离散数学讲解第一章

{10} =(A－B)－E ＝(A－B) ∩C {n | n是偶数且n＞10} = C －A { n | n是偶数且n≤10,或n是奇数且n≥9}
=(C∩A) ∪(E－B）
例：设AB，C D，求证AC BD
证明：用定义推导的方法 （1）当AC=时，结论显然成立； （2）当AC≠时，xAC，有 ① xA，则xB，故xBD； ② xC，则xD，故xBD
2018/12/20
33
练习
例：设A={a, b, {c}, {a}, {a,b}}，试指出 下列论断是否正确。
(1) aA (3) {a} A (5) A (7){b} A
(√) (√) (√) (√)
(2) (4) (6) (8)
{a}A (√) (×) A (×) {b}A {a,b,c} A (×)
27
3. 相对补集:设有集合A、B，由属于B而不属于A 的所有元素组成的集合,称为A关于B的相对补 集, 记作B-A B-A = { u | uB，uA) }
例：A＝{2,5,6} 则 A-B={5,6} B-A
2018/12/20 28
B={3,4,2} B-A＝{3,4}
4. 绝对补集:集合A关于全集合U的相对补集，称为A 的绝对补集，简称为A的补集，记作A’ A’=U-A ={u|(u U, u A)} ={u | u A)}
2018/12/20
17
1.3 幂集(power set)
1. 幂集:
设有集合A, 由 A的所有子集组成的集合,称为A 的幂集,记作2A . 2A ={S|SA} 注意: S 2A SA
例: A={a}, 2A ={,{a} } 22A ={, {} , {a} ,{,{a} } }
A B
2018/12/20
26
不相交: AB= 互不相交: 设A1,A2,…是可数多个集合, 若对于任 意的ij, 都有AiAj=, 则说它们互不相交
由定义可证明 ，对于任意集合A,B，有：
AAB
,
BAB
ABA,
ABA
如果AB，则AB=B, AB=A
2018/12/20
2018/12/20
8
基数：集合A中不同元素的数目，称为集合 的基数，用#A表示 有限集：当A具有有限数目的不同元素，亦 即#A为有限时，称A为有限集。 无限集
2018/12/20
9
3.罗素悖论
罗素给出了一个集合：T是不以自身为元素 的全体集合的集合。 T=｛A|A是集合，AA｝ T∈T？
A’ U’ = ， ’ = U
2018/12/20 29
5. 对称差: 设有集合A、B，由属于A但不属于B, 以 及属于B但不属于A的所有元素组成的集合, 称为A 与B的对称差, 记作AB
AB=(A-B)(B-A)=(AB)-(AB)
AB
2018/12/20 30
例: 设A={xR|0x<2}, B={xR|1x<3},求 AB。
11
1.2 集合之间的关系
1. 子集(subset)
设有集合A、B，如果A的每一个元素都是 B的元素（即若a∈A，必有a∈ B），则称A 是B的子集，或说A被包含于B（或B包含A）， 记作A B xA，则xB
反之，若A不是B的子集，则记作AB
2018/12/20 12
相等(equal) ： 设有集合A、B，如果A的每一个元素都 是B的元素，B的每个元素也都是A的元素， 则称集合A与集合B相等，记作A=B。
2018/12/20 18
定理: 设A是具有基数#A的有限集，则 #(2A )=2#A.
分析：前面介绍了，A的子集是A的一部分，那么由 i Cn A中i个元素组成的子集有 个，若A有n个元素，于 是有：
0 1 n1 n Cn Cn Cn Cn 2n
2018/12/20
19
B7=B000111={a4,a5,a6} B12=B001100={a3,a4}
2018/12/20 21
集合族: 由集合构成的集合.
{{6}, {1,5} , {2,4}, {1,2,3}} 幂集都是集族.
2018/12/20
22
指标集(index set): 设A是集合族, 若 A = { Ai | iK }, 则K称为A的指标集.
A={a,b,c} ，令a是第一个元素，b是第二个元 素，c是第三个元素,则A的各个子集可表示为：
可以用一个三位的二进制数作下标来标出各子集， 每一位对应A中的一个元素，当下标中某位取1，则 表示相应的元素在此子集中出现；当下标中某位为0， 则表示相应的元素在此子集中不出现。 B000=, B001={c}, B010={b}, B011={b,c}, B100={a}, B101={a,c}, B110={a,b}, B111={a,b,c}
总有xBD，结论成立。
2018/12/20
36
例：对于任意的集合A、B，等式2A-B =2A-2B 是否成立？
全集是相对的, 视情况而定, 因此不唯一.
2018/12/20
24
1.4集合之间的运算
1. 并集: 设有集合A、B，属于A或属于B的所有元素 组成的集合，称为A与B的并集，记作AB AB = { u | uA 或 uB}
AB
2018/12/20
25
2. 交集：设有集合A、B，属于A同时又属于B的所有 元素组成的集合，称为A与B的交集，记作A B AB = { u | u A 且 u B }
A={2,1,1,2}={2,1}
集合中的元素可能也是集合
A={1, {2}, 3, {3,4}}
2018/12/20 4
1. 集合的概念
常见集合的表示
N：正整数或者自然数集合{1,2,3,…} Z：非负整数集合{0,1,2,3,…} I：整数集合{0,-1,1,-1,2,…} Q：有理数集合Q= { x|x=p/q, p,q∈I,且q≠0} R：实数集合R={x|x是实数} C：复数集合C= { x|x=a+bi, a,b ∈ R, i= 1} Nm(m≥1)：介于1和m之间的正整数集合 ｛1,2,…,m｝ Zm(m≥1)：介于0和m-1之间的非负整数的集合{0,1,2,…,m-1}
A A A 若AB,且BC, 则AC
分析：由定义1-2知，要证明A中任意元素x，均有x∈C。 证明： （1）当A=时，结论成立；
（2）当A≠时，对于任意的xA, 因为AB，则xB （由定义1-2） 又BC，则xC （由定义1-2） 故AC （由定义1-2） 原结论成立。
A=B AB 且 BA xA，则xB，并且 xB，则xA
2018/12/20
13
真子集(proper subset) 设有集合A、B，若AB且AB，则称 集合A是集合B的真子集，记作AB。
x∈A，则x∈B， 并且存在一个x0 ∈B且x0 A
2018/12/20
14
2.包含()的性质
2018/12/20 15
对任意集合A, A 证明: 反证法（设结论不成立，推出矛盾）
假设空集不是集合A的子集，即 A 根据定义1-2，存在x ， x A， 这与空集的定义矛盾 假设不成立，应有A，原结论成立。
2018/12/20
16
定理: 空集是唯一的.
证明: 设1与2都是空集, 则 12 且 21 1=2 .
A B AB A B AB A B A-B
A
B
A A'
A
B
AB
2018/12/20
AB=
32
容斥原理(或包含排斥原理)
| Ai | | Ai | | Ai Aj |
i 1 i 1 i j n n

i j k
n 1 | A A A | ( 1 ) | A1 A2 An | i j k
aA: 表示a是A的元素，读作“a属于A” aA: 表示a不是A的元素，读作“a不属于A”
2018/12/20 3
1. 集合的概念
给定集合A，对于任意元素a，就可以准确地判定a 是否在A中
A＝{中国的老人}
集合中的元素不规定顺序
A={2,1}={1,2}
集合中的元素各不相同(多重集除外)
第一章 集合
1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9
2018/12/20
集合的概念及其表示 集合之间的关系 幂集 集合的运算 文氏图 集合成员表 集合运算的定律 分划 集合的标准形式
1
集合论(set theory)
十九世纪数学最伟大成就之一 集合论体系
朴素(naive)集合论 公理(axiomatic)集合论
T∈T TT T T T ∈T
2018/12/20
10
集合论中悖论的产生起因于不受限制的定 义集合的方法（即我们前面给集合下的描述性 定义，对集合的元素没有做任何限制）。我们 平常使用的集合只要避免它成为它自己的元素， 以及避免“由一切集合组成的集合”，一般不 会产生悖论。
2018/12/20
创始人康托(Cantor)
Georg Ferdinand Philip Cantor 1845 ~ 1918 德国数学家, 集合论创始人.
2018/12/20 2
1.1 集合的概念及其表示
1. 集合的概念:
一些对象的整体就构成集合 用大写英文字母A,B,C,…表示集合 这些对象称为元素(element) 用小写英文字母a,b,c,…表示元素
2018/12/20
34
例：给定下列正整数集合N的子集： A＝{n | n<12} B={n | n≤8}
C={n | n=2k , k∈N}
D={n | n=3k ,k∈N} E={n | n=2k-1,k∈N} 试用A，B，C，D和E，表达下列集合： ⑴ {2,4,6,8}; ⑵{3,6,9}; ⑶ {10}; ⑷ {n | n是偶数，n＞10}; ⑸ {n | n 是偶数且n≤10，或n是奇数且n≥9}。 解： ⑴ ⑵ ⑶ ⑷ ⑸ {2,4,6,8} =B∩C {3,6,9} =D∩A =B－E
解：即A=[0,2), B=[1,3), 则 A-B= {xR|0x<1}=[0,1) B-A= {xR|2x<3}=[2,3) AB={xR|(0x<1)(2x<3)}=[0,1)[2,3) 1 [ [ ) 0 [ ) ) 3 2
பைடு நூலகம்2018/12/20 31
1.5 文氏图
文氏图可表示集合运算(结果用阴影表示)
K中的元素与A中的集合是一一对应的. 也记作 A = { Ai | iK } = {Ai}iK 例: {A1,A2}={Ai|i{1,2}}={Ai}i{1,2}
2018/12/20 23
1.4 集合之间的运算
全集: 如果一个集合包含了某个问题中所讨 论的一切集合，则称它为该问题的全域集合， 或简称全集合，记作U。
A={a｜P(a)}
P1 (x): 绝对值不超过3的所有整数
A={a|P1 (a)}={a| a∈I且-3≤a≤3}
P2 (x): x是十进制数字
B={x|P2(x)}= {x|x是十进制数字}
2018/12/20 7
空集:没有任何元素的集合是空集,记作
例如 {xR|x2 +1=0}
2018/12/20 20
上述的表示法，可以推广到一般的情形，用来表示 具有任意n个不同元素的集合的各个子集，下标用n位 二进制数表示。为了凑足n个数位，一定要在这些二进 制的左边插入所需个数的零。也可以使用从0到2n－1 的十进制数作为子集的下标，而只在确定所对应的元素 时才转化为二进制数。
A6={a1,a2,a3,a4,a5,a6}
2018/12/20
5
2. 集合的表示
列举法:
列出集合中的全体元素，元素之间用逗号分 开，然后用花括号括起来，例如: A={a,b,c,d,…,x,y,z} B={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9} C={2,4,6,…}
2018/12/20
6
描述法
给定一个条件P(x) ，当且仅当a使条件P(a)成立 时，a∈A。