(·,·)为满足Mercer条件的核函数,本文采用Gaussian核函数其中σ为Gaussian核参数.3 在线鲁棒LSSVR方法(Onlinerobust LSSVR method)为解决建模问题中离群点的影响,特别是非显著离群点对模型精度影响的问题,并且为了实时跟踪工业过程的变化,本文提出了在线鲁棒LSSVR建模方法.而为了能更好克服非显著离群点影响,对RLA方法进行了改进,提出了利用离群点(outliers)检测方法的鲁棒代价函数端点确定方法.在此基础上将改进的RLA方法引入到LSSVR 模型,获得鲁棒估计.在线应用时,采用增量学习的递推策略更新鲁棒LSSVR模型,实现关键变量的在线预估.3.1 改进鲁棒学习方法(Improved RLA method)RLA的核心思想是应用鲁棒代价函数对模型权值进行更新.因此鲁棒代价函数的特征决定了RLA的有效性.鲁棒代价函数的端点确定以及权值更新策略也是RLA能较好克服离群点影响的关键因素,因此,下面从这3个方面来描述改进的RLA方法. 3.1.1 鲁棒代价函数(Robust cost function)本文RLA采用双曲正切函数为鲁棒代价函数[12]:其中:a和b是区间端点,c1和c2是常数,本文选择c1=1.73,c2=0.93.为清晰描述RLA与最小二乘方法的区别,二者的代价函数曲线如图1所示.从图1可以看出,鲁棒代价函数是一个分段函数.当0≤ |e|＜ a时,因LSSVR模型的权值已接近最优值,所以在此范围内采用最小二乘代价函数;当a≤|e|≤b时,因误差较大,需一定程度上限制较大误差的训练样本的影响;当|e|＜b时,因样本误差太大而在训练时不考虑它对模型的作用.因此,通过上述过程把大误差点对模型的影响逐渐消除.图1 最小二乘代价函数与鲁棒代价函数Fig.1 Least square cost function and robust cost function3.1.2 端点更新(Update of cutoff)通过前面对鲁棒代价函数形式以及图像的分析可知,鲁棒代价函数区间端点a,b是影响RLA效果的重要参数.目前对于二者的确定常采用试凑法或者固定端点的方法,然而,这两种方法都存在一定的缺点.为了更好更合理的确定区间端点,本文提出了基于离群点检测的区间端点更新方法,离群点检测的实质是鲁棒3σ原则[13].对于一组训练样本,应用模型预测后可以得到一误差数据列为ei(i=1,···,n),为实现鲁棒估计,将数据列的均值和标准差采用中位值和绝对偏差的中位值进行替换,二者的计算公式分别为其中median(·)是求中位值运算.令第i个误差样本的偏差为di=|ei−emedian|,按照鲁棒3σ原则,如果di≥3smedian,则该样本是显著离群点.既考虑到模型的预估精度,又考虑到模型的在线应用,如果1.5smedian≤di＜3smedian,则认为该样本是非显著离群点;如果di＜1.5smedian则该样本是正常样本.因此,鲁棒代价函数区间端点a,b的计算公式为为了直观说明端点更新方法相对固定端点方法的优势,图2绘制了区间端点由a,b 变化为a∗,b∗的图像.由图2可知,当区间端点更新时,鲁棒代价函数的形状发生变化.由于本文采取了基于鲁棒3σ原理的端点更新方法,所以区间端点随着模型训练误差e的分布而变化,从而鲁棒代价函数也是随着e的分布而变化,因此本文方法能较好的跟踪模型误差e的变化,减小离群点对建模过程的影响.图2 鲁棒代价函数变化Fig.2 Change of two robust cost function curves本文方法相对于试凑方法的优势主要体现在:计算简单,避免了试凑方法重复多次才能得到较优区间端点的缺点.3.1.3 模型权值更新(Update of model weight)LSSVR模型权值αk采用梯度下降法更新,即其中:t为迭代次数,▽αk(t)为梯度,计算公式为其中:η为学习速率,k(xk,xi)为高斯核函数,ψ(ei(t))为鲁棒代价函数导数,即其中:a(t),b(t)为第t次迭代时的区间端点,sgne为符号函数,当e＜0时,sgne=−1,当e＞0时,sgne=1.可见,权值更新与代价函数的导数ψ(e)相关.传统最小二乘方法中,最小二乘代价函数的导数为ψ(e)=e,所以权值更新随着训练误差e的增大而正比例增大.由于模型对离群点的训练误差e特别大,从而造成了离群点所对应的权值较大,加大了离群点对模型的影响,导致模型精度下降.由式(10)可以看出,当训练误差e增大到一定程度,ψ(e)由增长较快的正比例变化变为增长相对缓慢的双曲正切曲线变化,从而对离群点在建模过程中的影响起到限制作用,提高模型的鲁棒性.3.2 鲁棒LSSVR方法步骤(Steps of robust LSSVR method)Step1 确定LSSVR模型的核函数类型及参数,给出鲁棒代价函数的区间端点初始值a(0),b(0)及算法终止条件εR.Step2 采集正常工况下的数据集作为建模数据,建立LSSVR模型,预测各输出变量f(xj,α(t)),得到预测误差ej(t)=yj(t)−f(xj,α(t)),其中:j=1,···,N.Step3 由式(7)确定每次迭代的区间端点.Step4 由式(8)更新LSSVR模型的权值.Step5 如果Re＞∈R成立,则转Step2进行循环,否则终止循环学习,得到最终的鲁棒LSSVR模型.3.3 模型在线更新(Online update of model)大多数生产过程是慢时变过程,由于过程参数变化、建模样本不完备等原因导致鲁棒LSSVR模型老化.虽然鲁棒LSSVR能克服训练样本中较大噪声的问题,但它作为离线模型还是无法实时跟踪过程的变化,准确预估过程关键变量.因此,本文提出了基于增量学习方法的在线鲁棒LSSVR建模方法.其主要思想是增加过程中的实时数据对,然后在线更新模型.设初始建模数据集为Y(0)=[y1 ···yN]T,X(0)=[x1···xN]T,通过本文的鲁棒LSSVR模型可以得到模型参数为α(0),b(0).当第k+1个新数据到来时,模型在线训练的数据集更新为其中:由式(2)知鲁棒LSSVR实际是解线性方程组,从而可以通过增量学习增加过程中的实时数据对,达到跟踪过程时变特性的目的.设第k个采样时刻鲁棒LSSVR模型已经有M(M ＞ N)个样本,当第k+1个数据加入样本集后,回归模型为其中:αM+1与bM+1为更新后的Lagrange乘子和模型偏置量,求解ΦM+1的逆矩阵即HM+1=是求解αM+1与bM+1的关键.根据分块矩阵与矩阵和的求逆公式[14]得到HM+1的递推公式其中:HM=,0M=[0 ···0]T为零向量,随着样本数量的增多,模型计算越来越复杂,而为了简化计算,提高模型的实时性,应用减量学习方法剔除老样本.为兼顾样本多样性和饱和性.当新数据积累到一定数目时对模型参数进行减量学习.设HM+1已知,而HM未知,当剔除第k+1个样本时,同理可以应用分块矩阵思想把HM+1划分为从而得到综上,考虑到直接抛弃老样本会损失信息,又要提高模型实时性,本文在增量学习时,选择新样本积累到一定数目(如N)时开始进行减量学习.从而既可以提高建模速度又可以充分利用过程信息,提高在线鲁棒LSSVR模型精度.4 仿真分析(Simulation analysis)考虑应用本文方法逼近正弦目标函数这里ε是服从N(0,0.0016)分布的噪声;在[0,2π]之间等间隔产生31个数据用于建模,从上述数据中随机选取3个样本,分别为14,20,29(在图3中已标明),对第14,29个数据对的输出分别加入130%扰动,对第20个数据对的输出加入4.5倍的扰动,则第14,29个数据样本可视为非显著离群点,第20个数据样本可视为显著离群点;另外相邻两个训练数据的中点作为测试样本.在图3中,将LSSVR方法、WLSSVR方法与本文方法进行比较,可以看出,LSSVR方法所建立的模型因受到离群点的影响而偏向于离群点;而WLSSVR方法对于离群点则具有较好的鲁棒性,而本文方法较WLSSVR方法对于离群点具有更好的鲁棒性,预测精度更高.图3 仿真结果对比Fig.3 Comparison of simulation results为了更好地评价预测模型的性能,本文分别采用最大绝对误差(MAE)和均方根误差(RMSE)对几种模型的预测准确性进行了分析,比较结果列于表1.所用公式分别为其中:i,yi分别为第i个测试样本的预测值与测量值,N为测试样本数目.表1 预测误差比较Table 1 Comparison of prediction error方法 MAE RMSE LSSVR方法 0.5158 0.2020 WLSSVR方法 0.0785 0.0461本文方法 0.06330.0313可以看出,WLSSVR方法其预测精度虽然好于LSSVR方法，但却与本文方法存在一定差距.为进一步说明本文方法在限制离群点对模型精度方面的影响,图4绘制了3种方法在建模过程中,每个训练样本所对应的权值.从图4可以看出,LSSVR方法对应每个离群点(样本14,20,29)的权值都比较大,尤其是显著离群点(样本20).从而加大了离群点在LSSVR建模过程中的影响,导致模型过拟合,模型精度下降.WLSSVR方法对应的显著离群点(样本20)权值虽然明显降低,但是对非显著离群点(样本14,29)却无能为力.而本文方法对应的两种离群点的权值都下降到了正常样本权值的范围内,从而不仅消除了显著离群点影响,而且对非显著离群点也起到了明显的抑制作用,所以本文方法预测精度较高.这也证明了双曲正切估计函数能克服非显著离群点影响.图4 训练样本权值Fig.4 Weights of training samples5 结论(Conclusion)为了解决实际工业过程的在线鲁棒建模问题,本文在最小二乘支持向量机回归建模方法的基础上,引进鲁棒学习和增量学习方法,提出了一种在线鲁棒LSSVR建模方法.该方法首先对RLA进行了改进,提出了基于离群点检测的鲁棒代价函数区间端点确定方法;接下来在LSSVR模型基础上通过改进的RLA逐步减小非显著离群点影响,建立系统鲁棒LSSVR模型;最后应用增量学习方法对鲁棒LSSVR模型进行更新,建立在线鲁棒LSSVR模型,实现对工业过程关键变量的实时鲁棒估计.本文还通过仿真实验,验证了方法有效性.本文方法也同样适用于其他鲁棒非线性系统软测量建模问题.参考文献(References):【相关文献】[1]VAPNIK V N.The Nature of Statistical Learning Theory[M].New York:Springer-Verlag,1995.[2]VAPNIK V N.An overview of statistical learning theory[J].IEEE Transactions on Neural Networks,1999,10(5):988–999.[3]SUYKENS J A K,VANDEWALLE J.Least squares support vector machineclassifiers[J].Neural Processing Letters,1999,9(3):293–300.[4]PELL R J. Multiple outlier detection for multivariate calibration using robust statistical techniques[J]. Chemometrics and Intelligent Laboratory Systems, 2000, 52(1): 87–104. [5]DASZYKOWSKIM,KACZMAREKK,HEYDENYV,etal.Robust statistics in data analysis-a review basic concepts[J].Chemometrics and Intelligent LaboratorySystems,2007,85(1):203–219.[6]MøLLE S F,FRESE J V,BRO R.Robust methods for multivariate d ata analysis[J].Journal of Chemometrics,2005,19(10):549–563.[7]KRUGER U,ZHOU Y,WANG X,et al.Robust partial least squares regression:part I algorithmic developments[J].Journal of Chemometrics,2008,22(1):1–13.[8]SUYKENS J A K,BRABANTER J D,LUKAS L,et al.Weighted least squares support vector machines:robustness and sparse approximation[J].Neurocomputing,2002,48(1):85–105. [9]SHIM J,HWANG C,NAU S.Robust LSSVM regression using fuzzy c-meansclustering[C]//Proceedings of the 2nd International Conference on Natural Computation.Xi’an:Springer,2006,9:157–166.[10]S´ANCHEZ A V D.Robustization of a learning method for RBFnetworks[J].Neurocomputing,1995,9(1):85–94.[11]唐贤伦,庄陵,胡向东.铁水硅含量的混沌粒子群支持向量机预报方法[J].控制理论与应用,2009,26(8):838–842.(TANG Xianlun, ZHUANG Ling, HU Xiangdong. The support vector regression based on the chaos particle swarm optimization algorithm for the prediction of silicon content in hot metal[J]. Control Theory & Applications, 2009, 26(8): 838–842.) [12]CHEN D S,JAIN R C.A robust back propagation learning algorithm for function approximation[J].IEEE Transactions on Neural Networks,1994,5(3):467–479.[13]HUBER P.Robust Statistics[M].New York:Wiley,1989.[14]TANG H S,XUE S T,CHEN R,et al.Online weighted LS–SVM for hysteretic structural system identification[J].Engineering Structures,2006,28(12):1728–1735.。

最小二乘支持向量机的算法研究

未来研究可以针对AdaILSVM-R算法在处理大规模数据集的计算效率问题进行优化，例如研究基于样本划分的训练策略，或者采用分布式计算框架来解决计算瓶颈。此外，进一步拓展AdaILSVM-R算法的应用领域，例如应用于图像处理、自然语言处理等领域，也是具有挑战性的研究方向。最后，完善算法的理论框架，给出更具一般性的分析证明，也是未来研究的重要方向。
然而，实验结果也显示，AdaILSVM-R算法在处理大规模数据集时可能会面临计算效率低下的问题。这主要是因为算法在每次迭代过程中需要对整个数据集进行扫描和更新。因此，如何提高AdaILSVM-R算法在大规模数据集上的计算效率，是未来研究的一个重要方向。
结论与展望
本次演示介绍了自适应迭代最小二乘支持向量机回归（AdaILSVM-R）算法的原理、实现步骤、实验结果及分析。实验结果表明，AdaILSVM-R算法在处理回归问题时具有较高的预测精度和泛化能力，对噪声和异常值具有较强的抵抗能力。然而，该算法在处理大规模数据集时可能会面临计算效率低下的问题。
min ||Sw||^2 / 2 + λ||w||^2 / 2 - λb
其中||Sw||^2表示所有样本点到超平面的距离的平方和，||w||^2表示超平面的斜率，λ是一个正则化参数。这个二次规划问题的最优解为：
w = Σ λ(i)α(i)x(i) / Σ α(i) + λI / 2b = Σ λ(i)(1 - α(i)) / Σ α(i) - λ/2
四、展望随着最小二乘支持向量机算法的不断发展，未来可能会面临更多的挑战和发展机会
1、算法优化：进一步优化算法的效率和准确性，提高算法的适用范围和性能。
2、多模态数据处理：扩展最小二乘支持向量机算法在多模态数据处理中的应用，如文本、图像、音频等多模态数据的融合和分析。

稀疏L1范数最小二乘支持向量机

（１．西安石油大学理学院，陕西西安７１００６５；２．西安电子科技大学计算机学院，陕西西安７１００７１）
摘要：为了提高最小二乘支持向量机的训练速度，提出一种稀疏最小二乘支持向量机Ｌ１ＳＬｓＳＶＭ。该模型采用权重向量的Ｌｌ范数控制分类间隔，最小二乘损失函教度量误差。将线性和核空间最小二乘支持向量机的训练归结为同一形式，均
ＬＩＡＮＧＪｉｎ￣ｉｎ，ＷＵＤｅ
（１．ＣｏｌｌｅｇｅｏｆＡｐｐｌｉｅｄＭａｔｈｅｍａｔｉｃｓ，Ｘｉ ’ ａｎＳｈｉｙｏｕＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｘｉ ’ ａｎ７１００６５，Ｃｈｉｎａ；２．ＣｏｌｌｅｇｅｏｆｏｍｐＣｕｔｅｒＳｃｉｅｎｃｅｓ，ＸｉＤｉａｎＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｘｉ ’ ａｎ７１００７１，Ｃｈｉｎａ）Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｔｏａｃｃｅｌｅｒａｔｅｔｈｅｔｒａｉｎｉｎｇｓｐｅｅｄｏｆｌｅａｓｔｓｑｕａｒｅｓｕｐｐｏｒｔｖｅｃｔｏｒｍａｃｈｉｎｅ（ＬＳＳＶＭ），ａｓｐａｒｓｅｍｏｄｅｌｗｉｔｈＬ１ｎｏｒｍｉｓｄｅ —
ｅｘｐｅｒｉｍｅｎｔｓａｍｏｎｇＳＶＭ，ＬＳＳＶＭａｎｄＳＬＳＳＶＭｏｎｂｏｔｈａｒｔｉｆｉｃｉａｌａｎｄｂｅｎｃｈｍａｒｋｄａｔａｄｅｍｏｎｓｔｒａｔｅｔｈａｔ，Ｌ１ＳＬＳＳＶＭｈａｓｂｅｔｔｅｒ

最小二乘支持向量机的一种改进算法

最小二乘支持向量机的一种改进算法最小二乘支持向量机（LS-SVM）是一种常用的机器学习算法，它使用最小二乘法来寻找最佳决策边界，就像标准的支持向量机（SVM）一样。

但是，LS-SVM有一些局限性，例如对噪声数据的敏感性。

为了解决这些限制，人们开发了许多改进算法。

这篇文章将介绍最小二乘支持向量机的一种改进算法。

一、最小平方双曲线支持向量机（LSSVM-RBF）LSSVM-RBF是对LS-SVM的改进。

它使用径向基函数（RBF）作为核函数，通过添加双曲线惩罚项来解决LS-SVM的局限性。

这个惩罚项可以控制分类器复杂度，从而使其更适应噪声数据。

二、随机采样最小平方支持向量机（RS-LSSVM）另一个改进方法是随机采样最小平方支持向量机（RS-LSSVM）。

这个算法可以在保持准确性的同时降低计算成本。

它在每个迭代中随机选择一小部分样本，以计算新的最小二乘解。

这样可以减少计算，但也增加了噪声的影响。

为了解决这个问题，RS-LSSVM还引入了一个新惩罚项来稳定分类器。

三、多核最小二乘支持向量机（MKL-SVM）MKL-SVM是另一个对LS-SVM的改进。

它使用多个核函数组合，可以对不同的数据集选择最佳的核函数组合，以提高分类器的准确性。

此外，MKL-SVM还使用自适应核函数权重来调整不同核函数的重要性。

四、在线最小二乘支持向量机（OLS-SVM）在线最小二乘支持向量机（OLS-SVM）是一种新的改进方法，它可以逐渐适应新数据，而不需要重新训练模型。

该算法在线更新模型参数，可以实时适应变化的数据。

总之，最小二乘支持向量机是一种优秀的分类器，但也存在局限性。

随着机器学习领域的不断发展，人们也在不断改进这个算法，以使其更适应不同的数据集和问题。

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最小二乘支持向量机产生训练样本与测试样本，每一列为一个样本k=125;m=10;n1=ones(5,125);n2=ones(5,10);n3=[120,150,218,247、7,56,181,0,57,4、32,23、51,24、16,93、5,96,93,910,20,24,26、7,220,33、9,46、9,70、2,72,128,139,144,159、8,230,679,15、21,20、37,22、1,16,35,73,86,336,82,87,94,121,170,172、9,180,26、6,70、4,164,25、1,274,3,14,45,60,72,304,22、3,35、1,56,63,68,68,207,236,37,80,82,293,42,220,766,10,36、2,105,117,240,851,4072,4、6875,0、962,2,20、443,18、614,4、0787,17、187,17、314,11、299,11、31,3、7648,2587、2,1565,87、266,85、865,84、333,61、394,57、983,59,57,673、6,32、2,255,707,50、11,56,121,130、4,300、44,685,174,111,410,574,127,200,1678,162,334,48、155,49、77,45、703,39、216,56、982,32、597,26、859,43、737,20、385;120,60,120、7,148、7,78,262,434,77,193,61、33,261、05,36、7,41,58,1592,41、9,27、8,90、6,230,36、5,161、6,70、2,442,419,714,754,438、7,572、4,4992,61、25,59、79,64、1,237,30,520,110,419,81,87,195,69,320,334,97, 22、7,69、5,244,411、91,376,198,221,168,139,160、3,443、5,7、8,50、6,99、9,149、6,99、2,99、2,416,410、2,130,243,161,134,98,340,990,4, 12、6,169、4,257,676,2802,15850,10、826,15、787,16、667,17、036,17、972,20、83,21、432,21、731,21、834,21、835,26、818,7、882,98,6、5004,7、0013,8、0593, 10、822,18、866,28,13,423、5,5、5,48,115,15、97,13,14,2、39,42、14,102,24,58,120,256,107,48,652、9,35,39、9,1、4272,8、4485,9、1405,9、4118, 10、479,15、47,16、887,17、018,17、175;33,40,126、6,78、7,18,41,226,19,118,45、21,196、13,11、2,12、8,43,801,20、2,24、4,49、2,57,31、5,94、1,171、5,221,269、4,351,250,312、4,343,1823,45、94,45、24,44、3,92,10,140,18,105,33,26,14,32,53,172,34, 22、5,28、9,103,320、9,55,191,199,82,21,63、1,110、9,12、4,16、1,51、4,57、5,35、9,35、9,347,159,91,274、2,79,52,156,42,115,3,4、4,59、1,92,200,772,9057,17、522,12、299,3、8667,5、6786,6、6865,6、992,5、3708,5、8304,11、299,11、244,7、2202,4、704,35,5、1647,4、4914,7、2211,4、1623,4、6218,9,0、1,77、6,1、4,8、3,11,4、66,2、4,3,7、22,3、25,9,9、3,0,18,22,11,14,80、7,5、6,47、8,4、0354,2、1505,2、4557,2、7451,1、2837,4、9724,3、0902,2、1034,1、7657;84,70,142、1,192、7,21,28,387,21,125,98、03,201、4,69、5,82、5,37,932,44、2,30,95,110,39、3,193、3,371、6,461,614、1,634,502,644、6,768、9,3671,81、83,80、49,81、4,470,93,1200,92,1074,224,218,153,268,520,8 12、5,271,109,241、2,497,1832、8,1002,701,804,330,430,303、7,946,95、7,93,24、8,276,202、9,202、9,1345,817、3,430,1347、7,406,239,610,480,660,33,15、5,347、6,468,818,3521,22621,66、964,70、246,76、533,52、811,55、363,67、589,54、936,52、297,53、089,53、146,61、888,1、4,48,1、0686,2、642,0、38685,10、406,8、6555,70,11,988、9,12、6,33,55,45、37,22,29,1、8,43、18,170,29、3,105,71,503,154,117,1005、9,30,5、35,22、539,19、355,19、509,22、941,13、571,38、674,39、431,26、219,24、719;0、55,1,0、9,0、9,0,0,0,0,0,1、01,0、87,1、1,0、6,0,0,0、38,0,0、5,7,0,0、56,0,0、7,0、35,0,1,0、38,0、51,0,0,0,0,0,7、1,6,7、4,21,5、4,7、5,15,8,3、2,37、7,8,0,10、4,8、3,18、4,17,0,0,3、1,4、6,0、1,56、1,1、4,1、1,2、3,0,0,0,20,3、5,2、9,8、4,8、9,2、9,0,14,0,6,0,1、8,4,4,10,535,0,0、7052,0、93333,4、0318,1、3644,0、50983,1、0742,2、8269,2、4692,2、4646,0、30944,0,0,0,0,0,13、215,9、8739,15,12,344、5,13、2,29、8,81,12、3,22、13,74,4、38,64、71,367,64、4,201,250,382,224,131,419、1,44,247、6,23、843,20、276,23、192,25、686,17、684,8、2873,13、733,10、924,35、955];for t=1:k n1(:,t)=(n3(:,t)-min(n3(:,t)))/(max(n3(:,t))-min(n3(:,t)));endx1 = [1*ones(1,6),2*ones(1,26),3*ones(1,56),4*ones(1,1),5* ones(1,6),6*ones(1,30)];n4 =[160,97,27,56,78,92,980,83、714,23,42;130,229,90,27,161,62,73,8、067,12,62;33,136,42,20,86,35,58,5、175,12,5;96,227,63,108,353,280,12,3、0441,10,63;0,1,0、2,6,10,11,0,0,61,73];for n=1:m n2(:,n)=(n4(:,n)-min(n4(:,n)))/(max(n4(:,n))-min(n4(:,n)));end x2 = [1*ones(1,1),2*ones(1,2),3*ones(1,3),4*ones(1,1),5*on es(1,1),6*ones(1,2)]; xn_train = n1; % 训练样本dn_train = x1; % 训练目标xn_test = n2; % 测试样本dn_test = x2; % 测试样本%---------------------------------------------------% 参数设置X = xn_train;% 训练样本Y = dn_train;Xt =xn_test;Yt = dn_test;type = c; %type has to be function (estimation), classification, timeserie orNARX]kernel_type = RBF_kernel;L_fold =7;preprocess = preprocess; %是否归一化preprocess是original否codefct = code_OneVsOne; % 将“多类”转换成“两类”的编码方案%1、Minimum Output Coding (code_MOC)%2、 Error Correcting Output Code (code_ECOC)%3、 One versus All Coding (code_OneVsAll)%4、 One Versus One Coding (code_OneVsOne)%---------------------------------------------------% 编码[Yc,codebook,old_codebook]=code(Y,codefct);%---------------------------------------------------% 交叉验证优化参数[gam,sig2] =tunelssvm({X,Y,type,[],[],kernel_type,preprocess},、、、gridsearch,crossvalidatelssvm,{L_fold,misclass},codefct); %---------------------------------------------------% 训练与测试model =initlssvm(X,Y,type,[],[],kernel_type,preprocess);model = changelssvm(model,codetype,codefct);model =tunelssvm(model,gridsearch,crossvalidatelssvm,{L_fold,mis class});model =trainlssvm(model);plotlssvm(model,[],125);Yd =simlssvm(model, Xt);Result =1-abs(Yd-Yt)% 正确分类显示为1Percent = sum(Result)/length(Result) % 正确分类率。