曲线拟合实验报告

数
和拟合函数的图形；
⑵用 MATLAB 的内部函数 polyfit 求解上面最小二乘法曲线拟合多项式的系
数及平方误差，并用 MATLAB 的内部函数 plot 作出其图形，并与（1）结果进行
比较。
三、课程设计中的算法描述
用最小二乘法多项式曲线拟合，根据给定的数据点，并不要求这条曲线精确 的经过这些点，而是拟合曲线无限逼近离散点所形成的数据曲线。
n
i 1 n
i 1
n
i 1
yi yi yi
6. 将这个范德蒙得矩阵化简后得到
1 1
x1
x2
x1k x2k
a0
a1
y1
y2
1
xn
xnk
ak
yn
7.因为 X * A Y ,那么 A Y / X ,计算得到系数矩阵，同时就得到了拟合曲线。
四、课程设计内容
通过这个实验我也理解到了，数值分析是一个工具学科，它教给了我们分析 和解决数值计算问题得方法，使我从中得到很多关于算法的思想，从中受益匪浅。
附录：源代码
散点图： x=[0 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0]; y=[1 1.75 1.96 2.19 2.44 2.71 3.00]; plot(x,y,'r*')
图 6-3. polyfit 函数实现的拟合函数
1.0000 1.0000
则多项式的方程为 平方误差和为 ans = 1.9722e-031
七、实验结果分析
编写程序用最小二乘法求拟合曲线的多项式的过程中，求出的数据和拟合函 数的平方误差很小，达到了很高的精度要求，以及通过散点求得的拟合曲线比较 光滑。而用 MATLAB 的内部函数求 polyfit 求解的曲线拟合多项式和平方误差与 程序求得的相同，还有就是虽然求解过程简单了，但用 MATLAB 的内部函数做出 的图形由明显的尖点，不够光滑。
title('实验数据点的散点图'); legend('数据点（xi,yi）'); xlable('x'); ylable('y'); 最小二乘拟合： x=[0 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0]; y=[1 1.75 1.96 2.19 2.44 2.71 3.00]; R=[(x.^2)' x' ones(7,1)]; A=R\y' x1=[0 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0]; y1=[1 1.75 1.96 2.19 2.44 2.71 3.00]; x=[0 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0]; y=x.^2+x+1; plot(x1,y1,'k+',x,y,'r') title('实验数据点的散点图及拟合曲线'); z=(y-y1).^2; sum(z) Polyfit 函数拟合： x=[0 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0]; y=[1 1.75 1.96 2.19 2.44 2.71 3.00]; A=polyfit(x,y,2);%二次多形式拟合% z=polyval(A,x); A d=sum((z-y).^2) plot(x,y,'k+') title('实验数据点的散点图及拟合曲线'); hold on plot(x,z,'r')
数值分析
课程设计报告
学生姓名 学生学号 所在班级 指导教师
成绩评定
一、课程设计名称
函数逼近与曲线拟合
二、课程设计目的及要求
实验目的： ⑴学会用最小二乘法求拟合数据的多项式，并应用算法于实际问题。 ⑵学会基本的矩阵运算，注意点乘和叉乘的区别。
实验要求： ⑴编写程序用最小二乘法求拟合数据的多项式，并求平方误差，做出离散函
⑴实验环境：MATLAB2010
⑵实验内容：给定的数据点
0
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1.0
1
1.75 1.96 2.19 2.44 2.71 3.00
1) 用最小二乘法求拟合数据的多项式； 2) 用 MATLAB 内部函数 polyfit 函数进行拟合。 ⑶实验步骤 1)首先根据表格中给定的数据，用 MATLAB 软件画出数据的散点图（图 1）。 2)观察散点图的变化趋势，近似于二次函数。则用二次多项式进行拟合，取一组
m
1 范数；三是误差平方和 ri2 的算术平方根，即类似于误差向量的 2 范数。前 i0
两种方法简单、自然，但不便于微分运算，后一种方法相当于考虑 2 范数的平方， 此次采用第三种误差分析方案。 算法的具体推导过程： 1.设拟合多项式为：
2.给点到这条曲线的距离之和，即偏差平方和：
3.为了求得到符合条件的 a 的值，对等式右边求 偏导数，因而我们得到了：
基函数
,并令
，其中 是待定系数
。
wk.baidu.com
3)用 MATLAB 程序作线性最小二乘法的多项式拟合，求待定系数。
算法实现代码如下：
x=[0 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0];
y=[1 1.75 1.96 2.19 2.44 2.71 3.00];
R=[(x.^2)' x' ones(7,1)];
A=R\y'
4) 用 MATLAB 程序计算平均误差。
算法实现代码如下：
y1=[1 1.75 1.96 2.19 2.44 2.71 3.00];
x=[0 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0];
y=x.^2+x+1;
z=(y-y1).^2;
sum(z)
5) 作出拟合曲线和数据图形（图 2）。
6) 用 MATLAB 的内部函数 polyfit 求解上面最小二乘法曲线拟合多项式的系数及
平方误差。 算法实现代码如下：
x=[0 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0]; y=[1 1.75 1.96 2.19 2.44 2.71 3.00]; A=polyfit(x,y,2);%二次多形式拟合% z=polyval(A,x); A d=sum((z-y).^2) 7）绘制使用 polyfit 函数实现的拟合图形。（图 3）
思 路 分 析 ： 从 整 体 上 考 虑 近 似 函 数 p(x) 同 所 给 数 据 点（xi , yi）误 差
ri p(xi ) yi 的大小，常用的方法有三种：一是误差 ri p(xi ) yi 绝对值的最大
m
值
max
0im
ri
，即误差向量的无穷范数；二是误差绝对值的和
i0
ri
，即误差向量的
八、实验心得体会
在日常的学习和生活中，我们可能会遇到各种方面的跟数据有关的问题，并 不是所有的数据都是有用，必须对数据进行适当的处理，然后找出数据之间的关 系，然后进行分析得出结果。此次实验结果基本没有大的区别，可是 MATLAB 提 供给我们一个特别简洁的办法，应用一个函数即可实现相同的结果。虽然很方便， 但是对于初学者来说，我觉得打好基础才是关键，对于一个知识点，应该掌握其 最基本的原理，然后在将它应用于实际。
图 5-2 用 polyfit 函数求多项式拟合曲线流程图
六、实验结果
图 6-1 表中数据的散点图
第1问 系数为 A = 1.0000
图 6-2. 最小二乘法实现的拟合曲线
1.0000 1.0000
则多项式的方程为 平方误差和为 ans =1.9722e-031
第2问 系数为 A = 1.0000
此次实验数据较少，而且数据基本都是可靠数据。但是在应用实际问题中， 数据会很庞杂，此时对于最小为乘法的算法就需要进一步的细化。例如在进行数
据采集时，由于数据采集器（各种传感器）或机器自身的原因及其外部各种因素 的制约，导致数据偶尔会有大幅度的波动，及产生一些偏差极大的数据，不能真 实反映数据的可靠性，所以会对数据进行筛选或修正。而此时就可应用曲线拟合 的最小二乘法的进行处理。
4.将等式左边进行一次简化，然后应该可以得到下面的等式
5.把这些等式表示成矩阵的形式，就可以得到下面的矩阵：
n
n
i 1
xi
n
i 1
xik
n
xi
i 1
n
xi2
i 1
n
xik1
i 1
n
xik
i 1
n
xik1
i 1
n
xi2k
i 1
a0
a1
a k
五、程序流程图
输入初始数据点
根据原始数据绘制散点图
分析数据点变化趋势，确定拟合多项式
用最小二乘法求系数矩阵，确定多项式
用所求的多项式，计算误差
绘制拟合曲线
图 5-1 用最小二乘法求多项式拟合曲线流程图
输入初始数据点 调用 polyfit 函数，确定多形式的系数
调用 polyval 函数，进行多项式求值 调用 plot 函数进行绘图