3-3有理式的不定积分与有理化方法

L
Bmll x (x2 pl
Cmll x ql )ml
}
（其中各系数待定）；
如果Q x有一个n 重实根 a, 则 Px/Qx 的部分
n 分式中一定包含下列形式的 项部分分式之和:
A1 L xa
x
An a
n
如果 Qx中包含因子 x2 px q m q p2 / 4
时 , 则 Px / Qx 的部分分式中一定包含下列形
式的 m 项部分分式之和:
B1x C1
x2 px
q
L
Bm x Cm x2 px q m
x 1 例如 将真分式 (x 1)(x 2)2 (x2 1)3(x2 x 1)
分解成部分分式.
原式
A11 (x 1)
(
A12 x2
A22 (x 2)2
)
(
B11x x2
C11 1
B21x C21 (x2 1)2
(x2 px q)n
(C Bp ) 2
d(x p) 2
[(x p )2 4q p2 ]n
2
4
B 1 n
(x2
px
q)1n
(C
Bp 2
)
d(x p) 2
[(x p )2 4q p2 ]n
2
4
而最后一个积分可以用上上一节例6中的递推公式.
递推公式
I n1
1 2na2
(x2
x a2)n
3-3 有理式的不定积分与有理化方法
1. 有理式的不定积分 有理函数:
R(x) P(x) a0xn a1xn1 an Q(x)
m n时, 为假分式; m n 时, 为真分式
有理函数 相除 多项式 + 真分 式
分解
若干部分分式之和
其中部分分式的形式为
部分分式:
A, xa
A
x an
n 1;
Bx C
x2 px q ,
Bx C x2 px q n
n 1;
( n N , p2 4q 0)
有理函数积分法
多项式除法
(1) 假分式 多项式（ 真分式）;
待定系数法
(2) 真分式 部分分式之和：
真分式 P(x) 分母因式分解 Q(x) P(x)
b0 (x a1)n1 L (x ak )nk (x2 p1x q1)m1 L (x2 pl x ql )ml
3A31A1 11
2 A12
A12 A22
A22 A32
0,
0,
A11 1.
从而解得 A11 1, A12 2, A22 1, A32 2. 故有
x3 1 x(x 1)3
1 x
x
2 1
(x
1 1)2
(x
2 1)3
于是
x3
x(x
1 1)3
dx
ln
|
x
|
2 ln
|
x
1|
x
1 1
(C Bp )
2
d(x p) 2
(x p )2 4q p2
2
4
B ln( x2 px q) (C Bp ) 2 arctan 2x p C.
2
2 4q p2
4q p2
B ln( x2 2
px q)
2C Bp 4q p2
arctan
2x p C. 4q p2
4.
Bx C dx B
(x2 px q)n
2
2x 2C
[(x
p )2
B (g
p2
)]n
dx
2
4
B 2
2x p 2C p B
(x2 px q)n
dx
B 2
(x2
2x px
p
q)n
dx
C Bp 2d
(x2 px q)n
B
2
d (x2 px q)
（其中 x2 pi x qi , i 1, , h 为不可约因式)
1 { A11 L b0 x a1
An11
(x a1)n1
L
A1k x ak
L
(x
Ank k ak
)nk
B11x C1,1 L Bm11x Cm11
x2 p1x q1
(x2 p1x q1)m1
L
B1l x C1l x2 pl x ql
(
x
Leabharlann Baidu
1 1)2
C.
ln
|
x 1|2 |x|
x (x 1)2
C.
x3 1 A11(x 1)3 A12x(x 1)2 A22x(x 1) A32x. (*)
第二种方法 在(*)中令x 0, 得A11 1,
(赋值法)
令x 1, 得A32 2.
x3 1 (x 1)3 2x A12x(x 1)2 A22x(x 1),
C
例1 求
x3 1 dx x(x 1)3
解
x3 1 x(x 1)3
A11 x
A12 x 1
A22 (x 1)2
A32 (x 1)3
,
其中Aij为常数，可以用如下的方法求出待定系数.
第一种方法: 待定系数法， 上式通分后得
x3 1 x(x 1)3
A1（1 x
1)3
A12x(x 1)2 x(x 1)3
化简并约去两端的公因子 x后为
2x2 3x 1 A12(x 1)2 A22(x 1),
即
2x 1 A12x A12 A22,
得
A12 2, A22 1.
例2 求
解
B31x (x2
C31 1)3
)
B12 (x2
x x
C12 1)
.
其中Aij , Bij与Cij均为常数，下面将用待定系数法求出.
四种典型部分分式的积分:
1.
x
A
a
dx
Aln
xa
C
2.
(x
A a)n
dx
A 1 n
(x
a)1n
C
(n 1)
Bx C
3.
x2
dx px q
Bx C
4. (x2 px q)n dx
变分子为
B 2
(2x
p)
C
Bp 2
再分项积分
3.
Bx C x2 px
q
dx
B 2
2x x2
2C B
px
q
dx
B 2
2x x2
p 2C B
pxq
p
dx
B 2
2x p x2 px q dx
C Bp
x2
2 px
q
dx
B
2
d (x2 px q) x2 px q
2 2
n n
1 a2
I
n
说明:
已知
I1
1 a
arctan
x a
C
利用递推公式可求得
In
.
例如,
I3
1 4a
2
(
x2
x a2)2
3 4a2
I2
1 4a2
(x2
x a2)2
3 4a2
1 2a2
x2
x a2
1 2a2
I1
1 4a2
(x2
x a2
)2
3 8a4
x2
x
a2
3 8a5
arctan
x a
A22 x( x
1)
A32
x3 1 A11(x 1)3 A12x(x 1)2 A22x(x 1) A32x.
x3 1 ( A11 A12)x3 (3A11 A12 A22)x2 (3A11 A12 A22 A32 )x A11
比较恒等式两端同次幂的系数，得一方程组：
A11 A12 1,