人教版数学高一-必修2学案 4.3.1空间直角坐标系

4．3.1空间直角坐标系

基础梳理

1．空间直角坐标系．

(1)空间直角坐标系及相关概念．

①空间直角坐标系：从空间某一定点引三条两两垂直，且有相同单位长度的数轴：x，y，z轴，这样就建立了空间直角坐标系Oxyz.

②相关概念：点O叫做坐标原点，x，y，z轴叫做坐标轴．通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面，分别称为xOy平面、yOz平面、zOx平面．

(2)右手直角坐标系．

在空间直角坐标系中，让右手拇指指向x轴的正方向，食指指向y轴的正方向，如果中指指向z轴的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系．

练习1：原点O的坐标是(0，0，0)．

2．空间一点的坐标．

空间一点M的坐标可以用有序实数组(x，y，z)来表示，有序实数组(x，y，z)叫做点M在此空间直角坐标系中的坐标，记作M(x，y，z)．其中x 叫做点M的横坐标，y叫做点M的纵坐标，z叫做点M的竖坐标．►思考应用

在空间直角坐标系中，一些特殊点的坐标特征是怎样的？

(1)xOy平面是坐标形如(x，y，0)的点构成的点集；

(2)xOz平面是坐标形如(x，0，z)的点构成的点集；

(3)yOz平面是坐标形如(0，y，z)的点构成的点集；

(4)x轴是坐标形如(x，0，0)的点构成的点集；

(5)y轴是坐标形如(0，y，0)的点构成的点集；

(6)z轴是坐标形如(0，0，z)的点构成的点集．

其中x，y，z均为任意实数．

自测自评

1．点P(－1，0，2)位于(C)

A．y轴上B．z轴上

C．xOz平面内D．yOz平面内

解析：点P的纵坐标为0，则点P在平面xOz上．

2．y轴上的点的坐标的特点是(C)

A．竖坐标是0 B．横坐标是0

C．横、竖坐标都是0 D．横、纵坐标都是0

解析：y轴上的点的坐标是(0，c，0)．

3．在空间直角坐标系中，点(－2，1，4)关于x轴的对称点的坐标是(B) A．(－2，1，－4) B．(－2，－1，－4)

C．(2，－1，4) D．(2，1，－4)

解析：点P(a，b，c)关于x轴的对称点为P′(a，－b，－c)．

4．点M(－2，1，2)在x轴上的射影的坐标为(B)

A．(－2，0，2) B．(－2，0，0)

C．(0，1，2) D．(－2，1，0)

解析：点M(－2，1，2)在x轴上的射影的坐标为(－2，0，0)．

基础达标

1．在空间直角坐标系中，已知点P(x，y，z)，那么下列说法正确的是(D)

A．点P关于x轴对称的点的坐标是P1(x，－y，z)

B．点P关于yOz平面对称的点的坐标是P2(x，－y，－z)

C．点P关于y轴对称的点的坐标是P3(x，－y，z)

D．点P关于原点对称的点的坐标是P4(－x，－y，－z)

2．点A(－1，2，1)在x轴上的投影点和在xOy平面上的投影点的坐标分别为(B)

A．(－1，0，1)，(－1，2，0)

B．(－1，0，0)，(－1，2，0)

C．(－1，0，0)，(－1，0，0)

D．(－1，2，0)，(－1，2，0)

解析：点A(－1，2，1)在x轴上的投影点的横坐标是－1，纵坐标、竖坐标都为0，故为(－1，0，0)，点A(－1，2，1)在xOy平面上横、纵坐标不变且竖坐标是0，故为(－1，2，0)．

3．点P(1，1，1)关于xOy 平面的对称点为P 1，则点P 1关于z 轴的对称点P 2的坐标是(B )

A ．(1，1，－1)

B ．(－1，－1，－1)

C ．(－1，－1，1)

D ．(1，－1，1)

解析：P 1(1，1，－1)，P 2(－1，－1，－1)．

4．已知等腰直角△OAB 的直角顶点A 的坐标为(0，1，0)，其中O 为坐标原点，顶点B 在坐标平面内，则B 的坐标为(C )

A ．(0，1，1)

B ．(1，1，0)

C ．(0，1，1)或(1，1，0)

D ．(－1，－1，0)

解析：当B 在平面yOz 上时，B 的坐标为(0，1，1)，当B 的坐标在平面xOy 上时，B 的坐标为(1，1，0)．

5．在xOy 平面内有两点A(－2，4，0)，B(3，2，0)，则AB 的中点坐标是________．

解析：⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－2＋32

，4＋22，0＋02＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，3，0. 答案：⎝ ⎛⎭

⎪⎫12，3，0 6．已知A(3，5，－7)和B(－2，4，3)，则线段AB 在坐标平面yOz 上的射影的长度为________． 答案：101

7．已知一长方体ABCDA 1B 1C 1D 1的对称中心在坐标原点O ，交于同

一顶点的三个平面分别平行于三个坐标平面，顶点A的坐标为(－2，－3，－1)，求其他7个顶点的坐标．

解析：∵A(－2，－3，－1)，根据长方体各顶点的对称关系，不难求得B(－2，3，－1)，C(2，3，－1)，D(2，－3，－1)．将A、B、C、D分别关于平面xOy对称，可得到A1(－2，－3，1)，B1(－2，3，1)，C1(2，3，1)，D1(2，－3，1)．

巩固提升

8．在空间直角坐标系中，作出点A(2，2，－1)，B(－3，2，－4)，并判断直线AB与坐标平面xOz的关系．

解析：作出点A可按以下步骤进行：先在x轴上作出横坐标是2的点

A1，再将点A1沿与y轴平行的方向向右移动2个单位得到A2，然后将A2沿与z轴平行的方向向下移动1个单位得到点A.

作出点B可按以下步骤进行：

先在x轴上作出横坐标是－3的点B1，再将点B1沿与y轴平行的方向向右移动2个单位得到B2，然后将B2沿与z轴平行的方向向下移动4个单位得到点B.

由于A、B两点的纵坐标都是2，则A、B两点到坐标平面xOz的距离都是2，且都在坐标平面xOz的同侧，所以AB平行于坐标平面xOz.

9．VABCD为正四棱锥，O为底面中心，若AB＝2，VO＝3，试建立空间直角坐标系，并确定各顶点坐标．

解析：以底面中心O为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系

∵V在z轴正半轴上，且|VO|＝3，它的横坐标与纵坐标都是零，

∴点V的坐标是(0，0，3)．而A、B、C、D都在xOy平面上，

∴它们的竖坐标都是零．