第五章 假设检验的功效与样本量

第五章 假设检验的功效与样本量
• 当假设检验不拒绝H 0时，推断正确的概率称为检验功效。

• 临床科研中不时遇到假设检验无统计学意义，此时，很有必要对检验功效作出评价。

5.1 两类错误与功效
1. 两类错误的概率
H 0: μ＝μ0， H 1: μ＞μ0 (5.1) （略） Z ＝n X σμ0-
(5.2) （略） • 任何假设检验都可能出现两类错误，用两个概率来度量 第Ⅰ类错误概率＝P(拒绝H 0｜H 0为真)≤α (5.3) 第Ⅱ类错误概率＝P(不拒绝H 0｜H 1为真)≤β (5.4a) 也可以理解为
第Ⅱ类错误概率＝P(不拒绝H 0｜H 0为假)≤β (5.4b) • 如果将诊断是否患有某病也视为一个假设检验问题： H 0：无病， H 1：有病
第Ⅰ类错误：假阳性∕误诊，概率 P(阳性｜无病) (α) 第Ⅱ类错误：假阴性∕漏诊，概率 P(阴性｜有病) (β) • 两类错误的背景：
拒绝H 0时可能犯第Ⅰ类错误
不拒绝H 0时可能犯第Ⅱ类错误
• 两类错误的后果：
第Ⅰ类错误可能将“真实无效误作有效”∕误诊 第Ⅱ类错误可能将“真实有效误作无效”∕漏诊 • 一般α, β的数值要在科研设计时事先确定
2. 功效 (power)
• 假设检验发现真实差异的功效就不低于1-β，即 检验功效＝P(拒绝H 0｜H 1为真)≥1-β
(5.5) 检验功效＝P(拒绝H 0｜H 0为假)≥1-β
(5.5) • 功效就是真实有效的药物被发现的概率∕疾病被诊断出
来的概率
5.2 影响功效的四要素
• 假设检验的功效至少受四个要素的影响，参看(5.2)式 n X σμ0- ≥Z α (5.6) • 功效的影响因素为：δ=0μ-x ，σ，n ，α
X ≥μ0+Z αn σ (5.7) （略） • 现用X 分布图形来定性地讨论四要素对功效的影响
1. 客观差异越大，功效越大
X ～N(μ，σ2/n) (5.8) （略）
若H 0为真，X ～N(μ0，σ2/n) (5.9) （略）
若H 1为真，X ～N(μ0+δ，σ2/n) (5.10) （略）
2. 个体间标准差越小， 功效越大。

3. 样本量越大，功效越大
4. α值越大，功效越大
• 筛选新药时α大些，以免漏掉有苗头的新药(α=0.10/0.20) 新药上市前α小些，以免误将真实无效的新药大量生产(α=0.01)
(a)个体标准差s 1较大或样本量n 1较小; (b)个体标准差s 2较小或样本量n 2较大 图5.2 个体间标准差越小或样本量越大，功效越大
(a) α1较小; (b) α2较大
图5.3 α值越大,功效越大
(a)均数间实际距离d 1较小 (1.5); (b)均数间实际距离d 2较大(1.8) 图5.1 均数间差异越大,功效越大
5.3 功效与四要素的定量关系
1. 单组样本均数的检验
()()βασδμσμZ n n Z -=+-+00 (5.11) （略） 简化后得到
例5.1 某药的平均有效时间原为6小时，现改进了配方，据称可延长至7小时。

为核实这一点，某研究组观察了25例该病患者，得到的却是阴性结果(P ＞0.05)，即不能认为平均有效时间长于6小时，试分析原因。

解 这个问题实际上是检验假设 H 0:μ＝6， H 1: μ＞6 据题意，不妨令δ＝1。

σ的数值可参考此次25例的观察结果，设连同以往经验猜测σ＝2。

将δ＝1，σ＝2，n ＝25和单侧Z 0.05＝1.64代入(5.12)式 Z β＝05.02
125Z Z n -⨯=-ασδ
＝ 0.86 查标准正态分布表得()8051.086.0=Φ，即1-β＝0.8051 果表明，此项检验的功效为80.51%
2. 两组样本均数的检验 欲检验假设
图5.4 两组样本均数检验示意图
例5.2 一项关于降血压药的临床试验分设两组随机样本，各含15例同病患者。

一组服用常规药，另一组服用新药。

如果新药的降压效果至少比常规药平均高出0.8kPa 方可考虑在临床推广; 据以往经验，不论常规药还是这种新药，个体降压值的标准差约为1kPa 。

经α＝0.05水平的两组均数比较的统计检验，两组平均降压效果的差异尚无统计学意义，此事如何理解?
解 据题意，这是关于两组均数的一项单侧检验 δ＝0.8，σ＝1，n ＝15，单侧Z 0.05＝1.64，代入(5.18)式得 Z β ＝21518.0⎪⎭
⎫ ⎝⎛- Z 0.05 ＝ 0.5509
查标准正态分布表，得()7088.05509.0=Φ，即1-β＝0.7088只有70.88%的机会被此检验得出有差异的结论。

3. 两组样本频率的检验(大样本)
欲检验假 H 0：π1＝π2， H 1：π1＞π2 (5.19) （略） 根据正态近似两组样本均数的检验，有功效的计算公式
其中，δ＝π1-π2
例5.3 一项关于维生素C 预防感冒作用的研究随机抽取两组正常人各30名，一组服用维生素C ，另一组服用安慰剂，欲比较一定时期内发生感冒的频率。

结果，安慰剂组有6人发生感冒，维生素C 组有3人发生感冒，经α＝0.05水平的检验，差异无统计学意义，此事如何理解?
解 π1＝20%，假定π2＝10%或更低时认为值得重视，n ＝30和α＝0.05代入(5.19)式，
()()
5446.0645.110.0110.020.0120.03010.0-=--+-=βZ
查标准正态分布表得()2929.05446.0=-Φ，即1-β＝0.2929，功效只有29.29%。

5.4 常用统计检验的样本量估算
1.
单组样本均数的检验 改写功效估计公式(5.12)得 • 估计样本含量的影响因素，类似于功效：α，β，δ，σ
例5.4 为较好地解决例5.1中的新药论证问题，至少需要多大样本量?
解 α＝0.05, β＝0.01, δ＝1, σ＝2，以及Z 0.05＝1.64，单侧Z 0.01＝2.33，代入公式，
n ＝2201.005.05.033.264.121⎪⎭⎫ ⎝
⎛+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+Z Z ＝63.0436≈63
以n ＝63查t 界值表，得t 0.05(62)与t 0.01(62)再次代入公式计算，如此多次迭代计算，当结果变化很小时便获得n 的估计值。

• 近似计算：在据Z α和Z β求得的n 值基础上再增补0.5Z 2α作为最终的样本量估算值。

这样，例5.3的样本量可取为
n ＝63.0436+0.5(1.64)2＝64.3884≈65。

2. 两组样本均数的检验
类似地，改写(5.18)式，我们又有
例5.5 为较好地解决例5.2中新药论证问题，至少需要多大样本量?
解 仍象例5.2那样取δ＝0.8，σ＝1，单侧Z 0.05＝1.64。

为减少埋没较好药物的机会，令β＝0.05，代入(5.21)式， n ＝22
205.005.08.064.164.118.0⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+Z Z ＝33.62≈34 类似地近似计算得
n ＝33.62+0.25(1.64)2＝34.2924≈35。

3. 两组样本频率的检验(大样本)
改写(5.20)式，我们有样本量的计算公式
例5.6 为较好地进行例5.3中维生素C 预防作用的研究，至少需要多大样本量?
解 仍取π1＝20%，π2＝10%。

为了不致埋没维生素C 的预防作用，取β＝0.01。

将单侧Z 0.05＝1.64， 单侧Z 0.01＝2.33连同π1和π2的数值代入(5.22)式，
n ＝210.033.264.1⎪⎭⎫ ⎝⎛+ [0.20(1-0.20)+0.10(1-0.10)]
＝394.0225≈394
5.5 实例点评
• 新药强力新甘草甜素(SNMC)治疗慢性乙型肝炎的效果, • 资料与方法：
1．病人选择 2．试验药物及使用方法
表5.1 治疗前的基本资料
对照组 28±8.4 23 1 26.2 24 0 23 0 1
表5.2 治疗前的主要肝功能指标(8项)
•点评要点：
（1）作者设计周密
（2）因样本含量过小，功效很低（国家药监局规定每组n>100）
结论：尚不能认为新药与对照药疗效相同
结语：
重点是对两类错误、功效、样本含量估计的理解（计算次要）
1. 对总体推论时要时刻想着两类错误问题
2. 试验设计时必须事先估计检验功效与样本含量。