第五章 弯曲应力详解

距离成正比
?
y?
8
3、 静力关系
待解决问题
横截面上内力系为垂直于横截面的
空间平行力系
这一力系简化，得到三个内力分量 M
中性轴的位置
中性层的曲率半径
O
y dA
Mz z
x dA
FN
FN
AdFN
dA 0
A
(1)
My y
M y
AdM y
zdA 0
A
(2)
Mz
AdMz
ydA M
A
(3)
F
A
B
a
危 险 点 单
max
M ymax IZ
[ ]
向
应
力 状
a
态 材
[ ]= jx
料 的
n
试 验
a
结
果
1)对塑性材料等截面梁：
M max [ ]
max
WZ
2)对塑性材料变截面梁：
M
max
WZ
max
[ ]
3)对脆性材料等截面梁：
M
y max
[ + ]
max
IZ
M
y max
[ _ ]
11
讨论
(1) 应用公式时,一般将 M, y 以绝对值代入.根据梁变形的情况直接
判断 的正负号. 以中性轴为界，梁变形后凸出边的应力为拉应力
( 为正号).凹入边的应力为压应力( 为负号).
(2) 最大正应力发生在横截面上离中性轴最远的点处
max
M y max Iz
M I z/ ymax
(3) 当中性轴为对称轴时
20kN/m
解：1、外力分析(略)
2、 内力分析(作M图)
A 2m
|Mmax|源自文库40kN.m
M
O_
40kNm
max
M max WZ
x
3、
[
]应力max分析WMW及Z Zm强ax度M[计[m]a算x]
Wz
M max
[ ]
235 103 mm3
20
①圆截面：
Wz
引用记号 W Iz ——抗弯截面系数
ymax
则公式改写为
max
M W
My
Iz
M
12
常见截面的抗弯截面系数
实心圆截面
W
Iz
d 4 / 64 d 3
d / 2 d / 2 32
空心圆截面 W D3 (1 4 )
32
α d D
矩形截面 W Iz bh3 / 12 bh2 h/2 h/2 6
x
y
y
My
1、几何关系
Iz
) ) ) ) x
A1B1 AB AB
A1B1 OO1 OO1
( y)dq dq y
dq
x
y
7
2、物理关系 M
纵向纤维互不挤压。 于是，任 意一点均处于单向应力状态。
z
O
x
y
x
x
x
E x
Ey
x
Ey
应力分布规律
1 直梁纯弯曲时横截面上任意一
点的正应力，与它到中性轴的
Iz
14
§5-3 横力弯曲时的正应力
1、横力弯曲正应力计算公式 F
弹性力学精确分析表明，当跨度 A
l 与横截面高度 h 之比 l / h > 5 （细长梁）时，纯弯曲正应力公
l
式对于横力弯曲近似成立。
FS
弯曲正应力
My
IZ
横力弯曲最大正应力
F M
max
Mmax ymax IZ
B x
15
x
2、弯曲正应力公式适用范围
回顾与比较
内力
应力
FN
A
T
IP
M 弯矩，垂直于横截面的内力系的合力偶矩。 FS 剪力，平行于横截面的内力系的合力。
?
?
2
第五章 弯曲应力
§5-1 纯弯曲概念 §5-2 纯弯曲梁横截面上的正应力 §5-3 横力弯曲时的正应力 §5-4 弯曲切应力 §5-5 提高弯曲强度的措施
习题解答
M
l/2
IZ
bh3 12
ql 2
+8
bh2 WZ 6
h 3) 应力分析：
x
: y : 2 K
maKx
M
max
IZ
yKK
6MPa
(压)
M
max
max
WZ
9MPa
4) 强度校核：max 9MPa [] 10MPa
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例5－2、钢质悬臂梁如图所示， []＝170MPa，若横截面为：
①圆形，②正方形，③h/b=2的矩形，④工字钢；试分别选择尺 寸，并比较耗费的材料。
max
IZ
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例5-1、矩形等截面梁，L=3m，h=150mm，b=100mm，q=3kN/m，
yk=50mm，[]=10MPa，求危险截面上K点的正应力k，并校核梁
的正应力强度。
解：1、外力分析
FA
q
A
FB
Bh
K
qL
yK
z
FA FB
4.5kN 2
2、内力分析(M图)：
l
b
危险截面在l/2处
弯曲正应力： My
IZ
•纯弯曲或细长梁的横力弯曲 •横截面惯性积 Iyz =0 •弹性变形阶段 •抗拉与抗压的弹性模量相同
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4、强度条件的应用（塑性材料）
(1) 强度校核
x
M max W
[ ]
(2)设计截面 W Mmax
[ ]
(3)确定许可载荷 Mmax W [ ]
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3、弯曲正应力强度条件
曲线，且上缩下伸；横向线与纵向线变形后仍正交。 平面假设：横截面变形后仍为平面，只是绕中性轴发生转动， 距中性轴等高处，变形相等。 单向受力假设：纵向纤维互不挤压，只受单向拉压。 横截面上只有正应力。
6
§5-2 纯弯曲梁横截面上的正应力
一、正应力公式推导
dq
a
b
O
A c
O1
B d
x O
A1
O1 B1
dFN dA dM y z dA dMz y dA
9
将应力表达式代入(1)式，得
FN
E ydA 0
A
E
A
ydA
0
E y
Sz
ydA 0
A
dA 0 (1) A
中性轴通过横截面形心 将应力表达式代入(2)式，得
z dA 0 (2) A
M y
zE ydA 0
A
E
A
yzdA
h
d
z y
D d
z y
b
z y
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(4) 对于中性轴不是对称轴的横截面
σ cmax
yc max
σt max Myt max Iz
yt max
Mz
σc max Myc max Iz
y
σ t max
应分别以横截面上受拉和受压部分距中性轴最远的距离 yt max 和
ycmax 直接代入公式 My 求得相应的最大正应力
0
I yz
yzdA 0
A
自然满足
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将应力表达式代入(3)式，得
y
Mz
yE dA M
A
E
y2dA M
E y
A
E
Iz M
y dA M (3) A
1M
E Iz
纯弯曲时横截面上正应力的计算公式:
My
M为梁横截面上的弯矩
Iz
M
y为梁横截面上任意一点到中性轴的距离
Iz为梁横截面对中性轴的惯性矩
3
§5-1 纯弯曲
F
F
F
FS F M
F
F
x
x
+
梁段CD上，只有弯矩，没有剪力－－纯弯曲
梁段AC和BD上，既有弯矩，又有剪力－－横力弯曲
4
梁的弯曲实验
凹入一侧纤维缩短
凸出一侧纤维伸长
中间一层纤维长 度不变
－－中性层
中间层与横截面 的交线
－－中性轴
纵向对称面 中性层
中性轴
5
横向线(a b、c d）变形后仍为直线，但有转动；纵向线变为