对数与对数函数—讲义

2.7 对数与对数函数

一．【教学目标】

1．理解对数的概念，掌握对数的运算性质；

2．掌握对数函数的概念、图象和性质；能利用对数函数的性质解题．

二．【教学重点】

运用对数运算性质进行求值、化简、证明、运用对数函数的定义域、单调性解题

三．【命题规律】

主要考察指数式b a N =与对数式log a N b =的互化，对数函数的图像和性质或由对数函数

复合成的函数，主要涉及比较大小、奇偶性、过定点、单调区间以及运用单调性求最值等，主要以填空为主。

四．【知识回顾】

1.对数的概念

如果 ,那么数b 叫做以a 为底N 的对数，记作 ，其中a 叫做

对数的 ，N 叫做对数的 。

即指数式与对数式的互化：log b a a N b N =⇔=

2.常用对数：通常将以10为底的对数10log N 叫做常用对数，记作lg N 。

自然对数：通常将以无理数 2.71828e =⋅⋅⋅为底的对数叫做自然对数，记作ln N 。

3.对数的性质及对数恒等式、换底公式

（1）对数恒等式：①log N a a = (01,0)a a N >≠>且②log N a a = (01,0)a a N >≠>且

（2）换底公式：log a N =log log b b N a

（3）对数的性质：①负数和零没有对数 ② 1的对数是零，即log 10a =

③底的对数等于1，即log 1a a = ④log log log a b c b c d ⋅⋅=log a d

4.对数的运算性质

如果01,0,0a a M N >≠>>且，那么

（1）log ()a MN = ； （2）log a

M N = ； （3）log n a M = ； （4）log n a m M = 。

（5）log log a b b a ⋅= ； （6）log a b =

1log b a 5.对数函数

函数log (01)a y x a a =>≠且做对数函数，其定义域为(0，+∞)，值域为(-∞，+∞).、

6.对数函数图像与性质

注：对数函数1log log (01)a a

y x y x a a ==>≠与且的图像关于x 轴对称。

7.同真数的对数值大小关系如图

在第一象限内，图像从左到右相应的底逐渐增大，

即01c d a b <<<<<

8.对数式、对数函数的理解

① 应重视指数式与对数式的互化关系，它体现了数学的转化思想，也往往是解决“指数、对数”

问题的关键。

② 在理解对数函数的概念时，应抓住定义的“形式”，像2log 2,log 2,3ln x y y x y x ===等函

数均不符合形式log (01)a y x a a =>≠且，因此，它们都不是对数函数

③ 画对数函数log a y x =的图像，应抓住三个关键点1

(,1),(1.0),(,1)a a

- 【例题精讲】

考点一：对数式的运算

例1.计算

（1）(22lg5+

（2）()(21lg5lg8lg1000lg lg lg 0.066

++++

【反思归纳】运用对数的运算法则时，要注意各字母的取值范围，只有所得结果中的对数和所给出的数的对数都存在时才成立，同时不要将积商幂的对数与对数的积商幂混淆起来。

【举一反三】

1.求值：

（1）2221log log 12log 4212

-- （2）()2lg 2lg 2lg50lg 25+⋅+

（3）()()3948log 2log 2log 3log 3+⋅+

考点二：对数值的大小比较

比较大小常用的方法有：①做差比较法 ②做商比较法 ③函数单调性法 ④中间值法，

在比较两个幂的大小时，除上述一般方法外，还应注意以下情况：

1) 对于底数相同，真数不同的两个对数的大小比较，直接利用对数函数的单调性来判断。

2) 对于底数不同，真数相同的两个对数的大小比较，可利用对数函数的图像来判断。

3) 对于底数和真数均不同的两个对数的大小比较，可以利用中间值来比较

4) 对于三个及以上的数进行大小比较，则应先根据值的大小，（特别是0和1）进行分组，再比

较各组的大小。

5) 对于含有参数的两个对数进行大小比较时，要注意对底数进行讨论。

例2.比较大小

（1）22log 3.4log 8.5与 （2）23log 3log 3与

（3）76log 6log 7与 （4）()()21log 1log 2

a a

b b b R -+∈与

【举一反三】

2.（08年北京卷改编）若0.5222,log 3,log sin

5

a b c ππ===，则,,a b c 的大小关系是 。

考点三：与对数函数有关的定义域问题

求与对数函数有关的复合函数的定义域的方法与前面所讲到的求定义域解法一样，但应注意真数大于0且不等于1，若遇到底数含有参数，则应对参数进行讨论。

例3. 求下列函数的定义域

（1）()

2lg 23y x x =+- （2）y =

考点四：与对数函数有关的值域问题

（1） 型如(log )a y f x =：采用换元法，令log a t x =，根据定义域先求log a t x =值域，再求

()y f t =的值域。

（2） 型如log ()a y f x =：由真数()0f x >求出定义域，再求出()y f x =的值域，再根据a 的

值确定复合函数的值域.

例4.求下列函数的值域

（1）()()[]21log 31log 1,0,12

a y x x x =++

+∈ （2）log ()a x y a a =-

考点五：定义域或值域为R 的问题

（1） 若[]log ()a y x ϕ=的定义域为R,则对任意实数x ，恒有()0x ϕ>。

特别地，当2()(0)x ax bx c a ϕ=++≠时，要使定义域为R ，则必须00a >∆<且

（2） 若[]log ()a y x ϕ=的值域为R ，则()x ϕ必需取遍()0+∞，内所有的数。

特别地，当2()(0)x ax bx c a ϕ=++≠时，要使值域为R ，则必须00a >∆≥且

例5.已知函数21()log (1)4a f x mx m x ⎡⎤

=+-+⎢⎥⎣⎦

（1） 若定义域是R ，求m 的取值范围；

（2） 若值域是R ，求m 的取值范围。