离散型变量及其分布
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RJ·A版·数学 新课标高考总复习（理）
RJ·A版·数学 新课标高考总复习（理）
考纲要求
1.理解取有限个值的离散型 随机变量及其分布列的概念 ，了解分布列对于刻画随机 现象的重要性． 2．理解超几何分布及其导 出过程，并能进行简单的应 用.
考情分析
随机事件的概率计算与 离散型随机变量的分布列的 求法一直是近年各地命题的 热点，一般都以解答题形式 出现，属中档题，由于运算 量大，故本题型解答时要注 意审题，同时运算时要细心 ，对运算结果要用性质检查.
1 2k
，k＝1,2，…，则P(2<X
≤4)等于( )
3
1
1
5
A.16
B.4
C.16
D.16
解析：P(2<X≤4)＝P(X＝3)＋P(X＝4) ＝213＋214＝136.
答案：A
RJ·A版·数学 新课标高考总复习（理）
5．从一批含有13只正品，2只次品的产品中，不放回地任取3件，
则取得次品数为1的概率为( )
η －1 1 3 5 7 P 0.1 0.2 0.4 0.2 0.1
RJ·A版·数学 新课标高考总复习（理）
(对应学生用书P198) 考点1 离散型随机变量分布列的性质 利用分布列中各概率之和为1的性质，可以求分布列中的参数 值．但此时要注意检验，以保证每个概率值均为非负数．对于随机变量 的函数(仍是随机变量)的分布列，可以按分布列的定义来求．
X x1 x2 … xi … xn P p1 p2 … pi … pn 称为离散型随机变量X的概率分布列，简称为X的分布列．有时为 了表达简单，也用等式P(X＝xi)＝pi，i＝1,2，…，n表示X的分布列． 随机变量是把随机试验的结果数量化，变量的每一个值对应于随 机试验的结果．分布列实质上就是概率关于随机变量的函数．由于某些 随机变量取值不连续，而是有限个，故一般用列表法表示函数的关 系．有些分布列可以用式子表示，如超几何分布、二项分布、正态分 布．
…
m
…
CMmCN－Mn－m CNn
RJ·A版·数学 新课标高考总复习（理）
自主检测 1．抛掷2颗骰子，所得点数之和记为X，那么X＝4表示的随机试验 结果是( ) A．2颗都是4点 B．1颗1点，另1颗3点 C．2颗都是2点 D．1颗是1点，另1颗是3点，或者2颗都是2点 解析：由于抛掷1颗骰子，可能出现的点数是1,2,3,4,5,6这6种情况 之一，而X表示抛掷2颗骰子所得到的点数之和，所以X＝4＝1＋3＝2＋2 表示的随机试验结果是：1颗是1点，另1颗是3点，或者2颗都是2点，故 选D. 答案：D
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4．常见离散型随机变量的分布列 (1)两点分布
像 X 0 1 这样的分布列叫做两点分布列． P 1－p p
如果随机变量X的分布列为两点分布列，就称X服从两点分布，而 称p＝P(X＝1)为成功概率．
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(2)超几何分布列
一般地，在含有M件次品的N件产品中，任取n件，其中恰有X件次
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(对应学生用书P197) 知识梳理 1．离散型随机变量 随着试验结果变化而变化的变量称为随机变量，常用字母X、Y、ξ、 η……表示． 所有取值可以一一列出的随机变量称为离散型随机变量．
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2．离散型随机变量的分布列 一 般 地 ， 若 离 散 型 随 机 变 量 X 可 能 取 的 不 同 值 为 x1 ， x2 ， … ， x i，…，xn，X取每一个值xi(i＝1,2，…，n)的概率P(X＝xi)＝pi，则表
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2．已知随机变量X的分布列为P(X＝i)＝
i 2a
(i＝1,2,3)，则P(X＝2)等
于( )
1
1
1
1
A.9
B.6
C.3
D.4
解析：∵21a＋22a＋23a＝1，∴a＝3，P(X＝2)＝2×2 3＝13.
答案：C
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3．设某项试验的成功率是失败率的2倍，用随机变量X去描述1次
品，则事件{X＝k}发生的
概率为P(X＝k)
＝
CMkCN－Mn－k CNn
，k＝0,1,2，…，
m，
其中m＝min{M，n}，且n≤N，M≤N，n，M，N∈N*.称分布列为
超几何分布列．如果随机变量X的分布列为超几何分布列，则称随机变
量X服从超几何分布．
X
0
P
CM0CN－Mn－0 CNn
1
CM1CN－Mn－1 CNn
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3．离散型随机变量分布列的性质 (1)pi≥0，i＝1,2，…，n；
n
(2) pi＝1.
i＝1
问题探究1：离散型随机变量X的每一个可能取值为实数，其实质 代表的是什么？
提示：代表的是“事件”，但事件是用一个反映结果的实数表示 的．
问题探究2：如何求离散型随机变量的分布列？ 提示：首先写出离散型随机变量的各个取值，其次对每一个取值 求出它的概率，最后用表格形式列出．
试验的成功次数，则P(X＝0)等于( )
A．0
1 B.2
1 C.3
2 D.3
解析：“X＝0”表示试验失败，“X＝1”表示试验成功，设失败
率为p，则成功率为2p.
则X的分布列为
X
0
1
P p 2p
∴由p＋2p＝1得p＝13.
答案：C
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4．已知随机变量X的分布列为wenku.baidu.com(X＝k)＝
32
12
3
2
A.35
B.35
C.35
D.35
解析：设取得的次品数为X，则X服从超几何分布，P(X＝1)＝ C2C1C151332＝1325.
答案：B
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6．已知随机变量ξ的分布列为
ξ1 2 3 4 5 P 0.1 0.2 0.4 0.2 0.1
若η＝2ξ－3，则η的分布列为________． 解析：由η＝2ξ－3可计算出相应的η的取值，概率不变． 答案：
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例1 设随机变量ξ的分布列Pξ＝k5＝ak(k＝1,2,3,4,5)． (1)求常数a的值； (2)求Pξ≥35； (3)求P110<ξ<170.
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【解】 所给分布列为
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考纲要求
1.理解取有限个值的离散型 随机变量及其分布列的概念 ，了解分布列对于刻画随机 现象的重要性． 2．理解超几何分布及其导 出过程，并能进行简单的应 用.
考情分析
随机事件的概率计算与 离散型随机变量的分布列的 求法一直是近年各地命题的 热点，一般都以解答题形式 出现，属中档题，由于运算 量大，故本题型解答时要注 意审题，同时运算时要细心 ，对运算结果要用性质检查.
1 2k
，k＝1,2，…，则P(2<X
≤4)等于( )
3
1
1
5
A.16
B.4
C.16
D.16
解析：P(2<X≤4)＝P(X＝3)＋P(X＝4) ＝213＋214＝136.
答案：A
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5．从一批含有13只正品，2只次品的产品中，不放回地任取3件，
则取得次品数为1的概率为( )
η －1 1 3 5 7 P 0.1 0.2 0.4 0.2 0.1
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(对应学生用书P198) 考点1 离散型随机变量分布列的性质 利用分布列中各概率之和为1的性质，可以求分布列中的参数 值．但此时要注意检验，以保证每个概率值均为非负数．对于随机变量 的函数(仍是随机变量)的分布列，可以按分布列的定义来求．
X x1 x2 … xi … xn P p1 p2 … pi … pn 称为离散型随机变量X的概率分布列，简称为X的分布列．有时为 了表达简单，也用等式P(X＝xi)＝pi，i＝1,2，…，n表示X的分布列． 随机变量是把随机试验的结果数量化，变量的每一个值对应于随 机试验的结果．分布列实质上就是概率关于随机变量的函数．由于某些 随机变量取值不连续，而是有限个，故一般用列表法表示函数的关 系．有些分布列可以用式子表示，如超几何分布、二项分布、正态分 布．
…
m
…
CMmCN－Mn－m CNn
RJ·A版·数学 新课标高考总复习（理）
自主检测 1．抛掷2颗骰子，所得点数之和记为X，那么X＝4表示的随机试验 结果是( ) A．2颗都是4点 B．1颗1点，另1颗3点 C．2颗都是2点 D．1颗是1点，另1颗是3点，或者2颗都是2点 解析：由于抛掷1颗骰子，可能出现的点数是1,2,3,4,5,6这6种情况 之一，而X表示抛掷2颗骰子所得到的点数之和，所以X＝4＝1＋3＝2＋2 表示的随机试验结果是：1颗是1点，另1颗是3点，或者2颗都是2点，故 选D. 答案：D
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4．常见离散型随机变量的分布列 (1)两点分布
像 X 0 1 这样的分布列叫做两点分布列． P 1－p p
如果随机变量X的分布列为两点分布列，就称X服从两点分布，而 称p＝P(X＝1)为成功概率．
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(2)超几何分布列
一般地，在含有M件次品的N件产品中，任取n件，其中恰有X件次
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(对应学生用书P197) 知识梳理 1．离散型随机变量 随着试验结果变化而变化的变量称为随机变量，常用字母X、Y、ξ、 η……表示． 所有取值可以一一列出的随机变量称为离散型随机变量．
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2．离散型随机变量的分布列 一 般 地 ， 若 离 散 型 随 机 变 量 X 可 能 取 的 不 同 值 为 x1 ， x2 ， … ， x i，…，xn，X取每一个值xi(i＝1,2，…，n)的概率P(X＝xi)＝pi，则表
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2．已知随机变量X的分布列为P(X＝i)＝
i 2a
(i＝1,2,3)，则P(X＝2)等
于( )
1
1
1
1
A.9
B.6
C.3
D.4
解析：∵21a＋22a＋23a＝1，∴a＝3，P(X＝2)＝2×2 3＝13.
答案：C
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3．设某项试验的成功率是失败率的2倍，用随机变量X去描述1次
品，则事件{X＝k}发生的
概率为P(X＝k)
＝
CMkCN－Mn－k CNn
，k＝0,1,2，…，
m，
其中m＝min{M，n}，且n≤N，M≤N，n，M，N∈N*.称分布列为
超几何分布列．如果随机变量X的分布列为超几何分布列，则称随机变
量X服从超几何分布．
X
0
P
CM0CN－Mn－0 CNn
1
CM1CN－Mn－1 CNn
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3．离散型随机变量分布列的性质 (1)pi≥0，i＝1,2，…，n；
n
(2) pi＝1.
i＝1
问题探究1：离散型随机变量X的每一个可能取值为实数，其实质 代表的是什么？
提示：代表的是“事件”，但事件是用一个反映结果的实数表示 的．
问题探究2：如何求离散型随机变量的分布列？ 提示：首先写出离散型随机变量的各个取值，其次对每一个取值 求出它的概率，最后用表格形式列出．
试验的成功次数，则P(X＝0)等于( )
A．0
1 B.2
1 C.3
2 D.3
解析：“X＝0”表示试验失败，“X＝1”表示试验成功，设失败
率为p，则成功率为2p.
则X的分布列为
X
0
1
P p 2p
∴由p＋2p＝1得p＝13.
答案：C
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4．已知随机变量X的分布列为wenku.baidu.com(X＝k)＝
32
12
3
2
A.35
B.35
C.35
D.35
解析：设取得的次品数为X，则X服从超几何分布，P(X＝1)＝ C2C1C151332＝1325.
答案：B
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6．已知随机变量ξ的分布列为
ξ1 2 3 4 5 P 0.1 0.2 0.4 0.2 0.1
若η＝2ξ－3，则η的分布列为________． 解析：由η＝2ξ－3可计算出相应的η的取值，概率不变． 答案：
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例1 设随机变量ξ的分布列Pξ＝k5＝ak(k＝1,2,3,4,5)． (1)求常数a的值； (2)求Pξ≥35； (3)求P110<ξ<170.
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【解】 所给分布列为