最终版数字信号处理第一章差分方程、抽样.ppt

n
理想采样输出:
xˆ a (t) xa (t) T (t ) xa (nT )(t nT ) n
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2.频域分析
映射
时域相乘
频域卷积 （模拟系统）
xˆa(t) xa(t) p(t)
Xˆa(jW)
1
2
[X
a(jW)
P(jW)]
X a ( jW) DTFT[xa (t)]
……
由y(n) ay(n 1) x(n)，得 y(1) ay(0) x(1) 0 y(2) ay(1) x(2) 0
y(n)=ay(n-1)=-an
y(n) 0，n 1
因此，h(n)=y(n)=-anu(-n-1)，是非因果系统。
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以上结果说明：
（1）一个常系数线性差分方程不一定代表一个因果系统。 （2）一个常系数线性差分方程，如果没有附加的起始条件，
r0
k 1
其中ak，br都是常数。
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说明：
N
M
ak y(n k) br x(n r) , a0 1
k0
r0
1）常系数：是指ak，br都是常数，不含变数n。
2）阶数： 差分方程的阶数是由方程y(n-k)项中的k取值 最大与最小之差确定的。
3）线性：y（n−k）和x(n −r)项都只有一次幂且不存在 相乘项。
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两种采样方式
（a）实际采样
xa (t) xˆa (t) xˆa (t) xa (t) pT (t)
xa(t)
o
p(t) 1
o
T
x^a(t)
t t
o
t
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（b）理想采样
当 0 xˆa (t) xa (t) T (t)
xa(t)
o
t
p(t)
o
T
t
x^a(t)
o
t
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研究讨论：
1
2
[X
a(jW)
*
2 T
(W
k
不能唯一的确定一个系统的输入输出关系，并且只有当起 始条件选择合适时，才相当于一个线性时不变系统。
在以下的讨论中，除非特别声明，我们都假设常系数线性 差分方程所表示的系统都是指线性时不变系统，并且多数 是指因果系统。
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差分方程
系统结构
采用差分方程描述系统简便，容易得到系统的运算结构
y(n) ay(n 1) x(n)
xa
(t
)e
jWt
dt
T
(
jW)
DTFT [T
(t)]
2
T
k
(W
kWs )
Xˆ a
(
jW)
DTFT
[ xˆa
(t)]
1
2
[X
a
(
jW)
*
T
(
jW)]
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2.频域分析
（1)冲激函数序列δT(t)的频谱
jk 2t
T (t) Ake T
可求解出:
k T
T
Ak
1 T
2
(t)e jkWstdt
T
t0
1 T
2
(t)dt
T
1 T
2
2
T
(t)
1 T
k
e jkWst
因为 e jWst 2 (W Ws )
P(jW)
F[1 T
e jkWs ]
n
2 T
(W
k
kWs )
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（2）理想采样信号 xˆ a的(t频) 谱
Xˆa(jW)
1
2
[X
a(jW)
Fra Baidu bibliotek
*
P(jW)]
里采用Z变换法来求解差分方程，这在实际使用上是最
简单有效的方法。
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例题：
若系统用差分方程y(n)=ay(n-1)+x(n)描述，输入序列 x(n)=δ(n)，求初始条件分别为：（1）h(n)=0，n<0；
（2）h(n)=0，n>0时的单位脉冲响应h(n)。 解：（1）令x(n)=δ(n)， y(n)= h(n)=0， n<0
§1.3 离散时间系统的时域描述––––差分方程
连续时间系统——用微分方程描述系统输出输入之间 的关系。
离散时间系统——用差分方程描述或研究输出输入之 间的关系。
一、常系数线性差分方程的一般表达式
N
M
ak y(n k) br x(n r) , a0 1
k0
r0
或
M
N
y(n) br x(n r) ak y(n k)
y(n)=ay(n-1)=an
y(n) 0，n 1
因此，h(n)=y(n)=anu(n)，该系统是因果系统。
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已知：y(n)=ay(n-1)+x(n)，求h(n)=0，n>0时的h(n)
（2）将差分方程改写成y(n-1)= a-1[y(n)-x(n)]
根据初始条件可递推如下
y(0)=a-1[y(1)-δ(1)]=0 y(-1)= a-1[y(0)-δ(0)]=- a-1
x(n)
y(n)
Z-1
a
该式说明，系统在某时刻n的输出值y(n)不仅与该 时刻的输入x(n) 有关，还与该时刻以前的输出值 y(n-1)，y(n-2)等有关。
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§1.4 连续时间信号的抽样
模拟 前置预 滤波器
xa(t)
PrF
A/D 变换器
ADC
数字信号 处理器
DSP
D/A 变换器
DAC
模拟 模拟 滤波器
ya(t)
PoF
采样
采样恢复
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一、采样的基本概念
所谓“采样”，就是利用采样脉冲序列从连续时间信号 中抽取一系列的离散样值，由此得到的离散时间信号通 常称为采样信号，以 xˆ a (t ) 表示。
连续信号
采样信号
x^a(t)
采样器
xa(t)
x^ a(t)
o
t
采样脉冲
采样的原理框图
δ(n)作用下，输出 y(n)就是 h(n)
根据初始条件可递推如下 y(0)=ay(-1)+δ(0)=1 y(1)=ay(0)+δ(1)=a y(2)=ay(1)+δ(2)=a2
……
由y(n 1) 1 [ y(n) x(n)]，得 a
y(2) 1 [ y(1) x(1)] 0 a
y(3) 1 [ y(2) x(2)] 0 a
➢ 采样前后信号频谱的变化？ ➢ 什么条件下，可以从采样信号 xˆ a (t )不失真地恢
复出原信号？
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二、理想采样
1.时域分析
数学模型
xa(t) Xa(W)
x^ a(t)=xa(t) p(t)
Xˆ a (W)
1
2
[ X a (W )
P (W )]
p(t)
采样脉冲：
p(t) T (t) (t nT )
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二、差分方程的求解
时域经典法：类似于解微分方程，即求齐次解和特解， 过程繁琐，应用很少，但物理概念比较清楚。
迭代法(递推法)：比较简单，且适合于计算机求解，但 不能直接给出一个完整的解析式作为解答（也称闭合形 式解答）。
卷积法：适用于系统起始状态为零时的求解。
变换域方法：类似于连续时间系统的拉普拉斯变换，这