一元二次方程根的判别式及其应用
一元二次方程的根的判别式
一元二次方程的根的判别式一元二次方程的根的判别式是指b²-4ac，它可以用来判断方程的根的情况。
当b²-4ac>0时，方程有两个不相等的实数根；当b²-4ac=0时，方程有两个相等的实数根；当b²-4ac<0时，方程没有实数根。
判别式的应用包括不解方程判断根的情况、确定方程待定系数的取值范围、证明方程根的性质以及解决综合题。
正确理解判别式的性质并熟练灵活地运用它是本节的重点和难点。
举例来说，对于方程2x²-5x+10=0，其判别式为b²-4ac=(-5)²-4×2×10=－550，因此该方程有两个不相等的实数根。
对于方程x²-2kx+4(k-1)=0，其判别式为b²-4ac=(-2k)²-4×1×4(k-1)=4(k-2)²≥0，因此该方程有实数根。
对于方程2x²-(4m-1)x+(m-1)=0，其判别式为b²-4ac=(-(4m-1))²-4×2×(m-1)=4(2m-1)²+5>0，因此该方程有两个不相等实根。
对于方程4x²+2nx+(n²-2n+5)=0，其判别式为b²-4ac=(2n)²-4×4(n²-2n+5)=－12(n-4/3)²－176/33<0，因此该方程没有实数根。
解这类题目时，一般先求出判别式Δ=b^2-4ac，然后对XXX进行化简或变形，使其符号明朗化，进而说明Δ的符号情况，得出结论。
对判别式进行变形的基本方法有因式分解、配方法等。
在解题前，首先应将关于x的方程整理成一般形式，再求Δ=b^2-4ac。
当Δ≥0时，方程有实数根，反之也成立。
例2已知关于x的方程x-(m-2)x+m^2=0，求解以下问题：1)有两个不相等实根，求m的范围。
一元二次方程中根的判别式以及根与系数关系的应用
一元二次方程中根的判别式以及根与系数关系的应用【主体知识归纳】1．一元二次方程的根的判别式：b2－4ac叫做一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的根的判别式．通常用符号“Δ”来表示．2．对于一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0），当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程没有实数根．反过来也成立．3.如果关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的两个根是x1，x2，b那么x1+x2=-ac，x1x2=a4. 如果关于x的一元二次方程x2＋px＋q＝0（a≠0）的两个根是x1，x2，那么x1+x2=-p，x1x2=q【基础知识讲解】1．根的判别式以及根与系数的关系都体现了根与系数之间的联系22.根的判别式是指Δ＝b2－4ac，而不是指Δ＝．b4ac3．根的判别式与根与系数的关系都是在一元二次方程一般形式下得出的，因此，必须把所给的方程化为一般形式再判别根的情况．要注意方程中各项系数的符号．4．如果说一元二次方程有实根，那么应当包括有两个不相等的实数根和有两个相等的实数根两种情况，此时b2－4ac≥0，不要丢掉等号．5. 利用一元二次方程的根与系数的关系的前提是：（1）二次项系数a≠0，即保证是一元二次方程；（2）由于我们目前只研究实数根的问题，故还要考虑实数根存在的前提，即：b2－4ac≥06．判别式有以下应用：(1)不解方程，判定一元二次方程根的情况；(2)根据一元二次方程根的情况，确定方程中未知系数的取值范围；(3)应用判别式进行有关的证明．根与系数的关系有以下应用：(1)已知一根，求另一根及求知系数；(2)不解方程，求与方程两根有关的代数式的值；(3)已知两数，求以这两数为跟的方程；已知两数的和与积，求这两个数(4)确定方程中字母系数的取值范围(5)确定根的符号。
【例题罗列】根的判别式类型1：不解方程，判别下列方程的根的情况：（1）3x2－2x－1＝0；（2）y2＝2y－4；（3）（2k2＋1）x2－2kx＋1＝0；（4）9x2－（p＋7）x＋p－3＝0．（系数中有字母的情况）解：(1)∵Δ＝（－2）2－4×3×（－1）＝4＋12＞0，∴原方程有两个不相等的实数根．(2)原方程就是y2－2y＋4＝0．∵Δ＝（－2）2－4×1×4＝4－16＜0，∴原方程无实数根．(3)∵2k2＋1≠0，∴原方程为一元二次方程．又∵Δ＝（－2k）2－4（2k2＋1）×1＝－4k2－4＜0，∴原方程无实数根．(4)Δ＝［－（p＋7）］2－4×9×（p－3）＝（p－11）2＋36，∵不论p取何实数，（p－11）2均为非负数，∴(p－11)2＋36＞0，即Δ＞0，∴原方程有两个不相等的实数根．升级:如果关于x的方程x2＋2x＝m＋9没有实数根，试判断关于y的方程y2＋my－2m＋5＝0的根的情况．这是一类需要自己找出隐含条件的题解：∵x2＋2x－m－9＝0没有实数根，∴Δ1＝22－4(－m－9)＝4m＋40＜0，即m＜－10．又y 2＋my －2m ＋5＝0的判断式Δ2．Δ2＝m 2－4(－2m ＋5)＝m 2＋8m －20当m ＜－10时，m 2＋8m －20>0，即Δ2>0．∴方程y 2＋my －2m ＋5＝0有两个不相等的实数根．类型2：1.已知关于x 的一元二次方程(k －1)x 2＋2kx ＋k ＋3＝0．k 取什么值时，(1)方程有两个不相等的实数根? (2)方程有两个相等的实数根? (3)方程没有实数根?解：Δ＝(2k )2－4（k －1）（k ＋3）＝－8k ＋12．(1)当－8k ＋12＞0，且k －1≠0，即k ＜且k ≠1时，方程有两个不相等23的实数根；(2)当－8k ＋12＝0，且k －1≠0，即k ＝时，方程有两个相等的实数根；23(3)当－8k ＋12＜0，且k －1≠0，即k ＞时，方程没有实数根．23说明：当已知方程为一元二次方程时，要特别注意隐含的条件：二次项系数不等于零．2．已知a 、b 、c 是△ABC 的三边，且方程a(1+x 2)+2bx-c(1-x 2)=0有两个相等的实数根，则此三角形为（ ）A 、等腰三角形 B 、等边三角形 C 、直角三角形 D 、斜三角形 看到有两个相同的实数根立即判断 应用根的判别式解：原方程可化为（a+c ）x 2＋2bx ＋a-c ＝0，Δ＝(2b)2－4（a +c ）（a -c ）＝0得到a 2=b 2+c 2，因此此三角形为直角三角形。
一元二次方程根的判别式在函数中的应用
第 1 页 共 2 页 一元二次方程根的判别式在函数中的应用一、复习:(一) 根的判别式的含义：24b ac ∆=-（二） 模型: 根的判别式定理及逆定理：(_+∆→←−→根的判别式定理根的判别式定理的逆定理) ()()()⎪⎩⎪⎨⎧≠=++⇔<∆≠=++⇔=∆≠=++⇔>∆没有实数根一元二次方程有两个相等的实数根一元二次方程有两个不相等的实数根一元二次方程000000000222a c bx ax a c bx ax a c bx ax 0⇒∆≥⇔方程有实数根2222222440402424b b ac b b ac ax bx c a x x b ac a a a a --⎛⎫⎛⎫←++=→+=→+=→-≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭时方程才有实数解.二、授新课：根的判别式在函数中的应用 (从函数的角度)1. 用根的判别式可以判定直线与双曲线的交点情况.(从直线与双曲线的交点的个数的角度) 模型:⎪⎩⎪⎨⎧⇔<∆⇔=∆⇔>∆⇒=-+⇔⎪⎩⎪⎨⎧=+=直线与双曲线没有交点点直线与双曲线有一个交点直线与双曲线有两个交00002m bx kx x m y b kx y . 例1:（1）若一次函数1+=kx y 的图象与反比例函数k y x=的图象仅有一个交点时，求k 的值; （2）若一次函数1+=kx y 的图象与反比例函数k y x=的图象仅有两个交点时，求k 的值; （3）若一次函数1+=kx y 的图象与反比例函数k y x =的图象没有交点时，求k 的值; 2. 用根的判别式可以判定直线与抛物线的交点情况.(从直线与抛物线的交点的个数的角度)()⇒=-+-+⇔⎩⎨⎧++=+=022b c x k b ax c bx ax y b kx y ⎪⎩⎪⎨⎧⇔<∆⇔=∆⇔>∆直线与抛物线没有交点点直线与抛物线有一个交点直线与抛物线有两个交000 例2:(1)若直线1+=kx y 与抛物线122++=x x y 仅有一个公共点,求k 的值;(2)若直线1+=kx y 与抛物线122++=x x y 有两个公共点,求k 的值。
一元二次方程根的判别式及根与系数的关系
一元二次方程根的判别式及根与系数的关系（一）一、知识归纳：1.一元二次方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)的根的判别式是：△=b 2-4ac ，当△>0时；△=0；△<0时方程分别有两个不相等的实数根；有两个相等的实数根；没有实数根。
2.判别式“△”的应用：1)由“△”的符号判定方程根的情况；2)由“△”的符号，证明方程的根可能出现的情况；3)由方程的情况通过“△”的符号，确定方程中参数字母的取值范围。
例1. 关于x 的方程（m －1）x 2－2（m －3）x ＋m ＋2＝0有实数根．．．，求m 的取值范围。
解：当m －1≠0时, 该方程为关于x 一元二次方程∵原方程有实数根 ∴0≥∆即Δ＝［－2（m －3）］2－4（m －1）（m ＋2）＝－28m ＋440≥即711≤m ，当m-1=0时，该方程变为4x+3=0,它是一元一次方程，有实数根34x =-练习：1.关于x 的方程m 2x 2+(2m+1)x+1=0有两个不相等的实数．．．．．．．．．根．，求m 。
(注意二次项系数不为零)2.已知a ，b ，c 为一个三角形的三边，求证方程b 2x 2+(b 2+c 2-a 2)x+c 2=0无实数根。
3.已知方程x 2+2x=k-1没有实数根，求证方程x 2+kx=1-2k 必定有两个不相等的实数根。
4.已知x 1,x 2是关于x 的方程x 2+m 2x+n=0的两个实数根，y 1,y 2是关于y 的方程y 2+my+7=0两个实数根，且x 1-y 1=2, x 2-y 2=2，求m ，n 的值。
3．一般地，对于关于x 的一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0) 用求根公式求出它的两个根x 1、x 2 ，由一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的求根公式知x 1=a ac b b 242-+-,x 2=aacb b 242---能得出以下结果：x 1＋x 2= 即：两根之和等于x 1•x 2= 即：两根之积等于12x x +=a ac b b 242-+-+aacb b 242---=a acb b ac b b 24422----+- =12.x x =a ac b b 242-+-×aac b b 242---=2224)4)(4(a ac b b ac b b ----+- =2224)()(a -=由此得出，一元二次方程的根与系数之间存在得关系为 x 1+x 2=a b -， x 1x 2=ac 如果把方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的二次项系数化为1，则方程变形为 x 2＋ x ＋ac＝0(a ≠0)， 则以x 1，x 2为根的一元二次方程（二次项系数为1）是： x 2-（ ）x ＋x 1x 2＝0(a ≠0)3.一元二次方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)的两根为x 1,x 2它的根与系数的关系是：例1：已知方程5x 2＋k x -6＝0的一个根为2，求它的另一个根及k 的值； 解：设方程的另一个根是x 1，那么5621-=x （为什么？）∴ x 1= 又x 1+2=5k-（为什么？）∴ k= 例2：利用根与系数的关系，求一元二次方程2x 2＋3x -1＝0的两个根的（1）平方和 （2）倒数和 解：设方程的两个根分别为x 1，x 2，那么x 1+x 2= ， x 1x 2=（1）∵ （x 1+x 2）2= x 12+2 +x 22 ∴ x 12+x 22=（x 1+x 2）2-2 = （2）==+212111x x x x例3：求一个一元二次方程，使它的两个根是212313，- 解：所求的方程是x 2-（212313+-）x ＋（ ）212⋅＝0 (为什么？) 即 x 2+ x- ＝0 或 6x 2+ x- ＝0。
一元二次方程根的判别式知识点
一元二次方程根的判别式知识点及应用1、一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式定理：在一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)中，Δ=b24ac若△＞0则方程有两个不相等的实数根若△=0则方程有两个相等的实数根若△＜0则方程没有实数根2、这个定理的逆命题也成立，即有如下的逆定理：在一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)中，Δ=b24ac若方程有两个不相等的实数根，则△＞0若方程有两个相等的实数根，则△=0若方程没有实数根，则△＜0特别提示：（1）注意根的判别式定理与逆定理的使用区别：一般当已知△值的符号时，使用定理；当已知方程根的情况时，使用逆定理。
（2）一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)（Δ=b24ac）3、一元二次方程根的判别式的多种应用：一、不解方程，判断一元二次方程根的情况。
二、例1、判断下列方程根的情况三、2x2+x━1=0；x2—2x—3=0；x2—6x+9=0；2x2+x+1=0二、?已知一元二次方程根的情况，求方程中字母系数所满足的条件。
例2、当m为何值时关于x的方程（m—4）x2—（2m—1）x+m=0 有两个实数根？三、?证明方程根的性质。
例3、求证：无论m为任何实数，关于x的方程x2+（m2+3）x+0.5(m2+2)=0恒有两个不相等的实数根。
四、?判断二次三项式能否在实数范围内因式分解。
例4、当m为何值时，关于x的二次三项式mx2-2（m+2）x+（m+5）能在实数范围内因式分解。
五、?判定二次三项式为完全平方式。
例5、若x2-2（k+1）x+k2+5是完全平方式，求k的值。
例6、当m为何值时，代数式（5m-1）x2-（5m+2）x+3m—2是完全平方式。
六、?利用判别式构造一元二次方程。
例7、已知：（z-x）2-4（x-y）（y-z）=0（x≠y）求证：2y=x+z七、?限制一元二次方程的根与系数关系的应用。
例8、已知关于x的方程x2-（k-1）x-3k-2=0的两个实数根的平方和为17，求k的值。
一元二次方程根的判别式及根与系数关系的应用
２０２３年９月下半月㊀学习指导㊀㊀㊀㊀一元二次方程根的判别式及根与系数关系的应用◉云南省曲靖市马龙区第三中学㊀刘㊀陈㊀㊀摘要:结合五则典例,探讨一元二次方程根的判别式及根与系数的关系在判断三角形的形状㊁求代数式的值㊁构造倍根方程㊁求代数式的最值㊁求参数的值等方面的运用,帮助学生积累数学活动经验,发展学生核心素养．关键词:一元二次方程;判别式;数学活动经验;核心素养㊀㊀一元二次方程根的判别式及根与系数的关系,可用来判断三角形的形状,求代数式的值,构造倍根方程,求代数式的最值,求参数的值等,这些应用一方面体现了根的判别式及根与系数关系的价值,另一方面也使学生体会到了不同数学知识之间的联系,有利于加深学生对这一部分数学知识的理解与掌握．１判断三角形的形状当一元二次方程的系数或它的两个根是三角形的边长时,一元二次方程和三角形之间就有了联系,利用一元二次方程根的情况可以判断三角形的形状[１]．例１㊀已知әA B C的三边长分别为a,b,c,方程(a＋c)x２＋２b x＋(a－c)＝０是关于x的一元二次方程．(１)当x＝－１时,你能确定әA B C的形状吗?为什么?(２)当方程有两个相等的实根时,你能确定әA B C的形状吗为什么?解析:(１)由题意,把x＝－１代入方程,得a＋c－２b＋a－c＝０,整理得a＝b．因为a,b,c分别为әA B C 三边的长,所以әA B C为等腰三角形．(２)由题意,Δ＝(２b)２－４(a＋c)(a－c)＝０,整得得b２＋c２＝a２．因为a,b,c分别为әA B C三边的长,所以由勾股定理的逆定理,得әA B C为直角三角形．评注:当三角形的三边为一元二次方程的系数时,三角形的形状与一元二次方程根的情况也有了联系,本题设置的两个问题对此做了很好的诠释．２求代数式的值当m,n是一元二次方程a x２＋b x＋c＝０的两个根时,根据韦达定理,得m＋n＝－ba,m n＝c a．根据方程根的定义,得a m２＋b m＋c＝０,a n２＋b n＋c＝０;反之,aʂ０时,当m,n满足等式a m２＋b m＋c＝０,a n２＋b n＋c＝０时,则m,n是一元二次方程a x２＋b x＋c＝０的两个根．例２㊀问题情境:小明在学习中遇到了这样一道题 已知字母a,b满足a２－２a－１＝０,b２－２b－１＝０,且aʂb,试求１a＋１b的值．小明的解答为:因为字母a,b满足的两个方程形式一致,所以a,b可以看作方程x２－２x－１＝０的两根,根据根与系数的关系,得a＋b＝２,a b＝－１,所以１a＋１b＝a＋b a b＝２－１＝－２．根据小明的解答过程,请解决下列问题:(１)已知不互为倒数的两个字母a,b分别满足２a２＋１１a＋１２＝０,１２b２＋１１b＋２＝０,求b a的值．(２)已知x１,x２是方程(m－１)x２＋２m x＋２＝０的两个根,且满足x２x１＋x１x２＋x１＋x２＝２．若a,b,c是әA B C的三边长,且c＝２３,m２＋a２m－８a＝０．m２＋b２m－８b＝０．试求m的值以及әA B C的面积．解析:(１)将１２b２＋１１b＋２＝０两边都除以b２,得２(１b)２＋１１ˑ１b＋１２＝０．又因为２a２＋１１a＋１２＝０,所以a与１b为方程２x２＋１１x＋１２＝０的两根,根据根与系数,得a１b＝６．故ba＝１６．(２)因为x１,x２是方程(m－１)x２＋２m x＋２＝０的两个根,所以x１＋x２＝－２m m－１,x１x２＝２m－１,１６Copyright©博看网. All Rights Reserved.学习指导２０２３年９月下半月㊀㊀㊀m ʂ１．由x ２x １＋x １x ２＋x １＋x ２＝２,整理得m ２－３m ＋２＝０,解得m １＝２,m ２＝１(舍去)．因此可得a ２－４a ＋２＝０,b ２－４b ＋２＝０,则a ,b 为方程x ２－４x ＋２＝０的两根,于是a ＋b ＝４,a b ＝２,所以a ２＋b ２＝(a ＋b )２－２a b ＝１２＝c ２,根据勾股定理的逆定理,得әA B C 为直角三角形,故S әA B C ＝１２a b ＝１．所以m 的值为２,әA B C 的面积为１．评注:本题第(２)小题以m 作为联系的纽带,根据第一个方程中根与系数的关系求出m 的值,然后代入关于a ,b 的方程中消去m ,从而显现出a ,b 的本质,再与勾股定理的逆定理结合,使问题转化为几何问题[２]．３求代数式的最值利用一元二次方程根与系数的关系可以求与两根有关的代数式的值,也可以求代数式的最值．当一元二次方程有实数根时,根的判别式大于或等于０,可以据此求得字母的取值范围,当所求代数式化为含有该字母的代数式时,就可以求得它的最值．例３㊀一元二次方程根与系数的关系反映了一元二次方程两根之和㊁两根之积与系数之间的数量关系,相应的命题被称为韦达定理,根据韦达定理解决下面问题:(１)已知m ,n 是一元二次方程２x ２－３x ＋１＝０的两个根,试计算m ＋n 与m n 的值;(２)如果实数m ,n (m ʂn )分别满足方程m ２－m －１＝０,n ２－n －１＝０,求代数式１m ＋１n的值;(３)设方程２x ２＋４x ＋m ＝０的两个根分别是x １,x ２,你能求出x ２１＋x ２２的最小值吗?解析:(１)由韦达定理,得m ＋n ＝３２,m n ＝１２．(２)因为实数m ,n 满足m ２－m －１＝０,n ２－n －１＝０且m ʂn ,所以m ,n 可看作方程x ２－x －１＝０的两根．根据韦达定理,得m ＋n ＝１,m n ＝－１．故１m ＋１n ＝m ＋nm n ＝－１．(３)因为x １,x ２是方程２x ２＋４x ＋m ＝０的两个根,所以Δ＝４２－４ˑ２ˑm ȡ０,即m ɤ２．根据题意,可得x １＋x ２＝－２,x １x ２＝m ２,则x ２１＋x ２２＝(x １＋x ２)２－２x １x ２＝４－m ．由m ɤ２,得４－m ȡ２,所以x ２１＋x ２２的最小值为２．评注:当a ȡb (b 为常数)时,a 有最小值,且最小值为b ;当a ɤb (b 为常数)时,a 有最大值,且最大值为b ．４探讨代数式的值能否为定值对于与一元二次方程的根有关的代数式的值能否为定值这类问题,应先假设这个代数式的值能为定值,从而建立方程求得字母的值,然后检验这个值能否满足原方程有实根,使原方程有实根的值就是符合题意的值．例４㊀已知关于x 的方程k x ２＋(１－k )x －１＝０．(１)若该方程有两个不等实根,求k 的取值范围．(２)设x １,x ２是方程k x ２＋(１－k )x －１＝０的两个根,记S ＝x ２x １＋x １x ２＋x １＋x ２,试问S 的值能为４吗?若能,求出此时k 的值,并说明理由．解:(１)根据一元二次方程的定义和判别式的意义,得k ʂ０且Δ＝(１－k )２－４k ˑ(－１)＞０,整理,得(１＋k )２＞０,解得k ʂ０且k ʂ－１．(２)根据题意,得x １＋x ２＝－１－k k ,x １x ２＝－１k．假设S ＝x ２１＋x ２２x １x ２＋x １＋x ２＝(x １＋x ２)２－２x １x ２x １x ２＋x １＋x ２＝４,可得(x １＋x ２)２－６x １x ２＋x １x ２(x １＋x ２)＝０,即(１－k )２k２－６(－１k )＋(－１k ) (－１－kk )＝０,整理得k ２＋３k ＋２＝０,解得k １＝－１,k ２＝－２．因为k ʂ０且k ʂ－１,所以当k ＝－２时,S 的值能为４．评注:一元二次方程根与系数的关系是在方程有实根的情况下进行讨论的,所以利用根与系数关系得到的字母的值,一定要看这个值是否在方程有实根时求得的字母取值范围之内．只有在这个取值范围之内的值才是符合题意的值．积累数学活动经验是数学教学的目标之一．以上四种类型有关根的判别式及根与系数关系的应用,有利于学生明白二者之间的依存关系,以及如何利用这两个工具解答相关问题,也有利于学生积累解题经验,促进学生核心素养的发展．参考文献:[１]黄细把．一元二次方程 联姻 三角形[J ]．今日中学生,２０１５(Z ６):２５Ｇ２６．[２]朱亚邦．勾股定理(逆定理)应用的几种场景[J ]．中学生数理化(八年级数学)(配合人教社教材),２０１７(３):１６Ｇ１７．Z ２６Copyright ©博看网. All Rights Reserved.。
一元二次方程判别式
十二、判别式及其应用一、一元二次方程的根的判别式:一元二次方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)的根的判别式△＝b 2-4ac 当△＞0时，方程有两个不相等的实数根； 当△＝0时，方程有两个相等的实数根， 当△＜0时，方程没有实数根． 二、判别式的应用：(1)运用判别式，判定方程实根的个数(2)利用判别式，建立等式、不等式,求方程中参数值或取值范围. (3)通过判别式，证明与方程相关的代数问题.(4)借助判别式，运用一元二次方程必有解的代数模型解代数问题.问题一、利用判别式,判定方程根的个数.例1.关于x 的一元二次方程01)12(2=-+++k x k x 的根的情况是（ ）. A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根 C.没有实数根 D.根的情况无法判断222222.0,||,,()0( )a b c a b c x x b a c x b +>>-<++-+=例2设且那么关于的一元二次方程a 的根的情况A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根C.没有实数根D.根的情况无法判断222222.0,||,,()0( )a b c a b c x a x b a c x b +>>->++-+=变式1设且那么关于的方程的根的情况A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根C.没有实数根D.根的情况无法判断222222.0,||,,()0( )a b c a b c x x b a c x b +>>-<++-+=变式2设且那么关于的方程a 的根的情况A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根C.没有实数根D.根的情况无法判断例3.已知关于x 的方程02)22=++-k x k x （. (1)求证：无论k 取任何实数值，方程总有实数根；(2)若等腰三角形ABC 的一边长为a=1,另两边长b 、c 恰好是这个方程的两个根，求△ABC 的周长；练习1.如果一直角三角形的三边长分别为a 、b 、c ，∠B=90°，那么，关于x 的方程0)1(2)1(22=++--x b cx x a 的根的情况是（ ）. A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根 C.没有实数根 D.根的情况无法判断练习2.关于x 的方程068)6(2=+--x x a 有实数根，则整数a 的最大值（ ）. A.6 B.7 C.8 D.922.(31)220.(1):,;(2)6,,,,.x x k x k k k ABC a b c -+++==练习3已知关于的方程求证无论取何实数值方程总有实数根若等腰三角形的一边长另两边恰好是这个方程的两个根求此三角形的周长练习4.已知a>0,b>a+c.判断关于x 的方程02=++c bx ax 的根的情况，并给出必要的说明.问题二、求参数的值或取值范围例4.已知一元二次方程04)2422=+--k x k x （有两个不相等的实数根.则k 的最大整数值为_________.例5.关于x 的一元二次方程012)13(2=-+--m x m mx ，其根的判别式的值为1，求m 的值及该方程的根.例6.已知函数xy 2=和)0(1≠+=k kx y . （1） 若这两个函数的图像都经过点（1,a ）,求a 和k 的值； （2） 当k 取何值时，这两个函数的图像总有公共点？例7.对于实数a,只有一个实数值x 满足等式012211112=-++++-+-+x a x x x x x ，试求所有这样的实数a 的和.例8.关于x 的方程a x x =-12仅有两个不同的实根，则实数a 的取值范围是（ ）.A.a>0B.a ≥4C.2<a<4D.0<a<4练习5.如果关于x 的一元二次方程0962=+-x kx 有两个不相等的实数根，那么k 的取值范围是（ ）.A.k<1B.k ≠0C.k<1且k ≠0D.k>1练习6.如果方程0)4(523=-++-k x k x x 的三个根可以作为一个等腰三角形的三边长，则实数k 的值为_________.练习7.设方程42=+ax x 只有3个不相等的实数根，求a 的值和相应的3个根.问题三、运用一元二次方程必有解的代数模型解代数问题 例9．已知x z y =-33,求证:2y ≥xz 4．例10．已知实数a ，b 满足6)3()3(22=-+-b a ,求ab的最大值．22.,,3330, , .x y x xy y x y x y ++--+===练习8若为实数且则.,,30,a b a b u+-==练习9已知都是正数且求代数式1.;2.; 1.; 2.;3.(2)5 1. 2. 3.1622A C D CB B例例变式变式例练习；练习；练习或；11314.;5.2;6.(1)2,1;(2)0;7.;8.;482 k m a k k k D<===≥≠-例例例且例例1231235.;6.4;7.4,2,22-4,2,22C a x x xa x x x==-=-+=--===+=-练习练习练习当时当时10.3.x=1,y=1;.u=2+例练习8练习9。
一元二次方程根的判别式的六种常见应用
一元二次方程根的判别式的六种常见应用所以kx2＋2x＋1＝0是一个关于x的一元二次方程。
利用根的判别式，Δ＝(2)2－4(k)(1)＝4－4k.当Δ<0时，方程没有实数根；当Δ=0时，方程有一个实数根；当Δ>0时，方程有两个不相等的实数根。
所以，答案为C．有两个不相等的实数根。
应用5：利用根的判别式解函数的最值问题6．已知函数f(x)＝x2－2x＋3，求f(x)的最小值．解：f(x)＝x2－2x＋3＝(x－1)2＋2＞2.由于平方项非负，所以当且仅当x＝1时，(x－1)2＝0，f(x)取得最小值3.所以，f(x)的最小值为3.一元二次方程根的判别式有着广泛的应用。
下面介绍其中的六种常见应用。
应用1：利用根的判别式判断一元二次方程根的情况。
例如，已知方程x2－2x－m＝0没有实数根，其中m是实数，试判断方程x2＋2mx＋m(m＋1)＝0是否有实数根。
解法如下：由于x2－2x－m＝0没有实数根，因此判别式Δ1=（－2）2－4·（－m）＝4＋4m4，因此方程有两个不相等的实数根。
应用2：利用根的判别式求字母的值或取值范围。
例如，已知关于x的方程x2＋2mx＋m2－1＝0，要求不解方程，判别方程根的情况，以及若方程有一个根为3，求m的值。
解法如下：对于方程x2＋2mx＋m2－1＝0，判别式Δ=（2m）2－4·（m2－1）＝4＋4=8＞0，因此方程有两个不相等的实数根。
又因为方程有一个根为3，代入方程可得2m2－7m＋5＝0，解得m＝1或m＝5/2.但由于方程的两个根不相等，因此m≠2，因此m＝1.应用3：利用根的判别式求代数式的值。
例如，已知关于x的方程mx2－（m＋2）x＋2＝0有两个相等的实数根，求m的值。
解法如下：对于方程mx2－（m＋2）x＋2＝0，判别式Δ＝（m＋2）2－4m·2＝（m－2）2≥0，因此不论m为何值，方程总有实数根。
又因为方程有两个相等的实数根，因此Δ＝0，解得m＝1.应用4：利用根的判别式解与函数综合问题。
根的判别式的六种常见应用
根的判别式的六种常见应用方法指导：对于一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，式子b2－4ac的值决定了一元二次方程的根的情况，利用根的判别式可以不解方程直接判断方程根的情况，反过来，利用方程根的情况可以确定方程中待定系数的值或取值范围．应用1：利用根的判别式判断一元二次方程根的情况1．已知方程x2－2x－m＝0没有实数根，其中m是实数，试判断方程x2＋2mx＋m(m＋1)＝0有无实数根．2．已知关于x的方程x2＋2mx＋m2－1＝0.(1)不解方程，判别方程根的情况；(2)若方程有一个根为3，求m的值．应用2：利用根的判别式求字母的值或取值范围3．已知关于x的一元二次方程mx2－(m＋2)x＋2＝0，(1)证明：不论m为何值，方程总有实数根；(2)m为何整数时，方程有两个不相等的正整数根．应用3：利用根的判别式求代数式的值4．已知关于x的方程x2＋(2m－1)x＋4＝0有两个相等的实数根，求m－1（2m－1）2＋2m的值．应用4：利用根的判别式解与函数综合问题5．y ＝k －1x ＋1是关于x 的一次函数，则一元二次方程kx 2＋2x ＋1＝0的根的情况为( )A ．没有实数根B ．有一个实数根C ．有两个不相等的实数根D ．有两个相等的实数根应用5： 利用根的判别式确定三角形的形状6．已知a ，b ，c 是三角形的三边长，且关于x 的一元二次方程(a ＋c)x 2＋bx ＋a －c 4＝0有两个相等的实数根，试判断此三角形的形状．应用6： 利用根的判别式探求菱形条件7．已知▱ABCD 的两边AB ，AD 的长是关于x 的方程x 2－mx ＋m 2－14＝0的两个根． (1)m 为何值时，▱ABCD 是菱形？并求出菱形的边长．(2)若AB 的长为2，求▱ABCD 的周长是多少？参考答案1．解：∵x 2－2x －m ＝0没有实数根，∴Δ1＝(－2)2－4·(－m)＝4＋4m<0，即m<－1.对于方程x 2＋2mx ＋m(m ＋1)＝0，Δ2＝(2m)2－4·m(m ＋1)＝－4m>4，∴方程x 2＋2mx ＋m(m ＋1)＝0有两个不相等的实数根．2．解：(1)Δ＝b 2－4ac ＝(2m)2－4×1×(m 2－1)＝4m 2－4m 2＋4＝4＞0， ∴方程有两个不相等的实数根．(2)将x ＝3代入方程中，得9＋2m ×3＋m 2－1＝0，即m 2＋6m ＋9＝1，∴(m ＋3)2＝1.∴m ＋3＝±1. ∴m 1＝－2，m 2＝－4.3．(1)证明：Δ＝[－(m ＋2)]2－8m ＝m 2－4m ＋4＝(m －2)2.∵不论m 为何值，(m －2)2≥0，即Δ≥0.∴不论m 为何值，方程总有实数根．(2)解：解关于x 的一元二次方程mx 2－(m ＋2)x ＋2＝0，得x ＝m ＋2±Δ2m ＝m ＋2±（m －2）2m. ∴x 1＝2m，x 2＝1. ∵方程的两个根都是正整数，∴2m是正整数，∴m ＝1或m ＝2. 又∵方程的两个根不相等，∴m ≠2，∴m ＝1.4．解：∵关于x 的方程x 2＋(2m －1)x ＋4＝0有两个相等的实数根， ∴Δ＝(2m －1)2－4×1×4＝0，即2m －1＝±4.∴m ＝52或m ＝－32. 当m ＝52时，m －1（2m －1）2＋2m ＝52－116＋5＝114； 当m ＝－32时，m －1（2m －1）2＋2m ＝－32－116－3＝－526.5．A 解析：∵y ＝k －1x ＋1是关于x 的一次函数， ∴k －1≠0.∴k －1>0，解得k>1.又一元二次方程kx 2＋2x ＋1＝0的判别式Δ＝4－4k ， ∴Δ<0.∴一元二次方程kx 2＋2x ＋1＝0无实数根，故选A .6．解：∵方程(a ＋c)x 2＋bx ＋a －c 4＝0有两个相等的实数根， ∴Δ＝b 2－4(a ＋c)·a －c 4＝b 2－(a 2－c 2)＝0. 即b 2＋c 2＝a 2，∴此三角形是直角三角形．7．解：(1)∵▱ABCD 是菱形，∴AB ＝AD.∴Δ＝0，即m 2－4⎝⎛⎭⎫m 2－14＝m 2－2m ＋1＝0，∴m ＝1.此时原方程为x 2－x ＋14＝0， ∴x 1＝x 2＝12， ∴当m ＝1时，▱ABCD 是菱形，菱形ABCD 的边长为12. (2)∵AB ＝2，∴将x ＝2代入原方程得4－2m ＋m 2－14＝0， 解得m ＝52， 故原方程为x 2－52x ＋1＝0， 解得x 1＝2，x 2＝12，∴AD ＝12. 故▱ABCD 的周长为2×⎝⎛⎭⎫2＋12＝5.。
05-一元二次方程根的判别式及应用
5、已知关于 的方程 有两个不相等的实数根，求 的最大整数值
6、当 为何值时，方程
有两个不相等的实数根
有两个相等的实数根
方程无实数根
一元二次方程的应用
【知识点归纳】
1、列方程解应用问题的步骤是什么？
1审题，②设未知数，③列方程，④解方程（并检验）⑤写答．
7、一块长方形场地面积是300平方米，一边比另一边多5米，求该场地两邻边的长
8、有一长方形水池，长比宽多3米，从水池中放出32吨水后，水池中的水面下降了0.8米，求水池的长和宽
3、家庭作业
1、若关于x的一元二次方程kx2-6x+1=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是 ．
2、若|b−1|+ =0，且一元二次方程kx2+ax+b=0有两个实数根，则k的取值范围是 ．
【例题】
1、一块长方形绿地的面积为1200平方米，并且长比宽多10米，那么长和宽各为多少米？
2、某工厂七月份的产值是100万元，计划九月份的产值要达到144万元.如果每月产值的增长率相同，求这个增长率.
3、如图，某拆迁工地利用夹角为135°的两面墙，再用总长为24米的铁丝网围成一个 为42平方米的直角梯形露天仓库（图中为ABCD），求AB，BC的长为多少米？
3、一种药原价每瓶30元，经过两次大幅度降价后，现在每瓶售价10.80元，问平均每次降低百分之几？
4、张大叔从市场上买回一块矩形铁皮，他将此矩形铁皮的四个角各剪去一个边长为1米的正方形后，剩下部分刚好能围成一个容积为15平方米的无盖长方体运输箱，且此长方体运输箱底面积的长比宽多2米，现已知购买这种铁皮每平方米需20元，问张大叔购买这张矩形铁皮共花多少钱？
一元二次方程根的判别式的应用
一元二次方程根的判别式的应用一元二次方程根的判别式一元二次方程（）的根的判别式为,用“”表示,所以02=++c bx ax 0≠a ac b 42-∆.ac b 42-=∆应用一、不解方程,判断一元二次方程根的情况对于一元二次方程（）,当≥0时,方程有两个实数根;02=++c bx ax 0≠a ac b 42-=∆当时,方程无实数根.042<-=∆ac b 具体判断结果为:（1）当时,一元二次方程有两个不相等的实数根;042>-=∆ac b （2）当时,一元二次方程有两个相等的实数根;042=-=∆ac b （3）当时,一元二次方程没有实数根.042<-=∆ac b 反之亦成立.用根的判别式判断一元二次方程的根的情况的一般步骤:（1）把一元二次方程化为一般式;（2）确定的值（注意符号）;c b a ,,（3）计算的值;ac b 42-=∆（3）根据的符号确定一元二次方程根的情况.∆例1. 不解方程,判断下列方程的根的情况:（1）;（2）; 2532-=x x 041242=+-x x （3）.()0142=-+y y 分析:不解方程,判断一元二次方程根的情况时,要先把一元二次方程化为一般形式,然后准确确定的值,包括符号,再计算出的值,由的符号确定一元二次方程根c b a ,,ac b 42-=∆∆的情况.解:（1）02532=+-x x ∵ ()01242523452>=-=⨯⨯--=∆∴该方程有两个不相等的实数根;（2）∵ ()044414422=-=⨯⨯--=∆∴该方程有两个相等的实数根;（3）0442=+-y y ∵ ()06364144412<-=-=⨯⨯--=∆∴该方程没有实数根.例2. 求证:对于任何实数,关于的一元二次方程总有两个不相等的m x 02222=-+-m mx x 实数根.分析:本题只需证明对于任何实数,该方程根的判别式总是大于0即可.m ∆证明: ()()22422---=∆m m ()()4144124884222+-=++-=+-=m m m m m∵≥0 ()21-m ∴,即 ()04142>+-m 0>∆∴对于任何实数,该方程总有两个不相等的实数根.m 习题1. 若关于的不等式的解集为,则关于的方程的根的情x 12<-a x 1<x x 012=++ax x 况是【 】（A ）有两个相等的实数根（B ）有两个不相等的实数根 （C ）无实数根（D ）无法确定 习题2. 不解方程,判断下列方程根的情况:（1）;（2）; 2432+=x x ()()08222=--+x x （3）.03232=-+x x习题3. 证明:对于任何实数,关于的方程总有两个不相等的实数根. m x ()()221m x x =--习题4. 已知关于的方程.x 022=-++m mx x （1）若此方程的一个根为1,求的值;m （2）求证:不论取何实数,此方程都有两个不相等的实数根.m应用二、已知一元二次方程根的情况,求字母的值或取值范围有下面的结论:（1）若一元二次方程（）有实数根,则≥0; 02=++c bx ax 0≠a ac b 42-=∆①若一元二次方程有两个不相等的实数根,则;042>-=∆ac b ②若一元二次方程有两个相等的实数根,则.042=-=∆ac b （2）若一元二次方程（）没有实数根,则. 02=++c bx ax 0≠a 042<-=∆ac b 例3. 当为何值时,关于的一元二次方程:k x 0542=-+-k x x （1）有两个不相等的实数根;（2）有两个相等的实数根;（3）没有实数根.分析:先得到的表达式,然后根据方程根的情况确定的符号,从而建立相应的关于的不∆∆k 等式求解.解: ()()k k 4365442-=---=∆（1）∵该方程有两个不相等的实数根∴,即0>∆0436>-k 解之得:;9<k （2）∵该方程有两个相等的实数根∴,即0=∆0436=-k 解之得:;9=k （3）∵该方程没有实数根∴,即,解之得:.0<∆0436<-k 9>k易错警示:在已知一元二次方程根的情况下确定字母的值或取值范围时,不要忽视二次项系数不等于0的限制.例4. 已知关于的一元二次方程有实数根,求实数的取值范x ()()0112122=+++-x m x m m 围.分析:一元二次方程有实数根的结论是其≥0.∆错解: ()[]()141222--+=∆m m()884448444142222+=+-++=+-+=m m m m m m ∵该一元二次方程有实数根∴≥0,即≥0∆88+m 解之得:≥m 1-∴实数的取值范围是≥.m m 1-错因分析:错解忽视了一元二次方程的二次项系数受到不等于0的限制.正解: ()[]()141222--+=∆m m()884448444142222+=+-++=+-+=m m m m m m ∵该一元二次方程有实数根∴ ⎩⎨⎧≥+=∆≠-088012m m 解之得:且1->m 1≠m ∴实数的取值范围是且.m 1->m 1≠m 例5. 若为△ABC 的三边长,且关于的一元二次方程c b a ,,x ()()022=-+-+-a b x b a x c b 有两个相等的实数根,试判断△ABC 的形状,并说明理由.解:△ABC 为等腰三角形.理由如下: ()[]()()a b c b b a ----=∆422acbc ab a acbc ab b b ab a 444444444842222-+-=-++-+-==()()c a b a --4∵该方程有两个相等的实数根∴()()04=--=∆c a b a ∴或0=-b a 0=-c a ∴或b a =c a =∴△ABC 为等腰三角形.习题5. 关于的一元二次方程有两个不相等的实数根,则实数的取值范围x 062=+-b x x b 是__________.习题6. 若关于的一元二次方程有实数根,则的取值范围是__________. x 0122=-+x kx k 习题7. 在△ABC 中,,且关于的方程有两个相等b AC AB BC ===，32,2x 042=+-b x x 的实数根,则AC 边上的中线长为_________.习题8. 若关于的方程有两个不相等的实数根,则的值可以是【 】x 012=++mx x m （A ）0 （B ） （C ）2 （D ）1-3-习题9. 关于的一元二次方程有实数根,则的取值范围是【 】x ()01222=+--m x m x m （A ）（B ）≤ 0≠m m 41（C ） （D ） 41<m 41>m 习题10. 一元二次方程的根的情况是__________________.()()3211+=-+x x x 习题11. 关于的一元二次方程.x 012=++bx ax （1）当时,利用根的判别式判断方程根的情况;2+=a b （2）若方程有两个相等的实数根,写出一组满足条件的的值,并求此时方程的根. b a ,习题12.若为△ABC 的三边长,当时,关于的方程有两c b a ,,0>m x ()()0222=--++ax m m x b m x c 个相等的实数根,求证:△ABC 为直角三角形.应用三、判断抛物线与轴的相交情况x 当抛物线与轴相交时,,对应的一元二次方程()02≠++=a c bx ax y x 0=y 有实数根,此时≥0;当抛物线与()002≠=++a c bx ax ac b 42-=∆()02≠++=a c bx ax y x 轴无交点时,对应的一元二次方程无实数根,此时.因()002≠=++a c bx ax 042<-=∆ac b 此,抛物线与轴的相交情况可以转化为对应的一元二次方程根的情况.于是,我们既可以用x 判别式来判断一元二次方程根的情况,又可以判断抛物线与轴的相交情ac b 42-=∆x 况.“”被赋予了鲜明的代数意义和几何意义.∆（1）当时,一元二次方程有两个不相等的实数根042>-=∆ac b ()002≠=++a c bx ax ,抛物线与轴有两个不同的交点、;21,x x ()02≠++=a c bx ax y x ()0,1x ()0,2x （2）当时,一元二次方程有两个相等的实数根042=-=∆ac b ()002≠=++a c bx ax ,抛物线与轴只有一个交点,即; 21x x =()02≠++=a c bx ax y x ⎪⎭⎫ ⎝⎛-0,2a b （3）当时,一元二次方程没有实数根,抛物线042<-=∆ac b ()002≠=++a c bx ax 与轴无交点.()02≠++=a c bx ax y x 例6. 判断下列抛物线与轴的相交情况:x （1）;（2）;1432++=x x y 962-+-=x x y （3）.1242+-=x x y 分析:同判断一元二次方程根的情况,判断抛物线与轴的相交情况时,要先将抛物线的解析x式化为一般式,然后进行判断.解:（1）∵0412*******>=-=⨯⨯-=∆∴抛物线与轴有两个交点;1432++=x x y x （2）∵()()0363691462=-=-⨯-⨯-=∆∴抛物线与轴只有一个交点;962-+-=x x y x （3）∵ ()01216414422<-=-=⨯⨯--=∆∴抛物线与轴无交点.1242+-=x x y x 例7. 已知抛物线.122-++=m x x y （1）当取何值时,抛物线与轴有两个交点?m x （2）当取何值时,抛物线与轴只有一个交点?并求出这个交点坐标;m x （3）当取何值时,抛物线与轴没有交点?m x 解:()m m 481422-=--=∆（1）∵抛物线与轴有两个交点x ∴,即0>∆048>-m 解之得:;2<m （2）∵抛物线与轴只有一个交点x ∴,即0=∆048=-m 解之得:2=m 此时,交点坐标为;()0,1-（3）∵抛物线与轴没有交点x ∴,即0<∆048<-m 解之得:.2>m 习题13. 抛物线与轴没有交点,则的取值范围是__________.m x x y +-=62x m 习题14. 抛物线与坐标轴有且只有2个交点,则_________. ()m x x m y 21212++-==m 提示:由题意可知该抛物线与轴只有一个交点,所以且.x 0=∆01≠-m应用四、判断抛物线与直线的相交情况在同一平面直角坐标系中,判断抛物线与直线的相交情况时,可以将问题转化为它们的解析式组成的一元二次方程的根的情况.例8. 当取何值时,抛物线与直线只有一个交点? m 122-++=m x x y m x y 2+=解:由两个函数的解析式可得方程组:⎩⎨⎧+=-++=mx y m x x y 2122整理得到:012=--+m x x ∵抛物线与直线只有一个交点122-++=m x x y m x y 2+=∴()0541412=+=++=∆m m 解之得: 45-=m ∴当时,抛物线与直线只有一个交点. 45-=m 122-++=m x x y m x y 2+=习题15. 若直线与抛物线有交点,则的取值范围是【 】m x y +=x x y 32+=m （A ）≥ （B ）≤m 1-m 1-（C ） （D ）1>m 1<m 应用五、和二次项系数结合确定抛物线与轴的两个交点之间的距离x 对于抛物线,当时,抛物线与轴有两个不同的交()02≠++=a c bx ax y 042>-=∆ac b x 点、,这两个交点之间的距离为. ()0,1x ()0,2x ax x ∆=-21习题16. 求当为何值时,二次函数的图象与轴的两个交点之间的距a 3222++-=a ax x y x 离是3.（答案:或） 23-=a 27=a。
一元二次方程根的判别式的意义及应用
教学目标（一）使学生掌握一二次方程的根的判别式。
（二）使学生会运用根的判别式，在不解方程的前提下判别根的情况。
教学重点和难点重点：一元二次方程的根的判别式的运用。
难点：对一元二次方程的根的判别式的结论的理解。
教学过程设计（1）（一）复习提问，引入新课1．什么元二次方程ax2+bx+c=0的求根公式？2．公式适用条件是什么？（二）新课1． 1．根的判别式念在一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)中，代数b2-4ac起着重要的作用，我们把它叫做根的判别式，通常用记号△表示，即△=b2-4ac (注意不是△=)2． 2．根的判别式的应用（实际上就是定理）用三个定理来表示（我们通常把记号A B表示为A是命题的条件，B是命题的结论）于是有：定理1ax2+bx+c=0(a≠0)中，△＞0方程有两个不等实数根定理2ax2+bx+c=0(a≠0)中，△=0方程有两个相等实数根定理3ax2+bx+c=0(a≠0)中，△＜0方程没有实数根注意：根据课本P27第8行的“反过来也成立”，得另三个定理，那就是定理4 ax2+bx+c=0(a≠0)中，方程有两个不等实数根△＞0定理5ax2+bx+c=0(a≠0)中，方程有两个相等实数根△=0定理6ax2+bx+c=0(a≠0)中，方程没有实数根△＜0显然，定理1与定理4，互为逆定理，定理2与定理5，互为逆定理，定理3与定理6，互为逆定理。
定理1，2，3的作用是用已知方程的系数，来判断根的情况。
定理4，5，6的作用是已知方程根的情况，来确定系数之间的关系，进而求出系数中某些字母的值。
（三）应用举例例1 不解方程，判别下列方程根的情况。
（1）2x2+3x-4=0; (2)16y2+9=24y; (3)5(x2+1)-7x=0解：（1）因为△=32-4×2（-4）=9+32>0;所以原方程有两个不相等的实数根。
（注意：①老师的板书及要求学生作业的写法都按照课本的格式。
(完整版)一元二次方程根的判别式知识点
一元二次方程根的判别式知识点及应用1、一元二次方程ax²+bx+c=0(a≠0)的根的判别式定理：在一元二次方程ax²+bx+c=0(a≠0)中，Δ=b²4ac若△＞0则方程有两个不相等的实数根若△=0则方程有两个相等的实数根若△＜0则方程没有实数根2、这个定理的逆命题也成立，即有如下的逆定理：在一元二次方程ax²+bx+c=0(a≠0)中，Δ=b²4ac若方程有两个不相等的实数根，则△＞0若方程有两个相等的实数根，则△=0若方程没有实数根，则△＜0特别提示：（1）注意根的判别式定理与逆定理的使用区别：一般当已知△值的符号时，使用定理；当已知方程根的情况时，使用逆定理。
（2）一元二次方程ax²+bx+c=0(a≠0)（Δ=b²4ac）一、不解方程，判断一元二次方程根的情况。
例1、判断下列方程根的情况2x2+x━1=0；x2—2x—3=0；x2—6x+9=0；2x2+x+1=0二、已知一元二次方程根的情况，求方程中字母系数所满足的条件。
例2、当m为何值时关于x的方程（m—4）x2—（2m—1）x+m=0 有两个实数根？三、证明方程根的性质。
例3、求证：无论m为任何实数，关于x的方程x2+（m2+3）x+0.5(m2+2)=0恒有两个不相等的实数根。
四、判断二次三项式能否在实数范围内因式分解。
例4、当m为何值时，关于x的二次三项式mx2-2（m+2）x+（m+5）能在实数范围内因式分解。
五、判定二次三项式为完全平方式。
例5、若x2-2（k+1）x+k2+5是完全平方式，求k的值。
例6、当m为何值时，代数式（5m-1）x2-（5m+2）x+3m—2是完全平方式。
六、利用判别式构造一元二次方程。
例7、已知：（z-x）2-4（x-y）（y-z）=0（x≠y）求证：2y=x+z七、限制一元二次方程的根与系数关系的应用。
例8、已知关于x的方程x2-（k-1）x-3k-2=0的两个实数根的平方和为17，求k的值。
一元二次方程根的判别式及根与系数关系的应用
一元二次方程根的判别式及根与系数关系的应用
一元二次方程的一般形式为 $ax^2 + bx + c = 0$，其中
$a,\,b,\,c$ 是实数，且 $a \neq 0$。
根的判别式为 $\Delta = b^2 - 4ac$。
根的情况如下：
1. 当 $\Delta > 0$ 时，方程有两个不相等的实根，根的关系为$x_1 = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a}$，$x_2 = \frac{-b -
\sqrt{\Delta}}{2a}$。
2. 当 $\Delta = 0$ 时，方程有两个相等的实根，根的关系为$x_1 = x_2 = \frac{-b}{2a}$。
3. 当 $\Delta < 0$ 时，方程没有实根，而有两个共轭复根，根的关系为 $x_1 = \frac{-b + \sqrt{-\Delta}i}{2a}$，$x_2 = \frac{-b - \sqrt{-\Delta}i}{2a}$，其中 $i$ 是虚数单位，满足 $i^2 = -1$。
应用根与系数的关系需要注意以下几点：
1. 根与系数之间的关系是通过根的求解公式得到的。
2. 求解根时，必须保证方程是一元二次方程且系数满足条件，即 $a \neq 0$。
3. 具体的应用问题需要根据具体情况来确定如何使用根与系数的关系，例如可以通过根的值判断方程的解的情况，或者通过
根的关系来确定系数的取值范围等。
4. 根与系数的关系可以用于解决实际问题中的方程求解、几何问题等。
例如，可以用根的关系来求解二次函数的最值、方程组中的未知数等。
一元二次方程根的判别式在中学数学中的应用
一元二次方程根的判别式在中学数学中的应用四川省内江市东兴区顺河中心校高忠全一个公式、一个法则、一个概念，如果用得好、用得妙，它可以帮助我们解答许多复杂的问题。
如一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根判别式△＝b2－4ac在中学数学中有着广泛的应用。
一、在因式分解中的应用：在中学数学中，有一些多项式，知道了它能分解成两个一次因式的积，反过来要求多项式中某一个待定系数的值，是初中数学中的一个难点。
但用判别式“△”来解就简单了。
比如：如果x2-y2+mx+5y-6能分解成两个一次因式的积，试求m的值。
解：整理二次三项式:x2-y2+mx+5y-6得x2+mx-(y2-5y+6)令x2+mx-(y2-5y+6)=0把x看成未知数△=m2-4×1×[-(y2-5y+6)]=4ｙ2－２0y+24+m2要使x2-y2+mx+5y-6分解成两个一次因式的积,△必须是一完全平方式即(-２0)2-4×4(24+m2)=0,整理得：m2=1，则m=±1.当m=1时，二次三项式x2-y2+mx+5y-6=x2-y2+x+5y-6=(x+y)(x-y)+(x+5y)-6=(x+Y-2)(x-y+3).当m=-1时,二次三式x2-y2+mx+5y-6=x2-y2-x+5y-6=(x+y-3)(x-y+2)。
一个多项式分解因式后,如果有一个因式是二次三项式,这个二次三项式是否还能继续进行因式分解。
就要看这个二次三项式对应的一元二次方程的根判别式△＝b2－4ac的情况,若△≥0时,那么这个二次三项式就能够进行因式分解；如果△＜0时；那么这个二次三项式就不能够进行因式分解,并且当△=0时,二次三项式是一个完全平方式。
如:已知二次三项式3x2-4x+2k,当k取何值时,(1)在实数范围内能分解因式,(2) 在实数范围内不能分解因式,(3)能分解成一个完全平方式。
解:令3x 2-4x+2k=0 ,a=3,b=-4,c=2k, △=b 2-4ac=(-4)2-4×3×2k=16-24k(1) 当△≥0,即16-24k ≥0,得k ≤32时,二次三项式3x 2-4x+2k 在实数范围内能分解因式；(2)当△＜0,即16-24k ＜0,k ＞32时二次三项式3x 2-4x+2k 在实数范围内不能分解因式；(3)当△=0,即16－4k=0, k=32时二次三项式3x 2-4x+2k 是一个完全平方式。
一元二次方程根的判别式的六种常见应用
一元二次方程根的判别式的六种常见应用应用1：利用根的判别式判断一元二次方程根的情况已知方程x 2－2x －m ＝0没有实数根，其中m 是实数，试判断方程x 2＋2mx ＋m (m ＋1)＝0有无实数根．解：∵x 2－2x －m ＝0没有实数根，∴Δ1＝(－2)2－4·(－m )＝4＋4m <0，即m <－1.对于方程x 2＋2mx ＋m (m ＋1)＝0，Δ2＝(2m )2－4·m (m ＋1)＝－4m >4，∴方程x 2＋2mx ＋m (m ＋1)＝0有两个不相等的实数根．同类变式2．已知关于x 的方程x 2＋2mx ＋m 2－1＝0.(1)不解方程，判别方程根的情况；(2)若方程有一个根为3，求m 的值．应用2：利用根的判别式求字母的值或取值范围3．已知关于x 的一元二次方程mx 2－(m ＋2)x ＋2＝0，(1)证明：不论m 为何值，方程总有实数根；(2)m 为何整数时，方程有两个不相等的正整数根．证明：(1)Δ＝[－(m ＋2)]2－8m＝m 2－4m ＋4＝(m －2)2.∵(m －2)2≥0，即Δ≥0.∴不论m 为何值，方程总有实数根．(2)解关于x 的一元二次方程mx 2－(m ＋2)x ＋2＝0， 得 ∴x 1＝2/m ，x 2＝ 1. ∵方程的两个根都是正整数， ∴ 是正整数，∴m ＝1或m ＝2. 又∵方程的两个根不相等， ∴m≠2，∴m ＝1.应用3：利用根的判别式求代数式的值4．已知关于x 的方程x 2＋(2m －1)x ＋4＝0有两个相等的实数根，求 的值． 解：∵关于x 的方程x 2＋(2m －1)x ＋4＝0有两个相等的实数根，∴Δ＝(2m －1)2－4×1×4＝0，即2m －1＝±4. ∴m ＝5/2 或m ＝－3/2. 当m ＝5/2时， 当m ＝－－3/2时， 应用4：利用根的判别式解与函数综合问题5．y x ＋1是关于x 的一次函数，则关于x 的一元二次方程kx 2＋2x ＋1＝0的根的情况为222.22m m m x m m 21(21)2m x m 251112;(21)216514m m m 231152.(21)216326m m m()A．没有实数根B．有一个实数根C．有两个不相等的实数根D．有两个相等的实数根∵y＝x＋1是关于x的一次函数，∴，∴k－1>0，解得k>1，又关于x的一元二次方程kx2＋2x＋1＝0的判别式Δ＝4－4k ，∴Δ<0，∴关于x的一元二次方程kx2＋2x＋1＝0无实数根，故选A.应用5：利用根的判别式确定三角形的形状6．已知a，b，c是三角形的三边长，且关于x的一元二次方程(a＋c)x2＋bx＋＝0有两个相等的实数根，试判断此三角形的形状．解：∵方程(a＋c)x2＋bx＋＝0有两个相等的实数根，∴Δ＝b2－4(a＋c)·＝b2－(a2－c2)＝0.∴b2＋c2＝a2.∴此三角形是直角三角形．应用6：利用根的判别式探求菱形条件7．已知▱ABCD的两边AB，AD的长是关于x的方程x2－mx＋－＝0的两个根．(1)m为何值时，▱ABCD是菱形？并求出菱形的边长．(2)若AB的长为2，求▱ABCD的周长是多少？(1)由题意，得Δ＝0，解：即m2－4 ＝m2－2m＋1＝0.∴m＝1.故当m为1时，▱ABCD是菱形．此时原方程为x2－x＋＝0，解得x1＝x2＝.即菱形ABCD的边长为.4a c－4a c－4a c－2m14124m141212(2)由题意知2是关于x 的方程x 2－mx ＋ － ＝0的一个根， ∴将x ＝2代入原方程得4－2m ＋ － ＝0， 解得m ＝ ，故原方程为x 2－ x ＋1＝0， 解得x 1＝2，x 2＝ . ∴AD ＝ . 故▱ABCD 的周长为2× ＝ 5. 2m 142m 1452521212122。
八年级秋季班-第6讲一元二次方程的判别式及应用-教师版
内容分析知识结构模块一：判别式的值与根的关系知识精讲根的判别式及其应用根的判别式是一元二次方程中重要的知识点，可以通过根的判别式在不解方程的情况下判断出根的情况，也可以在已知根的情况之下求出方程中所含字母的取值范围．本节重点能运用根的判别式，判别方程根的情况，会运用根的判别式求一元二次方程中字母系数的取值范围等．1．一元二次方程根的判别式：我们把x2 - 3x + 2 = 0 叫做一元二次方程x2 - 3x + 2 = 0 的根的判别式，通常用符号“ x2 - 3x + 2 = 0 ”表示，记作x2 - 3x + 2 = 0 ．2．一元二次方程x2 - 3x + 2 = 0 ，当x2 - 3x + 2 = 0 时，方程有两个不相等的实数根；当x2 - 3x + 2 = 0 时，方程有两个相等的实数根；当x2 - 3x + 2 = 0 时，方程没有实数根．反之，也成立．【例1】.填空题：（1）（2）x2 - 3x + 2 = 0 的判别式的值是；2x2 - 2x +1 =x(x - 3) 判别式的值是；（3）3x2 - (a + 2)x +a - 2b = 0 判别式的值是．【难度】★【答案】（1）1；（2）-3 ；（3）a2 - 8a + 24b + 4 ．【解析】（1）a =1，b =-3 ，c = 2 ，∆=b2 - 4ac =(-3)2 - 4 ⨯1⨯ 2 =1 ；（2）整理成一般形式即为x2 +x +1 = 0 ，a = 1，b = 1 ，c = 1，∆=b2 - 4ac =-3 ；（3）a = 3 ，b =-(a + 2)，c =a - 2b ，则∆=b2-4ac=⎡⎣-(a+2)⎤⎦2 -4⨯3⨯(a-2b)=a2-8a+24b+4．【总结】考查一元二次方程根的判别式的计算，先整理成一般形式再确定相应系数．【例2】填空题：（1）若ax2 3x 2 0 没有实数根，则a 的取值范围是；（2）如果关于x 的一元二次方程ax2 2x；1 0 有实数根，那么a 的取值范围是（3）已知关于x 的方程x2 (a 2)x a 2b 0的根的判别式等于0，且x 1是方2程的根，则a +b = ．【难度】★【答案】（1）a >9；（2）a ≤1 且a ≠ 0 ；（3）-13 8 8【解析】（1）方程没有实数根，可知a ≠ 0 ，则方程为一元二次方程，∆= 32 - 8a < 0 ，得（2）方程有实数根，且为一元二次方程，则有∆= 22 - 4a ≥ 0 且a ≠ 0 ，即得：a ≤ 1 且a ≠ 0 ；a >9；8（3）方程根的判别式为0，即∆=(a + 2)2 - 4(a - 2b)=a2 + 8b + 4 = 0 ，x =1 是方程的2例题解析2 2 ⎛ 1 ⎫2根，代入即得： ⎪ ⎝ ⎭ - 1(a + 2) + a - 2b = 0 ，整理，得： 2a - 8b - 3 = 0 ，所以a = -1 ，2 则b = 2a -3 = - 5 ， a + b = -13．8 8 8【总结】考查一元二次方程根的情况与判别式的关系，注意题目隐含条件．【例3】 如果 a 、c 异号，那么一元二次方程 ax 2 + bx + c = 0 的根的情况是（ ）．A ．有两个不相等的实数根B ．有两个相等的实数根C ．没有实数根D ．无法确定【难度】★ 【答案】A【解析】a 、c 异号，则有∆ = b 2 - 4ac > 0 恒成立，可知方程有两不等实根，故选 A ． 【总结】考查一元二次方程根的判别式的应用．【例4】 不解方程，判定下列方程的根的情况： （1） 1x 2 + 22x - 2 = 0 ；（2） (2 y -1)2 + y ( y + 2) = 0 ；（3） x 2 - 3mx + 4m 2 = 0 ． 【难度】★【答案】（1）两个不相等的实数根；（2）无实数根；（3）略．【解析】（1）因为a = 1，b = ， c = -2 ，则有∆ = b 2 - 4ac = 6 > 0 ，所以方程有两个不相2等的实数根；（2）整理即为5 y 2 - 2 y + 1 = 0 ，则a = 5 ， b = -2 ， c = 1，则有∆ = b 2 - 4ac = -16 < 0 ，所以原方程无实数根；（3） ∆ = (-3m )2- 4 ⋅ 4m 2 = -7m 2 ≤ 0 ，可知当m = 0 时，方程有两个相等的实数根； 当m ≠ 0 时，方程无实数根．【总结】考查根据一元二次方程根的判别式判断方程根的情况．【例5】已知关于x 的一元二次方程-mx2 + (m -1)x + 1 = 0(m ≠ 0) 一定有实数根吗？为什么？【难度】★【答案】一定有实数根．【解析】因为a =-m ，b =m -1，c =1，则有∆=b2 - 4ac =(m -1)2 - 4 ⋅(-m)=(m +1)2 ≥ 0 恒成立，由此可知方程一定有实数根．【总结】方程一定有实数根，∆≥ 0 恒成立即可．【例6】若关于x 的方程2x(mx - 4) =x2 - 6 没有实数根，求m 的最小整数值的情况．【难度】★★【答案】2．【解析】方程整理成一般式即为(2m -1)x2 - 8x + 6 = 0 ，方程没有实数根，则2m -1 ≠ 0 ，即方程必为一元二次方程，且有∆= (-8)2 - 4(2m -1)⋅ 6 =-48m + 88 < 0 ，即得m >11 ，6 则m 的最小整数值为2．【总结】考查一元二次方程根的情况确定相应字母取值范围．【例7】关于x 的方程mx2 + 2x -1 = 6mx - 9m 有两个实数根，求m 的取值范围．【难度】★★【答案】m ≤1且m ≠ 0 ．5【解析】方程整理成一般式即为mx2 +(2 -6m)x+9m -1 =0 ，方程有两个实数根，则m ≠0 ，即方程必为一元二次方程，且有∆= (2 - 6m)2 - 4m(9m -1)=-20m + 4 ≥ 0 ，即得：m ≤1且m ≠ 0 ．5【总结】考查一元二次方程根的情况确定相应字母取值范围，注意有两个相等实数根也属于有两个实数根的情形．【例8】判断关于x 的方程2x2 - (k - 2)x = 4 -k 根的情况．【难度】★★【答案】k = 6 时，方程有两个相等的实数根；k ≠ 6 时，方程有两个不相等的实数根．【解析】方程整理成一般式即为2x2 -(k - 2)x+k - 4 = 0 ，则∆= (k - 2)2 - 4 ⋅ 2(k - 4)=k 2 -12k + 36 =(k - 6)2 ≥ 0 恒成立，由此可得当k = 6 时，方程有两个相等的实数根；k ≠ 6 时，方程有两个不相等的实数根．【总结】考查一元二次方程根的判别式的分类讨论，根据字母取值范围讨论．【例9】已知关于x 的方程2x2 - 4ax + 2a2 + 3a - 2 = 0 ．（1）若方程有两个不相等的实根，求a 的取值范围；（2）若方程有两个相等的实根，求 a 的值，并求出此时方程的根；（3）若方程有实根，求a 的最大整数值．【难度】★★★【答案】（1）a <2；（2）a =2，方程根为x =x =2；（3）0．3 3 1 2 3【解析】（1）方程有两个不等实数根，则有∆=(-4a)2 - 4 ⨯ 2(2a2 + 3a - 2)=-24a +16 > 0 ，即得：a <2 ；3（2）方程有两个相等实数根，则有∆=-24a + 16 = 0 ，即得a =2，此时方程即为32x2 -8x +8= 0 ，解得: x =x =2；3 9 1 2 3（3）方程有实数根，则有∆=-24a + 16 ≥ 0 ，即得a ≤2，则a 的最大整数值为0．3【总结】考查一元二次方程根的判别式判定字母取值范围题型，根据题目要求得出结论．【例10】 已知 x ，x 是方程 x 2 + px + q = 0 的两个实数根，且 x 2 + x x + x 2 = 5 ，求 q 的最1211 22大值 【难度】★★★【答案】 53【解析】因为 x ，x 是方程 x 2+ px + q = 0 的两个实数根，根据韦达定理可得： x + x= - p ，12x x = q ，由x 2 + x x + x 2 = 5 ，即得(x + x )2- x x 12= p 2 - q = 5 ，则有 p 2 = q + 5 ， 1 211 22121 2同时韦达定理成立的前提是方程有实数根，即得∆ = p 2 - 4q = q + 5 - 4q ≥ 0 ，得q ≤ 5，3即 q 的最大值为 5．3 【总结】考查一元二次方程的韦达定理，同时注意韦达定理成立的前提是方程有实数根．（1）不解方程判定方程根的情况； （2）根据参数系数的性质确定根的范围； （3）解与根有关的证明题．模块二：根的判别式的应用知识精讲【例11】填空：（1）方程ax2 - 4x +1 = 0 有两个不相等的实数根，则实数a 的取值范围是；（2）当k = ，方程x2 - (2k - 2)x + 5 - 2k = 0 有两个相等的实数根；（3）关于x 的二次三项式x2 + 4(m -1)x + 4 是一个完全平方式，则m = ．【难度】★【答案】（1）a < 4 且a ≠ 0 ；（2）±2 ；（3）2 或0【解析】（1）方程有两个不等实根，则有∆=b2 - 4ac =(-4)2 - 4a > 0 且二次项系数a ≠ 0 ，即得：a < 4 且a ≠ 0 ；（2）因为方程有两个相等实根，则有∆= (2k - 2)2 - 4(5 - 2k )= 4k 2 -16 = 0 ，即得：k =±2 ；（3）因为原式是完全平方式，即方程x2 + 4(m -1)x + 4 = 0 有两个相等实根，则有∆=16(m -1)2 - 4 ⨯ 4 = 0 ，即得：m = 0 或m = 2 ．【总结】考查一元二次方程根的判别式与方程根的关系．【例12】要使一元二次方程2x2 + 3x +a = 0 有两个相等实数根，则a 的值为（）A．2 B．98C．-98D．-2【难度】★ 【答案】B【解析】方程有两个相等实根，则有∆=32 - 4 ⋅ 2a = 9 - 8a = 0 ，即得a =9，故选B．8【总结】方程有两个相等实根，即∆= 0 ．【例13】填空：（1）一元二次方程x2 +px +q = 0 有两个相等的实数根，那么q的值为；p（2）若一元二次方程mx2 + 2mx + 5 -m = 0 有两个相等的实数根，则m = ．例题解析【难度】★【答案】（1）1（应排除p = 0 的情形）；（2）5．4 2【解析】（1）方程有两个相等实根，则有∆=(p)2 -4q=0，即得：p=4q，则q = q =1 ；p 4q 4 （2）因为方程有两个相等实根，则有∆= (2m)2 - 4m(5 -m)= 4m (2m - 5)= 0 ，方程为一元二次方程，可得：m ≠ 0 ，则有2m - 5 = 0 ，m =5 ．2【总结】方程有两个相等实根，即∆= 0 ，注意题目隐含条件．【例14】已知关于x 的一元二次方程(m -1)x2 + (2m -1)x +m - 3 = 0(m为实数) 有两个实数根，求m 的取值范围．【难度】★【答案】m ≥11且m ≠ 1 ．12【解析】方程有两个实数根，则有m -1 ≠ 0 ，方程必为一元二次方程，且∆=(2m -1)2 - 4(m -1)(m - 3)=12m -11 ≥ 0 ，即得：m ≥11 且m ≠ 1 ．12【总结】考查一元二次方程根的判别式确定方程根的情况，注意有两个相等实根的情况和二次项系数不为0 的隐含条件．【例15】说明不论m 取何值，关于x 的方程(x -1)(x - 2) =m2 总有两个不相等的实数根．【难度】★★【答案】略．【解析】方程整理为一般形式即x2-3x+2-m2=0，∆= (-3)2 - 4(2 -m2 )= 4m2 +1 > 0 恒成立，即证方程总有两个不相等的实数根．【总结】方程总有不等实根，∆> 0 恒成立即可，注意先整理成一般形式再说明．3)x 22(m 3) x 5 m 0【例16】 已知关于 x 的一元二次方程(m + 1)x 2 + (2m -1)x + m = 1 ，其中 m 为实数．（1）若方程有两个相等的实数根，求 m 的值；（2）若方程有两个不相等的实数根，求 m 的取值范围． 【难度】★★【答案】（1） 5 ；（2） m < 5且 m ≠ -1．4 4【解析】（1）方程整理为一般形式即(m + 1)x 2 + (2m -1)x + m -1 = 0 ，方程有两个相等实根，则有∆= (2m -1)2- 4 (m +1)(m -1) = -4m + 5 = 0 ，即得： m = 5 ；4 （2）方程有两个不等实根，则有∆ = -4m +5 > 0 且二次项系数m + 1 ≠ 0 ，即得： m < 5且m ≠ -1．4【总结】考查一元二次方程根的判别式讨论方程根的情况，注意二次项系数不为 0．【例17】 关于 x 的方程 (m + 1 )x 2 +( 2m - 1x ) + m - 1= 有 实数根，则关于 x 的 方程(m 3)x 22(m 3)x 5 m 0 的根的情况又如何？写出判断的过程 ．【难度】★★【答案】方程有两不相等的实数根．【解析】（1）当m + 1 = 0 ，即m = -1时，方程为一元一次方程，必有实数根，此时另一方程为-4x 2 + 8x + 4 = 0 ， ∆ = 82 - 4 ⨯ (-4)⨯ 4 = 128 > 0 ，即得方程有两个不相等的实数根； （2）当m + 1 ≠ 0 时，方程有实数根，可得∆ = (2m -1)2- 4(m + 1)(m -1) = -4m + 5 ≥ 0 ， 得 m ≤ 5 且m ≠ -1，则m - 3 ≠ 0 ，又∆' = 4(m - 3)2- 4(m - 3)(5 + m ) = -32m + 96 > 0 ，4所以方程(m 有两个不相等的实数根，综上所述，方程(m 3)x 22(m 3)x 5 m 0 有两个不相等的实数根．【总结】考查根据字母取值范围确定方程根的情况，注意分类讨论．1 2 1 2 1 2 1 2【例18】 关于 x 方程： x 2 + 2(m - 2)x + m 2 + 4 = 0 两根的平方和比两根的积大 21，求 m 的值． 【难度】★★ 【答案】-1 ．【解析】设方程两根分别为 x 1 ，x 2 ，根据一元二次方程韦达定理，可得：x 1 + x 2 = -2(m - 2) ，x 1 x 2 = m 2 + 4 ， (x 2+ x 2 )- x x = 21 ，即(x + x )2- 3x x = 4(m - 2)2- 3(m 2 + 4)= 21，整理得： m 2 -16m -17 = 0 ，解得： m = -1， m = 17 ，同时韦达定理成立的前提是方12程有实数根，即得∆ = 4(m - 2)2- 4(m 2 + 4)= -16m ≥ 0 ，得m ≤ 0 ，所以m = -1．【总结】考查一元二次方程的韦达定理，同时注意韦达定理成立的前提是方程有实数根．【例19】 已知关于 x 的方程(b c )x 2(c a )x (a b ) 0 有两个相等的实数根，求证：【难度】★★ 【答案】略．【解析】证明：因为方程(b - c )x 2 + (c - a )x + (a - b ) = 0 有两个相等的实数根，则方程为一元二次方程，即得b - c ≠ 0 且∆ = (c - a )2- 4(b - c )(a - b ) = (a + c )2- 4b (a + c ) + 4b 2 = 0 ，即(a + c - 2b )2= 0 ，得2b = a + c 且 b ≠ c ．【总结】考查一元二次方程根的判别式和方程根的情况之间的关系，注意式子的化简．【例20】 恰有一实数满足方程(2 + k )x 2 + 2kx + 1 = 0 ，求 k 的值．【难度】★★【答案】k = -2 或 k = -1 或k = 2【解析】（1）当2 + k = 0 ，即k = -2 时，方程为一元一次方程，符合题意；（2）当2 + k ≠ 0 时，方程为一元二次方程，则有∆ = (2k )2- 4(2 + k ) = 4(k 2 - k - 2)= 0 ，解得： k 1 = -1 ， k 2 = 2 ；综上所述： k = -2 或k = -1 或 k = 2 ． 【总结】未明确说明是一元二次方程的前提下，注意分类讨论．2b a c 且b c ．2 【例21】 已知 a 、b 、c 是三角形 ABC 的三边：且关于 x 的方程4x 2 + 4(b 2 + c 2 + a 2 )x + 3(a 2b 2 + b 2c 2 + c 2 a 2 ) = 0 有两个相等的实数根，试判定三角形ABC的形状． 【难度】★★【答案】等边三角形．【解析】因为方程有两相等实根，得∆ = 16(b 2 + c 2 + a 2 )2- 4 ⨯ 4 ⨯ 3(a 2b 2 + b 2c 2 + a 2c 2 )= 0 ，即∆ = 16(b 4 + c 4 + a 4 - a 2b 2 - b 2c 2 - a 2c 2 )= 8 ⎡(a 2 - c 2 )2 + (b 2 - c 2 )2 + (a 2 - b 2 )2⎤ = 0 ，⎣⎢⎥⎦ 化简得： a 2 - c 2 = 0 ， b 2 - c 2 = 0 ， a 2 - b 2 = 0 ，因为 a 、b 、c 是三角形三边， 可得a > 0 ， b > 0 ， c > 0 ，故有a = b = c ，即得三角形 ABC 是等边三角形． 【总结】考查一元二次方程根的判别式和方程根的情况之间的关系，注意式子的化简．【例22】 已知关于 x 的方程 x 2 + mx - m +1 = 0 有两个不相等的正整数根，求 m 的值． 【难度】★★【答案】m < -2 - 2【解析】设方程两根分别为 x 1 ， x 2 ，根据一元二次方程韦达定理，可得 x 1 + x 2 = -m > 0 ，x 1 x 2 = -m + 1 > 0 ，得m < 0 ，同时韦达定理成立的前提是方程有实数根，即得∆ = m 2 - 4(-m +1) = m 2 + 4m - 4 > 0 ，得： m < -2 - 2 ．【总结】考查一元二次方程的韦达定理，同时注意韦达定理成立的前提是方程有实数根．【例23】 求证：关于 x 的方程(x - a )(x - a - b ) = 1 一定有实数根，且一个大于 a ，一个小于a ．【难度】★★★ 【答案】略．【解析】方程整理成一般形式即为 x 2 - (2a + b ) x + a 2 + ab -1 = 0 ，则有∆ = (2a + b )2- 4(a 2 + ab -1)= b 2 + 4 > 0 恒成立，即证方程一定有实数根，设方程两根分别为 x ， x ，根据一元二次方程韦达定理，可得： x + x = 2a + b ， x x= a 2 + ab -1 ，12121 2则有(x - a )(x - a ) = x x - a (x + x ) + a 2 = a 2 + ab -1- a (2a + b ) + a 2 = -1 < 0 ，121 2122⎩⎨ t + 1 1 2 即得 x 1 - a 和 x 2 - a 一正一负，证得方程有一根大于 a ，一根小于 a ．【总结】考查一元二次方程根的判别式和韦达定理的综合应用，注意首先整理成一元二次方程的一般形式．【例24】 已知实数 a 、b 满足a 2 + ab + b 2 = 1且t = ab - a 2 - b 2 ，求 t 的取值范围． 【难度】★★★ 【答案】-3 ≤ t ≤ - 1．3⎧(a + b )2=t + 3⎧⎪a 2+ ab + b 2= 1 【解析】由⎨⎪ab - a 2 - b 2 = t ，可得： ⎪ 2 ，则有 ⎪ab = t + 3 2 ≥ 0 ，令a 、b 是一元二次 ⎩⎪ 2方程 x 2 - (a + b ) x + ab = 0 的两根，则有∆ = (a + b )2- 4ab = t + 3 - 4 ⋅ t + 1 ≥ 0 ，得t ≤- 1 ，2 2 3即得-3 ≤ t ≤ - 1．3【总结】考查一元二次方程韦达定理和根的判别式的综合应用，转化为方程的根的问题即可求解．【例25】 要使关于 x 的方程 x 2 - 4mx + 4m 2 - 4m - 5 = 0 和 mx 2 - 4x + 4 = 0 的根以及系数 m都是整数，求满足这样的条件的 m 的值． 【难度】★★★ 【答案】1．【解析】当m = 0 时，方程mx 2 - 4x + 4 = 0 是一元一次方程，根为 x = 1 是整数，此时另一方程为 x 2 - 5 = 0 ，方程根不为整数；当 m ≠ 0 时，两个方程都有根，则有 ∆ = (-4m )2- 4(4m 2 - 4m - 5)= 16m + 20 ≥ 0 ， ∆ = (-4)2-16m =16 -16m ≥ 0 ，得 - 5≤ m ≤ 1 且m ≠ 0 ，方程根为整数，则∆ 值为完全平方数，取整数m = 1，此时两方4 程根均为整数，符合题意．所以 m 的值为 1． 【总结】考查一元二次方程根的判别式的综合应用．12 1 2 1 2 【例26】 若 k 为正整数，且关于 x 的方程(k 2 -1)x 2 - 6(3k -1)x + 72 = 0 有两个不相等的正整数根，求 k 的值． 【难度】★★★ 【答案】2．【解析】因为方程有两个不相等的实数根，则方程为一元二次方程，所以k 2-1 ≠ 0 ，得k ≠ ±1， 对方称因式分解得 ⎡(k + 1) x -12⎤ ⎡(k -1) x - 6⎤ = 0 ，解得： x = 12 ， x = 6，方程⎣ ⎦ ⎣ ⎦1k + 11k -1有两根为正整数且不相等，则有k +1 = 1 ，2，3，4，6，12，k -1 = 1，2，3，6，当k = 2 或 k = 3 时同时成立．又方程有两个不相等的实数根，则- 1)]2 - 4 ⨯ 72 ⨯ (k 2 - 1) > 0 ，即36(k - 3)2 > 0 ，所以k ≠ 3 ．综上，k 的值为 2．【总结】本题一方面考查因式分解法解方程，另一方面考查了根的判别式的应用，同时注意方程的根为正整数时对应求值的方法．【例27】 已知 x ，x 是关于 x 的方程： 4kx 2 - 4kx + k +1 = 0 的两个根： （1） 当 k 为何值时， (2x - x )(x - 2x ) = - 3成立，如果存在，求出 k 的值；不存在，说明理由？ 1 2 1 22（2） 当 x 1 + x2 - 2 的值为整数的实数 k 的值．x 2 x 1【难度】★★★【答案】（1）不存在；（2） -2 或-3 或-5 ．【解析】（1）因为 x ，x 是方程4kx 2- 4kx + k +1 = 0 的两根，所以4k ≠ 0 ，且 ∆ = (-4k )2- 4 ⋅ 4k (k +1) = -16k ≥ 0 ，即得k < 0 ，根据韦达定理可得： x + x= 1，x x =k + 1 ，则有(2x - x )(x - 2x ) = 2(x 2 + x 2 )- 5x x = 2(x + x )2 - 9x x = - 3，1 2 4k 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 22即2 ⨯12 - 9 ⋅ k + 1 = - 3 ，得： k = 5，与k < 0 不符，所以不存在这样的 k 值；4k 2 9x x (x + x )212 4 （2）因为 1 + 2- 2 = 1 2 - 4 = - 4 = - ，式子值为整数，可得：k +1 = ±1，x 2 x 1 x 1 x 2k + 1 4k k + 1 k + 1 = ±2 ， k + 1 = ±4 ，结合k < 0 ，可得： k = -2 或 k = -3 或k = -5 ．【总结】考查一元二次方程的韦达定理，同时注意韦达定理成立的前提是方程有实数根．= [-6(3k【习题1】已知关于x 的方程kx2 (2k 1)x k 0 ，当k 0 时，它是一元二次方程．填空：（1）当k 时，方程有两个不相等的实数根；（2）当k 时，方程有两个相等的实数根；（3）当k 时，方程没有实数根．【难度】★【答案】（1）k >-1且k ≠ 0 ；（2）k =-1；（3）k <-1．4 4 4【解析】∆=⎡⎣-(2k+1)⎤⎦2 -4k⋅k=4k+1，（1）方程有两个不等实根，∆= 4k + 1 > 0 且k ≠ 0 ，即得k >-1且k ≠ 0 ；4（2）方程有两个相等实根，则有∆= 4k + 1 = 0 ，即得k =-1 ；4（3）方程没有实数根，则有∆= 4k + 1 < 0 且k ≠ 0 ，即得k <-1 ．4【总结】考查一元二次方程根的判别式判断方程根的情况．【习题2】一元二次方程(k +1)x2 + 2kx +k - 3 = 0 有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是．【难度】★【答案】k >-3且k ≠-1．2【解析】方程有两个不相等的实数根，可知方程为一元二次方程，则二次项系数k + 1 ≠ 0 ，且有∆=(2k )2 - 4(k + 1)(k - 3)= 8k + 12 > 0 ，即得：k >-3 且k ≠-1．2【总结】考查利用一元二次方程根的判别式判断方程根的情况，注意二次项系数不为0 的隐含条件．随堂检测【习题3】关于x 的方程mx2 - 2(3m -1)x + 9m -1 = 0 无实数根，则m 的取值范围是．【难度】★【答案】m >1 ．5【解析】方程无实根，则必有m ≠ 0 ，即方程为一元二次方程，则有∆= 4(3m -1)2 - 4m(9m -1)=-20m + 4 < 0 ，即得：m >1 ．5【总结】方程无实根，注意排除二次项系数为0 的情况．【习题4】关于x 的方程(m - 2)x2 + 2mx +m -1 = 0 有两个不相等的实数根，则m 的取值范围是．【难度】★【答案】m >2且m ≠ 2 ．3【解析】方程有两个不相等的实数根，可知方程为一元二次方程，则二次项系数m - 2 ≠ 0 ，且有∆=(2m)2 - 4(m - 2)(m -1)= 12m - 8 > 0 ，即得m >2 且m ≠ 2 ．3【总结】考查利用一元二次方程根的判别式判断方程根的情况，注意二次项系数不为0 的隐含条件．【习题5】对于一元二次方程ax2bx c 0(a 0) 给出下面 4 个条件：① c 0 ；②a ，c 异号；③b2 4ac0 ；④a b c 0 ．使方程有实数根的条件有（）A．1 个B．2 个C．3 个D．4 个【难度】★★【答案】C【解析】方程有实数根，只需要∆=b2 - 4ac ≥ 0 成立即可，由此可得：① c = 0 ，∆=b2 ≥ 0 恒成立，方程有实数根（方程必有一根为0）；②a，c异号，则ac < 0 ，∆=b2-4ac>0恒成立，方程有实数根；③ b2 + 4ac > 0 ，不能确定∆=b2 - 4ac 与0 的大小关系，不能确定是否有实数根；④ a +b +c = 0 ，即得方程必有一根为x = 1 ，综上所述，故选C．【总结】方程是否有实数根，只需判断在给定条件下∆=b2 - 4ac ≥ 0 是否恒成立即可．【习题6】当k 取何值时，方程kx2 + 2kx +1 =x2 + 3x -k 有实数根．【难度】★★【答案】k <13．12【解析】整理成一般形式即为(k-1)x2+(2k-3)x+k+1=0，（1）当k -1 = 0 ，即k =1时，此时2k - 3 ≠ 0 ，方程为一元一次方程，必有实数根；（2）当k -1 ≠ 0 ，即k ≠ 1时，方程有实数根，则有∆=(2k - 3)2 - 4(k -1)(k +1)=-12k +13 ≥ 0 ，即得k <13 且k ≠ 1；12综上所述，当k <13时，方程有实数根．12【总结】考查方程有实数根的问题，对二次项系数含有字母的注意分类讨论．【习题7】求证：关于x 的方程9x2 - (k + 7)x +k - 3 = 0(k为实数) 有两个不相等的实数根．【难度】★★【答案】略．【解析】证明：∆=⎡⎣-(k+7)⎤⎦2 -4⋅9(k-3)=k2-22k+157=(k-11)2 +36>0恒成立，即可证得方程有两个不相等的实数根．【总结】考查一元二次方程根的存在性问题，只需要根据题目条件判断相应∆与0 的大小关系即可．【习题8】要使关于x 的方程ax2 4(a 1)x 4a 0 有实根，整数a 取得的最大值是多少？【难度】★★【答案】0【解析】（1）当a = 0 ，此时-4(a -1)≠ 0 ，方程为一元一次方程，必有实数根；（2）当a ≠ 0 时，方程有实数根，则有∆=16(a -1)2 - 4a ⋅ 4a =-32a +16 ≥ 0 ，即得：a ≤1且a ≠ 0 ；综上所述，a ≤1，则整数a 取得的最大值为0．2 2【总结】考查方程有实数根的问题，由于本题没有说明是一元几次方程，因此要对二次项系数进行分类讨论．【习题9】求证：不论m 取何值，关于x 的方程(2m -1)x2 - 2mx + 1 = 0 总有实数根．【难度】★★【答案】略．【解析】证明：（1）当2m -1 =0 ，即m =1时，此时-2m ≠ 0 ，方程为一元一次方程，必有2实数根；（2）当2m -1 ≠0 时，方程有实数根，则∆=(-2m)2 - 4(2m -1)= 4(m -1)2 ≥ 0 恒成立；综上所述，即证方程必有实数根．【总结】考查方程有实数根的问题，对二次项系数含有字母的注意分类讨论．【习题10】已知：方程x2 + 2x =k -1 没有实数根，求证：方程x2 +kx = 1- 2k 一定有两个不相等的实数根．【难度】★★★【答案】略．【解析】证明：方程x2 +2x=k -1整理成一般形式即为x2 +2x +1-k=0 ，方程没有实数根，则有∆= 22 - 4(1-k )= 4k < 0 ，即得：k < 0 ；方程x2 +kx=1-2k 整理成一般形式即为x2+kx+2k-1=0，则有∆=k 2 - 4(2k -1)=k 2 - 8k + 4 =(k - 4)2 -12 ，由k < 0 ，则有k - 4 <-4 ，(k - 4)2 >16 ，则∆=(k - 4)2 -12 > 4 ，即证方程有两个不相等的实数根．【总结】考查一元二次方程根的存在性问题，判断相应∆与0 的大小关系即可．【习题11】已知系数k 是整数，方程x2 (k 3)x 2k 3 0 有一个正根、一个负根，且负根的绝对值较大，求k 的值．【难度】★★★【答案】-2 ．【解析】设方程两根分别为x1 ，x2 ，根据一元二次方程韦达定理，可得：x 1 +x2=-(k + 3)，⎧⎪-(k + 3)< 0 x1x2= 2k + 3 ，因为方程有一个正根，一个负根，且负根绝对值大，则有⎨，⎪⎩2k + 3 < 0解得：-3 <k <-3，同时韦达定理成立的前提是方程有实数根，即得2∆=(k + 3)2 - 4(2k + 3)=k 2 - 2k - 3 = (k - 3)(k +1) > 0 恒成立，得k>3或k<-1．所以-3 <k <-3，又因为k 为整数，所以可得k =-2 ．2【习题12】设m 为有理数，是否存在实数k，使方程x2 - 4mx + 4x + 3m2 - 2m + 4k = 0 的根是有理数．【难度】★★★【答案】k =-5 ．4【解析】因为方程x2 - 4mx + 4x + 3m2 - 2m + 4k = 0 根为有理数，则有∆=(4 - 4m)2 - 4(3m2 - 2m + 4k )=16 - 32m +16m2 -12m2 + 8m -16k= 4(m2 - 6m + 4 - 4k) 为完全平方数，即m2 - 6m + 4 - 4k 为完全平方数即可，所以4 - 4k = 9 ，解得：k =-5 ．4【总结】一元二次方程的根为有理数，则说明根的判别式是完全平方数，即相应的方程∆= 0 即可．【作业1】求下列方程的判别式的值：（1）x2 1 4x ；（2）kx2 1 4x(k 0) ；（3）x2k 2 1 (2k 1)x ；（4）(k 1)x2(k 1)x 2k 1 0(k 1) . 【难度】★【答案】（1）12；（2）16 - 4k ；（3）8k 2 - 4k + 5 ；（4）9k 2 + 2k - 3．【解析】（1）方程整理成一般形式即为x2 + 4x +1 = 0 ，a = 1，b = 4 ，c = 1，∆=b2 - 4ac = 42 - 4 ⨯1⨯1 = 12 ；（2）方程整理成一般形式即为kx2 + 4x +1 = 0 ，a =k ，b = 4 ，c = 1，∆=b2 - 4ac = 16 - 4k ；（3）方程整理成一般形式即为x2 +(2k -1)x-(k 2 +1)= 0 ，a =1，b = 2k -1 ，c =-(k 2 +1)，∆=b2-4ac=(2k-1)2 -4⨯1⨯⎡⎣-(k2+1)⎤⎦=8k2-4k+5；（4）a =k +1，b =k -1，c =-2k +1，∆=b2 - 4ac =(k -1)2 - 4(k +1)(-2k +1)= 9k 2 + 2k - 3 ．【总结】考查一元二次方程根的判别式的计算，先整理成一般形式再确定相应系数．课后作业【作业2】已知代数式x2 + (2m - 6)x + 16 是完全平方式，求m 的值．【难度】★【答案】7 或-1．【解析】x2 + (2m - 6)x + 16 是完全平方式，即得关于x 的方程x2 + (2m - 6)x + 16 = 0 有两个相等的实数根，则有∆=(2m - 6)2 - 4 ⨯16 = 0 ，(m - 3)2 =16 ，解得：m= 7 ，m =-1．1 2【总结】考查完全平方式与方程根个数的转化，完全平方式即方程有两个相等实根．【作业3】已知关于x 的一元二次方程kx2 - 2x -1 = 0 有两个相等的实根，求k 的值．【难度】★【答案】k =-1 ．【解析】方程有两个相等实根，则有∆= (-2)2 - 4k (-1)= 4 + 4k = 0 ，方程为一元二次方程，可得m ≠ 0 ，即得：k =-1 ．【总结】考查一元二次方程的根的情况，方程有两个相等实根，即∆= 0 ．【作业4】已知关于x 的方程(2 k)x22kx 1 0 ：（1）若方程只有 1 个实数根，求k 的值；（2）若方程有实根，求k 的取值范围；（3）若方程有两实根，求k 的取值范围．【难度】★★【答案】（1）-2 ；（2）k ≥ 2 或k ≤-1 ；（3）k ≥ 2 或-2 <k ≤-1或k <-2 ．【解析】（1）方程只有1 个不等实根，即方程为一元一次方程，二次项系数2 +k = 0 ，即得: k =-2 ；（2）同（1），k =-2 时，方程为一元一次方程，有实根；2 +k ≠ 0 ，即k ≠-2 时，方程为一元二次方程，方程有实根，则有∆=(2k )2 - 4(2 +k )= 4(k 2 -k - 2)≥ 0 ，即得k ≥ 2 或k ≤-1 ，则k ≥ 2 或-2 <k ≤-1或k <-2 ；综上所述，k ≥ 2 或k ≤-1 ；（3）由（2）可知，方程有两实根，k ≥ 2 或-2 <k ≤-1或k <-2 ．【总结】考查一元二次方程根的判别式判断方程根的情况，注意分类讨论．)【作业5】 已知关于 x 方程 x 2 - 3 k x -1 = 0 有实数根，求 k 的取值范围．【难度】★★ 【答案】k ≥ 0 ．【解析】方程有实数根，则有∆ = (-3k 2 - 4 ⨯1⨯ (-1) = 9k + 4 ≥ 0 ，即得k ≥- 4 ，同时二次 9根式下， k ≥ 0 ，综上所述，可得k ≥ 0 ．【总结】考查一元二次方程根的判别式判断方程根的情况，注意题目的隐含条件．【作业6】 已知关于 x 的方程 x 2 - (m - 2n )x + 1mn = 0 有两个相等的实数根，求代数式4m(n ≠ 0) 的值． n 【难度】★★ 【答案】1 或 4．【解析】因为方程有两个相等的实数根，则有∆= (m - 2n )2- 4 ⋅ 1 mn = 0 ，4即m 2 - 5mn + 4n 2 = 0 ，解得m = n 或 m = 4n ，则 m= 1 或4 ．n 【总结】方程有两个相等实根，即∆ = 0 ，注意题目隐含条件．【作业7】 已知关于 x 的方程 (a没有实数根， 试判断方程ax 22(a 2)x (a 5) 0 的根的情况 ．【难度】★★【答案】两个不相等的实数根．【解析】（1）当a + 5 = 0 时，即a = -5 时，方程为一元一次方程，必有实数根，不合题意； （2）当a + 5 ≠ 0 时，方程没有实数根，可得∆ = 4(a + 2)2- 4(a + 5)a = -4a + 16 < 0 ， 得a > 4 ，则a ≠ 0 ， ∆ = 4(a - 2)2- 4a (a - 5) = 4a + 16 > 0 ，可知方程有两个不等实数根，综上所述，方程有两个不相等的实数根．【总结】考查根据字母取值范围确定方程根的情况，注意分类讨论．5 )x 22 (a2 )x a⎣ ⎦ ⎣ ⎦【作业8】 已知n < 5 ，且关于 x 的方程 x 2 - 2x - 2n = 0 两根都是整数，求 n 的值． 【难度】★★★ 【答案】-0.5 ，0，1.5 ，4【解析】 x 2 - 2x - 2n = 0 ，配方即得(x -1)2= 2n + 1 ，方程两根为整数，则2n + 1 为平方数，由 n < 5 ，可得0 ≤ 2n +1 < 11，即得2n + 1 = 0 ，或2n +1 =1 ，或2n +1 =4 ，或2n +1 =9 ， 即得n = -0.5 ，0，1.5 ，4．【总结】考查方程根为整数，则相应∆ 值为完全平方数．【作业9】 已知 a 、b 、c 是三角形 ABC 的三边：求证：关于 x 的方程b 2 x 2 + (b 2 + c 2 - a 2 )x + c 2 = 0 没有实数根．【难度】★★★ 【答案】略．【解析】因为∆ = (b 2 + c 2 - a 2 )2- 4b 2c 2 = (b 2 + c 2 + 2bc - a 2 )(b 2 + c 2 - 2bc - a 2 )，化简，得∆ = ⎡(b + c )2 - a 2 ⎤ ⎡(b - c )2- a 2 ⎤ = (b + c + a )(b + c - a )(b - c + a )(b - c - a ) ，因为 a 、b 、c 是三角形三边，可得a > 0 ，b > 0 ，c > 0 ，由三角形三边关系，可知a + b > c ， a + c > b ， b + c > a ，则b + c + a > 0 ， b + c - a > 0 ， b - c + a > 0 ， b - c - a < 0 ， 由此可得∆< 0 ，即证方程没有实数根．【总结】考查一元二次方程根的判别式和方程根的情况之间的关系，注意式子的化简．【作业10】 已知关于 x 的方程 x 2 - 2(n -1)x + n 2 - 2n = 0 ：（1） 求证：无论 n 取何值，这个方程一定有两个不相等的实数根； （2） 设方程的两根为 x 1 ，x 2 ，若-2 ≤ x 1 < x 2 ≤ 4 ，求 n 的取值范围．【难度】★★★【答案】（1）略；（2） 0 ≤ n ≤ 4 ．【解析】（1）证明：因为∆ = 4(n -1)2- 4(n 2 - 2n )= 4 > 0 恒成立，所以方程总有两个不相等2 的实数根；（2） x 2- 2(n -1)x + n 2- 2n = (x - n )(x + 2 - n ) = 0 ，解得： x = n - 2 ， x 2= n ，因为-2 ≤ x 1 < x 2 ≤ 4 ，所以-2 ≤ n - 2 < n ≤ 4 ，即得： 0 ≤ n ≤ 4 ．【总结】考查方程根的存在性问题，方程有两不等实根，即∆> 0 恒成立，同时考查对式子的分解因式．【作业11】 已知 p 、q 是常数，有且只有三个不同的实数满足方程| x 2 + px + q |= 2 ，试解答下面的问题：（1） 求证： p 2 - 4q - 8 = 0 ；（2） 如果方程的三个解正好是一个直角三角形三边的长，求 p 、q 的值． 【难度】★★★【答案】（1）略；（2） p = -16 ， q = 62 ．【解析】（1）证明：因为方程有三个实根，则方程 x 2 + px + q = 2 和方程- (x 2 + px + q )= 2 必为一个有两个不相等的实数根，一个方程有两个相等的实数根，∆ = p 2 - 4(q - 2) = p 2 - 4q + 8 ， ∆ = p 2 - 4(q + 2) = p 2 - 4q - 8 ， ∆ > ∆ 恒成立，1112则为∆ > 0 ， ∆ = p 2 - 4(q + 2) = 0 ，即得： p 2 - 4q - 8 = 0 ；12（2）设方程 x 2+ px + q = 2 两根分别为 x ， x ，由 p - 4q - 8 = 0 ，可得： q =12p 2 - 8 ，42p 2 -16p + 4p - 4-2方程即为 x + px += 0 ，解得：x 1 =-，x 2 =-；方程 (x + px + q )= 24222p2p即为 x + px + 4 = 0 ，解得： x 3 = x 4 = - 2 ，方程三个解恰为直角三角形三边长，⎛ p + 4 ⎫2 ⎛ p ⎫2 ⎛ p - 4 ⎫2由 x < x < x ，可得： x 2+ x 2= x 2，即- + - = -，整理得1321322 ⎪ 2 ⎪ 2 ⎪ ⎝ ⎭ ⎝ ⎭ ⎝ ⎭2p 2 - 8 p + 16 p = 0 ，三边长为正数，可得： p < -4 ，解得： p = -16 ，则有q = = 62 ．4【总结】考查分类讨论的思想，根据题目要求进行具体分析．1。
一元二次方程根的判别式及根与系数的关系
2021年中考专题复习一元二次方程根的判别式和根与系数的关系回忆与思考1．一元二次方程ax2＋bx＋c = 0(a≠0)的根的情况可由△=b2－4ac来判定：(1)当b2–4ac>0时，方程有实数根，即x1=，x2=．当b2–4ac=0时，方程有实数根，即x1=x2=．当b2–4ac<0时，方程实数根．我们把b2－4ac叫做一元二次方程ax2＋bx＋c = 0(a≠0)的根的判别式．(2)一元二次方程根的判别式的应用：①不解方程，判别根的情况，特别是判别含有字母系数的一元二次方程根的情况，可通过配方法把b2–4ac变形为±(m±h)2＋k的形式，由此得出结论，无论m为何值，b2–4ac≥0或b2–4ac<0，从而判定一元二次方程根的情况．一般步骤是：先计算△，再用配方法将△恒等变形，然后判断△的符号，最后得出结论．②根据方程的根的情况，求待定系数的取值范围；③进展有关的证明．(3)关于根的判别式的应用：①对于数字系数方程，可直接计算其判别式的值，然后判断根的情况；②对于字母系数的一元二次方程，假设知道方程根的情况，可以确定判别式大于零、等于零还是小于零，从而确定字母的取值范围；③运用配方法，并根据一元二次方程根的判别式可以证明字母系数的一元二次方程的根的有关问题.(4)应用根的判别式须注意以下几点：①要用△，要特别注意二次项系数a≠0这一条件．②认真审题，严格区分条件和结论，譬如是△＞0，△≥0还是要证明△＜0．③要证明△≥0或△＜0，需用配方法将△恒等变形为±(m±h)2＋k的形式，从而得到判断．2．一元二次方程的根与系数的关系(1)如果方程ax2＋bx＋c = 0(a≠0)的根是x1和x2，那么x1+x2=，x1x2=．特别低，如果方程x2＋px＋q = 0的根是x1和x2，那么x1+x2=，x1x2=．(2)一元二次方程根与系数关系的应用．①验根．验根是一元二次方程根与系数关系的简单应用，应用时要注意三个问题：一要先把一元二次方程化成标准型，二不要漏除二次项系数a≠0；三还要注意–ba中的符号．②方程一根，求另一根．③不解方程，求与根有关的代数式的值．一般步骤：先求出x1+x2，x1x2的值，再将所求代数式用x1+x2，x1x2的代数式表示，然后将x1+x2，x1x2的值代入求值．④两个数，求作以这两个数为根的一元二次方程：以x1，x2为根的一元二次方程可写成x2－(x1+x2)x+x1x2=0．(3)应用一元二次方程根与系数的关系时，应注意：①根的判别式b2–4ac≥0；②二次项系数a≠0，即只有在一元二次方程有根的前提下，才能应用根与系数的关系.(4)求方程两根所组成的代数式的值，关键在于把所求代数式变形为两根的和与两根的积的形式.(5) 常见的形式：3．二次三项式的因式分解：ax2+bx+c=a(x－x1)(x－x2)．其中x1，x2是关于x的方程ax2+bx+c=0的两个实数根．【例1】不解方程，判定关于x的方程根的情况(1)2x2–9x+8=0 (2)9x2+6x+1=0 (3) 16x2+8x=–3 (4)x2=7x+18(5)2x2–(4k+1)x+2k2–1＝0 (6)x2＋(2t＋1)x＋(t–2)2＝0【例2】(1)关于x的一元二次方程kx2+2(k+1)x+k=0有两个实数根，求k的取值范围．(2)假设关于x的一元二次方程(a–2)x2–2ax+a+1=0没有实数解，求ax+3>0的解集〔用含a 的式子表示〕．【例3】(1)关于x的方程x2–mx+m–2=0，求证：方程有两个不相等的实数根(2)求证：方程(m2＋1)x2–2mx＋(m2＋4)＝0没有实数根．【例4】(1)方程x2–5x–6=0的根是x1和x2，求以下式子的值：①(x1–3)(x2–3) ②x12+x22+x1x2③x1x2+x2x1(2)利用根与系数的关系，求一个一元二次方程，①使它的根分别是方程3x2–x–10=0各根的3倍；②使它的根分别是方程3x2–x–10=0各根的负倒数。
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x 代入原方程得： 2 2 x 1ห้องสมุดไป่ตู้ 0 x 1 ． x 综上知： 1, y 0 .
2013年4月22日星期一
小结
应用一元二次根的判别式主意几点： 1、判断是否一元二次方程； 2、其次要化为标准形式; 3、最后正确求出判别式的值 与零作比较得出根的情况
一元二次方程根的判别式的应用
平乡县实验中学 庞西宏
2013年4月22日星期一
现行初中数学教材要求学生掌握 一元二次方程的根的判断式及其应 用．本讲主要讲解什么是一元二次 方程根的判别式，它有哪些应用。
2013年4月22日星期一
一、什么是一元二次方程的根的 判断式 ax 2 bx c 0 (a 0) ，用配方法将 一元二次方程
说明：在求判断式时，务必先把方程变形为一元二 次方程的一般形式．
2013年4月22日星期一
【例2】已知关于x的一元二次方程 3 x 2 2 x k 0 , 根据 下列条件，分别求出K的范围： (1) 方程有两个不相等的实数根； (2) 方程有两个相等 的实数根 (3) 方程有实数根； (4) 方程无实数根
(3) 当 b 4ac 0 时，方程没有实数根．
2013年4月22日星期一
二、一元二次方程的根的判断式 的应用
【例1】不解方程，判断下列方程的实数根的个数：
(1)2 x 2 3 x 1 0 (2)4 y 2 9 12 y (3)5( x 2 3) 6 x 0
2013年4月22日星期一
谢 谢！
2013年4月22日星期一
2013年4月22日星期一
【例3】已知实数 x , y 、满足 x 2 y 2 xy 2 x y 1 0 ， 试求 x , y 的值． 解：把方程看作是关于 x 的方程，整理得：
x 2 ( y 2) x y 2 y 1 0
由于 x 是实数，所以此方程有实数根，因此：
其变形为：
b 2 b 2 4ac (x ) 2a 4a 2
(1) 当 b2 4ac 0 时，方程有两个不相等的实数根：
b b 2 4ac x 2a
b2 4ac 0 时，方程有两个相等的实数根： (2) 当
x1,2
2
b 2a
根的判别式
b2 4ac