解三角形应用举例 说课稿 教案 教学设计

解三角形应用举例
●教学目标
知识与技能：能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关计算角度的实际问题过程与方法：本节课是在学习了相关内容后的第三节课，学生已经对解法有了基本的了解，这节课应通过综合训练强化学生的相应能力。

除了安排课本上的例1，还针对性地选择了既具典型性有具启发性的2道例题，强调知识的传授更重能力的渗透。

课堂中要充分体现学生的主体地位，重过程，重讨论，教师通过导疑、导思让学生有效、积极、主动地参与到探究问题的过程中来，逐步让学生自主发现规律，举一反三。

情感态度与价值观：培养学生提出问题、正确分析问题、独立解决问题的能力，并在教学过程中激发学生的探索精神。

●教学重点
能根据正弦定理、余弦定理的特点找到已知条件和所求角的关系
●教学难点
灵活运用正弦定理和余弦定理解关于角度的问题
●教学过程
Ⅰ.课题导入
[创设情境]
提问：前面我们学习了如何测量距离和高度，这些实际上都可转化已知三角形的一些边和角求其余边的问题。

然而在实际的航海生活中,人们又会遇到新的问题，在浩瀚无垠的海面上如何确保轮船不迷失方向，保持一定的航速和航向呢？今天我们接着探讨这方面的测量问题。

Ⅱ.讲授新课
[范例讲解]
例1、如图，一艘海轮从A出发，沿北偏东75︒的方向航行67.5 n mile后到达海岛B,然后从B出发,沿北偏东32︒的方向航行54.0 n mile后达到海岛C.如果下次航行直接从A出发到达C,此船应该沿怎样的方向航行,需要航行多少距离?(角度精确到0.1︒,距离精确到0.01n mile)
学生看图思考并讲述解题思路
教师根据学生的回答归纳分析：首先根据三角形的内角和定理求出AC边所对的角∠ABC，即可用余弦定理算出AC边，再根据正弦定理算出AC边和AB边的夹角∠CAB解：在∆ABC 中，∠ABC=180︒- 75︒+ 32︒=137︒，根据余弦定理，
AC=ABC BC AB BC AB ∠⨯⨯-+cos 222
=︒⨯⨯⨯-+137cos 0.545.6720.545.6722
≈113.15[来源:Z,xx,]
根据正弦定理,
CAB BC ∠sin = ABC AC
∠sin
sin ∠CAB = AC ABC
BC ∠sin
= 15.113137sin 0.54︒
≈0.3255,
所以 ∠CAB =19.0︒,
75︒- ∠CAB =56.0︒
答:此船应该沿北偏东56.1︒的方向航行,需要航行113.15n mile
例2、在某点B 处测得建筑物AE 的顶端A 的仰角为θ，沿BE 方向前进30m ，至点C 处测得顶端A 的仰角为2θ，再继续前进103m 至D 点，测得顶端A 的仰角为4θ，求θ的大小和建筑物AE 的高。

师：请大家根据题意画出方位图。

生：上台板演方位图（上图）
教师先引导和鼓励学生积极思考解题方法，让学生动手练习，请三位同学用三种不同方法板演，然后教师补充讲评。

解法一：（用正弦定理求解）由已知可得在∆ACD 中，
AC=BC=30，
AD=DC=103，
∠ADC =180︒-4θ，
∴θ2sin 310=)4180sin(30θ-︒ 。

因为 sin4θ=2sin2θcos2θ
∴ cos2θ=23
,得 2θ=30︒
∴ θ=15︒，
∴在Rt ∆ADE 中，AE=ADsin60︒=15
答：所求角θ为15︒
，建筑物高度为15m 解法二：（设方程来求解）设DE= x ，AE=h
在 Rt ∆ACE 中,(103+ x)2 + h 2=302[来源:金太阳新课标资源网]
在 Rt ∆ADE 中,x 2+h 2=(103)2
两式相减，得x=53,h=15
∴在 Rt ∆ACE 中,tan2θ=x h
+310=33
∴2θ=30︒,θ=15︒
答：所求角θ为15︒，建筑物高度为15m 解法三：（用倍角公式求解）设建筑物高为AE=8，由题意，得
∠BAC=θ， ∠CAD=2θ， AC = BC =30m , AD = CD =103m
在Rt ∆ACE 中，sin2θ=30x
--------- ①
在Rt ∆ADE 中，sin4θ=3104
, --------- ②
②÷① 得 cos2θ=23
,2θ=30︒,θ=15︒，AE=ADsin60︒=15
答：所求角θ为15︒
，建筑物高度为15m 例3、某巡逻艇在A 处发现北偏东45︒相距9海里的C 处有一艘走私船，正沿南偏东75︒的方向以10海里/小时的速度向我海岸行驶，巡逻艇立即以14海里/小时的速度沿着直线方向
追去，问巡逻艇应该沿什么方向去追？需要多少时间才追赶上该走私船？
师：你能根据题意画出方位图？教师启发学生做图建立数学模型
分析：这道题的关键是计算出三角形的各边，即需要引入时间这个参变量。

解：如图，设该巡逻艇沿AB 方向经过x 小时后在B 处追上走私船，则CB=10x, AB=14x,AC=9, ∠ACB=︒75+︒45=︒120
∴(14x) 2= 92+ (10x) 2 -2⨯9⨯10xcos ︒120
∴化简得32x 2-30x-27=0，即x=23
,或x=-169(舍去)
所以BC = 10x =15,AB =14x =21,
又因为sin ∠BAC =AB BC ︒120sin =2115⨯23=143
5
∴∠BAC =3831'︒,或∠BAC =14174'︒（钝角不合题意，舍去），∴3831'︒+︒45=8331'︒
答：巡逻艇应该沿北偏东8331'︒方向去追，经过1.4小时才追赶上该走私船.
评注：在求解三角形中，我们可以根据正弦函数的定义得到两个解，但作为有关现实生活的应用题，必须检验上述所求的解是否符合实际意义，从而得出实际问题的解
Ⅲ.课堂练习。