11-数列求和及数列的简单应用

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高三数学考点-数列求和及应用

6．4 数列求和及应用1．数列求和方法 (1)公式法：(Ⅰ)等差数列、等比数列前n 项和公式． (Ⅱ)常见数列的前n 项和：①1＋2＋3＋…＋n ＝；②2＋4＋6＋…＋2n ＝；③1＋3＋5＋…＋(2n －1)＝；④12＋22＋32＋…＋n 2＝；⑤13＋23＋33＋…＋n 3＝⎣⎡⎦⎤n （n ＋1）22.(2)分组求和：把一个数列分成几个可以直接求和的数列． (3)倒序相加：如等差数列前n 项和公式的推导方法．(4)错位相减：适用于一个等差数列和一个等比数列对应项相乘构成的数列求和．等比数列{a n }前n 项和公式的推导方法就采用了错位相减法．(5)裂项相消：有时把一个数列的通项公式分成二项差的形式，相加消去中间项，只剩有限项再求和．常见的裂项公式：①1n （n ＋1）＝－1n ＋1； ②1（2n －1）（2n ＋1）＝⎝⎛⎭⎫12n －1－12n ＋1；③1n （n ＋1）（n ＋2）＝⎣⎡⎦⎤1n （n ＋1）－1（n ＋1）（n ＋2）；④1a ＋b＝(a －b )；⑤n （n ＋1）！＝－1（n ＋1）！； ⑥C m －1n＝； ⑦n ·n ！＝！－n ！； ⑧a n ＝S n －S n －1(n ≥2)． 2．数列应用题常见模型 (1)单利公式利息按单利计算，本金为a 元，每期利率为r ，存期为x ，则本利和y ＝ . (2)复利公式利息按复利计算，本金为a 元，每期利率为r ，存期为x ，则本利和y ＝ .(3)产值模型原来产值的基础数为N ，平均增长率为p ，对于时间x ，总产值y ＝ . (4)递推型递推型有a n ＋1＝f (a n )与S n ＋1＝f (S n )两类．(5)数列与其他知识综合，主要有数列与不等式、数列与三角、数列与解析几何等．自查自纠1．(1)①n （n ＋1）2 ②n 2＋n ③n 2 ④n （n ＋1）（2n ＋1）6(2)①1n ②12 ③12 ④1a －b ⑤1n ！⑥C m n ＋1－C mn ⑦(n ＋1) 2．(1)a (1＋xr ) (2)a (1＋r )x (3)N (1＋p )x数列{1＋2n －1}的前n 项和为( ) A ．1＋2n B ．2＋2n C ．n ＋2n －1 D ．n ＋2＋2n 解：由题意得a n ＝1＋2n －1，所以S n ＝n ＋1－2n1－2＝n ＋2n －1.故选C .若数列{a n }的通项公式是a n ＝(－1)n ·(3n －2)，则a 1＋a 2＋…＋a 10＝( ) A ．15 B ．12 C ．－12 D ．－15解：记b n ＝3n －2，则数列{b n }是以1为首项，3为公差的等差数列，所以a 1＋a 2＋…＋a 9＋a 10＝(－b 1)＋b 2＋…＋(－b 9)＋b 10＝(b 2－b 1)＋(b 4－b 3)＋…＋(b 10－b 9)＝5×3＝15.故选A . 数列{|2n －7|}的前n 项和T n ＝( ) A ．6n －n 2 B ．n 2－6n ＋18C.⎩⎪⎨⎪⎧6n －n 2（1≤n ≤3）n 2－6n ＋18（n ＞3）D.⎩⎪⎨⎪⎧6n －n 2（1≤n ≤3）n 2－6n （n ＞3）解：设a n ＝2n －7，n ≤3时，a n ＜0；n ＞3时，a n ＞0，a 1＝－5，a 2＝－3，a 3＝－1，且易得{a n }的前n 项和S n＝n 2－6n ，所以T n ＝⎩⎪⎨⎪⎧6n －n 2（1≤n ≤3），n 2－6n ＋18（n ＞3）.故选C .数列{a n }满足a n ＝n （n ＋1）2，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 前10项的和为________．解：1a n ＝2⎝⎛⎭⎫1n －1n ＋1，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 的前10项的和S 10＝2⎝⎛⎭⎫1－12＋12－13＋…＋110－111＝2(1－111)＝2011.故填2011. 有一种细菌和一种病毒，每个细菌在每秒杀死一个病毒的同时将自身分裂为2个．现在有一个这样的细菌和100个这样的病毒，问细菌将病毒全部杀死至少需要________秒．解：设至少需要n 秒，则1＋2＋22＋…＋2n －1≥100，即1－2n1－2≥100，所以n ≥7.故填7.类型一基本求和问题(1)设数列1，(1＋2)，…，(1＋2＋22＋…＋2n －1)，…的前n 项和为S n ，则S n 等于( ) A ．2n B ．2n －nC ．2n ＋1－n D ．2n ＋1－n －2(2)求和：1＋11＋2＋11＋2＋3＋…＋11＋2＋…＋n ；(3)设f (x )＝x 21＋x 2，求：f ⎝⎛⎭⎫12 017＋f ⎝⎛⎭⎫12 016＋…＋f (1)＋f (2)＋…＋f (2 017)； (4)求和：S n ＝1a ＋2a 2＋3a 3＋…＋na n .解：(1)解法一：特殊值法，易知S 1＝1，S 2＝4，只有选项D 适合．解法二：研究通项a n ＝1＋2＋22＋…＋2n －1＝2n －1，所以S n ＝(21－1)＋(22－1)＋…＋(2n －1)＝(21＋22＋…＋2n )－n ＝2n ＋1－n －2.故选D .(2)设数列的通项为a n ，则a n ＝2n （n ＋1）＝2⎝⎛⎭⎫1n －1n ＋1，所以S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ＝2[⎝⎛⎭⎫1－12＋⎝⎛⎭⎫12－13＋…＋⎝⎛⎭⎫1n －1n ＋1]＝2⎝⎛⎭⎫1－1n ＋1＝2n n ＋1.(3)因为f (x )＝x 21＋x 2，所以f (x )＋f ⎝⎛⎭⎫1x ＝1. 令S ＝f ⎝⎛⎭⎫12 017＋f ⎝⎛⎭⎫12 016＋…＋f (1)＋f (2)＋…＋f (2 017)，①则S ＝f (2 017)＋f (2 016)＋…＋f (1)＋f ⎝⎛⎭⎫12＋…＋f ⎝⎛⎭⎫12 016＋f (12 017)，② ①＋②得：2S ＝1×4 033＝4 033，所以S ＝4 0332.(4)(Ⅰ)当a ＝1时，S n ＝1＋2＋…＋n ＝n （n ＋1）2.(Ⅱ)当a ≠1时，S n ＝1a ＋2a 2＋3a 3＋…＋na n ，①1a S n ＝1a 2＋2a 3＋…＋n －1a n ＋nan ＋1，② 由①－②得⎝⎛⎭⎫1－1a S n ＝1a ＋1a 2＋1a 3＋…＋1a n －n a n ＋1＝1a ⎝⎛⎭⎫1－1a n 1－1a－na n ＋1，所以S n ＝a （a n －1）－n （a －1）a n （a －1）2.综上所述，S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧n （n ＋1）2（a ＝1），a （a n －1）－n （a －1）a n （a －1）2（a ≠1）.【点拨】研究通项公式是数列求和的关键．数列求和的常用方法有：公式法、分组求和法、倒序相加法、错位相减法、裂项相消法等，在选择方法前分析数列的通项公式的结构特征，避免盲目套用、错用求和方法．运用等比数列求和公式时，注意对公比是否等于1进行讨论．本例四道题分别主要使用了分组求和法、裂项相消法、倒序相加法、错位相减法．(1)求数列9，99，999，…的前n 项和S n ；(2)求数列122－1，132－1，142－1，…，1（n ＋1）2－1的前n 项和；(3)求sin 21°＋sin 22°＋sin 23°＋…＋sin 289°的值； (4)已知a n ＝n ＋12n ＋1，求{a n }的前n 项和T n .解：(1)S n ＝9＋99＋999＋…＋99…9n 个＝(101－1)＋(102－1)＋(103－1)＋…＋(10n －1) ＝(101＋102＋103＋…＋10n )－n＝10（1－10n ）1－10－n ＝10n ＋1－109－n .(2)因为1（n ＋1）2－1＝1n 2＋2n ＝1n （n ＋2）＝12⎝⎛⎭⎫1n －1n ＋2，所以122－1＋132－1＋142－1＋…＋1（n ＋1）2－1＝12⎝⎛⎭⎫1－13＋12－14＋13－15＋…＋1n －1n ＋2 ＝12⎝⎛⎭⎫32－1n ＋1－1n ＋2 ＝34－12⎝⎛⎭⎫1n ＋1＋1n ＋2. (3)令S n ＝sin 21°＋sin 22°＋sin 23°＋…＋sin 289°，① 则S n ＝sin 289°＋sin 288°＋sin 287°＋…＋sin 21° ＝cos 21°＋cos 22°＋cos 23°＋…＋cos 289°.②①与②两边分别相加得2S n ＝(sin 21°＋cos 21°)＋(sin 22°＋cos 22°)＋…＋(sin 289°＋cos 289°)＝89.所以S n ＝892.(4)T n ＝222＋323＋424＋…＋n ＋12n ＋1，①12T n ＝223＋324＋425＋…＋n ＋12n ＋2，② ①－②得12T n ＝222＋123＋124＋125＋…＋12n ＋1－n ＋12n ＋2 ＝12＋123×⎝⎛⎭⎫1－12n －11－12－n ＋12n ＋2＝34－12n ＋1－n ＋12n ＋2，所以T n ＝32－12n －n ＋12n ＋1＝32－n ＋32n ＋1.类型二可用数列模型解决的实际问题用分期付款的方式购买一批总价为2 300万元的住房，购买当天首付300万元，以后每月的这一天都交100万元，并加付此前欠款的利息，设月利率为1%.若从首付300万元之后的第一个月开始算分期付款的第一个月，问分期付款的第10个月应付________万元．解：购买时付款300万元，则欠款2000万元，依题意分20次付清，则每次交付欠款的数额依次购成数列{a n }，故a 1＝100＋2 000×0.01＝120(万元)， a 2＝100＋(2 000－100)×0.01＝119(万元)， a 3＝100＋(2 000－100×2)×0.01＝118(万元)， a 4＝100＋(2 000－100×3)×0.01＝117(万元)， …a n ＝100＋[2 000－100(n －1)]×0.01＝121－n (万元) (1≤n ≤20，n ∈N *)．因此{a n }是首项为120，公差为－1的等差数列．故a 10＝121－10＝111(万元)．故填111.【点拨】将实际问题转化为数列问题的一般步骤是：①审题，②建模，③求解，④检验，⑤作答．增长率模型是比较典型的等比数列模型，实际生活中的银行利率、企业股金、产品利润、人口增长、工作效率、浓度问题等常常利用增长率模型加以解决．某气象学院用3.2万元买了一台天文观测仪，已知这台观测仪从启用的第一天起连续使用，第n 天的维修保养费为n ＋4910元(n ∈N *)，使用它直至报废最合算(所谓报废最合算是指使用的这台仪器的平均每天耗资最少)为止，一共使用了( ) A ．600天B ．800天C ．1 000天D ．1 200天解：设一共使用了n 天，则使用n 天的平均耗资为32 000＋⎝⎛⎭⎫5＋n 10＋4.9n 2n＝32 000n ＋n 20＋4.95，当且仅当32 000n＝n20时，取得最小值，此时n ＝800.故选B . 类型三数列综合问题(2017·山东)已知{a n }是各项均为正数的等比数列，且a 1＋a 2＝6，a 1a 2＝a 3. (1)求数列{a n }的通项公式；(2){b n }为各项非零的等差数列，其前n 项和为S n .已知S 2n ＋1＝b n b n ＋1，求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫b n a n 的前n 项和T n .解：(1)设{a n }的公比为q .依题意，a 1(1＋q )＝6，a 21q ＝a 1q 2.又a n ＞0，解得a 1＝2，q ＝2，所以a n ＝2n .(2)依题意，S 2n ＋1＝（2n ＋1）（b 1＋b 2n ＋1）2＝(2n ＋1)b n ＋1.又S 2n ＋1＝b n b n ＋1，b n ＋1≠0，所以b n ＝2n ＋1.令c n ＝b na n ，则c n ＝2n ＋12n .因此T n ＝c 1＋c 2＋…＋c n ＝32＋522＋723＋…＋2n －12n －1＋2n ＋12n .又12T n ＝322＋523＋724＋…＋2n －12n ＋2n ＋12n ＋1，两式相减，得12T n ＝32＋⎝⎛⎭⎫12＋122＋…＋12n －1－2n ＋12n ＋1＝32＋12⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫12n －11－12－2n ＋12n ＋1＝52－2n ＋52n ＋1. 所以T n ＝5－2n ＋52n .【点拨】错位相减法适用于等差数列与等比数列的积数列的求和，写出“S n ”与“qS n ”的表达式时，应特别注意将两式“错项对齐”，以便下一步准确写出“S n －qS n ”的表达式．(2017·全国卷Ⅲ)设数列{a n }满足a 1＋3a 2＋…＋(2n －1)a n ＝2n .(1)求{a n }的通项公式；(2)求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n 2n ＋1的前n 项和．解：(1)因为a 1＋3a 2＋…＋(2n －1)a n ＝2n ，故当n ≥2时，a 1＋3a 2＋…＋(2n －3)a n －1＝2(n －1)．两式相减得(2n －1)a n ＝2，所以a n ＝22n －1(n ≥2)．又由题设可得a 1＝2，所以{a n }的通项公式为a n ＝22n －1.(2)记⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n 2n ＋1的前n 项和为S n .由(1)知a n 2n ＋1＝2（2n ＋1）（2n －1）＝12n －1－12n ＋1.则S n ＝11－13＋13－15＋…＋12n －1－12n ＋1＝2n2n ＋1.1．数列的通项公式及前n 项和公式都可以看作项数n 的函数，是函数思想在数列中的应用．数列以通项为纲，数列的问题，最终归结为对数列通项的研究，而数列的前n 项和S n 可视为数列{S n }的通项．通项及求和是数列中最基本也是最重要的问题之一．2．对于一般数列的求和问题，应先观察数列通项的结构特征，再对通项公式进行化简变形，改变原数列的形式，尽可能将其转化为等差数列、等比数列等常见数列，从而达到求和的目的． 3．等差或等比数列的求和直接用公式计算，要注意求和的项数，防止疏漏．4．最好能记忆一些常见数列的求和公式，如正整数列、正奇数列、正偶数列、正整数的平方构成的数列等． 5．数列的实际应用题要注意分析题意，将实际问题转化为常用的数列模型．6．数列的综合问题涉及到的数学思想：函数与方程思想(如：求最值或基本量)、转化与化归思想(如：求和或应用)、特殊到一般思想(如：求通项公式)、分类讨论思想(如：等比数列求和，分q ＝1或q ≠1)等．1．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a 5＝4－a 3，则S 7＝( ) A ．7 B ．12 C ．14 D ．21解：由a 5＝4－a 3，得a 5＋a 3＝4＝a 1＋a 7，所以S 7＝7（a 1＋a 7）2＝14.故选C .2．(2016·新余三校联考)数列{a n }的通项公式是a n ＝(－1)n (2n －1)，则该数列的前100项之和为( ) A ．－200 B ．－100 C ．200 D ．100解：根据题意有S 100＝－1＋3－5＋7－9＋11－…－197＋199＝2×50＝100.故选D .3．设函数f (x )＝x m ＋ax 的导函数为f ′(x )＝2x ＋1，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1f （n ）(n ∈N *)的前n 项和是( )A.n n ＋1B.n ＋2n ＋1C.nn －1D.n ＋1n解：由f ′(x )＝mx m －1＋a ＝2x ＋1得m ＝2，a ＝1.所以f (x )＝x 2＋x ，则1f （n ）＝1n （n ＋1）＝1n －1n ＋1.所以S n ＝1－12＋12－13＋13－14＋…＋1n －1n ＋1＝1－1n ＋1＝n n ＋1.故选A . 4．已知正数组成的等差数列{a n }的前20项的和是100，那么a 6·a 15的最大值是( )A ．25B ．50C ．100D ．不存在解：由条件知，a 6＋a 15＝a 1＋a 20＝110S 20＝110×100＝10，a 6>0，a 15>0，所以a 6·a 15≤⎝⎛⎭⎫a 6＋a 1522＝25，等号在a 6＝a 15＝5时成立，即当a n ＝5(n ∈N *)时，a 6·a 15取最大值25.故选A .5．设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若8a 2＋a 5＝0，则下列式子中数值不能确定的是( ) A.a 5a 3 B.S 5S 3 C.a n ＋1a n D.S n ＋1S n解：数列{a n }为等比数列，由8a 2＋a 5＝0，知8a 2＋a 2q 3＝0，因为a 2≠0，所以q ＝－2，a 5a 3＝q 2＝4；S 5S 3＝1－q 51－q 3＝113；a n ＋1a n ＝q ＝－2；S n ＋1S n ＝1－q n ＋11－q n ，其值与n 有关．故选D . 6．某化工厂打算投入一条新的生产线，但需要经环保部门审批同意方可投入生产．已知该生产线连续生产n年的累计产量为f (n )＝12n (n ＋1)(2n ＋1)(单位：t)，但如果年产量超过150 t ，将会给环境造成危害．为保护环境，环保部门应给该厂这条生产线拟定最长的生产期限是( ) A ．5年 B ．6年 C ．7年 D ．8年解：由已知可得第n 年的产量a n ＝f (n )－f (n －1)＝3n 2.当n ＝1时也适合，据题意令a n ≥150⇒n ≥52，即数列从第8项开始超过150，即这条生产线最多生产7年．故选C .7．已知数列{a n }满足a n ＝1＋2＋3＋…＋nn ，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n a n ＋1 的前n 项和为________．解：a n ＝1＋2＋3＋…＋n n ＝n ＋12，1a n a n ＋1＝4（n ＋1）（n ＋2）＝4⎝⎛⎭⎫1n ＋1－1n ＋2，所求的前n 项和为4(12－13＋13－14＋…＋1n ＋1－1n ＋2)＝4⎝⎛⎭⎫12－1n ＋2＝2n n ＋2.故填2nn ＋2.8．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，当n ≥2时，a n ＋2S n －1＝n ，则S 2 017的值为________．解：当n ≥2时，a n ＋2S n －1＝n ，又a n ＋1＋2S n ＝n ＋1，两式相减，得a n ＋1＋a n ＝1(n ≥2)．又a 1＝1，所以S 2 017＝a 1＋(a 2＋a 3)＋…＋(a 2 016＋a 2 017)＝1 009.故填1 009.9．已知等差数列{a n }满足：a n ＋1>a n (n ∈N *)，a 1＝1，该数列的前三项分别加上1，1，3后成等比数列，a n ＋2log 2b n ＝－1.(1)分别求数列{a n }，{b n }的通项公式； (2)求数列{a n ·b n }的前n 项和T n .解：(1)设d 为等差数列{a n }的公差，且d >0，由a 1＝1，a 2＝1＋d ，a 3＝1＋2d ，分别加上1，1，3成等比数列，得(2＋d )2＝2(4＋2d )， d >0，所以d ＝2，所以a n ＝1＋(n －1)×2＝2n －1，又因为a n ＋2log 2b n ＝－1，所以log 2b n ＝－n ，即b n ＝12n .(2)T n ＝121＋322＋523＋…＋2n －12n ①，12T n ＝122＋323＋524＋…＋2n －12n ＋1②， ①－②，得12T n ＝12＋2⎝⎛⎭⎫122＋123＋124＋…＋12n －2n －12n ＋1. 所以T n ＝1＋1－12n －11－12－2n －12n ＝3－12n －2－2n －12n ＝3－2n ＋32n .10．在数列{a n }中，a 1＝8，a 4＝2，且满足a n ＋2＋a n ＝2a n ＋1. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)设S n 是数列{|a n |}的前n 项和，求S n .解：(1)由2a n ＋1＝a n ＋2＋a n 可得{a n }是等差数列，且公差d ＝a 4－a 14－1＝2－83＝－2.所以a n ＝a 1＋(n －1)d ＝－2n ＋10. (2)令a n ≥0，得n ≤5.即当n ≤5时，a n ≥0，n ≥6时，a n <0. 所以当n ≤5时，S n ＝|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n | ＝a 1＋a 2＋…＋a n ＝－n 2＋9n ；当n ≥6时，S n ＝|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n |＝a 1＋a 2＋…＋a 5－(a 6＋a 7＋…＋a n ) ＝－(a 1＋a 2＋…＋a n )＋2(a 1＋a 2＋…＋a 5) ＝－(－n 2＋9n )＋2×20＝n 2－9n ＋40，所以S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧－n 2＋9n ，n ≤5，n 2－9n ＋40，n ≥6.已知数列{a n }满足a n ＋2＝qa n (q 为实数，且q ≠1)，n ∈N *，a 1＝1，a 2＝2，且a 2＋a 3，a 3＋a 4，a 4＋a 5成等差数列．(1)求q 的值和{a n }的通项公式； (2)设b n ＝log 2a 2na 2n －1，n ∈N *，求数列{b n }的前n 项和．解：(1)由已知，有(a 3＋a 4)－(a 2＋a 3)＝(a 4＋a 5)－(a 3＋a 4)，即a 4－a 2＝a 5－a 3，所以a 2(q －1)＝a 3(q －1)，又因为q ≠1，故a 3＝a 2＝2，由a 3＝a 1q ，得q ＝2，当n ＝2k －1(k ∈N *)时，a n ＝a 2k －1＝2k －1＝2n －12，当n ＝2k (k ∈N *)时，a n ＝a 2k ＝2k ＝2n 2，所以{a n }的通项公式为a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2n －12，n 为奇数，2n 2，n 为偶数.(2)b n ＝log 2a 2n a 2n －1＝n2n －1，设数列{b n }的前n 项和为S n ，则S n ＝1＋221＋322＋…＋n2n －1.所以12S n ＝121＋222＋323＋…＋n 2n .两式相减得12S n ＝1＋121＋122＋123＋…＋12n －1－n2n＝1－12n1－12－n 2n ＝2－n ＋22n .所以S n ＝4－n ＋22n －1.1．数列{a n }的通项公式为a n ＝1n ＋n ＋1，若{a n }的前n 项和为24，则n ＝( )A ．25B ．576C ．624D ．625解：a n ＝n ＋1－n ，所以S n ＝(2－1)＋(3－2)＋…＋(n ＋1－n )＝n ＋1－1，令S n ＝24得n ＝624.故选C .2．在等差数列{a n }中，若a 1，a 2 019为方程x 2－10x ＋16＝0的两根，则a 2＋a 1 010＋a 2 018＝( ) A ．10 B ．15 C ．20 D ．40解：由题意知，a 1＋a 2 019＝a 2＋a 2 018＝2a 1 010＝10，所以a 2＋a 1 010＋a 2 018＝3a 1 010＝15.故选B . 3．已知数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1－2a n ＝0，b n ＝log 2a n ，那么数列{b n }的前10项和等于( ) A ．130 B ．120 C ．55 D ．50解：因为a 1＝2，a n ＋1＝2a n ，故{a n }是首项、公比均为2的等比数列．故a n ＝2·2n －1＝2n ，b n ＝log 22n ＝n .所以b 1＋b 2＋…＋b 10＝1＋2＋3＋…＋10＝1＋102×10＝55.故选C .4．已知数列{a n }中的前n 项和S n ＝n (n －9)，第k 项满足7＜a k ＜10，则k 等于( ) A ．7 B ．8 C ．9 D ．10解：当k ≥2时，a k ＝S k －S k －1＝k 2－9k －(k －1)2＋9(k －1)＝2k －10，k ＝1时也适合．由7<a k <10，得7<2k －10<10，所以172<k <10，所以k ＝9.故选C .5．设直线nx ＋(n ＋1)y ＝2(n ∈N *)与两坐标轴围成的三角形面积为S n ，则S 1＋S 2＋…＋S 2 018的值为 ( ) A.2 0152 016 B.2 0162 017 C.2 0172 018 D.2 0182 019解：直线与x 轴交于⎝⎛⎭⎫2n ，0，与y 轴交于⎝ ⎛⎭⎪⎫0，2n ＋1，所以S n ＝12·2n ·2n ＋1＝1n （n ＋1）＝1n －1n ＋1.所以原式＝⎝⎛⎭⎫1－12＋⎝⎛⎭⎫12－13＋…＋⎝⎛⎭⎫12 018－12 019 ＝1－12019＝20182019.故选D .6．已知函数f (n )＝n 2cos(n π)，且a n ＝f (n )＋f (n ＋1)，则a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 100＝( ) A ．0 B ．－100 C ．100 D ．10 200解：因为a n ＝f (n )＋f (n ＋1)，所以a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 100＝[f (1)＋f (2)]＋[f (2)＋f (3)]＋…＋[f (100)＋f (101)]＝(－12＋22)＋(22－32)＋…＋(1002－1012)＝3＋(－5)＋7＋(－9)＋…＋199＋(－201)，共100项，故所求为－2×50＝－100.故选B .7．(2017·江苏)等比数列{a n }的各项均为实数，其前n 项的和为S n ，已知S 3＝74，S 6＝634，则a 8＝________.解：当q ＝1时，显然不符合题意；当q ≠1时，⎩⎪⎨⎪⎧a 1（1－q 3）1－q ＝74，a 1（1－q 6）1－q＝634，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝14，q ＝2，则a 8＝14×27＝32.故填32.8．(2016·全国卷Ⅰ)设等比数列{a n }满足a 1＋a 3＝10，a 2＋a 4＝5，则a 1a 2…a n 的最大值为________．解：设该等比数列的公比为q ，则q ＝a 2＋a 4a 1＋a 3＝12，可得a 1＋14a 1＝10，得a 1＝8，所以a n ＝8·⎝⎛⎭⎫12n －1＝⎝⎛⎭⎫12n －4.所以a 1a 2…a n ＝⎝⎛⎭⎫12－3－2－1＋0＋…＋（n －4）＝⎝⎛⎭⎫12n 2－7n2，易知当n ＝3或n ＝4时，12(n 2－7n )取得最小值－6，故a 1a 2…a n 的最大值为⎝⎛⎭⎫12－6＝64.故填64.9．在等差数列{a n }中，a 1＝3，其前n 项和为S n ，等比数列{b n }的各项均为正数，b 1＝1，公比为q ，且b 2＋S 2＝12，q ＝S 2b 2.(1)求a n 与b n ；(2)证明：13≤1S 1＋1S 2＋…＋1S n ＜23.解：(1)设数列{a n }的公差为d .因为⎩⎪⎨⎪⎧b 2＋S 2＝12，q ＝S 2b 2，所以⎩⎪⎨⎪⎧q ＋6＋d ＝12，q ＝6＋dq .解得q ＝3或q ＝－4(舍)，d ＝3.故a n ＝3＋3(n －1)＝3n ，b n ＝3n －1. (2)证明：因为S n ＝n （3＋3n ）2，所以1S n ＝2n （3＋3n ）＝23⎝⎛⎭⎫1n －1n ＋1.故1S 1＋1S 2＋…＋1S n ＝23[⎝⎛⎭⎫1－12＋⎝⎛⎭⎫12－13＋⎝⎛⎭⎫13－14＋…＋⎝⎛⎭⎫1n －1n ＋1]＝23⎝⎛⎭⎫1－1n ＋1.因为n ≥1，所以0＜1n ＋1≤12，所以12≤1－1n ＋1＜1，所以13≤23⎝⎛⎭⎫1－1n ＋1＜23，即13≤1S 1＋1S 2＋…＋1S n ＜23. 10．(2016·山东)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝3n 2＋8n ，{b n }是等差数列，且a n ＝b n ＋b n ＋1. (1)求数列{b n }的通项公式；(2)令c n ＝（a n ＋1）n ＋1（b n ＋2）n .求数列{c n }的前n 项和T n .解：(1)因为数列{a n }的前n 项和S n ＝3n 2＋8n ，所以a 1＝11，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝3n 2＋8n －3(n －1)2－8(n －1)＝6n ＋5，又a n ＝6n ＋5对n ＝1也成立，所以a n ＝6n ＋5.又因为{b n }是等差数列，设公差为d ，则a n ＝b n ＋b n ＋1＝2b n ＋d .当n ＝1时，2b 1＝11－d ；当n ＝2时，2b 2＝17－d ，解得d ＝3，所以数列{b n }的通项公式为b n ＝a n －d2＝3n ＋1.(2)由c n ＝（a n ＋1）n ＋1（b n ＋2）n ＝（6n ＋6）n ＋1（3n ＋3）n ＝(3n ＋3)·2n ＋1，于是T n ＝6×22＋9×23＋12×24＋…＋(3n ＋3)×2n ＋1，两边同乘以2，得2T n ＝6×23＋9×24＋…＋(3n )×2n ＋1＋(3n ＋3)×2n ＋2，两式相减，得－T n ＝6×22＋3×23＋3×24＋…＋3×2n ＋1－(3n ＋3)×2n ＋2＝3×22＋3×22（1－2n ）1－2－(3n ＋3)×2n ＋2，所以T n ＝－12＋3×22(1－2n )＋(3n ＋3)×2n ＋2＝3n ·2n ＋2.已知数列{a n }满足a 1＝35，a n ＋1＝3a n2a n ＋1，n ∈N *.(1)求证：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n －1为等比数列．(2)是否存在互不相等的正整数m ，s ，t ，使m ，s ，t 成等差数列，且a m －1，a s －1，a t －1成等比数列？如果存在，求出所有符合条件的m ，s ，t ；如果不存在，请说明理由．解：(1)证明：因为a n ＋1＝3a n 2a n ＋1，所以1a n ＋1＝13a n ＋23，所以1a n ＋1－1＝13⎝⎛⎭⎫1a n －1. 因为a 1＝35，所以1a 1－1＝23，所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n －1是首项为23，公比为13的等比数列．(2)由(1)知，1a n －1＝23×⎝⎛⎭⎫13n －1＝23n ，所以a n ＝3n 3n ＋2.假设存在互不相等的正整数m ，s ，t 满足条件，则有⎩⎪⎨⎪⎧m ＋t ＝2s ，（a s －1）2＝（a m －1）（a t －1）.由a n ＝3n3n ＋2与(a s －1)2＝(a m －1)(a t －1)，得⎝⎛⎭⎫3s 3s ＋2－12＝⎝⎛⎭⎫3m 3m ＋2－1⎝⎛⎭⎫3t 3t ＋2－1，即3m ＋t ＋2×3m ＋2×3t ＝32s ＋4×3s . 因为m ＋t ＝2s ，所以3m ＋3t ＝2×3s .又3m ＋3t ≥23m ＋t ＝2×3s ，当且仅当m ＝t 时，等号成立，这与m ，s ，t 互不相等矛盾，所以不存在互不相等的正整数m ，s ，t 满足条件．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．在等差数列{a n }中，若a 2＝4，a 4＝2，则a 6＝( ) A ．－1 B ．0 C ．1 D ．6解：由等差数列的性质知a 2，a 4，a 6成等差数列，所以a 2＋a 6＝2a 4，所以a 6＝2a 4－a 2＝0.故选B . 2．已知数列{a n }为2，0，2，0，…，则下列各项不可以作为数列{a n }通项公式的是( )A ．a n ＝1＋(－1)n ＋1B ．a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2，n 为奇数，0，n 为偶数C ．a n ＝1－cos n πD ．a n ＝2sinn π2解：若a n ＝2sin n π2，则a 1＝2sin π2＝2，a 2＝2sinπ＝0，a 3＝2sin 3π2＝－2，不符合题意．故选D .3．在数列{a n }中，“对任意的n ∈N *，a 2n ＋1＝a n a n ＋2”是“数列{a n }为等比数列”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件解：若a n ＝0，满足a 2n ＋1＝a n ·a n ＋2，但{a n }不是等比数列．故选B .4．(2015·全国卷Ⅰ)已知{a n }是公差为1的等差数列，S n 为a n 的前n 项和，若S 8＝4S 4，则a 10＝( )A.172B.192C ．10D ．12 解：因为公差d ＝1，S 8＝4S 4，所以8a 1＋12×8×7＝4(4a 1＋6)，解得a 1＝12，所以a 10＝a 1＋9d ＝12＋9＝192.故选B .5．等差数列{a n }的公差为2，若a 2，a 4，a 8成等比数列，则{a n }的前n 项和S n ＝( ) A ．n (n ＋1) B ．n (n －1)C.n （n ＋1）2D.n （n －1）2解：因为d ＝2，a 2，a 4，a 8成等比数列，所以a 24＝a 2a 8，即(a 2＋2d )2＝a 2(a 2＋6d )，解得a 2＝4，a 1＝2.所以利用等差数列的求和公式可求得S n ＝n (n ＋1)．故选A .6．(2016·江西八校联考)数列{a n }的前n 项和S n ＝2n 2＋3n (n ∈N *)，若p －q ＝5(p ，q ∈N *)，则a p －a q ＝( ) A ．10 B ．15 C ．－5 D ．20解：当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n 2＋3n －[2(n －1)2＋3(n －1)]＝4n ＋1，当n ＝1时，a 1＝S 1＝5，符合上式，所以a n ＝4n ＋1，所以a p －a q ＝4(p －q )＝20.故选D .7．已知公差不为零的等差数列{a n }与公比为q 的等比数列{b n }有相同的首项，同时满足a 1，a 4，b 3成等比数列，b 1，a 3，b 3成等差数列，则q 2＝( ) A.14 B.16 C.19 D.18解：设数列的首项为a ，等差数列{a n }的公差为d ，⎩⎪⎨⎪⎧2a 3＝b 1＋b 3，a 24＝a 1·b 3，将a ，d ，q 代入得⎩⎪⎨⎪⎧2（a ＋2d ）＝a ＋aq 2， ①（a ＋3d ）2＝a ·aq 2， ② 化简得(a ＋3d )2＝a (a ＋4d )，解得a ＝－92d (d ≠0)，代入①式得q 2＝19.故选C .8．执行如图所示的程序框图，如果输入n ＝3，则输出的S ＝( )A.37B.67C.89D.49解：第一次循环后S ＝11×3＝13，i ＝2；第二次循环后S ＝11×3＋13×5＝12×⎝⎛⎭⎫1－13＋13－15＝25，i ＝3；第三次循环后S ＝11×3＋13×5＋15×7＝12×(1－13＋13－15＋15－17)＝37，此时i ＝4>3，退出循环，输出结果S ＝37.故选A .9．设曲线y ＝x n ＋1(n ∈N *)在点(1，1)处的切线与x 轴的交点的横坐标为x n ，令a n ＝lg x n ，则a 1＋a 2＋…＋a 2 017＝( )A ．lg2 018B ．lg2 017C ．－lg2 018D ．－lg2 017解：因为y ′＝(n ＋1)x n ，所以曲线y ＝x n ＋1在点(1，1)处的切线斜率为n ＋1，切线方程为y －1＝(n ＋1)(x －1)，令y ＝0，得x n ＝1－1n ＋1＝n n ＋1.则a n ＝lg x n ＝lg n n ＋1，所以a 1＋a 2＋…＋a 2 017＝lg ⎝⎛⎭⎫12×23×…×2 0172 018＝lg 12 018＝－lg2 018.故选C .10．已知在数列{a n }中，a n ＝n 2＋λn ，且{a n }是递增数列，则实数λ的取值范围是( ) A ．(－2，＋∞) B ．[－2，＋∞) C ．(－3，＋∞) D ．[－3，＋∞)解：由题意可知a n ＋1>a n 对任意正整数n 恒成立，即(n ＋1)2＋λ(n ＋1)>n 2＋λn 对任意正整数n 恒成立，即λ>－2n －1对任意正整数n 恒成立，故λ>－3.另解，由对称轴－λ2＜32求解．故选C .11．已知a n ＝⎝⎛⎭⎫13n ，把数列{a n }的各项排列成如下的三角形形状，a 1 a 2 a 3 a 4 a 5 a 6 a 7 a 8 a 9……记A (m ，n )表示第m 行的第n 个数，则A (10，12)＝( )A.⎝⎛⎭⎫1393B.⎝⎛⎭⎫1392C.⎝⎛⎭⎫1394D.⎝⎛⎭⎫13112解：前9行一共有1＋3＋5＋…＋17＝81个数，而A (10，12)表示第10行的第12个数，所以n ＝93，即A (10，12)＝a 93＝⎝⎛⎭⎫1393.故选A . 12．设a n ＝1n sin n π25，S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ，在S 1，S 2，…，S 100中，正数的个数是( )A ．25B ．50C ．75D ．100解：当1≤n ≤24时，a n ＞0，当26≤n ≤49时，a n ＜0，但其绝对值要小于1≤n ≤24时相应的值，当51≤n ≤74时，a n ＞0，当76≤n ≤99时，a n ＜0，但其绝对值要小于51≤n ≤74时相应的值，所以当1≤n ≤100时，均有S n ＞0.故选D .二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．(2017·北京)若等差数列{a n }和等比数列{b n }满足a 1＝b 1＝－1，a 4＝b 4＝8，则a 2b 2＝________.解：－1＋3d ＝－q 3＝8⇒d ＝3，q ＝－2⇒a 2b 2＝－1＋3－1×（－2）＝1.故填1.14．(2017·全国卷Ⅲ)设等比数列{a n }满足a 1＋a 2＝－1，a 1－a 3＝－3，则a 4＝________. 解：因为{a n }为等比数列，设公比为q . ⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 2＝－1，a 1－a 3＝－3，即⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 1q ＝－1， ①a 1－a 1q 2＝－3， ②显然q ≠1，a 1≠0， ②①得1－q ＝3，即q ＝－2，代入①式可得a 1＝1，所以a 4＝a 1q 3＝1×(－2)3＝－8.故填－8.15．(2015·武汉调研)《张丘建算经》卷上第22题——“女子织布”问题：某女子善于织布，一天比一天织得快，而且每天增加的数量相同．已知第一天织布5尺，30天共织布390尺，则该女子织布每天增加________尺．解：设每天增加的数量为x 尺，则5×30＋30×（30－1）x 2＝390，所以x ＝1629.故填1629.16．设数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1＝1，S n ＋1＝2S n ＋n ＋1(n ∈N *)，则数列{a n }的通项公式a n ＝________. 解：因为S n ＋1＝2S n ＋n ＋1，当n ≥2时，S n ＝2S n －1＋n ，两式相减得，a n ＋1＝2a n ＋1，所以a n ＋1＋1＝2(a n ＋1)，即a n ＋1＋1a n ＋1＝2.又S 2＝2S 1＋1＋1，a 1＝S 1＝1，所以a 2＝3，所以a 2＋1a 1＋1＝2，所以a n ＋1＝2×2n －1＝2n ，所以a n ＝2n －1.故填2n －1.三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．(10分)数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足S n ＝4a n －3(n ∈N *)，求a n . 解：S n ＝4a n －3，则S n －1＝4a n －1－3，两式相减，得a n a n －1＝43.又a 1＝4a 1－3，所以a 1＝1，所以a n ＝⎝⎛⎭⎫43n －1.18．(12分)已知等比数列{a n }中，a 1＝13，公比q ＝13.(1)S n 为{a n }的前n 项和，证明：S n ＝1－a n2；(2)设b n ＝log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a n ，求数列{b n }的通项公式．解：(1)证明：因为a n ＝13×⎝⎛⎭⎫13n －1＝13n ，S n ＝13⎝⎛⎭⎫1－13n 1－13＝1－13n 2，所以S n ＝1－a n 2.(2)b n ＝log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a n ＝－(1＋2＋…＋n )＝－n （n ＋1）2.所以{b n }的通项公式为b n ＝－n （n ＋1）2.19．(12分)(2016·北京)已知{a n }是等差数列，{b n }是等比数列，且b 2＝3，b 3＝9，a 1＝b 1，a 14＝b 4. (1)求{a n }的通项公式；(2)设c n ＝ a n ＋ b n ，求数列{c n }的前n 项和．解：(1)等比数列{b n }的公比q ＝b 3b 2＝93＝3，所以b 1＝b 2q ＝1，b 4＝b 3q ＝27.设等差数列{a n }的公差为d . 因为a 1＝b 1＝1，a 14＝b 4＝27，所以1＋13d ＝27，即d ＝2.所以a n ＝2n －1. (2)由(1)知，a n ＝2n －1，b n ＝3n －1. 因此c n ＝a n ＋b n ＝2n －1＋3n －1. 从而数列{c n }的前n 项和S n ＝1＋3＋…＋()2n －1＋1＋3＋…＋3n －1 ＝n ()1＋2n －12＋1－3n 1－3＝n 2＋3n －12.20．(12分)已知数列{a n }与{b n }，若a 1＝3且对任意正整数n 满足a n ＋1－a n ＝2，数列{b n }的前n 项和S n ＝n 2＋a n .(1)求数列{a n }，{b n }的通项公式； (2)求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1b n b n ＋1的前n 项和T n .解：(1)由题意知{a n }是以3为首项，2为公差的等差数列．所以a n ＝2n ＋1. 当n ＝1时，b 1＝S 1＝4；当n ≥2时，b n ＝S n －S n －1＝(n 2＋2n ＋1)－[(n －1)2＋2(n －1)＋1]＝2n ＋1，对b 1＝4不成立．所以数列{b n }的通项公式为b n ＝⎩⎪⎨⎪⎧4，n ＝1，2n ＋1，n ≥2.(2)由(1)知当n ＝1时，T 1＝1b 1b 2＝120.当n ≥2时， 1b n b n ＋1＝1（2n ＋1）（2n ＋3）＝12⎝⎛⎭⎫12n ＋1－12n ＋3，所以T n ＝120＋12[⎝⎛⎭⎫15－17＋⎝⎛⎭⎫17－19＋…＋(12n ＋1－12n ＋3)]＝120＋12⎝⎛⎭⎫15－12n ＋3＝120＋n －110n ＋15＝6n －120（2n ＋3）. 当n ＝1时仍成立，所以T n ＝6n －120（2n ＋3）.21．(12分)(2017·天津)已知{a n }为等差数列，前n 项和为S n (n ∈N *)，{b n }是首项为2的等比数列，且公比大于0，b 2＋b 3＝12，b 3＝a 4－2a 1，S 11＝11b 4. (1)求{a n }和{b n }的通项公式；(2)求数列{a 2n b 2n －1}的前n 项和(n ∈N *)．解：(1)设等差数列{a n }的公差为d ，等比数列{b n }的公比为q . 由已知b 2＋b 3＝12，得b 1(q ＋q 2)＝12，而b 1＝2，所以q 2＋q －6＝0. 又因为q ＞0，解得q ＝2.所以b n ＝2n . 由b 3＝a 4－2a 1，可得3d －a 1＝8.① 由S 11＝11b 4，可得a 1＋5d ＝16，②联立①②，解得a 1＝1，d ＝3，由此可得a n ＝3n －2.所以，数列{a n }的通项公式为a n ＝3n －2，数列{b n }的通项公式为b n ＝2n . (2)设数列{a 2n b 2n －1}的前n 项和为T n ，由a 2n ＝6n －2，b 2n －1＝2×4n －1，有a 2n b 2n －1＝(3n －1)×4n ，故T n ＝2×4＋5×42＋8×43＋…＋(3n －1)×4n ，4T n ＝2×42＋5×43＋8×44＋…＋(3n －4)×4n ＋(3n －1)×4n ＋1，上述两式相减，得－3T n ＝2×4＋3×42＋3×43＋…＋3×4n －(3n －1)×4n ＋1 ＝12×（1－4n ）1－4－4－(3n －1)×4n ＋1＝－(3n －2)×4n ＋1－8.得T n ＝3n －23×4n ＋1＋83.所以，数列{a 2n b 2n －1}的前n 项和为3n －23×4n ＋1＋83.22．(12分)(2017·山东)已知{x n }是各项均为正数的等比数列，且x 1＋x 2＝3，x 3－x 2＝2.(1)求数列{x n }的通项公式；(2)如图，在平面直角坐标系xOy 中，依次连接点P 1(x 1, 1)，P 2(x 2, 2)，…，P n ＋1(x n ＋1, n ＋1)得到折线P 1 P 2…P n ＋1，求由该折线与直线y ＝0，x ＝x 1，x ＝x n ＋1所围成的区域的面积T n .解：(1)设数列{x n }的公比为q ，由已知q >0.由题意得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 1q ＝3，x 1q 2－x 1q ＝2，所以3q 2－5q －2＝0，因为q >0，所以q ＝2，x 1＝1，因此数列{x n }的通项公式为x n ＝2n －1.(2)过P 1，P 2，P 3，…，P n ＋1向x 轴作垂线，垂足分别为Q 1，Q 2，Q 3，…，Q n ＋1，由(1)得x n ＋1－x n ＝2n －2n －1＝2n －1.记梯形P n P n ＋1Q n ＋1Q n 的面积为b n . 由题意b n ＝（n ＋n ＋1）2×2n －1＝(2n ＋1)×2n －2，所以T n ＝b 1＋b 2＋b 3＋…＋b n＝3×2－1＋5×20＋7×21＋…＋(2n －1)×2n －3＋(2n ＋1)×2n －2① 又2T n ＝3×20＋5×21＋7×22＋…＋(2n －1)×2n －2＋(2n ＋1)×2n －1，② ①－②得－T n ＝3×2－1＋(2＋22＋…＋2n －1)－(2n ＋1)×2n －1＝32＋2（1－2n －1）1－2－(2n ＋1)×2n －1. 所以T n ＝（2n －1）×2n ＋12.。

专题十一数列求和的常用方法

专题十一数列求和的常用方法一、公式法①等差数列求和公式；②等比数列求和公式；③常用公式：)1(211+==∑=n n k S nk n ，)12)(1(6112++==∑=n n n k S nk n ，213)]1(21[+==∑=n n k S nk n二、．并项求和法：将数列的相邻的两项（或若干项）并成一项（或一组）得到一个新的且更容易求和的数列.三、分组求和法：将数列分成可以求和的几组。

四．裂项相消法：将数列的每一项拆（裂开）成两项之差，使得正负项能互相抵消，剩下首尾若干项. ①111(1)1n n n n =-++ ②1111(k)k k n n n n =-++（）③1111[](1)(2)2(1)(1)(2)n n n n n n n =--++++；④n n n n a n -+=++=111五．错位相减法：若}{n a 是等差数列，{n b }是等比数列，则数列{n n b a ⋅}的求和运用错位求和方法，这是仿照推导等比数列前n 项和公式的方法.六．倒序相加法：将一个数列的倒数第k 项（k =1，2，3，…，n ）变为顺数第k 项，然后将得到的新数列与原数列相加，这是仿照推导等差数列前n 项和公式的方法. 七、通项转换法：先对通项进行变形，发现其内在特征，再运用分组求和法求和。

【课前热身】1、数列2， ,21,,814,413,2121-+n n 的前n 项之和为n n n+112122⎡⎤+-⎢⎥⎣⎦（)（） 2、设5033171,)1(4321S S S n S n n ++⋅-++-+-=-则 = 1 ；3、数列1，（1+2），（1+2+22），…，（1+2+22+…+n-12），…的前n 项和等于n+12-2-n4、已知数列{n a }的通项公式是n n n a n 则前,6512++=项和为n3n 3+（）典型例题：例1、（1）求89sin 88sin 3sin 2sin 1sin 22222++⋅⋅⋅+++的值（2）求证：n nn n n nn C n C C C 2)1()12(53210+=++⋅⋅⋅+++ 解：（1）设S n =89sin 88sin 3sin 2sin 1sin 22222++⋅⋅⋅+++则S n =22222sin 89sin 88sin 87sin 2sin 1+++⋅⋅⋅++ ∴2S n =89，故S n =892（2）设T n =01n-13(21)(21)nn n n n C C n C n C ++⋅⋅⋅+-++，则T n =n-110(21)(21)3n n n n n n C n C C C ++-+⋅⋅⋅++∴2T n =01n-1n(22)n n n n n C C C C ⎡⎤+++⋅⋅⋅++⎣⎦=n(22)2n +⋅ ∴nn n n n n n C n C C C 2)1()12(53210+=++⋅⋅⋅+++注：本例是运用倒序相加法求和。

数列与数列求和等比数列求和公式及应用

数列与数列求和等比数列求和公式及应用数列与数列求和等比数列求和公式及应用数列是一组按特定规律排列的数的集合，而数列求和则是计算数列中所有数之和的过程。

在数学中，等比数列是一种特殊的数列，它的每一项都是前一项与相同的常数（称为公比）相乘得到的。

在本文中，我们将介绍等比数列的求和公式以及其应用。

一、等比数列求和公式设等比数列的首项为a₁，公比为r，项数为n。

我们需要求解等比数列的前n项之和Sn。

1. 当公比r不等于1时，等比数列求和公式为：Sn = a₁ * (1 - r^n) / (1 - r)2. 当公比r等于1时，等比数列求和的结果就是其首项与项数的乘积，即：Sn = a₁ * n二、应用实例等比数列求和公式在实际问题中有广泛的应用，以下是一些常见的例子。

1. 财务应用：假设你每天存款的利率是0.03，第一天存入100元，第二天存入100 * 0.03 = 103元，以此类推。

问存了10天后，一共存入了多少钱？第一项a₁ = 100，公比r = 0.03，项数n = 10。

代入等比数列求和公式可得：Sn = 100 * (1 - 0.03^10) / (1 - 0.03) ≈ 1038.55元因此，存了10天后，一共存入了约1038.55元。

2. 物理应用：在物理学中，速度、加速度等与时间有关的量常常构成等比数列。

例如，一个物体以每秒钟减速50m/s²的速度匀减速运动，从初始速度200m/s开始，问经过5秒钟后，物体的总位移是多少？第一项a₁ = 200，公比r = -50/200 = -0.25，项数n = 5。

代入等比数列求和公式可得：Sn = 200 * (1 - (-0.25)^5) / (1 - (-0.25)) ≈ 268.75m因此，经过5秒钟后，物体的总位移约为268.75m。

3. 经济应用：在经济学中，利润、市场份额等指标常常构成等比数列。

例如，某公司的利润在第一年为1万美元，每年增长20%。

数列的求和方法和应用类型

数列的求和方法和应用类型
数列的求和方法有以下几种：
1. 公式法：对于某些特定的数列，可以通过公式来快速求出前n 项的和，如等差数列、等比数列、斐波那契数列等。

2. 通项公式法：对于某些数列，可以求出通项公式，然后利用
通项公式求和。

例如，斐波那契数列的通项公式为：Fn = (1/√5) {[(1+√5)/2]^n - [(1-√5)/2]^n}，其中n为正整数。

3. 递归公式法：对于一些数列，可以通过递归公式来求和。

例如，斐波那契数列可以通过递归公式F(n) = F(n-1) + F(n-2)来求和。

4. 分段求和法：对于复杂的数列，可以将其分为多个子数列，
然后分别求和，最后将子数列的和相加。

例如，把1，2，3，2，1，2，3，4，3，2，1，2看成三个数列1，2，3；2，1，2，3；4，3，2，1，2，再分别求和，最后相加得到数列的总和。

5. 数学归纳法：对于一些数列，可以通过数学归纳法来证明其
求和公式。

例如，对于等差数列，利用数学归纳法可以证明其求和公
式为：S(n) = n(a1+an)/2，其中a1为首项，an为末项，n为项数。

数列的应用类型有以下几种：
1. 统计应用：数列可用于数据的统计分析，如平均数、中位数、众数等。

2. 财务应用：数列可用于计算财务问题，如年金、现值、未来
值等。

3. 优化应用：数列可用于优化问题，如最小化损失、最大化利
润等。

4. 排列和组合应用：数列可用于计算排列和组合，如阶乘、组
合数等。

5. 数学和物理应用：数列可用于解决各种数学和物理问题，如
红利问题、运动问题等。

数列求和及其数列的简单应用

数列求和及其数列的简单应用
数列求和及数列的简单应用
常用求和公式
等差数列
，特别。
等比数列
，特别。
自然数
平方和
。
自然数
立方和
。
常用求和方法
公式法
如。
常用裂项方法：；
；
；
。
分组法
如，。
裂项法
如。
错位
相减法
如。
倒序
相加法
如。
数列模型
等差数列
基本特征是均匀增加者减少。
等比数列
基本特征是指数增长，常见的是增产率问题、存款复利问题。
一个简单
递推数列
基本特征是指数增长的同时又均匀减少。如年收入增长率为，每年年底要拿出（常数）作为下年度的开销，即数列满足。
注：表中均为正整数
数学归纳法
数学
归纳法
数学归纳法是以自然数的归纳公理做为它的理论基础的，因此，数学归纳法的适用范围仅限于与自然数有关的命题。分两步：首先证明当n取第一个值n0（例如n0=1）时结论正确；然后假设当n=k 时结论正确，证明当n=k+1时结论也正确．

数列的综合应用总结

数列的综合应用总结数列作为数学中常见的一种数学对象，在各个领域中都有着广泛的应用。

本文将对数列的综合应用进行总结和分析，包括数列的定义、数列求和的方法以及数列在实际问题中的应用等方面。

一、数列的定义数列是由一系列按照一定规律排列的数所组成的有序集合。

一般用an表示数列中的第n个数，其中n为正整数，称为项号。

数列的通项公式表示了数列中任意一项与项号之间的关系。

二、数列求和的方法1.等差数列求和等差数列的通项公式为an = a1 + (n-1)d，其中a1为首项，d为公差。

等差数列的前n项和Sn可以通过等差数列求和公式来计算，即Sn =(a1 + an) * n / 2。

2.等比数列求和等比数列的通项公式为an = a1 * q^(n-1)，其中a1为首项，q为公比。

等比数列的前n项和Sn可以通过等比数列求和公式来计算，即Sn =(a1 * (1 - q^n)) / (1 - q)，当|q| < 1时成立。

3.其他数列求和方法除了等差数列和等比数列，还存在一些特殊的数列，它们的求和方法也各不相同。

比如斐波那契数列、调和数列等，它们的求和方法需要根据具体的问题和数列的规律来确定。

三、数列在实际问题中的应用数列的应用广泛存在于实际问题的建模和解决过程中。

下面以几个具体的应用场景来说明数列在实际问题中的应用。

1.金融领域在金融领域中，利率、投资回报率等与时间相关的指标可以使用数列进行建模。

比如等额本息还款方式下，每期的还款金额就可以通过等差数列求和来计算。

2.物理学领域在物理学中，许多物理现象的变化过程可以用数列进行描述。

比如自由落体运动的位移、速度、加速度等物理量随时间的变化可以用等差数列或等比数列来表示和推导。

3.计算机科学领域在算法设计和数据处理中，数列也有着重要的应用。

比如在排序算法中，快速排序、归并排序等算法利用了数列的递推和分治思想来实现高效的排序。

四、总结数列作为一种常见的数学对象，具有广泛的应用价值。

数列求和公式及其应用

数列求和公式及其应用随着人类社会的不断发展，数学在我们的生活中扮演着越来越重要的角色。

数学中的数列是一个非常基本的概念，它在很多数学问题中都有着广泛的应用。

其中，求和公式是一个非常重要的数列求解方法。

本文将会介绍数列求和公式的定义、性质以及其在实际生活中的应用。

一、数列求和公式的定义及性质首先，我们来了解一下数列求和公式的定义。

数列求和是将数列中的所有项相加所得的结果。

而数列求和公式则是一种能够用于快速计算数列和的公式。

在数学中，数列求和公式分为两种：等差数列求和公式和等比数列求和公式。

1. 等差数列求和公式等差数列的定义为：某个数列中相邻两个数之差都相等，这个差被称为等差数列的公差。

对于等差数列来说，我们可以利用下面的等差数列求和公式来计算其总和：S(n) = （a1 + an）n/2其中，S(n)表示等差数列的前n项和，a1为等差数列的首项，an为等差数列的第n项。

2. 等比数列求和公式等比数列的定义为：某个数列中相邻两个数之比都相等，这个比被称为等比数列的公比。

对于等比数列来说，我们可以利用下面的等比数列求和公式来计算其总和：S(n) = a1（1- qn）/ (1 - q)其中，S(n)表示等比数列的前n项和，a1为等比数列的首项，q 为等比数列的公比。

除了以上两条公式，数列求和公式还具有一些性质：1. 数列中头尾项的和等于相邻两项的和2. 如果一个等差数列的每一项都加上一个相同的值，那么其总和也会增加相应的值。

3. 如果一个等比数列的每一项都乘以一个相同的值，那么其总和也会增加相应的值。

以上性质和公式可以帮助我们更好地理解和运用数列求和公式。

二、数列求和公式在实际生活中的应用数列求和公式在实际生活中的应用非常广泛。

例如，我们可以利用数列求和公式来计算每天的支出、工作中的进度、财产的增值等等。

以每天的支出为例，假设我们每天的支出都只是一个等差数列，其中首项a1为10元，公差d为5元。

如果我们想要计算前30天的支出总和，我们只需要利用等差数列求和公式进行计算。

数列的求和公式和应用

数列的求和公式和应用数列是由一系列有序数字构成的序列。

在数学中，求和公式是一种用来计算数列中所有数值的总和的公式。

数列的求和公式在数学和实际应用中都有广泛应用。

本文将介绍数列的求和公式及其应用。

一、等差数列的求和公式等差数列是指数列中相邻两项之间的差值保持恒定的数列。

对于等差数列，可以使用以下求和公式计算其总和：S = (n/2)(a₁+an)，其中S 表示总和，n表示项数，a₁表示首项，an表示末项。

例如，某等差数列的首项为2，公差为4，项数为5。

根据求和公式，可以计算该等差数列的总和：S = (5/2)(2+22) = 52。

二、等比数列的求和公式等比数列是指数列中相邻两项之间的比值保持恒定的数列。

对于等比数列，可以使用以下求和公式计算其总和：S = a₁(1 - rⁿ)/(1 - r)，其中S表示总和，a₁表示首项，r表示公比，n表示项数。

例如，某等比数列的首项为3，公比为2，项数为4。

根据求和公式，可以计算该等比数列的总和：S = 3(1 - 2⁴)/(1 - 2) = 15。

三、斐波那契数列的求和公式斐波那契数列是一个特殊的数列，其每一项是前两项之和。

对于斐波那契数列，可以使用以下求和公式计算其总和：S = F(n+2) - 1，其中S表示总和，F(n+2)表示斐波那契数列的第n+2项。

例如，斐波那契数列的前6项依次为：1, 1, 2, 3, 5, 8。

根据求和公式，可以计算该斐波那契数列的总和：S = 8 - 1 = 7。

应用：数列的求和公式在实际应用中有广泛的用途。

以下是几个常见的应用场景：1. 财务分析：在金融和财务领域，数列的求和公式经常用于计算资金的累计总和，例如计算利润、投资回报率等。

2. 自然科学：在物理学、天文学等领域，数列的求和公式可以用于计算实验数据的总和，从而得出一些规律和结论。

3. 统计学：在统计学中，数列的求和公式可以用于计算数据集的总和，帮助分析数据的分布和趋势。

数列求和的方法及典例

数列是高中数学中的重要内容ꎬ数列求和是最为常见
的题型之一ꎬ是历年高考考查的热点问题. 本文对数列求和
方法作了归纳总结ꎬ 并给出了典型例题ꎬ 希望对大家有所
启发.
一、公式法
等差数列或者等比数列求和ꎬ可以直接使用求和公式.
特别地ꎬ１２
＋２２
＋３２
＋
��
＋
ｎ２
＝
(２ｎ)２ .
题(１４) :求和 ( －１) ＋４＋ ( －７ ) ＋１０＋ �� ＋ ( －１ ) ｎ
(３ｎ－２).
题(１５) :求和１＋３＋５＋７＋ �� ＋ (２ｎ＋３) . 题(１６) 求和１＋ (１＋２) ＋ (１＋２＋２２ ) ＋ �� ＋ (１＋２＋２２＋ �� ＋２ｎ－１ ) .
ｎ( ｎ
＋１)(２ｎ６
＋１) ꎬ１３
＋２３
＋
[ ] ３３＋ �� ＋ｎ３＝
ｎ(ｎ＋１) ２
２
等公式也可直接套用.
二、错位相减法
若{ ａｎ } 是等差数列ꎬ { ｂｎ } 是等比数列ꎬ 则 { ａｎｂｎ }ꎬ
{ }ａｎ称为差比数列ꎬ差比数列求和采用错位相减法. ｂｎ
题(１) :求和Ｓｎ＝
１２
＋
２２２
＋
３２３
＋
��
＋
ｎ２ｎ
.
提示:法
１:
１２
Ｓｎ
＝
１２２
＋
２２３
＋
３２４
＋
��

数列的求和公式及其应用与推导

数列的求和公式及其应用与推导数列是数学中常见的一种数学对象，它由一系列有序的数字组成。

在实际应用中，数列的求和公式是一种非常重要的工具，它可以帮助我们快速计算数列的和，并且在各种领域中有广泛的应用。

一、数列的定义和基本性质数列是由一系列有序的数字按照一定的规律排列而成的。

一般来说，数列可以用以下形式表示：{a₁, a₂, a₃, ...}，其中a₁, a₂, a₃, ...表示数列中的各个元素。

数列的第一个元素a₁称为首项，数列的第n个元素aₙ称为第n项。

数列的求和公式是指将数列中的所有元素相加得到的和。

在数列的求和公式中，常见的有等差数列求和公式和等比数列求和公式。

二、等差数列的求和公式及其应用与推导等差数列是指数列中的各个元素之间的差值是一个常数。

例如，{1, 3, 5, 7,9, ...}就是一个等差数列，其中首项为1，公差为2。

对于等差数列，我们可以通过求和公式来快速计算其和。

等差数列的求和公式如下：Sn = (n/2)(a₁ + aₙ)其中，Sn表示等差数列的和，n表示数列的项数，a₁表示首项，aₙ表示末项。

应用举例：假设我们有一个等差数列{2, 5, 8, 11, 14, ...}，我们想要计算前10项的和。

首先，我们可以确定数列的首项为2，公差为3。

然后，根据等差数列的求和公式，我们可以得到：S10 = (10/2)(2 + 2 + 9*3) = 55因此，前10项的和为55。

三、等比数列的求和公式及其应用与推导等比数列是指数列中的各个元素之间的比值是一个常数。

例如，{2, 4, 8, 16, 32, ...}就是一个等比数列，其中首项为2，公比为2。

对于等比数列，我们同样可以通过求和公式来计算其和。

等比数列的求和公式如下：Sn = a₁(1 - rⁿ)/(1 - r)其中，Sn表示等比数列的和，n表示数列的项数，a₁表示首项，r表示公比。

应用举例：假设我们有一个等比数列{3, 6, 12, 24, 48, ...}，我们想要计算前5项的和。

数列求和的应用原理

数列求和的应用原理什么是数列求和数列是按照一定规律排列的一系列数的组合。

数列求和是指对数列中的所有数字进行求和运算，以得到总和的结果。

数列求和的应用数列求和在数学和实际生活中都有广泛的应用，如下所示：1.数学建模：在数学建模中，能够利用数列求和的原理解决各种实际问题。

通过总结规律，找到数列的通项表达式，并利用求和公式进行求和运算，从而得到问题的解答。

2.金融领域：在金融领域中，数列求和的应用也是非常常见的。

例如，计算投资回报率时可以利用数列求和的原理，将每年的投资回报率相加，从而得到总的投资回报率。

3.工程计算：在工程计算中，数列求和可用于计算工程材料的总体积、总长度等。

例如，工程中需要铺设水管，我们可以将每段水管的长度相加，通过数列求和得到总长度。

4.统计分析：在统计分析中，数列求和的应用也是很常见的。

例如，在计算平均数时，我们需要将所有数据相加，从而得到总和，再除以数据的个数，得到平均数。

数列求和的常用公式数列求和时，我们常常会遇到一些特殊的数列，它们有特定的求和公式，能够帮助我们高效地进行求和运算。

下面是几个常用的数列求和公式：1.等差数列求和公式：当数列为等差数列时，求和的公式为：$$ S_n = \\frac{n}{2}(a_1 + a_n) $$2.其中，S n表示前n项和，a1表示数列的第一项，a n表示数列的第n项。

3.等比数列求和公式：当数列为等比数列时，求和的公式为：$$ S_n = \\frac{a_1(1-q^n)}{1-q} $$4.其中，S n表示前n项和，a1表示数列的第一项，q表示公比，n表示项数。

5.调和数列求和公式：当数列为调和数列时，求和的公式为：$$ S_n = H_n \\cdot a_1 $$6.其中，S n表示前n项和，H n表示调和数（$H_n = \\frac{1}{1} +\\frac{1}{2} + ... + \\frac{1}{n}$），a1表示数列的第一项。

2022年高考数学(文)命题猜想与仿真押题专题11数列求和及数列的简单应用(仿真押题)教师版

1.已知数列112，314，518，7116，…，则其前n 项和S n 为( )A.n 2＋1－12nB.n 2＋2－12nC.n 2＋1－12n －1D.n 2＋2－12n －1解析由于a n ＝2n －1＋12n ，则S n ＝1＋2n －12n ＋⎝⎛⎭⎫1－12n ·121－12＝n 2＋1－12n .另解：用特值验证. 答案 A2.数列{a n }满足a 1＝2，a n ＝a n ＋1－1a n ＋1＋1，其前n 项积为T n ，则T 2 015＝( )A.13B.－13C.3D.－3答案 C3.在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋ln ⎝⎛⎭⎫1＋1n ，则a n ＝( ) A.2＋ln n B.2＋(n －1)ln n C.2＋n ln nD.1＋n ＋ln n解析 a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 2－a 1)＋a 1＝ln n －ln(n －1)＋ln(n －1)－ln(n －2)＋…＋ln 2－ln 1＋2＝2＋ln n . 答案 A4. 122－1＋132－1＋142－1＋…＋1（n ＋1）2－1的值为( ) A.n ＋12（n ＋2）B. 34－n ＋12（n ＋2）C.34－12⎝⎛⎭⎫1n ＋1＋1n ＋2D.32－1n ＋1＋1n ＋2解析 ∵1（n ＋1）2－1＝1n 2＋2n ＝1n （n ＋2）＝12⎝⎛⎭⎫1n －1n ＋2，∴122－1＋132－1＋142－1＋…＋1（n ＋1）2－1＝12⎝⎛⎭⎫1－13＋12－14＋13－15＋…＋1n －1n ＋2 ＝12⎝⎛⎭⎫32－1n ＋1－1n ＋2 ＝34－12⎝⎛⎭⎫1n ＋1＋1n ＋2. 答案 C5.各项均为正数的数列{a n }的前n 项和为S n ，且3S n ＝a n a n ＋1，则∑nk ＝1a 2k ＝( ) A.n （n ＋5）2B.3n （n ＋1）2C.n （5n ＋1）2D.（n ＋3）（n ＋5）2答案 B6．已知数列{a n }是等差数列，a 1＝tan 225°，a 5＝13a 1，设S n 为数列{(－1)n a n }的前n 项和，则S 2 014＝( ) A ．2 015 B ．－2 015 C ．3 021 D ．－3 021 解析 a 1＝tan 225°＝tan 45°＝1，设等差数列{a n }的公差为d ，则由a 5＝13a 1，得a 5＝13， d ＝a 5－a 15－1＝13－14＝3，∴S 2 014＝－a 1＋a 2－a 3＋a 4＋…＋(－1)2 014a 2 014＝－(a 1＋a 3＋…＋a 2 013)＋(a 2＋a 4＋…＋a 2 014)＝1 007d ＝1 007×3＝3 021.故选C. 答案 C7．数列{a n }满足：a 1 ＝1，且对任意的m ，n ∈N *都有： a m ＋n ＝a m ＋a n ＋mn ，则1a 1＋1a 2＋1a 3＋…＋1a 2 008＝( )A.2 0072 008B.2 0071 004C.2 0082 009D.4 0162 009法二令m ＝1，得a n ＋1＝a 1＋a n ＋n ＝1＋a n ＋n ，∴a n ＋1－a n ＝n ＋1，用叠加法：a n ＝a 1＋(a 2－a 1)＋…＋(a n －a n －1)＝1＋2＋…＋n ＝n （n ＋1）2，所以1a n ＝2n （n ＋1）＝2⎝⎛⎭⎫1n －1n ＋1.于是1a 1＋1a 2＋…＋1a 2 008＝2⎝⎛⎭⎫1－12＋2⎝⎛⎭⎫12－13＋…＋2⎝⎛⎭⎫12 008－12 009＝2⎝⎛⎭⎫1－12 009＝4 0162 009，故选D. 答案 D8．设a 1，a 2，…，a 50是以－1，0，1这三个整数中取值的数列，若a 1＋a 2＋…＋a 50＝9且(a 1＋1)2＋(a 2＋1)2＋…＋(a 50＋1)2＝107，则a 1，a 2，…，a 50当中取零的项共有( ) A ．11个 B ．12个 C ．15个 D ．25个解析 (a 1＋1)2＋(a 2＋1)2＋…＋(a 50＋1)2＝a 21＋a 22＋…＋a 250＋2(a 1＋a 2＋…＋a 50)＋50＝107，∴a 21＋a 22＋…＋a 250＝39，∴a 1，a 2，…，a 50中取零的项应为50－39＝11(个)，故选A. 答案 A9．在数列{a n }中，a 1＝1，a 2＝2，且a n ＋2－a n ＝1＋(－1)n (n ∈N ＋)，则S 100＝( ) A ．1 300 B ．2 600 C ．0 D ．2 602解析原问题可转化为当n 为奇数时，a n ＋2－a n ＝0；当n 为偶数时，a n ＋2－a n ＝2.进而转化为当n 为奇数时，为常数列{1}；当n 为偶数时，为首项为2，公差为2的等差数列．所以S 100＝S 奇＋S 偶＝50×1＋(50×2＋50×492×2)＝2 600. 答案 B10．设f (x )是定义在R 上恒不为零的函数，对任意实数x 、y ∈R ，都有f (x )f (y )＝f (x ＋y )，若a 1＝12，a n ＝f (n )(n ∈N *)，则数列{a n }的前n 项和S n 的取值范围是( )A.⎣⎡⎭⎫12，2B.⎣⎡⎦⎤12，2C.⎣⎡⎭⎫12，1D.⎣⎡⎦⎤12，1 解析 f (x )是定义在R 上恒不为零的函数，对任意实数x 、y ∈R ，都有f (x )f (y )＝f (x ＋y )，a 1＝12，a n ＝f (n )(n ∈N *)，a n ＋1＝f (n ＋1)＝f (1)f (n )＝12a n ，∴S n ＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝⎛⎭⎫12n 1－12＝1－⎝⎛⎭⎫12n .则数列{a n }的前n 项和的取值范围是⎣⎡⎭⎫12，1. 答案 C11．设数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＝a 2＝1，{nS n ＋(n ＋2)a n }为等差数列，则a n ＝( ) A.n2n －1 B.n ＋12n －1＋1C.2n －12n －1D.n ＋12n ＋1答案 A12．已知定义在R 上的函数f (x )、g (x )满足f （x ）g （x ）＝a x ，且f ′(x )g (x )<f (x )g ′(x )，f （1）g （1）＋f （－1）g （－1）＝52，若有穷数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫f （n ）g （n ）(n ∈N *)的前n 项和等于3132，则n ＝( )A ．5B ．6C ．7D ．8 解析令h (x )＝f （x ）g （x ）＝a x ，∵h ′(x )＝f ′（x ）g （x ）－f （x ）g ′（x ）[g （x ）]2<0，∴h (x )在R 上为减函数，∴0<a <1.由题知，a 1＋a －1＝52，解得a ＝12或a ＝2(舍去)，∴f （n ）g （n ）＝⎝⎛⎭⎫12n ，∴有穷数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫f （n ）g （n ）的前n 项和S n ＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝⎛⎭⎫12n 1－12＝1－⎝⎛⎭⎫12n ＝3132，∴n ＝5.答案 A13.设S n 为数列{a n }的前n 项和，S n ＝(－1)n a n －12n ，n ∈N *，则(1)a 3＝________；(2)S 1＋S 2＋…＋S 100＝________.答案 (1)－116 (2)13⎝⎛⎭⎫12100－1 14．已知向量a ＝(2，－n )，b ＝(S n ，n ＋1)，n ∈N *，其中S n 是数列{a n }的前n 项和，若a ⊥b ，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n a n ＋1a n ＋4的最大项的值为．解析依题意得a ·b ＝0，即2S n ＝n (n ＋1)，S n ＝n （n ＋1）2.当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n （n ＋1）2－n （n －1）2＝n ；又a 1＝1，因此a n ＝n ，a n a n ＋1a n ＋4＝n （n ＋1）（n ＋4）＝n n 2＋5n ＋4＝1n ＋4n ＋5≤19，当且仅当n ＝4n ，n ∈N *，即n ＝2时取等号，因此数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n a n ＋1a n ＋4的最大项的值是19.答案 1915．设{a n }是公比大于1的等比数列，S n 为数列{a n }的前n 项和．已知S 3＝7，且a 1＋3，3a 2，a 3＋4构成等差数列．(1)求数列{a n }的通项公式．(2)令b n ＝na n ，n ＝1，2，…，求数列{b n }的前n 项和T n .解 (1)由已知，得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 2＋a 3＝7，（a 1＋3）＋（a 3＋4）2＝3a 2，解得a 2＝2. 设数列{a n }的公比为q ，由a 2＝2，可得a 1＝2q ，a 3＝2q .又S 3＝7，可知2q ＋2＋2q ＝7，即2q 2－5q ＋2＝0，解得q ＝2或12.由题意得q >1，所以q ＝2.则a 1＝1.故数列{a n }的通项为a n ＝2n －1. (2)由于b n ＝n ·2n －1，n ＝1，2，…，则T n ＝1＋2×2＋3×22＋…＋n ×2n －1，所以2T n ＝2＋2×22＋…＋(n －1)×2n －1＋n ×2n ，两式相减得－T n ＝1＋2＋22＋23＋…＋2n －1－n ×2n ＝2n －n ×2n －1，即T n ＝(n －1)2n ＋1.16．已知{a n }是单调递增的等差数列，首项a 1＝3，前n 项和为S n ，数列{b n }是等比数列，首项b 1＝1，且a 2b 2＝12，S 3＋b 2＝20.(1)求{a n }和{b n }的通项公式；(2)令c n ＝S n cos(a n π)(n ∈N *)，求{c n }的前n 项和T n .(2)由(1)知c n ＝S n cos 3n π＝⎩⎨⎧S n ＝32n 2＋32n ，n 是偶数，－S n＝－32n 2－32n ，n 是奇数.①当n 是偶数时，T n ＝c 1＋c 2＋c 3＋…＋c n ＝－S 1＋S 2－S 3＋S 4－…－S n －1＋S n ＝a 2＋a 4＋a 6＋…＋a n ＝6＋12＋18＋…＋3n ＝3n （n ＋2）4. ②当n 是奇数时， T n ＝T n －1－S n＝3（n －1）（n ＋1）4－32n 2－32n＝－34(n ＋1)2.综上可得，T n＝⎩⎨⎧3n （n ＋2）4，n 是偶数，－34（n ＋1）2，n 是奇数.17．设数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝10，a n ＋1＝9S n ＋10. (1)求证：{lg a n }是等差数列；(2)设T n 是数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫3（lg a n ）（lg a n ＋1）的前n 项和，求T n ；(3)求使T n >14(m 2－5m )对全部的n ∈N *恒成立的整数m 的取值集合．(2)解由(1)知，T n ＝ 3⎣⎡⎦⎤11×2＋12×3＋…＋1n （n ＋1）＝3⎝⎛⎭⎫1－12＋12－13＋…＋1n －1n ＋1＝3－3n ＋1.(3)解 ∵T n ＝3－3n ＋1，∴当n ＝1时，T n 取最小值32.依题意有32>14(m 2－5m )，解得－1<m <6，故所求整数m 的取值集合为 {0，1，2，3，4，5}．18.已知数列{a n }前n 项和为S n ，首项为a 1，且12，a n ，S n 成等差数列.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)数列{b n }满足b n ＝(log 2a 2n ＋1)×(log 2a 2n ＋3)，求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1b n 的前n 项和.(2)∵b n ＝(log 2a 2n ＋1)×(log 2a 2n ＋3)＝(log 222n＋1－2)×(log 222n＋3－2)＝(2n －1)(2n ＋1)，∴1b n ＝12n －1×12n ＋1＝12⎝⎛⎭⎫12n －1－12n ＋1， ∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1b n 的前n 项和T n ＝1b 1＋1b 2＋1b 3＋…＋1b n＝12⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫1－13＋⎝⎛⎭⎫13－15＋…＋⎝⎛⎭⎫12n －1－12n ＋1 ＝12⎝⎛⎭⎫1－12n ＋1＝n2n ＋1.。

数列求和公式的推导与应用

数列求和公式的推导与应用数列是数学中常见的概念，它是由一系列按照特定规律排列的数所组成的序列。

在数列中，我们经常需要求解数列的和，这就需要用到数列求和公式。

本文将探讨数列求和公式的推导与应用。

一、等差数列求和公式等差数列是指数列中相邻两项之差都相等的数列。

对于等差数列，我们可以利用求和公式来计算其前n项和。

假设等差数列的首项为a1，公差为d，前n项和为Sn。

首先，我们将等差数列的前n项写出来：a1, a1+d, a1+2d, ..., a1+(n-1)d。

然后，我们将这n项分成两组，每组分别从首项和末项开始，逐项相加。

我们可以发现，每组的和都是相等的，并且和的值等于首项和末项之和。

第一组的和为：a1 + a1 + d + a1 + 2d + ... + a1 + (n-1)d第二组的和为：a1 + (a1 + (n-1)d) + a1 + (a1 + (n-2)d) + ... + a1 + d将两组的和相加，得到：2(a1 + a1 + d + a1 + 2d + ... + a1 + (n-1)d) = n(a1 + a1 + (n-1)d)化简上式，得到：2Sn = n(2a1 + (n-1)d)最后，将上式两边同时除以2，得到等差数列的求和公式：Sn = (n/2)(2a1 + (n-1)d)这就是等差数列求和公式的推导过程。

利用这个公式，我们可以方便地计算等差数列的前n项和。

二、等比数列求和公式等比数列是指数列中相邻两项之比都相等的数列。

对于等比数列，我们可以利用求和公式来计算其前n项和。

假设等比数列的首项为a1，公比为r，前n项和为Sn。

首先，我们将等比数列的前n项写出来：a1, a1*r, a1*r^2, ..., a1*r^(n-1)。

然后，我们将这n项相加，得到：Sn = a1 + a1*r + a1*r^2 + ... + a1*r^(n-1)接下来，我们将Sn乘以公比r，并将这两个式子相减，得到：Sn*r = a1*r +a1*r^2 + ... + a1*r^(n-1) + a1*r^n将上式两边相减，得到：Sn*(1-r) = a1*r^n - a1化简上式，得到等比数列的求和公式：Sn = (a1*(1-r^n))/(1-r)这就是等比数列求和公式的推导过程。

数列的求和公式和递推公式

数列的求和公式和递推公式一、数列的求和公式1.等差数列求和公式：设等差数列的首项为a1，末项为an，公差为d，项数为n，则等差数列的求和公式为：S = n/2 * (a1 + an) = n/2 * (2a1 + (n -1)d)。

2.等比数列求和公式：设等比数列的首项为a1，公比为q（q≠1），项数为n，则等比数列的求和公式为：S = a1 * (1 - q^n) / (1 - q)，当q=1时，S = n * a1。

3.斐波那契数列求和公式：设斐波那契数列的前n项和为S，则有S =F(n+2) - 1，其中F(n)为斐波那契数列的第n项。

4.平方数列求和公式：设平方数列的前n项和为S，则有S = n(n +1)(2n + 1) / 6。

5.立方数列求和公式：设立方数列的前n项和为S，则有S = n^2(n + 1)/ 2。

二、数列的递推公式1.等差数列递推公式：设等差数列的第n项为an，首项为a1，公差为d，则等差数列的递推公式为：an = a1 + (n - 1)d。

2.等比数列递推公式：设等比数列的第n项为an，首项为a1，公比为q（q≠1），则等比数列的递推公式为：an = a1 * q^(n-1)。

3.斐波那契数列递推公式：设斐波那契数列的第n项为F(n)，则有F(n)= F(n-1) + F(n-2)，其中F(1)=1，F(2)=1。

4.线性递推公式：设数列的第n项为an，首项为a1，公差为d，则线性递推公式为：an = an-1 + d。

5.多项式递推公式：设数列的第n项为an，首项为a1，多项式系数为c1, c2, …, cm，则多项式递推公式为：an = c1 * an-1 + c2 * an-2 + … + c m * an-m。

通过以上知识点的学习，学生可以掌握数列的求和公式和递推公式的基本概念和方法，为高中数学学习打下基础。

习题及方法：1.等差数列求和习题：已知等差数列的首项为3，末项为20，公差为2，求该数列的前10项和。

2014届高三二轮复习数列专题一(3年高考2年模拟)

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第10讲
等差数列、等比数列教
小结：等差数列、等比数列问题的基本解法是“基本量”方法，即通过已知条件求出等差数列的首项和公差、等比数列的首项和公比，其他的问题都可以使用基本量表达从而加以解决．
命题考向探究
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第10讲
等差数列、等比数列教
变式题 A．23
命题考向探究
例2
命题考向探究
(1)已知等比数列{an}的前 n 项和为 Sn，则下列选 )
项中一定成立的是(
A．若 a1>0，则 a2013<0 B．若 a2>0，则 a2014<0 C．若 a1>0，则 S2013>0 D．若 a2>0，则 S2014>0 (2)[2013· 新课标全国卷Ⅱ] 等差数列{an}的前 n 项和为 Sn，已知 S10＝0，S15＝25，则 nSn 的最小值为________．
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第10讲
等差数列、等比数列教
10 2 (2)由已知，a1＋a10＝0，a1＋a15＝ 3 ⇒d＝3，a1＝－3， n3－10n2 所以 nSn＝，易得 n＝6 或 n＝7 时，nSn 出现最小 3
命题考向探究
值．当 n＝6 时，nSn＝－48；n＝7 时，nSn＝－49.故 nSn 的最小值为－49.
主干知识 ⇒ 等比数列概念与通项关键词：等比数列、通项公式，如 ④⑤.
[答案]
(－2)n
－1
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第10讲
核心知识聚焦
等差数列、等比数列教
2 1 [解析] 因为 Sn＝3an＋3①， 2 1 所以 Sn－1＝3an－1＋3(n≥2)②， 2 2 ①－②得 an＝ an－ an－1(n≥2)，即 an＝－2an－1(n≥2)， 3 3 2 1 又因为 S1＝a1＝ a1＋ ⇒a1＝1，所以数列{an}是以 1 为首项， 3 3 －2 为公比的等比数列，所以 an＝(－2)n－1.

数列求和的几种方法、数列的实际应用问题

数列求和的⼏种⽅法、数列的实际应⽤问题数列求和的⼏种⽅法、数列的实际应⽤问题⼀. 教学难点：数列的实际应⽤问题⼆. 课标要求：1. 探索并掌握⼀些基本的数列求前n 项和的⽅法；2. 能在具体的问题情境中，发现数列的通项和递推关系，并能⽤有关等差、等⽐数列知识解决相应的实际问题．三. 命题⾛向：数列求和和数列综合及实际问题在⾼考中占有重要的地位，⼀般情况下都是出⼀道解答题，解答题⼤多以数列为⼯具，综合运⽤函数、⽅程、不等式等知识，通过运⽤逆推思想、函数与⽅程、归纳与猜想、等价转化、分类讨论等各种数学思想⽅法，这些题⽬都考查考⽣灵活运⽤数学知识分析问题和解决问题的能⼒，它们都属于中、⾼档题⽬．有关命题趋势：1. 数列是⼀种特殊的函数，⽽不等式则是深刻认识函数和数列的有效⼯具，三者的综合题是对基础和能⼒的双重检验，在三者交汇处设计试题，特别是代数推理题是⾼考的重点；2. 数列推理题将继续成为数列命题的⼀个亮点，这是由于此类题⽬能突出考查学⽣的逻辑思维能⼒，能区分学⽣思维的严谨性、灵敏程度、灵活程度；3. 数列与新的章节知识结合的特点有可能加强，如与解析⼏何的结合等；4. 有关数列的应⽤问题也⼀直备受关注．【教学过程】⼀、基本知识回顾 1. 数列求通项与和（1）数列前n 项和S n 与通项a n 的关系式：a n ＝--11s s s n n 12=≥n n ．（2）求通项常⽤⽅法①作新数列法．作等差数列与等⽐数列．②累差叠加法．最基本的形式是：a n ＝（a n －a n －1）＋（a n －1＋a n －2）＋…＋（a 2－a 1）＋a 1．③归纳、猜想法．（3）数列前n 项和①重要公式：等差和等⽐数列的求和公式1＋2＋…＋n ＝21n （n ＋1）；12＋22＋…＋n 2＝61n （n ＋1）（2n ＋1）；13＋23＋…＋n 3＝（1＋2＋…＋n ）2＝41n 2（n ＋1）2；②裂项相消法将数列的通项分成两个式⼦的代数和，即a n ＝f （n ＋1）－f （n ），然后累加抵消掉中间的许多项，这种先裂后消的求和法叫裂项求和法．⽤裂项法求和，需要掌握⼀些常见的裂项，如：)11(1))((1C An B An B C C An B An a n +-+-=++=、)1(1+n n ＝n 1－11+n 等．③错位相减法（可⽤于推导等⽐数列前n 项和公式）对⼀个由等差数列及等⽐数列对应项之积组成的数列的前n 项和，常⽤错位相减法．n n n c b a ?=，其中{}n b 是等差数列， {}n c 是等⽐数列，记n n n n n c b c b c b c b S ++?++=--112211，则1211n n n n n qS b c b c b c -+=+??++，…④分组转化求和把数列的某些项放在⼀起先求和，然后再求S n ．⑤倒序相加法（可⽤于推导等差数列前n 项和公式） 2. 递归数列数列的连续若⼲项满⾜的等量关系a n ＋k ＝f （a n ＋k －1，a n ＋k －2，…，a n ）称为数列的递归关系．由递归关系及k 个初始值可以确定的⼀个数列叫做递归数列．如由a n ＋1＝2a n ＋1，及a 1＝1，确定的数列}12{-n 即为递归数列．递归数列的通项的求法⼀般说来有以下⼏种：（1）归纳、猜想．（2）迭代法．（3）代换法．包括代数代换，对数代数，三⾓代数．（4）作新数列法．最常见的是作成等差数列或等⽐数列来解决问题．【典型例题】例1. 已知数列{}n a 为等差数列，且公差不为0，⾸项也不为0，求和：∑=+ni i i a a 111．解：⾸先考虑=∑=+n i i i a a 111∑=+-n i i i a a d 11)11(1，则∑=+ni i i a a 111＝1111)11(1++=-n n a a na a d ．点评：已知数列{}n a 为等差数列，且公差不为0，⾸项也不为0，下列求和11nni i ===也可⽤裂项求和法．例2. 求)(,32114321132112111*N n n ∈+++++++++++++++．解：)1(2211+=+?++=k k k a k ， ])1n (n 1321211[2S n ++?+?+?=∴.1n n 21n 1121n 1n 131212112+=??+-= ??+-+?+??-+ -= 点评：裂项求和的关键是先将形式复杂的因式转化的简单⼀些．例3. 设221)(+=x x f ，利⽤课本中推导等差数列前n 项和的⽅法，可求得)6()5()0()4()5(f f f f f ++++-+- 的值为____________解：课本中推导等差数列前n 项和的⽅法为倒序相加法.因为22221221)1()(1=+++=-+-x x x f x f所以22)1()0()5()4()6()5(=+==+-=+-f f f f f f原式＝622＝23点评：本题曾为上海⾼考题，主要考查考⽣对课本的熟练程度和倒序相加法的应⽤，其中有函数式⼦的变化，计算能⼒的考查．例4. 已知1,0≠>a a ，数列{}n a 是⾸项为a ，公⽐也为a 的等⽐数列，令)(lg N n a a b n n n ∈?=，求数列{}n b 的前n 项和n S ．解：,lg n nn n a a b n a a ==? ， 232341(23)lg (23)lg n n n n S a a a na a aS a a a na a +∴=++++=++++ ……①……②①－②得：a na a a a S a n n n lg )()1(12+-+++=- ，[]nn ana n a a a S )1(1)1(lg 2-+--=∴点评：设数列{}n a 是等⽐数列，数列{}n b 是等差数列，则对数列{}n n b a 的前n 项和nS 进⾏求解，均可⽤错位相减．例 5. 数列),60cos 1000lg(),...60cos 1000lg(),60cos 1000lg(,1000lg 1n 2-…的前多少项和为最⼤？解：{}3(1)lg2,n n a n a =--是以3为⾸项，以lg 2-为公差的等差数列，2lg 26lg 2[33(1)lg 2],222n n S n n n +=+--=-+对称轴*6lg 210.47,,10,112lg 2n n N +=≈∈⽐较起来10更靠近对称轴∴前10项和为最⼤另法：由100n n a a +≥??点评：求和的最值关键在于找分界点.例6. 求数列1，3＋13，32＋132，……，3n ＋13n的各项的和．解：其和为（1＋3＋ (3)）＋（13132+＋…＋13n ）＝3121321n n +--+-＝12（3n ＋1－3－n ）．点评：分组转化法求和.例7. （2006年浙江卷20）已知函数()f x ＝x 3＋x 2，数列{x n }．（x n ＞ 0）的第⼀项x 1＝1，以后各项按如下⽅式取定：曲线y ＝()f x 在11(())n n x f x ++?处的切线与经过（0，0）和（x n ，f （x n ））两点的直线平⾏（如图）．求证：当n ∈*N 时：（I ）221132n n n n x x xx -++=+；（II ）1211()()22n n n x --≤≤．解：（I ）因为'2 ()32,f x x x =+所以曲线()y f x =在11(,())n n x f x ++处的切线斜率121132.n n n k x x +++=+因为过(0,0)和(,())n n x f x 两点的直线斜率是2,n n x x +所以221132n n n n x x x x +++=+.（II ）因为函数2()h x x x =+当0x >时单调递增，⽽221132n n n n x x x x +++=+21142n n x x ++≤+211(2)2n n x x ++=+所以12nn x x +≤，即11,2n n x x +≥ 因此1121211().2n n n n n n x x x x x x x ----=≥⼜因为12212(),n n n n x x x x +++≥+ 令2,n n n y x x =+则11.2n ny y +≤ 因为21112,y x x =+=所以12111()().22n n n y y --≤?=因此221(),2n n n n x x x -≤+≤故1211()().22n n n x --≤≤点评：数列与解析⼏何问题结合在⼀块，数列的通项与线段的长度、点的坐标建⽴起联系．例8. （2005上海⾼考20.）假设某市2004年新建住房400万平⽅⽶，其中有250万平⽅⽶是中低价房.预计在今后的若⼲年内，该市每年新建住房⾯积平均⽐上⼀年增长8%.另外，每年新建住房中，中低价房的⾯积均⽐上⼀年增加50万平⽅⽶.那么，到哪⼀年底，（1）该市历年所建中低价房的累计⾯积（以2004年为累计的第⼀年）将⾸次不少于4750万平⽅⽶?（2）当年建造的中低价房的⾯积占该年建造住房⾯积的⽐例⾸次⼤于85%? 解：（1）设中低价房⾯积形成数列{a n }，由题意可知{a n }是等差数列，其中a 1＝250，d ＝50，则S n ＝250n ＋502)1(?-n n ＝25n 2＋225n ，令25n 2＋225n ≥4750，即n 2＋9n －190≥0，⽽n 是正整数，∴n ≥10．到2013年底，该市历年所建中低价房的累计⾯积将⾸次不少于4750万平⽅⽶．（2）设新建住房⾯积形成数列{b n }，由题意可知{b n }是等⽐数列，其中b 1＝400，q ＝1.08，则b n ＝400·（1.08）n －1·0.85．由题意可知a n ＞0.85 b n ，有250＋（n －1）·50＞400·（1.08）n －1·0.85．由计算器解得满⾜上述不等式的最⼩正整数n ＝6．到2009年底，当年建造的中低价房的⾯积占该年建造住房⾯积的⽐例⾸次⼤于85%．点评：本题考查等差、等⽐数列的应⽤题，关键是如何把实际问题转化为数列问题，注意解应⽤题的设、列、解、答四个步骤．例9. 某企业进⾏技术改造，有两种⽅案，甲⽅案：⼀次性贷款10万元，第⼀年便可获利1万元，以后每年⽐前⼀年增加30%的利润；⼄⽅案：每年贷款1万元，第⼀年可获利1万元，以后每年⽐前⼀年增加5千元；两种⽅案的使⽤期都是10年，到期⼀次性归还本息．若银⾏两种形式的贷款都按年息5%的复利计算，试⽐较两种⽅案中，哪种获利更多？（取665.575.1,786.133.1,629.105.1101010===）解：甲⽅案是等⽐数列，⼄⽅案是等差数列，①甲⽅案获利：63.423.013.1%)301(%)301(%)301(11092≈-=+++++++ （万元），银⾏贷款本息：29.16%)51(1010≈+（万元），故甲⽅案纯利：34.2629.1663.42=-（万元），②⼄⽅案获利：5.02910110)5.091()5.021()5.01(1??+=+++++++50.32=（万元）；银⾏本息和：]%)51(%)51(%)51(1[05.192+++++++? 21.1305.0105.105.110≈-?=（万元）故⼄⽅案纯利：29.1921.1350.32=-（万元）；综上可知，甲⽅案更好．点评：这是⼀道⽐较简单的数列应⽤问题，由于本息与利润是熟悉的概念，因此只建⽴通项公式并运⽤所学过的公式求解．例10. （2007⼭东理17）设数列{}n a 满⾜211233333n n na a a a -++++=（Ⅰ）求数列{}n a 的通项；（Ⅱ）设n n nb a =，求数列{}n b 的前n 项和n S ．解：（I ）2112333...3,3n n na a a a -+++= 221231133...3(2),3n n n a a a a n ---+++=≥1113(2).333n n n n a n --=-=≥1(2).3n n a n =≥验证1n =时也满⾜上式，*1().3n n a n N =∈（II ）3nn b n =?，23132333...3n n S n =?+?+?+?231233333n n n S n +-=+++-?11332313n n n S n ++--=-?-，111333244n n n n S ++=?-?+?例11. （2007⼭东⽂18）设{}n a 是公⽐⼤于1的等⽐数列，n S 为数列{}n a 的前n 项和．已知37S =，且123334a a a ++，，构成等差数列．（1）求数列{}n a 的等差数列．（2）令31ln 12n n b a n +== ，，，，求数列{}n b 的前n 项和T n ．解：（1）由已知得1231327:(3)(4)3.2a a a a a a ++=??+++=，解得22a =．设数列{}n a 的公⽐为q ，由22a =，可得1322a a qq ==，．227q q ++=，即22520q q -+=，解得12122q q ==，．由题意得12q q >∴=，． 11a ∴=．故数列{}n a 的通项为12n n a -=．（2）由于31ln 12n n b a n +== ，，，，由（1）得3312nn a +=3ln 23ln 2n n b n ∴==⼜2ln 3b b n 1n =-+{}n b ∴是等差数列． 12n n T b b b ∴=+++.2ln 2)1n (n 32)2ln n 32ln 3(n 2)b b (n n 1+=+=+=故3(1)ln 22n n n T +=．点评：2007年⼭东⾼考⽂科和理科数列的题⽬都在⼤题的前两题的位置，理科考查的是错位相减法求和，⽂科为等差和等⽐数列公式的应⽤，都考查了考⽣的运算能⼒．例12. （2007福建⽂21）数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，*12()n n a S n +=∈N ．（Ⅰ）求数列{}n a 的通项n a ；（Ⅱ）求数列{}n na 的前n 项和n T ．解：（Ⅰ）12n n a S += ，12n n n S S S +∴-=，13n nS S +∴=．⼜111S a == ，∴数列{}n S 是⾸项为1，公⽐为3的等⽐数列，1*3()n n S n -=∈N ．当2n ≥时， )2(32221≥?==--n S a n n n ，≥?==∴-2,321,12n n a n n （Ⅱ）12323n n T a a a na =++++ ，当1n =时，11T =；当2n ≥时，2103236341-?++?+?+=n n n T ，…………①12132363433-?++?+?+=n n n T ………………………②-①②得：122132)333(2422--?-+++++-=-n n n n T123231)31(322--?---?+=n n n13)21(1-?-+-=n n ． 1113(2)22n n T n n -??∴=+- ≥．⼜111T a == 也满⾜上式，1*113()22n n T n n -??∴=+-∈ N ．点评：本⼩题考查数列的基本知识，考查等⽐数列的概念、通项公式及数列的求和，考查分类讨论及化归的数学思想⽅法，以及推理和运算能⼒．满分12分．［思维⼩结］1. 数列求和的常⽤⽅法（1）公式法：适⽤于等差、等⽐数列或可转化为等差、等⽐数列的数列；（2）裂项相消法：适⽤于+1n n a a c 其中{ n a }是各项不为0的等差数列，c 为常数；部分⽆理数列、含阶乘的数列等；（3）错位相减法：适⽤于{}n n b a 其中{ n a }是等差数列，{}n b 是各项不为0的等⽐数列．（4）倒序相加法：类似于等差数列前n 项和公式的推导⽅法. （5）分组求和法 2. 常⽤结论nk k ==∑1＋2＋3＋...＋n ＝ 2)1(+n n（2）1(21)nk k =-=∑1＋3＋5＋...＋（2n －1）＝2n（3）21nk k ==∑)12)(1(613212222++=++++n n n n（4）111)1(1+-=+n n n n )211(21)2(1+-=+n n n n（5）)()11(11q p q p p q pq <--=3. 数学思想（1）迭加累加（等差数列的通项公式的推导⽅法）若1(),(2)n n a a f n n --=≥，则……；（2）迭乘累乘（等⽐数列的通项公式的推导⽅法）若1()(2)nn a g n n a -=≥，则……；（3）逆序相加（等差数列求和公式的推导⽅法）；（4）错位相减（等⽐数列求和公式的推导⽅法）．4. 应⽤题注意审清题意，把实际问题转化为数列中的问题．设、列、解、答四步骤不可少．【模拟试题】1. 数列{}n a 的通项公式11++=n n a n ，则该数列的前（）项之和等于9.A. 98B. 99C. 96D. 972. 在等差数列{}n a 中，若4,184==S S ，则20191817a a a a +++的值为（）A. 9D. 173. 在等差数列{}n a 中，2700...,200...10052515021=+++=+++a a a a a a ，则1a 为（）A. 22.5-B. 21.5-C. 20.5-D. 20-4. 已知等差数列n a n 的前}{项和m S a a a m S m m m m n 则且若,38,0,1,12211==-+>-+-等于（）A. 38B. 20C. 10D. 95. 等差数列{}n a ，{}n b 的前n 项和分别为n S ，n T ，若231n n S nT n =+，则n n a b ＝（）A. 23B. 2131n n --C. 2131n n ++D. 2134n n -+6. 已知数列的12++=n n S n ，则12111098a a a a a ++++＝_____________．7. 在等差数列{}n a 中，公差21=d ，前100项的和45100=S ，则99531...a a a a ++++＝_____________．8. 若等差数列{}n a 中，37101148,4,a a a a a +-=-=则13__________.S =9. ⼀个等⽐数列各项均为正数，且它的任何⼀项都等于它的后⾯两项的和，则公⽐q 为_______________．10. （2007北京理）若数列{}n a 的前n 项和210(123)nS n n n =-= ，，，，则此数列的通项公式为；数列{}n na 中数值最⼩的项是第项．11. 已知数列{}n a 的前n 项和nn S 23+=，求n a ．170，求此数列的公⽐和项数．13. 数列),60cos 1000lg(),...60cos 1000lg(),60cos 1000lg(,1000lg 1n 2-…的前多少项和为最⼤？14. 已知数列{}n a 的前n 项和)34()1( (139511)--++-+-=-n S n n，求312215S S S -+的值．【试题答案】1. B...n n a S ===+110,99n S n ====2. A 4841,3,S S S =-=⽽48412816122016,,,,,S S S S S S S S S ----成等差数列即1,3,5,7,9,1718192020169a a a a S S +++=-=3. C501505027002005050,1,()2002d d S a a -=?==+=，1501118,2498,241,20.5a a a d a a +=+==-=- 4. C 20,(2)0,2,m m m m m m a a a a a a +-=-==21121221()(21)38,21192m m m m S a a m am --+=-=-=，m ＝10．5. B 121212112121()22(21)21223(21)131()2n n n n n n n n n a a a a S n n b b T n n b b -----+--=====-+-+6. 100228910111212712121(771)100a a a a a S S ++++=-=++-++= 7. 10 100110011001991100100()45,0.9,0.4,2S a a a a a a a a d =+=+=+=+-="1995050()0.41022S a a =+=?=8.156371011431110471311371312,,12,()132a a a a a a a a a a S a a a +-+-=+=+==+=9.设2212,10,0,n n n n n a a a qa q a q q q q ++=+=++-=>=10. 211n - 3 11. 解：111132,32,2(2)n n n nn n n n S S a S S n ----=+=+=-=≥ ⽽115a S ==，∴≥==-)2(,2)1(,51n n a n n 12. 解：设此数列的公⽐为,(1)q q ≠，项数为2n ，则,170q 1)q 1(a S ,85q 1)q 1(a S 2n 222n 21=--=偶奇2221122,85,2256,28,14n n S a q n S a -======-偶奇∴,2=q 项数为813. 解：{}3(1)lg2,n n a n a =--是以3为⾸项，以lg 2-为公差的等差数列，2lg 26lg 2[33(1)lg 2],222n n S n n n +=+--=-+对称轴*6lg 210.47,,10,112lg 2n n N +=≈∈⽐较起来10更靠近对称轴∴前10项和为最⼤．另法：由100n n a a +≥??14. 解：(4),2,2121,(4)43,2n n nn n n S S n n n n n ??-?-??==??---+-??为偶数为偶数，，为奇数为奇数15223129,44,61,S S S ==-=15223176S S S +-=-。

数列的求和公式与应用

数列的求和公式与应用数列在数学中有着重要的地位，是一种按照一定规则排列的一系列数值的集合。

从古至今，人们一直在探索数列的性质和规律，并寻找数列求和的公式和应用。

本文将介绍数列的求和公式及其在实际中的应用。

一、等差数列的求和公式及应用等差数列是一种按照相同的公差递增或递减的数列。

对于等差数列而言，求和公式是非常重要的。

对于首项为a1，公差为d的等差数列，求和公式为Sn = (n/2)(2a1 + (n-1)d)，其中Sn代表前n项的和。

等差数列求和公式的应用非常广泛。

例如，我们可以通过等差数列的求和公式来解决实际生活中的问题。

比如，假设小明每天存银行100元，第一天存了100元，第二天存了200元，以此类推。

如果小明一共存了30天，我们可以通过等差数列求和公式计算出他一共存了多少钱，即Sn = (30/2)(2*100 + (30-1)*100) = 46500元。

二、等比数列的求和公式及应用等比数列是一种按照相同比例递增或递减的数列。

求和等比数列的公式同样也是非常重要的。

对于首项为a1，公比为r的等比数列（r≠1），求和公式为Sn =a1(1 - r^n)/(1 - r)，其中Sn代表前n项的和。

等比数列求和公式的应用也非常广泛。

例如，我们可以通过等比数列的求和公式来计算利息的复利效应。

比如，某银行的年利率为5%，每年按照相同的利率累计计息，如果存款本金为10000元，存款期限为10年，我们可以通过等比数列的求和公式计算出最终的本息总额，即Sn = 10000*(1 - (1 + 0.05)^10)/(1 - 1.05) = 62889.99元。

三、斐波那契数列的求和公式及应用斐波那契数列是一种特殊的数列，前两项为1，从第三项开始，每一项都是前两项的和。

斐波那契数列具有许多有趣的性质和应用。

斐波那契数列的求和通常没有一个简单的公式。

然而，斐波那契数列在实际应用中具有广泛的用途，如金融分析、自然科学、计算机科学等。

数列求和的8种常用方法(最全)

数列求和的8种常用方法(最全)一、前言在高中数学以及各类应用数学问题中，数列求和问题是非常常见的。

解决数列求和问题不仅需要对常用数列的规律进行深刻的理解，还需要掌握多种数列求和的方法。

本文将介绍数列求和的八种常用方法，并且会结合具体的数列实例来进行讲解。

尽力做到对每一种方法的介绍都能够做到极致详细，希望对读者有所帮助。

二、数列求和的8种常用方法1. 等差数列求和公式对于一个首项为$a_1$，公差为$d$，共有$n$ 项的等差数列，其求和公式为：$$S_n = \frac{n}{2}(2a_1 + (n-1)d)$$其中，$S_n$ 代表前$n$ 项的和。

举例：求和数列$1，3，5，7，9$ 的和。

分析：此数列的首项为1，公差为2，总共有5项。

解答：$$S_5 = \frac{5}{2}(2\times 1 + (5-1)\times 2)=25$$因此，数列$1，3，5，7，9$ 的和为25。

2. 等比数列求和公式对于一个首项为$a_1$，公比为$q$，共有$n$ 项的等比数列，其求和公式为：$$S_n = \frac{a_1(1-q^n)}{1-q}$$其中，$S_n$ 代表前$n$ 项的和。

举例：求和数列$2，4，8，16，32$ 的和。

分析：此数列的首项为2，公比为2，总共有5项。

解答：$$S_5=\frac{2\times (1-2^5)}{1-2}=-62$$因此，数列$2，4，8，16，32$ 的和为-62。

3. 几何级数通项公式求和对于一般形式为$a_1r^{n-1}$ 的数列，其求和公式为：$$S_n = \frac{a_1(1-r^n)}{1-r}$$其中，$S_n$ 代表前$n$ 项的和。

举例：求和数列$1,-\frac{1}{2},\frac{1}{4},-\frac{1}{8},\frac{1}{16}$ 的和。

分析：此数列的首项是1，公比是$-\frac{1}{2}$，总共有5项。

数列求和知识点和典型例题

数列求和知识点和典型例题数列求和是数学中的一个基础概念，它常常出现在学习数学的初中和高中阶段。

掌握数列求和的知识点和解题方法，对于数学学习的进一步发展和应用都有着重要的意义。

本文将从数列求和的基本概念、求和公式和典型例题三个方面进行详细的介绍。

一、数列求和的基本概念数列是按照一定规律排列的一组数，求和即为对数列中的数进行加法运算得到的结果。

对于有限项的数列求和可以通过逐项相加的方法得到，而对于无限项的数列求和则需要根据数列的规律进行推导得到求和公式。

二、数列求和的公式1.等差数列求和公式等差数列指的是一个数列中任意两项之间的差值都相等。

对于等差数列，其求和公式为：Sn = (a1 + an)*n/2，其中Sn为数列的前n项和，a1为首项，an为末项。

这个公式的推导可以通过将数列从首项到末项排列，再从末项到首项排列再相加得到。

2.等比数列求和公式等比数列指的是一个数列中任意两项之间的比值都相等。

对于等比数列，其求和公式为：Sn=(a1*(1-q^n))/(1-q)，其中Sn为数列的前n项和，a1为首项，q为公比。

这个公式可以通过将数列前n项与公比相乘得到一个新的等差数列，并用等差数列的求和公式进行计算得到。

3.平方数列求和公式平方数列指的是一个数列中每一项都是前一项的平方。

对于平方数列，其求和公式为：Sn=1^2+2^2+...+n^2=n*(n+1)*(2n+1)/6、这个公式可以通过数学归纳法进行推导得到。

三、数列求和的典型例题1.求等差数列1,3,5,7,...的前100项和。

解：根据等差数列的求和公式，a1=1，an=2n-1，n=100。

代入公式得到Sn = (1 + (2*100-1))*100/2 = 5050。

2.求等差数列2,5,8,11,...的前50项和。

解：根据等差数列的求和公式，a1=2，an=3n-1，n=50。

代入公式得到Sn = (2 + (3*50-1))*50/2 = 14753.求等比数列1,2,4,8,...的前10项和。