一元二次不等式的解法

(a>0) 的步骤是：
（1）化成标准形式 ax2+bx+c>0(a>0) ax2+bx+c<0 (a>0) （2）求⊿，并求出方程ax2+bx+c=0 的实根 （3）根据图象写出解集（可记忆为：大于零取 两边，小于零取中间）
解法步骤总结：一化正→二算Δ→ 三求根→四写解集 例2.解不等式： -3x2+6x>2 解： ∵ -3x2+6x>2 ∴ 3x2-6x+2<0 因为，△>0，方程3x2-6x+2=0的解 y 3 3 是
R Φ
ax2+bx+c<0 (a>0) ﹛x|x1<x<x2﹜ 的解集
Φ
∆＝b2-4ac
y
●
∆>0
●
y
∆=0
●
y
∆<0
二次函数 x1 x2 x y=ax2+bx+c o o x 的图像 b b± Δ x1 = x2 = x = 2 1 , 2 ax +bx+c=0 2a 2a { x | x ∈ R , 的根 {x | x < x
一元二次不等式的解法
(一) “三个一次”的关系
复习一元一次方程和一元一次 不等式的解法
2x-7=0 2x-7>0 2x-7<0
x=3.5 x>3.5 x<3.5
y
o
3.5
x
观察得出结论：
-7
①2x-7=0的解是函数y=2x-7的图象与 x轴交点的横坐标 ②2x-7>0的解集是函数y=2x-7的图象 在x轴的上方的点的横坐标的集合 ③2x-7<0的解集是函数y=2x-7的图象 在x轴的下方的点的横坐标的集合
o
y
●
x
观察4x2－4x＋1 <0的解
无解
例4：解不等式- x2+2x-3>0 解：整理，得 x2-2x+3<0 因为△=4-12= -8<0 方程x2-2x+3=0无实数根 所以原不等式的解集为ф

作业：解下列不等式： （1）3x2－7x+2<0 （2）－6x2－x+2≤0 （3）4x2+4x+1<0 （4）x2－3x+5>0
2
(3)ax bx c 0(a 0)
2
(4)ax bx c 0(a 0)
2
以上四个不等式中我们规定了
a0
如果题目中给出的不等式中二次项系
数小于0，哪怎么办呢？ 对了，我们只要在不等式两边同乘-1，
然后把不等式的方向改变一下，就可 化为以上四种形式中的一种。
三、例题讲解
例1 解不等式2x2－3x－2>0
－1/2
●
o
●
2
x
解： 因为∆>0，
b 2 4ac 32 4 2 (2) 25 0
方程2x2－3x－2＝0 的解是
1 ( x )( x 2) 2
1 x1 , x2 2 2
所以不等式的解集是
1 {x | x 或x 2}. 2
参考答案：
1 (1) {x | x 2} 3
1 2 (2) {x | x 或 x } 2 3 ( 4) R (3)
本课小节：
解一元二次不等式的步骤: (1)化成标准形式(a>0) (2)解方程ax2+bx+c=0 (3)由图象写解集
小节
解一元二次不等式ax2+bx+c>0、ax2+bx+c<0
x1 1 3 3 , x2 1 3 3
所以原不等式的解集为
3 3 {x | 1 x 1 } 3 3
2
｛x|x≠－
b ｝ 2a
R
ax2＋bx＋c <0
ф
ф
⊿=b2-4ac 二次函数 y=ax2+bx+c(a>0) 的图象 方程 ax2+bx+c=0 的根
⊿>0
⊿=0
⊿<0
x1
x2
x1(x2) 无实根
有两个相 有两个不等实 等实根 根 x1,x2(x1<x2) x1=x2 ax2+bx+c>0（a>0） ﹛x|x<x1或x>x2﹜﹛x|x≠x1﹜ 的解集
x x 2或x 3
2
不等式x x 6 0的解集是
x 2 x 3
问： 方程ax2＋bx＋c=0、 不等式ax2＋bx＋c <0、
或ax2＋bx＋c >0
与函数y= ax2＋bx＋c的图象有什么关 系？
方程的解即函数图象与x轴交点的横标， 不等式的解集即函数图象在x轴下方或上 方图象所对应x的范围。
引例：
解一元二次方程:
解之得:
x x6 0
2
x1 2, x2 3
观察二次函数 y x x 6的图像
2
y
-2
o
-6
3
x
看一看：函数图象与x轴的位置关系 说一说
方程x x 6 0的解是 x 2或x 3
2
不等式x x 6 0的解集是
2
● ●
x1
利用一元二次函数图象解一 元二次不等式
其方法步骤是:
先求出Δ和相应方程的解， 再画出函数图象，根据图象 写出不等式的解。 若a<0时,先变形!
谢 谢 大 家！ 再 见！
请同学们完成下表:
方程或不等式 （a>0） Δ >0 ｛x|x=x1 或 x=x2｝ 解 Δ =0
b
集 Δ <0
ax ＋bx＋c=0、
1
o
φ
R
x
ax2+bx+c>0
的解集
或x > x2 }
{x | x1 < ax2+bx+c<0 x < x2 }
b x ≠- } 2a
φ
φ
∆＝b2-4ac
二次函数 y=ax2+bx+c 的图像 (a>0) ax2+bx+c=0 的根（a>0) ax2+bx+c>0 o
x1, 2
∆>0 y
●
∆=0 y y
(1)化成标准形式 ax2+bx+c>0(a>0) ax2+bx+c<0 (a>0) (2) 判定⊿与 0 的关系，并求出方程 ax2+bx+c=0 的实根 (3)写出不等式的解集
(a>0) 的步骤是：
课堂练习
课本P20.1、2、3
练习
课本P20.1、2、3
，
1 2 1 x | 〈 x 〈 2 x | x 或 x 1. （1） （ ， 2 ） 3 3 2
1 2
x1
●
o

R
x


这张表是我们今后求解一 元二次不等式的主要工具， 必须熟练掌握，其关键是抓 住相应的二次函数的图像。
记忆口诀：
大于0取两边，小于0取中间 .
首先，我们可以把任何一个一元二次 不等式转化为下列四种形式中的一种：
(1)ax bx c 0(a 0)
2
(2)ax bx c 0(a 0)
2x2－3x－2
>0
1 {x | x , 或x 2} 2
－2x2＋3x＋2 > 0 2x2－3x－2 < 0 1 {x | x 2} 2 1 2 {x | x 2} 2x －3x－2 ≤ 0
2
-
1 2
2
解一元二次不等式ax2+bx+c>0、ax2+bx+c<0
x1 1 3 , x2 1 3
所以，原不等式的解集是 3 3 {x | 1 x 1 } 3 3
o
●
●
x
三、例题讲解
例3解不等式 4x2－4x＋1 > 0
解:因为△ =0,方程4x2－4x＋1 =0的解是
1 x1 x 2 2， 所以,原不等式的解集是
1 x | x 2
∆<0
x1
●
x2 x
o
●
b 2a
b x1 x2 2a
{ x | x R, x
x

R
o
x
的解集 （a>0) {x | x1 x x2 } ax2+bx+c<0
的解集
{x | x x1或x x2}
b } 2a


例2：解不等式-3x2+6x>2
解: 整理，得 3x2-6x+2<0 因为△=>0 方程3x2-6x+2=0的解是
利用二次函数图象能解一元
二次不等式！
问：y= ax2＋bx＋c（a>0）与x轴 的交点情况有哪几种？
Δ>0
Δ=0
Δ<0
∆＝b2-4ac 二次函数 y=ax2+bx+c
∆>0 y
●
∆=0 y x2 x
y
∆<0
o 的图像 ● o x (a>0) b b 2 x1 x2 ax +bx+c=0 x1, 2 2a 2a 的根（a>0) b 2 { x | x R , x } ax +bx+c>0 {x | x x 或x x } 2a 的解集 （a>0) {x | x1 x x2 } ax2+bx+c<0 的解集
（ 3）
ф
2 . (1) 当x 2 3或x 2 3时，y 0
(2)
当x〉 2 3或x〈2 3时，y〉 0
(3) 当2 〈 3 x〈2 3时，y〈0 3.
x | x 4或x 3
y 五、小结 x2 o x （1）一元二次不等式的解集与一元二次方程 的解及其相应的二次函数的图像相对于轴的 位置密切相关.解题时要注意解题格式，头脑 中要想象图像或划出草图. （2）对于a<0的一元二次不等式可转化为 a>0的情形求解. （3）一元二次不等式的解法是今后学习其他 不等式的基础，要求大家熟练掌握解法，准 确运算结果.
2
｛－ 2a
｝
ф
ax2＋bx＋c >0
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
ax2＋bx＋c <0
一元二次方程、不等式的解集
方程或不等式 （a>0） ax ＋bx＋c=0、
2
解 Δ >0 ｛x|x=x1 或 x=x2｝ ｛x|x<x1 或 x>x2｝ ｛x|x 1 <x <x2｝ Δ =0 ｛－
集 Δ <0 ф
b ｝ 2a
ax ＋bx＋c >0