复变函数论文

题目：

拉普拉斯变换法在专业上应用的认识

摘要：

本文主要讨论了拉普拉斯变换法在电气工程及其自动化专业（自动化控制理论）中的应用，本文从三个方面对它进行了集中的阐释，首先是较为深入地讨论了拉普拉斯变换在物理学线性电路及自动控制系统中的典型应用，从而表明该变换不论在理论研究还是在实际应用中都具有非常重要的意义；其次是分析电路的稳态过程常采用经典法来求解，然而对复杂的电路．经典法就显得繁琐．甚至要用计算机才能求解，提出的把拉普拉斯变换应用于电路的稳态过程，即把求解困难的微分方程转化为能方便求解的代数方程；最后是讨论如何利用拉普拉斯变换方法解决复杂电路分析问题，结合一些实例，说明用该方法解题的思路和步骤。由理论结合实际，由点及面分层剖析了拉普拉斯变换法在电气工程及其自动化专业中的应用。

关键词：

拉普拉斯变换，微分方程，电路

目录：

拉普拉斯变换法在电路分析中的应用

正文：

在自动控制专业中，对信号处理时的传递函数理论分析、各类信号处理中的时-频域理论分析等内容要应用拉普拉斯变换进行处理；拉普拉斯变换是由复变函数积分引导出的—个非常重要的结论，

它在物理和应用数学中都占有很重要的地位。

1、运用拉普拉斯变换求解电路的基本方法

在物理教学中，常会碰到具有非零初始条件的电路求解问题。我们通常采用拉普拉斯变换法对电路进行求解。拉氏变换求解电路有两种方法 ；一是先根据电路及物理定律写出相应微分方程 ，再取拉氏变换求解；二是一开始就将电路中的每个元件取拉氏变换再运用 KCL 、KVL 定律建立代数方程求解 。

下面以《电磁学》课程中的RC 稳态过程及RLC 稳态过程为例，用拉氏变换的两种方法对电路进行分析求解。

例：图示电路，设电容器C 两端已充有电压，电压值为ε。求当开关K 闭合后，电路中的电容两端的电压Uc ，电路中的电流i 及电阻两端的电压U R 。

用一般方法进行求解，如上图RC 电路中，开关K 闭合前，电容C 已经充电，其电压ε=C u 。开关闭合后，电容储存的能量将通过电阻以热能形式释放出来。现把开关动作时刻取为计时起点（t=0）。开关闭合后，即t ≥+0时，根据基尔霍夫定律可得： 0

=+C R u u

将dt

du

C

i Ri u R -==,代入上述方程，有

0=-C u dt

du

RC

这是一阶齐次方程，初始条件()()ε==-+00C C u u ,令此方程得通解

,pt C Ae u =代入上式后有

()01=+pt Ae RCp

相应的特征方程为 01=+RCp 特征根为 RC

p 1-

= 根据()()ε==-+00C C u u ,以此代入,pt

C Ae u =则可求得积分常数

()ε==+0C u A .

这样，求得满足初始值的微分方程的解为 ()t RC

t RC

C C e

e

u u 110-

-+==ε （0≥t ）

这就是放电过程中电容电压C u 的表达式。 电路中的电流为

t RC t RC t RC e R e RC C e dt d C dt du C i 1

111---=⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛-=-=εεε （0≥t ） 电阻上的电压为 t RC

C R e

u u 1

-

-=-=ε （0≥t ）

用拉普拉斯变换法对上述题型进行求解如下：

解：设电路中的电阻R 及电容C 的电压参考方向如下图所示，k 闭合后：

U R +U C =0 即：iR+u C =0 （1） 因为：

dt

du C

i C

= （2）

对（2）式两边取拉氏变换得：

[]0L u dt du RC L c c =⎥⎦

⎤

⎢⎣⎡+⋅

由拉氏变换线性性质及微分性质得： ()()[]()00=+-s U u s sU RC C C C 由初始条件u c (0)=ε得： ()RC

s sRC RC

s U C 11

1+=+=ε

ε （3）

我们已经将一阶微分方程（2）式转化成了代数方程（3）式现在只需要（3）式的反拉氏变换即可得到原函数u c (t)。 直接求拉氏变换得： ()t RC

t RC

C C e

e u u 11

0-

-

+==ε （0≥t ）

故：

t RC t RC t RC e R e RC C e dt d C dt du C i 1

111---=⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛-=-=εεε （0≥t ） 即：

t RC

C R e

u u 1-

-=-=ε （0≥t ）

上述两种方法比较可知，拉普拉斯变换法解决此类问题比一般电路求解方法简便，从比较可以看出拉普拉斯变换法不论在理论研究还是在实际应用中都具有非常重要的意义。由此可以推广到拉普拉斯变换法在电路的稳态过程和电路复频域分析中两种复杂电路求解中的应用。

2、用拉普拉斯变换法分析电路的稳态过程

拉普拉斯变换是分析线性非时变网络的一种有效而重要的工具 ，在各种线性定常系统中，尤为重要，下面举例介绍拉普拉斯变换应用于动态电路的一种方法

例：一互感耦合的RL 电路，设在K 动作前电路处于稳态，图(a)所示，求响应i 1(t)、i 2(t)。 解 ：由图(b)可得变换方程 ：

[

]()()[]

()()

()()[

]

----+++++⎥⎦

⎤⎢⎣⎡=00000211122122

211Mi i L Mi i L s

E s

I s

I Ms sL R sL

R Ms

图 互感耦合电路的复频域变换 由初始条件i 1(0-)=0，可知i 2(0-)=0，代入上式可解得：

()()

()()

⎪⎭

⎪⎬⎫+=

-=s A R sL s E s I s A ME

s I 2

212 其中 ()()()2112212221R R s L R L R s M L L s A +++-= 设电路为无漏磁耦合，即0221=-M L L ，耦合系数12

1==

L L M

k 。