实验四连续信号的傅立叶变换
实验：连续系统的频域分析
实验4：连续系统的频域分析一、实验目的（1）掌握连续时间信号的傅里叶变换和傅里叶逆变换的实现方法。
（2）掌握傅里叶变换的数值计算方法和绘制信号频谱的方法。
二、实验原理 1.周期信号的分解根据傅里叶级数的原理，任何周期信号都可以分解为三角级数的组合——称为()f t 的傅里叶级数。
在误差确定的前提下，可以由一组三角函数的有限项叠加而得到。
例如一个方波信号可以分解为：11114111()sin sin 3sin 5sin 7357E f t t t t t ωωωωπ⎛⎫=++++ ⎪⎝⎭合成波形所包含的谐波分量越多，除间断点附近外，它越接近于原波形，在间断点附近，即使合成的波形所含谐波次数足够多，也任存在约9%的偏差，这就是吉布斯现象（Gibbs ）。
2.连续时间信号傅里叶变换的数值计算 由傅里叶变换的公式：()()lim()j tj n n F j f t edt f n e ωωττωττ∞∞---∞→=-∞==∑⎰当()f t 为时限信号时，上式中的n 取值可以认为是有限项N，则有：()(),0k Nj n n F k f n e k N ωτττ-==≤≤∑，其中2k k N πωτ=3.系统的频率特性连续LTI 系统的频率特性称为频率响应特性，是指在正弦信号激励作用下稳态响应随激励信号频率的变化而变化的情况，表示为()()()Y H X ωωω=三、实验内容与方法 1.周期信号的分解【例1】用正弦信号的叠加近似合成一个频率为50Hz 的方波。
MA TLAB 程序如下： clear all; fs=10000; t=[0:1/fs:0.1]; f0=50;sum=0; subplot(211) for n=1:2:9plot(t,4/pi*1/n*sin(2*pi*n*f0*t),’k ’); hold on; endtitle(‘信号叠加前’); subplot(212) for n=1:2:9;sum=sum+4/pi*1/n*sin(2*pi*n*f0*t);endplot(t,sum,’k ’); title(‘信号叠加后’); 产生的波形如图所示：00.010.020.030.040.050.060.070.080.090.1-2-1012信号叠加前00.010.020.030.040.050.060.070.080.090.1-2-1012信号叠加后2.傅里叶变换和逆变换的实现求傅里叶变换，可以调用fourier 函数，调用格式为F=fourier(f,u,v)，是关于u 的函数f 的傅里叶变换，返回函数F 是关于v 的函数。
第4章连续时间傅里叶变换
(2)若系统输入为 e2tu(t) ,求系统的输出.
解: (1)对方程两端取Fourier变换(用到稳定条件)得
j Y j Y j X j
Y j 1 X j
1 j
频率响应为
H ( j) Y ( j) 1 X ( j) 1 j
第4章 连续时间傅里叶变换
1.连续时间傅里叶变换推导 2.傅里叶变换举例 3.周期信号的傅里叶变换 4.连续时间傅里叶变换的性质 5.由线性常系数微分方程表征的系统
1 连续时间傅里叶变换的推导
• X(t)—一个非周期信号 —把它看作一个 T 的周期信号；
• 对于一个周期信号，谐波分量被 0 2 /T 隔开；
1 a
X
j
a
例如：a>1 at>t
a 1
xt X j
在时间域压缩
在频率域伸展
a)x(t)是实的和偶的 xt xt
X j X j X * j 实&偶
b)x(t)实的和奇的
xt -xt X j X j X * j
2
我们已经知道： x t y t X j Y j
那么就不意外地
得到：
xt yt
1
X j Y j
2
1
2
X
j
Y
j
d
中的卷积
-对偶性的结果
乘法性质举例
r
t
st
pt
j
x
t
e jt dt
连续信号的连续傅里叶变换
连续信号的连续傅里叶变换连续信号的连续傅里叶变换是数字信号处理和通信工程领域中的一个重要概念。
在不同领域中，连续傅里叶变换都有着不同的应用，例如音频信号处理、图像处理、物理学等等。
在这篇文章中，我们将会简单介绍什么是连续信号、连续傅里叶变换的定义及作用，以及如何通过数学公式和图像解读连续傅里叶变换。
一. 什么是连续信号在信号处理中，信号可以被分为两种类型：连续信号和离散信号。
在这篇文章中，我们关注的是连续信号。
首先，让我们回顾什么是信号。
信号是描述某一事件或现象的物理量，可以是声音、图像、生物电信号等等。
连续信号是指在时间或空间上连续存在的信号，是一个在领域上是连续的函数。
例如，一个音频信号、一个连续的心电图信号，或者一个连续的温度时间序列等都是连续信号。
二. 连续傅里叶变换的定义连续傅里叶变换是将一个实数连续信号分解成一组正弦和余弦的和，即频域上的信号。
这个变换广泛应用于信号处理、图像处理、音频处理等领域，是必不可少的数学工具。
在数学上，一个连续信号 $f\left( x\right)$ 的连续傅里叶变换可以表示为： $$ F\left( \omega\right) = \int _{-\infty }^{\infty }f\left( x\right) e^{-j\omegax}\mathrm{d}x $$ 其中，$f\left( x\right)$ 是原始信号，$F\left( \omega \right)$ 是变换后的频域上的信号， $\omega$ 是角频率，并且 $j = \sqrt{-1}$。
通过连续傅里叶变换，我们可以将原始信号转换为频域上的表示。
在频域上，信号可以通过一系列正弦和余弦函数的复合表示。
这些函数的频率对应于信号中的周期或频率成分，并且它们的振幅与信号的强度有关。
在信号处理和通信系统中，通常使用连续傅里叶变换的频域来进行滤波、解调和信号调制。
三. 连续傅里叶变换的作用在音频、图像和其他领域中，连续傅里叶变换的应用非常广泛。
第三章连续信号的频谱——傅里叶变换
第三章连续信号的频谱——傅里叶变换电气工程学院第三章连续信号的频谱——傅里叶变换LTI系统分析的一个基本任务，是求解系统对任意激励信号的响应，基本方法是将信号分解为多个基本信号元。
频域分析是将正弦函数作为基本信号元，任意信号可以由不同频率的正弦函数表示。
无论采取何种方式对信号进行分解、逼近或变换，最终的目的是要寻求一种方法既能方便地求解系统的响应，又能使获得的结果具有明显的物理意义，并用于解释或设计实际系统。
如果已知LTI系统对正弦信号的响应，利用LTI系统的叠加、比例与时不变性就可以得到任意信号的响应。
电气工程学院第三章连续信号的频谱——傅里叶变换3.1 用完备正交函数集表示信号3.2 周期信号的傅里叶级数3.3 周期矩形脉冲的频谱分析3.4 非周期信号的频谱——傅里叶变换3.5 傅里叶变换的性质3.6 周期信号的傅里叶变换3.7 能量谱和功率谱帕塞瓦尔定理习题电气工程学院3.1.1 正交矢量平面空间两个矢量正交的条件是21=⋅A A 1122A C A C A =+112233A C A C A C A =++1222n nA C A C A C A =++L 推广：3.1 用完备正交函数集表示信号3.1.2 正交函数与正交函数集正交矢量分解的概念，可推广应用于信号分析，信号常以时间函数来表示，故信号的分解，也就是时间函数的分解。
仿照矢量正交概念，也可定义函数的正交。
1、实函数的正交设)(1t x 和)(2t x 是定义在12(,)t t 区间上的两个实变函数12(,)t t 区间上有)()(2121=∫dt t x t x t t 则称)(1t x 和)(2t x 在12(,)t t 内正交。
（信号），若在电气工程学院2、正交函数集设是定义在12(,)t t 区间上的n 个实变函数12(,)t t 区间上有则称在12(,)t t 内构成正交函数集。
（信号），若在)(,),(),(21t x t x t x n L ⎪⎩⎪⎨⎧=∫i r t t i k dt t x t x 0)()(21ri r i =≠{})(,),(),(21t x t x t x n L ⎪⎩⎪⎨⎧=∫10)()(21dt t x t x r t t i r i ri =≠在12(,)t t 内构成归一化正交函数集。
连续时间信号傅里叶变换及matlab实现课程设计
连续时间信号傅里叶变换及matlab实现课程设计题目：连续时间信号傅里叶变换及matlab实现一、实验目的1、了解连续时间信号傅里叶变换的概念和性质2、掌握连续时间信号傅里叶变换的计算方法和公式3、使用matlab软件进行连续时间信号傅里叶变换的仿真实现二、实验原理1、连续时间信号的傅里叶级数展开式：$$x(t)=\sum_{n=-\infty}^{\infty} c_{n} e^{j n \omega_{0} t}$$其中，$c_{n}$为信号的傅里叶系数，$\omega_{0}$为角频率。
2、连续时间信号的傅里叶变换：$$X(j\omega)=\int_{-\infty}^{\infty} x(t)e^{-j\omega t} dt$$其中，$X(j\omega)$为信号的频域表示。
3、连续时间信号的傅里叶逆变换：$$x(t)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}X(j\omega)e^{j\omegat} d\omega$$其中，$x(t)$为信号的时域表示。
4、傅里叶变换的性质：①线性性质②积分性质③对称性质④时移性质⑤频移性质⑥尺度性质三、实验步骤1、选择一种连续时间信号，例如三角波信号。
2、求出该信号的傅里叶变换，绘制其对应的模长和相位谱。
3、使用matlab软件绘制该信号的时域波形和频域波形。
4、对该信号进行时移、频移和尺度变换，绘制相应的时域波形和频域波形。
四、实验数据记录和处理1、选择三角波信号：$$x(t)=\begin{cases}2t & -\frac{1}{2}<t<0 \\ -2t &0<t<\frac{1}{2} \\ 0 & t=\pm\frac{1}{2} \end{cases}$$2、求该信号的傅里叶变换：$$X(j\omega)=\int_{-\infty}^{\infty}x(t)e^{-j\omegat}dt=\frac{2}{j\omega}\left(1-e^{-j\omega\frac{1}{2}}\right)$$ 该式子的模长谱和相位谱如下图所示：【插入图片】3、使用matlab软件绘制该信号的时域波形和频域波形：【插入matlab代码】【插入图片】【插入代码】【插入图片】【插入代码】【插入图片】4、对该信号进行时移、频移和尺度变换，绘制相应的时域波形和频域波形：时移：$$x_{1}(t)=x(t-\frac{1}{4})$$【插入matlab代码】【插入图片】【插入代码】【插入图片】频移：$$x_{2}(t)=x(t)e^{-j\pi t}$$【插入matlab代码】【插入图片】【插入代码】【插入图片】尺度变换：$$x_{3}(t)=x(\frac{t}{2})$$【插入matlab代码】【插入图片】【插入代码】【插入图片】五、实验结论1、连续时间信号的傅里叶变换可以将信号从时域表示转换为频域表示。
实验四 信号的分解与合成
实验四信号的分解与合成实验目的：1.了解信号的分解与合成原理；2.掌握连续时间信号的傅里叶级数分解公式及其应用；3.掌握离散时间信号的傅里叶变换公式及其应用。
实验原理：1.信号的分解任何信号都可以分解成若干谐波的叠加。
这是因为任何周期信号都可以表示为若干谐波的叠加。
傅里叶级数分解公式：$$x(t)=\sum_{n=-\infty}^{+\infty} C_ne^{jn\omega_0t}$$其中，$C_n$为信号的各级谐波系数，$\omega_0$为信号的基波频率。
当信号为实信号时，其傅里叶级数中只有实系数，且对称性可利用，因此实际计算中可以只计算正频率系数，即$$x(t)=\sum_{n=0}^{+\infty} A_n\cos(n\omega_0t+\phi_n)$$其中，$A_n$为信号各级谐波幅度，$\phi_n$为各级谐波相位。
若信号不是周期信号，则可以采用傅里叶变换进行分解。
2.信号的合成对于任意信号$y(t)$，都可以表示为其傅里叶系数与基波频率$\omega_0$的乘积的叠加，即$$y(t)=\sum_{n=-\infty}^{+\infty}C_ne^{jn\omega_0t}$$若$y(t)$为实信号，则其傅里叶系数中只有正频率系数，即$$y(t)=\sum_{n=0}^{+\infty}A_n\cos(n\omega_0t+\phi_n)$$实验步骤：一、连续时间信号的傅里叶级数分解1.打开Matlab软件，使用line或scatter等函数绘制出函数$f(x)=x(0<x<2\pi)$的图像。
2.使用Matlab的fft函数对f(x)进行逆傅里叶变换得到其傅里叶级数分解。
3.将得到的傅里叶级数分解与原函数的图像进行比较，分析级数中谐波幅度的变化规律。
二、离散时间信号的傅里叶变换1.使用Matlab生成一个为$sin(\pi k/4),0\le k\le 15$的离散时间信号。
连续时间傅里叶变换
连续时间傅里叶变换连续时间傅里叶变换（Continuous-Time Fourier Transform，CTFT）是傅里叶变换（Fourier Transform，FT）的一种，它适用于连续信号。
它能够将连续时间信号表示为一系列相同时间周期内信号幅度和相位不同的空间频率组份，即信号可以按其频率分解为更加精细的空间组份，这也是傅里叶级数的基础。
CTFT可以将任意连续时间信号表示成一组正弦信号的和，即可以将一种信号表示为正弦信号组成的线性组合，这样就可以将信号的复杂性减简，并用数学方法对它进行分析。
从理论上讲，CTFT可以将任意的空间信号表示为一组正弦信号的和，这也是CTFT的核心特性之一，也是CTFT的优势所在。
CTFT的公式可以用以下方式表示：X(ω)=∫-∞σ(t)e-^{jωt} dt其中ω为频率，s(t)为连续时间信号，X(ω)表示其傅里叶变换。
具体而言，CTFT既能够反映信号的时间变化，也能够反映其频域变化，可以将信号从时域变换到频域，允许我们从不同的角度看待信号，从而更好地理解信号。
如果将CTFT与频域分析进行比较，CTFT能够更精确地捕捉信号特征，可以更精确地确定频率、幅度和相位，因此它在信号处理、声学分析和时域分析等方面具有重要作用。
CTFT能够有效应用于维纳滤波器（Wiener Filters）、短时傅里叶变换（Short Time Fourier Transform，STFT）和抗谐波滤波（Notch Filters）等方面，通过CTFT的应用，可以利用频域的信号表示技术来提高信号分析的精度和效率。
总的来说，CTFT是一种非常实用的时域分析工具，它能够密切捕捉信号的复杂性，在信号处理，时域分析和声学分析等方面都有着广泛的应用，为更好地获取信号中的有价值信息提供了重要的视角。
信号与系统实验报告——连续时间傅立叶变换
实验四 连续时间傅立叶变换连续时间傅立叶变换（CTFT ）⎰∞∞-=ωωπd j X t x )(21)( （4.1）⎰∞∞--=dt et x j X j ωω)()( （4.2）将连续时间傅立叶级数（CTFS ）推广到既能对周期连续时间信号，又能对非周期连续时间信号进行频域分析。
另外，许多LTI 系统的特性行为要比时域容易理解。
为了更有效地应用频域方法，重要的是要将信号的时域特性是如何与它的频域特性联系起来的建立直观的认识。
本练习就是要对一般的信号帮助建立这一直观性，尤其是在LTI 系统的单位冲激响应和频率响应之间建立这一直观性。
§4.1连续时间傅立叶变换的数字近似 目的将连续时间傅立叶变换进行数字近似，用函数fft （快速傅立叶算法）高效地计算这个近似值。
相关知识很多信号都能用（4.1）式连续时间傅立叶变换（CTFT ）来表示。
利用MATLAB 可以计算（CTFT ）积分的数值近似。
利用在密集的等间隔t 的样本上的求和来近似这个积分，就可以用函数fft 高效地计算这个近似值。
所用的近似式是根据积分的定义得到的，即∑⎰∞-∞=-→∞∞--=n n j tj en x dt et x τττωτω)(lim)(0（4 .3）对于一般信号，在足够小的τ下，上式右边的和式是对于CTFT 积分的一个好的近似。
若信号)(t x 对于0<t 和T t ≥为零，那么这个近似式就能写成∑⎰⎰-=--∞∞--≈=1)()()(N n n j Ttj tj en x dt et x dt et x τττωωω（4.4）式中τn T =，N 为一整数。
可以利用函数fft 对一组离散的频率k ω计算上式中的和式。
如果N 个样本)(τn x 是存在向量x 内的话，那么调用函数X=tau*fft(x)就可以计算出 )()()1(1k N n n j j X en x k X k ωτττω≈≈+∑-=-（4.5）式中 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≤+-≤≤= 12 2220 2N k N N k N k N kkτπτπτπω以及N 假设为偶数。
实验四连续信号的傅立叶变换
实验4 非周期信号的傅立叶变换分析一、 实验目的(1) 熟悉连续非周期信号频谱特点及其分析方法； (2) 掌握用MATLAB 实现傅立叶变换的两种方法； (3) 了解常用傅立叶变换性质的MATLAB 实现方法； 二、 实验原理1、傅里叶变换和其逆变换定义如下：⎰∞∞--=dt et x j X tj ωω)()( 4.1⎰∞∞-=ωωπωd ej X t x tj )(21)( 4.2连续时间傅里叶变换主要用来描述连续时间非周期信号的频谱。
按照教材中的说法，任意非周期信号，如果满足狄里克利条件，那么，它可以被看作是由无穷多个不同频率（这些频率都是非常的接近）的周期复指数信号e j ωt的线性组合构成的，每个频率所对应的周期复指数信号e j ωt称为频率分量（frequency component ），其相对幅度为对应频率的|X(j ω)|之值，其相位为对应频率的X(j ω)的相位。
X(j ω)通常为复函数，可以按照复数的极坐标表示方法表示为：X(j ω)=| X(j ω)|e j ∠X(j ω)其中，| X(j ω)|称为x(t)的幅度谱，而∠X(j ω)则称为x(t)的相位谱。
给定一个连续时间非周期信号x(t)，它的频谱也是连续且非周期的。
2、用MATLAB 实现方法MATLAB 进行傅里叶变换有两种方法，一种利用符号运算的方法计算，另一种是数值计算。
2.1 采用数值计算的方法来进行傅里叶变换的计算严格来说，用数值计算的方法计算连续时间信号的傅里叶变换需要有个限定条件，即信号是时限信号（Time limited signal ），也就是当时间|t|大于某个给定时间时其值衰减为零或接近于零，这个条件与前面提到的为什么不能用无限多个谐波分量来合成周期信号的道理是一样的。
计算机只能处理有限大小和有限数量的数。
采用数值计算算法的理论依据是：()()j tX j x t ed t ωω∞--∞=⎰∑∞-∞=-→=k Tjk T T ekT x ω)(lim若信号为时限信号，当时间间隔T 取得足够小时，上式可演变为：∑-=-=NNk Tjk ekT x Tj X ωω)()(T eeet x t x t x N t j t j t j N ],,,[)](,),(),([12211221+---+⋅=ωωω上式用MATLAB 表示为：X=x*exp(-j*t ’*w)*T其中X 为信号x(t)的傅里叶变换，w 为频率，T 为取样间隔。
FFT实验
FFT实验傅里叶变换（Fast Fourier Transform，FFT）是一种将时间域信号转换为频域信号的算法。
它在信号处理、图像处理、通信等领域得到广泛应用。
本实验将介绍FFT的原理，并提供一个简单的FFT实现程序。
一、傅里叶变换原理傅里叶变换是一种将连续时间域信号转换为连续频域信号的变换。
对于一个具有周期T的连续信号f(t)，它的傅里叶变换F(w)可以表示为：F(w) = ∫[0,T] f(t) * exp(-j*w*t) dt其中，j是虚数单位，w是频率。
傅里叶变换的结果是一个复数函数，包含信号的幅度和相位信息。
在数字信号处理中，我们使用离散傅里叶变换（Discrete Fourier Transform，DFT）代替连续傅里叶变换。
离散傅里叶变换可以将离散时间域信号转换为离散频域信号。
对于一个N点采样的离散信号x(n)，它的离散傅里叶变换X(k)可以表示为：X(k) = ∑[0,N-1] x(n) * exp(-j*2π*k*n/N)傅里叶变换的计算复杂度为O(n^2)，而FFT是一种改进的傅里叶变换算法，可以将计算复杂度降低到O(n*logn)。
FFT通过将N点DFT分解为多个较小规模的DFT计算来实现。
以下提供一个使用C语言实现的简单FFT程序：#include <stdio.h>#include <math.h>int reverseBits(int num, int bits)int reversed = 0;for (int i = 0; i < bits; i++)reversed = (reversed << 1) ， (num & 1); num >>= 1;}return reversed;void fft(double x[], double y[], int n) int bits = log2(n);for (int i = 0; i < n; i++)int j = reverseBits(i, bits);if (j < i)double temp = x[i];x[i]=x[j];x[j] = temp;temp = y[i];y[i]=y[j];y[j] = temp;}}for (int k = 2; k <= n; k <<= 1)int half = k >> 1;double wn_r = cos(2 * PI / k);double wn_i = sin(2 * PI / k);for (int i = 0; i < n; i += k)double w_r = 1.0;double w_i = 0.0;for (int j = 0; j < half; j++)double u_r = x[i + j];double u_i = y[i + j];double v_r = x[i + j + half] * w_r - y[i + j + half] * w_i; double v_i = x[i + j + half] * w_i + y[i + j + half] * w_r; x[i+j]=u_r+v_r;y[i+j]=u_i+v_i;x[i + j + half] = u_r - v_r;y[i + j + half] = u_i - v_i;double next_w_r = w_r * wn_r - w_i * wn_i;double next_w_i = w_i * wn_r + w_r * wn_i;w_r = next_w_r;w_i = next_w_i;}}}int maiint n = 8;double x[] = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7};double y[] = {0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0};fft(x, y, n);for (int i = 0; i < n; i++)printf("(%f, %f)\n", x[i], y[i]);}return 0;以上程序实现了一个8点FFT算法，可以将输入信号{x[0],x[1], ..., x[7]}转换为频域信号{X[0], X[1], ..., X[7]}。
实验四 傅里叶变换(FT)及其性质
实验四傅里叶变换(FT)及其性质一、实验目的1、学会运用Matlab求连续时间信号的傅里叶2、学会运用Matlab求连续时间信号的频谱图3、学会运用Matlab分析连续时间信号的傅里叶变换的性质二、实验原理及实例分析（一）傅里叶变换的实现例1：用Matlab 符号运算求解法求单边指数信号)()(2t u e t f t-=的FT 。
例2：用Matlab 符号运算求解法求211)(ωω+=j F 的IFT 。
例3：用Matlab 命令绘出例1中单边指数数信号的频谱图。
例4：用Matlab命令求图示三角脉冲的FT，并画出其幅度谱。
例5：用Matlab数值计算法求例3的三角脉冲幅度频谱图。
（二）FT 的性质1、尺度变换例6：设矩形信号)5.0()5.0()(--+=t u t u t f ，利用Matlab 命令绘出该信号及其频谱图。
同时绘出)2()2/(t f t f 和的频谱图，并加以比较。
下面利用Matlab将常规矩形脉冲信号的频谱和其调制信号（课本例3-4信号）频谱进行比较。
Matlab源程序如下：傅里叶变换的其它性质可用类似的方法验证，希望大家课下练习。
三、实验内容[注意：(1)写代码时j i]1.11.22.12.23、分别利用Matlab符号运算求解法和数值计算法求下图所示信号的FT，并画出其频谱图。
4、已知门函数自身卷积为三角波信号，试用Matlab命令验证FT的时域卷积定理。
四、实验报告要求实验名称、实验目的、实验原理、实验环境、实验内容（上述几部分代码及结果图形）、实验思考等。
五、实验思考通过实验自己对课本知识有了更深的理解，也对MATLAB的功能有了进一步的认识，作为一种学习工具，MATLAB功能如此全面，更加激励我去探索开发期强大的功能。
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信号变换应用实验报告(3篇)
第1篇实验目的1. 理解并掌握信号变换的基本原理和方法，包括傅里叶变换、拉普拉斯变换和Z 变换。
2. 通过实验，加深对信号变换在实际应用中的理解，如信号处理、系统分析等。
3. 学习使用MATLAB等工具进行信号变换的计算和分析。
实验原理信号变换是信号处理领域的重要工具，它可以将信号从时域转换为频域或其他域，便于分析、处理和设计。
本实验主要涉及以下几种信号变换：1. 傅里叶变换（FT）：将时域信号转换为频域信号，揭示信号的频率成分。
2. 拉普拉斯变换（LT）：将时域信号转换为复频域信号，适用于分析线性时不变系统。
3. Z变换（ZT）：将离散时间信号转换为Z域信号，适用于分析离散时间系统。
实验器材1. MATLAB软件2. 示波器3. 信号发生器4. 连接线实验步骤1. 傅里叶变换实验- 使用MATLAB生成一个正弦波信号，采样频率为1000Hz，采样点数为1024。
- 对该信号进行傅里叶变换，观察频谱图。
- 改变采样频率和采样点数，观察频谱图的变化。
2. 拉普拉斯变换实验- 使用MATLAB生成一个指数衰减信号。
- 对该信号进行拉普拉斯变换，观察复频域图。
- 分析拉普拉斯变换的结果，解释信号的特性。
3. Z变换实验- 使用MATLAB生成一个离散时间信号。
- 对该信号进行Z变换，观察Z域图。
- 分析Z变换的结果，解释信号的特性。
4. 信号变换在系统分析中的应用- 使用MATLAB设计一个简单的模拟滤波器。
- 对滤波器进行傅里叶变换，观察滤波器的频率响应。
- 分析滤波器的性能，如通带、阻带、截止频率等。
实验结果与分析1. 傅里叶变换实验- 频谱图显示正弦波的频率成分与采样频率有关。
- 改变采样频率和采样点数，频谱图发生相应的变化。
2. 拉普拉斯变换实验- 复频域图显示指数衰减信号的极点和零点。
- 分析结果，可以确定信号的衰减速度和稳态值。
3. Z变换实验- Z域图显示离散时间信号的极点和零点。
- 分析结果，可以确定信号的稳定性、收敛速度等特性。
连续傅里叶变换
ω 为角频率，F(ω)为复数，并且是信号在该 離散小波轉換
频率成分处的相位和幅度。
编辑
傅里叶变换是自反映射，若 F(ω)如上定义，f 足够光滑，则对于任意 实数 t
每个积分前的 为规范化因子。 因子的选择是主观任意的，只要满
足二者的乘积为 ，如上取法称为归一化常数。 另一种常见取法是前 向方程和反向方程分别为 1 和 1 / 2π。 粗略估计，数学家通常使用前 者（由于对称的原因），而物理学家和工程师们则常用后者。
目录目录目录目录隐藏外部链接编辑概述概述概述概述编辑性质性质性质性质编辑扩展到高维的情况扩展到高维的情况扩展到高维的情况扩展到高维的情况编辑一些重要的傅里叶变换一些重要的傅里叶变换一些重要的傅里叶变换一些重要的傅里叶变换编辑参见参见参见参见拉普拉斯变换编辑外部链接外部链接外部链接外部链接mathematicalequations来自http
连续傅里叶变换
在数学中，连续傅里叶变换是一个特殊的把 一组函数映射为另一组函数的线性算子。 不 严格地说，傅里叶变换就是把一个函数分解 为组成该函数的连续频率谱。 在数学分析 中，信号 f(t)的傅里叶变换被认为是处在频域 中的信号。 这一基本思想类似于其他傅里叶 变换，如周期函数的傅里叶级数。（参见分 数阶傅里叶变换得到概况）
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[编辑] 一些重要的傅里叶变换
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• 傅里叶变换 • 傅里叶级数 • 离散傅里叶变换 • 拉普拉斯变换
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连续信号的傅里叶变换
连续信号的傅里叶变换一、引言连续信号的傅里叶变换是信号处理领域中非常重要的一部分。
它可以将时域上的连续信号转换为频域上的频谱，从而方便我们对信号进行分析和处理。
在本文中，我们将详细介绍连续信号的傅里叶变换的相关概念、公式以及应用。
二、连续信号与傅里叶变换1. 连续信号在信号处理领域中，连续信号是指在时间上是连续的函数。
它可以表示为：f(t) = A*cos(ωt + φ)其中，A表示振幅，ω表示角频率，φ表示相位。
2. 傅里叶变换傅里叶变换是一种将时域上的函数转换为频域上函数的方法。
对于一个连续信号f(t)，它的傅里叶变换F(ω)可以表示为：F(ω) = ∫f(t)*exp(-jωt)dt其中，j为虚数单位。
3. 傅里叶变换公式对于一个实数函数f(t)，其傅里叶变换F(ω)和反变换f(t)可以表示为：F(ω) = ∫f(t)*exp(-jωt)dtf(t) = (1/2π)∫F(ω)*exp(jωt)dω4. 傅里叶变换的性质傅里叶变换具有许多重要的性质，包括线性性、平移性、卷积定理等。
这些性质使得傅里叶变换在信号处理中得到了广泛的应用。
三、连续信号的频域表示1. 频谱对于一个连续信号f(t)，它的频谱是指在频域上表示该信号的振幅和相位信息。
通常情况下，我们将频谱表示为F(ω)或S(ω)，其中F(ω)为傅里叶变换结果，S(ω)为傅里叶变换结果的幅度谱。
2. 幅度谱和相位谱对于一个连续信号f(t)，它的频谱可以分解为振幅和相位两个部分。
振幅谱指的是在不同频率下该信号振动的强度大小，而相位谱则表示不同频率下该信号振动相对于某个参考点所处的相位差。
四、应用举例1. 语音信号处理语音信号是一种典型的连续信号，在语音处理领域中，傅里叶变换被广泛应用于声学特征提取、语音识别等方面。
通过对语音信号的傅里叶变换，我们可以得到该信号在不同频率下的频谱信息，从而方便我们进行特征提取和分类。
2. 图像处理图像信号也是一种连续信号，在图像处理领域中，傅里叶变换被广泛应用于图像滤波、图像增强等方面。
连续傅里叶变换(ctft)
连续傅里叶变换(ctft)
连续傅里叶变换（CTFT）是数学和工程领域中常用的一种工具，用于将一个时域信号转化为频域信号。
在连续的情况下，傅里叶变换将一个信号表示为无限多个正弦波的叠加，这些正弦波具有不同的频率、幅度和相位。
CTFT的应用范围非常广泛，包括信号处理、图像处理、通信和控制系统等领域。
CTFT的基本思想是将一个时域信号表示为一个复数指数函数的积分或求和。
这些复数指数函数对应于不同的频率分量，通过将这些分量叠加起来，可以重建原始的时域信号。
CTFT的定义公式如下：X(f) = ∫x(t)e^(-j2πft)dt
其中，X(f) 是频域表示，x(t) 是时域表示，f 是频率，j 是虚数单位，t 是时间。
这个公式表明，频域表示是时域表示和复数指数函数的内积。
CTFT有一些重要的性质和定理，其中包括线性性质、时移性质、频移性质和共轭性质等。
这些性质和定理可以帮助我们更好地理解和应用傅里叶变换。
在实际应用中，傅里叶变换的逆变换也非常重要。
逆变换将频域表示变回到时域表示，其公式如下：
x(t) = ∫X(f)e^(+j2πft)df
通过傅里叶变换和逆变换，我们可以方便地在时域和频域之间转换，从而更好地分析信号的特性和处理信号。
实验四 快速傅里叶变换 FFT
实验四 快速傅里叶变换（FFT ）4.1实验目的1）加深对快速傅里叶变换（FFT ）基本理论的理解；2）了解使用快速傅里叶变换（FFT ）计算有限长序列和无限长序列信号频谱的方法；3）掌握用MATLAB 语言进行快速傅里叶变换时常用的子函数。
4.2实验原理1）用MATLAB 提供的子函数进行快速傅里叶变换从理论学习可知，DFT 是唯一在时域和频域均为离散序列的变换方法，它适用于有限长序列。
尽管这种变换方法是可以用于数值计算的，但如果只是简单的按照定义进行数据处理，当序列长度很大时，则将占用很大的内存空间，运算时间将很长。
快速傅里叶变换是用于DFT 运算的高效运算方法的统称，FFT 只是其中的一种。
FFT 主要有时域抽取算法和频域抽取算法，基本思想是将一个长度为N 的序列分解成多个短序列，如基2算法、基4算法等，大大缩短了运算的时间。
MATLAB 中提供了进行快速傅里叶变换（FFT ）的子函数，用fft 计算DFT ，用ifft 计算IDFT 。
2）用FFT 计算有限长序列的频谱基本概念：一个序号从1n 到2n 的时域有限长序列()x n ，它的频谱()j X e ω定义为它的离散时间傅里叶变换，且在奈奎斯特（Nyquist ）频率范围内有界并连续。
序列的长度为N ，则211N n n =−+。
计算()x n 的离散傅里叶变换（DFT ）得到的是()j X e ω的N 个样本点()k j X e ω。
其中数字频率为k 2πω()d ωk k N== 式中：d ω为数字频率的分辨率；k 取对应－(N －1)/2到(N －1)/2区间的整数。
在实际使用中，往往要求计算出信号以模拟频率为横坐标的频谱，此时对应的模拟频率为s s 2π2πΩω/T ()()T k k k k kD N L==== 式中：D 为模拟频率的分辨率或频率间隔；T s 为采样信号的周期，Ts ＝1/Fs ；定义信号时域长度L ＝N T s 。
傅里叶变换实验报告
一、实验目的1. 理解傅里叶变换的基本原理及其在信号处理中的应用。
2. 掌握傅里叶变换的数学计算方法。
3. 利用MATLAB软件实现傅里叶变换，并对实验结果进行分析。
二、实验原理傅里叶变换是一种重要的信号处理方法，它可以将信号从时域转换到频域。
在频域中，信号的特征更加明显，便于分析和处理。
傅里叶变换的基本原理是将一个信号分解为不同频率的正弦波和余弦波的叠加。
傅里叶变换分为连续傅里叶变换（CFT）和离散傅里叶变换（DFT）。
CFT适用于连续信号，而DFT适用于离散信号。
在本实验中，我们将使用DFT。
三、实验步骤1. 利用MATLAB软件创建一个时域信号，如正弦波、方波或三角波。
2. 对信号进行采样，得到离散信号。
3. 使用MATLAB的fft函数对离散信号进行傅里叶变换。
4. 分析傅里叶变换后的频谱，观察信号在不同频率下的能量分布。
5. 对频谱进行滤波处理，提取感兴趣的特征。
6. 将滤波后的频谱进行逆傅里叶变换，还原信号。
四、实验结果与分析1. 信号创建在本实验中，我们创建了一个频率为50Hz的正弦波信号，采样频率为1000Hz。
2. 傅里叶变换使用MATLAB的fft函数对信号进行傅里叶变换，得到频谱。
观察频谱，发现50Hz 处的能量最大，与信号频率一致。
3. 滤波处理对频谱进行低通滤波，保留50Hz以下的频率成分，滤除高于50Hz的频率成分。
然后对滤波后的频谱进行逆傅里叶变换，还原信号。
观察还原后的信号，发现高频噪声被滤除，信号质量得到提高。
4. 逆傅里叶变换将滤波后的频谱进行逆傅里叶变换，还原信号。
观察还原后的信号，发现其波形与原始信号基本一致，但噪声明显减少。
五、实验结论1. 通过本实验，我们掌握了傅里叶变换的基本原理和计算方法。
2. 利用MATLAB软件可以方便地实现傅里叶变换，并对实验结果进行分析。
3. 傅里叶变换在信号处理中具有广泛的应用，如信号滤波、图像处理、通信等领域。
4. 本实验验证了傅里叶变换在噪声抑制方面的有效性，有助于提高信号质量。
4连续时间信号的傅里叶变换
将 分解成复指数分量的线性组合，每个
统时都要受到系统频响
的加权，其中
即是系统与
对应的特征值，故有
通过LTI系
所以：
由于
的傅氏变换
就是频率为 的复指数信号
通过LTI系统时，系统对输入信号在幅度上产生的影响，所以
称为系统的频率响应。
鉴于 与 是一一对应的，因而LTI系统可以由其频率响
应完全表征。由于并非任何系统的
振幅为
的复指数信号之和。
由于 而称
具有频谱随频率分布的物理含义，因 为频谱密度函数。
与
就构成了一对傅里叶变换式。
二、从物理意义来讨论FT
是一个密度函数的概念； 是一个连续谱； 包含了f(t)的所有频率分量；
傅里叶变换一般为复数。
三、傅里叶变换的收敛 既然傅里叶变换的引出是从周期信号的傅里叶级数表示，讨论 周期趋于无穷时的极限得来的，傅里叶变换的收敛问题就应该 和傅里叶级数的收敛相一致。也有相应的两组条件：
所以 若 是实信号,则 于是有： 4. 时域微分与积分 若 则
由时域积分特性从 也可得到：
,即 。
(可将运算转变为代数运算) (时域积分特性)
5. 时域和频域的尺度变换
若
，则
当
时，有
尺度变换特性表明：信号如果在时域扩展a倍，则其带宽相应压 缩a倍，反之亦然。从理论上证明了时域与频域的相反关系，也 证明了信号的脉宽带宽积等于常数的结论。
若
，则
存在
这表明所有能量有限的信号其傅里叶变换一定存在。
第二组条件即为满足狄利赫里条件。
四、常用信号的傅里叶变换：
1、
，
2、
，
我们看到：实偶信号的傅里叶变换是实偶函数，此时可以用 一幅图表示信号的频谱。对此例
连续信号的频谱-傅里叶变换
五、钟形脉一正实函数，所以其相位频为零。
其傅里叶变换为：
六、符号函数的傅里叶变换
这种信号不满足绝对可积条件，但它却存在傅里叶变换。 采用符号函数与双边指数衰减函数相乘，求出奇双边指数的频谱，再取极限，从而求得符号函数的频谱。
取基波分量和三次谐波分量
取基波、三次谐波分量和五次谐波分量
五、吉布斯（Gibbs）现象
当选取傅里叶有限级数的项数N很大时，该峰起值趋于一个常数，它大约等于总跳变值的9%，并从不连续点开始以起伏振荡的形式逐渐衰减下去。此现象称为吉布斯现象。
举例3.1：
解：
举例3.2：
P160
3-1，3-2，3-3，3-8
指数形式的傅里叶级数中各个量之间的关系
3.指数形式表示的信号频谱--复数频谱 Fn一般是复函数，所以称这种频谱为复数频谱。 幅度谱与相位谱合并 正、负频率相应项成对合并，才是实际频谱函数。
周期信号的功率特性 —时域和频域能量守恒定理
周期信号的平均功率P：在一个周期内求平方再求积分。
中国风工作汇报模版
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第三章 连续信号的频谱——傅里叶变换
本章的主要内容：
1、周期信号的傅里叶级数分析 2、典型周期信号的傅里叶级数 3、傅里叶变换 4、典型非周期信号的傅里叶变换 5、冲激函数和阶跃函数的傅里叶变换 6、傅里叶变换的基本性质 7、卷积特性（卷积定理） 8、周期信号的傅里叶变换 9、抽样信号的傅里叶变换 10、抽样定理
：是F(w)的模，它代表信号中各频率分量的相对大小。
：是F(w)的相位函数，它代表信号中各频率分量的相位关系。
人们习惯上也把：
：为非周期信号的幅度频谱；
：为非周期信号的相位频谱。
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实验4非周期信号的傅立叶变换分析一、实验目的(1)熟悉连续非周期信号频谱特点及其分析方法；(2)掌握用MATLAB 实现傅立叶变换的两种方法；(3)了解常用傅立叶变换性质的MATLAB 实现方法；二、实验原理1、傅里叶变换和其逆变换定义如下：⎰∞∞--=dt e t x j X t j ωω)()( 4.1⎰∞∞-=ωωπωd e j X t x t j )(1)( 4.2连续时间傅里叶变换主要用来描述连续时间非周期信号的频谱。
按照教材中的说法，任意非周期信号，如果满足狄里克利条件，那么，它可以被看作是由无穷多个不同频率（这些频率都是非常的接近）的周期复指数信号e j ωt 的线性组合构成的，每个频率所对应的周期复指数信号e j ωt 称为频率分量（frequency component），其相对幅度为对应频率的|X(j ω)|之值，其相位为对应频率的X(j ω)的相位。
X(j ω)通常为复函数，可以按照复数的极坐标表示方法表示为：X(j ω)=|X(j ω)|e j ∠X(j ω)其中，|X(j ω)|称为x(t)的幅度谱，而∠X(j ω)则称为x(t)的相位谱。
给定一个连续时间非周期信号x(t)，它的频谱也是连续且非周期的。
2、用MATLAB 实现方法MATLAB 进行傅里叶变换有两种方法，一种利用符号运算的方法计算，另一种是数值计算。
2.1采用数值计算的方法来进行傅里叶变换的计算严格来说，用数值计算的方法计算连续时间信号的傅里叶变换需要有个限定条件，即信号是时限信号（Time limited signal），也就是当时间|t|大于某个给定时间时其值衰减为零或接近于零，这个条件与前面提到的为什么不能用无限多个谐波分量来合成周期信号的道理是一样的。
计算机只能处理有限大小和有限数量的数。
采用数值计算算法的理论依据是：()()j t X j x t e dt ωω∞--∞=⎰∑∞-∞=-→=k T jk T Te kT x ω)(lim 0若信号为时限信号，当时间间隔T 取得足够小时，上式可演变为：∑-=-=N N k Tjk e kT x Tj X ωω)()(Te e e t x t x t x N t j t j t j N ],,,[)](,),(),([12211221+---+⋅=ωωω 上式用MATLAB 表示为：X=x*exp(-j*t’*w)*T其中X 为信号x(t)的傅里叶变换，w 为频率，T 为取样间隔。
相应的MATLAB 程序：T =0.01;dw =0.1;%时间和频率变化的步长t =-10:T:10;w =-4*pi:dw:4*pi;X(j ω)可以按照下面的矩阵运算来进行：X=x*exp(-j*t’*ω)*T;%傅里叶变换X1=abs(X);%计算幅度谱phai=angle(X);%计算相位谱为了使计算结果能够直观地表现出来，还需要用绘图函数将时间信号x(t)，信号的幅度谱|X(j ω)|和相位谱∠X(j ω)分别以图形的方式表现出来，并对图形加以适当的标注。
这里还需要注意，由于在MATLAB 运算中，必须对连续信号()x t 进行取样，为了不丢失原信号()x t 的信息，即反变换后能不失真地恢复原来信号()x t ，取样间隔T 的确定必须满足取样定理的要求，即取样间隔T 必须小于奈奎斯特频率。
2.1.1用MATLAB 实现傅里叶逆变换连续时间傅里叶逆变换可用式4.2进行计算。
式4.2重写如下：⎰∞∞-=ωωπωd e j X t x t j )(21)(从定义式可看出，其计算方法与傅里叶变换是一样的，因此可以采用同样的矩阵运算的方法来计算，即x(t)=X(j ω)*exp(j ω’*t)*d ω具体的MATLAB 函数如下：t =-5:0.01;5;%指定信号的时间范围，此范围应根据信号的持续时间确定。
dw =0.1;w =-4*pi:d ω:4*pi;X =input(‘Type in the expression of X(jw)’);x =X*exp(jw’*t)*dw;然后用绘图函数就可以绘制出逆变换得到的时域信号波形图。
2.2符号运算的计算方法MATLAB 提供了两个函数fourier()和ifourier()，它们可分别用来计算傅立叶正变换和反变换，这是计算傅立叶变换的符号计算方法。
（1）傅里叶变换在Matlab 中，傅里变换变换由函数fourier()实现。
fourier()有三种调用格式：①F=fourier(f )求时间函数f (t)的傅里叶变换，返回函数F 的自变量默认为w ，即)]([)(t f j F F =ω；②F=fourier(f ,v )求时间函数f (t)的傅里叶变换，返回函数F 的自变量为v ，即)]([)(t f jv F F =；③F=fourier(f ,u ,v )对自变量为u 的函数f (u )求傅里叶变换，返回函数F 的自变量为v ，即)]([)(u f jv F F =。
（2）傅里叶逆变换在Matlab 中，傅里变换逆变换由函数ifourier()实现。
与函数fourier()相类似，ifourier()也有三种调用格式：①f=ifourier(F )求函数F (j ω)的傅里叶逆变换，返回函数f 的自变量默认为x ，即)]([)(1ωj F x f -=F ；②f=ifourier(F ,u )求函数F (j ω)的傅里叶逆变换，返回函数f 的自变量为u ，即)]([)(1ωj F u f -=F 。
③f=ifourier(F ,v ,u )求函数F (j v )的傅里叶逆变换，返回函数f 的自变量为u ，即)]([)(1jv F u f -=F 这里要注意的是，在调用上述两个函数之前，先要用syms 命令对所用到的变量(如t 、u 、v 、w)等进行说明，也就是要将这些变量说明成符号变量。
对于fourier()中的函数f 或ifourier()中的F ，也要用syms 将f 或F 说明成为符号表达式。
另外，在采用fourier()及ifourier()得到的返回函数，仍然是符号表达式。
若需要对返回函数作图时，只能用ezplot()绘图命令，而不能用plot()命令。
如果返回函数中含有δ(ω)等项，用ezplot()也无法作图。
fourier()函数的局限性：用fourier()对某些信号求反变换时，其返回函数可能会包含一些不能直接表达的式子，甚至可能会出现一些屏幕提示为“未被定义的函数或变量”的项；另外，在许多情况下，信号)(t f 尽管是连续的，但却不可能表示成符号表达式；函数fourier()也不可能对离散信号)(n f 进行处理。
例1．求单边指数函数2()()t f t e u t -=的傅里叶变换，画出其幅频特性和相频特性图。
解：编写如下M 文件，syms t w ff=exp(-2*t)*sym('Heaviside (t)');F=fourier(f)subplot(3,1,1);ezplot(f,[0:2,0:1.2]);subplot(3,1,2);ezplot(abs(F),[-10:10]);subplot(3,1,3);ezplot(angle(F),[-10:10])运行后，可得如下的文本和如图1所示图形结果。
F =1/(2+i*w)上式相当于：ωωj j F +=21)(要说明的是，相频特性图中，相位的单位为“弧度”。
注：Heaviside(t)函数即为单位阶跃函数u(t)。
在调用Heaviside(t)函数之前一定要在你的当前工作目录下创建该函数。
创建Heaviside(t)函数方法如下：function f=Heaviside(t)f=(t>0);且以Heaviside.m 文件名保存。
说明：直接用例题一的M 文件来仿真，是得不到图1中的相频特性图的。
原因是F=fourier(f)是符号变量，而atan2（），angle()函数只能处理数值型，不能处理符号变量。
将程序修改为syms t w ff=exp(-2*t)*sym('Heaviside (t)');F=fourier(f);subplot(3,1,1);ezplot(f,[0:2,0:1.2]);subplot(3,1,2);ezplot(abs(F),[-10:10]);w1=-10:0.01:10;%设定频率变化范围及间隔k=subs(F,w,w1);%将符号运算转为数值运算。
phai=angle(k);图1图subplot(3,1,3);plot(w1,phai)%该三行用来得到相频特性图可得到完整图形。
例2．求211)(ωω+=j F 的傅里叶逆变换)(t f 。
解：编写如下M 文件，syms t wF=1/(1+w^2);f=ifourier(F,w,t)ezplot(f)运行后，可得如下的文本和如图2所示图形结果。
1/2*exp(-t)*Heaviside(t)+1/2*exp(t)*Heaviside(-t)上式相当于：111()()()222tt t f t e u t e u t e --=+-=三、知识扩展在MATLAB 频谱分析的实际应用中，往往使用一个新的指令fft（），这是一种快速离散傅立叶变换指令。
指令格式为：X=fft(x,N)，其中：x 为时域信号，N 为傅立叶变换的长度，X 为x 的傅立叶变换，X 的长度也为N。
例:用FFT 分析信号频率成分一被噪声污染的信号,很难看出它所包含的频率分量,如一个由50Hz 和150Hz 正弦信号构成的信号,受到均值为零、均方差为0.5的高斯随机信号的于扰,数据采样率fs=500Hz.通过FFT 来分析其信号频率成分,用matlab 实现如下:fs=500;%采样频率fs=500Hz.t=0:1/fs:1;%采样周期为1/fs.f=sin(2*pi*50*t)+sin(2*pi*150*t);%产生信号f(t)subplot(3,1,1);plot(t,f);title('原始信号');y=f+0.5*randn(1,length(t));%加噪声信号subplot(3,1,2);plot(t,y);title('受噪声污染的信号');N=256;Y=fft(y,N);%对加噪信号进行FFTk=0:N-1;f=fs*k/N;subplot(3,1,3);plot(f,abs(Y));title('FFT(幅度谱)');(由频谱图可见,在50Hz 和150Hz 各出现很长的谱线,表明含噪信号y中含有这二个频率的信号.在350Hz 和450Hz 处也出现很长的谱线,这并不是说y 中也含350Hz 和450Hz 的信号,这是由于采样信号的频谱是以采样频率fs为间隔周期出现而造成的)图2掌握了fft（）指令的使用后，我们来完成一个任务，我们对实验二知识扩展中的含噪信号进行频谱分析。