有效数字及其运算规则
有效数字的计算法则
有效数字的计算法则
有效数字是指在最后一个数字后面的数字都是不确定的数字。
有效数字的计算法则是指在进行数学计算时，应当根据有效数字的规则进行计算以保证结果的准确性。
以下是一些有效数字的计算法则： 1. 加减法：在进行加减法运算时，结果的有效数字应当与被加数或被减数中有效数字最少的那个数相同。
2. 乘法：在进行乘法运算时，结果的有效数字应当与被乘数和乘数中有效数字的总和相同。
3. 除法：在进行除法运算时，结果的有效数字应当与被除数中有效数字的总数相同。
4. 幂运算：在进行幂运算时，结果的有效数字应当与底数中有效数字的总数相同。
5. 对数运算：在进行对数运算时，结果的有效数字应当与真数中有效数字的总数相同。
在进行数学计算时，应当注意有效数字的规则，以保证计算结果的准确性。
同时，应当注意四舍五入的规则，以便得到正确的有效数字。
- 1 -。
有效数字及其运算规则
§2—3有效数字及其运算规则1. 有效数字的一般概念1) 有效数字的概念 实验中测量的结果都是有误差的，那么测量值如何表达才算合理呢？如用最小分度值为1mm 的尺子测得某物体的长度L ＝12.46cm ，可否写成12.460cm 或12.4600cm 呢？回答当然是否定的，因为用该米尺测量时毫米以下的一位数字6已经是估计的（即有误差存在），再往下估读已无实际意义。
在大学物理实验中，12.460和12.4600这两个数值与12.46有着不同的含义，即表示它们的误差是不相同的。
在实验测量和近似计算中得到的数据，其末位是有误差的，我们称这种数为有效数字。
所以，有效数字是由若干位准确数字和一位欠准确数字构成的。
上面的举例L=12.46cm ，就是有四位有效数字。
若我们用最小分度为0.02mm 的游标卡尺去测量该物体，得L ＝12.460cm ；用最小分度为0.0lmm 的螺旋测微器测量该物体，读数为12.4602cm ，则它们分别是五位和六位的有效数字。
由此可见，同一物体，用不同精度的仪器去测量，有效数字的位数是不同的，精度越高，有效位数越多。
当我们用m 或km 作单位时，物理量L ＝12.46cm 表示为L ＝0.1246m 或L ＝0.0001246km ，它们是几位有效数字呢？因为单位换算并没有改变它原来测量的精度，因此仍是四位有效数字，这里的“0”是确定小数点位置的，不是有效数字，也就是说，在非零数字前的“0”不是有效数字。
当“0”不是确定小数点位置，即在非零数字后面时，与其它的字码是有同等地位的，都是有效数字。
例如，1.005cm ，是四位有效数字；1.00m 是三位有效数字。
这里的“0”就不能随便的增或减。
2) 数值的科学表达方式当一个数值很大，但有效数字又不多的情况下，如何来正确表达呢? 这时可以用尾数乘以10的多少次幂的形式表示，即所谓的科学记数法。
例如某号钢的弹性模量为，它有三位有效数字，显然写成197,000,000,000是不妥当的。
化学奥赛 有效数字及其运算规则
【高中化学奥林匹克竞赛辅导】1. 有效数字及其运算规则1. 1 有效数字1. 定义有效数字就是实际能测到的数字。
有效数字的位数和分析过程所用的分析方法、测量方法、测量仪器的准确度有关。
我们可以把有效数字这样表示。
有效数字＝所有的可靠的数字+ 一位可疑数字表示含义：如果有一个结果表示有效数字的位数不同，说明用的称量仪器的准确度不同。
例：7.5克用的是粗天平7.52克用的是扭力天平7.5187克用的是分析天平2. “0”的双重意义作为普通数字使用或作为定位的标志。
例：滴定管读数为20.30毫升。
两个0都是测量出的值，算做普通数字，都是有效数字，这个数据有效数字位数是四位。
改用“升”为单位，数据表示为0.02030升，前两个0是起定位作用的，不是有效数字，此数据是四位有效数字。
3. 规定(1)．倍数、分数关系无限多位有效数字(2). pH、pM、lgc、lgK等对数值，有效数字由尾数决定。
例： pM＝5.00 （二位）[M]=1.0×10-5 ；PH＝10.34（二位）；pH＝0.03（二位）注意：首位数字是8，9时，有效数字可多计一位, 如9.83―四位。
1. 2 数字修约规则（“四舍六入五成双”规则）规定：当尾数≤4时则舍，尾数≥6时则入；尾数等于5而后面的数都为0时，5前面为偶数则舍，5前面为奇数则入；尾数等于5而后面还有不为0的任何数字，无论5前面是奇或是偶都入。
例：将下列数字修约为4位有效数字。
修约前修约后0.526647--------0.52660.36266112------0.362710.23500--------10.24250.65000-------250.618.085002--------18.093517．46--------3517注意：修约数字时只允许一次修约，不能分次修约。
如：13.4748－13.471. 3 计算规则1. 加减法先按小数点后位数最少的数据保留其它各数的位数，再进行加减计算，计算结果也使小数点后保留相同的位数。
有效数字及其运算规则
有效数字及其运算规则一、测量结果得有效数字1.有效数字得定义及其基本性质测量结果中所有可靠数字加上末位得可疑数字统称为测量结果得有效数字。
有效数字具有以下基本特性:(1)有效数字得位数与仪器精度(最小分度值)有关,也与被测量得大小有关。
对于同一被测量量,如果使用不同精度得仪器进行测量,则测得得有效数字得位数就是不同得。
例如用千分尺(最小分度值,)测量某物体得长度读数为。
其中前三位数字“”就是最小分度值得整数部分,就是可靠数字;末位“"就是在最小分度值内估读得数字,为可疑数字;它与千分尺得在同一数位上,所以该测量值有四位数字、如果改用最小分度值(游标精度)为得游标卡尺来测量,其读数为,测量值就只有三位有效数字。
游标卡尺没有估读数字,其末位数字“"为可疑数字,它与游标卡尺得也就是在同一数位上。
(2)有效数字得位数与小数点得位置无关,单位换算时有效数字得位数不应发生改变。
2、有效数字与不确定度得关系在我们规定不确定度得有效数字只取一位时,任何测量结果,其数值得最后一位应与不确定度所在得那一位对齐、如,测量值得末位“”刚好与不确定度得“"对齐。
由于有效数字得最后一位就是不确定度所在位,因此有效数字或有效位数在一定程度上反映了测量值得不确定度(或误差限值)。
测量值得有效数字位数越多,测量得相对不确定度越小;有效位数越少,相对不确定度就越大。
3.数值得科学表示法二、有效数字得运算规则１.数值得舍入修约原则测量值得数字得舍入,首先要确定需要保留得有效数字与位数,保留数字得位数确定以后,后面多余得数字就应予以舍入修约,其规则如下:(１)拟舍弃数字得最左一位数字小于5时,则舍去,即保留得各位数字不变。
(2)拟舍弃数字得最左一位数字大于5,或者就是５而其后跟有并非0得数字时,则进１,即保留得末位数字加１。
(3)拟舍弃数字得最左一位数字为5,而5得右边无数字或皆为0时,若所保留得末位数字为奇数则进1,为偶数或0则舍去,即“单进双不进”。
有效数字及其运算规则
有效数字及其运算规则一、测量结果的有效数字1．有效数字的定义及其基本性质测量结果中所有可靠数字加上末位的可疑数字统称为测量结果的有效数字。
有效数字具有以下基本特性：有效数字具有以下基本特性：（1）有效数字的位数与仪器精度（最小分度值）有关，也与被测量的大小有关。
）有效数字的位数与仪器精度（最小分度值）有关，也与被测量的大小有关。
对于同一被测量量，如果使用不同精度的仪器进行测量，则测得的有效数字的位数是不同的。
例如用千分尺（最小分度值00.011m m ，0.004m mD =仪）测量某物体的长度读数为84.8334m m 。
其中前三位数字“483”是最小分度值的整数部分，是可靠数字；末位“4”是在最小分度值内估读的数字，为可疑数字；它与千分尺的D 仪在同一数位上，所以该测量值有四位数字。
如果改用最小分度值（游标精度）为00.022m m 的游标卡尺来测量，其读数为84.844m m ，测量值就只有三位有效数字。
游标卡尺没有估读数字，其末位数字“4”为可疑数字，它与游标卡尺的0.02m m D 仪＝也是在同一数位上。
也是在同一数位上。
（2）有效数字的位数与小数点的位置无关，单位换算时有效数字的位数不应发生改变。
2．有效数字与不确定度的关系在我们规定不确定度的有效数字只取一位时，任何测量结果，其数值的最后一位应与不确定度所在的那一位对齐。
如39(8.922700.0005)/g c m r =±，测量值的末位“7”刚好与不确定度00.0005的“5”对齐。
”对齐。
由于有效数字的最后一位是不确定度所在位，因此有效数字或有效位数在一定程度上反映了测量值的不确定度（或误差限值）。
测量值的有效数字位数越多，测量的相对不确定度越小；有效位数越少，相对不确定度就越大。
越小；有效位数越少，相对不确定度就越大。
3．数值的科学表示法二、有效数字的运算规则1．数值的舍入修约原则测量值的数字的舍入，首先要确定需要保留的有效数字和位数，保留数字的位数确定以222()()()A B C D +D +D 2222()()0.300.088A C D +D +2222()()0.0402483.751.2R T RTD D æöæöæöæ+´=+´ç÷ç÷ç÷çèøèøèøè2。
有效数字及运算法则
指针正好在82mA上：读为82.0mA
可修改
12
对于1.0级表 △仪=100mA×1.0%=1mA
指针在82mA与84mA之间： 可读为82mA、83mA或84mA
指针正好在82mA上：读为82mA
可修改
13
例1
62 .
–5
+
1.
23–4
=
63
.
7–
0.326 9.674 __1_0_.0_0_0_，
100.00 __1_._00_0_0_。
0.326 9.674可修改
28
在表达式 100.00 0.100cm 中的
100.00的有效数字是_4__位;
100.00 0.10cm 中的
100.00的有效数字是__4__ 位;
100.0 0.1cm 中的有效数字
注意：进行单位换算时，
有效数字的位数不变。
可修改
4
2.数值的科学记数法
数据过大或过小时，可以 用科学表达式。
某电阻值为20000（欧姆），保留三位有 效数字时写成 2.00104
又 如 数 据 为 0.0000325m ， 使 用 科 学 记 数 法写成3.2510-5m
可修改
5
3.有效数字与仪器的关系
N 0.96 0.0可3修cm改
18
运算规则：结果的有效数字与其底或被开
方数的有效数字位数相同。
如： 1002=100102
100=10.0
49 = 7.0
4.02=16
正确
49 = 7
4.02=16.0 错误
可修改
19
(1)对数函数 lgx的尾数与x的位数相同
有效数字及运算规则
有效数字及运算规则1.4.1 有效数字的基本概念任何测量结果都存在不确定度，测量值的位数不能任意的取舍，要由不确定度来决定，即测量值的末位数要与不确定度的末位数对齐。
如体积的测量值3cm 961.5=V ，其不确定度3cm 04.0=V U ，由不确定度的定义及V U 的数值可知，测量值在小数点后的百分位上已经出现误差，因此961.5=V 中的“6”已是有误差的欠准确数，其后面一位“1”已无保留的意义，所以测量结果应写为3cm 04.096.5±=V 。
另外，数据计算都有一定的近似性，计算时既不必超过原有测量准确度而取位过多，也不能降低原测量准确度，即计算的准确性和测量的准确性要相适应。
所以在数据记录、计算以及书写测量结果时，必须按有效数字及其运算法则来处理。
熟练地掌握这些知识，是普通物理实验的基本要求之一，也为将来科学处理数据打下基础。
测量值一般只保留一位欠准确数，其余均为准确数。
所谓有效数字是由所有准确数字和一位欠准确数字构成的，这些数字的总位数称为有效位数。
一个物理量的数值与数学上的数有着不同的含义。
例如，在数学意义上600.460.4=，但在物理测量中(如长度测量)，cm 600.4cm 60.4≠，因为cm 60.4中的前两位“4”和“6”是准确数，最后一位“0”是欠准确数，共有三位有效数字。
而cm 600.4则有四位有效数字。
实际上这两种写法表示了两种不同精度的测量结果，所以在记录实验测量数据时，有效数字的位数不能随意增减。
1.4.2 直接测量的读数原则直接测量读数应反映出有效数字，一般应估读到测量器具最小分度值的10/1。
但由于某些仪表的分度较窄、指针较粗或测量基准较不可靠等，可估读5/1或2/1分度。
对于数字式仪表，所显示的数字均为有效数字，无需估读，误差一般出现在最末一位。
例如：用毫米刻度的米尺测量长度，如图1-4-1(a )所示，cm 67.1=L 。
“6.1”是从米尺上读出的“准确”数，“7”是从米尺上估读的“欠准确”数，但是有效的，所以读出的是三位有效数字。
有效数字运算规则
14
(２)分析天平（万分之一）称取样品，质量小数点后取 45 位有效数字。
(３)原则溶液旳浓度，用 4 位有效数字表达。
12/28/2023
13
四.有效数字规则在分析化学中旳应用
2．按有效数字旳运算规则正确地计算数据—报出合理旳 测试成果。 注意：算式中旳相对分子质量取 4 位有效数字。
12/28/2023
12/28/2023
3
有效数字及其运算规则
二、有效数字修约原则： 在取舍有效数字位数时，应注意下列几点） （1）在分析化学计算中，经常会遇到某些分数、整数、倍 数等，这些数可视为足够有效。
（2）若某一数据第一位有效数字等于或不小于8，则有效 数字旳位数可多算一位。如：9.98，按4位算。
（3）在计算成果中，采用“四舍六入五成双” 原则进行修约。
12/28/2023
9
有效数字及其运算规则
三. 有效数字旳运算规则 2. 乘除运算
几种数据旳乘除运算中，所得成果旳有效数字旳位数 取决于有效数字位数至少旳那个数，即相对误差最大 旳那个数。
例：（ 0.0325 5.103 ）/ 139.8 = 0.00119
12/28/2023
10
有效数字及其运算规则
一般化学
有效数字及其运算规则
12/28/2023
1
有效数字及其运算规则
一.有效数字: 指实际上能测量到旳数字。 各位拟定数字+最终一位可疑数字
1．试验过程中常遇到两类数字：
（1）表达数目旳非测量值:如测定次数，倍数,系数,分数 （2）测量值或计算值。数据旳位数与测定旳精确度有关。 统计旳数字不但表达数量旳大小，还要正确地反应测量旳 精确程度。
（5）表达误差时，取一位有效数字已足够，最多取二位。
有效数字及其运算规则
§1、４有效数字及其运算规则一、有效数字得一般概念１、有效数字任何一个物理量,其测量结果必然存在误差。
因此，表示一个物理量测量结果得数字取值就是有限得。
我们把测量结果中可靠得几位数字,加上可疑得一位数字,统称为测量结果得有效数字。
例如,2、78得有效数字就是三位,２、7就是可靠数字,尾位“8”就是可疑数字。
这一位数字虽然就是可疑得,但它在一定程度上反映了客观实际,因此它也就是有效得。
2、确定测量结果有效数字得基本方法(１)仪器得正确测读仪器正确测读得原则就是：读出有效数字中可靠数部分就是由被测量得大小与所用仪器得最小分度来决定。
可疑数字由介于两个最小分度之间得数值进行估读，估读取数一位(这一位就是有误差得）。
例如,用分度值为1ｍm得米尺测量一物体得长度，物体得一端正好与米尺零刻度线对齐，另一端如图１-1。
此时物体长度得测量值应记为L=83.87cm。
其中,83、8就是可靠数,尾数“7”就是可疑数,有效数字为四位。
（2)对于标明误差得仪器,应根据仪器得误差来确定测量值中可疑数所以用该电压表测量时，其电压值只需读到小数点后第一位。
如某测量值为1２、3Ｖ,若读出:1２、32Ｖ,则尾数“2”无意义,因为它前面一位“3”本身就就是可疑数字。
(3)测量结果得有效数字由误差确定。
不论就是直接测量还就是间接测量,其结果得误差一般只取一位。
测量结果有效数字得最后一位与误差所在得一位对齐。
如L=(83、87±0、02）cm就是正确得，而L=(83、868±0、02)cm与L＝(83、9±0、0２)ｃm都就是错误得。
3、关于“0”得问题有效数字得位数与十进制得单位变换无关。
末位“0”与数字中间得“0”均属于有效数字。
如2３、 20ｃm；１0、2V等，其中出现得“0”都就是有效数字。
小数点前面出现得“0”与它之后紧接着得“0”都不就是有效数字。
如0.２5cｍ或0．04５ｋg中得“0”都不就是有效数字,这两个数值都只有两位有效数字。
有效数字及其运算规则
一、有效数字 二、有效数字的修约规则 三、有效数字的运算法则
一、有效数字：实际可以测得的数字
1. 有效数字位数包括所有准确数字和一位欠准数字 例：滴定读数20.30mL，最多可以读准三位 第四位欠准（估计读数）±1% 2. 在0~9中，只有0既是有效数字，又是无效数字 例： 0.06050 四位有效数字 定位 有效位数 例：3600 → 3.6×103 两位 → 3.60×103 三位 3．单位变换不影响有效数字位数 例：10.00[mL]→0.0010H，pM，pK，lgC，lgK等对数值，其有效数字的 位数取决于小数部分（尾数）数字的位数，整数部 分只代表该数的方次 例：pH = 11.20 → [H+]= 6.3×10-12[mol/L] 两位 5．结果首位为8和9时，有效数字可以多计一位 例：90.0% ，可示为四位有效数字 例：99.87% →99.9% 进位
二、有效数字的修约规则
1．四舍六入五留双 例：0.37456 ， 0.3745 均修约至三位有效数 字 0.37 0.37 4 5 2．只能对数字进行一次性修约 例：6.549， 2.451 6.5 一次修约至两位有效数字 2.5
3．当对标准偏差修约时，修约后会使标准偏差结果 变差，从而提高可信度
例：s = 0.134 → 修约至0.14，可信度↑
三、有效数字的运算法则
1．加减法：以小数点后位数最少的数为准（即以 绝对误差最大的数为准） 例： 50.1 + 1.45 + 0.5812 =52. ？ 1 δ ±0.1 ±0.01 ±0.0001 保留三位有效数字 2．乘除法：以有效数字位数最少的数为准（即以 相对误差最大的数为准） 0.32 例：0.0121 × 25.64 × 1.05782 = ？ 8 δ ±0.0001 ±0.01 ±0.00001 保留三位有效数字 RE ±0.8% ±0.4% ±0.009%
有效数字的计算法则
有效数字的计算法则
有效数字是指一个数值中有意义的数字，即不包括末位的零和前导零。
在进行计算时，需要遵守一些有效数字的计算法则，以保证最终结果的准确性。
1. 加减法计算：在进行加减法计算时，结果的有效数字位数应与参与计算的数中最小的有效数字位数相同。
例如，计算4.31 + 2.1时，最小有效数字位数为2，因此结果应该保留两位有效数字，即6.4。
2. 乘除法计算：在进行乘除法计算时，结果的有效数字位数应与参与计算的数中有效数字位数之和的最小值相同。
例如，计算2.3 × 1.56时，有效数字位数之和为3，因此结果应该保留三位有效数字，即3.6。
3. 科学计数法计算：在进行科学计数法的加减乘除法运算时，应将指数相同的数值相加减或相乘除，并将结果表示为科学计数法的形式。
例如，计算(3.2 × 10^4) + (1.8 × 10^3)时，应将指数相同的数值相加，得到3.38 × 10^4的结果。
4. 近似值计算：当无法得到精确结果时，可以使用近似值进行计算，并用适当的有效数字进行结果的表示。
例如，计算π的值时，可以使用3.14作为近似值，并用三位有效数字表示结果。
总之，遵守有效数字的计算法则可以保证计算结果的准确性和
可靠性。
有效数字与运算规则ppt课件
2. 乘除运算时
有效数字的位数取决于相对误差最大的数据的位
数（即以运算式中有效数字位数最少的数据为依据）
0.0712 例：(0.0325 5.103 60.0)/ 139.8 = 0.071179184
0.0325 5.103 60.06 139.8
±0.0001/0.0325 100%=±0.3% ±0.001 /5.103 100%=±0.02% ± 0.01 /60.06 100%=±0.02% ±0.1 /139.8 100% =±0.07%
所得数只有一位可疑数字。 • 4．对于高含量组分（例如>10%）的测定，一般要求分
析结果有4位有效数字；对于中含量组分（例如1～ 10%），一般要求3位有效数字；对于微量组分（<1%）， 一般只要求2位有效数字。通常以此为标准，报出分析 结果。 • 5.当涉及到各种常数时，一般视为准确的，不考虑其 有效数字的位数。
0.1256;1.97;704.7;9.3 11025 ;
1.3.3 置信度(置信水平)与平均值的置信区间
• (1) 置信度(置信水平,P) :真实值(测定结果的平均值)
落在 tS X 区间内的概率. 一般P=90%或95%.
(2) 平均值的置信区间:在一定置信度下,以平均值为
中心,包括总体平均值 x 的置信区间,即
有效数字按小数点后的位数计算。 （5）表示分析方法的精密度和准确度时，大多数取1—2位有效数字。
10
4 有效数字运算规则在分析测试中的应用
• 1．记录测定结果时，只应保留一位可疑数字。 • 2．有效数字位数确定以后，按“四舍六入五成双”规
则进行修约。 • 3．几个数相加减时，以绝对误差最大的数为标准，使
有效数字及计算规则
有效数字及计算规则
有效数字是指用来表示一个测量结果或计算结果的数字。
有效数字通常包括所有的非零数字以及所有的零中间的数字，并且不包括前导零和末尾的零（如果没有小数点）。
以下是计算有效数字的一般规则：
1. 非零数字都是有效数字。
例如，对于数字123，所有的数字都是有效数字。
2. 零在非零数字中间是有效数字。
例如，对于数字1203，所有的数字都是有效数字。
3. 前导零不是有效数字。
例如，对于数字0.023，有效数字为23。
4. 末尾的零在有小数点的情况下是有效数字。
例如，对于数字2.30，有效数字为2.30。
5. 末尾的零在没有小数点的情况下不是有效数字。
例如，对于数字230，有效数字为23。
在进行计算时，有效数字的规则如下：
1. 加法和减法：计算结果的有效数字与运算数中最少的有效数字保持一致。
2. 乘法和除法：计算结果的有效数字与运算数中最少的有效数字保持一致。
3. 指数运算和开方：计算结果的有效数字与运算数中最少的有效数字保持一致。
4. 合并数据：保留最少的有效数字。
例如，将数字1.23和4.567合并，得到
5.80。
有效数字及其运算规则
1.3 有效数字及其运算规则1.3.1 有效数字1. 定义有效数字就是实际能测到的数字。
有效数字的位数和分析过程所用的分析方法、测量方法、测量仪器的准确度有关。
我们可以把有效数字这样表示。
有效数字＝所有的可靠的数字+ 一位可疑数字表示含义：如果有一个结果表示有效数字的位数不同，说明用的称量仪器的准确度不同。
例：7.5克用的是粗天平7.52克用的是扭力天平7.5187克用的是分析天平2. “0”的双重意义作为普通数字使用或作为定位的标志。
例：滴定管读数为20.30毫升。
两个0都是测量出的值，算做普通数字，都是有效数字，这个数据有效数字位数是四位。
改用“升”为单位，数据表示为0.02030升，前两个0是起定位作用的，不是有效数字，此数据是四位有效数字。
3. 规定(1)．倍数、分数关系无限多位有效数字(2). pH、pM、lgc、lgK等对数值，有效数字由尾数决定。
例： pM＝5.00 （二位）[M]=1.0×10-5 ；PH＝10.34（二位）；pH＝0.03（二位）注意：首位数字是8，9时，有效数字可多计一位, 如9.83―四位。
1.3.2 数字修约规则（“四舍六入五成双”规则）规定：当尾数≤4时则舍，尾数≥6时则入；尾数等于5而后面的数都为0时，5前面为偶数则舍，5前面为奇数则入；尾数等于5而后面还有不为0的任何数字，无论5前面是奇或是偶都入。
例：将下列数字修约为4位有效数字。
修约前修约后0.526647--------0.52660.36266112------0.362710.23500--------10.24250.65000-------250.618.085002--------18.093517．46--------3517注意：修约数字时只允许一次修约，不能分次修约。
如：13.4748－13.471.3.3 计算规则1. 加减法先按小数点后位数最少的数据保留其它各数的位数，再进行加减计算，计算结果也使小数点后保留相同的位数。
有效数字及运算法则
测量值本身的大小、仪器的准确度
米尺 L=2.52cm （三位有效数字）
20分度游标卡尺 L=2.525cm （四位有效数字）
螺旋测微计 L=2.5153cm （五位有效数字）
4.不确定度的表达
N N (单位)
σ取一个有效数字， σ决定N的有效位
a 10.0 0.1cm2 b 20.02 0.01cm
100.0035=1.00809611.008
四、间接测量量有效数字的确定 ——有效数字的运算法则
1.加减法 2.乘除法 3.乘方与开方 4.函数运算
5.自然数与常量
①自然数不是测量值，不存在误差， 故有效数字是无穷位。
如在D=2R中，2不是一位有效数字，而是无穷位
②常数、e等的位数可与参加运算的 量中有效数字位数最少的位数相同 或多取一位。
例 9 L=2R 其中R=2.3510-2m
就应取3.14(或3.142)
即L=23.1422.3510-2=0.148(m)
综合运算举例
50.00 ( 18.30 16.3 ) ( 103 3.0 ) ( 1.00 + 0.001 )
=
50.00 2.0 100 1.00
=
1.0102 100
= 1.0
10.02 lg100.0 35 27.3211 27.31 = 100 2.0000 35
0.01 = 2104 35 = 2104
试用有效数字计算结果： （1）123.98 - 40.456 + 7.8 = 171.0 （2） lg10.00 = 1.0000 （3）789.30 × 50 ÷ 0.100 = 3.9×103 （4）1.002 = 1.00
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
有效数字及其运算规则
一、测量结果的有效数字
1．有效数字的定义及其基本性质
测量结果中所有可靠数字加上末位的可疑数字统称为测量结果的有效数字。
有效数字具有以下基本特性：
（1）有效数字的位数与仪器精度（最小分度值）有关，也与被测量的大小有关。
对于同一被测量量，如果使用不同精度的仪器进行测量，则测得的有效数字的位数是不同的。
例如用千分尺（最小分度值0.01mm ，0.004mm ∆=仪）测量某物体的长度读数为
4.834mm 。
其中前三位数字“483”是最小分度值的整数部分，是可靠数字；末位“4”是在最小分度值内估读的数字，为可疑数字；它与千分尺的∆仪在同一数位上，所以该测量值有四位数字。
如果改用最小分度值（游标精度）为0.02mm 的游标卡尺来测量，其读数为
4.84mm ，测量值就只有三位有效数字。
游标卡尺没有估读数字，其末位数字“4”为可疑数字，它与游标卡尺的0.02mm ∆仪＝也是在同一数位上。
（2）有效数字的位数与小数点的位置无关，单位换算时有效数字的位数不应发生改变。
2．有效数字与不确定度的关系
在我们规定不确定度的有效数字只取一位时，任何测量结果，其数值的最后一位应与不确定度所在的那一位对齐。
如3
(8.9270.005)/g cm ρ=±，测量值的末位“7”刚好与不确定度0.005的“5”对齐。
由于有效数字的最后一位是不确定度所在位，因此有效数字或有效位数在一定程度上反映了测量值的不确定度（或误差限值）。
测量值的有效数字位数越多，测量的相对不确定度越小；有效位数越少，相对不确定度就越大。
3．数值的科学表示法 二、有效数字的运算规则
1．数值的舍入修约原则
测量值的数字的舍入，首先要确定需要保留的有效数字和位数，保留数字的位数确定以
后，后面多余的数字就应予以舍入修约，其规则如下：
（1）拟舍弃数字的最左一位数字小于5时，则舍去，即保留的各位数字不变。
（2）拟舍弃数字的最左一位数字大于5，或者是5而其后跟有并非0的数字时，则进1，即保留的末位数字加1。
（3）拟舍弃数字的最左一位数字为5，而5的右边无数字或皆为0时，若所保留的末位数字为奇数则进1，为偶数或0则舍去，即“单进双不进”。
上述规则也称数字修约的偶数规则，即“四舍六入五凑偶”规则。
根据上述规则，要将下列各数据保留四位有效数字，舍入后的数据为：
3.14159 3.142→； 2.71729 2.717→；
4.51050 4.510→； 3.21550 3.216→；
6.378501 6.379→；
7.6914997.691→
对于测量结果的不确定度的有效数字，本课程规定采取只进不舍的规则。
2．有效数字运算规则
有效数字的运算总的原则是，除遵守数学运算法则外，还规定，准确数字与准确数字的运算结果仍为准确数字；存疑数字与任何数字的运算结果均为存疑数字。
（1）加减法
设F x y z =++，运算过程为：
1） 先计算绝对不确定度，不确定度在运算过程中取两位，最后取一位。
2） 计算F ，各分量位数取到和不确定度所在位相同或比不确定度所在位低一位。
3） 用绝对不确定度决定最后结果的有效数字。
例1 求F A B C =+-。
其中()98.70.3A mm =±，()6.2380.006B mm =±，()14.360.08C mm =±。
解：① ()F ∆=()()B A ∆∆和()C ∆，故在方和根合成时，()B ∆可忽略。
所以
()0.310.4()F mm ∆====
② 98.7 6.23814.3690.58()F A B C mm =+-=+-=
在计算过程中，因为不确定度在小数点后第一位上，故运算时各分量保留到小数点后第一位或第二位，F 也暂多保留一位。
③ ()90.60.4F mm =±
如果各分量没有标明不确定度，则加减法的运算以各分量中可疑数字位最高的，即不确定度最大的分量为准，其他各分量在运算过程中保留到它下面一位，最后再与它对齐。
上例中，A 分量的可疑数字位最高，以它为准，其它各分量保留到它下面一位，最后对齐。
98.7 6.2414.3690.58()F mm =+-=，最后与A 分量的位数对齐，所以结果为90.6F mm =。
（2）乘除法
设F xyz =，运算过程为：
1）以有效位数最少的分量为准，将各分量（包括常数）的有效数字取到比它多一位，计算F ，结果也暂多保留一位。
2）计算不确定度。
3）由绝对不确定度决定结果的有效数字位数。
例 2 求224g
D RT π=，其中：()383.750.0410R m -=±⨯，()1.240.01T s =±，
29.794/g m s =。
解：① 各分量中，T 的有效数字位数最少（3位），以它为准，R ，g ，π都取四位，结果先保留四位。
()()2232229.79483.75 1.2431.9410()44 3.142g
D RT m π-⨯⨯===⨯⨯
② 计算不确定度，应用不确定度传递公式：
()0.017D D ∆=== 3332()()31.94100.0170.54100.610()D D D m D
---∆∆=⨯=⨯⨯=⨯=⨯ ③ 结果为： ()3231.90.610D m -=±⨯
当测量数据没有给出不确定度时，计算同①。
结果的有效数字位数一般取与各分量中有
效数字位数最少者相同。
在运算中，遇到一些物理常数和纯数学数字（如2， 等），它们不影响运算结果的有效数字位数。
综上例题运算得知，有效数字的运算规则：（1）当几个有效数字相加或相减时，其结果的有效数字末位的量级与参加运算的有效数字中可疑数字量级最大者相同。
（2）当几个有效数字相乘或相除时，其结果的有效数字位数一般与参加运算的各数中有效数字位数最少者相同。
3．函数运算的有效数字取值
必须注意，测量结果的有效数字位数多少取决于测量，而不取决于运算过程。
因此在运算时，尤其是使用计算器时，不要随意扩大或减少有效数字位数，更不要认为算出结果的位数越多越好。