2018中考专题相似三角形

合集下载

2018中考相似三角形_动点问题_分类讨论问题(培优与答案)

2018中考相似三角形_动点问题_分类讨论问题(培优与答案)

2018年中考复习 相似 动点 分类讨论1.如图,已知一个三角形纸片ABC ,BC 边的长为8,BC 边上的高为6,B ∠和C ∠都为锐角,M 为AB 一动点(点M 与点A B 、不重合),过点M 作MN BC ∥,交AC 于点N ,在AMN △中,设MN 的长为x ,MN 上的高为h . (1)请你用含x 的代数式表示h .(2)将AMN △沿MN 折叠,使AMN △落在四边形BCNM 所在平面,设点A 落在平面的点为1A ,1A MN △与四边形BCNM 重叠部分的面积为y ,当x 为何值时,y 最大,最大值为多少? 【答案】解:(1)MN BC ∥AMN ABC ∴△∽△68h x ∴=34xh ∴=(2)1AMN A MN △≌△1A MN ∴△的边MN 上的高为h ,①当点1A 落在四边形BCNM 内或BC 边上时,1A MN y S =△=211332248MN h x x x ==··(04x <≤)②当1A 落在四边形BCNM 外时,如下图(48)x <<,设1A EF △的边EF 上的高为1h ,则132662h h x =-=- 11EF MNA EF A MN∴∥△∽△11A MN ABC A EF ABC ∴△∽△△∽△1216A EF S h S ⎛⎫= ⎪⎝⎭△△ABC168242ABC S =⨯⨯=△22363224122462EFx S x x ⎛⎫- ⎪∴==⨯=-+ ⎪⎪⎝⎭1△A 1122233912241224828A MN A EF y S S x x x x x ⎛⎫=-=--+=-+- ⎪⎝⎭△△所291224(48)8y x x x =-+-<<综上所述:当04x <≤时,238y x =,取4x =,6y =最大 当48x <<时,2912248y x x =-+-,取163x =,8y =最大86>∴当163x =时,y 最大,8y =最大2.如图,抛物线经过(40)(10)(02)A B C -,,,,,三点. (1)求出抛物线的解析式;(2)P 是抛物线上一动点,过P 作PM x ⊥轴,垂足为M ,是否存在P点,使得以A ,P ,M 为顶点的三角形与OAC △相似?若存在,请求出符合条件的点P 的坐标;若不存在,请说明理由; 【答案】解:(1)该抛物线过点(02)C -,,∴可设该抛物线的解析式为22y ax bx =+-.将(40)A ,,(10)B ,代入,得1642020a b a b .+-=⎧⎨+-=⎩,解得1252a b .⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩,∴此抛物线的解析式为215222y x x =-+-. (2)存在.如图,设P 点的横坐标为m ,则P 点的纵坐标为215222m m -+-, 当14m <<时,4AM m =-,215222PM m m =-+-. 又90COA PMA ∠=∠=°,∴①当21AM AO PM OC ==时,APM ACO △∽△,即21542222m m m ⎛⎫-=-+- ⎪⎝⎭.解得1224m m ==,(舍去),(21)P ∴,. ②当12AM OC PM OA ==时,APM CAO △∽△,即2152(4)222m m m -=-+-. 解得14m =,25m =(均不合题意,舍去)∴当14m <<时,(21)P ,.MNCBEFAA1类似地可求出当4m >时,(52)P -,.当1m <时,(314)P --,.综上所述,符合条件的点P 为(21),或(52)-,或(314)--,.3.如图,已知直线128:33l y x =+与直线2:216l y x =-+相交于点C l l 12,、分别交x 轴于A B 、两点.矩形DEFG 的顶点D E 、分别在直线12l l 、上,顶点F G 、都在x 轴上,且点G 与点B 重合. (1)求ABC △的面积;(2)求矩形DEFG 的边DE 与EF 的长;(3)若矩形DEFG 从原点出发,沿x 轴的反方向以每秒1个单位长度的速度平移,设移动时间为(012)t t ≤≤秒,矩形DEFG 与ABC △重叠部分的面积为S ,求S 关于t 的函数关系式,并写出相应的t 的取值范围.【答案】(1)解:由28033x +=,得4x A =-∴.点坐标为()40-,. 由2160x -+=,得8x B =∴.点坐标为()80,.∴()8412AB =--=. 由2833216y x y x ⎧=+⎪⎨⎪=-+⎩,.解得56x y =⎧⎨=⎩,.∴C点的坐标为()56,.∴111263622ABC C S AB y ==⨯⨯=△·.(2)解:∵点D 在1l 上且2888833D B D x x y ==∴=⨯+=,.∴D 点坐标为()88,. 又∵点E 在2l 上且821684E D E E y y x x ==∴-+=∴=,..∴E 点坐标为()48,. ∴8448OE EF =-==,.(3)解法一:①当03t <≤时,如图1,矩形DEFG 与ABC △重叠部分为五边形CHFGR (0t =时,为四边形C H F G ).过C 作CM AB ⊥于M ,则∴BG RG BM CM =,即36t RG =,∴2RG t =. Rt Rt AFH AMC △∽△,∴()()11236288223ABC BRG AFH S S S S t t t t =--=-⨯⨯--⨯-△△△.即241644333S t t =-++.· 当83<≤t 时,如图2,为梯形面积,∵G (8-t,0)∴GR=32838)8(32t t -=+-,∴38038]32838)4(32[421+-=-++-⨯=t t t s当128<≤t 时,如图3,为三角形面积,4883)12)(328(212+-=--=t t t t s4.如图,矩形ABCD 中,3AD =厘米,AB a =厘米(3a >).动点M N ,同时从B 点出发,分别沿B A →,B C →运动,速度是1厘米/秒.过M 作直线垂直于AB ,分别交AN ,CD 于P Q ,.当点N 到达终点C 时,点M 也随之停止运动.设运动时间为t 秒.(1)若4a =厘米,1t =秒,则PM =______厘米;(2)若5a =厘米,求时间t ,使PNB PAD △∽△,并求出它们的相似比;(3)若在运动过程中,存在某时刻使梯形PMBN 与梯形PQDA 的面积相等,求a 的取值范围;(4)是否存在这样的矩形:在运动过程中,存在某时刻使梯形PMBN ,梯形PQDA ,(图3)(图1)(图2)梯形PQCN 的面积都相等?若存在,求a 的值;若不存在,请说明理由.【答案】解: (1)34PM =, (2)2t =,使PNB PAD △∽△,相似比为3:2 (3)PM AB CB AB AMP ABC ∠=∠⊥,⊥,,AMP ABC △∽△,PM AMBN AB∴=即()PM a t t a t PM t a a--==,,(1)3t a QM a-∴=-当梯形PMBN 与梯形PQDA 的面积相等,即()()22QP AD DQ MP BN BM++=()33(1)()22t a t t a a t t ta a -⎛⎫⎛⎫-+--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭==化简得66a t a=+,3t ≤,636aa∴+≤,则636a a ∴<≤,≤, (4)36a <≤时梯形PMBN 与梯形PQDA 的面积相等∴梯形PQCN 的面积与梯形PMBN 的面积相等即可,则CN PM =()3t a t t a ∴-=-,把66at a=+代入,解之得a =±,所以a =. 所以,存在a ,当a =时梯形PMBN 与梯形PQDA 的面积、梯形PQCN 的面积相等.5.如图,已知△ABC 是边长为6cm 的等边三角形,动点P 、Q 同时从A 、B 两点出发,分别沿AB 、BC 匀速运动,其中点P 运动的速度是1cm/s ,点Q 运动的速度是2cm/s ,当点Q 到达点C 时,P 、Q 两点都停止运动,设运动时间为t (s ),解答下列问题:(1)当t =2时,判断△BPQ 的形状,并说明理由; (2)设△BPQ 的面积为S (cm 2),求S 与t 的函数关系式;(3)作QR //BA 交AC 于点R ,连结PR ,当t 为何值时,△APR ∽△PRQ ?【答案】 解:(1)△BPQ 是等边三角形,当t=2时,AP=2×1=2,BQ=2×2=4,所以BP=AB-AP=6-2=4,所以BQ=BP .又因为∠B=600,所以△BPQ 是等边三角形. (2)过Q 作QE ⊥AB,垂足为E,由QB=2y,得QE=2t ·sin600=3t,由AP=t,得PB=6-t,所以S △BPQ=21×BP ×QE=21(6-t)×3t=-23t 2+33t ;(3)因为QR ∥BA,所以∠QRC=∠A=600,∠RQC=∠B=600,又因为∠C=600, 所以△QRC 是等边三角形,所以QR=RC=QC=6-2t.因为BE=BQ ·cos600=21×2t=t, 所以EP=AB-AP-BE=6-t-t=6-2t,所以EP ∥QR,EP=QR,所以四边形EPRQ 是平行四边形, 所以PR=EQ=3t,又因为∠PEQ=900,所以∠APR=∠PRQ=900.因为△APR ~△PRQ, 所以∠QPR=∠A=600,所以tan600=PR QR ,即3326=-tt ,所以t=56,所以当t=56时, △APR ~△PRQ6.在直角梯形OABC 中,CB ∥OA ,∠CO A =90º,CB =3,OA =6,BA =35.分别以OA 、OC 边所在直线为x 轴、y 轴建立如图1所示的平面直角坐标系.(1)求点B 的坐标;(2)已知D 、E 分别为线段OC 、OB 上的点,OD =5,OE =2E B ,直线DE 交x 轴于点F .求直线DE 的解析式;(3)点M 是(2)中直线DE 上的一个动点,在x 轴上方的平面内是否存在另一个点N .使以O 、D 、M 、N 为顶点的四边形是菱形?若存在,请求出点N 的坐标;若不存在,请说明理由.图7-2A D OBC 21MN图7-1图7-3AD OBC 21 MN(1)如图15-1,若AO = OB ,请写出AO 与BD 的数量关系和位置关系;(2)将图15-1中的MN 绕点O 顺时针旋转得到图15-2,其中AO = OB . 求证:AC = BD ,AC ⊥ BD ;(3)将图15-2中的OB 拉长为AO 的k 倍得到 图15-3,求ACBD的值. 【答案】 解:(1)AO = BD ,AO ⊥BD ;(2)证明:如图4,过点B 作BE ∥CA 交DO 于E ,∴∠ACO = ∠BEO .又∵AO = OB ,∠AOC = ∠BOE ,∴△AOC ≌ △BOE .∴AC = BE . 又∵∠1 = 45°, ∴∠ACO = ∠BEO = 135°.∴∠DEB = 45°.∵∠2 = 45°,∴BE = BD ,∠EBD = 90°.∴AC = BD . 延长AC 交DB 的延长线于F , 如图4.∵BE ∥AC ,∴∠AFD = 90°.∴AC ⊥BD .(3)如图5,过点B 作BE ∥CA 交DO 于E ,∴∠BEO = ∠ACO . 又∵∠BOE = ∠AOC , ∴△BOE ∽ △AOC .∴AOBOAC BE =. 又∵OB = kAO ,由(2)的方法易得 BE = BD .∴k ACBD=. 10.如图,已知过A (2,4)分别作x 轴、y 轴的垂线,垂足分别为M 、N ,若点P 从O 点出发,沿OM 作匀速运动,1分钟可到达M 点,点Q 从M 点出发,沿MA 作匀速运动,1分钟可到达A 点。

2018年初三数学专题复习五、三角形及其全等、相似

2018年初三数学专题复习五、三角形及其全等、相似

初三数学专题复习五、三角形及其全等、相似【课标要求】1.三角形的有关概念:(1)了解三角形有关的概念,掌握三角形的三边关系;(2)理解三角形内角和定理及推论;(3)理解三角形的角平分线、中线、高的概念及画法和性质.2.特殊三角形的性质和判定:(1)了解等腰三角形及等边三角形的有关概念,掌握其性质及判定;(2)掌握线段中垂线和角平分线的性质及判定;(3)了解直角三角形的有关概念,掌握其性质与判定;(4)掌握勾股定理与逆定理,并能用来解决有关问题.3.全等三角形:(1)理解全等三角形的定义和性质;(2)掌握三角形全等的性质与判定,熟练掌握三角形全等的证明;4.相似三角形:(1)比例线段:了解比例线段的有关概念及其性质,并会用比例的性质解决简单的问题.(2)相似图形:了解相似多边形,相似三角形的概念,掌握其性质和判定并会运用;(3)相似三角形:①了解两个三角形相似的概念,探索两个三角形相似的条件;②能利用图形的相似解决一些实际问题;③通过实例了解中心投影和平行投影,了解视点、视线及盲区的涵义;(4)位似:了解位似变换和位似图形的概念,掌握并运用其性质.【课时分布】【知识回顾】1.知识脉络(1)三角形的概念及性质三角形的概念:由三条线段首尾顺次相接组成的图形,叫做三角形.三角形的性质:①三角形的内角和是180°;②三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和;三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角;③三角形的任意两边之和大于第三边;三角形任意两边之差小于第三边.(2)三角形中的重要线段三角形的角平分线:三角形一个角的平分线和这个角的对边相交,这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线.三角形的高线:从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线,顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线,简称高.三角形的中线:在三角形中,连接一个顶点和它对边中点的线段.三角形的中位线:①连接三角形两边中点的线段.②定理:三角形的中位线平行于第三边,且等于它的一半.(3)三角形的外心、内心①三角形三边的垂直平分线交于一点,这个点叫做三角形的外心,三角形的外心到三角形各顶点的距离相等.②三角形的三条角平分线交于一点,这个点叫做三角形的内心,三角形的内心到三角形三边的距离相等.(4)等腰三角形等腰三角形的有关概念及分类:①有两边相等的三角形叫等腰三角形,三边相等的三角形叫做等边三角形,也叫正三角形;②等腰三角形分为腰和底不相等的等腰三角形和腰和底相等的等腰三角形;等腰三角形的性质:①等腰三角形的两个底角相等(简称为“等边对等角”);②等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合(简称为“三线合一”);③等腰三角形是轴对称图形.等腰三角形的判定:①有两边相等的三角形是等腰三角形;②如果一个三角形有两个角相等,那么这两个角所对的边也相等(简称为“等角对等边”).(5)等边三角形的性质与判定等边三角形的性质:①等边三角形的内角相等,且都等于60°;②等边三角形的三条边都相等;等边三角形的判定:①三条边相等的三角形是等边三角形;②三个角相等的三角形是等边三角形;③有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形.(6)线段的垂直平分线线段的垂直平分线概念:经过线段中点,并且垂直于这条线段的直线,也叫中垂线.线段的垂直平分线性质:线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等.线段的垂直平分线判定:到一条线段的两个端点距离相等的点在线段的垂直平分线上,线段的垂直平分线可以看作是到线段两端点距离相等的点的集合.(7)角平分线的性质及判定角平分线的性质:角平分线上的点到角的两边的距离相等.角平分线的判定:角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上,角的平分线可以看作是到角两边距离相等的点的集合.直角三角形的性质:①直角三角形的两锐角互余;②直角三角形中,30°角所对的边等于斜边的一半;③直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半;④勾股定理:直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.直角三角形的判定:①有一个角等于90°的三角形是直角三角形;②有两角互余的三角形是直角三角形;③如果三角形一边上的中线等于这边的一半,则该三角形是直角三角形;④勾股定理的逆定理:如果三角形一条边的平方等于另外两条边的平方和,那么这个三角形是直角三角形.(8)全等三角形的性质与判定全等三角形的概念:能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形.全等三角形的性质:全等三角形的对应边、对应角分别相等.全等三角形的判定:①有三边对应相等的两个三角形全等,简记为(SSS);②有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等,简记为(SAS);③有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等,简记为(ASA);④有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等,简记为(AAS);⑤有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等,简记为(HL).(9)比例线段比例线段的概念:在四条线段a ,b ,c ,d 中,如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比,即dcb a = (或a ∶b =c ∶d ),那么这四条线段a ,b ,c ,d 叫做成比例线段,简称比例线段. 比例线段的性质: ①基本性质:a b =cdad =bc ; ②合比性质:a b =cdddc b b a +=+; ③等比性质:若a b =c d =···=mn (b +d +···+n ≠0),那么ba n db mc a =+⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅++.黄金分割的概念:点C 把线段AB 分成两条线段AC 和BC ,如果AC AB =BCAC ,则线段AB 被点C 黄金分割,点C 叫线段AB 的黄金分割点,AC 与AB 的比叫做黄金比. (10)相似多边形相似多边形的概念:对应角相等、对应边成比例的两个多边形叫做相似多边形.相似多边形对应边的比叫做相似比,相似比为1的两个多边形全等. 相似多边形的性质:①相似多边形的对应角相等,对应边成比例; ②相似多边形周长的比等于相似比;③相似多边形面积的比等于相似比的平方. (11)相似三角形 相似三角形概念各角对应相等,各边对应成比例的两个三角形叫做相似三角形. 相似三角形判定:①平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边延长线)相交,所构成的三角形与原三角形相似; ②两角对应相等,两三角形相似;③两边对应成比例且夹角相等,两三角形相似; ④三边对应成比例,两三角形相似. 相似三角形性质:①相似三角形的对应角相等,对应边成比例;②相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比; ③相似三角形周长的比等于相似比;④相似三角形面积的比等于相似比的平方. (12)图形的位似 图形位似的概念:如果两个图形不仅是相似图形,而且每组对应点所在的直线都经过同一个点,那么这两个图形叫位似图形.这个点叫做位似中心,这时的相似比称为位似比.图形的位似性质:位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比. 3. 能力要求例1 如图5-1,在△ABC 和△ADE 中,AB =AC ,AD =AE ,∠BAC +∠EAD =180°,∠BAE =90°,连接BE 、CD ,F 为BE 的中点,连接AF .求证:CD =2AF【分析】因为AF 是直角三角形ABE 的中线,所以BE =2AF , 然后通过△ABE ≌△ACD 即可求得.【证明】如图,∵∠BAC +∠EAD =180°,∠BAE =90°,∴∠DAC =90°. 在△ABE 与△ACD 中,90AE AD BAE CAD AB AC =∠=∠=︒=⎧⎪⎨⎪⎩∴△ABE ≌△ACD (SAS).∴CD =BE .∵在Rt △ABE 中,F 为BE 的中点,∴BE =2AF .∴CD =2AF .【说明】本题考查了三角形全等的判定和性质,直角三角形的性质,是基础题,熟记和灵活运用三角形全等的判定方法与各性质是解题的关键.例2 如图,已知△ABC 和△ADE 均为等边三角形,D 在BC 上,DE 与AC 相交于点F ,AB =9,BD =3,则CF 等于( )A .1B .2C .3D .4【分析】利用两对相似三角形,线段成比例:AB :BD =AE :EF ,CD :CF =AE :EF ,可得CF =2. 【证明】如图5-2,∵△ABC 和△ADE 均为等边三角形, ∴∠B =∠BAC =60°,∠E =∠EAD =60°, ∴∠B =∠E ,∠BAD =∠EAF ,∴△ABD ∽△AEF .∴AB :BD =AE :EF . 同理:△CDF ∽△EAF . ∴CD :CF =AE :EF .∴AB :BD =CD :CF ,即9:3=(9﹣3):CF .∴CF =2. 故选:B .【说明】本题考查了相似三角形的判定与性质和等边三角形的性质.此题利用了“两角法”证得两个三角形相似.图5-1图5-2例3 如图5-3,△ABC 中,AB =AC =18,BC =12,正方形DEFG 的顶点E ,F 在△ABC 内,顶点D ,G 分别在AB ,AC 上,AD =AG ,DG =6,则点F 到BC 的距离为( ) A .1 B .2 C .1226- D .626-【分析】首先过点A 作AM ⊥BC 于点M ,交DG 于点N ,延长GF 交BC 于点H ,易证得△ADG ∽△ABC ,然后根据相似三角形的性质以及正方形的性质求解即可求得答案. 【解】过点A 作AM ⊥BC 于点M ,交DG 于点N ,延长GF 交BC 于点H ,∵AB =AC ,AD =AG ,∴AD :AB =AG :AB .∵∠BAC =∠DAG ,∴△ADG ∽△ABC .∴∠ADG =∠B .∴DG ∥BC . ∵四边形DEFG 是正方形,∴FG ⊥DG .∴FH ⊥BC ,AN ⊥DG . ∵AB =AC =18,BC =12,∴BM =12BC =6. ∴22122AM AB BM =-=,又△ADG ∽△ABC ,∴AN DG AMBC=.612122AN ∴=.∴62AN =. ∴MN =AM −AN =62,∴FH =MN −GF =62−6. 故选D .【说明】此题考查了相似三角形的判定与性质、正方形的性质、等腰三角形的性质以及勾股定理.此题难度适中,注意掌握辅助线的作法,注意掌握数形结合思想的应用.例4 如图5-4,正方形ABCD 的边长为l ,AB 边上有一动点P ,连接PD ,线段PD 绕点P 顺时针旋转90°后,得到线段PE ,且PE 交BC 于F ,连接DF ,过点E 作EQ ⊥AB 的延长线于点Q . (1)求线段PQ 的长;(2)点P 在何处时,△PFD ∽△BFP ,并说明理由. 【分析】(1)由题意得:PD =PE ,∠DPE =90°,又由正方形ABCD 的边长为l ,易证得△ADP ≌△QPE ,然后由全等三角形的性质,求得线段PQ 的长;图5-4图5-3(2)易证得△DAP ∽△PBF ,又由△PFD ∽△BFP ,根据相似三角形的对应边成比例,可得证得P A =PB ,则可求得答案.【解】(1)根据题意得:PD =PE ,∠DPE =90°,∴∠APD +∠QPE =90°,∵四边形ABCD 是正方形,∴∠A =90°.∴∠ADP +∠APD =90°.∴∠ADP =∠QPE . ∵EQ ⊥AB ,∴∠A =∠Q =90°. 在△ADP 和△QPE 中:A QADP QPE PD PE ∠=∠∠=∠=⎧⎪⎨⎪⎩, ∴△ADP ≌△QPE (AAS).∴PQ =AD =1. (2)∵△PFD ∽△BFP ,∴PB PD BFPF=.∵∠ADP =∠EPB ,∠CBP =∠A .∴△DAP ∽△PBF .PD APPF BF∴=. AP PB PF BF ∴=.∴P A =PB .∴P A =12AB =12. ∴当P A =12时,△PFD ∽△BFP .【说明】此题考查了相似三角形的判定与性质、正方形的性质以及全等三角形的判定与性质.此题难度适中,注意掌握数形结合思想的应用.例5 如图5-5,等边三角形ABC 的边长为6,在AC ,BC 边上各取一点E ,F ,连接AF ,BE 相交于点P .(1)求证:AF =BE ,并求∠APB 的度数; (2)若AE =2,试求AP •AF 的值;【分析】(1)证明△ABE ≌△CAF ,借用外角即可以得到答案;(2)利用勾股定理求得AF 的长度,再用平行线分线段成比例定理或者三角形相似及求得APAF的比值,即可以得到答案.【解】(1)证明:∵△ABC 为等边三角形,∴AB =AC ,∠C =∠CAB =60°,又∵AE =CF ,在△ABE 和△CAF 中,AB AC BAE CAF AE CF =∠=∠=⎧⎪⎨⎪⎩, 图5-5∴△ABE ≌△CAF (SAS).∴AF =BE ,∠ABE =∠CAF . 又∵∠APE =∠ABP +∠BAP ,∴∠APE =∠BAP +∠CAF =60°. ∴∠APB =120°.(2)如图5-6,过点E 作EH ∥BC ,交AF 于H ,AM ⊥BC ,垂足为M , ∵AE =CF =2,△ABC 为等边三角形,AB =BC =AC =6, ∴MF =1,AM =33. 根据勾股定理,AF =27; ∵EH ∥BC ,2163AHHEAEAF CF AC ∴====. 16HEHPBF PF ∴==.37AP AF ∴=. 2233(27)27•17AP AF AF ∴===.【说明】本题考查了等边三角形性质的综合应用以及相似三角形的判定及性质的应用,解答本题的关键是注意转化思想的运用.例6 如图5-7,在△ABC 中,AB =AC ,AD ⊥BC 于点D ,BC =10cm ,AD =8cm .点P 从点B 出发,在线段BC 上以每秒3cm 的速度向点C 匀速运动,与此同时,垂直于AD 的直线m 从底边BC 出发,以每秒2cm 的速度沿DA 方向匀速平移,分别交AB 、AC 、AD 于E 、F 、H ,当点P 到达点C 时,点P 与直线m 同时停止运动,设运动时间为t 秒(t >0).(1)当t =2时,连接DE 、DF ,求证:四边形AEDF 为菱形;(2)在整个运动过程中,所形成的△PEF 的面积存在最大值,当△PEF 的面积最大时,求线段BP 的长; (3)是否存在某一时刻t ,使△PEF 为直角三角形?若存在,请求出此时刻t 的值;若不存在,请说明理由.【分析】(1)如答图1所示,利用菱形的定义证明;(2)如答图2所示,首先求出△PEF 的面积的表达式,然后利用二次函数的性质求解; (3)如答图5-8所示,分三种情形,需要分类讨论,分别求解. 【解】图5-6图5-7(1)证明:当t=2时,DH=AH=2,则H为AD的中点,如图5-8答图1所示.又∵EF⊥AD,∴EF为AD的垂直平分线,∴AE=DE,AF=DF.∵AB=AC,AD⊥AB于点D,∴∠B=∠C.∴EF∥BC.∴∠AEF=∠B,∠AFE=∠C.∴∠AEF=∠AFE,∴AE=AF.∴AE=AF=DE=DF,即四边形AEDF为菱形.(2)解:如图5-8答图2所示,由(1)知EF∥BC,∴△AEF∽△ABC.∴82,=108EF AH EF tBC AD-=即,解得:EF=10−52t.2211555(10)210(2)1022222PEFS EF DH t t t t t==-=-+=--+Vg g.∴当t=2秒时,S△PEF存在最大值,最大值为10,此时BP=3t=6.(3)解:存在.理由如下:①若点E为直角顶点,如图5-9答图3①所示,此时PE∥AD,PE=DH=2t,BP=3t.∵PE∥AD,∴PE BPAD BD=,即2385t t=,此比例式不成立,故此种情形不存在;②若点F为直角顶点,如答图3②所示,此时PE∥AD,PF=DH=2t,BP=3t,CP=10﹣3t.∵PF∥AD,∴PF CPAD CD=,即210385t t-=,解得t=4017;③若点P为直角顶点,如答图3③所示.过点E作EM⊥BC于点M,过点F作FN⊥BC于点N,图5-9图5-8则EM=FN=DH=2t,EM∥FN∥A D.∵EM∥AD,∴EM BMAD BD=,即285t BM=,解得BM=54t,∴PM=BP﹣BM=3t−54t=74t.在Rt△EMP中,由勾股定理得:PE2=EM2+PM2=(2t)2+(74t)2=11316t2.∵FN∥AD,∴FN CNAD CD=,即285t CN=,解得CN=54t,∴PN=BC−BP−CN=10−3t−54t=10−174t.在Rt△FNP中,由勾股定理得:PF2=FN2+PN2=(2t)2+(10−174t)2=35316t2−85t+100.在Rt△PEF中,由勾股定理得:EF2=PE2+PF2,即:(10﹣52t)2=(11316t2)+(35316t2﹣85t+100)化简得:2338t2﹣35t=0,解得:t=280183或t=0(舍去).∴t=280183.综上所述,当t=4017秒或t=280183秒时,△PEF为直角三角形.【说明】本题是运动型综合题,涉及动点与动线两种运动类型.第(1)问考查了菱形的定义;第(2)问考查了相似三角形、图形面积及二次函数的极值;第(3)问考查了相似三角形、勾股定理、解方程等知识点,重点考查了分类讨论的数学思想.【复习建议】1.三角形的全等、相似是平面几何中的重要的内容,在中考中不论是基础题还是压轴题往往都要涉及到全等或相似的有关知识.事实上,许多中考题在教材中都能找到它的“源头”,有鉴于此,在进行复习时,应以教材为“纲”,紧扣教材.重视双基训练.要掌握典型的例题、习题,能对典型试题进行拆分和组合,引导学生学会从多角度、多侧面来分析解决典型试题,从中抽离出基本图形和基本规律方法;要结合三角形全等和相似的特点进行专项有针对性的训练,加大知识的横向与纵向联系,提高答题速度和质量,提高应变能力.要指导学生掌握解题方法,对例题、习题能举一反三,达到触类旁通;2.复习时要注意总结和归纳例题、习题中所体现的数学思想和方法,重视解题方法和解题策略的教学.涉及三角形全等、相似的问题中常用到的数学思想方法有:化归思想、函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想等,这些思想方法在中考试题中都有体现.要注重培养学生用数学思想方法解决问题的意识,引导学生审题时要透过现象看本质,注意隐含条件的挖掘,学会将实际问题转化为数学问题,建立数学模型,从而解决问题;3.复习中要重视数学逻辑推理能力的训练和书写规范的训练,要及时纠正学生在解题时,出现的答题不规范,抓不住得分要点,思维不严谨等问题.避免学生出现题题会做,题题被扣分的现象.。

2018中考压轴之因动点产生的相似三角形问题(部分答案)(PDF版)

2018中考压轴之因动点产生的相似三角形问题(部分答案)(PDF版)

课前导学:相似三角形的判定定理有3个,其中判定定理1和判定定理2都有对应角相等的条件,因此探求两个三角形相似的动态问题,一般情况下首先寻找一组对应角相等.判定定理2是最常用的解题依据,一般分三步:寻找一组等角,分两种情况列比例方程,解方程并检验.如果已知∠A=∠D,探求△ABC与△DEF相似,只要把夹∠A和∠D的两边表示出来,按照对应边成比例,分和两种情况列方程.应用判定定理1解题,先寻找一组等角,再分两种情况讨论另外两组对应角相等.应用判定定理3解题不多见,根据三边对应成比例列连比式解方程(组).还有一种情况,讨论两个直角三角形相似,如果一组锐角相等,其中一个直角三角形的锐角三角比是确定的,那么就转化为讨论另一个三角形是直角三角形的问题.求线段的长,要用到两点间的距离公式,而这个公式容易记错.理解记忆比较好.如图1,如果已知A、B两点的坐标,怎样求A、B两点间的距离呢?我们以AB为斜边构造直角三角形,直角边与坐标轴平行,这样用勾股定理就可以求斜边AB的长了.水平距离BC的长就是A、B两点间的水平距离,等于A、B两点的横坐标相减;竖直距离AC就是A、B两点间的竖直距离,等于A、B两点的纵坐标相减.九年级数学试题因动点产生的相似三角形问题1.如图,在平面直角坐标系中,双曲线kyx=(k≠0)与直线y=x+2都经过点A(2,m).(1)求k与m的值;(2)此双曲线又经过点B(n,2),过点B的直线BC与直线y=x+2平行交y轴于点C,联结AB、AC,求△ABC的面积;(3)在(2)的条件下,设直线y=x+2与y轴交于点D,在射线CB上有一点E,如果以点A、C、E所组成的三角形与△ACD相似,且相似比不为1,求点E的坐标.满分解答:(1)将点A(2,m)代入y=x+2,得m=4.所以点A的坐标为(2,4).将点A(2,4)代入kyx=,得k=8.(2)将点B (n ,2),代入8y x=,得n =4.所以点B 的坐标为(4,2).设直线BC 为y =x +b ,代入点B (4,2),得b =-2.所以点C 的坐标为(0,-2).由A (2,4)、B (4,2)、C (0,-2),可知A 、B 两点间的水平距离和竖直距离都是2,B 、C 两点间的水平距离和竖直距离都是4.所以AB=BC=,∠ABC =90°.所以S △ABC =12BA BC ⋅=12⨯=8.(3)由A (2,4)、D (0,2)、C (0,-2),得AD=AC=.由于∠DAC +∠ACD =45°,∠ACE +∠ACD =45°,所以∠DAC =∠ACE .所以△ACE 与△ACD 相似,分两种情况:①如图3,当CE AD CA AC=时,CE =AD=此时△ACD ≌△CAE ,相似比为1.②如图4,当CE AC CA AD ==CE=.此时C 、E 两点间的水平距离和竖直距离都是10,所以E (10,8).图3图4图22.如图,已知抛物线y=ax2+bx+c的顶点D的坐标为(1,﹣),且与x轴交于A、B两点,与y轴交于C点,A点的坐标为(4,0).P点是抛物线上的一个动点,且横坐标为m.(l)求抛物线所对应的二次函数的表达式;(2)若动点P满足∠PAO不大于45°,求P点的横坐标m的取值范围;(3)当P点的横坐标m<0时,过P点作y轴的垂线PQ,垂足为Q.问:是否存在P点,使∠QPO=∠BCO?若存在,请求出P点的坐标;若不存在,请说明理由.3.如图,已知抛物线y=ax2﹣5ax+2(a≠0)与y轴交于点C,与x轴交于点A(1,0)和点B.(1)求抛物线的解析式;(2)求直线BC的解析式;(3)若点N是抛物线上的动点,过点N作NH⊥x轴,垂足为H,以B,N,H为顶点的三角形是否能够与△OBC相似?若能,请求出所有符合条件的点N的坐标;若不能,请说明理由.4.如图1,已知抛物线的方程C 1:1(2)()y x x m m=-+-(m >0)与x 轴交于点B 、C ,与y 轴交于点E ,且点B 在点C 的左侧.(1)若抛物线C 1过点M (2,2),求实数m 的值;(2)在(1)的条件下,求△BCE 的面积;(3)在(1)的条件下,在抛物线的对称轴上找一点H ,使得BH +EH 最小,求出点H 的坐标;(4)在第四象限内,抛物线C 1上是否存在点F ,使得以点B 、C 、F 为顶点的三角形与△BCE 相似?若存在,求m 的值;若不存在,请说明理由.满分解答(1)将M (2,2)代入1(2)()y x x m m =-+-,得124(2)m m=-⨯-.解得m =4.(2)当m =4时,2111(2)(4)2442y x x x x =-+-=-++.所以C (4,0),E (0,2).所以S △BCE =1162622BC OE ⋅=⨯⨯=.(3)如图2,抛物线的对称轴是直线x =1,当H 落在线段EC 上时,BH +EH 最小.设对称轴与x 轴的交点为P ,那么HP EO CP CO=.因此234HP =.解得32HP =.所以点H 的坐标为3(1,)2.(4)①如图3,过点B 作EC 的平行线交抛物线于F ,过点F 作FF ′⊥x 轴于F ′.由于∠BCE =∠FBC ,所以当CE BC CB BF =,即2BC CE BF =⋅时,△BCE ∽△FBC .设点F 的坐标为1(,(2)())x x x m m -+-,由''FF EO BF CO =,得1(2)()22x x m m x m+-=+.解得x =m +2.所以F ′(m +2,0).由'CO BF CE BF =4m BF +=.所以(m BF m +=.由2BC CE BF =⋅,得2(2)m +=.整理,得0=16.此方程无解.图2图3图4②如图4,作∠CBF =45°交抛物线于F ,过点F 作FF ′⊥x 轴于F ′,由于∠EBC =∠CBF ,所以BE BC BC BF=,即2BC BE BF =⋅时,△BCE ∽△BFC .在Rt △BFF′中,由FF ′=BF ′,得1(2)()2x x m x m +-=+.解得x =2m .所以F ′(2,0)m .所以BF′=2m +2,2)BF m =+.由2BC BE BF =⋅,得2(2)2)m m +=+.解得2m =±综合①、②,符合题意的m为2+.5.如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=mx2﹣8mx+4m+2(m>2)与y轴的交点为A,与x轴的交点分别为B(x1,0),C(x2,0),且x2﹣x1=4,直线AD∥x轴,在x轴上有一动点E(t,0)过点E作平行于y轴的直线l与抛物线、直线AD的交点分别为P、Q.(1)求抛物线的解析式;(2)当0<t≤8时,求△APC面积的最大值;(3)当t>2时,是否存在点P,使以A、P、Q为顶点的三角形与△AOB相似?若存在,求出此时t的值;若不存在,请说明理由.6.如图,抛物线y=x2+mx+n与直线y=﹣x+3交于A,B两点,交x轴与D,C两点,连接AC,BC,已知A(0,3),C(3,0).(Ⅰ)求抛物线的解析式和tan∠BAC的值;(Ⅱ)在(Ⅰ)条件下:(1)P为y轴右侧抛物线上一动点,连接PA,过点P作PQ⊥PA交y轴于点Q,问:是否存在点P使得以A,P,Q为顶点的三角形与△ACB相似?若存在,请求出所有符合条件的点P的坐标;若不存在,请说明理由.(2)设E为线段AC上一点(不含端点),连接DE,一动点M从点D出发,沿线段DE以每秒一个单位速度运动到E点,再沿线段EA以每秒个单位的速度运动到A后停止,当点E的坐标是多少时,点M在整个运动中用时最少?7.如图,已知二次函数(其中0<m<1)的图像与x轴交于A、B两点(点A在点B 的左侧),与y轴交于点C,对称轴为直线l.设P为对称轴l上的点,连接PA、PC,PA=P C.(1)∠ABC的度数为°;(2)求P点坐标(用含m的代数式表示);(3)在坐标轴上是否存在点Q(与原点O不重合),使得以Q、B、C为顶点的三角形与△PAC相似,且线段PQ的长度最小?如果存在,求出所有满足条件的点Q的坐标;如果不存在,请说明理由.8.如图,抛物线与x轴交于点A(﹣,0)、点B(2,0),与y轴交于点C(0,1),连接B C.(1)求抛物线的函数关系式;(2)点N为抛物线上的一个动点,过点N作NP⊥x轴于点P,设点N的横坐标为t(﹣<t<2),求△ABN的面积S与t的函数关系式;(3)若﹣<t<2且t≠0时△OPN∽△COB,求点N的坐标.9.如图1,在平面直角坐标系xOy 中,顶点为M 的抛物线y =ax 2+bx (a >0)经过点A 和x 轴正半轴上的点B ,AO =BO =2,∠AOB =120°.(1)求这条抛物线的表达式;(2)连结OM ,求∠AOM 的大小;(3)如果点C 在x 轴上,且△ABC 与△AOM 相似,求点C 的坐标.10.如图1,已知抛物线211(1)444b y x b x =-++(b 是实数且b >2)与x 轴的正半轴分别交于点A 、B (点A 位于点B 是左侧),与y 轴的正半轴交于点C .(1)点B 的坐标为______,点C 的坐标为__________(用含b 的代数式表示);(2)请你探索在第一象限内是否存在点P ,使得四边形PCOB 的面积等于2b ,且△PBC 是以点P 为直角顶点的等腰直角三角形?如果存在,求出点P 的坐标;如果不存在,请说明理由;(3)请你进一步探索在第一象限内是否存在点Q ,使得△QCO 、△QOA 和△QAB 中的任意两个三角形均相似(全等可看作相似的特殊情况)?如果存在,求出点Q 的坐标;如果不存在,请说明理由.图1满分解答(1)B 的坐标为(b ,0),点C 的坐标为(0,4b ).(2)如图2,过点P 作PD ⊥x 轴,PE ⊥y 轴,垂足分别为D 、E ,那么△PDB ≌△PEC .因此PD =PE .设点P 的坐标为(x,x).如图3,联结OP .所以S 四边形PCOB =S △PCO +S △PBO =1152428b x b x bx ⨯⋅+⨯⋅==2b .解得165x =.所以点P 的坐标为(1616,55).图2图3(3)由2111(1)(1)()4444b y x b x x x b =-++=--,得A (1,0),OA =1.①如图4,以OA 、OC 为邻边构造矩形OAQC ,那么△OQC ≌△QOA .当BA QA QA OA=,即2QA BA OA =⋅时,△BQA ∽△QOA .所以2()14b b =-.解得843b =±Q 为(1,23+).②如图5,以OC 为直径的圆与直线x =1交于点Q ,那么∠OQC =90°。

2018年中考数学专题复习过关集训 第四单元 三角形 第7课时 相似三角形的综合应用课件 新人教版

2018年中考数学专题复习过关集训 第四单元 三角形 第7课时 相似三角形的综合应用课件 新人教版

判 定
① 证一对锐角相等 已知直角

② 证两组对应边成比例

① 顶角相等
已知等腰三角形 ② 一对底角相等
③底和腰对应成比例
考点 2 相似三角形考查比较有特点的题干特征或设问特征 1. 题干特征:①有平行线;②有中位线(或两边中点);③已 知线段比值(或锐角三角函数值);④已知线段比例关系;⑤ 有等角(或角平分线); 2. 设问特征:①直接证相似;②求线段比值;③证线段比 例关系、线段乘积关系(常通过观察线段所在三角形将线段 乘积关系转换为线段比例关系);④证线段倍数关系;⑤求 两三角形周长、面积、中线、高线的比值.
OA,过点O作OB⊥OA,并且使OB=2OA,连接AB,当点A
在反比例函数图象上移动时,点B也在某一反比例函数y=
k x
图象上移动,则k的值为( A )
A. -4
B. 4
C. -2
D. 2
第1题图
【解析】如解图,过点A作AM⊥x轴于点M,过点B作
BN⊥x轴于点N,∴∠BNO=∠AMO=90°,∠NBO+
模型
双垂直型 (母子型 特殊形式)
图形
特征或结论
1. 有一个公共角,角两 边有重合部分 2. 第1个图形AC2= AD·AB仍成立,且CD2= AD·BD(射影定理)
模型
图形
特征或结论
一线三 等角型
(以下三个模型是以 等腰三角形或者等 边三角形为背景)
三个等角顶点在同一直线上 ,称一线三等角模型,其中 ∠1=∠2=∠3,可根据∠1 =180°-∠4-∠5,∠2= 180°-∠4-∠6得∠5=∠6 ,可得图中两阴影部分三角 形相似
∠BON=90°,又∵OB⊥OA,∴∠BON+∠AOM=90°,

2018年中考数学总复习课件:相似三角形(共27张PPT)

2018年中考数学总复习课件:相似三角形(共27张PPT)
★知识要点导航 ★热点分类解析
★知识点1 ★考点1
★知识点2 ★考点2
★知识点3
★知识要点导航 ★热点分类解析
★知识点1 ★考点1
★知识点2 ★考点2
★知识点3
★知识要点导航 ★热点分类解析
★知识点1 ★考点1
★知识点2 ★考点2
★知识点3
★知识要点导航 ★热点分类解析
★知识点1 ★考点1
★知识点2 ★考点2
★知识点1 ★考点1
★知识点2 ★考点2
★知识点3
★知识要点导航 ★热点分类解析
★知识点1 ★考点1
★知识点2 ★考点2
★知识点3
★知识要点导航 ★热点分类解析
★知识点1 ★考点1
★知识点2 ★考点2
★知识点3
★知识要点导航 ★热点分类解析
★知识点1 ★考点1
★知识点2 ★考点2
★知识点3
★知识要点导航 ★热点分类解析
★知识点1 ★考点1
★知识点2 ★考点2
★知识点3
★知识要点导航 ★热点分类解析
★知识点1 ★考点1
★知识点2 ★考点2
★知识点3
★知识要点导航 ★热点分类解析
★知识点1 ★考点1
★知识点2 ★考点2
★知识点3
★知识要点导航 ★热点分类解析
★知识点1 ★考点1
★知识点2 ★考点2
★知识点3
★知识要点导航 ★热点分类解析
★知识点1 ★考点1
★知识点2 ★考点2
★知识点3
★知识要点导航 ★热点分类解析
★知识点1 ★考点1
★知识点2 ★考点2
★知识点3
★知识要点导航 ★热点分类解析
★知识点1 ★考点1

中考数学总复习阶段测评(5)图形的相似与解直角三角形(含答案)

中考数学总复习阶段测评(5)图形的相似与解直角三角形(含答案)

阶段测评(五) 图形的相似与解直角三角形(时间:60分钟,总分100分)一、选择题(每小题3分,共30分)1.(2018·临沂中考)如图,利用标杆BE 测量建筑物的高度.已知标杆BE 高1.2 m ,测得AB =1.6 m ,BC =12.4 m ,则建筑物CD 的高是( B )A .9.3 mB .10.5 mC .12.4 mD .14 m,(第1题图) ,(第3题图) ,(第4题图)2.(2018·滨州中考)在平面直角坐标系中,线段AB 两个端点的坐标分别为A (6,8),B (10,2),若以原点O 为位似中心,在第一象限内将线段AB 缩短为原来的12后得到线段CD ,则点A 的对应点C 的坐标为( C )A .(5,1)B .(4,3)C .(3,4)D .(1,5)3.(2018·宜宾中考)如图,将△ABC 沿BC 边上的中线AD 平移到△A ′B ′C ′的位置,已知△ABC 的面积为9,阴影部分三角形的面积为4.若AA ′=1,则A ′D 等于( A )A .2B .3 C.23 D.324.(2018·恩施中考)如图,在正方形ABCD 中,G 为CD 边的中点,连接AG 并延长交BC 边的延长线于点E ,对角线BD 交AG 于点F ,已知FG =2,则线段AE 的长度为( D )A .6B .8C .10D .125.(2018·荆门中考)如图,四边形ABCD 为平行四边形,E ,F 为CD 边的两个三等分点,连接AF ,BE 交于点G ,则S △EFG ∶S △ABG =( C )A .1∶3B .3∶1C .1∶9D .9∶1(第5题图) ,(第6题图) ,(第7题图)6.(2018·吉林中考)如图,将△ABC 折叠,使点A 与BC 边中点D 重合,折痕为MN .若AB =9,BC =6,则△DNB 的周长为( A )A .12B .13C .14D .157.(2018·长春中考)如图,某地修建高速公路,要从A 地向B 地修一条隧道(点A ,B 在同一水平面上).为了测量A ,B 两地之间的距离,一架直升机从A 地出发,垂直上升800 m 到达C 处,在C 处观察B 地的俯角为α,则A ,B 两地之间的距离为( D )A .800 sin α m ;B .800 tan α m C.800sin α m D.800tan αm8.如图,热气球的探测器显示,从热气球A 处看一栋楼顶部B 处的仰角为30°,看这栋楼底部C 处的俯角为60°,热气球A 处与楼的水平距离为120 m ,则这栋楼的高度为( A )A .160 3 mB .120 3 mC .300 mD .160 2 m,(第8题图) ,(第9题图) ,(第10题图)9.如图,在正方形ABCD 中,点E ,F 分别为BC ,CD 的中点,连接AE ,BF 交于点G ,将△BCF 沿BF 对折,得到△BPF ,延长FP 交BA 的延长线于点Q ,对于结论:①AE =BF ;②AE ⊥BF ;③sin ∠BQP =45;④S 四边形ECFG =2S △BGE ,其中正确的个数是(B )A .4B .3C .2D .110.如图,在Rt △ABC 中,AB =CB ,BO ⊥AC ,把△ABC 折叠,使AB 落在AC 上,点B 与AC 上的点E 重合,展开后,折痕AD 交BO 于点F ,连接DE ,EF .下列结论:①tan ∠ADB =2; ②图中有4对全等三角形;③若将△DEF 沿EF 折叠,则点D 不一定落在AC 上; ④BD =BF ; ⑤S 四边形DFOE =S △AOF ,上述结论中正确的个数是( B )A .4B .3C .2D .1 二、填空题(每小题4分,共20分)11.(2018·云南中考)如图,已知AB ∥CD ,若AB CD =14,则OA OC =__14__.(第11题图) (第12题图) (第13题图) (第14题图) (第15题图)12.(2018·潍坊中考)如图,一艘渔船正以60 n mile /h 的速度向正东方向航行,在A 处测得岛礁P 在东北方向上,继续航行1.5 h 后到达B 处,此时测得岛礁P 在北偏东30°方向,同时测得岛礁P 正东方向上的避风港M 在北偏东60°方向.为了在台风到来之前用最短时间到达M 处,渔船立刻加速以75 n mile /h 的速度继续航行__18+635__h 即可到达.(结果保留根号) 13.如图,AD 为△ABC 的角平分线,DE ∥AB 交AC 于点E ,如果AE EC =23,那么AB AC =__23__.14.如图,在边长相同的小正方形组成的网格中,点A ,B ,C ,D 都在这些小正方形的顶点上,AB ,CD 相交于点P ,则tan ∠APD 的值是__2__.15.如图,正方形ABCD 的边长为2,AE =EB ,MN =1,线段MN 的两端在CB ,CD 上滑动,当CM =__255或55__时,△AED 与以M ,N ,C 为顶点的三角形相似. 三、解答题(本大题4小题,共50分)16.(10分)如图,四边形ABCD 中,AD ∥BC ,点E 在CB 的延长线上,连接DE ,交AB 于点F ,连接DB ,∠AFD =∠DBE ,且DE 2=BE ·CE .(1)求证:∠DBE =∠CDE ;(2)当BD 平分∠ABC 时,求证:四边形ABCD 是菱形.证明:(1)∵DE 2=BE ·CE ,∴DE CE =BEDE. ∵∠E =∠E ,∴△DBE ∽△CDE . ∴∠DBE =∠CDE ;(2)∵∠DBE =∠CDE ,∠DBE =∠AFD ,∴∠CDE =∠AF D.∴AB ∥D C.又∵AD ∥BC ,∴四边形ABCD 是平行四边形.∴∠ADB =∠CB D. ∵BD 平分∠ABC ,∴∠CBD =∠AB D.∴∠ADB =∠AB D. ∴AB =A D.∴四边形ABCD 是菱形.17.(12分)如图是某小区入口抽象成的平面示意图.已知入口BC 宽3.9 m ,门卫室外墙AB 上的O 点处装有一盏路灯,点O 与地面BC 的距离为3.3 m ,灯臂OM 长为1.2 m (灯罩长度忽略不计),∠AOM =60°.(1)求点M 到地面的距离;(2)某搬家公司一辆总宽2.55 m ,总高3.5 m 的货车从该入口进入时,货车需与护栏CD 保持0.65 m 的安全距离,此时,货车能否安全通过?若能,请通过计算说明;若不能,请说明理由.(参考数据:3≈1.73,结果精确到0.01 m )解:(1)如图,过点M 作MN ⊥AB ,交BA 的延长线于点N . 在Rt △OMN 中,∠NOM =60°,OM =1.2, ∴∠M =30°.∴ON =12OM =0.6.∴NB =ON +OB =3.3+0.6=3.9. 即点M 到地面的距离是3.9 m ; (2)货车能安全通过. 取CE =0.65,EH =2.55, ∴HB =3.9-2.55-0.65=0.7.过点H 作GH ⊥BC ,交OM 于点G ,过O 作OP ⊥GH 于点P . ∵∠GOP =30°,∴tan 30°=GP OP =33.∴GP=33OP≈1.73×0.73≈0.40.∴GH≈3.3+0.40=3.70>3.5.∴货车能安全通过.18.(12分)(2018·衡阳中考)一名徒步爱好者来衡阳旅行,他从宾馆C出发,沿北偏东30°的方向行走2 000 m到达石鼓书院A处,参观后又从A处沿正南方向行走一段距离,到达位于宾馆南偏东45°方向的雁峰公园B处,如图.(1)求这名徒步爱好者从石鼓书院走到雁峰公园的途中与宾馆之间的最短距离;(2)若这名徒步爱好者以100 m/min的速度从雁峰公园返回宾馆,那么他在15 min内能否到达宾馆?解:(1)如图,过点C作CD⊥AB于点D.∵∠A=∠ECA=30°,AC=2 000,∴CD=1 000.答:这名徒步爱好者从石鼓书院走到雁峰公园途中与宾馆之间的最短距离为1 000 m;(2)在Rt△CBD中,∠B=∠BCF=45°,CD=1 000,∴CB=2CD=1 0002,∴1 0002÷100=102<15,答:这名徒步爱好者15 min内能到达宾馆.19.(16分)(2018·邵阳中考)如图1,在四边形ABCD中,点O,E,F,G分别是AB,BC,CD,AD的中点,连接OE,EF,FG,GO,GE.(1)证明:四边形OEFG是平行四边形;(2)将△OGE 绕点O 顺时针旋转得到△OMN ,如图2,连接GM ,EN . ①若OE =3,OG =1,求ENGM的值;②试在四边形ABCD 中添加一个条件,使GM ,EN 的长在旋转过程中始终相等.(不要求证明)(1)证明:如图1,连接A C.∵点O ,E ,F ,G 分别是AB ,BC ,CD ,AD 的中点, ∴OE ∥AC ,OE =12AC ,GF ∥AC ,GF =12A C.∴OE ∥GF ,OE =GF .∴四边形OEFG 是平行四边形;(2)解:①∵△OGE 绕点O 顺时针旋转得到△OMN ,∴OG =OM ,OE =ON ,∠GOM =∠EON . ∴OG OE =OM ON =13=33.∴△OGM ∽△OEN . ∴EN GM =OEOG= 3. ②(答案不唯一)如AC =B D.。

(完整版)2018中考专题相似三角形

(完整版)2018中考专题相似三角形
8.如图,在矩形 ABCD中, E 为 AB 边上一点, EC平分∠ DEB,F 为 CE的中点, 连接 AF,BF,过点 E 作 EH∥BC分别交 AF, CD于 G,H 两点. ( 1)求证: DE=DC; ( 2)求证: AF⊥BF; ( 3)当 AF?GF=28时,请直接写出 CE的长.
9.在 Rt△ABC中,∠ BAC=90°,过点 B 的直线 MN∥AC,D 为 BC 边上一点,连 接 AD,作 DE⊥AD 交 MN 于点 E,连接 AE. ( 1)如图 1,当∠ ABC=4°5时,0时,线段 AD 与 DE有何数量关系?并请说明理由.
5.( 1)如图 1,在正方形 ABCD中,点 E,F 分别在 BC,CD上, AE⊥BF 于点 M , 求证: AE=BF; ( 2)如图 2,将 ( 1)中的正方形 ABCD改为矩形 ABCD, AB=2, BC=3, AE⊥BF 于点 M ,探究 AE与 BF 的数量关系,并证明你的结论.
6.如图,四边形 ABCD中, AB=AC=AD, AC平分∠ BAD,点 P 是 AC 延长线上一 点,且 PD⊥AD. ( 1)证明:∠ BDC=∠PDC; ( 2)若 AC 与 BD相交于点 E,AB=1,CE: CP=2: 3,求 AE 的长.
2.如图,直角△ ABC中,∠ BAC=90°,D 在 BC上,连接 AD,作 BF⊥ AD 分别交 AD 于 E, AC于 F. ( 1)如图 1,若 BD=BA,求证:△ ABE≌△ DBE; ( 2)如图 2,若 BD=4DC,取 AB 的中点 G,连接 CG交 AD 于 M,求证:①GM=2MC; ② AG2=AF?AC.
2018 中考数学专题相似形 (共 40 题)
1.如图,△ ABC和△ ADE是有公共顶点的等腰直角三角形,∠ BAC=∠DAE=90°, 点 P 为射线 BD,CE的交点. ( 1)求证: BD=CE; ( 2)若 AB=2,AD=1,把△ ADE绕点 A 旋转,当∠ EAC=9°0时,求 PB的长;

精品-2018年秋九年级数学上册第四章图形的相似4.7相似三角形的性质第2课时相似三角形中周长和面积之比备课

精品-2018年秋九年级数学上册第四章图形的相似4.7相似三角形的性质第2课时相似三角形中周长和面积之比备课

第四章 图形的相似7相似三角形的性质第2课时 相似三角形中的周长和面积之比素材一新课导入设计情景导入 置疑导入 归纳导入 复习导入 类比导入 悬念激趣情景导入 如图4-7-29,在比例尺为1∶500的地图上,测得一个三角形地块的周长为12 cm ,面积为6 cm 2,求这个地块的实际周长及面积.图4-7-29问题1 在这个情境中,地图上的三角形地块与实际地块是什么关系?1∶500表示什么含义?问题2 要解决这个问题,需要什么知识?问题3 你能对这个地块的实际周长与面积作出估计吗? 问题4 如何说明你的猜想是否正确呢? [说明与建议] 说明:学生们在一个开放的环境中思考生活中遇到的实际问题,亲身经历和感受数学知识来源于生活中的过程.建议:小组交流、总结,学生可能会得到周长之比等于比例尺,面积之比等于比例尺的平方的猜想,通过小组合作,初步验证猜想,引出新知.复习导入 复习比例线段的性质(基本性质、合比性质、等比性质):①如果a b =43,那么a +b b =__73__,a -b b =__13__;②如果a b =c d =e f =57,那么a +c +e b +d +f =__57__;③在四边形ABCD 和四边形EFGH 中,已知AB EF =BC FG =CD GH =DA HE =23,四边形ABCD 的周长是60cm ,求四边形EFGH 的周长.[说明与建议] 说明:通过复习比例的性质,尤其是等比性质,让学生感受多边形的周长比与相似比的关系.引导学生思考问题,自然地过渡到新课的学习上来.建议:重点是让学生动手、动脑,探究相似形周长之比与相似比之间的关系.悬念激趣 某城区施工队在道路拓宽施工时遇到这样一个问题:马路旁边原有一个面积为100平方米、周长为80米的三角形绿化地,由于马路拓宽,绿化地被削去了一个角,变成了一个梯形,如图4-7-30,原绿化地一边AB 的长由原来的20米缩短成12米.则被削去的部分面积有多大?它的周长是多少?图4-7-30[说明与建议] 说明:联系生活实际,提出问题,引发学生探究的积极性,设置悬念,从而激发学生的求知欲.通过思考,让学生带着问题学习新课,同时教师引出新课.建议:在学生操作时,教师要引导学生进行思考、分析,为进一步学习积累数学活动经验.素材二教材母题挖掘110页例2如图4-7-31,将△ABC沿BC方向平移得到△DEF,△ABC与△DEF重叠部分(图中阴影部分)的面积是△ABC的面积的一半.已知BC=2,求△ABC平移的距离.图4-7-31【模型建立】根据相似三角形的性质——相似三角形的周长比等于相似比,面积比等于相似比的平方,可以解决图形中的周长与面积问题,简化计算与证明过程.对学生的要求是能准确找出相似的两个三角形,再利用性质求解.【变式变形】1.如图4-7-32,△ABC∽△A′B′C′,它们的周长分别为60 cm和72 cm,且AB=15 cm,B′C′=24 cm,求BC,AC,A′B′,A′C′的长.图4-7-32[答案:BC=20 cm,AC=25 cm,A′B′=18 cm,A′C′=30 cm]2.如图4-7-33,在△ABC和△DEF中,AB=2DE,AC=2DF,∠A=∠D,△ABC的周长是24,面积是48,求△DEF的周长和面积.图4-7-33[答案:△DEF的周长为12,面积为12]3.如图4-7-34所示,在ABCD中,AE∶EB=1∶2,且S△AEF=6 cm2.(1)求△AEF与△CDF的周长比;(2)求△CDF 的面积.图4-7-34[答案:(1)1∶3 (2)54 cm 2]4.如图4-7-35,在△ABC 中,∠C =90°,D 是AC 上一点,DE ⊥AB 于点E.若AB =10,BC =6,DE =2,求四边形DEBC 的面积.图4-7-35[答案:643]素材三考情考向分析[命题角度1] 利用相似三角形的性质求周长比相似三角形的周长比等于相似比,有了边长的关系,就可以求出周长比.例 [湘西中考] 如图4-7-36,在ABCD 中,E 是AD 边上的中点,连接BE ,并延长BE 交CD 的延长线于点F ,则△EDF 与△BCF 的周长比是(A )图4-7-36A .1∶2B .1∶3C .1∶4D .1∶5[命题角度2] 利用相似三角形的性质求面积比灵活运用相似三角形的面积比等于相似比的平方进行解题.例 [南京中考] 若△ABC∽△A′B′C′,相似比为1∶2,则△ABC 与△A′B′C′的面积比为(C )A .1∶2B .2∶1C .1∶4D .4∶1[命题角度3] 利用相似三角形的性质求相似比相似三角形的面积之比等于相似比的平方.反过来,当已知两个相似三角形面积之间的关系时,也可以求出相似比.例 [滨州中考] 如图4-7-37,平行于BC 的直线DE 把△ABC 分成的两部分面积相等,则ADAB的值是多少?图4-7-37[答案:22]素材四教材习题答案P110随堂练习判断正误:(1)如果把一个三角形三边的长同时扩大为原来的10倍,那么它的周长也扩大为原来的10倍;( )(2)如果把一个三角形的面积扩大为原来的9倍,那么它三边的长都扩大为原来的9倍.( )[答案] (1)√(2)×P110习题4.121.如图,在方格纸上有△A1B1C1和△A2B2C2,这两个三角形是否相似?如果相似,△A1B1C1与△A2B2C2的周长比和面积比分别是多少?解:相似,周长比为2∶1 ;面积比为4∶1.2.如图,在△ABC和△DEF中,G,H分别是边BC和EF的中点,已知AB=2DE,AC=2DF,∠BAC=∠EDF.(1)中线AG与DH的比是多少?(2)△ABC与△DEF的面积比是多少?解:(1)2∶1 (2)4∶1.3.如图,Rt△ABC∽Rt△EFG,EF=2AB,BD和FH分别是它们的中线,△BDC与△FHG是否相似?如果相似,试确定其周长比和面积比.解:相似;周长比为1∶2,面积比为1∶4.4.一块三角形土地的一边长为120 m,在地图上量得它的对应边长为0.06 m,这边上的高为0.04 m,求这块地的实际面积.解:4800 m2.5.小明同学把一幅矩形图放大欣赏,经测量其中一条边由10 cm变成了40 cm,那么这次放大的比例是多少? 这幅画的面积发生了怎样的变化?解:放大的比例是1∶4,这幅画的面积变为原来的16倍.6.一个小风筝与一个大风筝形状相同,它们的形状如图所示,其中对角线AC ⊥BD .已知它们的对应边之比为1∶3,小风筝两条对角线的长分别为12 cm 和14 cm.(1)小风筝的面积是多少?(2)如果在大风筝内装设一个连接对角顶点的十字交叉形的支撑架,那么至少需要多长的材料?(不计损耗)(3)大风筝要用彩色纸覆盖,而彩色纸是从一张刚好覆盖整个风筝的矩形彩色纸(如图中虚线所示)裁剪下来的,那么从四个角裁剪下来废弃不用的彩色纸的面积是多少?解:(1) 设AC 和BD 的交点是O ,风筝面积=△ABD 的面积+△BCD 的面积=12×BD ×AO + 12×BD ×CO =12×BD ×(AO +CO )= 12×BD ×AC =12×12×14=84(cm 2).(2) 3× (AC +BD )=3×(12+14)=78(cm).(3) 彩纸面积=12×14×3×3,容易看出裁下的面积是彩纸的一半, 故废弃部分面积=3×3×12×14×12=756(cm 2).7.如图,在△ABC 中,点D ,E 分别在边AB 和AC 上,且DE ∥BC . (1)若AD ∶DB =1∶1,则S △ADE ∶S 四边形DBCE 等于多少?(2)若S △ADE =S 四边形DBCE ,则DE ∶BC ,AD ∶DB 各等于多少?解:(1)1∶3.(2)DE ∶BC =1∶2,AD ∶DB =1∶(2-1).素材五图书增值练习 专题一 相似三角形性质的综合运用1.已知两个相似三角形对应高的比为3∶10,且这两个三角形的周长差为560cm ,求它们的周长.2.如图,Rt△ABC到Rt△DEF是一个相似变换,AC与DF的长度之比是3∶2.(1)DE与AB的长度之比是多少?(2)已知Rt△ABC的周长是12cm,面积是6cm2,求Rt△DEF的周长与面积.3.如图所示,已知平行四边形ABCD中,E是AB延长线上一点,DE交BC于点F,BE∶AB=2∶3,S△BEF=4,求S△CDF.专题二相似多边形的性质4.如图,一般书本的纸张是在原纸张多次对开得到.矩形ABCD沿EF对开后,再把矩形EFCD 沿MN对开,依此类推.若各种开本的矩形都相似,那么AB∶AD等于.5.已知两个相似多边形的周长比为1∶2,它们的面积和为25,则较大多边形的面积是.6.如图,梯形ABCD中,AD∥BC,E是AB上的一点,EF∥BC,并且EF将梯形ABCD分成的两个梯形AEFD、EBCF相似,若AD=4,BC=9,求AE∶EB.【知识要点】1.相似三角形对应高的比、对应角平分线的比、对应中线的比,都等于相似比.2.相似三角形的周长比等于相似比,面积比等于相似比的平方.3.相似多边形的周长比等于相似比,面积比等于相似比的平方.【温馨提示】1.应用性质时,抓住关键词“对应”,找准对应边.2.不要误认为相似三角形面积的比等于相似比.3.由线段的比求面积的比,或由面积的比求线段的比时,应分两种情况:(1)两个图形是否相似,若是相似图形,则面积比等于相似比的平方;(2)两个图形不相似时,常会出现底在同一条直线上,有同一条高,那么两个三角形面积比等于对应底的比.【方法技巧】1.利用相似三角形性质是求线段长度,角的度数,周长,面积及线段的比等问题的依据.2.等底等高的两三角形面积相等,这个规律在求三角形面积中经常用到.3.应用相似三角形(多边形)的性质,常与三角形(多边形)相似的判定相结合.4.相似多边形的定义是判定多边形相似的主要依据,也是多边形相似的重要性质.参考答案:1.解:设一个三角形周长为C cm,则另一个三角形周长为(C+560)cm,则C∶(C+560)=3∶10,∴C=240,C+560=800,即它们的周长分别为240cm,800cm.2.解:(1)由相似变换可得:DE∶AB=DF∶AC=2∶3;(2)∵AC∶DF=3∶2,∴△DEF的周长∶△ABC的周长=2∶3,S△DEF:S△ABC=4∶9.∵直角三角形ABC的周长是12cm,面积是6cm2,∴△DEF的周长为8cm,S△DEF=cm2.3.解:∵四边形ABCD是平行四边形,∴AE∥DC,∴△BEF∽△CDF.∵AB=DC,BE∶AB=2∶3,∴BE∶DC=2∶3,∴S△DCF=()2•S△BEF=×4=9.4.[解析]∵矩形ABCD∽矩形BFEA,∴AB∶BF=AD∶AB,∴AD•BF=AB•AB.又∵BF=AD,∴AD2=AB2,则==.5.20 [解析]根据相似多边形周长的比等于相似比,而面积的比等于相似比的平方,即可求得面积的比值,依据面积和为25,就可求得两个多边形的面积.设两个多边形中较小的多边形的面积是x,则较大的面积是4x.根据题意得:x+4x=25,解得x=5.因而较大多边形的面积20.6.解:∵梯形AEFD∽梯形EBCF,∴==.又∵AD=4,BC=9,∴EF2=AD•BC=4×9=36.∵EF>0,∴EF=6,∴==,即=.【知识要点】1.几种特殊四边形的性质和判定:(1)特殊平行四边形具有一般平行四边形的一切性质,需要注重各自图形的特殊性质.(2)判别菱形:①说明是平行四边形+邻边相等; ②说明是平行四边形+对角线垂直;③四条边相等。

相似三角形及其判定(知识点串讲)(解析版)

相似三角形及其判定(知识点串讲)(解析版)

专题11 相似三角形及其判定知识网络重难突破知识点相似三角形的判定一、相似三角形的判定方法①定义:各角对应相等,各边对应成比例.②平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边的延长线)相交,所构成的三角形与原三角形相似.③有两个角对应相等.④两边对应成比例,且夹角相等.⑤三边对应成比例.二、相似三角形基本图形1、8字型有一组隐含的等角(对顶角),此时需从已知条件或图中隐含条件通过证明得另一对角相等(AB、CD不平行,∠A=∠C)(AB∥CD)2.A字型有一个公共角(图①、图②)或角有公共部分(图③,∠DAF+∠BAD=∠DAF+∠EAF),此时需要找另一对角相等或相等角的两边对应成比例3.双垂直型有一个公共角及一个直角 (图①为母子型的特殊形式AC2=AD·AB仍成立,另CD2=AD·BD)4.三垂直型结论推导,如图①,∠D+∠DBA=∠E+∠EBC=∠DBA+∠EBC=90°,∴∠EBC=∠D,∠E=∠DBA,且一组直角相等,用任意两组等角即可证得三角形相似【典例1】(2019秋•保山期末)如图,在△ABC中,点P在边AB上,则在下列四个条件中:①∠ACP=∠B;②∠APC=∠ACB;③AC2=AP•AB;④AB•CP=AP•CB,能满足△APC与△ACB相似的条件是()A.①②④B.①③④C.②③④D.①②③【点拨】根据有两组角对应相等的两个三角形相似可对①②进行判断;根据两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似可对③④进行判断.【解析】解:当∠ACP=∠B,∵∠A=∠A,所以△APC∽△ACB;当∠APC=∠ACB,∵∠A=∠A,所以△APC∽△ACB;当AC2=AP•AB,即AC:AB=AP:AC,∵∠A=∠A所以△APC∽△ACB;当AB•CP=AP•CB,即PC:BC=AP:AB,而∠P AC=∠CAB,所以不能判断△APC和△ACB相似.故选:D.【点睛】本题考查了相似三角形的判定:两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似;有两组角对应相等的两个三角形相似.【典例2】如图,BD、CE是△ABC的两条高,AM是∠BAC的平分线,交BC于M,交DE于N,求证:(1)△ABD∽△ACE;(2)=.【点拨】(1)先根据有两组角对应相等的两个三角形相似,判定△ABD∽△ACE;(2)先相似三角形的性质,得出=,再根据∠DAE=∠BAC,判定△ADE∽△ABC,进而得到=,再根据∠CAM=∠EAN,判定△ACM∽△AEN,得到=,最后等量代换即可得到=.【解析】证明:(1)∵BD、CE是△ABC的两条高,∴∠ADB=∠AEC=90°,∵∠DAE=∠BAC,∴△ABD∽△ACE;(2)∵△ABD∽△ACE,∴=,即=,又∵∠DAE=∠BAC,∴△ADE∽△ABC,∴=,且∠ACB=∠AED,∵AM是∠BAC的平分线,∴∠CAM=∠EAN,∴△ACM∽△AEN,∴=,∴=.【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质的综合应用,解题时注意:有两组角对应相等的两个三角形相似,两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似.【典例3】(2019秋•七里河区期末)如图所示,在等腰△ABC中,AB=AC=10cm,BC=16cm.点D由点A出发沿AB方向向点B匀速运动,同时点E由点B出发沿BC方向向点C匀速运动,它们的速度均为1cm/s.连接DE,设运动时间为t(s)(0<t<10),解答下列问题:(1)当t为何值时,△BDE的面积为7.5cm2;(2)在点D,E的运动中,是否存在时间t,使得△BDE与△ABC相似?若存在,请求出对应的时间t;若不存在,请说明理由.【点拨】(1)根据等腰三角形的性质和相似三角形的判定和性质求三角形BDE边BE的高即可求解;(2)根据等腰三角形和相似三角形的判定和性质分两种情况说明即可.【解析】解:(1)分别过点D、A作DF⊥BC、AG⊥BC,垂足为F、G如图∴DF∥AG,=∵AB=AC=10,BC=16∴BG=8,∴AG=6.∵AD=BE=t,∴BD=10﹣t,∴=解得DF=(10﹣t)∵S△BDE=BE•DF=7.5∴(10﹣t)•t=15解得t=5.答:t为5秒时,△BDE的面积为7.5cm2.(2)存在.理由如下:①当BE=DE时,△BDE∽△BCA,∴=即=,解得t=,②当BD=DE时,△BDE∽△BAC,=即=,解得t=.答:存在时间t为或秒时,使得△BDE与△ABC相似.【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质、等腰三角形的性质,解决本题的关键是动点变化过程中形成不同的等腰三角形.【变式训练】1.(2020•浙江自主招生)如图,在4×4的正方形网格中,画2个相似三角形,在下列各图中,正确的画法有()A.1个B.2个C.3个D.4个【点拨】根据相似三角形的判定定理逐一判断即可得.【解析】解:第1个网格中两个三角形对应边的比例满足==,所以这两个三角形相似;第2个网格中两个三角形对应边的比例==,所以这两个三角形相似;第3个网格中两个三角形对应边的比例满足===,所以这两个三角形相似;第4个网格中两个三角形对应边的比例==,所以这两个三角形相似;故选:D.【点睛】本题考查了相似三角形的判定,熟练掌握三角形相似的判定并根据网格结构判断出三角形的三边的比例是解题的关键2.(2019秋•奉化区期末)如图,P为线段AB上一点,AD与BC交与点E,∠CPD=∠A=∠B,BC交PD与点F,AD交PC于点G,则下列结论中错误的是()A.△CGE∽△CBP B.△APD∽△PGD C.△APG∽△BFP D.△PCF∽△BCP【点拨】由相似三角形的判定依次判断可求解.【解析】解:∵∠CPD=∠A=∠B,且∠APD=∠B+∠PFB=∠APC+∠CPD,∴∠APC=∠BFP,且∠A=∠B,∴△APG∽△BFP,故选项C不合题意,∵∠A=∠CPD,∠D=∠D,∴△APD∽△PGD,故选项B不合题意,∵∠B=∠CPD,∠C=∠C,∴△PCF∽△BCP,故选项D不合题意,由条件无法证明△CGE∽△CBP,故选项A符合题意,故选:A.【点睛】本题考查了相似三角形的判定,牢固掌握相似三角形的判定是本题的关键.3.(2019秋•萧山区期末)如图,∠ACB=∠BDC=90°.要使△ABC∽△BCD,给出下列需要添加的条件:①AB∥CD;②BC2=AC•CD;③,其中正确的是()A.①②B.①③C.②③D.①②③【点拨】利用相似三角形的判定依次判断即可求解.【解析】解:①若AB∥CD,∴∠ABC=∠BCD,且∠ACB=∠BDC=90°,∴△ABC∽△BCD,故①符合题意;②若BC2=AC•CD,∴,且∠ACB=∠BDC=90°,无法判定△ABC∽△BCD,故②不符合题意;③若,且∠ACB=∠BDC=90°,∴△ABC∽△BCD,故③符合题意;故选:B.【点睛】本题考查了相似三角形的判定,灵活掌握相似三角形的判定方法是本题的关键.4.(2019秋•新华区校级月考)如图,四边形ABGH,四边形BCFG,四边形CDEF都是正方形,图中与△HBC相似的三角形为()A.△HBD B.△HCD C.△HAC D.△HAD【点拨】设正方形ABGH的边长为1,先运用勾股定理分别求出HB、HC的长,将其三边按照从大到小的顺序求出比值,再分别求出四个选项中每一个三角形三边的比值,根据三组对应边的比相等的两个三角形相似求解即可.【解析】解:设正方形ABGH的边长为1,运用勾股定理得HB=,HC=,则HC:HB:BC=::1.A、∵HB=,BD=2,HD=,∴HD:BD:HB=:2:=::1,∴HC:HB:BC=HD:BD:HB,∴△HBC∽△DBH,故本选项正确;B、∵HC=,CD=1,HD=,∴HD:HC:CD=::1,∴HC:HB:BC≠HD:HC:CD,∴△HBC与△HCD不相似,故本选项错误;C、∵HA=1,AC=2,HC=,HC:AC:HA=:2:1,∴HC:HB:BC≠HC:AC:HA,∴△HBC与△HAC不相似,故本选项错误;D、∵HA=1,AD=3,HD=,HD:AD:HA=:3:1,∴HC:HB:BC≠HD:AD:HA,∴△HBC与△HAD不相似,故本选项错误.故选:A.【点睛】本题考查了相似三角形的判定,判定两个三角形相似的一般方法有:(1)平行线法:平行于三角形的一边的直线与其他两边相交,所构成的三角形与原三角形相似;(2)三边法:三组对应边的比相等的两个三角形相似;(3)两边及其夹角法:两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似;(4)两角法:有两组角对应相等的两个三角形相似.本题还可以利用方法(3)进行判定.5.(2018秋•秀洲区期末)如图,点D在△ABC的边AC上,若要使△ABD与△ACB相似,可添加的一个条件是∠ABD=∠C(答案不唯一)(只需写出一个).【点拨】两组对应角相等,两三角形相似.在本题中,两三角形共用一个角,因此再添一组对应角即可【解析】解:要使△ABC与△ABD相似,还需具备的一个条件是∠ABD=∠C或∠ADB=∠ABC等.故答案为:∠ABD=∠C(答案不唯一).【点睛】此题考查了相似三角形的判定.注意掌握有两角对应相等的三角形相似与两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似定理的应用.6.(2019秋•崇川区校级月考)如图,∠A=∠B=90°,AB=7,BC=3,AD=2,在边AB上取点P,使得△P AD与△PBC相似,则满足条件的AP长为 2.8或1或6.【点拨】根据相似三角形的性质分两种情况列式计算:①若△APD∽△BPC②若△APD∽△BCP.【解析】解:∵∠A=∠B=90°①若△APD∽△BPC则=∴=解得AP=2.8.②若△APD∽△BCP则=∴=解得AP=1或6.∴则满足条件的AP长为2.8或1或6.故答案为:2.8或1或6.【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质,明确相关判定与性质及分类讨论,是解题的关键.7.(2019秋•临安区期末)如图,点B、D、E在一条直线上,BE交AC于点F,=,且∠BAD=∠CAE.(1)求证:△ABC∽△ADE;(2)求证:△AEF∽△BCF.【点拨】(1)根据相似三角形的判定定理证明;(2)根据相似三角形的性质定理得到∠C=∠E,结合图形,证明即可.【解析】(1)∵∠BAD=∠CAE∴∠BAD+∠CAD=∠CAE+∠CAD即∠BAC=∠DAE在△ABC和△ADE中=,∠BAC=∠DAE,∴△ABC∽△ADE;(2)∵△ABC∽△ADE,∴∠C=∠E、在△AEF和△BFC中,∠C=∠E,∠AFE=∠BFC,∴△AEF∽△BCF.【点睛】本题考查的是相似三角形的判定和性质,掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键.8.(2019春•广陵区校级月考)正方形ABCD边长为4,M、N分别是BC、CD上的两个动点,当M点在BC上运动时,保持AM和MN垂直,(1)证明:Rt△ABM∽Rt△MCN;(2)当M点运动到什么位置时Rt△ABM∽Rt△AMN,并请说明理由.【点拨】(1)理由等角的余角相等证明∠MBA=∠NMC,然后根据直角三角形相似的判定方法可判断Rt△ABM∽Rt△MCN;(2)利用勾股定理可得到AM=2,由于Rt△ABM∽Rt△MCN,利用相似比可计算出MN=,接着证明=,从而可判断Rt△ABM∽Rt△AMN.【解析】(1)证明:∵四边形ABCD为正方形,∴∠B=∠C=90°,∵AM⊥MN,∴∠AMN=90°,∴∠AMB+∠NMC=90°,而∠AMB+∠MAB=90°,∴∠MBA=∠NMC,∴Rt△ABM∽Rt△MCN;(2)解:当M点运动到BC为中点位置时,Rt△ABM∽Rt△AMN.理由如下:,∵四边形ABCD为正方形,∴AB=BC=4,BM=MC=2,∴AM=2,∵Rt△ABM∽Rt△MCN,∴==2,∴MN=AM=,∵==,==,∴=,而∠ABM=∠AMN=90°,∴Rt△ABM∽Rt△AMN.【点睛】本题考查了相似三角形的判定:有两组角对应相等的两个三角形相似.两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似.也考查了正方形的性质.巩固训练1.(2019•崇明区一模)如图,如果∠BAD=∠CAE,那么添加下列一个条件后,仍不能确定△ABC∽△ADE 的是()A.∠B=∠D B.∠C=∠AED C.=D.=【点拨】根据已知及相似三角形的判定方法对各个选项进行分析,从而得到最后答案.【解析】解:∵∠BAD=∠CAE,∴∠DAE=∠BAC,∴A,B,D都可判定△ABC∽△ADE选项C中不是夹这两个角的边,所以不相似,故选:C.【点睛】此题考查了相似三角形的判定:①如果两个三角形的三组对应边的比相等,那么这两个三角形相似;②如果两个三角形的两条对应边的比相等,且夹角相等,那么这两个三角形相似;③如果两个三角形的两个对应角相等,那么这两个三角形相似.2.(2020•上虞区校级一模)已知△ABC是正三角形,点D是边AC上一动点(不与A、C重合),以BD为边作正△BDE,边DE与边AB交于点F,则图中一定相似的三角形有()对.A.6 B.5 C.4 D.3【点拨】根据相似三角形的判定定理,两个等边三角形的3个角分别相等,可推出△ABC∽△EDB,根据对应角相等推出△BDC∽△BFE∽△DF A.△BDF∽△BAD.【解析】解:图中的相似三角形是△ABC∽△EDB,△BDC∽△BFE,△BFE∽△DF A,△BDC∽△DF A,△BDF∽△BAD.理由:∵△ABC和△BDE是正三角形,∴∠A=∠C=∠ABC=60°,∠E=∠BDE=∠EBD=60°,∴△ABC∽△EDB,可得∠EBF=∠DBC,∠E=∠C,∴△BDC∽△BFE,∴∠BDC=∠BFE=∠AFD,∴△BDC∽△DF A,∴△BFE∽△DF A,∵∠DBF=∠ABD,∠BDF=∠BAD,∴△BDF∽△BAD.故选:B.【点睛】本题主要考查相似三角形的判定定理及有关性质的运用,关键在于根据图中两个等边三角形,找出相关的相等关系,然后结合已知条件,得出结论.3.(2019秋•市中区期末)如图,Rt△ABC中,∠C=90°,∠B=60°,BC=4,D为BC的中点,E为AB 上的动点,若动点E以1cm/s的速度从A点出发,沿着A→B→A的方向运动,设E点的运动时间为t秒(0≤t<12),连接DE,当△BDE与△ABC相似时,t的值为4或7或9.【点拨】由条件可求得AB=8,可知E点的运动路线为从A到B,再从B到AB的中点,当△BDE为直角三角形时,当∠EDB=90°或∠DEB=90°,得出△BDE和△ABC相似,可求得BE的长,则可求得t的值.【解析】解:在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠ABC=60°,BC=4,∴AB=2BC=8,∵D为BC中点,∴BD=2,∵0≤t<12,∴E点的运动路线为从A到B,再从B到AB的中点,按运动时间分为0≤t≤8和8<t<12两种情况,①当0≤t≤8时,AE=t,BE=BC﹣AE=8﹣t,当∠EDB=90°时,则有AC∥ED,∴△BDE∽△BCA,∵D为BC中点,∴E为AB中点,此时AE=4,可得t=4;当∠DEB=90°时,∵∠DEB=∠C,∠B=∠B,∴△BED∽△BCA,∴,即,解得t=7;②当8<t<12时,则此时E点又经过t=7秒时的位置,此时t=8+1=9;综上可知t的值为4或7或9,故答案为:4或7或9.【点睛】本题主要考查相似三角形的判定和性质,用t表示出线段的长,化动为静,再根据相似三角形的对应边成比例找到关于t的方程是解决这类问题的基本思路.4.(2019秋•海淀区期末)如图,⊙O是△ABC的外接圆,D是的中点,连结AD,BD,其中BD与AC 交于点E.写出图中所有与△ADE相似的三角形:△CBE,△BDA.【点拨】根据两角对应相等的两个三角形相似即可判断.【解析】解:∵=,∴∠ABD=∠DBC,∵∠DAE=∠DBC,∴∠DAE=∠ABD,∵∠ADE=∠ADB,∴△ADE∽△BDA,∵∠DAE=∠EBC,∠AED=∠BEC,∴△AED∽△BEC,故答案为△CBE,△BDA.【点睛】本题考查相似三角形的判定,圆周角定理等知识,解题的关键是熟练掌握基本知识,属于中考常考题型.5.(2020•成都模拟)如图,BC是⊙O的弦,A是劣弧BC上一点,AD⊥BC于D,若AB+AC=10,⊙O的半径为6,AD=2,则BD的长为2或4.【点拨】作直径AE,连接CE,证明△ABD∽△AEC,得,设AB=x,则AC=10﹣x,列方程可得AB的长,最后利用勾股定理可解答.【解析】解:作直径AE,连接CE,∴∠ACE=90°,∵AD⊥BC,∴∠ADB=90°,∴∠ADB=∠ACE,∵∠B=∠E,∴△ABD∽△AEC,∴,设AB=x,则AC=10﹣x,∵⊙O的半径为6,AD=2,∴,解得:x1=4,x2=6,当AB=4时,BD===2,当AB=6时,BD===4,∴BD的长是2或4;故答案为:2或4.【点睛】本题考查了圆周角定理,相似三角形的性质和判定,正确作辅助线,构建相似三角形是本题的关键.6.(2020•雨花区校级一模)如图,AB为⊙O的直径,点C、D在⊙O上,AC=3,BC=4,且AC=AD,弦CD交直径AB于点E.(1)求证:△ACE∽△ABC;(2)求弦CD的长.【点拨】(1)由垂径定理可知∠AEC=90°,然后根据相似三角形的判定即可求出答案.(2)根据相似三角形的性质可知AC2=AE•AB,从而可求出AE=,再由勾股定理以及垂径定理即可求出CD的长度.【解析】解:(1)∵AC=AD,AB是⊙O的直径,∴CD⊥AB,∴∠AEC=90°,∵AB是⊙O的直径,∴∠ACB=90°,∴∠ACE+∠BAC=∠BAC+∠B=90°,∴∠ACE=∠B,∴△ACE∽△ABC.(2)由(1)可知:,∴AC2=AE•AB,∵AC=3,BC=4,∴由勾股定理可知:AB=5,∴AE=,∴由勾股定理可知:CE=,∴由垂径定理可知:CD=2CE=.【点睛】本题考查相似三角形,解题的关键是熟练运用勾股定理,相似三角形的性质与判定,圆周角定理,本题属于中等题型.7.(2018秋•姜堰区校级月考)如图,点B、D、E在一条直线上,BE与AC相交于点F,==.(1)求证:∠BAD=∠CAE;(2)若∠BAD=21°,求∠EBC的度数:(3)若连接EC,求证:△ABD∽△ACE.【点拨】(1)根据相似三角形的性质定理得到∠BAC=∠DAE,结合图形,证明即可;(2)根据相似三角形的性质即可得到结论;(3)根据相似三角形的判定和性质即可得到结论.【解析】(1)证明:∵==.∴△ABC~△ADE;∴∠BAC=∠DAE,∴∠BAC﹣∠DAF=∠DAE﹣∠DAF,即∠BAD=∠CAE;(2)解:∵△ABC~△ADE,∴∠ABC=∠ADE,∵∠ABC=∠ABE+∠EBC,∠ADE=∠ABE+∠BAD,∴∠EBC=∠BAD=21°;(3)证明:连接CE,∵△ABC~△ADE,∴∠BAC=∠DAE,∴∠BAC﹣∠DAF=∠DAE﹣∠DAF,即∠BAD=∠CAE,∵=.∴△ABD∽△ACE.【点睛】本题考查的是相似三角形的判定和性质,掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键.8.(2019秋•江阴市期中)如图,Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=6cm,BC=8cm,动点P从点B出发,在BA边上以每秒5cm的速度向点A匀速运动,同时动点Q从点C出发,在CB边上以每秒4cm的速度向点B匀速运动,运动时间为t秒(0<t<2),连接PQ.(1)若△BPQ与△ABC相似,求t的值;(2)试探究t为何值时,△BPQ的面积是cm2;(3)直接写出t为何值时,△BPQ是等腰三角形;(4)连接AQ,CP,若AQ⊥CP,直接写出t的值.【点拨】(1)由勾股定理可求AB的长,分两种情况讨论,由相似三角形的性质可求解;(2)过点P作PE⊥BC于E,由平行线分线段成比例可得PE=3t,由三角形的面积公式列出方程可求解;(3)分三种情况讨论,由等腰三角形的性质可求解;(4)过P作PM⊥BC于点M,AQ,CP交于点N,则有PB=5t,PM=3t,MC=8﹣4t,根据△ACQ∽△CMP,得出AC:CM=CQ:MP,代入计算即可.【解析】解:(1)∵∠ACB=90°,AC=6cm,BC=8cm,∴AB===10cm,∵△BPQ与△ABC相似,且∠B=∠B,∴或,当时,∴,∴t=1,当,∴,∴t=;(2)如图1,过点P作PE⊥BC于E,∴PE∥AC,∴,∴PE==3t,∴S△BPQ=×(8﹣4t)×3t=,∴t1=或t2=;(3)①当PB=PQ时,如图1,过P作PE⊥BQ,则BE=BQ=4﹣2t,PB=5t,由(2)可知PE=3t,∴BE===4t,∴4t=4﹣2t,∴t=②当PB=BQ时,即5t=8﹣4t,解得:t=,③当BQ=PQ时,如图2,过Q作QG⊥AB于G,则BG=PB=t,BQ=8﹣4t,∵△BGQ∽△ACB,∴,∴解得:t=.综上所述:当t=或或时,△BPQ是等腰三角形;(3)过P作PM⊥BC于点M,AQ,CP交于点N,如图3所示:则PB=5t,∵AC⊥BC∴△PMB∽△ACB,∴=∴BM=4t,PM=3t,且BQ=8﹣4t,BC=8,∴MC=8﹣4t,CQ=4t,∵∠NAC+∠NCA=90°,∠PCM+∠NCA=90°,∴∠NAC=∠PCM,∵∠ACQ=∠PMC,∴△ACQ∽△CMP,∴,∴∴t=【点睛】此题是相似形综合题,主要考查了相似三角形的判定与性质,勾股定理,直角三角形的性质,等腰三角形的性质,由三角形相似得出对应边成比例是解题的关键.。

2018中考相似三角形汇编

2018中考相似三角形汇编

2018中考数学试题分类汇编:考点36相似三角形一•选择题(共28小题)1. (2018?重庆)制作一块3m x 2m长方形广告牌的成本是120元,在每平方米制作成本相同的情况下,若将此广告牌的四边都扩大为原来的3倍,那么扩大后长方形广告牌的成本是()A. 360 元B. 720 元C. 1080 元D. 2160 元【分析】根据题意求出长方形广告牌每平方米的成本,根据相似多边形的性质求出扩大后长方形广告牌的面积,计算即可.【解答】解:3m x 2m=6m2,•••长方形广告牌的成本是120-6=20元/m 2,将此广告牌的四边都扩大为原来的3倍,则面积扩大为原来的9倍,•扩大后长方形广告牌的面积=9x 6=54m2,•••扩大后长方形广告牌的成本是54x 20=1080*,故选:C.2. (2018?玉林)两三角形的相似比是2:3,则其面积之比是()A. . ■:: 「;B. 2:3C. 4:9D. 8:27【分析】根据相似三角形的面积比等于相似比的平方计算即可.【解答】解:•••两三角形的相似比是2:3,•其面积之比是4: 9,故选:C.3. (2018?重庆)要制作两个形状相同的三角形框架,其中一个三角形的三边长分别为5cm, 6cm和9cm,另一个三角形的最短边长为 2.5cm,则它的最长边为()A. 3cmB. 4cmC. 4.5cmD. 5cm【分析】根据相似三角形的对应边成比例求解可得.【解答】解:设另一个三角形的最长边长为xcm,根据题意,得:一=^-,解得:x=4.5,即另一个三角形的最长边长为 4.5cm,故选:C.4. (2018?内江)已知△ ABC与厶A i B i C i相似,且相似比为1:3,则厶ABC与厶A i B i C的面积比为()A. i:iB. i:3C. i:6D. i:9【分析】利用相似三角形面积之比等于相似比的平方,求出即可.【解答】解:已知厶ABC与厶A i B i C i相似,且相似比为i:3,则△ABC与△ A i B i C i的面积比为i:9,故选:D.5. (20i8?铜仁市)已知△ ABS A DEF相似比为2,且厶ABC的面积为i6,则厶DEF的面积为()A. 32B. 8C. 4D. i6【分析】由厶AB3A DEF相似比为2,根据相似三角形的面积的比等于相似比的平方,即可得厶ABC与厶DEF的面积比为4,又由△ ABC的面积为i6,即可求得厶DEF的面积.【解答】解:•••△AB3A DEF,相似比为2,•••△ ABC与△ DEF的面积比为4,•••△ABC的面积为i6,• △ DEF 的面积为:i6X 丁=4.故选:C.A. 1:4B. 4:1C. 1:2D. 2:16. (2017?重庆)已知△ ABS A DEF且相似比为1:2,则厶ABC与厶DEF的面积比为()【分析】禾I」用相似三角形面积之比等于相似比的平方计算即可.【解答】解:•••△ AB3A DEF,且相似比为1: 2,•••△ ABC与△ DEF的面积比为1: 4,故选:A.7. (2018?临安区)如图,小正方形的边长均为1,则下列图中的三角形(阴影部分)与厶ABC相似的是()【分析】根据正方形的性质求出/ ACB根据相似三角形的判定定理判断即可.【解答】解:由正方形的性质可知,/ ACB=180 - 45°135°,A、C、D图形中的钝角都不等于135° 由勾股定理得,BC= ':, AC=2 对应的图形B 中的边长分别为1和•••图B中的三角形(阴影部分)与厶ABC相似,故选:B.8. (2018?广东)在厶ABC中,点D、E分别为边AB、AC的中点,则△ ADE与△ ABC的面积之比为()【分析】由点D、E分别为边AB AC的中点,可得出DEABC的中位线,进而可得出DE// BC及△ ADE^^ ABC,再利用相似三角形的性质即可求出△ ADE与△ ABC 的面积之比.【解答】解:•••点D、E分别为边AB AC的中点,A. 1:4B. 4:1C. 1:2D. 2:1••• DE%A ABC 的中位线,••• DE// BC,•••△ ADE^A ABC,9. (2018?自贡)如图,在△ ABC 中,点D 、E 分别是AB 、AC 的中点,若△ ADE 的面积为4,则厶ABC 的面积为( )的判定与性质得出答案.【解答】解:•••在△ ABC 中,点D 、E 分别是AB 、AC 的中点,••• DE / BC, DE=-BC, •••△ ADE^A ABC, DE 1~214•••△ ADE 的面积为4,•••△ ABC 的面积为:16,故选:D .【分析】直接利用三角形中位线定理得出 DE / BC, DE^BC,再利用相似三角形 ) 2 L14 D . 1610. (2018?崇明县一模)如图,在平行四边形ABCD中,点E在边DC上,DE: EC=3 1,连接AE交BD于点卩,则厶DEF的面积与厶BAF的面积之比为()D ECA. 3: 4B. 9: 16C. 9: 1D. 3: 1【分析】可证明△ DF0A BFA根据相似三角形的面积之比等于相似比的平方即可得出答案.【解答】解:•••四边形ABCD为平行四边形,••• DC// AB,•••△DFE^^ BFA•••DE: EC=3 1,••• DE: DC=3 4,DE: AB=3: 4,5 DFE S\ BFA=9 : 16.故选:B.D £ C11. (2018?随州)如图,平行于BC的直线DE把厶ABC分成面积相等的两部分, 则=「的值为()A. 1B. -C. _ 1D..'【分析】由DE/ BC可得出△ ADE^A ABC,利用相似三角形的性质结合S ADE=S故选:D .【解答】解::DE// BC, •••/ ADE=/ B,Z AED=Z C, •••△ ADE^A ABC,12. (2018?哈尔滨)如图,在△ ABC 中,点D 在BC 边上,连接AD ,点G 在线 段AD 上, GE// BD ,且交AB 于点E, GF// AC,且交CD 于点F ,则下列结论一定【分析】由GE// BD GF// AC 可得出△ AEG^A ABD A DFG^A DCA 根据相似 【解答】解:TGE// BD , GF// AC, •••△ AEG^A ABD,A DFG^A DCAAE AGCF_DG __ !.AE AG CF BE - ~D G ' =DF , 三角形的性质即可找出 此题得解.四边形 BCED 可得出AB~, 结合BD=AB- AD 即可求出 B D A 的值,此题得解. AB _AG B DF _DG C-亠一 D 里亠 AC =BD D.观=DFAE AGAB _ ~AD ' -S A ADE =S 四边形 BCED-1.13. (2018?遵义)如图,四边形ABCD中,AD// BC, / ABC=90, AB=5,BC=1Q连接AC、BD,以BD为直径的圆交AC于点E.若DE=3,则AD的长为()A. 5B. 4C. 3 仃D. 2 -【分析】先求出AC,进而判断出△ ADF^A CAB,即可设DF=x AD=!x,禾U用勾股定理求出BD,再判断出厶DEF^A DBA得出比例式建立方程即可得出结论.【解答】解:如图,在Rt A ABC中,AB=5, BC=10,••• AC=5 辽过点D作DF丄AC于F,•/ AFD=/ CBA••• AD// BC,•/ DAF=/ ACB•△ADF^A CAB.DF __AE• ! ■■,设DF=x则AD=女,在Rt A ABD中,BD= .| = ^ '■.,•••/ DEF=/ DBA / DFE=/ DAB=90 ,• △DEF^A DBA.DE••而"AD,故选:D.•x=2,•AD= _x=2 匚,故选:D.14. (2018?扬州)如图,点A在线段BD上,在BD的同侧作等腰Rt^ABC和等腰Rt A ADE, CD与BE、AE分别交于点P, M.对于下列结论:①厶BAE^A CAD ② MP?MD=MA?ME;③2C^=CP?CM 其中正确的是()B A2A.①②③B.① C•①② D.②③【分析】(1)由等腰Rt A ABC和等腰Rt A ADE三边份数关系可证;(2)通过等积式倒推可知,证明△ PAM sA EMD即可;(3)2CR转化为AC2,证明△ ACP^A MCA,问题可证.【解答】解:由已知:AC= -AB, AD= :AE.[AC _ADvZ BACK EAD•••/ BAE=/ CAD•••△BAE^A CAD所以①正确vA BAE^A CAD•••/ BEA=/ CDAv/ PME=Z AMD•••△PME^A AMD.I MP _ ME••狀5••• MP?MD=MA?ME所以②正确vZ BEAN CDA/ PME=Z AMD••• P、E、D、A四点共圆•••Z APD=Z EAD=90vZ CAE=180-Z BAC-Z EAD=90•△CAP^A CMAAG=CP?CMv AC= :'AB•2C^=CP?CM所以③正确故选:A.15. (2018?贵港)如图,在△ ABC中,EF// BC, AB=3AE 若S四边形BCF=16,则SA. 16B. 18C. 20D. 24【分析】由EF/ BC,可证明△ AEF^A ABC,禾用相似三角形的性质即可求出则S\ ABC的值.【解答】解:v EF/ BC,•△AEF^A ABC,v AB=3AE•AE: AB=1:3 ,•S\AEF:S^ABC=1 : 9 ,设S\AEF=X,-S四边形BCF F16,解得:x=2,S ABC=18,故选:B.16. (2018?孝感)如图,△ ABC是等边三角形,△ ABD是等腰直角三角形,/ BAD=90, AE丄BD于点E,连CD分别交AE, AB于点F, G,过点A作AH丄CD 交BD于点H.则下列结论:①/ ADC=15:②AF=AG③AH=DF;④厶AF3A【分析】①由等边三角形与等腰直角三角形知厶CAD是等腰三角形且顶角/ CAD=150,据此可判断;②求出/ AFP和/FAG度数,从而得出/ AGF度数,据此可判断;③证△ ADF^A BAH即可判断;④由/AFG=/ CBG=60、/ AGF=Z CGB 即可得证;⑤设PF=x贝U AF=2x人卩彳人国叩卩?*^,设EF=a由厶ADF^ABAH知BH=AF=2x根据△ ABE是等腰直角三角形之BE=AE=+2x,据此得出EH=aPF' AP证厶PA3A EAH得■•…—,从而得出a与x的关系即可判断.【解答】解:•••△ ABC为等边三角形,△ ABD为等腰直角三角形,•••/ BAC=60、/ BAD=90、AC=AB=AD / ADB=Z ABD=45 ,•••△CAD是等腰三角形,且顶角/ CAD=150,•••/ ADC=15,故①正确;••• AE丄BD,即/ AED=90,•••/ DAE=45,•••/AFG=/ADO/DAE=60,/ FAG=45,•••/ AGF=75,由/ AFG^Z AGF知AF M AG,故②错误;记AH与CD的交点为P,由AH 丄CD且Z AFG=60知Z FAP=30 ,贝UZ BAH=Z ADC=15,在厶ADF和厶BAH中,r ZADF=ZBAH•••〔DA訓,ZDAF=ZABH=45°l•••△ADF^A BAH (ASA),••• DF=AH故③正确;vZ AFG=/ CBG=60,Z AGF=/ CGB•••△AFG^A CBG 故④正确;在Rt A APF中,设PF=x 贝U AF=2x AP= ] >一一= Ux , 设EF=a •••△ADF^A BAH ,BH=AF=2X△ABE中,vZ AEB=90、Z ABE=45 ,BE=AE=A+EF=a+2x ,.EH=B E BH=a+2x- 2x=a,vZ APF=Z AEH=90 , Z FAP=Z HAE,•••△PAF^A EAH•理翌即昱后.EH=AE ,即白一廿加,整理,得:2«=(翻-1)ax,由X M 0得2x=(善-1)a,即AF=(頂-1)EF,故⑤正确;故选:B.17. (2018?泸州)如图,正方形ABCD中,E, F分别在边AD, CD上, AF, BE 相交于点G,若AE=3ED DF=CF 则聲的值是()Gi*【分析】如图作,FN// AD,交AB于N ,交BE于M.设DE=a则AE=3a,利用平行线分线段成比例定理解决问题即可;【解答】解:如图作,FN// AD ,交AB于N ,交BE于M .•••四边形ABCD是正方形,A E D••• AB// CD, T FN// AD ,•••四边形ANFD是平行四边形,•••/ D=90 ,•••四边形ANFD是解析式,••• AE=3DE 设DE=a 贝U AE=3a, AD=AB=CD=FN=4,a AN=DF=2qT AN=BN MN // AE,••• BM=ME ,3••• MN=—a ,••• FM—a,••• AE// FM,GF故选:C.18. (2018?临安区)如图,在△ ABC中,DE// BC, DE分别与AB, AC相交于点D, E,若AD=4,DB=2,则DE: BC的值为()A. B.【分析】根据平行于三角形一边的直线和其他两边相交,所截得的三角形与原三角形相似,再根据相似三角形的对应边成比例解则可.【解答】解::DE// BC,•••△ ADE^A ABC,DE AD AD42BC"ALH-飞=3故选:A.19. (2018?恩施州)如图所示,在正方形ABCD中,G为CD边中点,连接AG 并延长交BC边的延长线于E点,对角线BD交AG于F点.已知FG=2则线段AE的长度为()A. 6B. 8C. 10D. 12【分析】根据正方形的性质可得出AB//CD,进而可得出△ ABI A GDF,根据相似三角形的性质可得出亠丄=2,结合FG=2可求出AF AG的长度,由CG// AB、lirAB=2CG可得出EAB的中位线,再利用三角形中位线的性质可求出AE的长度,此题得解.【解答】解:•••四边形ABCD为正方形,••• AB=CD AB// CD, •••/ ABF=Z GDF, / BAF=Z DGF,•••△ABF^A GDF,AB,GFf_G••• AF=2GF=4 ••• AG=6 •••CG// AB, AB=2CG•••EAB的中位线,••• AE=2AG=1220. (2018?杭州)如图,在△ ABC中,点D在AB边上,DE// BC,与边AC交于点E,连结BE.记厶ADE △ BCE的面积分别为Si, S2 ( )B.若2AD> AB,则3Si V 2③C.若 2AD v AB ,贝U 3Si >2®D.若 2AD v AB,则 3Si V 2S 2【分析】根据题意判定△ ADE^A ABC,由相似三角形的面积之比等于相似比的 平方解答.【解答】解:•••如图,在△ ABC 中,DE// BC,•••△ ADE^A ABC,•••若2AD > AB,即器〉寺时,A D 2此时3S > S?+S\BDE ,而S?+S\BDE V 2S2 .但是不能确定3S 与29的大小, 故选项A 不符合题意,选项21. (2018?永州)如图,在△ ABC 中,点D 是边AB 上的一点,/ ADCh ACB, AD=2, BD=6,则边 AC 的长为( )A . 2 B. 4 C. 6 D . 8AC AD【分析】只要证明厶ADS A ACB 可得篇菱,即AC 2=AD?AB,由此即可解决 问题;B 不符合题意. AD 若 2AD v AB,即=-<二时 ABS 1+ S 24S ABEE 1v7, 此时 3S v S 2+S\BDE V 2S 2,故选项C 不符合题意,选项 D 符合题意. 2Si^1 + S 2+S Z\BDE【解答】 解:I/ A=Z A ,/ ADC=/ ACB•••△ ADS A ACB•- AG=AD?AB=2<8=16, •/ AC >0 , • AC=4故选:B.解:• DE// BC,AD AE …BD HE ,用平行线分线段成比例定理和相似三角形的判定即可得出结论. 【分析】 【解答】 22.(2018?香坊区)如图,点D 、E 、F 分别是△ ABC 的边AB AC BC 上的点,•••DE// BC,• △AD3A ABC,• DE// BC, EF// AB,•四边形BDEF是平行四边形,故选:C.23. (2018?荆门)如图,四边形 ABCD 为平行四边形,E 、F 为CD 边的两个三 等分点,连接AF 、BE 交于点G ,则SxEFG : SxABG =()A . 1: 3B . 3: 1 C. 1: 9 D . 9: 1【分析】禾U 用相似三角形的性质面积比等于相似比的平方即可解决问题; 【解答】解:•••四边形ABCD 是平行四边形, ••• CD=AB CD// AB ,v DE=EF=FC ••• EF: AB=1: 3,•••△ EFG^A BAG故选:C.24. (2018?达州)如图,E,F 是平行四边形ABCD 对角线AC 上两点,AE=CF=AC.连^AAD (J接DE, DF 并延长'分别交AB, BC 于点G, H ,连接GH ,则亠:的值为(CE _CF _^L AE5••• DE=BF EF=BDAD AE BF AB "AC 一BC '1 ? 3 A•虫 B •虫 C t D - 1【分析】 首先证明AG : AB=CH BC=1: 3,推出GH// AC,推出△ BGH^A BAC,可得尹竺尹匚(閑)2=(「)耳,号匹"4,由此即可解决问题. b ABGH 旳 1 4^AADC J【解答】解:•••四边形ABCD 是平行四边形 ••• AD=BC DC=AB ••• AC=CA•••△ ADC ^A CBA--SA ADC =S A ABC ,••• AE=CF=AC, AG / CD , CH// AD ,• AG : DC=AE CE=1: 3, CH : AD=CF AF=1: 3, • AG : AB=CH BC=1: 3, • GH// AC, • △ BGH^A BAC25. (2018?南充)如图,正方形 ABCD 的边长为2, P 为CD 的中点,连结 AP , 过点B 作BE X AP 于点E,延长CE 交AD 于点F ,过点C 作CH 丄BE 于点G ,交BA BG故选:C.AB于点H,连接HF•下列结论正确的是()A. CE二匚B. EF二-C. cos/ CEP=:D. HF2=EF?CF2 5【分析】首先证明BH=AH,推出EG=BG推出CE=CB再证明△ CEH^A CBH Rt A HFE^ Rt A HFA利用全等三角形的性质即可——判断.【解答】解:连接EH.•••四边形ABCD是正方形,••• CD=AB-BC=AD=2 CD// AB,••• BE! AP , CH 丄BE,••• CH// PA,•••四边形CPAH是平行四边形,••• CP=AHv CP=PD=1AH=PC=1••• AH=BH,在Rt A ABE中 , v AH=HB,.EH=HB v HC丄BE,.BG=EG.CB=CE=2故选项A错误,v CH=CH CB=CE HB=HE.△ABC^A CEH,•••/ CBH2 CEH=90,••• HF 二HF HE 二HA ••• Rt A HFE ^ Rt A HFA, ••• AF=EF 设 EF=AF=x 在 Rt A CDF 中,有 22+ (2 -x ) 2= (2+x ) 2, •x 亍,• EF 丄,故B 错误,2••• PA// CH,• / CEP / ECH=g BCH'一— 1二二.,故 C 错误. ••• HF 甞•HF 2=EF?FC 故 D 正确, 故选:D .26. (2018?临沂)如图.利用标杆BE 测量建筑物的高度.已知标杆BE 高1.2m , 测得AB=1.6m. BC=12.4m.则建筑物CD 的高是()A 3 CA . 9.3mB . 10.5m C. 12.4m D . 14m【分析】先证明ABE^^ACD,则利用相似三角形的性质得 」匚「.丄二, 然后利用比例性质求出CD 即可. 【解答】解::EB// CD,• △ ABE^A ACD,AB BE 即 1.2 AC - _C ,即 L 6+12. =CD ,• CD=10.5(米) 故选:B. 27.( 2018?长春)《孙子算经》是中国古代重要的数学著作,成书于约一千五 百年前,其中有首歌谣:今有竿不知其长,••• cos / CEP 二co gBCH=—,EF 7,量得影长一丈五尺,立一标杆,长一尺五寸,影长五寸,问竿长几何?意即:有一根竹竿不知道有多长,量出它在太阳下的影子长一丈五尺,同时立一根一尺五寸的小标杆,它的影长五寸(提示:1丈=10尺,1尺=10寸),则竹竿的长为()A.五丈B.四丈五尺C. 一丈D.五尺【分析】根据同一时刻物高与影长成正比可得出结论.【解答】解:设竹竿的长度为x尺,•••竹竿的影长=一丈五尺=15尺,标杆长=一尺五寸=1.5尺,影长五寸=0.5尺, 送帶,解得x=45(尺).故选:B.28. (2018?绍兴)学校门口的栏杆如图所示,栏杆从水平位置BD绕O点旋转到AC位置,已知AB丄BD,CD丄BD,垂足分别为B, D, AO=4m, AB=1.6m,CO=1m则栏杆C端应下降的垂直距离CD为()【分析】由/ ABO=Z CDO=9°、/ AOB=Z COD知厶ABO^A CDO,据此得将已知数据代入即可得.【解答】解::AB丄BD, CD丄BD,•••/ ABO=Z CDO=9°,0.4m D. 0.5m又•••/ AOB=Z COD•••△ABO^A CDQAO-_ABCO-■/ A0=4m, AB=1.6m, C0=1m,•厶.6…Il ,解得:CD=0.4故选:C.二•填空题(共7小题)29. (2018?邵阳)如图所示,点E是平行四边形ABCD的边BC延长线上一点,连接AE,交CD于点F,连接BF.写出图中任意一对相似三角形:△ AD4A ECF .【分析】利用平行四边形的性质得到AD// CE则根据相似三角形的判定方法可判断△ ADF^A ECF【解答】解:•••四边形ABCD为平行四边形,•AD// CE,•△ADF^A ECF故答案AD2A ECF30. (2018?北京)如图,在矩形ABCD中,E是边AB的中点,连接DE交对角线AC于点F,若AB=4, AD=3,则CF的长为丄-.D C【分析】根据矩形的性质可得出 AB// CD,进而可得出/ FAE 二/ FCD 结合/ AFE= / CFD (对顶角相等)可得出△ AFE^A CFD,利用相似三角形的性质可得出 —^=2,禾U 用勾股定理可求出 AC 的长度,再结合 CF^^.-?AC,即可求出 CF 的长. 【解答】解:•••四边形ABCD 为矩形, ••• AB=CD AD=BC AB / CD ,•••/ FAE=/ FCD ,又•••/ AFE=/ CFD ,/.△ AFE^A CFD-■-CD,AF f _AB••• AC==5 ,31. (2018?包头)如图,在?ABCD 中 , AC 是一条对角线,EF// BC,且EF 与AB 相交于点E ,与AC 相交于点F , 3AE=2EB 连接DF.若&AEF =1 ,则压ADF 的值为 525结合 S A A EF =1 知S A A DC =S A ABC =^-10:'.••• CF^-?AC~ X 5~ 【分析】由3AE=2EB 可设AE=2a BE=3q 根据EF / BC 得" 一bAABC2」=泮)「,AE2FC _B'3^AADF|2=故答案为:,再由 2 ,继而根据 S\ ADF^S△ ADC 可得答案.【解答】解::3AE=2EB•••可设 AE=2a BE=3a••• EF// BC,•••△ AEF^A ABC,=(—)2=(^)2」_I S\AEF =1,• S ―--S\AB ~ ,•••四边形ABCD 是平行四边形,••• EF / BC, AE亦2332. (2018?资阳)已知:如图,△ ABC 的面积为12,点D 、E 分别是边AB 、AC的中点,则四边形BCED 的面积为 9 .【分析】设四边形BCED 勺面积为X ,则Sx ADE =12- x ,由题意知DE / BC 且DE^BC,^AADFAF 2^ACDF_CF' _3 22 2 S\ADF=_S\ADC=7' X故答案为:从而得=(_)2,据此建立关于x的方程,解之可得.【解答】解:设四边形BCED的面积为x,则S X ADE=12- x,•••点D、E分别是边AB AC的中点,•••。

2018年秋九年级数学上册 第4章 相似三角形 4.4 两个三角形相似的判定 第1课时 判定三角形相似的预备定理和

2018年秋九年级数学上册 第4章 相似三角形 4.4 两个三角形相似的判定 第1课时 判定三角形相似的预备定理和

第4章相似三角形4.4 两个三角形相似的判定第1课时相似三角形判定的预备定理和判定定理1知识点1 相似三角形判定的预备定理1.如图4-4-1,D,E分别是△ABC的两边AB,AC上的两点,且DE∥BC,则下列关系正确的是( )A.△BDC∽△BAC B.△ADE∽△ABCC.△ADE∽△CDE D.△ADC∽△CDE4-4-14-4-22.课本作业题第1题变式如图4-4-2,已知BC∥DE∥FG,则图中与△ABC相似的三角形是________.3.如图4-4-3所示,在△ABC中,DE∥BC,DE=1,AD=2,DB=3,则BC的长是________.4-4-34-4-44.如图4-4-4,AB∥CD,AC与BD相交于点O,AB=3,若BO∶BD=1∶3,则CD=________.5.已知:如图4-4-5,DE∥BC,AE=5 cm,EC=3 cm,BC=7 cm,∠BAC=45°,∠C =40°.(1)求∠AED 和∠ADE 的度数; (2)求DE 的长.图4-4-56.已知:如图4-4-6,AB ∥MN ,BC ∥NG . 求证:AB MN =BC NG.图4-4-6知识点2 有两角对应相等的两个三角形相似7.如图4-4-7,D 是△ABC 中AC 边上的一点.(1)若∠1=________,则△CBD ∽△CAB ; (2)若∠2=________,则△CBD ∽△CAB .4-4-74-4-88.如图4-4-8,在△ABC 中,D 为BC 上一点,∠BAD =∠C ,AB =6,BD =4,则BC 的长为________.图4-4-99.如图4-4-9,∠EAC =∠DAB ,则补充条件____________(填一组相等的角),使△ABC ∽△ADE .10.如图4-4-10,在△ABC 中,AB =AC ,BD =CD ,CE ⊥AB 于点E . 求证:△ABD ∽△CBE .图4-4-1011.如图4-4-11,在正方形ABCD 中,E 为AB 的中点,AO ⊥DE 于点O ,则AODO等于( ) A.12B.13C.23D.2 534-4-114-4-1212.2017·恩施州如图4-4-12,在△ABC中,DE∥BC,∠ADE=∠EFC,AD∶BD=5∶3,CF=6,则DE的长为( )A.6 B.8 C.10 D.1213.如图4-4-13,在△ABC中,AB=2,AC=4,将△ABC绕点C按逆时针方向旋转得到△A′B′C,使CB′∥AB,分别延长AB,CA′相交于点D,则线段BD的长为________.4-4-134-4-1414.如图4-4-14,菱形ABCD的边长为1,直线l过点C,交AB的延长线于点M,交AD的延长线于点N,则1AM +1AN=________.15.如图4-4-15,在平行四边形ABCD中,过点A作AE⊥BC,垂足为E,连结DE,F 为线段DE上一点,且∠AFE=∠B.(1)求证:△ADF∽△DEC;(2)若AB=8,AD=6 3,AF=4 3,求AE的长.图4-4-1516.创新学习尤秀同学遇到了这样一个问题:如图4-4-16①所示,已知AF ,BE 是△ABC 的中线,且AF ⊥BE ,垂足为P ,设BC =a ,AC =b ,AB =c .求证:a 2+b 2=5c 2.该同学仔细分析后,得到如下解题思路:先连结EF ,利用EF 为△ABC 的中位线得到△EPF ∽△BPA ,故PE PB =PF PA =EF BA =12,设PF =m ,PE =n ,用m ,n 把PA ,PB 分别表示出来,再在Rt △AEP ,Rt △BFP 中利用勾股定理计算,消去m ,n 即可得证.(1)请你根据以上解题思路帮尤秀同学写出证明过程; (2)利用题中的结论,解答下列问题:在边长为3的菱形ABCD 中,O 为对角线AC ,BD 的交点,E ,F 分别为线段AO ,DO 的中点,连结BE ,CF 并延长交于点M ,BM ,CM 分别交AD 于点G ,H ,如图②所示,求MG 2+MH 2的值.图4-4-16详解详析1.B2.△ADE ,△AFG 3.524.6 [解析]∵BO ∶BD =1∶3,∴BO OD =12.∵AB ∥CD ,∴△ABO ∽△CDO ,∴AB CD =BO OD =12. ∵AB =3,∴CD =6.5.解:(1)∵∠BAC =45°,∠C =40°, ∴∠B =180°-45°-40°=95°. ∵DE ∥BC ,∴△ABC ∽△ADE ,∴∠AED =∠C =40°,∠ADE =∠B =95°. (2)∵△ABC ∽△ADE , ∴DE BC =AE AC,即DE 7=55+3, 解得DE =358(cm).6.证明:∵AB ∥MN ,∴△OAB ∽△OMN , ∴AB MN =OB ON.同理,得BC NG =OBON,∴AB MN =BC NG.7.(1)∠A (2)∠CBA8.99.答案不唯一,如∠E =∠C10.证明:在△ABC 中,∵AB =AC ,BD =CD , ∴AD ⊥BC ,∴∠ADB =90°. ∵CE ⊥AB ,∴∠CEB =∠ADB =90°. 又∵∠B =∠B ,∴△ABD ∽△CBE .11.A [解析] 在正方形ABCD 中,∠DAE =90°,AB =AD . ∵E 是AB 的中点, ∴AE =12AB =12AD .∵AO ⊥DE ,∴∠AOD =90°.∴∠DAE =∠AOD =90°,∠ADO =∠EDA , ∴△AOD ∽△EAD ,∴AO DO =AE AD =12. 12.C [解析]∵DE ∥BC ,∴∠ADE =∠B . ∵∠ADE =∠EFC ,∴∠B =∠EFC , ∴BD ∥EF .又∵DE ∥BF ,∴四边形BDEF 为平行四边形,∴DE =BF . ∵DE ∥BC , ∴△ADE ∽△ABC , ∴DE BC =AD AB =AD AD +DB =58,∴BC =85DE ,∴CF =BC -BF =35DE =6,∴DE =10.故选C.13.6 [解析]∵将△ABC 绕点C 按逆时针方向旋转得到△A ′B ′C ,∴AC =A ′C =4,AB =A ′B ′=2,∠A =∠CA ′B ′. ∵CB ′∥AB ,∴∠B ′CA ′=∠D , ∴△CAD ∽△B ′A ′C , ∴AC A ′B ′=ADA ′C, 即42=AD 4, 解得AD =8,∴BD =AD -AB =8-2=6. 14.[解析] 由题意可得DC ∥AM ,BC ∥AN , ∴△NDC ∽△NAM ,△MCB ∽△MNA . ∵△NDC ∽△NAM ,∴DC AM =CN MN,即1AM =CN MN. 又∵△MCB ∽△MNA ,∴BC AN =MC MN,即1AN =MC MN, ∴1AM +1AN =CN MN +MCMN=1.15.解:(1)证明:∵四边形ABCD 为平行四边形, ∴AB ∥CD ,AD ∥BC ,∴∠C +∠B =180°,∠ADF =∠DEC . ∵∠AFD +∠AFE =180°,∠AFE =∠B , ∴∠AFD =∠C . 在△ADF 和△DEC 中,∵⎩⎪⎨⎪⎧∠AFD =∠C ,∠ADF =∠DEC ,∴△ADF ∽△DEC .(2)∵四边形ABCD 为平行四边形, ∴CD =AB =8.由(1)知△ADF ∽△DEC ,∴AD DE =AF CD,∴DE =AD ·CD AF =6 3×84 3=12. 在Rt △ADE 中,由勾股定理得AE =DE 2-AD 2=122-(6 3)2=6. 16.解:(1)设PF =m ,PE =n ,连结EF ,如图, ∵AF ,BE 是△ABC 的中线, ∴EF 为△ABC 的中位线,AE =12b ,BF =12a ,∴EF ∥AB ,EF =12c ,∴△EPF ∽△BPA , ∴PE PB =PF PA =EF BA =12,即n PB =m PA =12, ∴PB =2n ,PA =2m .在Rt △AEP 中,∵PE 2+PA 2=AE 2, ∴n 2+4m 2=14b 2①.在Rt △BFP 中,∵PF 2+PB 2=BF 2, ∴m 2+4n 2=14a 2②.①+②得5(n 2+m 2)=14(a 2+b 2).在Rt △EFP 中,∵PE 2+PF 2=EF 2, ∴n 2+m 2=EF 2=14c 2,∴5×14c 2=14(a 2+b 2),∴a 2+b 2=5c 2.(2)连结EF .∵四边形ABCD 为菱形, ∴BD ⊥AC ,AD ∥BC ,AD =BC . ∵E ,F 分别为线段AO ,DO 的中点, ∴EF 为△OAD 的中位线, ∴EF =12AD ,EF ∥AD ,∴EF ∥BC ,EF =12BC ,∴EF 为△MBC 的中位线.由(1)的结论得MB 2+MC 2=5BC 2=5×32=45. ∵AG ∥BC , ∴△AEG ∽△CEB ,∴AG CB =AE CE =13, ∴AG =1. 同理可得DH =1, ∴GH =1.∵GH ∥BC ,∴△MGH ∽△MBC ,∴MGMB=MHMC=GHBC=13,∴MB=3MG,MC=3MH,∴9MG2+9MH2=45,∴MG2+MH2=5.11。

陕西省2018年中考数学复习课件:第一编第14课时相似三角形与位似图形.pptx

陕西省2018年中考数学复习课件:第一编第14课时相似三角形与位似图形.pptx

第14课时:相似三角形与位似图形
《中考内参(数学)2018》配套课件
第14课时:相似三角形与位似图形
例1(2017年,恩施州)如图,在△ABC中,DE∥BC, ∠ADE=∠EFC,AD:BD=5:3,CF=6,则DE的长为(C A.6 B.8 C.10 D.12

【点评】本题考查平行线截线段成比例定理的应用。熟练掌握平行线截线段成比例定 理并能灵活运用是解题的关键。
•早在人类文化发展的上古时期,文化的发展就不是一个模式,而是形成多个文化体系,呈现多样形态。此后,不同文化并不是孤立地、互不联系地发展,而是在相互交流、对话、学习、碰撞中前行,逐渐形成“你中有我、我中有你”的格局。而不同文明的接触,常常成为人类进步的里程碑: 希腊学习埃及,罗马学习希腊,阿拉伯学习罗马帝国,中世纪欧洲学习阿拉伯,文艺复兴时期的欧洲又学习东罗马帝国。欧洲文化的发展状况是这样,东亚也是如此:日本明治维新之前,日本学习借鉴中国;明治维新之后,中国通过日本学习世界。中国从印度引入佛教,之后中国佛教影响东 亚、东南亚大片区域。人类文化发展史表明,一种本土文化、民族文化或地域文化与外来文化进行交流互鉴时,只要坚持科学方法,保持自己文化的特性,就能不断吸收改造外来文化并使其成为自己的一部分。这种处于变化发展中的文化,其民族性往往更为鲜明突出,更符合民族文化发展的 需要。以中国绘画为例,“六朝以来,就大受印度美术的影响”。内容与形式发生较大人类文化发展史表明,一种本土文化、民族文化或地域文化与外来文化进行交流互鉴时,只要坚持科学方法,保持自己文化的特性,就能不断吸收改造外来文化并使其成为自己的一部分。这种处于变化发展 中的文化,其民族性往往更为鲜明突出,更符合民族文化发展的需要。以中国绘画为例,“六朝以来,就大受印度美术的影响”。内容与形式发生较大人类文化发展史表明,一种本土文化、民族文化或地域文化与外来文化进行交流互鉴时,只要坚持科学方法,保持自己文化的特性,就能不断

中考复习 圆中相似三角形的常见模型

中考复习 圆中相似三角形的常见模型

圆中相似三角形的常见模型针对训练1.(2018•广元)如图1,D是⊙O的直径BC上的一点,过D作DE⊥BC交⊙O于E、N,F是⊙O上的一点,过F的直线分别与CB、DE的延长线相交于A、P,连结CF交PD于M,∠C=P.(1)求证:P A是⊙O的切线;(2)若∠A=30°,⊙O的半径为4,DM=1,求PM的长;(3)如图2,在(2)的条件下,连结BF、BM;在线段DN上有一点H,并且以H、D、C为顶点的三角形与△BFM相似,求DH的长度.2.(2018•柳州)如图,△ABC为⊙O的内接三角形,AB为⊙O的直径,过点A作⊙O的切线交BC的延长线于点D.(1)求证:△DAC∽△DBA;(2)过点C作⊙O的切线CE交AD于点E,求证:CE=AD;(3)若点F为直径AB下方半圆的中点,连接CF交AB于点G,且AD=6,AB=3,求CG的长.3.(2018•通辽)如图,⊙O是△ABC的外接圆,点O在BC边上,∠BAC的平分线交⊙O于点D,连接BD、CD,过点D作BC的平行线与AC的延长线相交于点P.(1)求证:PD是⊙O的切线;(2)求证:△ABD∽△DCP;(3)当AB=5cm,AC=12cm时,求线段PC的长.4.(2018•广西)如图,△ABC内接于⊙O,∠CBG=∠A,CD为直径,OC与AB相交于点E,过点E作EF⊥BC,垂足为F,延长CD交GB的延长线于点P,连接BD.(1)求证:PG与⊙O相切;(2)若=,求的值;(3)在(2)的条件下,若⊙O的半径为8,PD=OD,求OE的长.5.(2018•宁波)如图1,直线l:y=﹣x+b与x轴交于点A(4,0),与y轴交于点B,点C是线段OA 上一动点(0<AC<).以点A为圆心,AC长为半径作⊙A交x轴于另一点D,交线段AB于点E,连结OE并延长交⊙A于点F.(1)求直线l的函数表达式和tan∠BAO的值;(2)如图2,连结CE,当CE=EF时,①求证:△OCE∽△OEA;②求点E的坐标;(3)当点C在线段OA上运动时,求OE•EF的最大值.6.(2018•台州)如图,△ABC是⊙O的内接三角形,点D在上,点E在弦AB上(E不与A重合),且四边形BDCE为菱形.(1)求证:AC=CE;(2)求证:BC2﹣AC2=AB•AC;(3)已知⊙O的半径为3.①若=,求BC的长;②当为何值时,AB•AC的值最大?7.(2018•株洲)如图,已知AB为⊙O的直径,AB=8,点C和点D是⊙O上关于直线AB对称的两个点,连接OC、AC,且∠BOC<90°,直线BC和直线AD相交于点E,过点C作直线CG与线段AB的延长线相交于点F,与直线AD相交于点G,且∠GAF=∠GCE.(1)求证:直线CG为⊙O的切线;(2)若点H为线段OB上一点,连接CH,满足CB=CH,①△CBH∽△OBC;②求OH+HC的最大值.8.(2018•娄底)如图,C、D是以AB为直径的⊙O上的点,=,弦CD交AB于点E.(1)当PB是⊙O的切线时,求证:∠PBD=∠DAB;(2)求证:BC2﹣CE2=CE•DE;(3)已知OA=4,E是半径OA的中点,求线段DE的长.9.(2018•盐城)如图,在以线段AB为直径的⊙O上取一点C,连接AC、BC.将△ABC沿AB翻折后得到△ABD.(1)试说明点D在⊙O上;(2)在线段AD的延长线上取一点E,使AB2=AC•AE.求证:BE为⊙O的切线;(3)在(2)的条件下,分别延长线段AE、CB相交于点F,若BC=2,AC=4,求线段EF的长.。

【安徽专版】2018届中考数学基础突破(18)相似三角形》ppt课件(含答案)

【安徽专版】2018届中考数学基础突破(18)相似三角形》ppt课件(含答案)

命题点
3.(2015· 安徽,23,14分)如图1,在四边形ABCD中,点E,F分别是AB,CD 的中点,过点E作AB的垂线,过点F作CD的垂线,两垂线交于点G,连 接AG,BG,CG,DG,且∠AGD=∠BGC.
(1)求证:AD=BC; (2)求证:△AGD∽△EGF; ������������ (3)如图2,若AD,BC所在直线互相垂直,求 ������������ 的值.
第18讲
相似三角形
考点一
考点二
考点三
考点一比例线段及比例的性质 1.定义 在四条线段中,如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比,那 么这四条线段叫作成比例线段,简称比例线段. 2.比例的基本性质
(1)如果 = ,则 ad=bc
������ ������ ������ ������ ������ ������ ������ ������ ������ ������ ������ ������ ������ ������ ������
-1+ 5 2
或������������ ≈ 0.618������������ .
考点一
考点二
考点三
考点二相似三角形(高频) 1.相似三角形的性质及判定

质 判

(1)相似三角形的对应角相等 ,对应边成比例; (2)相似三角形对应的高线、中线、角平分线的比等于相似 比. (3)相似三角形周长的比等于相似比 ,面积比等于相似比的 平方 (1)两角 分别相等的两个三角形相似; (2)两边对应成比例且夹角 相等的两个三角形相似; (3)三边对应成比例 的两个三角形相似; (4)直角边和斜边对应成比例的两个直角三角形相似; (5)顶角相等 的两等腰三角形相似
考点一

4.7 相似三角形的性质-课件

4.7  相似三角形的性质-课件

探究培优·拓展练
∵DE∥BC,∴CAEC=BADB=4-4 m, 1
∴SS△△DABECC=122CCAE··BDHF=4-4m×m4 =-m12+6 4m, 即SS′=-m12+6 4m.
探究培优·拓展练
问题 2:如图②,在四边形 ABCD 中, AB=4,AD∥BC,AD=12BC,E 是 AB 上一点(不与 A,B 重合),EF∥BC,交 CD 于点 F,连接 CE,设 AE=n,四边 形 ABCD 的面积为 S,△EFC 的面积为 S′.请你利用问题 1 的解法或结论,用含字母 n 的代数式表示SS′.
三角形的三边长分别为 5 cm,6 cm 和 9 cm,另一个三角形
的最短边长为 2.5 cm,则它的最长边为( C )
A.3 cm
B.4 cm
C.4.5 cm
D.5 cm
夯实基础·逐点练
2.【中考·兰州】已知△ABC∽△DEF,若△ABC 与△DEF 的
相似比为34,则△ABC 与△DEF 对应中线的比为( A )
对应高的比为( A )
A.3∶2
B.3∶5
C.9∶4
D.4∶9
夯实基础·逐点练
5.【中考·重庆】△ABC 与△DEF 的相似比为 1 4,则△ABC
与△DEF 的周长比为( C )
A.1 2
B.1 3
C.1 4
D.1 16
夯实基础·逐点练
6.【2018·绥化】两个相似三角形的最短边分别为 5 cm 和 3 cm,
点,则△ADE 与△ABC 的面积之比为( C )
A.12
B.13
C.14
D.16
夯实基础·逐点练
9.【2018·巴中】如图,在△ABC 中,点 D,E 分别是边 AC,

2019中考相似三角形专题复习2015-2018安徽中考相似压轴题

2019中考相似三角形专题复习2015-2018安徽中考相似压轴题

希望教育 2019年中考数学一轮复习讲义学生:全慧 第一讲 相似三角形1、比例对于四条线段a ,b ,c ,d ,如果其中两条线段的比(即它们长度的比)与另两条线段的比相等,如(即ab =bc ),我们就说这四条线段是成比例线段,简称比例线段. 1.若, 则;2.以下列长度(同一单位)为长的四条线段中,不成比例的是( )A .2,5,10,25B .4,7,4,7C .2,0.5,0.5,4D .,,,3.若∶3 =∶4 =∶5 , 且, 则; 4.:若, 则5、已知,求代数式的值.2、平行线分线段成比例定理:平行线分线段成比例定理指的是两条直线被一组平行线(不少于3条)所截,截得的对应线段的长度成比例。

推论:平行于三角形一边的直线,截其他两边(或两边延长线)所得的对应线段成比例。

练习1,如下图,EF∥BC ,若AE∶EB=2∶1,EM=1,MF=2,则AM∶AN=____,BN∶NC=_____2、已知:如图,ABCD ,E 为BC 的中点,BF ︰FA =1︰2,EF 与对角线BD 相交于G ,求BG ︰BD 。

3、如图,在ΔABC 中,EF//DC ,DE//BC ,求证: (1)AF ︰FD =AD ︰DB ; (2)AD 2=AF·AB。

3 、相似三角形的判定方法判定0.平行于三角形一边的直线与其他两边或两边延长线相交,所截得的三角形与 判定1. 两个角对应相等的两个三角形__________.a cb d =322=-y y x _____=y x 255225a bc 6=-+c b a ___________,____,===c b a 43===f e d c b a ______=++++f d b e c a 023a b =≠()225224a ba b a b -⋅--判定2. 两边对应成_________且夹角相等的两个三角形相似. 判定3. 三边对应成比例的两个三角形___________. 判定4.斜边和 对应成比例的两个直角三角形相似 常见的相似形式:1. 若DE∥BC(A 型和X 型)则______________.2.子母三角形(1) 射影定理:若CD 为Rt△ABC 斜边上的高(双直角图形) (2)∠ABD=∠c则Rt△ABC∽Rt△ACD∽Rt△CBD 且AC 2=________,CD 2=_______,BC 2=__ ____.(1)练习1、如图,已知∠ADE=∠B ,则△AED ∽__________2、如图,在Rt △ABC 中,∠C=90°,DE ⊥AB 于D ,则△ADE ∽_________3、如图;在∠C=∠B ,则_________ ∽_________,__________ ∽_________4.如图,具备下列哪个条件可以使⊿ACD∽⊿BCA ( )A B C D 5.下列四个三角形,与右图中的三角形相似的是( )6、如果一个直角三角形的两条边长分别是6和8,另一个与它相似的直角三角形边长分别是3、4及x ,那么x 的值( ) A. 只有1个 B. 可以有2个 C. 可以有3个 D. 有无数个4 、相似三角形的性质与应用1. 相似三角形的对应边_________,对应角________.2. 相似三角形的对应边的比叫做________,一般用k 表示.3. 相似三角形的对应边上的_______•线的比等于_______比,周长之比也等于________比,面积比等于_________.练习1、如图,路灯距离地面8米,身高1.6米的小明站在距离灯的底部(点O )20米的A 处,则小明的影子AM 长为 米.E A D CBEA DCBAD CBBC AB CD AC =CD BDAC AB =CB CD AC •=2BD AD CD •=2第3题第2题第1题OAC BACBA BE CDE E DDABCD3、如图,在△ABC 中,M 、N 分别是边AB 、AC 的中点,则△AMN 的面积与 四边形MBCN 的面积比为( ).(A) (B) (C) (D)4、如图,△ABC 中,E 、F 分别是AB 、AC 上的两点,且,若△AEF 的面积为2,则四边形EBCF 的面积为 .5、如图,在边长为9的正三角形ABC 中,BD=3,∠ADE=60°, 则AE 的长为 .6.如图,点M 是△ABC 内一点,过点M 分别作直线平行于△ABC 的各边,所形成的三个小三角形△1、△2、△3(图中阴影部分) 的面积分别是4,9和49.则△ABC 的面积是 .7.如图,在□ABCD 中,E 为CD 上一点,连接AE 、BD ,且AE 、BD 交于点F ,S △DEF :S △ABF =4:25,则DE :EC=( ) A . 2:5 B . 2:3 C . 3:5 D . 3:28、如图,Rt △ABC 中,∠ACB=90°,∠ABC=60°,BC=2cm ,D 为BC 的中点,若动点E 以1cm/s 的速度从A 点出发,沿着A→B→A 的方向运动,设E 点的运动时间为t 秒(0≤t <6),连接DE ,当△BDE 是直角三角形时,t 的值为( ) A . 2 B . 2.5或3.5 C . 3.5或4.5 D . 2或3.5或4.55、相似多边形(1)对应边成比例,对应角相等的两个多边形叫做相似多边形. (2)相似多边形的对应角相等,对应边的比相等.(3)相似多边形对应边的比称为相似比. 相似多边形面积的比等于相似比的平方.练习1.如图,在长为8 cm 、宽为4 cm 的矩形中,截去一个矩形,使得留下的矩形(图中阴影部分)与原矩形相似,则留下矩形的面积是( )A. 2 cm 2B. 4 cm 2C. 8 cm 2D. 16 cm 22.(2011.潍坊)已知矩形ABCD 中,AB=1,在BC 上取一点E ,沿AE 将△ABE 向上折叠,使B 点落在AD 上的F 点,若四边形EFDC 与矩形ABCD 相似,则AD=( ) A .B .C .D .24、将一个长为a ,宽为b 的矩形,(1)分为相同的两个矩形,且与原矩形相似,求a:b(2) 分为相同的三个矩形,且与原矩形相似,求a:b (3) 割掉一个正方形,剩余的矩形与原矩形相似,求a:b12131423215-215+35、如图,AB∥EF∥CD,(1)AB=10,CD=15,AE∶ED=2∶3,求EF的长。

相似三角形综合题(解析版)

相似三角形综合题(解析版)

相似三角形综合题一、解答题1.(2018·上海普陀·中考模拟)如图1,正方形ABCD的边长为4,把三角板的直角顶点放置BC中点E 处,三角板绕点E旋转,三角板的两边分别交边AB、CD于点G、F.(1)求证:△GBE∽△GEF.(2)设AG=x,GF=y,求Y关于X的函数表达式,并写出自变量取值范围.(3)如图2,连接AC交GF于点Q,交EF于点P.当△AGQ与△CEP相似,求线段AG的长.【答案】(1)见解析;(2)y=4﹣x+44x-(0≤x≤3);(3)当△AGQ与△CEP相似,线段AG的长为2或4【解析】【分析】(1)先判断出△BEF'≌△CEF,得出BF'=CF,EF'=EF,进而得出∠BGE=∠EGF,即可得出结论;(2)先判断出△BEG∽△CFE进而得出CF=4 4x -,即可得出结论;(3)分两种情况,①△AGQ∽△CEP时,判断出∠BGE=60°,即可求出BG;②△AGQ∽△CPE时,判断出EG∥AC,进而得出△BEG∽△BCA即可得出BG,即可得出结论.【详解】(1)如图1,延长FE交AB的延长线于F',∵点E是BC的中点,∴BE=CE=2,∵四边形ABCD是正方形,∴AB∥CD,∴∠F'=∠CFE,在△BEF'和△CEF中,,∴△BEF'≌△CEF,∴BF'=CF,EF'=EF,∵∠GEF=90°,∴GF'=GF,∴∠BGE=∠EGF,∵∠GBE=∠GEF=90°,∴△GBE∽△GEF;(2)∵∠FEG=90°,∴∠BEG+∠CEF=90°,∵∠BEG+∠BGE=90°,∴∠BGE=∠CEF,∵∠EBG=∠C=90°,∴△BEG∽△CFE,∴,由(1)知,BE=CE=2,∵AG=x,∴BG=4﹣x,∴,∴CF=44x -,由(1)知,BF'=CF=44x -,由(1)知,GF'=GF=y,∴y=GF'=BG+BF'=4﹣x+4 4x -当CF=4时,即:44x-=4,∴x=3,(0≤x≤3),即:y关于x的函数表达式为y=4﹣x+44x-(0≤x≤3);(3)∵AC是正方形ABCD的对角线,∴∠BAC=∠BCA=45°,∵△AGQ与△CEP相似,∴①△AGQ∽△CEP,∴∠AGQ=∠CEP,由(2)知,∠CEP=∠BGE,∴∠AGQ=∠BGE,由(1)知,∠BGE=∠FGE,∴∠AGQ=∠BGQ=∠FGE,∴∠AGQ+∠BGQ+∠FGE=180°,∴∠BGE=60°,∴∠BEG=30°,在Rt△BEG中,BE=2,∴BG=3,∴AG=AB﹣BG=4,②△AGQ∽△CPE,∴∠AQG=∠CEP,∵∠CEP=∠BGE=∠FGE,∴∠AQG=∠FGE,∴EG∥AC,∴△BEG∽△BCA,∴,∴,∴BG=2,∴AG=AB﹣BG=2,即:当△AGQ与△CEP相似,线段AG的长为2或4【点睛】本题考核知识点:相似三角形综合. 解题关键点:熟记相似三角形的判定和性质.2.(2020·全国初三专题练习)如图(1),已知点G在正方形ABCD的对角线AC上,GE⊥BC,垂足为点E,GF⊥CD,垂足为点F.(1)证明与推断:①求证:四边形CEGF是正方形;②推断:AGBE的值为:(2)探究与证明:将正方形CEGF绕点C顺时针方向旋转α角(0°<α<45°),如图(2)所示,试探究线段AG与BE之间的数量关系,并说明理由:(3)拓展与运用:正方形CEGF在旋转过程中,当B,E,F三点在一条直线上时,如图(3)所示,延长CG交AD于点H.若AG=6,GH=,则BC= .【答案】(1)①四边形CEGF ;(2)线段AG 与BE 之间的数量关系为AG BE ;(3)3【解析】【分析】(1)①由GE BC ⊥、GF CD ⊥结合BCD 90∠=可得四边形CEGF 是矩形,再由ECG 45∠=即可得证;②由正方形性质知CEG B 90∠∠==、ECG 45∠=,据此可得CG CE =、GE //AB ,利用平行线分线段成比例定理可得;(2)连接CG ,只需证ACG ∽△BCE 即可得;(3)证AHG ∽CHA 得AG GH AH AC AH CH==,设BC CD AD a ===,知AC =,由AG GH AC AH =得2AH a 3=、1DH a 3=、CH =,由AG AH AC CH =可得a 的值. 【详解】(1)①∵四边形ABCD 是正方形,∴∠BCD =90°,∠BCA =45°,∵GE ⊥BC 、GF ⊥CD ,∴∠CEG =∠CFG =∠ECF =90°,∴四边形CEGF 是矩形,∠CGE =∠ECG =45°,∴EG =EC ,∴四边形CEGF 是正方形;②由①知四边形CEGF 是正方形,∴∠CEG =∠B =90°,∠ECG =45°,∴CG CE=,GE ∥AB ,∴AG CG BE CE ==;(2)连接CG ,由旋转性质知∠BCE =∠ACG =α,在Rt △CEG 和Rt △CBA 中,CE CG =2、CB CA =2,∴CG CE =CA CB= ∴△ACG ∽△BCE ,∴AG CA BE CB ==∴线段AG 与BE 之间的数量关系为AG BE ;(3)∵∠CEF =45°,点B 、E 、F 三点共线,∴∠BEC =135°,∵△ACG ∽△BCE ,∴∠AGC =∠BEC =135°,∴∠AGH =∠CAH =45°,∵∠CHA =∠AHG ,∴△AHG ∽△CHA , ∴AG GH AH AC AH CH==,设BC =CD =AD =a ,则AC a ,则由AG GHAC AH==,∴AH=23 a,则DH=AD﹣AH=13a,CHa,∴由AG AHAC CH=2a=解得:a=BC=故答案为【点睛】本题考查了正方形的性质与判定,相似三角形的判定与性质等,综合性较强,有一定的难度,正确添加辅助线,熟练掌握正方形的判定与性质、相似三角形的判定与性质是解题的关键.3.(2019·南岸·重庆第二外国语学校初三月考)如图,已知四边形ABCD中,AB//DC,AB=DC,且AB=6cm,BC=8cm,对角线AC =10cm,(1)求证:四边形ABCD是矩形;(2)如图(2),若动点Q从点C出发,在CA边上以每秒5cm的速度向点A匀速运动,同时动点P从点B出发,在BC边上以每秒4cm的速度向点C匀速运动,运动时间为t秒(0≤t<2),连接BQ、AP,若AP⊥BQ,求t的值;(3)如图(3),若点Q在对角线AC上,CQ=4cm,动点P从B点出发,以每秒1cm的速度沿BC运动至点C 止.设点P运动了t秒,请你探索:从运动开始,经过多少时间,以点Q、P、C为顶点的三角形是等腰三角形?请求出所有可能的结果.【答案】(1)见解析;(2)78t=;(3)t=4秒或1.6秒或5.5秒.【解析】【分析】(1)先根据一对对边平行且相等的四边形是平行四边形判定四边形ABCD是平行四边形,再根据勾股定理的逆定理证明∠B=90°,得出四边形ABCD是矩形;(2)先过Q作QM⊥BC于M点,AP与BQ交于点N,判定△ABP∽△BMQ,得出AB BPBM MQ=,即64843tt t=-,求得t的值即可;(3)分为三种情况讨论:当CQ=CP=4cm时,当PQ=CQ=4cm时,当QP=CP时,分别根据等腰三角形的性质,求得BP的长,进而得到t的值.【详解】证明:(1)∵AB∥DC,AB=DC,∴四边形ABCD是平行四边形,∵AB=6cm,BC=8cm,AC=l0cm,∴AB2+BC2=100,AC2=100,∴AB2+BC2=AC2,∴∠B=90°,∴四边形ABCD是矩形;(2)如图,过Q作QM⊥BC于M点,AP与BQ交于点N,则CQ=5t,QM=3t,CM=4t,MB=8-4t,∵∠NAB+∠ABN=90°,∠ABN+∠NBP=90°,∴∠NAB=∠NBP,且∠ABP=∠BMQ=90°,∴△ABP∽△BMQ,∴AB BP BM MQ=,即64 843tt t=-,解得t=78;(3)分为三种情况:①如图1,当CQ=CP=4cm时,BP=8-4=4cm,即t=4秒;②如图2,当PQ=CQ=4cm时,过Q作QM⊥BC于M,则AB∥QM,∴CE CM AC BC=,∴4108CM=,∴CM=3.2(cm),∵PQ=CQ,QM⊥CP,∴PC=2CM=6.4cm,∴BP=8cm-6.4cm=1.6cm,∴t=1.6s;③如图3,当QP=CP时,过P作PN⊥AC于N,则CN=12CQ=2,∠CNP=∠B=90°,∵∠PCN=∠BCA,∴△PCN∽△ACB,∴CN CP CB AC=,∴2810CP =,∴CP=2.5cm,∴BP=8cm-2.5cm=5.5cm,t=5.5s,即从运动开始,经过4秒或1.6秒或5.5秒时,以点Q、P、C为顶点的三角形是等腰三角形,即t=4秒或1.6秒或5.5秒.【点睛】本题以动点问题为背景,主要考查了四边形的综合应用,解决问题时需要运用矩形的判定、勾股定理的逆定理、相似三角形的判定与性质以及等腰三角形的性质等,解决问题的关键是作辅助线构造相似三角形,解题时注意分类思想的运用.4.(2019·浙江杭州·翠苑中学中考模拟)如图,已知△ABC 中,∠ACB =90°,AC =8,cosA =45,D 是AB 边的中点,E 是AC 边上一点,联结DE ,过点D 作DF ⊥DE 交BC 边于点F ,联结EF .(1)如图1,当DE ⊥AC 时,求EF 的长; (2)如图2,当点E 在AC 边上移动时,∠DFE 的正切值是否会发生变化,如果变化请说出变化情况;如果保持不变,请求出∠DFE 的正切值;(3)如图3,联结CD 交EF 于点Q ,当△CQF 是等腰三角形时,请直接写出BF 的长.【答案】(1)5;(2)不变;(3)4111或3或527117. 【解析】 试题分析:(1)由已知条件易求DE =3,DF =4,再由勾股定理EF =5;(2)过点D 作DH AC ⊥,DG BC ⊥,垂足分别为点H 、G ,由(1)可得DH =3,DG =4;再证EDH FDG ∽,即可得出结论;(3)分三种情况讨论即可.(1)∵90ACB ∠=︒,45cosA =∴45AC AB = ∵8AC =∴10AB =∵D 是AB 边的中点 ∴152AD AB == ∵DE AC ⊥∴90DEA DEC ∠=∠=︒ ∴45AE cosA AD == ∴4AE =∴844CE =-=∵在Rt AED 中,222AE DE AD +=∴3DE =∵DF DE ⊥∴90FDE ∠=︒又∵90ACB ∠=︒∴四边形DECF 是矩形∴4DF EC ==∵在Rt EDF 中,222DF DE EF +=∴5EF =(2)不变过点D 作DH AC ⊥,DG BC ⊥,垂足分别为点H 、G由(1)可得3DH =,4DG =∵DH AC ⊥,DG BC ⊥∴90DHC DGC ∠=∠=︒又∵90ACB ∠=︒,∴四边形DHCG 是矩形∴90HDG ∠=︒∵90FDE ∠=︒∴HDG HDF EDF HDF ∠-∠=∠-∠ 即EDH FDG ∠=∠又∵90DHE DGF ∠=∠=︒∴EDH FDG ∽ ∴34DE DH DF DG == ∵90FDE ∠=︒∴34DE tan DFE DF ∠== (3)1° 当QF QC =时,易证90DFE QFC ∠+∠=︒,即90DFC ∠=︒ 又∵90ACB ∠=︒,D 是AB 的中点 ∴152CD BD AB === ∴132BF CF BC === 2° 当FQ FC =时,易证FQC DEQ DCB ∽∽∵在Rt EDF 中,34DE tan DFE DF ∠== ∴设=3DE k ,则4DF k =,5EF k =当FQ FC =时,易证3DE DQ k ==,∴53CQ k =-∵DEQ DCB ∽∴56DE DC EQ BC == ∴185EQ k =∴75FQ FC k == ∵FQC DCB ∽ ∴56FQ DC CQ BC == ∴755536k k =- 解得125117k = ∴71251755117117FC =⨯= ∴1755276117117BF =-= 3° 在BC 边上截取BK =BD =5,由勾股定理得出DK =当CF CQ =时,易证CFQ EDQ BDK ∽∽∴设=3DE k ,则3EQ k =,5EF k = ∴2FQ k =∵EDQ BDK ∽∴DEBDDQ DK ==∴DQ =∴5CQ FC ==∵CQF BDK ∽∴CQBDFQ DK ==∴552k =解得k =∴2511FC = ∴254161111BF =-=。

  1. 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性,平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
  2. 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
  3. 3、如文档侵犯您的权益,请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间:9:00-18:30)。

2018中考数学专题相似形(共40题)1.如图,△ ABC和厶ADE是有公共顶点的等腰直角三角形,/ BACK DAE=90, 点P为射线BD, CE的交点.(1)求证:BD=CEAD 于E, AC于F.(1)如图1,若BD=BA 求证:△ ABE^A DBE;(2)如图2,若BD=4DC取AB的中点G,连接CG交AD于M,求证:①GM=2MC;② A&=AF?AC图1 圉23.如图,在锐角三角形ABC中,点D, E分别在边AC, AB上, AG丄BC于点G, AF丄DE于点F,Z EAFK GAC2.如图,直角△ ABC中,/ BAC=90, D在BC上,连接AD,作BF丄AD分别交(1)求证:△ ADE^A ABC;的4•如图,点E是正方形ABCD的边BC延长线上一点,连结DE,过顶点B作BF 丄DE,垂足为F, BF分别交AC于H,交CD于G.(1)求证:BG=DE(2)若点G为CD的中点,求工的值.GF5. (1)如图1在正方形ABCD中,点E, F分别在BC, CD上, AE±BF于点M , 求证:AE=BF(2)如图2,将 (1 中的正方形ABCD改为矩形ABCD, AB=2 BC=3 AE±BF 于点M,探究AE与BF的数量关系,并证明你的结论.6•如图,四边形ABCD中,AB=AC=AD AC平分/ BAD,点P是AC延长线上点,且PD丄AD.(1)证明:/ BDC=/ PDC(2)若AC与BD相交于点E, AB=1, CE CP=2 3,求AE的长.7. A ABC和△ DEF是两个全等的等腰直角三角形,/ BACK EDF=90, △ DEF的顶点E与厶ABC的斜边BC的中点重合,将△ DEF绕点E旋转,旋转过程中,线段DE与线段AB相交于点P,线段EF与射线CA相交于点Q.(1)如图①,当点Q在线段AC上,且AP=AQ时,求证:△ BPE^A CQE(2)如图②,当点Q在线段CA的延长线上时,求证:△ BP0A CEQ并求当BP=2 CQ=9时BC 的长.图②8. 如图,在矩形ABCD中,E为AB边上一点,EC平分/ DEB F为CE的中点, 连接AF,BF,过点E作EH// BC分别交AF,CD于G,H两点.(1)求证:DE=DC(2)求证:AF丄BF;(3)当AF?GF=28寸,请直接写出CE的长.9. 在Rt A ABC中,/ BAC=90,过点B的直线MN // AC, D为BC边上一点,连接AD,作DE丄AD交MN 于点E,连接AE(1)如图1,当/ ABC=45时,求证:AD=DE(2)如图2,当/ABC=30时,线段AD与DE有何数量关系?并请说明理由.10•如图1,边长为2的正方形ABCD中,E是BA延长线上一点,且AE=AB点P 从点D出发,以每秒1个单位长度沿XC-B向终点B运动,直线EP交AD 于点F,过点F作直线FG丄DE于点G,交AB于点R.(1)求证:AF=AR(2)设点P运动的时间为t,①求当t为何值时,四边形PRBC是矩形?②如图2,连接PB•请直接写出使厶PRB 是等腰三角形时t的值.11 •如图,正方形ABCD的对角线AC, BD相交于点O,延长CB至点F,使CF=CA 连接AF,Z ACF的平分线分别交AF, AB, BD于点E, N, M,连接EO.(1)已知BD=匚,求正方形ABCD的边长;(2)猜想线段EM与CN的数量关系并加以证明.12.将两块全等的三角板如图1摆放,其中/ A1CB=/ ACB=90, / A = / A=30°. (1)将图1中厶A1B1C绕点C顺时针旋转45°得图2,点P1是A1C与AB的交点,点Q是A1B1与BC的交点,求证:CR=CQ(2)在图2中,若AP1=a,贝U CQ等于多少?(3)将图2中厶A1B1C绕点C顺时针旋转到△ A2B2C (如图3),点P2是A2C与APi的交点•当旋转角为多少度时,有△ APQ sA CPR??这时线段CR与P1P2之间存在一个怎样的数量关系?13•把Rt A ABC和Rt^ DEF按如图(1)摆放(点C与E重合),点B、C (E)、F 在同一条直线上.已知:/ ACBN EDF=90, / DEF=45, AC=8cm, BC=6cm EF=10cm 如图(2), △ DEF从图(1)的位置出发,以1cm/s的速度沿CB向厶ABC匀速移动,在△ DEF移动的同时,点P从厶ABC的顶点A出发,以2cm/s的速度沿AB向点B匀速移动;当点P移动到点B时,点P停止移动,△ DEF也随之停止移动.DE与AC交于点Q,连接PQ,设移动时间为t (s).用含t的代数式表示线段AP和AQ的长,并写出t的取值范围;连接PE,设四边形APEQ的面积为y (cm2),试探究y的最大值; 当t为何值时,△ APQ是等腰三角形.(1)(2)图(2)14.AABC, / A、/ B、/ C的对边分别是a、b、c, 一条直线DE与边AC相交DE将△ ABC分成周长相等的两部分,贝U AD+AE等于多少;(用a、b、c表示)(2)如图②,若AC=3 AB=5, BC=4 DE将厶ABC分成周长、面积相等的两部(3)图(1)(1)如图①,若分,求AD;(3)如图③,若DE将△ ABC分成周长、面积相等的两部分,且DE// BC,则a、b、c满足什么关系?15. 已知:如图,四边形ABCD是正方形,/ PAQ=45,将/ PAQ绕着正方形的顶点A旋转,使它与正方形ABCD的两个外角/ EBC和/FDC的平分线分别交于点M 和N,连接MN.(1)求证:△ ABM s^ NDA;(2)连接BD,当/BAM的度数为多少时,四边形BMND为矩形,并加以证明.口F16. 如图,在锐角厶ABC中,D,E分别为AB, BC中点,F为AC上一点,且/ AFE=/ A,DM / EF交AC于点M .(1)点G 在BE上,且/ BDG=/ C,求证:DG?CF=DM?EG(2)在图中,取CE上一点H,使/ CFH=/ B,若BG=1,求EH的长.17. A ABC中,AB=AC 点D、E、F分别在BC AB AC上,/ EDF=/ B.(1)如图1,求证:DE?CD=DF?BE(2)D为BC中点如图2,连接EF.①求证:ED平分/ BEF;18.如图,在厶ABC中,点P是AC边上的一点,过点P作与BC平行的直线PQ, 交AB于点Q,点D在线段BC上,联接AD交线段PQ于点E,且*二二!,点GCD BD在BC延长线上,/ ACG的平分线交直线PQ于点F.(1)求证:PC=PE(2)当P是边AC的中点时,求证:四边形AECF是矩形.19•如图,已知△ ABC中,AC=BC点D、E、F分别是线段AC BC AD的中点, BF、ED的延长线交于点G,连接GC(1) 求证:AB=GD(2) 如图2,当CG=EG寸,求:的值.20•如图,在△ ABC中,D、E分别为AB AC上的点,线段BE CD相交于点O, 且/ DCB"BC=. / A.(1)求证:△ BOR A BAE②若四边形AEDF为菱形,(2)求证:BD=CE(3)若M、N分别是BE、CE的中点,过MN的直线交AB于P,交AC于Q,线段AP、AQ相等吗?为什么?圉1 圉221. 如图,在矩形ABCD和矩形PEFG中, AB=8, BC=6 PE=2 PG=4 PE与AC 交于点M , EF与AC交于点N,动点P从点A出发沿AB以每秒1个单位长的速度向点B匀速运动,伴随点P的运动,矩形PEFG在射线AB上滑动;动点K从点P出发沿折线PE-- EF以每秒1个单位长的速度匀速运动.点P、K同时开始运动,当点K到达点F时停止运动,点P也随之停止.设点P、K运动的时间是t 秒(t > 0).(1)当t=1 时,KE _____ , EN= _____ ;(2)当t为何值时,△ APM的面积与厶MNE的面积相等?(3)当点K到达点N时,求出t的值;(4)当t为何值时,△ PKB是直角三角形?22. 如图(1),在厶ABC中,AD是BC边的中线,过A点作AE// BC与过D点作DE// AB交于点E,连接CE(1)求证:四边形ADCE是平行四边形.(2)连接BE, AC分别与BE、DE交于点F、G,如图(2),若AC=6求FG的B G —P AC D5 E23. 已知:在正方形ABCD 中,点E 、F 分别是CB CD 延长线上的点,且 BE=DF 联结AE 、AF 、DE 、DE 交AB 于点M .(1)如图1,当E 、A 、F 在一直线上时,求证:点 M 为ED 中点;24. 已知,如图1,点D 、E 分别在AB, AC 上,且上=仝. AB AC(1)求证:DE// BC.(2) 已知,如图2,在厶ABC 中,点D 为边AC 上任意一点,连结 BD ,取BD 中 点E ,连结CE 并延长CE 交边AB 于点F ,求证:厂=:.AF AC(3) 在(2)的条件下,若AB=AC ,AF=CD 求耳的值. AF25. 已知△ ABC, AC=BC 点 E, F 在直线 AB 上,/ ECF M A .(1) 如图1,点E , F 在AB 上时,求证:A C^=AF?BE(2) 如图2,点E , F 在AB 及其延长线上,/ A=60°, AB=4, BE=3求BF 的长.长.S Dc 囹(2)D 图1图226. 如图,正方形 ABCD , /(1) 求证:AD 2=BG?DH(2) 求证:CE=:DG;(3) 求证:EF==HG .27.如图,C 为线段BD 上一动点,过B 、D 分别作BD 的垂线,使AB=BC DE=DB 连接AD 、AC BE,过B 作AD 的垂线,垂足为F ,连接CE EF.(1)求证:AC?DF=:BF?BD(2)点C 运动的过程中,/ CFE 的度数保持不变,求出这个度数; CE// BF ?并说明理由.28. 如图,在△ ABC 中,点D 在边AB 上(不与A , B 重合),DE// BC 交AC 于点 巳将厶ADE 沿直线DE 翻折,得到△ A D ,直线DA , EA 分别交直线BC 于点M ,F ,交 BD 于 H 、G. DC备用图N.(1 求证:DB=DM.(2)若二=2, DE=6,求线段MN的长.DB(3)若';=n(n^ 1), DE=a则线段MN的长为(用含n的代数式表示).DB29. 如图,已知四边形ABCD和四边形DEFG为正方形,点E在线段DC上,点A、D、G在同一直线上,且AD=3, DE=1,连接AC、CG AE,并延长AE交OG于点H.(1)求证:/ DAE=Z DCG(2)求线段HE的长.30. 如图,△ ABC中,点E、F分别在边AB, AC上, BF与CE相交于点P,且/ 仁/2」/ A.(1)如图1,若AB=AC 求证:BE=CF(2)若图2,若AB M AC,①(1)中的结论是否成立?请给出你的判断并说明理由;②求证:二-.CE AC31. 如图1,在锐角△ ABC中,D、E分别是AB BC的中点,点F在AC上,且满足/ AFEN A, DM // EF交AC于点M .(1)证明:DM=DA;(2)点G在BE上,且/ BDGd C,如图2,求证:△ DES A ECF(3)在图2中,取CE上一点H,使得/ CFHN B,若BG=5,求EH的长.32. 如图,正方形ABCD中,边长为12, DE±DC交AB于点E, DF平分/ EDC 交BC于点F,连接EF.(1)求证:EF=CF(2)当二」时,求EF的长.B F G C33. 如图,已知在厶ABC中,P为边AB上一点,连接CP, M为CP的中点,连接BM并延长,交AC于点D, N为AP的中点,连接MN .若/ ACP玄ABD.(1)求证:AC?MN=BN?AP(2)若AB=3, AC=2,求AP 的长.34. 如图,已知AC、EC分别为四边形ABCD和EFCG勺对角线,点E在厶ABC 内,/ CAEn Z CBE=90,当四边形ABCD和EFCG匀为正方形时,连接BF.(1) 求证:△ CA0A CBF(2) 若BE=1, AE=2 求CE的长.D C35. 如图①,矩形ABCD中, AB=2, BC=5 BP=1, Z MPN=90,将Z MPN 绕点P 从PB处开始按顺时针方向旋转,PM交边AB (或AD)于点E, PN交边AD (或CD)于点F,当PN旋转至PC处时,Z MPN的旋转随即停止.(1)特殊情形:如图②,发现当PM过点A时,PN也恰巧过点D,此时,△ ABP △PCD(填么”或Q”;(2)类比探究:如图③,在旋转过程中,兰的值是否为定值?若是,请求出该定值;若不是,请说明理由.乂fE)B P C B P C B P C图①图②圉③36. 如图,点M是厶ABC内一点,过点M分别作直线平行于△ ABC的各边,所形成的三个小三角形△ 1>^2>^3 (图中阴影部分)的面积分别是1、4、25.则△ ABC的面积是______ .37. 如图,△ ABC中,/ ACB=90, AC=5, BC=12 CO丄AB于点O, D 是线段OB 上一点,DE=2 ED// AC (Z ADE< 90°),连接BE、CD.设BE、CD的中点分别为P、Q.(1)求AO的长;(2)求PQ的长;(3)设PQ与AB的交点为M,请直接写出|PM- MQ|的值.38. 尤秀同学遇到了这样一个问题:如图1所示,已知AF,BE是厶ABC的中线, 且AF丄BE,垂足为P,设BC=a AC=b, AB=c.求证:a2+b2=5C2该同学仔细分析后,得到如下解题思路:先连接EF,利用EFABC的中位线得到△ EPF^A BPA故二-:,BP PA BA 2 设PF=m PE=n用m, n把PA PB分别表示出来,再在Rt A APE Rt A BPF中利用勾股定理计算,消去m, n即可得证(1)请你根据以上解题思路帮尤秀同学写出证明过程.(2)禾I」用题中的结论,解答下列问题:在边长为3的菱形ABCD中,O为对角线AC, BD的交点,E, F分别为线段AO, DO 的中点,连接BE, CF并延长交于点M , BM, CM分别交AD于点G, H,如图2所示,求MG2+MH2的值.39•如图,在△ ABC 中,点D , E 分别在边AB, AC 上,/ AEDN B ,射线AG 分 别交线段D E BC 于点F , G ,且/(1)求证:△ ADF ^A ACQ⑵若■.,求;的值.长线上的任意一点,PF 交AD 于M , PE 交BC 于N , EF 交MN 于K.E, F 分别是AB, CD 的中点,P 为对角线AC 延参考答案与试题解析(共40题)1. (2017?阿坝州)如图,△ ABC和厶ADE是有公共顶点的等腰直角三角形,/BACK DAE=90,点P为射线BD, CE的交点.(1)求证:BD=CE(2)若AB=2, AD=1,把厶ADE绕点A旋转,当/ EAC=90时,求PB的长;备用图备用图【解答】解:(1厂.上ABC和厶ADE是等腰直角三角形,/ BACK DAE=90,••• AB=AC AD=AE / DAB=Z CAE•••△ADB^A AEC••• BD=CE(2)解:①当点E在AB上时,BE=AB- AE=1.vZ EAC=90,二CE=〔J—=".同(1)可证△ADB^A AEC•••Z DBA=Z ECAvZ PEB=Z AEC,• △ PEB^A AEC•二二_「一・・ 1・ AC CE•2=1飞花-• PB 二5②当点E 在BA 延长线上时,BE=3vZ EAC=90,• CE =〔J —="-同(1)可证△ ADB ^A AEC• Z DBA=Z ECAvZ BEP Z CEA• △ PEB^A AEC PBAC 二.PB. 2 晶.PB :综上所述,PB 的长为孝或上J ・ 5 52・(2017?常德)如图,直角△ ABC 中,Z BAC=90, D 在BC 上,连接AD,作BF 丄AD 分别交AD 于E ,AC 于F.(1)如图 1,若 BD=BA 求证:△ ABE ^A DBE;(2) 如图2,若BD=4DC 取 AB 的中点G,连接CG 交AD 于M ,求证:①GM=2MC ; ② A G^=AF ?AC图1 图2【解答】证明:(1)在Rt A ABE和Rt A DBE中,卩二曲, 1L BE=BE •••△ABE^A DBE(2)①过G作GH// AD交BC于H,••• AG=BG••• BH=DH••• BD=4DC设DC=1, BD=4,••• BH=DH=2••• GH// AD ,•GH _HD_2……_疋_丨,•GM=2MC;②过C作CN丄AC交AD的延长线于N,贝U CN// AG,•△AGM s^ NCM ,•坐壘一从,由①知GM=2MC ,•2NC=AGvZ BACK AEB=90 ,•Z ABF=Z CAN=90 -Z BAE,•△ACN SA BAF,•复_如v AB=2AG•鳗二龙AG • 2CN?AG=AF?C,••• A&=AF?AC3. (2017?杭州)如图,在锐角三角形ABC中,点D, E分别在边AC, AB上,AG 丄BC于点G, AF丄DE于点F,Z EAF=Z GAC(1)求证:△ AD3A ABC;(2)若AD=3, AB=5,求=的值.【解答】解:(1)v AG丄BC, AF丄DE,•/ AFE=/ AGC=90,vZ EAF=/ GAC,•/ AED=/ ACBvZ EAD=/ BAC,•△ADE^A ABC,(2)由(1)可知:△ ADE^A ABC,•辿竺=3…三\Z=由(1)可知:Z AFE=/ AGC=90 ,•Z EAF=/ GAC,•△EAF^A CAQ..- = ?AG AC•厂=_…r4. (2017?眉山)如图,点E是正方形ABCD的边BC延长线上一点,连结DE, 过顶点B作BF丄DE,垂足为F, BF分别交AC于H,交CD于G.(1)求证:BG=DE(2)若点G为CD的中点,求三的值.【解答】解:(1)v BF丄DE,•Z GFD=90,vZ BCG=90,Z BGC=/ DGF,•Z CBG Z CDE 在^ BCG与△ DCE中,r ZCBG=ZCDE•BC=CDZBCG=ZDCEl•△BCG^A DCE( ASA ,•BG=DE(2)设CG=1,v G为CD的中点,•GD=CG=1由(1)可知:△ BCG^A DCE( ASA),•CG=CE=,1•由勾股定理可知:DE=BG= =,••• sin/ CDE二二—,DE GD•••GF丄,5••• AB// CG•△ABH^A CGH•「‘ i l;=.…丁—[厂|,•BH=m 三,GH==y ,,•T _■一5. (2017?可池)(1)如图1,在正方形ABCD中,点E, F分别在BC, CD上,AE丄BF于点M,求证:AE_BF(2)如图2,将(1)中的正方形ABCD改为矩形ABCD AB_2 BC_3 AE±BF 于点M,探究AE与BF的数量关系,并证明你的结论.【解答】(1)证明:•••四边形ABCD是正方形,•/ ABC_/ C, AB_BC••• AE 丄BF,•/ AMB_/ BAM+/ ABM_90 ,v/ ABM+/ CBF_90,•/ BAM_/ CBF.在厶ABE ftA BCF中,f ZBAE=ZCBF“ AB=CB ,L ZABE=ZBCF•••△ABE^A BCF( ASA ,••• AE=BF(2)解:AE= BF,3理由:•••四边形ABCD是矩形,•••/ ABC=/ C,••• AE 丄BF,•••/ AMB=Z BAM+Z ABM=90 ,vZ ABM+Z CBF=90,•••Z BAM=Z CBF,•••△ABE^A BCF•二 _ =、=…冷]-=,• AE= BF.36. (2017?泰安)如图,四边形ABCD中,AB=AC=AD AC平分Z BAD,点P是AC延长线上一点,且PD丄AD.(1)证明:Z BDC=/ PDC(2)若AC与BD相交于点E, AB=1, CE CP=2 3,求AE的长.【解答】(1)证明:v AB=AD, AC平分Z BAD,•AC丄BD,•Z AC&Z BDC=90,••• AC=AD•••/ ACD=/ ADC,•••/ ADC+Z BDC=90,••• PD 丄AD,•••Z ADC+Z PDC=90,•••Z BDC=/ PDQ(2)解:过点C作CM丄PD于点M , vZ BDC=/ PDC•CE=CMvZ CMP=Z ADP=90 , Z P=Z P,•△CPM^A APD,•理_PC设CM=CE=xv CE CP=2 3,•PC= x,2v AB=AD=AC=13•・=;•亍S'7. (2017?天水)△ ABC和△ DEF是两个全等的等腰直角三角形,/ BACKEDF=90,△ DEF的顶点E与厶ABC的斜边BC的中点重合,将厶DEF绕点E旋转,旋转过程中,线段DE与线段AB相交于点P,线段EF与射线CA相交于点Q.(1)如图①,当点Q在线段AC上,且AP=AQ时,求证:△ BPE^A CQE(2)如图②,当点Q在线段CA的延长线上时,求证:△ BP0A CEQ并求当【解答】(1)证明:•••△ ABC是等腰直角三角形,•••/ B=Z C=45 , AB二AC••• AP=AQ••• BP=CQ••• E是BC的中点,••• BE=CE在厶BPE ft^ CQE中,r BE=CEL BP=CQ•••△BPE^A CQE( SAS ;(2)解:•△DEF是两个全等的等腰直角三角形,.•./ B=Z C=Z DEF=45,•/ BEQ=/ EQC+Z C,即/ BEF+Z DEF=Z EQG/C,•••/ BEF+45°=Z EQC+450,.Z BEP Z EQC.△BPE^A CEQ•:二=十…H=-,•BP=2 CQ=9 BE=CE•B呂=18 ,.BE=CE=3匚,•BC=6 ■:.團②8. (2017?绥化)如图,在矩形ABCD中,E为AB边上一点,EC平分Z DEB F 为CE 的中点,连接AF, BF,过点E作EH// BC分别交AF , CD于G , H两点.(1)求证:DE=DC(2)求证:AF丄BF;(3)当AF?GF=28时,请直接写出CE的长.【解答】解:(1)v 四边形ABCD 是矩形,••• AB// CD,•••/ DCE=/ CEB••• EC 平分/ DEB•••/ DEC=/ CEB•••/ DCE=/ DEC••• DE=DC••• DF 丄 EC,•••/ DFC=90 , 在矩形 ABCD 中, AB 二DC / ABC=90 ,•••/ ABFN CEB• Z DCE=/ CEB•••/ ABF=Z DCF ,在厶ABF ft^ DCF 中,ZABF^ZDCF ,L AB 二DC•••△ ABF ^A DCF ( SAS ,•••/ AFBN DFC=90,BCB •••DE 二DC F 为CE 的中点, BF=CF=E••• AF丄BF;理由如下:••• AF丄BF,•••/ BAF+Z ABF=90,••• EH// BC,Z ABC=90,•••Z BEH=90,•••Z FEF+Z CEB=90,vZ ABF=Z CEB•Z BAF=Z FEHvZ EFG Z AFE•△EF3A AFE=,即E F=AF?GFEF AFv AF?GF=28•EF=2 —,•CE=2EF=4_.9. (2017?雨城区校级自主招生)在Rt A ABC中,Z BAC=90 °过点B的直线MN // AC, D为BC边上一点,连接AD,作DEX AD交MN于点E,连接AE.(1)如图1,当Z ABC=45时,求证:AD=DE(2)如图2,当/ABC=30时,线段AD与DE有何数量关系?并请说明理由.图1 图2【解答】(1)证明:如图1,过点D作DF丄BC,交AB于点F, 贝U/ BDEn Z FDE=90,••• DE 丄AD,•••Z FDEn Z ADF=90,•••Z BDE=/ ADF,vZ BAC=90,Z ABC=45,•Z C=45,v MN // AC,•Z EBD=180-Z C=135,vZ BFD=45, DF丄BC,•Z BFD=45, BD=DF•Z AFD=135 ,•Z EBD=/ AFD,在△BDE和△ FDA中r ZEBD=ZAFD“ BD=DF ,ZBDE=ZADFL•△BDE^A FDA (ASA),•AD=DE(2)解:DE= =AD,理由:如图2,过点D作DG丄BC,交AB于点G,贝UZ BDE F Z GDE=90,v DE丄AD,•••/ GDE+Z ADG=90,•••/ BDE=/ ADG,vZ BAC=90,Z ABC=30,:丄 C=60,v MN // AC,•••Z EBD=180-Z C=120,vZ ABC=30, DG丄BC,•Z BGD=60,•Z AGD=120,•Z EBD=/ AGD,•△BD0A GDA•v•「|匚_苛,在Rt A BDG中,l;=tan30°=-,BD 3•DE= =AD.10. (2017?深圳模拟)如图1,边长为2的正方形ABCD中 , E是BA延长线上一点,且AE=AB点P从点D出发,以每秒1个单位长度沿D^C^B向终点B运动,直线EP交AD于点F ,过点F作直线FG丄DE于点G,交AB于点R.(1) 求证:AF=AR(2)设点P运动的时间为t,①求当t为何值时,四边形PRBC是矩形?②如图2,连接PB•请直接写出使厶PRB是等腰三角形时t的值.【解答】(1)证明:如图,在正方形ABCD中,AD=AB=2••• AE=AB••• AD=AE•••/ AED=/ ADE=45,又••• FG丄DE,•••在RtAEGR中,/ GER/ GRE=45,•••在RtAARF中,/ FRANAFR=45,•/ FRA=/ RFA=45,•AF=AR(2)解:①如图,当四边形PRBC是矩形时, 贝U有PR// BC,• AF// PR,•△EAF^A ERP•' :,即:' ::由(1)得AF=ARRP ER 2 2 十AR•.厂:■:解得:叱'1「或川'「(不合题意,舍去),•I「上 -〕- ■,,•••点P从点D出发,以每秒1个单位长度沿D^CF 向终点B运动, • I (秒);②若PR=PB过点P作PK L AB于K,设FA=x 贝U RK= BR= (2 -x),2 2•••△EFA^A EPK•二九.._ 二?PK EK即:= ,2 煜0x)解得:x=±-- 3 (舍去负值);•(秒);2若PB=RB则厶EFA^A EPB•EA AF _]•门 .7 2 dBP= AB二二X 2=3 3 3•CP=BC- BP=2-亠 ,3 3—(秒)•综上所述,当PR=PB寸,t= = I;当PB=RB寸,丫-一秒.图2D P CE A R B11. (2017?江汉区校级模拟)如图,正方形ABCD的对角线AC, BD相交于点0, 延长CB至点F,使CF=CA连接AF, / ACF的平分线分别交AF, AB, BD于点E, N, M,连接E0.(1)已知BD=匚,求正方形ABCD的边长;(2)猜想线段EM与CN的数量关系并加以证明.F B C【解答】解:(1)v四边形ABCD是正方形,•••△ABD是等腰直角三角形,••• 2AB2=BD2,••• BD=匚,••• AB=1,•••正方形ABCD的边长为1;2 CN=2EM证明方法一、理由:•••四边形ABCD是正方形,••• AC丄BD, 0A=0CV CF=CA CE是/ ACF的平分线,••• CELAF, AE=FE••• EO%A AFC的中位线••• EO// BC" 'I•••在Rt A AEN中,OA=OC•EO=OC= AC,2OC 二酗二1_BC•CM=匚EMV CE平分/ ACF,•/ OCM=Z BCN,V Z NBC=/ COM=90 ,•△CBN^A COM,•“丄L•CN= =CM,即CN=2EM.证明方法二、V四边形ABCD是正方形,•Z BAC=45=Z DBC,由(1)知,在Rt A ACE中, EO= AC=CO2•Z OEC Z OCEV CE平分Z ACF,•Z OCE Z ECB Z OEC•EO// BC,•Z EOM=Z DBC=45 ,V Z OEM=Z OCE•△EOM^A CAN,EH E0 X ••• CN=2CM12. (2017?济宁二模)将两块全等的三角板如图1摆放,其中/ A i CB = / ACB=90, / A\=A A=30°.(1)将图1中厶A I B I C绕点C顺时针旋转45°得图2,点P i是A i C与AB的交点,点Q是A1B1与BC的交点,求证:CR=CQ(2)在图2中,若AR=a,贝U CQ等于多少?(3)将图2中厶A1B1C绕点C顺时针旋转到△ A2B2C (如图3),点P2是A2C与APi的交点•当旋转角为多少度时,有△ APQ sA CPP2?这时线段CR与P1P2之间存在一个怎样的数量关系?.【解答】(1)证明:I / BiCB=45, / B1CA=90°, •••/ B1CQ=/ BCP=45°;又B1C=BC / B1=/ B,•••△ B1CQ^^ BCP (ASA)--CQ=CP;(2)解:如图:作RD丄AC于D,v/ A=30°,• P1D= AP1;v/ RCD=45,=sin45CPi二 CRM R D 巫AP i ;又 AP i =a , CQ=CP, ••• CQ=[a ;(3) 解:当/ P i CR=/ P I AC=30时,由于/ CPF 2=/AP i C,则厶 AP i C s^ CPR , 所以将图2中厶A i B i C 绕点C 顺时针旋转30°到厶A 2B 2C 时,有△ AP i C sA CPR .C D Ai3. (20i7?惠阳区模拟)把 Rt A ABC 和Rt A DEF 按如图(i )摆放(点C 与E 重 合),点 B 、C (E )、F 在同一条直线上.已知:/ ACB=/ EDF=90, / DEF=45,AC=8cm BC=6cm EF=i0cm 如图(2), △ DEF 从图(i )的位置出发,以 icm/s 的速度沿CB 向厶ABC 匀速移动,在△ DEF 移动的同时,点P 从厶ABC 的顶点A 出发,以2cm/s 的速度沿AB 向点B 匀速移动;当点P 移动到点B 时,点P 停止 移动,△ DEF 也随之停止移动.DE 与AC 交于点Q ,连接PQ,设移动时间为t (s ).(1) 用含t 的代数式表示线段AP 和AQ 的长,并写出t 的取值范围;(2) 连接PE,设四边形APEQ 的面积为y (cm 2),试探究y 的最大值;(3) 当t 为何值时,△ APQ 是等腰三角形.CCE)图⑴ B E C 图⑵2(3) 若 AP=AQ 则有 2t=8 - t 解得:丫-一 (s )■丿 若AP=PQ 如图①:过点 P 作PH 丄AC,贝U AH=QH 二 ,PH// BC 2• △ APH^A ABC,AP 二枇AH^AC 2t 二 108-t 8 ,解得:-•丿(s ) 若AQ=PQ 如图②:过点 Q 作QI 丄AB,则AI=PI= AP=t二vZ AIQ=Z ACB=90Z A=Z A ,【解答】(1)解:AP=2tvZ EDF=90, / DEF=45, •••/CQE=45=Z DEF,••• CQ=CE=t••• AQ=8- t ,t 的取值范围是:O W t <5;(2)过点 P 作 PG 丄x 轴于 G ,可求得 AB=1O, SinB= , PB=1O- 2t , 5EB=6-t , • PG =PBSinB =(10 - 2t )--y=SABC - S\PBE _ S\QCE=^ ” : ; 一 _ J 一 丨 I 厂 [r =•当广(在0W t W 5内),y 有最大值,1313『44、 10^5存页仕巧) y 最大值=' (cm 2) 2 968 65 D o EH DQB EC — 图①D FE C ” 图②•••△ AQ SA ABC…■■- 即—AQ~AB 3-t "IO5解得:丫-二(s)9综上所述,当I或'「或土时,△ APQ是等腰三角形.T3 21 914. (2017?庐阳区一模)△ ABC, / A、/ B、/ C的对边分别是a b、c, 一条直线DE与边AC相交于点D,与边AB相交于点E.(1)如图①,若DE将△ ABC分成周长相等的两部分,贝U AD+AE等于多少;(用a、b、c表示)(2)如图②,若AC=3 AB=5, BC=4 DE将厶ABC分成周长、面积相等的两部分,求AD;(3)如图③,若DE将△ ABC分成周长、面积相等的两部分,且DE// BC,则a、b、c满足什么关系?【解答】解:(1)v DE将厶ABC分成周长相等的两部分,.AD+AE=CBBGBE= (AB+AGBC)」(a+b+c);(2)设AD=x, AE=6- x,••• S ADE= AD?AE?si nA=3即:1 x (6-x) ? =3,解得:X1=T (舍去),X2=匚••• AD= ;2 ,(3)v DE// BC,•••△ADE^A ABC,•匸..~二 J —1?AC AB-,S AABC 2••• AD= b , AE= c ,2 2_b+ 二c=〔 (a+b+c),2 P 2\'亠115. (2017?嘉兴模拟)已知:如图,四边形ABCD是正方形,/ PAQ=45 °将/PAQ绕着正方形的顶点A旋转,使它与正方形ABCD的两个外角/ EBC和/FDC 的平分线分别交于点M和N ,连接MN .(1)求证:△ ABM s^ NDA;(2)连接BD ,当/BAM的度数为多少时,四边形BMND为矩形,并加以证明.口F【解答】(1)证明:v四边形ABCD是正方形,•••/ ABC2 ADCN BAD=90 ,v BM、DN分别是正方形的两个外角平分线,•••/ ABM=Z ADN=135 ,vZ MAN=4° ,•••/ BAM=Z AND=45 -Z DAN,•••△ABM s^ NDA;(2)解:当Z BAM=22.5时,四边形BMND为矩形;理由如下:vZ BAM=22.5,Z EBM=45,•••Z AMB=22.5 ,•••Z BAM=Z AMB,•AB=BM,同理AD=DN,v AB=AD • BM=DN,v四边形ABCD是正方形•Z ABD=Z ADB=45,•Z BDN=Z DBM=9°•Z BDN+Z DBM=18° ,•BM// DN•四边形BMND为平行四边形,vZ BDN=90 ,•四边形BMND为矩形.16. (2017?肥城市三模)如图,在锐角厶ABC中,D, E分别为AB, BC中点,F 为AC上一点,且Z AFE=/ A, DM // EF交AC于点M .(1)点G 在BE上,且Z BDG=/ C,求证:DG?CF=DM?EG(2)在图中,取CE上一点H ,使Z CFH=/ B,若BG=1,求EH的长.A/【解答】(1)证明:如图1所示,••• D, E分别为AB, BC中点,••• DE// ACv DM // EF,•••四边形DEFM是平行四边形,••• DM=EF如图2所示,v D、E分别是AB BC的中点,••• DE/ AC,•••/ BDE=/ A,Z DEG=/ C,vZ AFE=/ A,•••/ BDE=/ AFE,•••Z BDGb Z GDE=/ C+Z FEC v/ BDG=Z C,•Z GDE=/ FEC•△DEa A ECFDG EGIF亍DG EGDM '_CF ,DG DMEG ~CF,•DG?CF=DM?EG(2)解:如图3所示,vZ BDG=Z C=Z DEB Z B=Z B,•△BDG^^ BED,•二 TFTi•BD2=BG?BEvZ AFE=/ A, Z CFH=/ B ,•Z C=180 -Z A-Z B=180°-Z AFE-Z CFH=/ EFH 又vZ FEH=/ CEF •••△ EFH^A ECF•叮」:••• E^=EH?EC•••DE// AC, DM // EF,•••四边形DEFM是平行四边形,••• EF=DM=DA=BD••• BG?BE=EH?EC• BE=EC••• EH=BG=1图117. (2017?肥城市模拟)△ ABC中,AB=AC 点D、E、F分别在BC AB、AC上, / EDF玄B.(1)如图1,求证:DE?CD=DF?BE(2)D为BC中点如图2,连接EF.①求证:ED平分/ BEF;②若四边形AEDF为菱形,【解答】(1)证明::△ ABC中,AB=AC•••/ B=Z C.vZ B+Z BDE F Z DEB=180,/ BDE^Z EDF+Z FDC=180,Z EDF=/ B, •••/ FDC=/ DEB•••△ BDE^^ CFD,iJ:DF CD即DE?CD=DF?B;(2)解:①由(1)证得△ BD0A CFD,•“ 丨叭v D为BC中点,•BD=CD.十二皿.爪厂疋,vZ B=Z EDF,•△BDP A DFE•Z BED=/ DEF,•ED平分Z BEF;②v四边形AEDF为菱形,•Z AEF=/ DEF,vZ BED=/ DEF,•Z AEF=60 ,v AE=AF:丄 BAC=60,vZ BAC=60,•••△ ABC 是等边三角形,•••Z B=60°,•••△ BED 是等边三角形,• BE=DEv AE=DE• AE= AB ,2…「■='18. (2017?长宁区二模)如图,在△ ABC 中,点P 是AC 边上的一点,过点P 作 与BC 平行的直线PQ,交AB 于点Q ,点D 在线段BC 上,联接AD 交线段PQ 于 点E ,且—,点G 在BC 延长线上,Z ACG 的平分线交直线PQ 于点F.CD BD(1) 求证:PC=PE(2) 当P 是边AC 的中点时,求证:四边形 AECF 是矩形.【解答】(1)证明:vPQ// BC, △ AQE^A ABD,A AEF ^A ADC,QE . PE .CBD 1 , CD _AD ,PE.CD 苛,?P.=. CD 〕川, CP . -匹CD CD••• PC=PE(2)v PF// DG,•••/ PFC玄FCGv CF平分/ PCG•••/ PCF玄FCG•••/ PFC玄FCG••• PF=PC••• PF=PEv P是边AC的中点,••• AP=CP•••四边形AECF是平行四边形,v PQ// CD,•••/ PEC2 DCE•••/ PCE2 DCE•••/ PCE■/PCF= (/ PCD F Z PCG =90。

相关文档
最新文档