2020-2021学年高中新教材人教A版数学必修第二册 6.4 平面向量的应用 教案 (1)

【新教材】6.4.1 平面几何中的向量方法

教学设计（人教A 版）

向量概念有明确的几何背景：有向线段，可以说向量概念是从几何背景中抽象而来的，正因为如此，运用向量可以解决一些几何问题，例如利用向量解决平面内两条直线平行、垂直位置关系的判定等问题。

课程目标

1.通过应用举例，让学生会用平面向量知识解决几何问题的两种方法-----向量法和坐 标法；

2.通过本节的学习，让学生体验向量在解决几何和物理问题中的工具作用，增强学生的 积极主动的探究意识，培养创新精神.

数学学科素养

1.逻辑推理：从直观入手，从具体开始，逐步抽象，得出结论；

2.数学运算：坐标运算证明几何问题；

3.数据分析：根据已知信息选取合适方法证明或求解；

4.数学建模：数形结合，将几何问题转化为代数问题解决，体现了事物之间是可以相互转化的.

重点：体会向量在解决平面几何问题中的作用；

难点：如何将几何问题化归为向量问题.

教学方法：以学生为主体，小组为单位，采用诱思探究式教学，精讲多练。

教学工具：多媒体。

一、 情景导入

提问：（1）若O 为重心,则++= .

ABC OA OB OC 0

（2）水渠横断面是四边形,=,且|=|,则这个四边形 为等腰梯形.类比几何元素之间的关系,你会想到向量运算之间都有什么关系?

要求：让学生自由发言，教师不做判断。而是引导学生进一步观察.研探.

二、预习课本，引入新课

阅读课本38-39页，思考并完成以下问题

1、利用向量可以解决哪些常见的几何问题？

要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题。

三、新知探究

1.向量在几何中的应用

(1)平面几何图形的许多性质，如平移、全等、相似、长度、夹角等都可以由 向量的线性运算及数量积 表示出来．

(2)用向量解决平面几何问题的“三部曲”

①建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面 几何问题转化成向量问题 ；

②通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题；

③把运算结果“翻译”成几何关系．

四、典例分析、举一反三

题型 向量在几何中的应用

例1 证明：平行四边形两条对角线的平方和等于四条边的平方和．

已知：平行四边形ABCD ．

求证：．

【答案】见解析．

【解析】证明：不妨设a ，b ，则 a +b ，a -b ，|a |2，|b |2．

得 ( a +b )·( a +b )

ABCD DC 12AB |AD |

BC 222222

AC BD AB BC CD DA +=+++AB =AD =AC =DB =2||AB =2||AD =2||AC AC AC =⋅=

= a ·a+ a ·b +b ·a+b ·b = |a |2+2a ·b +|b |2． ①

同理 |a |2-2a ·b +|b |2． ②

①+②得 2(|a |2+|b |2)=2()．

所以，平行四边形两条对角线的平方和等于四条边的平方和．

例2 如图所示，在正方形ABCD 中，E ，F 分别是AB ，BC 的中点，求证：AF ⊥DE .

【答案】见解析．

【解析】证明 法一：设AD ―→

＝a ，AB ―→＝b ， 则|a |＝|b |，a·b ＝0，

又DE ―→＝DA ―→＋AE ―→＝－a ＋12

b ， AF ―→＝AB ―→＋BF ―→＝b ＋12

a ， 所以AF ―→·DE ―→＝⎝⎛⎭⎫

b ＋12a ·⎝⎛⎭⎫－a ＋12b ＝－12a 2－34a ·b ＋12b 2＝－12|a |2＋12

|b |2＝0. 故AF ―→⊥DE ―→

，即AF ⊥DE .

法二：如图，建立平面直角坐标系，设正方形的边长为2，则A (0,0)，D (0,2)，E (1,0)，F (2,1)，AF ―→＝(2,1)，DE ―→

＝(1，－2)．

因为AF ―→·DE ―→

＝(2,1)·(1，－2)＝2－2＝0，

2||DB =2||AC +2||DB =2||AB +2||

AD

所以AF ―→⊥DE ―→

，即AF ⊥DE .

解题技巧（用向量解决平面解析几何的步骤）

(1)向量的线性运算法的四个步骤

①选取基底；②用基底表示相关向量；③利用向量的线性运算或数量积找相应关系；④把几何问题向量化．

(2)向量的坐标运算法的四个步骤

①建立适当的平面直角坐标系；②把相关向量坐标化；③用向量的坐标运算找相应关系；④把几何问题向量化．

跟踪训练

1．如图，点O 是平行四边形ABCD 的中心，E ，F 分别在边CD ，AB 上，且CE ED ＝AF FB ＝12

.

求证：点E ，O ，F 在同一直线上．

【答案】见解析．

【解析】证明：设AB ―→＝m ，AD ―→

＝n ，

由CE ED ＝AF FB ＝12

，知E ，F 分别是CD ，AB 的三等分点， ∴FO ―→＝F A ―→＋AO ―→＝13BA ―→＋12

AC ―→ ＝－13m ＋12(m ＋n )＝16m ＋12

n ， OE ―→＝OC ―→＋CE ―→＝12AC ―→＋13CD ―→

＝12(m ＋n )－13m ＝16m ＋12

n . ∴FO ―→＝OE ―→

.

又O 为FO ―→和OE ―→

的公共点，故点E ，O ，F 在同一直线上．

2、在直角梯形ABCD 中，AB ∥CD ，∠CDA ＝∠DAB ＝90°，CD ＝DA ＝12

AB ，求证：AC ⊥BC .