(呕心整理)概率论与数理统计-经管类第四版课后题答案-吴赣昌著

概率论：
第一章习题笔记
习题1-2
题型分类：计算事件逻辑运算的概率
2、
思路：①首先将问题中的P[（A∪B）−C）]进行转换成逻辑语言P[(A∪B)∩C]；②将互不相
容进行逻辑语言化，
3、
思路：将题目进行逻辑语言化后（如2题），进行韦恩图，帮助确定事件发生概率。

4、思路：明确逻辑语言后，进行韦恩图绘制，快速确定事件概率
总结：可以从韦恩图出发，然后再将韦恩图转换成数学符号表达；掌握基本的运算法则，例如习题中的第2题目
习题1-3
1、
；如题目问取到的两个球中有黑球则包含两种情况，一是两个都是黑球，一思路：C82=7∗8
2∗1
是一黑一白
4、
思路：①答案中的P=A；②颜色全相同+颜色不全相同=1
10、
解法2：
思路：①一共包含三种情形②A33
是排列（在总数为3的样本总量中拿三个数来进行排列）；1*4*4是排列对象的样本个数；
③基本的想法是选框（可供选择的框框）放数（能够放进去的数字）eg:一般来说第一个数字有三个框可以选择C31，假设次数框内需要填入的是偶数，则C31∗3④此题考虑了顺序，
选框放数
习题1-4
3、
问题归类：条件概率事件；没有说明顺序，事件A：两件中有一件是不合格产品包含了两种情况（需要注意古典概型）
思路：判断是交事件还是条件概率事件：交事件说法：求第一件和第二件都是不合格品的概率；条件概率事件说法：在已知第一件为不合格品下，求第二件也是不合格品的概率4、
见作业本①
思路：明确逻辑关系之间的等量关系式：P(A∪B)=P(A)+P(B)−P(AB)
6、
见作业本①
思路：①乘法法则，通过树状图明确概率分布，进行条件概率的符号化②需要说明事件之间的独立性
习题1-5
4、5、
思路：①对立事件，转换成计算成功率（可利用乘法法则，进行条件概率的符号化）；需要说明事件之间的独立性
6、
思路：无人照管而停工的，同时又有一名工人进行照管；所以出现停工的事件应该是两台以上的机器同时需要照管
8、伯努利实验
思路：对逻辑语句的理解：不少于三次≥3
总习题一
1、
思路：交事件：只有；并事件：至少
10、
16、
思路：乘法法则进行条件概率的符号化
17、
思路：①条件概率：将文字符号化；②乘法法则都可以实现条件概率的符号化，或者说乘法法则就是条件概率；③贝叶斯公式实现已知条件的运用，树状图就是贝叶斯
23、
思路：①设事件：目标事件-这批微机被接受；条件事件-随机抽取的微机中有i台是次品
②目标事件为某一事件的概率，可以考虑全概率事件③文字符号化
24、
思路：（1）①全概率事件，寻求条件概率，将文字符号化（2）①问题是条件概率：很有可能需要用到贝叶斯公式进行转换③贝叶斯公式与全概率公式的联系，全概率公式作为贝叶斯公式的分母
总结：
（1）并事件、交事件的逻辑关系
（2）古典概型中注意事件的完备性，充分考虑可能存在的情况
（3）注意C、A之间组合排列的对应关系
（3）乘法法则---条件概率（全概率事件）
（4）注意判断问题是条件概率（一般用贝叶斯公式），还是某一事件的概率（一般用全概率事件）
（5）如果根据题目设置随机变量：eg：总习题23
本题目研究的问题是被接受的概率与抽取到次品数量之间的关系，所以A为抽取的次品数量；B产品被接受
第二章习题笔记
习题2-2
3、
思路：①不考虑顺序，只考虑组合关系②式子中的1表示该随机变量的取值X=？必须在北抽取的三个数字中，只有一种变化，即该随机变量的取值 4、离散型随机变量的分布律
思路：①根据分布律直接将对应的概率进行运算 5、7、返回型离散型随机变量求分布律
思路：①最后一个分布律满足问题条件，前面对应的分布律都是问题要求：如取到正品̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅
②可以写出通式 9、伯努利试验
思路：①实验次数较多，计算较为繁琐的时候，可以使用二项分布的泊松近似进行求解，
参数λ=np；②泊松分布公式：
10、泊松分布与伯努利试验
思路：①随机变量为每页印刷错误②问题是四页中没有印刷错误，参杂了伯努利试验，重数是页数，所以要注意区别题目信息的作用
习题2-3
3、求解离散型随机变量分布函数
思路：①理解分布函数与分布律之间的关系，累加关系；右连续，单调递增
4、离散型随机变量的条件概率
思路：P{X<2丨X≠1}不是交事件，是条件概率事件，所以P=0.4/（0.4+0.2），对于条件概率事件一定要用逻辑符号进行表示
5、通过连续型随机变量的分布函数求解概率
思路：①理解分布律与分布函数之间的关系，累加关系，右连续；②掌握相关的分布函数与分布律之间的运算关系
习题2-4
2、根据概率密度函数求解概率和分布函数
思路：①明确分布函数、概率密度函数、概率之间的关系②分布函数与概率密度是累的形式，如何确定积分符号∫的上下标，下标都是从−∞开始（因为分布函数都是累加的形式） 3、通过分布函数和概率密度函数的性质求解参数
思路：①当X →+∞时，F 等于1②∫f (t )dt =1+∞
−∞求解参数；两个1的运用③在连续型随机变量中，对于p {−1<X <−2}概率的求解不用像离散型随机变量一样关注端点值，直接F(-2)-F(-1)即、可；④在求概率P 的时候可以通过分布函数求解，也可以通过概率密度积分求解，但是进行概率密度积分的时候注意断点，因为有可能需要进行分段求解 5、均匀分布与伯努利试验
思路：①通过均匀分布确定P ，n=10；②伯努利试验的标志是多个样本，多重试验，问个数10次，4页、10个等等 6、正态分布的标准化与分位数
思路：①标准化②P{X≤3}其中3是分位数，=ϑ（3）7、正态分布相关参数的求解
思路：①标准化，便于查表②明确正态分布表的概率计算方式，是≤；③区别分位数与随机变量所在区间P{X≤3}则分位数为3：其中随机变量的区间为(−∞，3)；分位数为3，正态分布表显示的是分位数左边的概率总和，即P{X≤3}。

9、正态分布标准化求概率
思路：①标准化；②区别随机变量区间与分位数；③明确正态分布表的概率计算方式，左累进
10、指数分布与伯努利试验
思路：①题目中通过指数分布确定伯努利试验的参数（之前也有类似通过泊松分布确定伯努利试验的参数P）②掌握指数分布的概率密度函数与分布函数；③泊松分布和指数分布都可以通过分布律、分布函数确定概率、区间概率。

习题2-5
1、离散型随机变量的线性关系式的分布律
思路：①随机变量X的线性函数的分布律以原有的随机变量的分布律为准，一一对应
5、连续型随机变量的函数式的概率密度与分布函数
思路：①先求解分布函数，再求解概率密度②求Y的概率密度，即是f（y）；如何建立f （x）f（y）的关系才是本次的重点，通过F（y）建立联系（不等式的联系）③回顾，函数的关系式和随机变量的概率保持一致的体现，由于X与2X2+1的概率密度是一样的，但由于表达式不一样，所以2X^2+1的X的取值肯定和原来X的取值不一致，因为是函数式和原来的随机变量保持一致，而不是函数式的随机变量和原来的随机变量保持一致。

疑惑：怎么对f(y)的分布函数进行求解和进行求导
总习题二
3、二项分布的泊松近似的应用题
思路：①从2500个人字眼判断是二项分布，随机变量是第i个人死亡，参数P为0.002，重数为2500。

又因为试验次数较多，所以必然会利用二项分布的泊松分布，参数λ=np；②本题的关键还是通过亏本或者盈利数目来确定随机变量在2500次试验中出现的次数K。

8、通过概率密度求分布函数③其实这道题不用二项分布的泊松近似分布，而用棣莫佛-拉普拉斯的正太近似会不会更好？毕竟泊松也需要算15个量
思路：①分布函数是计算累进概率的，所以积分符号下标都是从-∞开始的；②连续型的分布函数要注意分段，注意上标是随机变量取值，所以计算出来的分布函数是带有x的函数式
9、通过概率密度求概率
思路：①连续型随机变量求概率有两种方法：一是通过概率密度先求得分布函数，再进行概率求解；二是直接通过概率密度积分进行求解，上述方法是第一种；②注意分布积分法的熟练运用
14、正态分布参数求解与运用
思路：①标准化求参数；②求78分一下的概率，如果大于1-录取率，则该人可以被录取
第三章：多维随机变量及其分布
习题3-1
3、通过离散型二维随机变量的分布律求解相关概率值
思路：①关键还是理解好F与P之间的累加关系，F（X,Y）表示的是点（X，y）左下方区域的概率值
5、列出离散型二维随机变量分布律及边缘分布
思路：①概念理解：分布律、分布函数、边缘分布
6、连续型二位随机变量的概率求解
思路：①F 分布函数是累加的，F 与f 之间的关系是积分关系，F 与p 之间的关系是左下角累加关系；f 与p 之间的关系是积分关系，所以求解p 既可以通过F 也可以直接通过f 进行求解；②难点：第四小问，二位随机变量之间存在关系的概率求解：作图，确定积分区域（在本题目中，如何确定是∫f (x,y )；4−x 2而不是∫f (x,y )；2
4−x 假设现在X=1，则F 的范围会是x=1的左边区域，在看X=1与积分区域（蓝色斑块）的y 值变化（2到x-4），因此确定为∫f (x,y )；4−x 2）③在求解P {X <1.5}的时候可以不用求解边缘概率f X (x)，可以直接用
联合分布进行求解，其中∫f (x,y )dy ；42就是X 的边缘密度。

7、连续型二维随机变量的概率密度求解分布函数
F分布函数的结果后，其定义域（红框内）
域
1，是因为概率密度的定义mmmmmk域明确
1,1）的左下方，（1,1）可以算是一个结点，概率为1的结点；而在例三中（0<x;<0y）表示了本题的分布函数没有界点（即概率为1的界点）
8、通过概率密度求解边缘密度
思路：①求f Y(y)的边缘密度，即求y在其定义域上（0,1）的概率密度函数；②难点：确定积分区域，作图，取定义域中任一的值，判断另一随即变量的变化区间；亦可直接通过x,y 的关系式判断上下限
习题3-2
1、离散型随机变量独立性证明与条件概率求解
思路：①p ij=p i p j，则满足独立性，在分布律中挑选便于计算的边缘密度（P i;P j）和联合
分布进行验证；②注意条件概率的表达：丨
4、求解连续型随机变量的边缘密度函数
思路：①确定积分区域
5、通过边缘概率结合独立性求解离散型二维随机变量的分布律
思路：①独立性的对象：边缘概率与二维联合分布律
总习题三
2、
解题思路：
思路：①难点：怎么求出边缘概率，联合概率，本题主要是借助了指数分布的概率来帮助求解边缘概率；②联合概率主要是通过观察Y的变化来进行求解③随机变量、概率、密度函数（分布律）之间的关系。

12、判断离散型二维随机变量的独立性
思路：利用边缘概率求解联合概率
14、连续型二维随机变量独立性证明
思路：①f(x,y)=f X(x)f Y(y)，先求边缘概率函数，然后进行验证；②需要对y的进行分段，因为y>1,与y<1时的积分上下限会有所差异
总结：
①利用边缘概率求解联合概率
②
第四章随机变量的数字特征
习题4-1
7、通过概率密度求解期望
思路：①去绝对值②公式
9、计算随便变量函数的数学期望
思路：①随机变量函数式的概率：根据联合概率（注意：随机变量函数的概率和原有的联合概率保持一致）
11、求解随机变量函数的期望
思路：①运用题目中的独立性②
10、利用概率密度求解期望值（连续型求解期望的便捷方法）（注意E （x 2+y 2））
思路：①根据公式：∫xf(s)dx +∞
−∞，应该先求解边缘概率f X （x ），然后再进行公示的运用求解E （x ）②此处的解法是直接利用联合概率，其中包含X 取任一定值时，y 的取值都是无穷；
习题4-2
7、连续性（正态）与离散型（泊松）联合概率的期望值求解
思路：①随机变量的函数式②将联合概率转变为边缘概率
8、随机变量函数式的期望和方差
思路：①掌握期望和方差相关的运算性质，特别是独立的时候的变形。

习题4-3
4、求解相关系数
思路：掌握协方差的性质，注意方差的散开公式，前面都是+符号
5、随机变量相关参数的求解
思路：①掌握相关参数计算的过程和步骤②∫∫xf (x,y )dxdy =∫∫x 2
0f (x,y )dydx 5
05
02
0③以后可以不用求边缘概率直接求解联合随机变量的期望 6、离散型随机变量的相关性和独立性的证明
思路：相关性：cov ；独立性：概率乘积
7、连续性随机变量独立性和相关性证明
思路：①运算技巧②证明独立性和相关性的逻辑相关的运算：
习题4-4
6、伯努利实验的正态近似
思路：①设法：设X i=1（如果第i个人死亡）=0（如果第i个人不死亡）；X为死亡的总人数②破除一种思想：死亡概率为0.5，现在有10个人，那一定会有5个人死亡吗？不一定，需要根据伯努利实验的求解公式进行概率求解③二项分布近似正态是棣莫佛定理
9、均值、方差已知的情况下运用中心极限定理求解概率
思路：设法：①设X i=（第i个灯泡的寿命）；X为16只灯泡的寿命总和②中心极限定理11、中心极限定理与棣莫佛定理的综合运用
中心极限定理与棣莫佛定理总结：
①设法的总结：
中心极限：X表示总量（寿命、营利额）
棣莫佛：X表示个数和
②运用的前提：
中心极限：均值、方差
棣莫佛：(n,p)
③注意事项：
是不是伯努利的正态近似只能利用棣莫佛定理？
不是，如11题目，只要能求解方差和均值就可以利用中心极限定理
伯努利事件的概率求解现在有三种方案：泊松近似、正态近似、伯努利试验选择的原则：便于计算，有限考虑正态近似
伯努利实验的标志：重复次数高，事件概率是已知条件
总习题四
10、根据随机变量相关统计量求解参数
思路：①不要忽略1的性质在积分上的运用
12、随机变量组合式的相关统计量
思路：①方差运算性质的运用，注意符号②均匀分布（连续性）均值与方差的求解13、随机变量函数式的统计量
思路：①函数式的概率密度和原始的概率密度保持一致
14、17、分布相关统计量求解
25、棣莫佛-拉普拉斯定理
思路：①伯努利实验下的正态近似（棣莫佛）；②根据之前方差一节中的知识求解二项分布的均值与方差进行中心极限定理，但计算较为麻烦
第五章数理统计的基本知识
主题一：证明各统计量所服从的分布
习题5-2
2、通过对式子的变形证明统计量服从的分布
思路：主要是往卡方、t分布、F分布的方向进行整理②卡方分布（P117）；标准正态分布总
体样本的平方和③t分布；标准正态/卡方除于自由度开根号④F分布；形式：X卡方*Y自由度/Y卡方*X自由度
注意的地方：独立性的说明；正态化的过程
正态化：
符号：-X~N(-μ,σ²)
可加性：x1、x2、x3、x4均~N（0,1）；则x1+x2+x3+x4~ N（0,4）
~N（0,1）
标准化x1~ N（2,22）；则X1−2
2
运算：x1~ N（2,22）；则3X1~(3,22∗9),2+3X1~（3+2,4∗9）；归纳n+aX、bX~（n+ aμ,a2σ2）
3、通过对式子的变形证明统计量服从的分布
思路：注意各分布的形式
见作业本③
6、7、8、9、一定概率水平下的分位数（上侧，双侧）思路：
①正态分布表分位数下的概率是下侧概率
②t、f、卡方分布表都是上侧概率水平下的分位数
习题5-3
2、探索样本均值的相关分布和变形
见作业本③
常见思路：
①通过X服从的正态分布求出X̅服从的正态分布
②若是求概率，则进行正态近似进行求解
③若是讨论分布，则观察架构（分式、整式）思路：沿着一定的分布路线进行构造式子
第六章参数估计（见作业本）习题6-2
1、
第七章假设检验
主要问题：均值检验
习题7-2
总习题七。