对养鱼问题数学建模

对养鱼问题数学建模

摘要：本文据题意再结合现实生活中的实际情况，忽略部分次要因素，建立解决养鱼问题的数学模型。从几个简单的侧边描述和设计了四个基本的养育模型：

模型Ⅰ：基本养殖模型，一年卖一次，投放一定数量的鱼让鱼长成成鱼；

模型Ⅱ：边养边卖模型，考虑到时间问题和利润问题一边养一边卖；模型Ⅲ：分配养鱼模型，我们考虑空间和利润问题建模；

模型Ⅳ：套养鱼模型，我们把时间、空间和利润一起考虑，进行

优化建模。

以上模型都从不同方面反映了养鱼问题。由于养鱼问题的复杂性、多变性，我们忽略了部分养鱼的因素，并应用线性规划和动态规划模型予以解决我们的养鱼问题。

关键词：养鱼模型动态规划线性规划最大利润

一、问题重述

设某地有一池塘，其水面面积约为100×1002m ，用来养殖某种鱼类。在如下的假设下，设计能获取较大利润的三年的养鱼方案。

① 鱼的存活空间为1kg /2m ；

② 每1kg 鱼每天需要的饲料为0.05kg ，市场上鱼饲料的价格为0.2元/kg ； ③ 鱼苗的价格忽略不计，每1kg 鱼苗大约有500条鱼；

④ 鱼可四季生长，每天的生长重量与鱼的自重成正比，365天长为成鱼，成鱼的重量为2kg ；

⑤池内鱼的繁殖与死亡均忽略；

⑥若q 为鱼重，则此种鱼的售价为：

⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≤<≤<≤<=2

5.1/105

.175.0/875.02.0/62.0/0q kg q kg q kg q kg Q 元元元元

⑦该池内只能投放鱼苗。

二、问题分析

本文主要是设计一个可以获得最佳的养鱼方案，我们知道鱼塘的面积，鱼的存活空间，不考虑鱼的繁殖与死亡，每1kg 鱼每天需要的饲料以及鱼长成成鱼的时间以及不同质量鱼的价格，将鱼的价位与鱼的养殖时间联系起来，构建一个价格体系，绘制鱼的增长曲线图（图

1），分析鱼的价值取向来考虑和设计一个最佳的养鱼方案。但由于养鱼问题的复杂性，我们忽略了部分影响养鱼的因素，并应用线性规划和动态规划模型予以解决我们的养鱼问题。

三、模型假设

1、该池内只能投放鱼苗。而且不考虑鱼的繁殖与死亡；

2、鱼可四季生长，每天的生长重量与鱼的自重成正比，365天长为成鱼，成鱼的重量为2kg；

3、鱼的存活空间为1kg /2m；每1kg鱼每天需要的饲料为0.05kg，市场上鱼饲料的价格为0.2元/kg；鱼苗的价格忽略不计，每1kg鱼苗大约有500条鱼

4、假设鱼在生长过程中没有出现过变异，每条鱼的生长都服从生长系数。

5、假设我们在捕鱼的过程中，鱼都是新鲜的，可以买到题目所给的价格。

6、假设每天捕的鱼都能够正常卖出，没有鱼残留下来。

7、放养鱼苗和捕鱼在一年四季都能进行，不受时间、季节的限制。

8、放入的鱼苗不受个体差异的影响，都能按照题目所给的条件生长，同时放入的鱼苗在相同的时间内能长到同样大。

9、市场上鱼的售价和饲料的售价在三年之内没有发生变化。

四、符号说明

以下为文本中使用的符号：

（1）

a——最初放入的鱼的数量。

（2） ——鱼每天增重的比例。

（3）

m——每条鱼在养殖t天的条件下的重量。

t

（4）

c——每条鱼在养殖t天的条件下需要的饲料费用。

t

（5）M ——三年的收益总额。

（6）t ω——每条鱼在养殖t 天时平均每天产生的利润。

（7）a ——每天放入的鱼苗数目。

（8）t q ——每条鱼在养殖t 天的条件下的重量。

五、模型构成与求解

模型Ⅰ（基本养殖模型）

假设将鱼苗一次性放入鱼塘，等到年终长成成鱼是一次性卖出，第二年、第三年都分别按照第一年的方案。

根据鱼塘的容量，等到鱼长成成鱼时的质量为2kg ，每条鱼的存活空间为 1 kg/2m ,则我们设最初放入的鱼的数量为a a ，0a =10000/2=500(条) 设鱼每天增重的比例为λ，

则1000/500365)1(λ+=2000

化简可以得到 λ=11000365-

用MATLAB 计算（1）可以求出λ=0.0191

设养殖t 天的条件下每条鱼的重量为t m ，则t m =1/500t )1(λ+ 设每条鱼在养殖t 天的条件下需要的饲料费用为t c

t c =i

t i i t i ∑∑==+=⨯⨯+11)1(2500/32.005.0)1(500/1λλ

设三年的收益总额为M ，则

M=10⨯50003500032⨯-⨯⨯t c

通过计算可以得出最大利润为：

M=()32.19657319181000003=-⨯

故在这个模型的状态和条件下养鱼，三年可以获得的收益为19657.32

元。

模型Ⅱ（边养边卖模型）

由模型一我们知道，λ=0.0191 每条鱼在养殖t 天的条件下的重量为t q 我的们可以将其价位与鱼养殖时间联系起来。

⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≤<≤<≤<=2

5.1/105.175.0/875.02.0/62.0/0q kg q kg q kg q kg Q 元元元元 代入（5）式t q =()t λ+1500输入数据求解（2），我们可以得到

鱼重到0.2kg 所需天数n 0 0.002)1(0

p n +=0.2→n 0≈243； 鱼重增到0.75kg 所需天数n 1 0.002)1(1

p n +=0.75→n 1≈313； 鱼重增到1.5kg 所需天数n 2 0.02)1(2

p n +=1.5→n 2≈334； 池塘体积为 V=10000h m 3

经过计算 有三种投放鱼苗的方式：

①一共投放四次，每次要经过267天；

②一共投放四次，三次要经过238天，一次354天；

③一共投放三次，每次356天；

我们可以得到下面的一个表。

表1：鱼的重量和养殖时间的关系表

我们为了更好的观察鱼的重量和养殖时间的关系，可以由表1用