2012高考数学二轮复习专题29：创新与探究题地解答策略与限时训练

专题二十九：创新与探究题的解答策略【走进高考】1. (09 江·西 )设函数 f ( x)ax2bx c (a0) 的定义域为D，若所有点( s, f (t ))( s, t D )构成一个正方形区域，则 a 的值为（B）A ．2B．4C．8D．不能确定2.(09 广·东 )已知甲、乙两车由同一起点同时出发,并沿同一路线（假定为直线）行驶．甲车、乙车的速度曲线分别为v甲和v乙（如图 2 所示）．那么对于图中给定的t0和t1，下列判断中一定正确的是（ A ）A. 在t1时刻，甲车在乙车前面B.t1时刻后，甲车在乙车后面C. 在t0时刻，两车的位置相同D.t0时刻后，乙车在甲车前面3.(09 湖·南 )对于数列{ u n}, 若存在常数M ＞ 0,对任意的n N*，恒有un 1un u nun 1u2u1M,则称数列 { u n } 为B数列.（Ⅰ）首项为1，公比为q( q 1)的等比数列是否为 B-数列？请说明理由；（Ⅱ）设 S n是数列x n的前 n 项和，给出下列两组论断；A 组：①数列x n是 B- 数列，②数列x n不是 B-数列；B 组：③数列S n是 B-数列，④数列S n不是 B-数列 .请以其中一组中的一个论断为条件，另一组中的一个论断为结论组成一个命题。

判断所给命题的真假，并证明你的结论；(Ⅲ )若数列a n, b n都是B数列，证明：数列 a n b n也是 B数列 .【解析】（Ⅰ）设满足题设的等比数列为a n，则 a n q n1.于是 a n an 1q n 1q n 2n2q q 1 ,n 2 .因此 | a n 1a n | | a n a n1 || a2a1 |=q 1 (1q2n1 q... q).1q n 因为 q1,所以 1q q2n 11,q1q1q即 a n 1a n a n an 1a2 a1q11.q故首项为 1 公比为q( q1) 的等比数列是B-数列 .（Ⅱ）命题 1：若数列x n是 B-数列，则数列S n是B-数列.此命题为假命题.事实上，设 x n1, n N，易知数列x n是 B- 数列；但S n n ， S n 1 S n Sn S n 1S2S1n.由 n 的任意性知数列S n不是 B-数列 .命题 2：若数列S n是 B- 数列，则数列x n是 B- 数列 .此命题为真命题 .事实上，因为数列S n是 B- 数列，所以存在正数M ，对任意的n N ,有 S n 1S n S n Sn 1S2S1M ，即 x n 1x n x2M .于是x n 1x n x n xn 1x2x1x n 1 2 x n 2 x n 1...2 x2 x1 2M x1.所以数列x n是B-数列.（注：按题中要求组成其它命题解答时，仿上述解法）（ III ）若数列a n, b n是 B数列，则存在正数M1 , M 2，对任意的 n N ,有 a n 1a n a n an 1a2a1M 1； b n 1b n b nan 1b2b1 M 2.注意到 a n a n an 1an 1an2a2a1a1a n an 1an 1an 2a2a1a1M 1a1.同理， b n M 2b1.记 K1M1a ， K2M2b ，则有a n 1b n 1a n b n a n1bn 1anbn 1anbn 1a n b n 12bn 1 an 1a nanbn 1bnK2an 1a n K1 b n 1 b n.因此 a n 1 b n 1a n b n a n b n a1nb1n2a2b1a1bK2( an 1an a nan 1 a 2 a )1K1 ( b n 1b n b n bn 1b2b1 ) k2M 1k1M 2.故数列a n b n是B数列.【考点聚焦】一、创新型问题1.开放型创新题开放型创新题是指问题的条件、结论、解答策略是不唯一的，或需要探索的一种题型，这类题型结构新颖、解题方法灵活、知识覆盖面广、问题结论开放，打破了固定的思维模式和解题套路，给解题者很大的思考空间和多种分析思路 .2.定义信息型创新题命题特点是一个新的定义、新的关系、新的性质、新的定理等新情境新知识，然后在这个新情境下，综合所学知识并利用新知识作为解题工具使问题得到解决，求解此类问题通常分为三人步骤：（1）对新知识进行信息提取，确定化归方向；（2）对从新知识中所提取的信息进行加工，探究解题方法；（3）对提取的知识加以转换，进行有效组合，进而求解.3.类比归纳型创新题（1）类比是将式子结构、运算法则、解题方法、问题结论等或引申、或推广、或迁移，由已知探索未知，由旧知识探索新知识的一种研究问题的方法；（2）归纳是从个别特殊事例、若干特殊现象中递推出同一类事物的一般性结论，总结出同一种现象的一般性规律的一种思考问题的方法.二、探究型问题1.探求结论型问题给出了条件，结论不明确或开放性的问题，需要解题者探索出结论并加验证或证明.2.探求条件型问题给出了结论，要寻求使其成立的相应的条件，解题者通过分析倒推、逆向思维探求结论成立的条件.3.探求存在型问题即结论是否成立的问题，一般有肯定型、否定型和讨论型三种.关于这类问题的解题思路是：先假设结论存在，若推证合理且无矛盾，则结论成立；若推证有矛盾，则可否定结论.4.探求规律型问题认真观察分析问题情境，运用归纳推理、类比推理探究问题的本质特征的一般规律.【经典例解】题型一：定义信息型创新题【例 1】点P在直线l : y x 1上，若存在过 P 的直线交抛物线y x2于A, B两点，且| PA| AB | ，则称点 P 为“点”，那么下列结论中正确的是（）A ．直线l上的所有点都是“点”B ．直线l上仅有有限个点是“点”C．直线l上的所有点都不是“点”D ．直线l上有无穷多个点（不是所有的点）是“点”【解析】如图，设 A m, n, P x, x1，则 B2m x,2 n x 2 .∵ A, B在 y x2上，∴n m2 2.2n x1(2 m x)消去 n，得关于 x 的方程x2(4m1)x2m2 1 0（ 1）∵(4 m 1)2 4(2m2 1) 8m2 8m 5 0恒成立，∴方程（ 1）恒有实数解. 选 A .【点拨】本题考查考生的阅读与理解、信息迁移的能力及学习潜力，同时考查考生分析问题和解决问题的能力，是一道定义信息型创新题型.求解本题的突破口是利用中点坐标公式将 B 点的坐标用 A 、P 两点的坐标表示，再利用判别式类别直线 AB 与抛物线的交点个数即可.【变式】对于任意的两个实数对( a,b) 和 ( c, d) ，规定： (a,b) ( c, d ) ，当且仅当 a c,b d ；运算“ ”为： (a,b) (c,d) (ac bd,bc ad) ；运算“ ”为： (a,b) (c,d) (a c,b d) .设 p,q R ，若 (1,2) ( p,q) (5,0) ，则 (1,2) ( p,q)（）A ．(4,0)B．(2,0)C．(0,2) D ．(0,4)【解析】选 B．题型二：类比归纳型创新题【例 2】观察下列等式：C51C5523 2 ，C91C95C992723，C131C135C139C131321125，C171C175C179C1713C171721527，, ，,n *159 4 n 1.由以上等式推测到一个一般的结论：对于N ，C4n 1C4 n 1C4n 1C4n 1【解析】观察各个结论由二项构成，第二项前有 1 n，二项指数分别为24 n 1,2 2 n 1 ，因此对于 n N *159 4 n 124n 1n22n 1.， C4n1C4 n1C4n1C4n 11【点拨】这是一道类比归纳型创新题.解答本题的关键是找到各式的左右两边的项数、各项符号、各项指数的变化规律.【变式】五位同学围成一圈依序循环报数，规定：①第一位同学首次报出的数为1，第二位同学首次报出的数也为1，之后每位同学所报出的数都是前两位同学所报出的数之和；②若报出的数为 3 的倍数，则报该数的同学需拍手一次.已知甲同学第一个报数，当五位同学依序循环报到第 100 个数时，甲同学拍手的总次数为______.【解析】 5 .题型三：开放型创新题【例 3】对任意函数 f x ， xD ，可按如图示构造一个数列发生器，其工作原理如下：①输入数据 x 0D ，经数列发生器输出x f x 0 ；1②若 x 1 D ，则数列发生器结束工作；若x 1 D ，则将 x 1 反馈回输入端，再输出x2f x ，并依1此规律继续下去．输入4x 2 ． 现定义 f xx 1f49（ 1）若输入 x 0x n ．请写出数列 x n 的所有项；，则由数列发生器产生数列输出65（ 2）若要数列发生器产生一个无穷的常数数列x n ，试求输入的初始数据 x 0 的值；打印（ 3）若输入 x 0 时，产生的无穷数列 x n 满足：对任意正整数 n ，均有 x nx n 1，求 x 0 的取值范围；（ 4）是否存在 x 0 ，当输入数据 x 0 时，该数列发生器产生一个各项均为负数的的无穷数列．【解析】（ 1）由数列发生器工作原理知x 049，654x 2，得到数列11 1辗转代入 fxx n 的前三项： x 1， x 2， x 3 1 .x119 5函数 f x4x 2的定义域为 D { x | x1} ， x 3 1 D ，x 1故由 x 049产生的数列x n 只有 x 111， x 21， x 31三项 .65195 （ 2）由数列发生器原理可知xn 1fx n4x n2.x n 1∵要使数列发生器产生一个无穷常数列，即xn 1 x n ，∴只需求解方程4x 2xx ，解之得 x 1 或 x 2 . 1故输入x 01 （或 x 02 ）即可产生常数列 x n 1 （或 x n2 ） .（ 3）由数列发生器原理可知x n 14 x n 2 .x n 1∵得到的数列x n 满足：任意正整数 n 均有 x nx n4x n21x n 成立，1∴只需求解不等式x4x2，解之得 x 1，或 1x 2 .x 1 ①当 x1，令 n1 ，则有 x 1 1.x i Dyesno结束∵x n 1 4x n 24x 1264 ，x 34x 22 6x n 1∴x 2x 1 1 4x 244 .x 1 11x 2 1∴ x 3 x 2 ∴当 x1不合题意，应舍去 .②当 1x 2 时，令 n1，则有 1x 1 2 .由上可知 x 1 x 2 ，求得 1 x 2 2 .以此类推，可知必有对任意正整数n ，均有 x n x n 1 成立． 由x 1 f x 0 不难得知 x 0 的取值范围为 1 x 2 .（ 4）由数列发生器原理可知x nfxn 14x n 12 .xn 11令x n 0 ，则4 x n 12 0 ，∴1 x n 11.xn 112同理由 x n 1f x n24 x n 2 20，得1xn 25 ．x n 2 15 7由此可知，如果x n 0 ，则必有1xn 25 5 ，7即 x n 与 x n 2 不可能同时小于 0.故在本数列发生器运作下，不可能产生各项均为负数的数列x n .【点拨 】本题是一道条件开放型创新题，求解本题的关键是透彻理解数列发生器的工作原理.注解第（ 1 ）问只需将x 049 代入 f x 4x 2的计算结果再次代入，依次下去，直至出现65x 1x i 1 D 为止；将第（ 2）问转化为方程 xn 1f x n 的求解问题；将第（ 3）问转化为不等式x4x 2的求解问题；x1将第（ 4）问转化为方程x n f x n 1 的负数解的求解问题 .【变式】三角形 ABC 的三个内角 A 、 B 、 C 的对边的长分别为 a 、 b 、 c .有下列两个条件：① a 、 b 、 c 成等差数列；②a 、b 、c 成等比数列 .现给出三个结论：①B3 ；② a cos 2Ccos 2A3b ；③ 1 1 sin 2B2 .22 2cos B sin B请你选取给定的两个条件中的一个条件为条件，三个结论中的两个为结论，构造一个你认为正确的命题，并证明之 .【解析 】由于题目要求： “从给定两个条件中的一个条件为条件，三个结论中的两个结论为结论的一个真命题”，所以本题的答案不唯一，不必全写出，只需任选一个作答，并给出相应的证明即可.题型四：探究型创新题(1) 若 x1，求证 f ( x) 2 g((2) 是否存在实数 k ，使方程围；若不存在，说明理由 .x 1) ； x 11g(x 2 ) f (1 x 2 ) k 有四个不同的实根？若存在，求出k 的取值范2【解析】（ 1）令 F ( x) ＝ f ( x)则 F(x) ＝12( x 1) 2( xx ( x 1)22g(x1) ＝ ln x 2( x 1) ， x 1 x 121) ＝ (x1)2 .x( x 1)∵ x 1 ，∴ F ( x) 0 .故函数 F (x) ＝ 又∵函数 F ( x)∴函数 F (x) ＝f (x)2g (x1) 在 (1,) 上是增函数 .x 1＝ f (x)2g (x1) 在 x 1 上是连续的，x 1f (x)2g (x1 )在 [1,) 上是增函数，x 1∴当 x 1 时， F ( x)F (1) ＝ 0，即 f ( x)2g(x1) .x 1（ 2）令 h( x) ＝ 1g (x 2) f (1x 2) ＝ 1x 2 ln (1 x 2 ) ， yk ，22则 h ( x) ＝ x2x＝ x3x ＝ x( x 1)( x 1) .1 x 21 x 21 x 2令 h ( x) ＝ 0，得 x0 ，－ 1，1.当 x 变化时， h ( x) ， h( x) 的变化关系如下表x(,1)1( 1,0)(0,1)1(1,)h (x)－0 ＋0 －0 ＋极小值极大值极小值h( x)11ln 2ln 222y－ 1 O1 x(1) 若 x1，求证 f ( x) 2 g((2) 是否存在实数 k ，使方程围；若不存在，说明理由 .x 1) ； x 11g(x 2 ) f (1 x 2 ) k 有四个不同的实根？若存在，求出k 的取值范2【解析】（ 1）令 F ( x) ＝ f ( x)则 F(x) ＝12( x 1) 2( xx ( x 1)22g(x1) ＝ ln x 2( x 1) ， x 1 x 121) ＝ (x1)2 .x( x 1)∵ x 1 ，∴ F ( x) 0 .故函数 F (x) ＝ f (x)2g (x1) 在 (1,) 上是增函数 .x 1又∵函数 F ( x) ＝ f (x)2g (x1) 在 x 1 上是连续的，x 1∴函数 F (x) ＝ f (x)2g (x1 )在 [1,) 上是增函数，x 12g( x 1) . ∴当 x 1 时， F ( x)F (1) ＝ 0，即 f ( x)x 1（ 2）令 h( x) ＝ 1g (x 2) f (1x 2) ＝ 1x 2 ln (1 x 2 ) ， yk ，22则 h ( x) ＝ x2x ＝ x3x ＝ x( x 1)( x 1) .1 x 21 x 21 x 2令 h ( x) ＝ 0，得 x0 ，－ 1，1.当 x 变化时， h ( x) ， h( x) 的变化关系如下表x(,1)1( 1,0)(0,1)1(1,)h (x)－0 ＋0 －0 ＋极小值极大值极小值h( x)11ln 2ln 222y－ 1 O1 x(1) 若 x1，求证 f ( x) 2 g((2) 是否存在实数 k ，使方程围；若不存在，说明理由 .x 1) ； x 11g(x 2 ) f (1 x 2 ) k 有四个不同的实根？若存在，求出k 的取值范2【解析】（ 1）令 F ( x) ＝ f ( x)则 F(x) ＝12( x 1) 2( xx ( x 1)22g(x1) ＝ ln x 2( x 1) ， x 1 x 121) ＝ (x1)2 .x( x 1)∵ x 1 ，∴ F ( x) 0 .故函数 F (x) ＝ f (x)2g (x1) 在 (1,) 上是增函数 .x 1又∵函数 F ( x) ＝ f (x)2g (x1) 在 x 1 上是连续的，x 1∴函数 F (x) ＝ f (x)2g (x1 )在 [1,) 上是增函数，x 12g( x 1) . ∴当 x 1 时， F ( x)F (1) ＝ 0，即 f ( x)x 1（ 2）令 h( x) ＝ 1g (x 2) f (1x 2) ＝ 1x 2 ln (1 x 2 ) ， yk ，22则 h ( x) ＝ x2x ＝ x3x ＝ x( x 1)( x 1) .1 x 21 x 21 x 2令 h ( x) ＝ 0，得 x0 ，－ 1，1.当 x 变化时， h ( x) ， h( x) 的变化关系如下表x(,1)1( 1,0)(0,1)1(1,)h (x)－0 ＋0 －0 ＋极小值极大值极小值h( x)11ln 2ln 222y－ 1 O1 x(1) 若 x1，求证 f ( x) 2 g((2) 是否存在实数 k ，使方程围；若不存在，说明理由 .x 1) ； x 11g(x 2 ) f (1 x 2 ) k 有四个不同的实根？若存在，求出k 的取值范2【解析】（ 1）令 F ( x) ＝ f ( x)则 F(x) ＝12( x 1) 2( xx ( x 1)22g(x1) ＝ ln x 2( x 1) ， x 1 x 121) ＝ (x1)2 .x( x 1)∵ x 1 ，∴ F ( x) 0 .故函数 F (x) ＝ f (x)2g (x1) 在 (1,) 上是增函数 .x 1又∵函数 F ( x) ＝ f (x)2g (x1) 在 x 1 上是连续的，x 1∴函数 F (x) ＝ f (x)2g (x1 )在 [1,) 上是增函数，x 12g( x 1) . ∴当 x 1 时， F ( x)F (1) ＝ 0，即 f ( x)x 1（ 2）令 h( x) ＝ 1g (x 2) f (1x 2) ＝ 1x 2 ln (1 x 2 ) ， yk ，22则 h ( x) ＝ x2x ＝ x3x ＝ x( x 1)( x 1) .1 x 21 x 21 x 2令 h ( x) ＝ 0，得 x0 ，－ 1，1.当 x 变化时， h ( x) ， h( x) 的变化关系如下表x(,1)1( 1,0)(0,1)1(1,)h (x)－0 ＋0 －0 ＋极小值极大值极小值h( x)11ln 2ln 222y－ 1 O1 x(1) 若 x1，求证 f ( x) 2 g((2) 是否存在实数 k ，使方程围；若不存在，说明理由 .x 1) ； x 11g(x 2 ) f (1 x 2 ) k 有四个不同的实根？若存在，求出k 的取值范2【解析】（ 1）令 F ( x) ＝ f ( x)则 F(x) ＝12( x 1) 2( xx ( x 1)22g(x1) ＝ ln x 2( x 1) ， x 1 x 121) ＝ (x1)2 .x( x 1)∵ x 1 ，∴ F ( x) 0 .故函数 F (x) ＝ f (x)2g (x1) 在 (1,) 上是增函数 .x 1又∵函数 F ( x) ＝ f (x)2g (x1) 在 x 1 上是连续的，x 1∴函数 F (x) ＝ f (x)2g (x1 )在 [1,) 上是增函数，x 12g( x 1) . ∴当 x 1 时， F ( x)F (1) ＝ 0，即 f ( x)x 1（ 2）令 h( x) ＝ 1g (x 2) f (1x 2) ＝ 1x 2 ln (1 x 2 ) ， yk ，22则 h ( x) ＝ x2x ＝ x3x ＝ x( x 1)( x 1) .1 x 21 x 21 x 2令 h ( x) ＝ 0，得 x0 ，－ 1，1.当 x 变化时， h ( x) ， h( x) 的变化关系如下表x(,1)1( 1,0)(0,1)1(1,)h (x)－0 ＋0 －0 ＋极小值极大值极小值h( x)11ln 2ln 222y－ 1 O1 x(1) 若 x1，求证 f ( x) 2 g((2) 是否存在实数 k ，使方程围；若不存在，说明理由 .x 1) ； x 11g(x 2 ) f (1 x 2 ) k 有四个不同的实根？若存在，求出k 的取值范2【解析】（ 1）令 F ( x) ＝ f ( x)则 F(x) ＝12( x 1) 2( xx ( x 1)22g(x1) ＝ ln x 2( x 1) ， x 1 x 121) ＝ (x1)2 .x( x 1)∵ x 1 ，∴ F ( x) 0 .故函数 F (x) ＝ f (x)2g (x1) 在 (1,) 上是增函数 .x 1又∵函数 F ( x) ＝ f (x)2g (x1) 在 x 1 上是连续的，x 1∴函数 F (x) ＝ f (x)2g (x1 )在 [1,) 上是增函数，x 12g( x 1) . ∴当 x 1 时， F ( x)F (1) ＝ 0，即 f ( x)x 1（ 2）令 h( x) ＝ 1g (x 2) f (1x 2) ＝ 1x 2 ln (1 x 2 ) ， yk ，22则 h ( x) ＝ x2x ＝ x3x ＝ x( x 1)( x 1) .1 x 21 x 21 x 2令 h ( x) ＝ 0，得 x0 ，－ 1，1.当 x 变化时， h ( x) ， h( x) 的变化关系如下表x(,1)1( 1,0)(0,1)1(1,)h (x)－0 ＋0 －0 ＋极小值极大值极小值h( x)11ln 2ln 222y－ 1 O1 x。