小学数学培优：几何问题之立体几何

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立体几何(解析版)

立体几何(解析版)立体几何(解析版)立体几何是数学中的一个重要分支，研究物体的空间形状、尺寸以及相互关系。

通过立体几何的学习，我们可以更好地理解并描述物体的形状，并运用相关理论方法解决实际问题。

本文将以解析的方式介绍立体几何的基本概念、性质和定理，并探讨其在实际问题中的应用。

1. 点、线、面的基本概念在立体几何的世界中，点、线、面是最基本的几何元素。

点是没有大小的，只有位置的几何对象。

线由无数个点组成，是长度没有宽度的几何对象。

面是由无数个点和线组成，有着长度和宽度的几何对象。

了解这些基本概念是理解立体几何的第一步。

2. 空间几何关系的性质在立体几何中，物体之间有着各种各样的空间几何关系。

例如，平行是最基本的几何关系之一。

当两条直线或两个平面在空间中永远不相交时，我们称它们为平行。

此外，垂直、相交、共面等几何关系都在立体几何中发挥着重要作用。

通过研究这些几何关系的性质，可以更好地理解物体在空间中的位置和相互关系。

3. 空间几何图形的性质和分类空间几何图形是由点、线、面组成的。

常见的空间几何图形包括球、立方体、锥体等。

每种空间几何图形都有其独特的性质和分类标准。

例如，球是由所有距离圆心相等的点组成的，而立方体则有六个平面和八个顶点等。

通过深入研究这些性质和分类标准，我们能够更好地认识和应用空间几何图形。

4. 空间几何定理及其应用在立体几何中，有许多重要的定理和定律来描述和证明空间几何图形的性质。

例如，欧几里得空间中的平行公设和垂直公设是我们研究空间几何的基础。

此外，勾股定理、皮亚诺定理、欧拉公式等也为我们解决实际问题提供了强大的工具。

在实际问题中，我们可以通过运用这些定理和定律，推导出几何图形之间的关系，解决诸如面积、体积、距离等方面的问题。

5. 立体几何的应用立体几何的应用广泛而重要。

在建筑设计中，我们需要合理利用立体几何理论，确定房屋的尺寸和结构，确保建筑的稳定和美观。

在工程测量中，立体几何被用于计算地表面积和体积，指导建设工程的施工。

培优提升立体几何3

第五讲立体几何【例 1】(05年武汉明心杯数学挑战赛)如图所示，一个555⨯⨯的立方体，在一个方向上开有115⨯⨯的孔，在另一个方向上开有215⨯⨯的孔，在第三个方向上开有315⨯⨯的孔，剩余部分的体积是多少？表面积为多少？【解析】求体积：开了315⨯⨯的孔，挖去31515⨯⨯=，开了115⨯⨯的孔，挖去11514⨯⨯-=；开了215⨯⨯的孔，挖去215(22)6⨯⨯-+=，剩余部分的体积是：555(1546)100⨯⨯-++=．(另解)将整个图形切片，如果切面平行于纸面，那么五个切片分别如图：得到总体积为：22412100⨯+=．求表面积：表面积能够看成外部和内部两部分．外部的表面积为55612138⨯⨯-=，内部的面积能够分为前后、左右、上下三个方向，面积分别为()22515121320⨯⨯+⨯-⨯-⨯=、()2153513132⨯⨯+⨯-⨯-=、()2151511214⨯⨯+⨯-⨯-=，所以总的表面积为138203214204+++=．(另解)使用类似于三视图的方法，记录每一方向上的不同位置上的裸露正方形个数：前后方向：32上下方向：30左右方向：40总表面积为()2323040204⨯++=．【总结】“切片法”：全面打洞(例如本题，五层一样)，挖块成线(例如本题，在前一层的基础上，一条线一条线地挖)，这里体现的思想方法是：化整为零，有序思考！【巩固】（2008年香港保良局第12届小学数学世界邀请赛）如图，原来的大正方体是由125个小正方体所构成的．其中有些小正方体已经被挖除，图中涂黑色的部分就是贯穿整个大正方体的挖除部分．请问剩下的部分共有多少个小正方体？【解析】对于这个类从立体图形中间挖掉一部分后再求体积（或小正方体数目）的题目一般第8题能够采用“切片法”来做，所谓“切片法”，就是把整个立体图形切成一片一片的（或一层一层的），然后分别计算每一片或每一层的体积或小正方体数目，最后再把它们相加．采用切片法，俯视第一层到第五层的图形依次如下，其中黑色部分表示挖除掉的部分．第1层第2层第3层第4层第5层从图中能够看出，第1、2、3、4、5层剩下的小正方体分别有22个、11个、11个、6个、22个，所以总共还剩下22111162272++++=（个）小正方体．【巩固】一个由125个同样的小正方体组成的大正方体，从这个大正方体中抽出若干个小正方体，把大正方体中相对的两面打通，右图就是抽空的状态．右图中剩下的小正方体有多少个？【解析】解法一：(用“容斥原理”5525⨯=个，由侧面图形抽出的小正方体有5525⨯=个，⨯=个，由底面图形抽出的小正方体有4520正面图形和侧面图形重合抽出的小正方体有1221228⨯+⨯+⨯=个，正面图形和底面图形重合抽出的小正方体有13227⨯+⨯=个，底面图形和侧面图形重合抽出的小正方体有1211227⨯+⨯+⨯=个，三个面的图形共同重合抽出的小正方体有4个．根据容斥原理，252520877452++---+=，所以共抽出了52个小正方体．1255273-=，所以右图中剩下的小正方体有73个．注意这里的三者共同抽出的小正方体是4个，必须知道是哪4块，这是最让人头疼的事．但你能够先构造空的两个方向上共同部分的模型，再由第三个方向来穿过“花墙”．这里，化虚为实的思想方法很重要．解法二：(用“切片法”来解)能够从上到下切五层，得：⑴从上到下五层，如图：⑵或者，从右到左五片，如图：请注意这里的挖空的技巧是：先认一种方向．比如：从上到下的每一层，首先都应该有第一层的空四块的情况，即——如果挖第二层：第(1)步，把中间这些位置的四块挖走如图：第(2)步，把从右向左的两块成线地挖走．(请注意挖通的效果就是成线挖去)，如图：第(3)步，把从前向后的一块(请注意跟第二层相关的仅仅一块！)挖成线！如图：【例 2】（2009年迎春杯高年级组复赛）右图中的⑴⑵⑶⑷是同样的小等边三角形，⑸⑹也是等边三角形且边长为⑴的2倍，⑺⑻⑼⑽是同样的等腰直角三角形，⑾是正方形．那么，以⑸⑹⑺⑻⑼⑽⑾为平面展开图的立体图形的体积是以⑴⑵⑶⑷为平面展开图的立体图形体积的倍．⑷⑶⑵⑴⑾⑽⑼⑻⑺⑹⑸【解析】本题中的两个图都是立体图形的平面展开图，将它们还原成立体图形，可得到如下两图：其中左图是以⑴⑵⑶⑷为平面展开图的立体图形，是一个四个面都是正三角形的正四面体，右图以⑸⑹⑺⑻⑼⑽⑾为平面展开图的立体图形，是一个不规则图形，底面是⑾，四个侧面是⑺⑻⑼⑽，两个斜面是⑸⑹．对于这两个立体图形的体积，能够采用套模法来求，也就是对于这种我们不熟悉的立体图形，用一些我们熟悉的基本立体图形来套，看看它们与基本立体图形相比，缺少了哪些部分．因为左图四个面都是正三角形，右图底面是正方形，侧面是等腰直角三角形，想到都用正方体来套．对于左图来说，相当于由一个正方体切去4个角后得到(如下左图，切去1ABDA 、1CBDC 、111D AC D 、111B AC B )；而对于右图来说，相当于由一个正方体切去2个角后得到(如下右图，切去1BACB 、1DACD )．D 1C 1B 1A 1D CBAABCDA 1B 1C 1D 1假设左图中的立方体的棱长为a ，右图中的立方体的棱长为b ，则以⑴⑵⑶⑷为平面展开图的立体图形的体积为：3231114233a a a a -⨯⨯⨯=，以⑸⑹⑺⑻⑼⑽⑾为平面展开图的立体图形的体积为3231122233b b b b -⨯⨯⨯=．因为右图中的立方体的棱长即是题中正方形⑾的边长，而左图中的立方体的每一个面的对角线恰好是正三角形⑴的边长，通过将等腰直角三角形⑺分成4个相同的小等腰直角三角形能够得到右图中的立方体的棱长是左图中的立方体的棱长的2倍，即2b a =．那么以⑴⑵⑶⑷为平面展开图的立体图形的体积与以⑸⑹⑺⑻⑼⑽⑾为平面展开图的立体图形的体积的比为：()33331212::21:163333a b a a =⨯=，也就是说以⑸⑹⑺⑻⑼⑽⑾为平面展开图的立体图形的体积是以⑴⑵⑶⑷为平面展开图的立体图形体积的16倍．【例 3】图⑴和图⑵是以正方形和等边三角形为面的立体图形的展开图，图中所有的边长都相同．请问：图⑴能围起来的立体图形的体积是图⑵能围起来的立体图形的体积的几倍？图⑴图⑵【解析】首先，我们把展开图折成立体图形，见下列示意图：图⑴图⑵对于这类题目，一般采用“套模法”，即用一个我们熟悉的基本立体图形来套，这样做基于两点考虑，一是如果有类似的模型，可以直接应用其计算公式；二是如果可以补上一块或者放到某个模型里面，那么可以从这个模型入手．我们把图⑴中的立体图形切成两半，再转一转，正好放进去！我们看到图⑴与图⑶的图形位置的微妙关系：1和图3一致！60°图⑶图⑷由图⑷可见，图⑴这个立体的体积与图⑶这个被切去了8个角后的立体图形的体积相等．假设立方体的1条边的长度是1，那么一个角的体积是1111112222348⨯⨯⨯⨯=，所以切掉8个角后的体积是1518486-⨯=．再看图⑵中的正四面体，这个正四面体的棱长与图⑶中的每一条实线线段相等，所以应该用边长为12的立方体来套．如果把图⑵的立体图形放入边长为12的立方体里的话是可以放进去的．12这是切去了四个角后的图形，从上面的分析可知一个角的体积为148，所以图⑵的体积是：1111142224824⨯⨯-⨯=，那么前者的体积是后者的5120624÷=倍．【例 4】。

立体几何练习题及答案

立体几何练习题及答案立体几何练习题及答案立体几何是数学中的一个重要分支，它研究的是空间中的几何形体。

在我们的日常生活中，立体几何无处不在，比如建筑物、雕塑、家具等。

掌握立体几何的基本概念和解题方法，不仅可以提高我们的空间想象能力，还能帮助我们解决实际问题。

下面，我将给大家提供一些立体几何的练习题及答案，希望能对大家的学习有所帮助。

1. 题目：一个正方体的体积是64立方单位，求它的边长。

解答：设正方体的边长为a，则根据正方体的性质可知，它的体积等于边长的立方，即a³=64。

两边开立方根，得到a=4。

所以，这个正方体的边长是4个单位。

2. 题目：一个圆柱的底面半径为3cm，高为8cm，求它的体积和表面积。

解答：圆柱的体积公式为V=πr²h，其中r是底面半径，h是高。

代入已知条件，可得V=π×3²×8=72π。

所以，这个圆柱的体积是72π立方厘米。

圆柱的表面积公式为A=2πrh+2πr²。

代入已知条件，可得A=2π×3×8+2π×3²=48π+18π=66π。

所以，这个圆柱的表面积是66π平方厘米。

3. 题目：一个球的半径为5cm，求它的体积和表面积。

解答：球的体积公式为V=4/3πr³，其中r是半径。

代入已知条件，可得V=4/3π×5³=500/3π。

所以，这个球的体积是500/3π立方厘米。

球的表面积公式为A=4πr²。

代入已知条件，可得A=4π×5²=100π。

所以，这个球的表面积是100π平方厘米。

4. 题目：一个圆锥的底面半径为6cm，高为10cm，求它的体积和表面积。

解答：圆锥的体积公式为V=1/3πr²h，其中r是底面半径，h是高。

代入已知条件，可得V=1/3π×6²×10=120π。

所以，这个圆锥的体积是120π立方厘米。

第一章点线面位置关系专题五共面问题微点1立体几何共面问题的解法【培优版】

第一章点线面位置关系专题五共面问题微点1 立体几何共面问题的解法【培优版】立体几何微专题第一章点线面位置关系专题五共面问题微点1立体几何共面问题的解法【培优版】共面与异面是立体几何中的一对基本矛盾．共面，又称共平面，几何学术语，是指几何形状在三维空间中共占同一平面的关系．判定（证明）空间点共面、直线共面的基本方法有：公理法和纳入平面法，除此外，还可以利用同一法、反证法、向量法等，本节介绍空间点共面、直线共面问题的这些解法．一、平面重合法（同一法）根据已知条件，其中部分点线确定若干个平面，再证这些平面都重合，则所有的点线共面．应用重合法证点线共面的关键在于根据平面性质公理证明若干个平面重合．主要方法有：1．利用平面确定性公理及推论判定两平面重合2．利用直线的垂面唯一性证两平面重合3．利用平行平面的唯一性，证平面重合二、反证法三、向量法根据共面向量定理及其推论判定、证明点共面、直线共面．向量共面定理：向量,a b 不共线，向量p 与,a b 共面的充要条件是存在实数,(,)x y x y ∈R ，使p xa yb =+ ．【推论】空间中一点O 和不共线的三点,,A B C ，则,,,P A B C OA A OP xOA yO P A B zO B AC OP AB AC C λμλμ⇔=+⇔=+⇔+++= ，且1x y z ++=．类型一　利用平面重合法（同一法）证明点或线共面问题1．利用平面确定性公理及推论判定两平面重合【典例1】求证：已知直线l 与三条平行线a 、b 、c 都相交（如图1），求证：l 与a 、b 、c 共面．图1【分析】设a ∩l ＝A ，b ∩l ＝B ，c ∩l ＝C ，由a ∥b ，得过a 、b 可以确定一个平面α．由b ∥c ，得过b 、c 可以确定一个平面β，由已知推导出α与β重合，从而能证明a 、b 、c 、l 共面．证明：如图2，设a ∩l ＝A ，b ∩l ＝B ，c ∩l ＝C ，∵a ∥b ，∴过a 、b 可以确定一个平面α．∵A ∈a ，B ∈b ，a 、b ⊂α，∴A ∈α，B ∈α，∴AB ⊂α，即l ⊂α．又∵b ∥c ，∴过b 、c 可以确定一个平面β，同理可证l ⊂β．∵α、β都过相交直线b 、l ，∴α与β重合，∴a 、b 、c 、l 共面．图2【点睛】共面问题的证明常有下列方法：（1）先作一个平面，再证明有关的点或线在这个平面内；（2）先过某些点或线作多个平面，再证明这些平面重合；（3）用反证法．本题采用方法2证明较好．【举一反三】（2023上·北京通州·高二统考期中）1．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，,,,E F G H 分别是棱AB ，11B C ，11C D ，1D D 的中点.(1)求证：,,,E F G H 四点共面；(2)求1B D 与平面EFGH 所成角的正弦值；(3)求点1B 到平面EFGH 的距离.【典例2】正方体1111ABCD A B C D -中，,,,,,E F G H I J 分别是它们所在棱的中点，求证：这六个中点共面．证明：如图6，联结FI ，易证EJ FI ∥，∴EJ 和FI 可确定一个平面，记作α．又联结GJ ，则GJ EF ∥，∴GJ 和EF 可确定一个平面β．但,αβ两平面内都含有不共线的三个点,,E F J ，过这三点的平面是存在且唯一的，∴,αβ两平面重合，同理可证，平面EFGH与,αβ都重合，由此可知,,,,,E F G H I J 六个中点共面．图6【举一反三】2．如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，11AA =，2AB AD ==，E ，F 分别是AB ，BC 的中点，证明：11,,,A C F E 四点共面．【反思】可以看出同一法同样可以用于证明立体几何，除了证明题之外还有一类解答题，同样是可以用同一法的思想来解答的．假设原命题为“若p 且q ，则r "，当用同一法证明时，证明其逆命题成立则原命题成立，也就是证明“若r ，则p 且q ”．当q 未知时，这就不是证明题，而是解答题．【典例3】直线m 、n 分别和平行直线a 、b 、c 都相交，交点为A 、B 、C 、D 、E 、F ，如图8，求证：直线a 、b 、c 、m 、n 共面．图8【分析】证明若干条直线共面的方法有两类：一是先确定一个平面，证明其余的直线在这个平面里；二是分别确定几个平面，然后证明这些平面重合．证明：∵a ∥b ，∴过a 、b 可以确定一个平面α．∵A ∈a ，a ⊂α，∴A ∈α，同理B ∈a ．又∵A ∈m ，B ∈m ，∴m ⊂α．同理可证n ⊂α．∵b ∥c ，∴过b ，c 可以确定平面β，同理可证m ⊂β．∵平面α、β都经过相交直线b 、m ，∴平面α和平面β重合，即直线a 、b 、c 、m 、n 共面．【举一反三】3．证明两两相交而不共点的四条直线在同一平面内．已知：如图，直线1234,,,l l l l 两两相交，且不共点．求证：直线1234,,,l l l l 在同一平面内.2.利用直线的垂面唯一性证两平面重合【典例4】过球外一点作球的切线，求证：所有切点共面．证明：如图10，设球O 外一点P ，切线为,,,PA PB A B 为切点，联结,,PO AO BO ，过A 作1AO PO ⊥于1O ，过1,,A B O 三点作截面得到小圆1O ．联结,AO BO ，易知Rt Rt AOP BOP ≌△△，∴PA PB =．在Rt PAO △中，190,OAP AO PO ∠=︒⊥，∴221PO PO PA PB ⋅==，图10则在Rt POB △中可断定1BO PO ⊥，∴PO ⊥平面1AO B ，且11O A O B =（全等三角形对应边上的高相等），由此可知，过点P 作球的切线的切点与点1O 的距离相等，∴点1O 是小圆的圆心．同理，球的任意切线12,,PC PC ⋅⋅⋅；12,,C C ⋅⋅⋅为切点，则平面1112,,AO C AO C ⋅⋅⋅都与直线PO 垂直，所有这些垂面都过点1O ，∴它们都应重合，由此可知，过球外一点作球的切线，所有切点共面．【反思】上例应用了如下结论：过定点作定直线的垂直平面存在且唯一．【举一反三】（2022·安徽马鞍山·马鞍山二中月考）4．四棱锥P －ABCD 中，平面PCD ⊥平面ABCD ，PD PC =，90DPC ∠= ，//AD BC ，90ABC ∠= ，1AD AB ==，2BC =，M 为PC 的中点，2PN ND = ．(1)证明：A ，B ，M ，N 四点共面；(2)求二面角M －AB －C 的余弦值．3．利用平行平面的唯一性，证平面重合【典例5】正方体1111ABCD A B C D -中，,,,,,E F G H I J 是它们所在棱的中点，求证：这六个中点共面．证明：见图6，连FI ，易证EJ FI ∥，∴这两条平行线可以确定一个平面α．同理FI GH ∥，则这两条平行线又可确定一个平面β，连11,,AC AD D C ，则1,,EF AC IJ D A EF ∥∥与IJ 是平面α内的相交直线．∴平面EFIJ ∥平面1ACD ，同理，平面FGHI ∥平面1ACD ．即平面,αβ都过点F ，且都平行于平面1ACD ，∴平面α与β必重合．【反思】上例利用了下列结论：过平面外一点可以作且只可以作一个与已知平面平行的平面．【举一反三】5．如图，多面体ABCGDEF 中，AB ，AC ，AD 两两垂直，平面ABC //平面,DEFG 平面BEF //平面ADGC ，AB ＝AD ＝DG ＝2， 1.AC EF == 判断点B ，C ，F ，G 是否共面，并说明理由．类型二　利用反证法证明点或线共面问题【典例6】若空间一个四边形邻边的夹角均为90︒，求证：这个四边形必是矩阵．证明：如图15，设四边形ABCD 中，90A B C D ∠=∠=∠=∠=︒，要证它是矩形，应先证明它是个平面图形．图15若四边形ABCD 不是平面图形，则四个线段,,,AB BC CD DA 中必有异面直线．设AB 与CD 为异面直线，而,AD BC 与这两条直线都相交且垂直，∴,AD BC 都是,AB CD 的公垂线，但异面直线的公垂线是存在且唯一的，矛盾．∴,AB CD 不可能是异面直线．同理，,AD BC 也不可能是异面直线．∴四边形ABCD 是一个平面图形．再证ABCD 为矩阵是显而易见的．【典例7】若空间四点,,,A B C D ，满足条件AC BD AB CD AD BC ⋅=⋅+⋅，求证：,,,A B C D 四点共面．证明：如图16，若,,,A B C D 四点不共面，则四点构成一个空间四边形A BCD -，将ABD △绕BD 旋转到BCD △所在平面α内，点A 移到点1A ．图16在平面四边形1A BCD 中，应有111A C BD A B CD A D BC⋅≤⋅+⋅但在ACE △中1AC AE EC A C<+=(1)求平面PBC 与平面PAD 所成二面角的正弦值；(2)若E 是棱PB 的中点，对于棱出点E 的位置，并加以证明；若不存在，请说明理由．类型三　利用向量法证明点或线共面问题图20证明：如图20，设,AB a AD =【典例9】四面体ABCD 中，,,,E F G 四点共面．图23证明：如图23，联结EG ，则(12EG EB BG EB BC =+=+(1)求FH （用向量,,a b c 表示）(2)求证：点E ，F ，G ，H 四点共面．【典例10】设O 为平面ABC 共面，且PA ⊂平面ABC ．31 证明：A ，B ，M ，N 四点共面；一、单选题：10．已知a 、b 、c 是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是（E F G H四点共面A．,,,FG平面ADCB．//FG HE交于点P C．若直线,△的面积为6，则D．若ABD①点E，F，G，H在同一个平面上；②直线DE，BF，CI交于同一点；③直线BF与直线1B C所成角的余弦值为④该正方体过EH的截面的面积最大值为(1)求证：E，F，G，(2)求证：EH，FG，（2022下·辽宁抚顺16．如图，在三棱柱(1)证明：E，F，G，(2)证明：EG，FH，AA（2022下·安徽芜湖·高一校考期中）(1)求证：E ，F ，C 1，1A 四点共面；(2)求证：A 1E ，1C F ，1B B 交于一点18．如图，在正方体ABCD (1)证明：E 、C 、D 1、F (2)设1D F CE O ⋂=，证明：19．如图，ABCD 为空间四边形，点CD ，AD 上，且DH =(1)求证：E ，F ，G ，H 四点共面；(2)求证：EH ，FG 必相交且交点在直线BD 上．（2022·河南·校联考三模）20．如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，E ，F(1)证明：E ，F ，D ，B 四点共面．(2)证明：BE ，DF ，1CC 三线共点．（2023·四川成都·校联考模拟预测）21．如图，在三棱柱ABC A -3(1)求证：B ，D ，E ，1B 四点共面；(2)求四棱锥11A BDEB -的体积．（2023·四川成都·校联考模拟预测）22．如图，在三棱柱ABC(1)求证：B ，D ，E ，1B 四点共面；(2)求二面角11A BB D --的余弦值．参考答案：因为,,,E F G H 分别是棱AB 易得11//HM B D ,11//GF B D ,所以,,,H M F G 四点共面，又111//,//,EM AB HG DC AB设正方形的的边长为a则()()1,,,0,0,0,2a B a a a D E a ⎛ ⎝，则1(,,),(,,0),22a a DB a a a GF == 设(),,n x y z = 是平面EFGH 的法向量，a a ⎧1111//,//,//A C AC A C FE FE AC ∴''∴，F 为BC 中点，E '∴为AB 中点，E '∴与E 重合，即11,,,A CF E 四点共面．3．证明见解析【分析】证明几条直线共面的依据是公理3及推论和公理1．先证某两线确定平面α，然后证其它直线也在α内．【详解】图①中，没有三条直线交于一点，因为12l l P = ，所以12,l l 确定平面α，又因1323,l l A l l C ⋂=⋂=，所以,A C α∈，所以3l α⊂，同理可得4l α⊂，所以直线1234,,,l l l l 在同一平面内；图②中，123,,l l l 三条直线交于一点，因为又因1424,l l A l l B ⋂=⋂=，所以,A B α∈，所以4l α⊂，同理3l α⊂，所以直线1234,,,l l l l 在同一平面内，综上所述，所以直线1234,,,l l l l 在同一平面内.4．(1)证明见解析120∠=︒，1PADBC=，AB AD PA==A B C D∴(0,0,0),(0,0,2),(0,1,2)(0,2,0)设面PBC的法向量为(,,)m x y z==---=(3,1,2),(0,1,0)BP BC假设在棱CD上存在点F，使得∴四点共线，记该平面为E F D P,,,PE DF⊂面α∴∈面α,,P∈∈B PEC DF,8．(1)111 242 a b c--(2)证明见解析【分析】（1）根据向量的线性运算结合空间向量基本定理运算求解线的性质，结合平行线的传递性证明【详解】（1）∵【点睛】9．证明见解析【分析】延长CD，BA交于点从而可得QM与PD的交点为点N重合，从而可得结论10．B【分析】根据已知条件判断a 、c 的位置关系，可判断AB 选项的正误；利用锥体可判断D 选项的正误.【详解】对于A 选项，若a b ⊥ ，b c ⊥，则a 与c 平行、相交或异面，对于B 选项，若a b ⊥ ，//b c ，则a c ⊥，B 选项正确；对于C 选项，若////a b c ，将a 、b 、c 视为三棱柱的三条侧棱所在直线，C 选项错误；对于D 选项，若a 、b 、c 共点，将a 、b 、c 视为三棱锥共顶点的三条棱所在直线，则【分析】根据平面的基本性质，异面直线的判定定理，逐一验证各个选项.【详解】如下图所示：根据题意，连接11,A C AC ，则11//A C AC ，所以11,,,A C C A 四点共面，所以1AC ⊂面11ACC A ，又1M A C ∈，所以M ∈面11ACC A ，又M ∈面1AB D ，所以点M 在面11ACC A 与面11AB D 的交线上面，同理可得点O 在面11ACC A 与面11AB D 的交线上面，所以A ，M ，O 三点共线，故A 选项错误，B 选项正确；由异面直线判定定理可知C 选项中1,OM DD 为异面直线，故C 选项错误；由异面直线判定定理可知D 选项中1,AM BB 为异面直线，故D 选项错误.故选：B.12．AD【分析】A 选项举出反例即可说明；C 选项根据共面不具有传递性即可判断；B 选项根据点共面的性质判定即可；D 选项根据过直线与直线外一点可确定个平面,即可判断.【详解】A 正确，可以用反证法证明，假设任意三点共线，则四个点必共面，与不共面的四点矛盾；B 从条件看出两平面有三个公共点A ，B ，C ，但是若A ，B ，C 共线，则结论不正确；C 不正确，共面不具有传递性，若直线a ，b 共面，直线a ，c 共面，则直线b ，c 可能不在一个平面内；D 正确，两两相交的直线有三个公共点，确定一个平面.所以111222 BCDS CO BD==⨯故选：ACD.【分析】对于①，由FG EH ∥即可证得点E ，F ，G ，H 共面；对于②，延长,DE CI 交于M ，由平面EDBF ⋂平面ICBF BF =，证得M BF ∈，即可证得直线DE ，BF ，CI 交于同一点；对于③，取AB 中点N ，1NA D ∠或其补角即为直线BF 与直线1B C 所成角，再由余弦定理求解即可；对于④，求出截面11A BCD 的面积即可判断.【详解】对于①，如图，连接1,FG A B ，因为点F ，G 分别为线段11A B ，1B B 的中点，则1FG A B ，又点E ，H 分别为线段11A D ，BC 的中点，则1EH A B ，则FG EH ∥，则,FG EH 共面，即点E ，F ，G ，H 在同一个平面上，①正确；对于②，连接,,EF FI EI ，易得EI CD ，则,EI CD 共面，延长,DE CI 交于M ；易得EF BD ∥，则,EF BD 共面；FI BC ，,FI BC 共面；平面EDBF ⋂平面ICBF BF =，又M ∈平面EDBF ，M ∈平面ICBF ，则M BF ∈，即直线DE ，BF ，CI 交于同一点，②正确；对于③，取AB 中点N ，连接角即为直线BF 与直线1B C 又22,A D A N DN ===对于④，连接1A B ，易得A 面；又1BC A B ⊥，12,BC A B =17．(1)证明见解析(2)证明见解析【分析】（1）连接EF ，根据E ，F 分别为AB ，BC 的中点，得到EF AC ∥，再根据三棱柱的性质证明即可；（2）由（1）得EF AC ≠且E ，F ，1A ，1C 四点共面，得到1A E 与1C F 必相交，设11A E C F P ⋂=，再证明1P BB ∈即可.【详解】（1）证明：如图，连接EF ，∵E ，F 分别为AB ，BC 的中点，∴EF AC ∥..又在三棱柱111ABC A B C 中，11AC A C ∥，∴11EF A C ∥.则E ，F ，1A ，1C 四点共面.（2）由（1）得EF AC ≠且E ，F ，1A ，1C 四点共面，则1A E 与1C F 必相交.设11A E C F P ⋂=.∵1A E ⊂平面11AA B B ，∴P ∈平面11AA B B .∵1C F ⊂平面11BB C C ，∴P ∈平面11BB C C ..又平面11AA B B ∩平面111BB C C BB =∴1P BB ∈.则1A E ，1C F ，1B B 交于一点.18．(1)证明见解析(2)证明见解析【分析】（1）利用三角形的中位线及平行四边形的性质证明1//EF CD ，从而得到四点共面；（2）根据平面的性质，证明点O ∈平面ABCD ，O ∈平面ADD 1A 1，从而A ，O ，D 三点共线.【详解】（1）证明：如图，连接EF ，1A B ，1D C .在正方体1111ABCD A B C D -中，E 、F 分别是AB 、AA 1的中点，所以 1//EF A B .又11//BC A D ，且11BC A D =，所以四边形11BCD A 是平行四边形，所以1A B 1//D C .1//EF D C ∴，所以E 、C 、D 1、F 四点共面；（2）由1D F CE O ⋂=，1O D F ∴∈，又1D F ⊂平面11ADD A ，O ∴∈平面11ADD A ，同理O ∈平面ABCD ，又平面11ADD A 平面ABCD AD =，O AD ∴∈，即A ，O ，D 三点共线.19．(1)证明见解析（2）证明：易知13HG AC=，又EF=结合（1）的结论可知，四边形EFGH是梯形，因此直线EH，FG不平行．设它们交点为P，P∈平面ABD，同理P又平面ABD⋂平面BCD BD=，20．(1)证明见解析(2)证明见解析【分析】（1）连接EF，BD，11B D，易得明；．（2）由直线BE 和DF 相交，延长BE ，DF ，设它们相交于点P ，然后再论证P ∈平面11BB C C ，P ∈平面11CDD C 即可.【详解】（1）如图，连接EF ，BD ，11B D ．∵EF 是111B C D △的中位线，∴11EF B D ∥．∵1BB 与1DD 平行且相等，∴四边形11BDD B 是平行四边形，∴11BD B D ∥，∴EF BD ∥，∴E ，F ，D ，B 四点共面．（2）∵EF BD ∥，且EF BD ≠，∴直线BE 和DF 相交．延长BE ，DF ，设它们相交于点P ，∵P ∈直线BE ，直线BE ⊂平面11BB C C ，∴P ∈平面11BB C C ，∵P ∈直线DF ，直线DF ⊂平面11CDD C ，在三棱柱111ABC A B C -中，四边形则160A AC ∠=︒，又AC =又O 为AC 的中点，所以又平面11AA C C ⊥平面ABC则()0,0,0O ，()0,2,0A -，所以()3,1,0BD =- ，1BB AA = 设平面1B BD 的一个法向量为令13z =-，则11x =，1y =。

立体几何知识点总结

立体几何知识点总结立体几何是数学中的一个重要分支，涉及到三维空间中的各种几何图形和形体。

在现实生活中，我们经常会遇到各种各样的立体图形，比如立方体、球体、圆柱体等等。

本文将对一些常见的立体几何知识点进行总结，帮助读者更好地理解和应用这些知识。

首先，我们来介绍一下立体几何中的基本概念。

在三维空间中，一切物体都有三个维度，即长、宽、高。

立体几何研究的就是这些立体物体，主要包括几何体的表面积、体积、立体角等相关概念。

几何体的表面积是指几何体的所有表面的总面积。

对于常见的几何体，我们可以采用特定的公式来计算表面积。

例如，对于立方体，其表面积等于6倍的边长的平方；对于球体，其表面积等于4倍的半径的平方乘以π。

几何体的体积是指几何体所占据的空间大小。

同样，对于常见的几何体，我们也可以使用相应的公式来计算体积。

例如，对于立方体，其体积等于边长的立方；对于球体，其体积等于半径的立方乘以4/3再乘以π。

除了表面积和体积，立体几何中还有一个重要的概念是立体角。

立体角是由三条直线所确定的一个尖角区域，在三维空间中可以理解为一个锥体。

立体角的大小可以通过两条边的夹角以及与这两条边相交的直线长度来计算。

立体角的概念在物理学中也有广泛的应用，例如光学中的折射定律和电学中的电场强度计算等。

在立体几何中，还有一些重要的立体图形需要了解。

例如，圆柱体是由一个底面圆和与这个底面平行的平面曲线（矩形）所确定的立体，其视为一个圆柱形状。

圆锥体则是由一个底面圆和一个顶点在这个底面上的直线所确定的立体，其视为一个圆锥形状。

这些立体图形在实际生活中有着广泛的应用，比如柱状容器、圆锥形的雨伞等等。

另外，还有一些立体几何的重要定理和性质也需要掌握。

例如，欧拉公式是描述了在球面上的顶点、边和面的数量关系，即V - E + F = 2，其中V表示顶点数，E表示边数，F表示面数。

该公式在拓扑学和数学中有着重要的应用。

另一个重要的定理是平行线截置定理，它揭示了平行线和截线之间的关系，如平行线截割等分截线等。

立体几何的练习题及解题方法

立体几何的练习题及解题方法立体几何是数学中的一个重要分支，它研究的是空间中的几何图形。

在学习立体几何时，我们常常需要进行一些练习题来加深对各种几何图形的理解，并熟悉解题方法。

本文将提供一些立体几何的练习题，并探讨它们的解题方法。

一、体积计算题1.请计算一个边长为5cm的正方体的体积。

解题方法：正方体的体积计算公式为V = a^3，其中a表示边长。

将已知数据带入公式，得到V = 5^3 = 125 cm^3。

因此，正方体的体积为125立方厘米。

2.已知一个椎体的底面半径为4cm，高为6cm，求它的体积。

解题方法：椎体的体积计算公式为V = (1/3)πr^2h，其中r表示底面半径，h表示高。

将已知数据带入公式，得到V = (1/3)π(4^2)(6) ≈100.53 cm^3。

因此，椎体的体积约为100.53立方厘米。

二、表面积计算题1.已知一个正方体的边长为3cm，求它的表面积。

解题方法：正方体的表面积计算公式为S = 6a^2，其中a表示边长。

将已知数据带入公式，得到S = 6(3^2) = 54 cm^2。

因此，正方体的表面积为54平方厘米。

2.请计算一个圆锥的表面积，已知它的底面半径为6cm，侧面高为8cm。

解题方法：圆锥的表面积计算公式为S = πr(r + l)，其中r表示底面半径，l表示斜高。

首先，我们需要计算斜高，可以利用勾股定理得到l = √(r^2 + h^2)。

将已知数据带入公式，得到l = √(6^2 + 8^2) = 10 cm。

然后，将r和l带入表面积计算公式，得到S = π(6)(6 + 10) ≈ 251.33 cm^2。

因此，圆锥的表面积约为251.33平方厘米。

三、图形的相交与不相交题1.已知一个正方体和一个立方体，它们的边长均为4cm，判断它们是否相交。

解题方法：两个立体图形相交的条件是它们至少有一个公共点。

由于正方体和立方体的边长相等，并且它们的中心点重合，因此它们相交。

《立体几何中的存在性问题》教学设计同步培优

微课堂设计《立体几何中的存在性问题》立体几何中的存在性问题在近几年的全国卷高考中大题第二问一直都有体现，存在性问题也就是探究性问题。

存不存在，存在又如何，我们处理的总的思路是什么？立体几何中的存在问题都是先假设存在，在存在的背景下去完成这个问题。

立体几何中有许多存在性问题，主要是针对直线上是否存在一点（平面内一点）使得满足一定的位置关系（平行、垂直）或一定的角度要求（线面角、二面角）。

存在性问题解决：（1）采用先猜后证，猜中点或三等分点等等然后证明位置关系：平行多用中位线、垂直多用三线合一等；（2）采用先设后求，运用待定系数法和空间向量解决，特别运用三点共线设一般直线上一点。

一．教学目标：掌握处理立体几何中探究性问题的一般思路；二．教学重点：利用先猜后证和先设后求处理探究性问题；三．教学难点：如何猜点及设点；四．教学过程4.1例题讲解例1.如图，矩形ABCD所在平面与半圆弧CD所在平面垂直，M是CD上异于C，D的点．在线段AM上是否存在点P，使得MC∥平面PBD？说明理由．【答案】P为AM的中点【解析】当P为AM的中点时，MC∥平面PBD．证明如下：连结AC交BD于O．因为ABCD为矩形，所以O为AC中点．连结OP，因为P为AM中点，所以MC∥OP．MC⊄平面PBD，OP⊂平面PBD，所以MC∥平面PBD．【分析】先猜后证，为什么要猜中点？根据已知条件没有比例关系，关键是连接对角线会产生中点，平行多用中位线、垂直多用三线合一。

例2.如图，在三棱锥P ABC -中，22AB BC ==，4PA PB PC AC ====，O 为AC 的中点．（1）证明：PO ⊥平面ABC ；（2）若点M 在棱BC 上，且二面角M PA C --为30，求PC 与平面PAM 所成角的正弦值．【解析】（2）以O 为坐标原点，OB 的方向为x 轴正方向，建立空间直角坐标系O xyz - ．则(0,0,0),(2,0,0),(0,2,0),(0,2,0),(0,0,23),(0,2,23)O B A C P AP -= 取平面PAC 的法向量(2,0,0)OB =．设(,2,0)(02)M a a a -<≤，则(,4,0)AM a a =-．设平面PAM 的法向量为(,,)n x y z =．由0,0AP n AM n ⋅=⋅=得2230(4)0y z ax a y ⎧+=⎪⎨+-=⎪⎩ ，可取2(3(4),3,)n a a a =--所以22223(4)cos 23(4)3a OB n a a a -〈⋅〉=-++ ．由已知得3cos 2OB n 〈⋅〉= ．所以22223|4|3223(4)3a a a a -=-++ ．解得4a =-(舍去)，43a = ．所以83434,,333n ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭ ．又(0,2,23)PC =- ，所以3cos ,4PC n 〈〉= ．所以PC 与平面PAM 所成角的正弦值为34．【分析】本题关键在于设M 的坐标，由于M 在xoy 平面内，可以放在xoy 平面去设M 坐标，根据M 点在直线BC 上，可以得到BC 方程，从而设出M 坐标。

小学生六年级数学学习技巧如何解决简单的立体几何问题

小学生六年级数学学习技巧如何解决简单的立体几何问题数学是一门重要的学科，也是小学生六年级必修的科目之一。

在数学学习中，立体几何是一个重要的内容，它可以帮助我们了解和研究三维空间中的图形和形状。

在解决简单的立体几何问题时，我们可以运用一些学习技巧来提高解题效率。

本文将介绍一些小学生六年级数学学习技巧，以帮助解决简单的立体几何问题。

1. 熟悉立体几何图形的基本概念在解决立体几何问题之前，我们需要熟悉一些立体几何图形的基本概念。

例如，正方体、长方体、圆柱体、圆锥体和球体等。

我们需要了解它们的特点、性质以及它们的表面积和体积的计算公式。

通过熟悉这些基本概念，我们可以更好地理解和解决立体几何问题。

2. 画图辅助解题解决立体几何问题时，画图是一个非常有效的方法。

我们可以根据问题的描述，画出相应的立体图形，以便更好地理解和解决问题。

画图可以帮助我们形象化地看待问题，更容易找到解题的思路和方法。

3. 刻意练习立体几何题目要提高解决立体几何问题的能力，我们需要进行刻意的练习。

可以多做一些相关的习题，逐步提高自己的解题能力。

通过大量的练习，我们可以熟悉各种类型的题目，从而更好地应对考试和实际问题。

4. 学会运用数学公式解决立体几何问题时，我们需要掌握一些数学公式。

例如，计算正方体的体积可以使用公式 V=a^3，计算圆柱体的表面积可以使用公式S=2πr^2+2πrh。

通过掌握这些公式，我们可以迅速计算出立体几何图形的各种属性，解决问题。

5. 寻找问题的关键信息在解决立体几何问题时，我们需要注意寻找问题的关键信息。

有时问题描述中的一些信息可能是多余或者干扰项，我们需要筛选出与解题有关的关键信息。

通过分析问题，找出关键信息，可以更快地定位解题思路，提高解题效率。

6. 与同学或老师交流讨论数学学习中，交流讨论是一个非常有益的学习方法。

在解决立体几何问题时，我们可以与同学或老师进行交流，分享各自的解题思路和方法。

通过交流讨论，我们可以互相学习，发现问题的不同解法，提高自己的解题能力。

小学数学竞赛：几何计数(三).教师版解题技巧培优易错难

1.掌握计数常用方法；2.熟记一些计数公式及其推导方法；3.根据不同题目灵活运用计数方法进行计数．本讲主要介绍了计数的常用方法枚举法、标数法、树形图法、插板法、对应法等，并渗透分类计数和用容斥原理的计数思想．一、几何计数在几何图形中，有许多有趣的计数问题，如计算线段的条数，满足某种条件的三角形的个数，若干个图分平面所成的区域数等等．这类问题看起来似乎没有什么规律可循，但是通过认真分析，还是可以找到一些处理方法的．常用的方法有枚举法、加法原理和乘法原理法以及递推法等．n 条直线最多将平面分成21223(2)2n n n ++++=++……个部分；n 个圆最多分平面的部分数为n (n -1)+2；n 个三角形将平面最多分成3n (n -1)+2部分；n 个四边形将平面最多分成4n (n -1)+2部分……在其它计数问题中，也经常用到枚举法、加法原理和乘法原理法以及递推法等．解题时需要仔细审题、综合所学知识点逐步求解．排列问题不仅与参加排列的事物有关，而且与各事物所在的先后顺序有关；组合问题与各事物所在的先后顺序无关，只与这两个组合中的元素有关．二、几何计数分类数线段：如果一条线段上有n +1个点(包括两个端点)（或含有n 个“基本线段”），那么这n +1个点把这条线段一共分成的线段总数为n +(n -1)+…+2+1条数角：数角与数线段相似，线段图形中的点类似于角图形中的边．数三角形：可用数线段的方法数如右图所示的三角形（对应法），因为DE 上有15条线段，每条线段的两端点与点A 相连，可构成一个三角形，共有15个三角形，同样一边在BC 上的三角形也有15个，所以图中共有30个三角形．ED CBA数长方形、平行四边形和正方形：一般的，对于任意长方形（平行四边形），若其横边上共有n 条线段，纵边上共有m 条线段，则图中共有长方形（平行四边形）mn 个．模块一、立体几何计数【例 1】用同样大小的正方体小木块堆成如下图的立体图形，那么一共用了__________块小正方体。

【小升初培优专题】六年级下册数学-立体几何综合训练(解析版)

【小升初培优专题】六年级下册数学-立体几何综合训练（解析版）知识点1、正方体表面积＝棱长×棱长×６体积＝棱长×棱长×棱长图形切拼：一刀两面2、长方体表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×２体积＝长×宽×高棱长和＝（长＋宽＋高）×4切成最大的正方体：找长、宽的最大公约数展开图挖小正方体在角上挖：表面积不变在棱上挖：增加２个小正方形的面积在面上挖：增加4个小正方形的面积染色问题3面被染色：８个2面被染色：关注棱长1面被染色：关注面0面被染色：关注内部3、圆柱侧面积＝Ｃh＝2πrh表面积＝2πrh ＋2πr ² 体积＝Sh ＝πr ²h 4、圆锥体积＝31×Sh ＝31πr ²h圆柱体体积是同底等高的圆锥体体积的3倍5、浸没问题完全浸没时，物体体积＝水变化的体积6、三视图俯视图标数视图主视图左视图一、填空题。

（每道小题6分，共72分）1. 要拼成一个棱长为2厘米的正方体，需要个棱长为1厘米的小正方体。

【解答】2×2×2＝8（个）2. 一个长方体仓库从里面量约长10米，宽5米，高6米，如果放入棱长是2米的正方体木箱，至多可以放进个。

【解答】分别从长、宽、高三个方向进行考虑：10÷2＝5（个）长这个方向可以放5个；5÷2＝2（个）……1（米），宽这个方向可以放2个； 6÷2＝3（个），高这个方向可以放3个， 5×2×3＝30（个），所以至多可以放30个。

3. 将一块长24厘米，宽18厘米，高12厘米的长方体木料，锯成尽可能大的同样大小的正方体木块，可以锯成块。

【解答】本题的关键在于正确解读"锯成尽可能大的同样大小的正方体木块"这句话，因为木块是整块整块的，所以正方体棱长必然是长、宽、高的公约数，要让木块尽可能大，那么棱长取长、宽、高的最大公约数即可。

立体几何题型及解题方法总结

立体几何题型及解题方法总结1. 立体几何题型啊，那可是个神奇的领域！有求各种立体图形体积的题型，就像求一个装满水的古怪形状瓶子能装多少水一样。

比如说正方体，正方体的体积公式就是边长的立方。

要是有个正方体边长是3厘米，那它的体积就是3×3×3 = 27立方厘米，简单吧！这类型的题就像是数糖果，一个一个数清楚就行。

2. 还有求立体图形表面积的题型呢。

这就好比给一个形状奇怪的礼物包装纸，得算出需要多少纸才能把它包起来。

像长方体，表面积就是六个面的面积之和。

假如一个长方体长4厘米、宽3厘米、高2厘米，那表面积就是2×(4×3 + 4×2 + 3×2) = 52平方厘米。

哎呀，可别小瞧这表面积，有时候算错一点就像给礼物包了个破纸一样难看。

3. 立体几何里关于线面关系的题型也不少。

这就像在一个迷宫里找路，线和面的关系复杂得很。

比如说直线和平面平行的判定，就像在一个方方正正的房间里，一根直直的杆子和地面平行，只要杆子和地面内的一条直线平行就行。

像有个三棱柱，一条棱和底面的一条棱平行，那这条棱就和底面平行啦，是不是很有趣呢？4. 线面垂直的题型也很重要哦。

这就像是建房子时的柱子和地面的关系，必须垂直才稳当。

判断一条直线和一个平面垂直，就看这条直线是不是和平面内两条相交直线都垂直。

就像搭帐篷，中间那根杆子要和地面上交叉的两根绳子都垂直，帐篷才能稳稳地立起来。

比如一个正四棱锥，它的高就和底面垂直，因为高和底面两条相交的对角线都垂直呢。

5. 面面平行的题型有点像照镜子。

两个平面就像两面镜子，要想平行，得看一个平面内的两条相交直线和另一个平面内的两条相交直线分别平行。

就像有两个一样的盒子，一个盒子里面两条交叉的边和另一个盒子里面对应的两条交叉边平行，那这两个盒子的面就是平行的关系。

想象一下，如果两个平行的黑板，是不是很有画面感？6. 面面垂直的题型就像是打开的书页。

(完整版)立体几何的经典题型

(完整版)立体几何的经典题型立体几何的经典题型
1. 点、线、面的基本概念
在立体几何中，点、线和面是基本概念，对于经典题型的理解
至关重要。

- 点: 点是立体几何中最基本的要素，没有长度、宽度和高度，
只有一个位置。

- 线: 线由无数个点组成，没有宽度，只有长度和方向。

- 面: 面是由无数个线组成的，具有长度和宽度，但没有高度。

2. 立体图形的计算
掌握立体图形的计算方法能够解决很多经典题型。

- 体积: 体积是立体图形所占的空间大小，常见的计算公式有：
- 立方体的体积：V = 边长^3
- 圆柱体的体积：V = 底面积 ×高度
- 圆锥体的体积：V = 1/3 ×底面积 ×高度
- 表面积: 表面积是立体图形外部的总面积，常见的计算公式有：- 立方体的表面积：A = 6 ×边长^2
- 圆柱体的表面积：A = 2 ×底面积 + 侧面积
- 圆锥体的表面积：A = 底面积 + 侧面积
3. 空间关系和投影
理解立体图形的空间关系和投影对于解决经典题型至关重要。

- 平行关系: 如果两个面或两个线在空间中永远保持相同的距离
且不相交，它们是平行的。

- 垂直关系: 如果两个线或两个面彼此相交，并且交角为90度，它们是垂直的。

- 投影: 在立体几何中，我们常常需要计算一个图形在投影时的
变化。

常见的投影有平面投影和正交投影。

以上是立体几何的一些经典题型和基本概念，掌握了这些内容，你将能够更好地解决相关的问题。

希望对你有所帮助！。

第6章立体几何(学生版)--培优辅导讲义

第6章立体几何第一节多面体与球的组合体问题纵观近几年高考对于组合体的考查，重点放在与球相关的外接与内切问题上.要求学生有较强的空间想象能力和准确的计算能力，才能顺利解答.从实际教学来看，这部分知识是学生掌握最为模糊，看到就头疼的题目.分析原因，除了这类题目的入手确实不易之外，主要是学生没有形成解题的模式和套路，以至于遇到类似的题目便产生畏惧心理.本文就高中阶段出现这类问题加以类型的总结和方法的探讨.一、球与柱体的组合体规则的柱体，如正方体、长方体、正棱柱等能够和球进行充分的组合，以外接和内切两种形态进行结合，通过球的半径和棱柱的棱产生联系，然后考查几何体的体积或者表面积等相关问题.1、球与正方体如图1所示，正方体1111ABCD A B C D -，设正方体的棱长为a ，,,,E F H G 为棱的中点，O 为球的球心.常见组合方式有三类：一是球为正方体的内切球，截面图为正方形EFGH 和其内切圆，则2a OJ r ==；二是与正方体各棱相切的球，截面图为正方形EFGH 和其外接圆，则22GO R a ==；三是球为正方体的外接球，截面图为长方形11ACA C 和其外接圆，则132A O R '==.通过这三种类型可以发现，解决正方体与球的组合问题，常用工具是截面图，即根据组合的形式找到两个几何体的轴截面，通过两个截面图的位置关系，确定好正方体的棱与球的半径的关系，进而将空间问题转化为平面问题.例1棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -的8个顶点都在球O 的表面上，E F ，分别是棱1AA ，1DD 的中点，则直线EF 被球O 截得的线段长为（）A．2B．1C．12+【强化训练】将棱长为2的正方体木块削成一个体积最大的球，则这个球的表面积为（）A．π2B．π4C．π6D．π162、球与长方体长方体各顶点可在一个球面上，故长方体存在外切球.但是不一定存在内切球.设长方体的棱长为,,,a b c 其体对角线为l .当球为长方体的外接球时，截面图为长方体的对角面和其外接圆，和正方体的外接球的道理是一样的，故球的半径222.22l a b c R ++==例2在长、宽、高分别为2，2，4的长方体内有一个半径为1的球，任意摆动此长方体，则球经过的空间部分的体积为()A.10π3 B.4π C.8π3 D.7π3【强化训练】已知正四棱柱的底边和侧棱长均为32，则该正四棱锥的外接球的表面积为.3、球与正棱柱球与一般的正棱柱的组合体，常以外接形态居多.下面以正三棱柱为例，介绍本类题目的解法构造直角三角形法.设正三棱柱111ABC A B C -的高为,h 底面边长为a ，如图2所示，D 和1D 分别为上下底面的中心.根据几何体的特点，球心必落在高1DD 的中点O ，3,,,23h OD AO R AD a ===借助直角三角形AOD 的勾股定理，可求223()()23h R a =+.例3正四棱柱1111ABCD A B C D -的各顶点都在半径为R 的球面上，则正四棱柱的侧面积有最________值，为_______.【强化训练】直三棱柱111ABC A B C -的六个顶点都在球O 的球面上，若1AB BC ==，0120ABC ∠=，123AA =，则球O 的表面积为（）A．4πB．8πC．16πD．24π二、球与锥体的组合体规则的锥体，如正四面体、正棱锥、特殊的一些棱锥等能够和球进行充分的组合，以外接和内切两种形态进行结合，通过球的半径和棱锥的棱和高产生联系，然后考查几何体的体积或者表面积等相关问题.2.1球与正四面体正四面体作为一个规则的几何体，它既存在外接球，也存在内切球，并且两心合一，利用这点可顺利解决球的半径与正四面体的棱长的关系.如图4，设正四面体S ABC -的棱长为a ，内切球半径为r ，外接球的半径为R ,取AB 的中点为D ，E 为S 在底面的射影，连接,,CD SD SE 为正四面体的高.在截面三角形SDC ,作一个与边SD 和DC 相切，圆心在高SE 上的圆,即为内切球的截面.因为正四面体本身的对称性可知，外接球和内切球的球心同为O .此时，,CO OS R OE r ===,23,,33SE a CE a ==则有2222233a R r a R r CE +=-=，=解得：66,.412R a r ==这个解法是通过利用两心合一的思路，建立含有两个球的半径的等量关系进行求解.同时我们可以发现，球心O 为正四面体高的四等分点.如果我们牢记这些数量关系，可为解题带来极大的方便.例4将半径都为１的四个钢球完全装入形状为正四面体的容器里，这个正四面体的高的最小值为() A.3263+ B.2+263 C.4+263 D.43263+2.2球与三条侧棱互相垂直的三棱锥球与三条侧棱互相垂直的三棱锥组合问题，主要是体现在球为三棱锥的外接球.解决的基本方法是补形法，即把三棱锥补形成正方体或者长方体.常见两种形式：一是三棱锥的三条侧棱互相垂直并且相等，则可以补形为一个正方体，它的外接球的球心就是三棱锥的外接球的球心.如图5，三棱锥111A AB D -的外接球的球心和正方体1111ABCD A B C D -的外接球的球心重合.设1AA a =，则32R a =.二是如果三棱锥的三条侧棱互相垂直并且不相等，则可以补形为一个长方体，它的外接球的球心就是三棱锥的外接球的球心.2222244a b c l R ++==(l 为长方体的体对角线长).例5在正三棱锥S ABC -中，M N 、分别是棱SC BC 、的中点，且AM MN ⊥,若侧棱3SA =,则正三棱锥S ABC -外接球的表面积是________.【强化训练】一个几何体的三视图如图所示，其中主视图和左视图是腰长为1的两个全等的等腰直角三角形，则该几何体的外接球的表面积为()A．12πB．43πC．3πD．123π2.3球与正棱锥球与正棱锥的组合，常见的有两类，一是球为三棱锥的外接球，此时三棱锥的各个顶点在球面上，根据截面图的特点，可以构造直角三角形进行求解.二是球为正棱锥的内切球，例如正三棱锥的内切球，球与正三棱锥四个面相切，球心到四个面的距离相等，都为球半径R ．这样求球的半径可转化为球球心到三棱锥面的距离，故可采用等体积法解决，即四个小三棱锥的体积和为正三棱锥的体积.例6在三棱锥P－ABC 中，PA＝PB=PC=3,侧棱PA 与底面ABC 所成的角为60°，则该三棱锥外接球的体积为（）A．π B.3πC.π4D.34π【强化训练】已知正三棱锥ABC P -,点P,A,B,C 都在半径为3的球面上,若PA,PB,PC 两两互相垂直,则球心到截面ABC 的距离为____________.2.4球与特殊的棱锥球与一些特殊的棱锥进行组合，一定要抓住棱锥的几何性质，可综合利,OA OS OB OC ===用截面法、补形法等进行求解.例如，四个面都是直角三角形的三棱锥，可利用直角三角形斜边中点几何特征，巧定球心位置.如图8，三棱锥S ABC -,满足,,SA ABC AB BC ⊥⊥面取SC 的中点为O ,由直角三角形的性质可得：所以O 点为三棱锥S ABC -的外接球的球心,则2SC R =.例7矩形ABCD 中，4,3,AB BC ==沿AC 将矩形ABCD 折成一个直二面角B AC D --,则四面体ABCD 的外接球的体积是()A.π12125 B.π9125 C.π6125 D.π3125例8三棱锥A BCD -中，2,AB CD ====5AC AD BD BC ==则三棱锥A BCD -的外接球的半径是_______.三、球与球的组合体对个多个小球结合在一起，组合成复杂的几何体问题，要求有丰富的空间想象能力，解决本类问题需掌握恰当的处理手段，如准确确定各个小球的球心的位置关系，或者巧借截面图等方法，将空间问题转化平面问题求解.例9在半径为R 的球内放入大小相等的4个小球，则小球半径r 的最大值为（）A.(2－1)R B .(6－2)R C.14R D.13R 四、球与几何体的各条棱相切球与几何体的各条棱相切问题，关键要抓住棱与球相切的几何性质，达到明确球心的位置为目的，然后通过构造直角三角形进行转换和求解.如与正四面体各棱都相切的球的半径为相对棱的一半：24r a '=.例10把一个皮球放入如图10所示的由8根长均为20cm 的铁丝接成的四棱锥形骨架内，使皮球的表面与8根铁丝都有接触点，则皮球的半径为（）3B．10cm 2cm D．30cm 五、与三视图相结合的组合体问题本类问题一般首先给出三视图，然后考查其直观图的相关的组合体问题.解答的一般思路是根据三视图还原几何体，根据几何体的特征选择以上介绍的方法进行求解.例11某几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的球面面积为（）A.5πB.12πC.20πD.8π【强化训练】若一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如图所示，其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为()A.163π B.193π C.1912π D.43π第二节立体几何中折叠问题立体几何中的折叠问题主要包含两大问题：平面图形的折叠与几何体的表面展开。

小学六年级奥数--立体几何综合

学科培优数学立体几何综合学生姓名授课日期教师姓名授课时长知识定位本讲复习已经学过的立体图形的相关知识和解题技巧，主要有:长方体、立方体、圆柱、圆锥的体积及表面积求解，立体几何计数及多面体顶点与棱以及表面的关系。

重难点在于：1．不规则立体图形的表面积或体积求解2．多面体的顶点与棱数计数 3．体积的等量代换主要的考点：1．规则立体图形的表面积（侧面积）与体积计算2．不规则立体图形的表面积与体积计算 3．染色问题4．立体图形的三视图与展开图知识梳理主要知识点立体几何⑴规则立体图形的表面积和体积公式长方体：体积：长宽高表面积：（长宽+宽高+长高）立方体：体积：棱长的立方表面积：棱长的平方6 圆柱：体积：2r h π 侧面积：2rh π 圆锥：体积：213r h π⑵不规则立体图形的表面积整体观照法⑶体积的等积变形①水中浸放物体：V 升水=V 物 ②测啤酒瓶容积：V=V 空气+V 水⑷三视图与展开图最短线路与展开图形状问题⑸染色问题几面染色的块数与“芯”、棱长、顶点、面数的关系。

例题精讲【试题来源】【题目】一个长方体的表面积是33.66平方分米，其中一个面的长是2.3分米，宽是2.1分米，它的体积是_____立方分米.【试题来源】【题目】右图是一个棱长为2厘米的正方体，在正方体上面的正中向下挖一个棱长为1厘米的正方形小洞；接着在小洞的底面正中再挖一个棱长为21厘米的小洞；第三个小洞的挖法与前两个相同，棱长为41厘米．那么最后得到的立体图形的表面积是平方厘米【试题来源】【题目】把一个长25厘米，宽10厘米，高4厘米的长方体木块锯成若干个大小相等的正方体，然后拼成一个大的正方体．这个大正方体的表面积是_____平方厘米。

【试题来源】【题目】右图是3层没有缝隙的小立方块组成的．如果它的外表面(包括底面)全都被涂成红色，那么把它们再分开成一个个小立方块时，有多少个小立方块恰有三面是红色的?【试题来源】【题目】一个正方体木块，棱长是15．从它的八个顶点处各截去棱长分别是1、2、3、4、5、6、7、8的小正方体．这个木块剩下部分的表面积最少是( )．【试题来源】【题目】把一根长2．4米的长方体木料锯成5段(如图)，表面积比原来增加了96平方厘米．这根木料原来的体积是_____立方厘米．【试题来源】【题目】用棱长是1厘米的立方体拼成右图所示的立体图形．求这个立体图形的表面积．【试题来源】【题目】把1个棱长是3厘米的正方体分割成若干个小的正方体，这些小正方体的棱长必须是整厘米数．如果这些小正方体的体积不要求都相等，那么最少可分割成个小正方体．【试题来源】【题目】用10块长7厘米，宽5厘米，高3厘米的长方体积木堆成一个长方体，这个长方体的表面积最小是多少?【试题来源】【题目】一个盛有水的圆柱形容器，底面内半径为5厘米，深20厘米，水深15厘米．今将一个底面半径为2厘米，高为17厘米的铁圆柱垂直放人容器中．求这时容器的水深是多少厘米?【试题来源】【题目】有甲、乙两只圆柱形玻璃杯，其内直径依次是10厘米、20厘米，杯中盛有适量的水．甲杯中沉没着一铁块，当取出此铁块后，甲杯中的水位下降了2厘米；然后将铁块沉没于乙杯，且乙杯中的水未外溢．问：这时乙杯中的水位上升了多少厘米?【试题来源】【题目】将高都是1米，底面半径分别为1．5米、1米和0．5米的三个圆柱组成一个物体．求这个物体的表面积．【试题来源】【题目】这里有一个圆柱和一个圆锥(下图)，它们的高和底面直径都标在图上，单位是厘米．请回答：圆锥体积与圆柱体积的比是多少?【试题来源】【题目】一个长、宽、高分别为21厘米、15厘米、12厘米的长方体．现从它的上面尽可能大的切下一个正方体．然后从剩余的部分再尽可能大的切下一个正方体．最后再从第二次剩余的部分尽可能大的切下一个正方体．剩下的体积是平方厘米．【试题来源】【题目】一个圆柱形玻璃杯内盛有水，水面高2．5厘米，玻璃杯内侧的底面积是72平方厘米．在这个杯中放进棱长6厘米的正方体铁块后，水面没有淹没铁块．这时水面高多少厘米?【试题来源】【题目】图1是下面的表面展开图①甲正方体；②乙正方体；③丙正方体；④甲正方体或丙正方体．【试题来源】【题目】如图，剪一块硬纸片可以做成一个多面体的纸模型(沿虚线折，沿实线粘)．这个多面体的面数、顶点数和棱数的总和是多少?【试题来源】【题目】下面是一辆汽车模型纸工平面展开图，中轴线上面的一半标出了尺寸．将该图剪下折叠粘合(相同字母标记处粘合在一起)做成汽车模型的体积为V ．请回答：①403<v<445②473<V<500，哪一个正确，为什么?【试题来源】【题目】现有一张长40厘米、宽20厘米的长方形铁皮，请你用它做一只深是5厘米的长方体无盖铁皮盒(焊接处及铁皮厚度不计，容积越大越好)，你做出的铁皮盒容积是多少立方厘米?【试题来源】【题目】如图，在一个立方体的两对侧面的中心各打通一个长方体的洞在上下侧面的中心打通一个圆柱形的洞，已知立方体边长为10厘米，侧面上的洞口是边长为4厘米的正方形，上下侧面的洞口是直径为4厘米的圆，求该立方体的表面积和体积(取 =3．14)．【试题来源】【题目】用大小相等的无色透明玻璃小正方体和红色玻璃小正方体拼成一个大正方体ABCD —1A 1B 1C 1D (如图)，大正方体内的对角线A 1C ，B 1D ，C 1A ，D 1B 所穿的小正方体都是红色玻璃小正方体，其它部分都是无色透明玻璃小正方体，小红正方体共用了401个，问：无色透明小正方体用了多少个?习题演练【试题来源】【题目】一个长方体的各条棱长的和是48厘米，并且它的长是宽的2倍，高与宽相等，那么这个长方体的体积是______ 立方厘米【试题来源】【题目】右图是一个表面被涂上红色的棱长为lO厘米的正方体木块，如果把它沿虚线切成8个正方体，这些小正方体中没有被涂上红色的所有表面的面积和是_____平方厘米【试题来源】【题目】张大爷去年用长2米、宽1米的长方形苇席围成容积最大的圆柱形粮囤．今年改用了长3米、宽2米的长方形苇席围成容积最大的圆柱形粮囤．问：今年粮囤的容积是去年粮囤容积的多少倍?【试题来源】【题目】把一个大长方体木块表面上涂满红色后，分割成若干个同样大小的小长方体，其中只有两个面涂上红色的小长方体恰好是12块．那么至少要把这个大长方体分割成个小长方体．【试题来源】【题目】六个立方体A、B、C、D、E、F的可见部分如下图，下边是其中一个立体的侧面展开图，那么它是立方体____的侧面展开图．2。

小学数学中的立体几何

小学数学中的立体几何立体几何是小学数学中的重要内容之一，通过学习立体几何，学生可以增强对物体形状的认知能力，并培养空间想象力。

本文将介绍小学数学中的立体几何知识，包括立体的定义、常见的立体图形，以及相关的性质和计算方法。

一、立体的定义和特点立体是指在三维空间中有长、宽、高的物体。

与平面图形不同，立体具有体积和表面积两个重要的特征。

体积是指立体所占据的空间量大小，而表面积则是指立体外部所展示的面积。

二、常见的立体图形及其性质1. 正方体：正方体是一种六个面都是正方形的立体。

它具有六个面、十二条边和八个顶点。

每个面都是相等的正方形，对角线相等且垂直。

2. 长方体：长方体是一种六个面都是矩形的立体。

它具有六个面、十二条边和八个顶点。

相对面相等且平行，对角线相等且垂直。

3. 三棱锥：三棱锥是一种底面是三角形的立体。

它具有四个面、六条边和四个顶点。

底面三边相等。

4. 三棱柱：三棱柱是一种底面是三角形的立体。

它具有五个面、九条边和六个顶点。

底面三边相等，上底面和下底面平行。

5. 圆柱体：圆柱体是一种底面是圆的立体。

它具有三个面、两条底边和一个侧面。

底面半径相等，底面圆心连接顶点的线段垂直于底面。

6. 圆锥体：圆锥体是一种底面是圆的立体。

它具有两个面、一条底边和一个侧面。

底面半径相等，底面圆心连接顶点的线段垂直于底面。

三、计算立体的体积和表面积1. 正方体的体积和表面积：正方体的体积等于边长的立方，表面积等于边长的平方乘以6。

2. 长方体的体积和表面积：长方体的体积等于长、宽、高三者之积，表面积等于两倍的长和宽加上两倍的长和高加上两倍的宽和高。

3. 三棱锥的体积和表面积：三棱锥的体积等于底面积乘以高再除以3，表面积等于底面积加上三倍的底面积和高之积。

4. 三棱柱的体积和表面积：三棱柱的体积等于底面积乘以高，表面积等于底面积加上两倍的底面积和高之积。

5. 圆柱体的体积和表面积：圆柱体的体积等于底面积乘以高，表面积等于两倍的底面积加上侧面积。

立体几何知识点整理

立体几何知识点整理好嘞，以下是为您整理的立体几何知识点：在咱们的数学世界里呀，立体几何就像是一座神秘的城堡，充满了各种奇妙的形状和有趣的规律。

今天咱们就一起来揭开它的神秘面纱，好好整理整理立体几何的知识点。

先来说说点、线、面的关系。

一个点，可以说是空间中的一粒小小的尘埃，微不足道但又不可或缺。

而线呢，就像是无数个点手拉手排成的队伍，有的直直的，有的弯弯的。

面呢，就像是一块大大的画布，由无数条线交织而成。

比如说，咱们教室里的黑板，就是一个大大的平面。

还记得有一次，我在公园里散步，看到湖边的一座亭子。

那亭子的柱子，就是笔直的直线；亭子的顶，就是一个三角形的平面；而整个亭子，就是由这些点、线、面构成的一个立体的建筑。

当时我就在想，这不就是咱们学习的立体几何在生活中的完美体现嘛！再来说说棱柱和棱锥。

棱柱就像是一个被拉长的盒子，上下底面是全等的多边形，侧面都是平行四边形。

棱锥呢，则像是一个尖尖的帽子，有一个多边形的底面，顶点与底面各个顶点相连形成侧面三角形。

给大家举个例子，过年的时候家里买的糖果盒，很多就是棱柱形状的，方方正正，能装好多糖果。

而咱们在博物馆看到的一些古代的兵器，像矛头，就有点像棱锥的形状，尖锐锋利。

接下来是圆柱和圆锥。

圆柱大家都很熟悉啦，像咱们平常喝饮料的易拉罐，就是典型的圆柱。

它有两个平行且相等的圆面作为底面，侧面展开是一个长方形。

圆锥呢，就像我们吃的甜筒，尖尖的顶，圆形的底面。

有一次我陪朋友去买生日蛋糕，那个蛋糕店的展示柜里，有好多造型独特的蛋糕。

其中有一个就是做成了圆锥的形状，上面还插满了水果，特别诱人。

还有球体，这个最简单啦，像咱们踢的足球、打的篮球，都是球体。

球体上任意一点到球心的距离都相等。

在做立体几何的题目时，大家一定要有空间想象力。

比如说，给你一个三视图，让你想象出这个立体图形的样子。

这时候，你就可以在脑子里像搭积木一样，把这个图形搭建起来。

有一次我看到一个小朋友在玩积木，他看着图纸，一块一块地搭建，特别认真。