一类不确定非线性时变时滞系统的鲁棒控制
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确定 性具有范数 有界 的连续 时变 非线性 泛 函形 式 ， 未考虑 到非线性 ． 但 因此本文 采用文 ［ ］ ３ 中的控制器 形式 ， 虑到时变 时滞 和不确定 非线 性 ， 用 Ｌ ａｕｏ 定性 定理 和线性 矩 阵不 等式 （ ＭＩ工 具 来进 考 利 ｙｐｎｖ稳 Ｌ ）
一
步研 究是有必要 的 ．
中图分 类号 ： ２ ２ ０ Ｏ １ ． 文献标识码 ： Ａ
１ 引 言
鲁棒 控制是 近年来 控制理 论界 研究 的热点 课题之 一 ， 线性 系统 的鲁 棒控 制 理论 已经成 熟 ． 在实 而
际工程中， 要对非线性系统建立精确的模型常常比较困难 ． 因此研究不确定条件下对非线性系统 的控 制 问题具 有重要 的实 际意义 …． 文 献 ［１ 【 ． ３ 采用 范数 方 法研 究 了带 有界 扰 动 的一类 非 线性 系 统 的鲁棒 控制问题 ， 但未考虑到时滞和不确定性 ； 文献［ ］ ４ 采用文献［ ］ ３ 的控制器形式研究了一类不确定非线性时 滞 系统的鲁棒控 制 ， 未考虑 时变 时滞 ， 但 文献 ［ ］ ５ 研究 了具有 时变 时滞 不确定 系统 的渐近稳 定 ， 系统 的不
常数 ． 当 （ （ ） ＝“时 ， Ｕ ｔ） 即为不确 定性 线性 系统 ． 系统 （ ） 对 １作如 下假设 ： 假设 １ ｄ ｔ为不确 定 的 时 滞项 ， 足 ０ ｄ（ ≤ ｄ ，≤ （ ） ｄ ＜ １ 其 中 ｄ ， １是 已知 的 （） 满 ≤ ） ００ １≤ ｌ ， ０ｄ
２１ ２ ２
ＧＬＬＬＫ 肌
Ｅ
０ ｏ ０
（）ｓ ； （）Ｓｌ ，２一ｓ２ Ｓ２ ； （）Ｓ２ ， ｌ一Ｓ２ 五ｓ Ｅ ． １ ＜０ ２ １ ＜０Ｓ２ Ｔ ｓ １ ３ ２ ＜０ ＜０Ｓ１ ｌ ＜０ ｓ
引理 ２７ 若 ＜ 一 ； ｔ ， 【 】 ２ｔ － 则 （） Ｖ（）ｘ （ ２ ｔ ＋Ｍ／２ ． Ｖ－Ｍ ￡≤ Ｏ ｅｐ 一 ２ ） （ ） 引理 ３８ 对满 足 Ｆ（ ）Ｆ（） ｆ的适 当维数矩 阵 Ｆ（ ） 【 ｔ ｔ≤ ｔ有
Ｄ ｃ２ １ ｅ．００
Ｖｏ ・７ Ｎｏ ４ ｌ２ ・
第 ２ 卷 第 ４期 ７
文章编号 ：０ ２ ７ ３ ２ １ ） ４ ０ １ ４ １ ０ —８ ４ （０ ０ ０ —０ ２ —０
一
类不 确 定非 线性 时变 时滞 系统 的鲁 棒控 制
李杰 王汝凉ｂ梅昆波 江惠英 ， ， ，
（ 广西师 范学院 ａ数 学科 学 学院 ．． 算机与信 息工程 学 院 ， ． ｂ计 广西 南宁 ５０２ ） ３０ ３
（） ， 为 已知实 ０
收稿 日期 ：０ ０ １ ３ ２ １ 一ｌ —０
基金项 目： 国家 自然科 学基金资 助（０ ６ ０ １ ６ ８４ ０ ） 作者简介 ： 李杰（ ９３ ， ， １ ８ 一） 男 硕士研究生 ， 研究方 向： 非线性时滞系统及神经 网络
・
２ ・ ２
广 西 师 范 学 院 学 报 wk.baidu.com 然 科 学 版 自
（） △ ｔＡ ￡ ］ ｔ 由［ Ａ（ ） Ａ （ ） ＝ＤＦ（ ）Ｅ０ ］ 出 ， 中 Ｄ， 。 Ｅ ￡ ［ Ｅ１给 其 Ｅ ， 是 具 有适 当维数 的矩 阵 ， Ｆ（ ） 而 ￡ 是具
Ｌ ｓｅｇ ｅ ｅｂｓｕ 可测元 的不确 定矩 阵 ， 满足 Ｆ（ ） Ｆ（ ） ， ｂ 且 ｔ ｔ ≤ ， ∈Ｒ ．
２ Ｔ Ｂ ｔＥ ｘ Ｐ Ｆ（ ） ｘ≤ 缸 Ｂ ｘ ＋ｅ１ ｘ， ∈ Ｒ ＰＢＰ －ｘ Ｅ Ｅ Ｖ ．
厂 ——一
定 范 １为 常 一 数， ＩＩ √∑（ ） ：—Ｒ 足 光 数，（ ＝． 义 数ｌＩ通 的２ 范 即Ｉ ： ． Ｊ ｚ ． Ｒ 是 够 滑函 ０ ０ （ ； ） 厂
（） ） ， 表示 系统参 数关 于状 态 （ 的不确定描述 ， ） 且满足 ０ （ ，）≤ ， （） ｌ Ｉ
第 ２ 卷 ７
常数 ．
假设 ２ （） ， （） ， ， Ｏ ＝０ ０ ＝０ …
ｏ
（） ， ０ ＝０ 而
ｃ’ １
（ ） ， 为某 个正奇 数 ． ０ ≠０
引 ｌ 给 的 称 阵 ＝三 三 Ｉ 中 Ｒ 以 ３ 条 等 ： 理 ｔ 定 对 矩 ｓ Ｉ 挖， Ｓ∈ ，下 个 件 价 ６ 对 儿 其
２ 问题 描述
考虑非 线性不 确定 时变 时滞 系统
ｆ（） Ａ（） ｔ＋ １ ）（— （）＋ ｚ ｔ） 厂 ｔ，） ￡＝ ｔ ） Ａ （ ｔ ｄ ｔ） ６（（）＋ （（）ｔ （ ‘
【 （ ） （ ）ｔ 一ｄ ￡ ，］ ｚ ｔ ＝ ｔ ，∈［ （）０ ’
， ． 、
、 ‘
其中： ￡ ∈尺 为状态向量 ， （ ） （） ” Ｕ ￡ ∈Ｒ 为系统的输入 ， Ｊ 记 为单位矩阵 ． 不确定矩阵 Ａ（ ）Ａ。ｔ满 ｔ ， （）
足 Ａ（ ） ｔ ＝Ａ＋△ ｔ ， （ ） Ａ（ ）Ａｌ ｔ ＝Ａ１ Ａ１ ￡ ， 中 Ａ∈Ｒ ， ∈Ｒ ， 已知 实矩 阵 ， Ａ（ ） △ ＋△ （ ） 其 Ａ１ 是 △ ｔ 、 Ａ。
２１ ０ ０年 １ ２月
广 西 师 范 学 院学 报 ： 自然 科 学 版
Ｊ ｕ ｎ ｌ ｆＧｕ ｎ ｘ ｅ ｃ ｅｓＥ ｕａｉｎＵｎｖ ｒｉ ： ｔｒ ｌ ｃｅ ｃ ｉｉｎ ｏ ｒ ａ ａ ｇ ｉ ａ ｈ ｒ ｄ ｃ ｔ ｉｅｓｔ Ｎａｕ ａ ｉｎ ｅＥｄｔ ｏ Ｔ ｏ ｙ Ｓ ｏ
摘 要： 研究 了一类带有 不确 定非线 性 时变时 滞系统 的鲁 棒渐 近稳定 问题 ． 用 Ｌ ａ ｕｏ 利 ｙｐ ｎｖ稳 定性 定理 和
Ｌ 技术 ， 出了不确定 非线性时变时滞系统在具有鲁棒状态反馈控制下鲁棒渐近稳定 的充分条件 ． ＭＩ 给 计算机仿 真
算例表明了该方法的有效性 ． 关键词 ： 非线性 ； 不确定性 ； 时变时滞系统 ； 鲁棒控制 ； 线性矩阵不等式
一
步研 究是有必要 的 ．
中图分 类号 ： ２ ２ ０ Ｏ １ ． 文献标识码 ： Ａ
１ 引 言
鲁棒 控制是 近年来 控制理 论界 研究 的热点 课题之 一 ， 线性 系统 的鲁 棒控 制 理论 已经成 熟 ． 在实 而
际工程中， 要对非线性系统建立精确的模型常常比较困难 ． 因此研究不确定条件下对非线性系统 的控 制 问题具 有重要 的实 际意义 …． 文 献 ［１ 【 ． ３ 采用 范数 方 法研 究 了带 有界 扰 动 的一类 非 线性 系 统 的鲁棒 控制问题 ， 但未考虑到时滞和不确定性 ； 文献［ ］ ４ 采用文献［ ］ ３ 的控制器形式研究了一类不确定非线性时 滞 系统的鲁棒控 制 ， 未考虑 时变 时滞 ， 但 文献 ［ ］ ５ 研究 了具有 时变 时滞 不确定 系统 的渐近稳 定 ， 系统 的不
常数 ． 当 （ （ ） ＝“时 ， Ｕ ｔ） 即为不确 定性 线性 系统 ． 系统 （ ） 对 １作如 下假设 ： 假设 １ ｄ ｔ为不确 定 的 时 滞项 ， 足 ０ ｄ（ ≤ ｄ ，≤ （ ） ｄ ＜ １ 其 中 ｄ ， １是 已知 的 （） 满 ≤ ） ００ １≤ ｌ ， ０ｄ
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（）ｓ ； （）Ｓｌ ，２一ｓ２ Ｓ２ ； （）Ｓ２ ， ｌ一Ｓ２ 五ｓ Ｅ ． １ ＜０ ２ １ ＜０Ｓ２ Ｔ ｓ １ ３ ２ ＜０ ＜０Ｓ１ ｌ ＜０ ｓ
引理 ２７ 若 ＜ 一 ； ｔ ， 【 】 ２ｔ － 则 （） Ｖ（）ｘ （ ２ ｔ ＋Ｍ／２ ． Ｖ－Ｍ ￡≤ Ｏ ｅｐ 一 ２ ） （ ） 引理 ３８ 对满 足 Ｆ（ ）Ｆ（） ｆ的适 当维数矩 阵 Ｆ（ ） 【 ｔ ｔ≤ ｔ有
Ｄ ｃ２ １ ｅ．００
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第 ２ 卷 第 ４期 ７
文章编号 ：０ ２ ７ ３ ２ １ ） ４ ０ １ ４ １ ０ —８ ４ （０ ０ ０ —０ ２ —０
一
类不 确 定非 线性 时变 时滞 系统 的鲁 棒控 制
李杰 王汝凉ｂ梅昆波 江惠英 ， ， ，
（ 广西师 范学院 ａ数 学科 学 学院 ．． 算机与信 息工程 学 院 ， ． ｂ计 广西 南宁 ５０２ ） ３０ ３
（） ， 为 已知实 ０
收稿 日期 ：０ ０ １ ３ ２ １ 一ｌ —０
基金项 目： 国家 自然科 学基金资 助（０ ６ ０ １ ６ ８４ ０ ） 作者简介 ： 李杰（ ９３ ， ， １ ８ 一） 男 硕士研究生 ， 研究方 向： 非线性时滞系统及神经 网络
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广 西 师 范 学 院 学 报 wk.baidu.com 然 科 学 版 自
（） △ ｔＡ ￡ ］ ｔ 由［ Ａ（ ） Ａ （ ） ＝ＤＦ（ ）Ｅ０ ］ 出 ， 中 Ｄ， 。 Ｅ ￡ ［ Ｅ１给 其 Ｅ ， 是 具 有适 当维数 的矩 阵 ， Ｆ（ ） 而 ￡ 是具
Ｌ ｓｅｇ ｅ ｅｂｓｕ 可测元 的不确 定矩 阵 ， 满足 Ｆ（ ） Ｆ（ ） ， ｂ 且 ｔ ｔ ≤ ， ∈Ｒ ．
２ Ｔ Ｂ ｔＥ ｘ Ｐ Ｆ（ ） ｘ≤ 缸 Ｂ ｘ ＋ｅ１ ｘ， ∈ Ｒ ＰＢＰ －ｘ Ｅ Ｅ Ｖ ．
厂 ——一
定 范 １为 常 一 数， ＩＩ √∑（ ） ：—Ｒ 足 光 数，（ ＝． 义 数ｌＩ通 的２ 范 即Ｉ ： ． Ｊ ｚ ． Ｒ 是 够 滑函 ０ ０ （ ； ） 厂
（） ） ， 表示 系统参 数关 于状 态 （ 的不确定描述 ， ） 且满足 ０ （ ，）≤ ， （） ｌ Ｉ
第 ２ 卷 ７
常数 ．
假设 ２ （） ， （） ， ， Ｏ ＝０ ０ ＝０ …
ｏ
（） ， ０ ＝０ 而
ｃ’ １
（ ） ， 为某 个正奇 数 ． ０ ≠０
引 ｌ 给 的 称 阵 ＝三 三 Ｉ 中 Ｒ 以 ３ 条 等 ： 理 ｔ 定 对 矩 ｓ Ｉ 挖， Ｓ∈ ，下 个 件 价 ６ 对 儿 其
２ 问题 描述
考虑非 线性不 确定 时变 时滞 系统
ｆ（） Ａ（） ｔ＋ １ ）（— （）＋ ｚ ｔ） 厂 ｔ，） ￡＝ ｔ ） Ａ （ ｔ ｄ ｔ） ６（（）＋ （（）ｔ （ ‘
【 （ ） （ ）ｔ 一ｄ ￡ ，］ ｚ ｔ ＝ ｔ ，∈［ （）０ ’
， ． 、
、 ‘
其中： ￡ ∈尺 为状态向量 ， （ ） （） ” Ｕ ￡ ∈Ｒ 为系统的输入 ， Ｊ 记 为单位矩阵 ． 不确定矩阵 Ａ（ ）Ａ。ｔ满 ｔ ， （）
足 Ａ（ ） ｔ ＝Ａ＋△ ｔ ， （ ） Ａ（ ）Ａｌ ｔ ＝Ａ１ Ａ１ ￡ ， 中 Ａ∈Ｒ ， ∈Ｒ ， 已知 实矩 阵 ， Ａ（ ） △ ＋△ （ ） 其 Ａ１ 是 △ ｔ 、 Ａ。
２１ ０ ０年 １ ２月
广 西 师 范 学 院学 报 ： 自然 科 学 版
Ｊ ｕ ｎ ｌ ｆＧｕ ｎ ｘ ｅ ｃ ｅｓＥ ｕａｉｎＵｎｖ ｒｉ ： ｔｒ ｌ ｃｅ ｃ ｉｉｎ ｏ ｒ ａ ａ ｇ ｉ ａ ｈ ｒ ｄ ｃ ｔ ｉｅｓｔ Ｎａｕ ａ ｉｎ ｅＥｄｔ ｏ Ｔ ｏ ｙ Ｓ ｏ
摘 要： 研究 了一类带有 不确 定非线 性 时变时 滞系统 的鲁 棒渐 近稳定 问题 ． 用 Ｌ ａ ｕｏ 利 ｙｐ ｎｖ稳 定性 定理 和
Ｌ 技术 ， 出了不确定 非线性时变时滞系统在具有鲁棒状态反馈控制下鲁棒渐近稳定 的充分条件 ． ＭＩ 给 计算机仿 真
算例表明了该方法的有效性 ． 关键词 ： 非线性 ； 不确定性 ； 时变时滞系统 ； 鲁棒控制 ； 线性矩阵不等式