复变函数论文

题目：
拉普拉斯变换法在专业上应用的认识
摘要：
本文主要讨论了拉普拉斯变换法在电气工程及其自动化专业（自动化控制理论）中的应用，本文从三个方面对它进行了集中的阐释，首先是较为深入地讨论了拉普拉斯变换在物理学线性电路及自动控制系统中的典型应用，从而表明该变换不论在理论研究还是在实际应用中都具有非常重要的意义；其次是分析电路的稳态过程常采用经典法来求解，然而对复杂的电路．经典法就显得繁琐．甚至要用计算机才能求解，提出的把拉普拉斯变换应用于电路的稳态过程，即把求解困难的微分方程转化为能方便求解的代数方程；最后是讨论如何利用拉普拉斯变换方法解决复杂电路分析问题，结合一些实例，说明用该方法解题的思路和步骤。

由理论结合实际，由点及面分层剖析了拉普拉斯变换法在电气工程及其自动化专业中的应用。

关键词：
拉普拉斯变换，微分方程，电路
目录：
拉普拉斯变换法在电路分析中的应用
正文：
在自动控制专业中，对信号处理时的传递函数理论分析、各类信号处理中的时-频域理论分析等内容要应用拉普拉斯变换进行处理；拉普拉斯变换是由复变函数积分引导出的—个非常重要的结论，
它在物理和应用数学中都占有很重要的地位。

1、运用拉普拉斯变换求解电路的基本方法
在物理教学中，常会碰到具有非零初始条件的电路求解问题。

我们通常采用拉普拉斯变换法对电路进行求解。

拉氏变换求解电路有两种方法 ；一是先根据电路及物理定律写出相应微分方程 ，再取拉氏变换求解；二是一开始就将电路中的每个元件取拉氏变换再运用 KCL 、KVL 定律建立代数方程求解 。

下面以《电磁学》课程中的RC 稳态过程及RLC 稳态过程为例，用拉氏变换的两种方法对电路进行分析求解。

例：图示电路，设电容器C 两端已充有电压，电压值为ε。

求当开关K 闭合后，电路中的电容两端的电压Uc ，电路中的电流i 及电阻两端的电压U R 。

用一般方法进行求解，如上图RC 电路中，开关K 闭合前，电容C 已经充电，其电压ε=C u 。

开关闭合后，电容储存的能量将通过电阻以热能形式释放出来。

现把开关动作时刻取为计时起点（t=0）。

开关闭合后，即t ≥+0时，根据基尔霍夫定律可得： 0
=+C R u u
将dt
du
C
i Ri u R -==,代入上述方程，有
0=-C u dt
du
RC
这是一阶齐次方程，初始条件()()ε==-+00C C u u ,令此方程得通解
,pt C Ae u =代入上式后有
()01=+pt Ae RCp
相应的特征方程为 01=+RCp 特征根为 RC
p 1-
= 根据()()ε==-+00C C u u ,以此代入,pt
C Ae u =则可求得积分常数
()ε==+0C u A .
这样，求得满足初始值的微分方程的解为 ()t RC
t RC
C C e
e
u u 110-
-+==ε （0≥t ）
这就是放电过程中电容电压C u 的表达式。

电路中的电流为
t RC t RC t RC e R e RC C e dt d C dt du C i 1
111---=⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-=-=εεε （0≥t ） 电阻上的电压为 t RC
C R e
u u 1
-
-=-=ε （0≥t ）
用拉普拉斯变换法对上述题型进行求解如下：
解：设电路中的电阻R 及电容C 的电压参考方向如下图所示，k 闭合后：
U R +U C =0 即：iR+u C =0 （1） 因为：
dt
du C
i C
= （2）
对（2）式两边取拉氏变换得：
[]0L u dt du RC L c c =⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡+⋅
由拉氏变换线性性质及微分性质得： ()()[]()00=+-s U u s sU RC C C C 由初始条件u c (0)=ε得： ()RC
s sRC RC
s U C 11
1+=+=ε
ε （3）
我们已经将一阶微分方程（2）式转化成了代数方程（3）式现在只需要（3）式的反拉氏变换即可得到原函数u c (t)。

直接求拉氏变换得： ()t RC
t RC
C C e
e u u 11
0-
-
+==ε （0≥t ）
故：
t RC t RC t RC e R e RC C e dt d C dt du C i 1
111---=⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-=-=εεε （0≥t ） 即：
t RC
C R e
u u 1-
-=-=ε （0≥t ）
上述两种方法比较可知，拉普拉斯变换法解决此类问题比一般电路求解方法简便，从比较可以看出拉普拉斯变换法不论在理论研究还是在实际应用中都具有非常重要的意义。

由此可以推广到拉普拉斯变换法在电路的稳态过程和电路复频域分析中两种复杂电路求解中的应用。

2、用拉普拉斯变换法分析电路的稳态过程
拉普拉斯变换是分析线性非时变网络的一种有效而重要的工具 ，在各种线性定常系统中，尤为重要，下面举例介绍拉普拉斯变换应用于动态电路的一种方法
例：一互感耦合的RL 电路，设在K 动作前电路处于稳态，图(a)所示，求响应i 1(t)、i 2(t)。

解 ：由图(b)可得变换方程 ：
[
]()()[]
()()
()()[
]
----+++++⎥⎦
⎤⎢⎣⎡=00000211122122
211Mi i L Mi i L s
E s
I s
I Ms sL R sL
R Ms
图 互感耦合电路的复频域变换 由初始条件i 1(0-)=0，可知i 2(0-)=0，代入上式可解得：
()()
()()
⎪⎭
⎪⎬⎫+=
-=s A R sL s E s I s A ME
s I 2
212 其中 ()()()2112212221R R s L R L R s M L L s A +++-= 设电路为无漏磁耦合，即0221=-M L L ，耦合系数12
1==
L L M
k 。

令 2
11
22121222111,,R R L R L R R L R L +=+===
τττττ 由拉普拉斯变换反变换得：
()()[]()()[]⎪⎭
⎪⎬⎫⎪⎪
⎭
⎫ ⎝⎛+-==-==----ττττττ
t t
e R E
s I L t i e R R ME s I L t i 2
111112121
21 3、拉普拉斯变换在电路复频域分析中的应用
在解决和分析问题时，我们常常对问题的数学表达式进行某种改造，希望通过这种改造，能够用更简单、更通用的方法去解决较为复杂的问题。

下面举例介绍一下拉普拉斯变换在电路复频域分析中的应用问题。

例：应用S 域分析法求一般二阶电路的阶跃响应，如图所示电路。

求阶跃响应 u(t)和 i(t)．
图 二阶电路
分析：（解题思路）本题是一般直流二阶电路求阶跃响应，即零状态响应，作s 域模型时，初始状态为零，电感元件和电容元件S 域模型 中设有附加电压源，s 域分析计算的步骤是:首先作出时域电路的s 域模型,然后应用节点分析法求解出待求量的象函数，并将其展开
为部分分式,最后反变换为时域响应 .
解：(1)作出时域电路的s 域模型如图下图所示，其电压源的象函数是10/S 复频域感抗Z L (s)=s ，复频域容抗Z C (s)=s
1
(2)求电压u(t)，应用节点分析法 ，列出节点方程为
()110
111+=⎪⎭
⎫
⎝⎛+++s s s U s s (
)
()s s U s s 10
222
=++
()()
()()j
s k j s k s k j s j s s s s s s U +++
-++=++-+=
++=
111110
2
210
32
12
计算待定常数
()52
2100
201=++=
⋅===s s s s s U s k
()()()
012452
5
11011-<-
=++=⋅-+=+-=+-=j
s j s s s U j s k j s
023452
5
-<-
==k k
进行拉氏反变换得出
()()[](
)()V t t e s U L t u t ε⋅⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡--==--0
145cos 2105
图 s 域模型 （3）求i(t)
电路的s 域阻抗为Z(s)=（s+1）+
1
1+s
()()()()()
()()()
j
s k j s k s k j s j s s s s s s s s s s
s Z s U s I +++
-++=++-++=
+++=+++=
=
1111110221101
1
11032
12
计算待定常数
()()52
21100
201=+++=
⋅===s s s s s s U s k
()()()()
012455
5
111011-<-
=+++=⋅-+=+-=+-=j
s j s s s s U j s k j s
023455
5
-<-
==k k
()⎪⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝
⎛+++-+-
=j s j s s s I 15
5155
5
进行反拉氏变换得出
()()[](
)()A t t e s I L t i t ε⋅⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡+-==--0
145cos 2105
应用拉昔拉斯变换不但能方便求解电路的暂态过程，而且也能用于电路的稳态分析．使用拉普拉斯变换简化了激励函数 ，将实际中常用的指数函数、超越函数及其组合变换成倚单的代数 ，特别是把非周期性函效及不连续函数变换为简单的变换式．另一方面，拉普拉斯变换将微分及积分运算分别变换为乘和除的运算，将微分方程变换为易于运算的代数方程、对比较复杂的电路系统，如阶电路可将它变换为一个联立方程组 ，这样便于利用计算机进行运算 ，这正是现代电路分析发展的方向之一。

除了本文所述内容之外，拉普拉斯变换还有许多应用。

例如数学上还可以用来解一类积分方程，偏微分方程等等。

拉氏变换不论是在复变函数还是在应用数学中都是一种非常重要的方法，应用这种方法，可以使我们的计算变得非常简单方便，从而也说明拉氏变换在数 学及应用数学领域的重要性。

参考文献：
1、刘正生.稳态过程初始条件及解法的简化处理[I].大学物理，1994，（3）：9~12
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10、薛以锋．复变函数与积分变换[M I．上海：华东理工大学出版社，2001．
11、俞大光编.电工基础（中册).修订本.北京：高等教育出版社，1965. 后记：
时光茬蒋，岁月穿梭，不知不觉中大二上学期即将过去了，静下心，回头看看自己的求学历程，可谓“坎坷”，为此，心中充满着感激之言。

对于处在这个时代的我辈来说，经历从农村到城市的转变，我们付出的代价将是巨大的，是一般城市同龄人所难以想象的。

对于我个人来说，能够拥有今天，心中感到知足，因为我深知走到今天的的幸运与艰辛。

为此，我要在这感谢那些我要感谢的人。

首先要感谢我的家人感谢我的父亲和母亲，他们以他们的方式照顾着我的成长；感谢我的哥哥，他们从小学到现在在精神上对我以最大、最真、最亲的支持。

其次感谢我的老师们，他们在我的学习之路上给我的鼓励与鞭
拉普拉斯变换法在专业上应用的认识
策，促使我不断成长。

这些老师有小学的、中学的以及大学的，其中我要特别感谢秦志新老师，他在论文开题到论文定稿期间,是他一直给我细心的指导,在百忙之中给我修改论文，并给出许多可贵的建议，使我切身感受到其严谨的学术作风,认真的学术态度,深厚的学术功底。

对于秦老师给我的帮助，我表示深切的感谢。

最后我要感谢我的同学与朋友，是他们在我的生活与学习中给我帮助和鼓励，使我感受到生活的温馨。

在以后的的生活学习中我会更加努力。

11。