2020-2021学年高中新教材人教A版数学必修第二册 6.4 平面向量的应用教案 (1)

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6.4.3第1课时余弦定理-【新教材】人教A版高中数学必修第二册课件(1)

2020-2021学年高中新教材人教A版数学必修第二册 6.4 平面向量的应用课件 (2)

5 2
，
yB＝| AB |·sin（π-∠OAB）＝
3 2
，
∴
OC＝Biblioteka OB+BC
＝
5 2
训练题［2019·河南南阳一中高一检测］如图所示，在平面直角坐标系中，|OA | ＝2| AB |＝2，∠OAB＝ 2 ， BC ＝（-1， 3 ）.
3
（1）求点B，C的坐标；（2）求证：四边形OABC为等腰梯形.
（1）解：连接OB，设B（xB，yB），
则xB＝|OA
|+|
AB
|·cos（π-∠OAB）＝
训练题
1.如图所示，在正方形ABCD中，P为对角线AC上任一点，PE⊥AB，
PF⊥BC，垂足分别为E，F，连接DP，EF，求证：DP⊥EF.
证明：（方法一）设正方形 ABCD的边长为 1，AE＝a（0<a<1），则EP＝AE＝a，PF＝EB＝1-a，AP＝ 2 a， ∴ DP · EF ＝（ DA + AP ）·（ EP +PF ）＝ DA · EP + DA · PF + AP ·EP + AP · PF ＝1×a×cos 180°+1×（1-a）×cos 90°+ 2 a×a× cos 45°+ 2 a×（1-a）×cos 45°＝-a+a2+a（1-a）＝0. ∴ DP ⊥ EF ，即DP⊥EF.
常考题型
一向量在平面几何中的应用 1.平面几何中的垂直问题
例1 如图，若点D是△ABC内一点，并且满足AB2+CD2＝AC2+BD2，求证： AD⊥BC.
【证明】不妨设 AB ＝c， AC ＝b，AD ＝m，则 BD ＝ AD - AB ＝m-c，CD ＝ AD - AC ＝m-b. 因为AB2+CD2＝AC2+BD2，所以c2+（m-b）2＝b2+（m-c）2，即c2+m2-2m·b+b2＝b2+m2-2m·c+c2，所以2m·（c-b）＝0，即2AD ·（ AB - AC ）＝0，所以 AD ·CB ＝0，所以AD⊥BC.

2020-2021学年高中新教材人教A版数学必修第二册 6.4 平面向量的应用课件 (1)

c
c
a b c sin A sin B
sinC 1
abc sin A sin B sin C
思考：对于一般三角形，上述结论是否成立？
【问题探究】
1 ABC为锐角三角形时，等式 a b c 是否成立？
sin A sin B sinC C
a
b
B
A
c
2 ABC为钝角三角形时，等式 a b c 是否成立？
【知识拓展】 1.正弦定理的外接圆证法：
B'
B
2.正弦定理： a b c 2R的变形式： sin A sin B sin C
C'
(1)a : b : c sin A : sin B : sinC
c
.O
a
A b C
(2)a 2Rsin A,b 2Rsin B,c 2RsinC;
(3)sin A a ,sin B b ,sin C c ;
2R
2R
2R
(4)在△ABC中，a b sin A sin B
2.正弦定理： a b c 2R的变形式： sin A sin B sin C
(1)a : b : c sin A : sin B : sinC
(2)a 2Rsin A,b 2Rsin B,c 2RsinC;
(3)sin A
（有一解，两解，无解）
2
b 2R
2
c 2R
2
-
b 2R
c 2R
a2 b2 c2 -bc
评注：“边角互化”，是正余弦定理运用的必备意识。
课时小结
一个
定理
——正弦定理
a sinA
=
b sinB
=

新教材人教A版高中数学必修第二册第六章平面向量及其应用教学课件

1.向量的定义： 2. 想一想：实数能进行加减乘除运算，位移、力可以合成，向量能进行运算吗？
一起来探究吧！
1. 如图，某质点从点A经过点B到点C，这个质点的位移如何表示？
C
A B
求两个向量和的运算，叫做向量的加法.这种求向量和的方法，称为向量加法的三角形法则.
B
C
F
O
A
B O
C A
O
O B
A B
A C
O
A
B
O
B
A
O
A
B
数的加法满足交换律、结合律，向量的加法是否也满足交换律和结合律呢？
D A
C B
D
A
C
B
综上所述，向量的加法满足交换律和结合律.
例2 长江两岸之间没有大桥的地方，常常通过轮渡进行运输.如图，一艘船从长江南岸A地出发，垂直于对岸航行，航行速度的大小为15 km/h，同时江水的速度为向东6 km/h.
问题2 在物理课中，如果一个物体在力F的作用下产生位移s，如何计算力F所做的功？
问题3 能否把“功”看成是两个向量相乘的结果呢？
观察力做功的计算公式，发现公式中涉及力与位移的夹角，所以先来定义向量的夹角概念.
规定：零向量与任一向量的数量积为0.
向量线性运算的结果是一个向量，而两个向量的数量积是一个数量，这个数量的大小与两个向量的长度及其夹角有关.
2.如图，EF是△ABC的中位线，AD是BC边上的中线，在以A、B、 C、D、E、F为端点的有向线段表示的向量中请分别写出：
7
5
2
1.向量的定义； 2.有向线段的三要素及向量的几何表示； 3.向量的模、零向量、单位向量的定义及表示； 4.平行向量、相等向量、共线向量.

平面几何中的向量方法向量在物理中的应用举例【新教材】人教A版高中数学必修第二册优秀课件

第平6面章几何6.中4 的6向.4量.1方法平向面量几在何物中理的中向的量应方用法举例6.4【.2新教向材量】在人物教理A中版的高应中用数举学例必-修【第新二教册材优】秀人教pptA版课（件2019 ）高中数学必修第二册课件
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第平6面章几何6.中4 的6向.4量.1方法平向面量几在何物中理的中向的量应方用法举例6.4【.2新教向材量】在人物教理A中版的高应中用数举学例必-修【第新二教册材优】秀人教pptA版课（件2019 ）高中数学必修第二册课件
6
·
情
课
境
2．向量在物理中的应用
堂
导
小
学
结
探
(1)物理问题中常见的向量有力、速度、加速度、位移等．
·
提
新
素
知
(2)向量的加减法运算体现在力、速度、加速度、位移的合成与养
合作
分解．
课
探
时
究
(3)动量 mv 是向量的数乘运算．
分层
释
作
疑难
(4)功是力 F 与所产生的位移 s 的数量积．
业
第平6面章几何6.中4 的6向.4量.1方法平向面量几在何物中理的中向的量应方用法举例6.4【.2新教向材量】在人物教理A中版的高应中用数举学例必-修【第新二教册材优】秀人教pptA版课（件2019 ）高中数学必修第二册课件
知
素养
作
课
探
时
究
分
层
释
作
疑
业
难
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·
4
·
情
课
境导
在生活中，你是否有这样的经验：

新教材人教版高中数学必修第二册知识点梳理

高中数学必修2 第六章平面向量设为所在平面上一点，角所对边长分别为，则（1）为的外心. （2）为的重心.（3）为的垂心. （4）为的内心.【6.1】平面向量的概念1、向量的定义及表示（向量无特定的位置，因此向量可以作任意的平移）（1）定义：既有大小又有方向的量叫做向量.（2）表示：①有向线段：带有方向的线段，它包含三个要素：起点、方向、长度； ②向量的表示：2、向量的有关概念：相等向量是平行（共线）向量，但平行（共线）向量不一定是相等向量向量名称定义零向量长度为0的向量，记作0 单位向量长度等于1个单位长度的向量平行向量（共线向量）方向相同或相反的非零向量，向量a ，b 平行，记作a ∥b ，规定：零向量与任一向量平行相等向量长度相等且方向相同的向量；向量a ，b 相等，记作a ＝b【6.2】平面向量的运算1、向量的加法（1）定义：求两个向量和的运算. （2）运算法则：向量求和的法则图示几何意义三角形法则使用三角形法则时要注意“首尾相接”的条件，而向量加法的平行四边法则应用的前提是共起点已知非零向量a ，b ，在平面内任取一点A ，作AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝a ，BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝b ，则向量AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 叫做a 与b 的和，记作a ＋b ，即a ＋b ＝AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ＋BC⃗⃗⃗⃗⃗ ＝AC⃗⃗⃗⃗⃗ 平行四边形法则以同一点O 为起点的两个已知向量a ，b ，以OA ，OB 为邻边作▱OACB ，则以O 为起点的向量OC ⃗⃗⃗⃗⃗ （OC 是▱OACB 的对角线）就是向量a 与b 的和（3）规定：对于零向量与任意向量a ，规定a ＋0＝0＋a ＝a .（4）位移的合成可以看作向量加法三角形法则的物理模型；力的合成可以看作向量加法平行四边形ABC ∆,,A B C ,,a b c O ABC ∆222OA OB OC ⇔==O ABC ∆0OA OB OC ⇔++=O ABC ∆OA OB OB OC OC OA ⇔⋅=⋅=⋅O ABC ∆0aOA bOB cOC ⇔++=法则的物理模型.（5）一般地我们有|a ＋b |≤|a |＋|b |，当且仅当a ，b 方向相同时等号成立. （6）向量加法的运算律与实数加法的运算律相同 2、向量的减法（1）相反向量（利用相反向量的定义，－AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝BA ⃗⃗⃗⃗⃗ 就可以把减法转化为加法）定义：我们规定，与向量a 长度相等，方向相反的向量，叫做a 的相反向量性质：①对于相反向量有：a ＋（－a ）＝0；②若a ，b 互为相反向量，则a ＝－b ，a ＋b ＝0；③零向量的相反向量仍是零向量（2）向量减法运算（向量的减法是向量加法的一种逆运算）定义：求两个向量差的运算叫做向量的减法.a －b ＝a ＋（－b ），减去一个向量就等于加上这个向量的相反向量.几何意义：a －b 表示为从向量b 的终点指向向量a 的终点的向量.3、向量的数乘运算（实数与向量可以进行数乘运算，但不能进行加减运算）（1）定义：规定实数λ与向量a 的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作：λa ，它的长度和方向规定如下：①|λa |＝|λ||a |；②当λ>0时，λa 的方向与a 的方向相同；当λ<0时，λa 的方向与a 的方向相反. ③由①可知，当λ＝0时，λa ＝0；由①②知，（－1）a ＝－a .（2）运算律：设λ，μ为任意实数，则有：①λ（μa ）＝（λμ）a ；②（λ＋μ）a ＝λa ＋μa ；③λ（a ＋b ）＝λa ＋λb ；特别地，有（－λ）a ＝－（λa ）＝λ（－a ）；λ（a －b ）＝λa －λb .（3）向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算，向量的线性运算结果仍是向量.对于任意向量a ，b ，以及任意实数λ，μ1，μ2，恒有λ（μ1 a ±μ2b ）＝λμ1 a ±λμ2 b .（4）共线向量定理：向量a （a ≠0）与b 共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ，使b ＝λa .也就是说，位于同一直线上的向量可以由位于这条直线上的一个非零向量表示. 4、向量的数量积（1）向量的夹角：两向量的夹角与两直线的夹角的范围不同，向量夹角范围是[0，π]，而两直线夹角的范围为[0，π2]（2）向量的夹角的定义：已知两个非零向量a ，b ，O 是平面上的任意一点，作向量OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝a ，OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝b ，则∠a O b ＝θ（0≤θ≤π）叫做向量a 与b 的夹角. 当θ＝0时，a 与b 同向；当θ＝π时，a 与b 反向. 如果a 与b 的夹角是π2，我们说a 与b 垂直，记作a ⊥b .（3）向量的数量积及其几何意义：向量的数量积是一个实数，不是向量，它的值可正可负可为0 （4）向量的数量积的定义：已知两个非零向量a 与b ，它们的夹角为θ，我们把数量|a ||b |cosθ叫做向量a 与b 的数量积（或内积），记作a ·b ，即a ·b ＝|a ||b |cosθ.规定：零向量与任一向量的数量积为0.（5）投影：如图，设a ，b 是两个非零向量，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝a ，CD ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝b ，我们考虑如下变换：过AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 的起点a 和终点b ，分别作CD ⃗⃗⃗⃗⃗ 所在直线的垂线，垂足分别为A 1，B 1得到A 1B 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，我们称上述变换为向量a 向向量b 投影，A 1B 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 叫做向量a 在向量b 上的投影向量.（6）向量数量积的性质设a ，b 是非零向量，它们的夹角是θ，e 是与b 方向相同的单位向量，则①a ·e ＝e ·a ＝|a |cosθ②a ⊥b ⇔a ·b ＝0③当a 与b 同向时，a ·b ＝|a ||b |；当a 与b 反向时，a ·b ＝－|a ||b |，特别地，a ·a ＝|a |2或|a |＝√a ·a .在求解向量的模时一般转化为模的平方，但不要忘记开方④|a ·b |≤|a |·|b |.（7）运算律：①a ·b ＝b ·a ；②（a ＋b ）·c ＝a ·c ＋b ·c （8）运算性质：类比多项式的乘法公式【6.3】平面向量基本定理及坐标表示1、平面向量基本定理（定理中要特别注意向量e 1与向量e 2是两个不共线的向量）条件：e 1，e 2是同一平面内的两个不共线向量结论：对于这一平面内的任意向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2，使a ＝λ1 e 1＋λ2 e 2 基底：不共线的向量e 1，e 2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底 2、平面向量的坐标表示（1）基底：在平面直角坐标系中，设与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量分别为i ，j ，取{i ，j }作为基底.（2）坐标：对于平面内的一个向量a ，由平面向量基本定理可知，有且仅有一对实数x ，y ，使得a ＝x i ＋y j ，则有序数对（x ，y ）叫做向量a 的坐标. （3）坐标表示：a ＝（x ，y ）.（4）特殊向量的坐标：i ＝（1，0），j ＝（0，1），0＝（0，0）. （5）平面向量的加减法坐标运算（可类比实数的加减运算法则进行记忆）设向量a ＝（x 1，y 1），b ＝（x 2，y 2），λ∈R ，则有下表：设向量a ＝（x ，y ），则有λa ＝（λx ，λy ），这就是说实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标.（7）平面向量共线的坐标表示：设a ＝（x 1，y 1），b ＝（x 2，y 2），其中b ≠0.向量a ，b （b≠0）共线的充要条件是x 1 y 2－x 2 y 1＝0.（8）中点坐标公式：若P 1，P 2的坐标分别是（x 1，y 1），（x 2，y 2），线段P 1P 2的中点P 的坐标为（x ，y ），则x =x 1+x 22y =y 1+y 22.此公式为线段P 1 P 2的中点坐标公式.（9）两向量的数量积与两向量垂直的坐标表示已知两个非零向量，向量a ＝（x 1，y 1），b ＝（x 2，y 2），a 与b 的夹角为θ. 数量积：两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和，即：a ·b ＝x 1 x 2＋y 1 y 2 向量垂直：a ⊥b ⇔x 1 x 2＋y 1 y 2＝0（10）与向量的模、夹角相关的三个重要公式 ①向量的模：设a ＝（x ，y ），则|a |＝√x 2+y 2.②两点间的距离公式：若A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |＝√（x 1－x 2）2＋（y 1－y 2）2.③向量的夹角公式：设两非零向量a ＝（x 1，y 1），b ＝（x 2，y 2），a 与b 的夹角为θ，则θ=a ·b |a||b|=x 1x 2+y 1y 2√x 12＋y 12√x 22＋y 22【6.4】平面向量的应用1、平面几何中的向量方法用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”（1）建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；（2）通过向量运算，研究几何元素之间的关系；（3）把运算结果“翻译”成几何关系. 2、向量在物理中的应用举例（1）向量与力：向量是既有大小，又有方向的量，它们可以有共同的起点，也可以没有共同的起点.而力是既有大小和方向，又有作用点的量.用向量知识解决力的问题时，往往把向量平移到同一作用点上.（2）向量与速度、加速度、位移：速度、加速度、位移的合成与分解，实质上就是向量的加、减运算.用向量解决速度、加速度、位移等问题，用的知识主要是向量的线性运算，有时也借助于坐标来运算.（3）向量与功、动量：力所做的功是力在物体前进方向上的分力与物体位移的乘积，它的实质是力和位移两个向量的数量积，即W ＝F ·s ＝|F ||s |cosθ（θ为F 和s 的夹角）.动量m ν实际上是数乘向量. 3、余弦定理、正弦定理（1）余弦定理的表示及其推论（SAS 、SSS 、SSA ）文字语言：三角形中任何一边的平方，等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍.符号语言：；；.在△ABC 中，有2222cos a b c bc =+-A ，推论：222cos 2b c a bc+-A =（2）解三角形：一般地，三角形的三个角A ，B ，C 和它们的对边a ，b ，c 叫做三角形的元素.已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形. （3）正弦定理的表示（AAS 、SSA ）文字语言：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，该比值为该三角形外接圆的直径. 符号语言：在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，则2sin sin sin a b cR C===A B （R 为△ABC 的外接圆的半径）（4）正弦定理的变形形式变形形式是在三角形中实现边角互化的重要公式设三角形的三边长分别为a ，b ，c ，外接圆半径为R ，正弦定理有如下变形： ①2sin a R =A ，2sin b R =B ，2sin c R C =；②sin 2a R A =，sin 2bR B =，sin 2c C R=；③::sin :sin :sin a b c C =A B ；（5）三角形面积公式：111sin sin sin 222C S bc ab C ac ∆AB =A ==B ．（6）相关术语①仰角和俯角：与目标视线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方时叫仰角，目标视线在水平视线下方时叫俯2222cos a b c bc A =+-2222cos b c a ca B =+-2222cos c a b ab C =+-角，如图所示.②方位角指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为α（如图1所示）.③方位角的其他表示——方向角正南方向：指从原点O出发的经过目标的射线与正南的方向线重合，即目标在正南的方向线上.依此可类推正北方向、正东方向和正西方向.东南方向：指经过目标的射线是正东和正南的夹角平分线（如图2所示）.（7）解三角形应用题解题思路：基本步骤：运用正弦定理、余弦定理解决实际问题的基本步骤如下：①分析：理解题意，弄清已知与未知，画出示意图（一个或几个三角形）；②建模：根据已知条件与求解目标，把已知量与待求量尽可能地集中在有关三角形中，建立一个解三角形的数学模型.③求解：利用正弦定理、余弦定理解三角形，求得数学模型的解.④检验：检验所求的解是否符合实际问题，从而得出实际问题的解.第七章复数【7.1】复数的概念1、数系的扩充和复数的概念（1）复数的定义：形如a ＋bi （a ，b ∈R ）的数叫做复数，其中i 叫做虚数单位，全体复数所构成的集合C ＝{a ＋bi |a ，b ∈R }叫做复数集.（2）复数通常用字母z 表示，代数形式为z ＝a ＋bi （a ，b ∈R ），其中a 与b 分别叫做复数z 的实部与虚部.（3）复数相等：在复数集C ＝{a ＋bi |a ，b ∈R }中任取两个数a ＋bi ，c ＋di （a ，b ，c ，d ∈R ），我们规定：a ＋bi 与c ＋di 相等当且仅当a ＝c 且b ＝d . （4）复数的分类①对于复数a ＋bi （a ，b ∈R ），当且仅当b ＝0时，它是实数；当且仅当a ＝b ＝0时，它是实数0；当b ≠0时，叫做虚数；当a ＝0且b ≠0时，叫做纯虚数.这样，复数z ＝a ＋bi （a ，b ∈R ）可以分类如下：复数{实数（b ＝0）虚数（b ≠0）（当a ＝0时为纯虚数），②集合表示：2、复数的几何意义（1）复平面（复平面中点的横坐标表示复数的实部，点的纵坐标表示复数的虚部）（2）复数的几何意义①复数z ＝a ＋bi （a ，b ∈R ）一一对应↔ 复平面内的点z （a ，b ）. ②复数z ＝a ＋bi （a ，b ∈R ）一一对应↔ 平面向量OZ⃗⃗⃗⃗⃗ . （3）复平面上的两点间的距离公式：（，）.（4）复数的模①定义：向量OZ⃗⃗⃗⃗⃗ 的模叫做复数z ＝a ＋bi （a ，b ∈R ）的模或绝对值. 12||d z z =-=111z x y i =+222z x y i =+②记法：复数z ＝a ＋bi 的模记为|z |或|a ＋bi |. ③公式：|z |＝|a ＋bi |＝√a 2+b 2（a ，b ∈R ）.如果b ＝0，那么z ＝a ＋bi 是一个实数，它的模就等于|a |（a 的绝对值）.（5）共轭复数：一般地，当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数，虚部不等于0的两个共轭复数也叫做共轭虚数.复数z 的共轭复数用z̅表示，即如果z ＝a ＋bi ，那么z̅＝a －bi .（6）两个实数可以比较大小，但两个复数如果不全是实数就不能比较大小。

人教A版高中数学必修第二册平面向量的应用

同理，在单杠上做引体向上运动，两臂的夹角越小越省力。
思考：1当为何值时，F1 最小？最小值是多少？
G
当 0时，F1 最小。F1 2 为最小值。
2 F1 能等于 G 吗？为什么？
F1 能等于G。若要使F1
G，只需cos
2
1 ,此时
2
2
1 ，即
2
2
3
知识探究（二）：向量在物理中的应用举例
例4、如图6.4 6，一条河两岸平行，河的宽度d 500m，一艘船从河岸边的A地出发，向河对岸航行。已知船的
人教必修二第六章
6.4平面向量的应用
旧知导入思考：你还记得平面向量学习了哪些知识吗？ 1、平面向量的定义；
2、平面向量的加、减、数乘三种线性运算；
3、平面向量的数量积运算；
4、平面向量基本定理；
5、平面向量的坐标表示及坐标运算；
平面向量在解决数学和实际问题中有举足轻重的作用,那么,接下来我们将借助向量的运算探索三角形边长与角度的关系,把解直角三角形问题拓展到解任意三角形问题。
2
这里，G 为定值。
知识探究（二）：向量在物理中的应用举例
通过这个式子发现，当由0逐渐变大到时，由0逐渐变大到，
2
2
c
os
2
的值由大逐渐变小，此时
F1
由小逐渐变大
反之，当由逐渐变小到 0时，由逐渐变小到 0，cos 的值由小逐渐变大，
22
2
此时 F1由大逐渐变小。这就是说，F1, F2之间的夹角越大越费力，夹角越小越省力。
所以AD 1 AB, AE 1 AC
从而DE
2 AE AD
1
2 AC
1

人教A版高中数学必修第二册第6章余弦定理

余弦定理
推论
cos A＝b2＋2cb2c－a2， cos B＝a2＋2ca2c－b2， cos C＝a2＋2ba2b－c2
[微训练] 1．在△ABC 中，下列等式符合余弦定理的是( ) A．c2＝a2＋b2－2abcos C B．c2＝a2－b2－2bccos A C．b2＝a2－c2－2bccos A D．cos C＝a2＋2ba2b＋c2 A 解析：由余弦定理及其推论知只有 A 正确．故选 A．
谢谢观看 THANK YOU!
【类题通法】判断三角形的形状应围绕三角形的边角关系进行思考，可用余弦定理将已知条件转化为边边关系，通过因式分解、配方等方式得出边的具体关系，从而判断三角形的形状．
1．在△ABC 中，sin2A2＝c－2cb，则△ABC 的形状为(
)
A．正三角形
B．直角三角形
C．等腰直角三角形
D．等腰三角形
代入已知条件得 a·b2＋2cb2c－a2＋b·c2＋2ac2a－b2＋c·c2－2aa2b－b2＝0，通分得 a2(b2＋c2－a2)＋b2(a2＋c2－b2)＋c2(c2－a2－b2)＝0，展开整理得(a2－b2)2＝c4．∴a2－b2＝±c2，
即 a2＝b2＋c2 或 b2＝a2＋c2．根据勾股定理知△ABC 是直角三角形．
A．
2 4
B．－
2 4
C．34
D．－34
B 解析：由题意得，b2＝ac＝2a2，即 b＝ 2a， ∴cos C＝a2＋2ba2b－c2＝a2＋2a2×a2－2a4a2＝－ 42．
【例 2】在△ABC 中，a＝7，b＝4 3，c＝ 13，则△ABC 的最
小角为( )
A．π3
B．π6
C．π4

2020-2021学年高中新教材人教A版数学必修第二册 6.2 平面向量的运算课件 (3)

【解析】当 a，b 方向相同时有|a|＋|b|＝|a＋b|，||a|－|b||＝|a－b|，当 a，b 方向相反时有||a|－|b||＝|a＋b|，|a|＋|b|＝|a－b|.因此①②④为真命题．
5．化简(A→B－C→D)－(A→C－B→D)．【解】法一：(A→B－C→D)－(A→C－B→D) ＝A→B－C→D－A→C＋B→D＝A→B＋D→C＋C→A＋B→D ＝(A→B＋B→D)＋(D→C＋C→A)＝A→D＋D→A＝0.
bb
b
A b
b
作法:(1)在平面内任取一点A；
a B
(2)以点A为起点以向量a、b为邻边作平行四边形
Байду номын сангаас
ABCD.即AD＝BC＝a,AB=DC=b ；
（3）则以点A为起点的对角线AC＝a+b. 注意起点相同.共线向量不适用
回顾：（1）你还能回想起实数的相反数是怎样定义的吗？
实数a 的相反数记作 a。
思考：（2）两个实数的减法运算可以看成加法运算吗？
D
C
你能用 a, b表示AC, DB 吗？ b
A
aB
解：由向量加法的平行四边形法则，我们知道
AC a b
同样，由向量的减法，知
DB a b
达标检测
1．在△ABC 中，若B→A＝a，B→C＝b，则C→A等于( D )
A．a
B．a＋b
C．b－a
D．a－b
【解析】 C→A＝B→A－B→C＝a－b.故选 D．
如设x, y R , x y x (y)
如何定义向量的减法运算呢？
一、相反向量：
设向量 a ，我们把与 a 长度相同，方向相反
的向量叫做 a 的相反向量记。作：a

人教A版高中数学必修第二册第6章正弦定理

(5)在△ABC 中，若 A＞B，则必有 sin A＞sin B．
()
√ 提示：A＞B⇔a＞b⇔sin A＞sin B．
(6)在△ABC
中， sin
a＋b－c A＋sin B－sin
C＝sina
A．(
)
√ 提示：设sina A＝sinb B＝sinc C＝2R，则 a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C，可知结论正确．
正弦定理的综合应用
已知△ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c．请根据正弦定理探究下列问题．
探究 1：若 3a＝2bsin A，则 B 的大小是多少？提示：由正弦定理，得 3sin A＝2sin Bsin A．因为 sin A≠0，所以 sin B＝ 23，则 B＝π3或23π．探究 2：若 2bcos B＝acos C＋ccos A，则 B 的大小是多少？提示：由正弦定理得 2sin Bcos B＝sin Acos C＋sin C·cos A＝sin(A ＋C)＝sin B．因为 sin B≠0，所以 cos B＝12，所以 B＝π3．
【例 1】在△ABC 中，已知 b＝40，c＝20，C＝60°，则此三角形的解的情况是( )
A．有一解 B．有两解 C．无解 D．有解但解的个数不确定
C 解析：由正弦定理sinb B＝sinc C，
得
sin
B＝bsicn
C＝40×20
3 2＝
3>1．
所以角 B 不存在，即满足条件的三角形不存在．
解析：因为 sin B＝12，且 B∈(0，π)，所以 B＝π6或 B＝56π．又 C＝π6，所以 B＝π6，A＝π－B－C＝23π．
又 a＝ 3，由正弦定理得sina A＝sinb B，则 32π＝ b π，

人教A版高中数学必修第二册-第六章 -6-4-1平面几何中的向量方法

高中数学必修第二册 RJ·A
方法二如图所示，建立平面直角坐标系，设正方形的边长为2，则 A(0，0)，D(0,2)，E(1,0)，F(2,1)，
则A→F＝(2,1)，D→E＝(1，－2).
，因为A→F·D→E＝(2,1)·(1，－2) ＝2－2＝0
所以A→F⊥D→E，即 AF⊥DE.
高中数学必修第二册 RJ·A
跟踪训练
一物体在力F1＝(3，－4)，F2＝(2，－5)，F3＝(3,1)的共同作用下从点A(1,1)移动到点B(0,5).在这个过程中三个力的合力所做的功为_－__4_0____.
解析 ∵F1＝(3，－4)，F2＝(2，－5)，F3＝(3,1)， ∴合力F＝F1＋F2＋F3＝(8，－8).
又∵A→B＝(－1,4)， ∴F·A→B＝8×(－1)＋(－8)×4＝－40，
即52m－12－ 23× 23＝0，解得 m＝45，
高中数学必修第二册 RJ·A
二利用平面向量求几何中的长度问题
例2 在平行四边形ABCD中，AD＝1，AB＝2，对角线BD＝2，求对角线AC的长.
→
→
→
→
解设AD＝a，AB＝b，则BD＝a－b，AC＝a＋b， →
而|BD|＝|a－b|＝ a2－2a·b＋b2＝ 1＋4－2a·b ＝ 5－2a·b＝2，
高中数学必修第二册 RJ·A
知识点二向量在物理中的应用
(1)物理问题中常见的向量有力、速度、加速度、位移等. (2)向量的加减法运算体现在力、速度、加速度、位移的合成与分解 . (3)动量mv是向量的数乘运算. (4)功是力F 与所产生的位移s的数量积.
高中数学必修第二册 RJ·A
高中数学必修第二册 RJ·A

高中数学6-4平面向量的应用6-4-3余弦定理正弦定理第3课时余弦定理正弦定理应用举例课件新人教A版

所以DC2＋BC2＝BD2，则∠C＝90°，
所以D在C的北偏西30°方向，且D，C相距a km.
故选BC．
课堂检测•固双基
1．如图，为了测量障碍物两侧A、B之间的距离，给定下列四组数据，测量时应该用的数据为( C )
A．α，a，b B．α，β，a C．a，b，γ D．α，β，b [解析] 由余弦定理，得|AB|＝ a2＋b2－2abcos C.故选 C．
∠ ACB ＝ (
3
)2
＋
6＋ 2
2
2
－

75°＝5.∴AB＝
5(km)．
故 A、B 之间的距离为 5 km.
[归纳提升] 测量距离的基本类型及方案
A，B两点间不可通 A，B两点间可视，
类型
A，B两点都不可达
或不可视
但有一点不可达
图形
测得CD＝a，∠BCD，
∠ BDC ， ∠ ACD ，
在△ABC
中，由正弦定理得 sin
B∠CCAB＝sinA1B20°，
所以 sin
∠CAB＝BCsiAnB120°＝1100×
3
2 3
＝12，
所以∠CAB＝30°，所以护航舰航行的方位角为 75°.
[归纳提升] 解决角度问题时的方法： 1．测量角度问题的关键是在弄清题意的基础上，画出表示实际问题的图形，并在图形中标出有关的角和距离，再用正弦定理或余弦定理解三角形，最后将解得的结果转化为实际问题的解． 2．在解三角形问题中，求某些角的度数时，最好用余弦定理求角．因为余弦函数在(0,π)上是单调递减的，而正弦函数在(0,π)上不是单调函数，一个正弦值可以对应两个角．但角在0，π2上时，用正、余弦定理皆可．
知识点 2 相关术语 (1)仰角和俯角与目标视线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标

新教材人教A版高中数学必修第二册第六章平面向量及其应用精品教学课件(共471页)

1.如图，在▱ABCD 中，点 E，F 分别是 AB，CD 的
中点，图中与A→E平行的向量的个数为( )
A．1
B．2
C．3
D．4
解析：选 C.图中与A→E平行的向量为B→E，F→D，F→C共 3 个．
2．下列结论中正确的是( )
①若 a∥b 且|a|＝|b|，则 a＝b；
②若 a＝b，则 a∥b 且|a|＝|b|；
(6) 两个向量平行时，表示向量的有向线段所在的直线一定平
行．( × ) (7)零向量是最小的向量．( × )
已知向量 a 如图所示，下列说法不正确的是( )
A．也可以用M→N表示 C．起点是 M 答案：D
B．方向是由 M 指向 N D．终点是 M
已知点 O 固定，且|O→A|＝2，则 A 点构成的图形是( )
【解析】 A→B＝D→C，A，B，C，D 四点可能在同一条直线上，故 ①不正确；在▱ABCD 中，|A→B|＝|D→C|，A→B与D→C平行且方向相同，故A→B＝D→C，故②正确；a＝b，则|a|＝|b|，且 a 与 b 的方向相同；b ＝c，则|b|＝|c|，且 b 与 c 的方向相同，则 a 与 c 长度相等且方向相同，故 a＝c，故③正确．【答案】 ②③
6.4.1 余弦定理
6.4.2 正弦定理
6.4.3 余弦定理、正弦定理应用举例
6.4.4 三角形中的几何计算章末复习
6.1 平面向量的概念
1．向量的概念及表示
(1)概念：既有__大__小__又有_方__向___的量．
(2)有向线段 ①定义：具有方向的线段．
②三个要素：__起__点__、_方___向__、_长__度___．

正弦定理【新教材】人教A版高中数学必修第二册课件

c=
sin 2sin15 ° 6- 2
=
=
.
sin
sin45 °
2
综上可知:A=60°,C=75°,c=
A=120°,C=15°,c=
6- 2
.
2
6+ 2
或
2
探索点三判断三角形的形状
【例 3】在△ABC 中,若 sin A=2sin Bcos C,且
sin2A=sin2B+sin2C,试判断△ABC 的形状.
sin
=

解析:由正弦定理,可知 sin B=
因为 b<a,所以 B<A,所以
π π π
3 6 2
π
B= .
6
3 π
3sin 3 1
3
π
6
2
所以 C=π-A-B=π- - = .
3.同类练在△ABCπ中,A,B,C
所对的边分别为 a,b,c.已知
2π
π
A= ,a=1,b= 3,则 B= 3 或 3 .
解:由正弦定理及已知条件,有
3
2
故 sin A= .
因为 a>b,所以 A>B.所以 A=60°或 120°.
当 A=60°时,C=180°-45°-60°=75°,
c=
sin 2sin75 ° 6+ 2
=
=
.
sin
sin45 °
2
当 A=120°时,C=180°-45°-120°=15°,
sin sin
由正弦定理
2+ 6
sin 8×sin75 ° 8× 4
c=
=
=
2

高中数学第六章平面向量及其应用6.4平面向量的应用6.4.3第课时正弦定理课时作业含解析第二册

课时作业13 正弦定理时间：45分钟——基础巩固类——一、选择题1．(多选)在△ABC中，给出下列4个命题，其中正确的命题是（ABD）A．若A〈B，则sin A<sin BB．若sin A〈sin B，则A<BC．若A〉B，则错误!〉错误!D．A<B,则cos2A>cos2B解析：A。

若A<B，则a<b,2R sin A<2R sin B,所以sin A<sin B,故该选项正确；B.若sin A〈sin B，∴a2R〈错误!,∴a<b，则A<B，故该选项正确；C。

若A〉B,设A＝错误!，B＝错误!，∴错误!<0，错误!>0，故该选项错误．D.A<B，则sin A〈sin B,sin2A〈sin2B，∴－sin2A〉－sin2B，∴1－sin2A>1－sin2B，所以cos2A>cos2B，故该选项正确．故选ABD.2．已知△ABC外接圆的半径R＝5,内角A,B，C的对边分别为a，b，c，则错误!＝(C)A．2.5 B．5C．10 D．不确定解析：根据正弦定理错误!＝错误!＝错误!＝2R,得错误!＝10.3．在△ABC中，∠A＝60°,a＝4错误!，b＝4错误!,则∠B等于（C）A．45°或135°B．135°C．45°D．以上答案都不对解析：∵sin B＝错误!＝错误!＝错误!，∴∠B＝45°或135°。

但当∠B＝135°时，不符合题意，所以∠B＝45°，故选C。

4．若三角形三个内角之比为123，则这个三角形三边之比是(B）A．12 3 B．132C．2错误! 1 D。

错误!12解析：设三角形内角∠A、∠B、∠C分别为x，2x,3x，则x＋2x＋3x＝180°，∴x＝30°，由正弦定理错误!＝错误!＝错误!，可知a b c＝sin A sin B sin C,∴a b c＝sin30°sin60°sin90°＝错误!错误!1＝1错误!2。

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【新教材】6.4.1 平面几何中的向量方法
教学设计（人教A 版）
向量概念有明确的几何背景：有向线段，可以说向量概念是从几何背景中抽象而来的，正因为如此，运用向量可以解决一些几何问题，例如利用向量解决平面内两条直线平行、垂直位置关系的判定等问题。

课程目标
1.通过应用举例，让学生会用平面向量知识解决几何问题的两种方法-----向量法和坐标法；
2.通过本节的学习，让学生体验向量在解决几何和物理问题中的工具作用，增强学生的积极主动的探究意识，培养创新精神.
数学学科素养
1.逻辑推理：从直观入手，从具体开始，逐步抽象，得出结论；
2.数学运算：坐标运算证明几何问题；
3.数据分析：根据已知信息选取合适方法证明或求解；
4.数学建模：数形结合，将几何问题转化为代数问题解决，体现了事物之间是可以相互转化的.
重点：体会向量在解决平面几何问题中的作用；
难点：如何将几何问题化归为向量问题.
教学方法：以学生为主体，小组为单位，采用诱思探究式教学，精讲多练。

教学工具：多媒体。

一、情景导入
提问：（1）若O 为重心,则++= .
ABC OA OB OC 0
（2）水渠横断面是四边形,=,且|=|,则这个四边形为等腰梯形.类比几何元素之间的关系,你会想到向量运算之间都有什么关系?
要求：让学生自由发言，教师不做判断。

而是引导学生进一步观察.研探.
二、预习课本，引入新课
阅读课本38-39页，思考并完成以下问题
1、利用向量可以解决哪些常见的几何问题？
要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题。

三、新知探究
1.向量在几何中的应用
(1)平面几何图形的许多性质，如平移、全等、相似、长度、夹角等都可以由向量的线性运算及数量积表示出来．
(2)用向量解决平面几何问题的“三部曲”
①建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化成向量问题；
②通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题；
③把运算结果“翻译”成几何关系．
四、典例分析、举一反三
题型向量在几何中的应用
例1 证明：平行四边形两条对角线的平方和等于四条边的平方和．
已知：平行四边形ABCD ．
求证：．
【答案】见解析．
【解析】证明：不妨设a ，b ，则 a +b ，a -b ，|a |2，|b |2．
得 ( a +b )·( a +b )
ABCD DC 12AB |AD |
BC 222222
AC BD AB BC CD DA +=+++AB =AD =AC =DB =2||AB =2||AD =2||AC AC AC =⋅=
= a ·a+ a ·b +b ·a+b ·b = |a |2+2a ·b +|b |2． ①
同理 |a |2-2a ·b +|b |2． ②
①+②得 2(|a |2+|b |2)=2()．
所以，平行四边形两条对角线的平方和等于四条边的平方和．
例2 如图所示，在正方形ABCD 中，E ，F 分别是AB ，BC 的中点，求证：AF ⊥DE .
【答案】见解析．
【解析】证明法一：设AD ―→
＝a ，AB ―→＝b ，则|a |＝|b |，a·b ＝0，
又DE ―→＝DA ―→＋AE ―→＝－a ＋12
b ， AF ―→＝AB ―→＋BF ―→＝b ＋12
a ，所以AF ―→·DE ―→＝⎝⎛⎭⎫
b ＋12a ·⎝⎛⎭⎫－a ＋12b ＝－12a 2－34a ·b ＋12b 2＝－12|a |2＋12
|b |2＝0. 故AF ―→⊥DE ―→
，即AF ⊥DE .
法二：如图，建立平面直角坐标系，设正方形的边长为2，则A (0,0)，D (0,2)，E (1,0)，F (2,1)，AF ―→＝(2,1)，DE ―→
＝(1，－2)．
因为AF ―→·DE ―→
＝(2,1)·(1，－2)＝2－2＝0，
2||DB =2||AC +2||DB =2||AB +2||
AD
所以AF ―→⊥DE ―→
，即AF ⊥DE .
解题技巧（用向量解决平面解析几何的步骤）
(1)向量的线性运算法的四个步骤
①选取基底；②用基底表示相关向量；③利用向量的线性运算或数量积找相应关系；④把几何问题向量化．
(2)向量的坐标运算法的四个步骤
①建立适当的平面直角坐标系；②把相关向量坐标化；③用向量的坐标运算找相应关系；④把几何问题向量化．
跟踪训练
1．如图，点O 是平行四边形ABCD 的中心，E ，F 分别在边CD ，AB 上，且CE ED ＝AF FB ＝12
.
求证：点E ，O ，F 在同一直线上．
【答案】见解析．
【解析】证明：设AB ―→＝m ，AD ―→
＝n ，
由CE ED ＝AF FB ＝12
，知E ，F 分别是CD ，AB 的三等分点， ∴FO ―→＝F A ―→＋AO ―→＝13BA ―→＋12
AC ―→ ＝－13m ＋12(m ＋n )＝16m ＋12
n ， OE ―→＝OC ―→＋CE ―→＝12AC ―→＋13CD ―→
＝12(m ＋n )－13m ＝16m ＋12
n . ∴FO ―→＝OE ―→
.
又O 为FO ―→和OE ―→
的公共点，故点E ，O ，F 在同一直线上．
2、在直角梯形ABCD 中，AB ∥CD ，∠CDA ＝∠DAB ＝90°，CD ＝DA ＝12
AB ，求证：AC ⊥BC .
【答案】见解析．
【解析】证法一：∵∠CDA ＝∠DAB ＝90°，AB ∥CD ，CD ＝DA ＝12
AB ，故可设AD →＝e 1，DC →＝e 2，|e 1|＝|e 2|，则AB →
＝2e 2.
∴AC →＝AD →＋DC →
＝e 1＋e 2，
BC →＝AC →－AB →
＝(e 1＋e 2)－2e 2＝e 1－e 2.
而AC →·BC →
＝(e 1＋e 2)·(e 1－e 2)＝e 21－e 22＝|e 1|2－|e 2|2＝0，∴AC →⊥BC →，即AC ⊥BC .
证法二：如图，建立直角坐标系，
设CD ＝1，则A (0,0)，B (2,0)，C (1,1)，D (0,1)．
∴BC →＝(－1,1)，AC →
＝(1,1)．
∴BC →·AC →
＝(－1,1)·(1,1)
＝－1＋1＝0.
∴AC ⊥BC .
五、课堂小结
让学生总结本节课所学主要知识及解题技巧
六、板书设计
七、作业
课本39页练习，52页习题6.4的1-3题.
本小节主要是例题教学，要让学生体会思路的形成过程，体会数学思想方法的应用。

教学中，教师创设问题情境，引导学生发现解题方法，展示思路的形成过程，总结解题规律。

指导学生搞好解题后的反思，从而提高学生综合应用知识分析和解决问题的能力.。

2020-2021学年高中新教材人教A版数学必修第二册 6.4 平面向量的应用 教案 (1)

6.4.3第1课时余弦定理-【新教材】人教A版高中数学必修第二册课件(1)

2020-2021学年高中新教材人教A版数学必修第二册 6.4 平面向量的应用 课件 (2)

2020-2021学年高中新教材人教A版数学必修第二册 6.4 平面向量的应用 课件 (1)

新教材人教A版高中数学必修第二册 第六章 平面向量及其应用 教学课件