高数下册总复习知识点

d z z d u z dv dt u dt v dt
z
u v
t
公式的记忆方法：连线相乘，分线相加.
5、全微分形式不变性 无论 z是自变量 u、v的函数或中间变量 u、v 的函数，它的全微分形式是一样的.
z z dz du dv u v
6、隐函数的求导法则
u u ( x , y ), v v ( x , y ), 计算偏导数按直接法求解.
7、微分法在几何上的应用
(1) 空间曲线的切线与法平面 (关键: 抓住切向量)
: x ( t ), y ( t ), z ( t ).
定义 设函数 z f ( x , y ) 在点 ( x0 , y0 ) 的某一邻 域内有定义，当 y 固定在 y0 而 x 在 x0 处有增量 x 时，相应地函数有增量 f ( x0 x, y0 ) f ( x0 , y0 )，
f ( x0 x , y0 ) f ( x0 , y0 ) 如果 lim 存在，则称 x 0 x 此极限为函数 z f ( x , y )在点( x0 , y0 )处对 x 的
高数下册总复习知识点归纳
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各 章 节 知 识 点 归 纳
第八章 向量代数与空间解析 几何总结 第九章多元函数微分法
第十张：重积分，三重积分
第十一章：曲线积 分与曲面积分
第十二章：无穷级数
第八章 向量代数与空间解析几何总结
（一）向量代数
1、向量的坐标表示法 向量的分解式： a a x i a y j a z k 在三个坐标轴上的分向量： a x i , a y j , a z k
[3] 空间曲线在坐标面上的投影 C C关于 的投影柱面 C在 上的投影曲线

F ( x, y, z ) 0 设曲线 C : G( x, y, z ) 0
z
O
C
y
x 则C关于xoy面的投影柱 面方程应为消z后的方程： H ( x , y ) 0 所以C在xoy面上的投 影曲线的方程为：
(F , G ) P ( u, v ) 0,
P
则方程组 F ( x , y, u, v ) 0, G ( x , y , u, v ) 0 在点 ( x0 , y0 ) 的某一邻域内可唯一确定一组满足条件 u0 u ( x0 , y0 ), v0 v ( x0 , y0 ) 的单值连续函数
a b （ax bx , ay by , az bz ）
(a x bx )i (a y by ) j (az bz )k
a （ax , ay , az ）
(a x bx )i (a y by ) j (az bz )k
导数
Fx dy . dx Fy
(隐函数求导公式)
2. F ( x , y , z ) 0
定理2 若函数 F ( x , y , z ) 满足: ① 在点 P ( x0 , y0 , z0 )的某邻域内具有连续偏导数 ; ② F ( x0 , y0 , z0 ) 0 ; 则方程 并有连续偏导数 在点 ③ Fz ( x0 , y0 , z0 ) 0 , 某一邻域内可唯一确
2
x y z 2 2 1 2 a b c
2
2
x2 y2 z 2 p 2q ( p 与 q 同号 )
特殊地：当 p q 时，方程变为
x2 y2 z 2p 2p
( p 0)
旋转抛物面
2 xoz （由 面上的抛物线 x 2 pz 绕它的轴 旋转而成的）
（3）马鞍面
x2 y2 z 2 p 2q


0 ( 0)
3、关系 多元函数连续、可导、可微的关系
函数连续
函数可导
有极限
函数可微 偏导数连续
4、多元复合函数求导法则 中间变量均为一元函数的情形 定理1 若函数
z f ( u, v ) 在点t处可导，
在点 处偏导连续, 则复合函数 z f ( ( t ), ( t )) 在点 t 可导, 且有链式法则
2 2 2 2 2 2
1
[5] 两平面位置特征： (1) 1 2 n1 n2 A1 A2 B1 B2 C1C2 0
( 2) 1 // 2 n1
重合
A1 B1 C1 n2 . A2 B2 C 2
第九章多元函数微分法
1、偏导数概念
2
2
母线 // x 轴
母线 // z 轴 母线// y 轴
z 2 px
2
抛物柱面
x
y z 2 1 2 b c
z y
2
2
z
椭圆柱面
y
x
x
双曲柱面
2 2
x y 2 1 2 a b
z
抛物柱面
z 2 px
2
y
3. 二次曲面
定义:三元二次方程所表示的曲面称为二次曲面.
（1）椭球面
（2）椭圆抛物面
向量的坐标表示式：
a (ax , a y , az )
向量的坐标： a x , a y , a z
其中 a x ,a y , a z 分别为向量在 x , y , z 轴上的投影.
向量的加减法、向量与数的乘积等的坐标表达式
（bx , by , bz ） a （ax , ay , az ） b a b （ax bx , ay by , az bz ）
z
旋 转 椭 球 面
o
x
y
（1）球面
（2）圆锥面
（3）旋转双曲面
x y z 1
2 2 2
x y z
2 2
2
x y z 2 2 1 2 a a c
2
2
2
( x x0 )2 ( y y0 )2 ( z z0 )2 R2
2. 柱面
定义：平行于定直线并沿定曲线C移动的直线 L所形成的曲面称之.
(a x )i (a y ) j (az )k
2 2 2 | a | a a a 向量模长的坐标表示式 x y z
向量方向余弦的坐标表示式
cos
ax a x a y az
2 2 2
cos
ay a x a y az
2 2 2
y y0 y y0
2、全微分公式
z z dz dx dy . x y
用定义证明可微与不可微的方法 可微 不可微
z [ f x ( x0 , y0 ) x f y ( x0 , y0 ) y] z [ f x ( x0 , y0 ) x f y ( x0 , y0 ) y] 0 ( 0)
这条定曲线叫柱面 的准线，动直线叫 柱面的母线.
从柱面方程(的特征:二元方程)看柱面的特征：
只含 x , y 而缺 z 的方程 F ( x , y ) 0 ，在 空间直角坐标系中表示母线平行于 z 轴的柱 面，其准线为 x o y 面上曲线C . （其他类推）
实 例
y z 2 1 椭圆柱面 2 b c x2 y2 2 1 双曲柱面 2 a b
定一个单值连续函数 z = f (x , y) , 满足
Fx z , x Fz
Fy z y Fz
定理3 设函数
满足:
① 在点 P ( x0 , y0 , u0 , v0 )的某一邻域内具有连续偏导数 ② F ( x0 , y0 , u0 , v0 ) 0, G( x0 , y0 , u0 , v0 ) 0; ③ J
( p 与 q 同号 )
（4）单叶双曲面 （5）圆锥面
x2 y2 z2 2 2 1 2 a b c
x y z
2 2
2
4.空间曲线
[1] 空间曲线的一般方程
F ( x, y, z ) 0 G ( x , y , z ) 0
[2] 空间曲线的参数方程
x x( t ) y y( t ) z z(t )
2 2 2 2 2 2
两向量夹角余弦的坐标表示式
cos
ab
3、向量积
(叉积、外积)
a 与b 的夹角 其中 为
| c || a || b | sin
c 的方向既垂直于a ， 又垂直于b ， 指向符合右 手系. i j k 向量积的坐标表达式 a b a x a y a z
cos
2
az a x a y az
2
2 2 2
cos cos cos 1
2
两点间距离公式:
设 M 1 ( x1 , y1 , z1 ) 、M 2 ( x 2 , y 2 , z 2 ) 为空间两点
它们距离为
M1 M 2
x2 x1 y2 y1 z2 z1
偏导数，记为
z f ， ，z x x0 x x0 x x x y y y y
0 0
x x0 或 y y0
f x ( x 0 , y0 ) .
y 同理可定义函数z f ( x , y ) 在点( x0 , y0 ) 处对 的偏导数， 为
f ( x 0 , y0 y ) f ( x 0 , y0 ) lim y 0 y z f 记为 ， ， z y x x0 或 f y ( x 0 , y 0 ) . y y0 y x x 0 y x x 0
(1) F ( x, y ) 0 定理1 设函数
在点
的某一邻域内满足
① ② 则方程