量子力学作业习题

第一章量子力学的诞生[1] 在宏观世界里，量子现象常常可以忽略．对下列诸情况，在数值上加以证明：( l ）长l=lm ，质量M=1kg 的单摆的零点振荡的振幅；( 2 ）质量M=5g ，以速度10cm/s 向一刚性障碍物（高5cm ，宽1cm ）运动的子弹的透射率；( 3 ）质量M= 0.1kg ，以速度0.5m/s 运动的钢球被尺寸为1×1.5m2时的窗子所衍射．[2] 用h,e,c,m（电子质量）, M （质子质量）表示下列每个量，给出粗略的数值估计：( 1 ）玻尔半径（cm ) ; ( 2 ）氢原子结合能（eV ) ; ( 3 ）玻尔磁子；( 4 ）电子的康普顿波长（cm ) ; ( 5 ）经典电子半径（cm ) ; ( 6 ）电子静止能量（MeV ) ; ( 7 ）质子静止能量( MeV ) ; ( 8 ）精细结构常数；( 9 ）典型的氢原子精细结构分裂[3]导出、估计、猜测或背出下列数值，精确到一个数量级围，( 1 ）电子的汤姆逊截面；( 2 ）氢原子的电离能；( 3 ）氢原子中基态能级的超精细分裂能量；( 4 ）37Li ( z=3 ）核的磁偶极矩；( 5 ）质子和中子质量差；( 6 )4He 核的束缚能；( 7 ）最大稳定核的半径；( 8 ）Π0介子的寿命；( 9 ）Π-介子的寿命；( 10 ）自由中子的寿命．[4]指出下列实验中，哪些实验表明了辐射场的粒子性？哪些实验主要证明能量交换的量子性？哪些实验主要表明物质粒子的波动性？简述理由．( 1 ）光电效应；( 2 ）黑体辐射谱；( 3 ) Franck – Hertz实验；( 4 ) Davisson -Ger - mer 实验；( 5 ) Compton 散射．[5]考虑如下实验：一束电子射向刻有A 、B 两缝的平板，板外是一装有检测器阵列的屏幕，利用检测器能定出电子撞击屏幕的位置．在下列各种情形下，画出入射电子强度随屏幕位置变化的草图，给出简单解释．( 1 ) A 缝开启，B缝关闭；( 2 ) B 缝开启，A 缝关闭；( 3 ）两缝均开启．（2；（3）hc[6]验算三个系数数值：（1第二章 波函数与Schr ödinger 方程[1] 试用量子化条件,求谐振子的能量[谐振子势能2221)(x m x V ω=] [2] 一维运动的粒子处在⎩⎨⎧<≥=-0,00,)(x x Axe x x 当当λψ的状态，其中0>λ，求：（1）粒子动量的几率分布函数；（2）粒子动量的平均值。

[3] 平面转子的转动惯量为I ,求能量允许值[4]. 有一带电荷e 质量m 的粒子在平面运动,垂直于平面方向磁场是B,求粒子能量允许值.[5] 对高速运动的粒子(静质量m )的能量和动量由下式给出2221c v mc E -=(1)2221c v mv p -=(2)试根据哈密顿量 2242p c c m E H +== (3)及正则方程式来检验以上二式.由此得出粒子速度和德布罗意的群速度相等的关系.计算速度并证明它大于光速.[6]. （1）试用Fermat 最小光程原理导出光的折射定律αα2211sin sin n n =（2）光的波动论的拥护者曾向光的微粒论者提出下述非难： 如认为光是粒子，则其运动遵守最小作用量原理⎰=0pdl δ认为mv p =则⎰=0pdl δ这将导得下述折射定律αα1331sin sin n n =这明显违反实验事实，即使考虑相对论效应，则对自由粒子：2c Evp =仍就成立，E 是粒子能量，从一种媒质到另一种媒质E 仍不变，仍有⎰=0pdl δ，你怎样解决矛盾？[7]. 当势能)(r V 改变一常量C 时,即c r V r V +→)()(,粒子的波函数与时间无关部分变否?能量本征值变否?[8]. 试证粒子势能的极小值是>E nV min[9]. 设1ψ与2ψ是薛定谔方程式两个解，证明⎰⎰⎰τψψ321*),(),(dx t x t x与时间无关。

[10]. 考虑单粒子的薛定谔方程式：),()]()([),(2),(2122t x x iV x V t x mt x t iψψψ++∇-=∂∂ V 1，V 2为实函数，证明粒子的几率不守恒。

求出在空间体积Ω，粒子几率“丧失”或“增加”的速率。

[11]. 对于一维自由运动粒子，设)()0,(x x δψ=求2),(t x ψ。

[12]. 证明从单粒子的薛定谔方程式得出的速度场是非旋的，即()ρ /0j v v ==⨯∇ ψψ=*ρ第三章 一维定态问题[1]. 对于无限深势阱中运动的粒子（见图3-1）证明2ax = ）（）（22226112πn a x x -=- 并证明当∞→n 时上述结果与经典结论一致。

[2]. 试求在不对称势力阱中粒子的能级。

[3]. 设质量为ｍ的粒子在下述势阱中运动： ∞ ()0<x ()=x V 2221x m ω ()0>x 求粒子的能级。

[4]. 考虑粒子()0〈E 在下列势阱壁（ｘ＝０）处的反射系数 [5]. 试证明对于任意势垒，粒子的反射系数Ｔ满足Ｒ＋Ｔ＝１。

[6]. 设在一维无限深势阱中运动的粒子的状态用： ()axaxax ππ2cos sin4=ψ描述，求粒子能量的可能植及相应的几率。

[7]. 设一谐振子处于基态，求它的()22p x ∆∆，）（并验证测不准关系： [8]. 设粒子处于无限深势阱中，状态用波函数)()(x a Ax x -=ψ描述，530a A =是归一化常数，求（1）粒子取不同能量几率分布。

（2）能量平均值及涨落。

[9]. 一维无限深势阱中求处于)(x n ψ态的粒子的动量分布几率密度2)(p ϕ。

[10]. 写出动量表象中谐振子的薛定谔方程式，并求出动量几率分布 [11]. 一维谐振子处在基态t i x e x ωαπαψ2222)(--=，求：(1)势能的平均值2221x U μω=； (2)动能的平均值μ22p T =；(3)动量的几率分布函数。

[12]. 氢原子处在基态0/301),,(a r e a r -=πϕθψ，求：(1)r 的平均值；(2)势能re 2-的平均值；(3)最可几半径； (4)动能的平均值；(5)动量的几率分布函数。

[13]. 证明氢原子中电子运动所产生的电流密度在球极坐标中的分量是 0==θe er J J 2sin m n e r m e J ψθμϕ=[14]. 一刚性转子转动惯量为I ，它的能量的经典表示式是IL H 22=，L 为角动量，求与此对应的量子体系在下列情况下的定态能量及波函数： (1) 转子绕一固定轴转动： (2) 转子绕一固定点转动： [15]. 设t=0时，粒子的状态为]cos [sin )(212kx kx A x +=ψ求此时粒子的平均动量和平均动能。

[16]. 一维运动粒子的状态是⎩⎨⎧<≥=-0 ,0 0,)(x x Axe x x 当当λψ其中0>λ，求：(1)粒子动量的几率分布函数； (2)粒子的平均动量。

第四章 力学量和表象变化[1]指出下列算符哪个是线性的，说明其理由。

① 2224dx d x ； ② []2 ； ③ ∑=nK 1[2] 指出下列算符哪个是厄米算符，说明其理由。

224 dx d dx d i dx d ，， [3] 下列函数哪些是算符22dx d 的本征函数，其本征值是什么？①2x ， ② xe ， ③x sin ， ④x cos 3， ⑤x x cos sin +[4] 试求算符dx d ie Fix -=ˆ的本征函数。

[5] 设波函数x x sin )(=ψ，求?][])[(2=-dx dx x dx d ψ[6] 证明：如果算符A ˆ和B ˆ都是厄米的，那么(A ˆ+B ˆ)也是厄米的。

[7] 问下列算符是否是厄米算符：①x p xˆˆ； ②)ˆˆˆˆ(21x p p x x x +。

[8] 如果算符βαˆˆ、满足关系式1ˆˆˆˆ=-αββα，求证①βαββαˆ2ˆˆˆˆ22=-②233ˆ3ˆˆˆˆβαββα=-[9] 求 ?ˆˆˆˆ=-x x x x L P P L ； ?ˆˆˆˆ=-y x x y L P P L ； ?ˆˆˆˆ=-z x x z L P P L[10] 设[])(,,q f ih p q =是q 的可微函数，证明下述各式：（1）[].2)(,2hipf q f pq =（2）)(])(,[pf fq ih p q pf q +=（3）ihfp p q f q 2])(,[2=（4）i f p i h q f p p 22)](,[=（5）p pf i h p q pf p i =])(,[（6）22])(,[p f i hp q f p i =[11] 证明以下诸式成立：(1) (2) (3)22[(*)(*)]x xl x xl ih r x i r-=-(4)22{(*)(*)}x x x xl p p l ih p l l p-=-[12]l为粒子角动量。

F为另一力学量，证明：)(],[pFprFrhiFl∂∂*+∂∂*-=其中r∂∂表示空间坐标的梯度，p∂∂表示动量空间的梯度。

[13] 设算符A，B与它们的对易式[A，B]都对易。

证明(1) (2)[14] 证明[15] 证明是厄密算符[16] 证 (A 等是实数)是厄密算符[17] 证明2ˆnmmnnmnmpxxpA+∑-（nmA实数）是厄密算符。

[18]证明，若当大时并不趋于0，则不一定是厄密算符。

[19] 证明其中A(p,q),B(p,q)是正则动量和坐标的函数，上式左方是相应的算符。

{A,B}是经典力学中的poisson括弧在多变量情形i=1,2,3......i 自由度[20] 设F(x ，p)是xk ，pk 的整函数，证明：k k x F i F p ∂∂=],[ ⑴ ; k k p Fi p F ∂∂=],[ ⑵整函数是指nim k mnki mn ki p x C p x F ∑∑=123],[，mnkiC 是数值系数第五章 力学量随时间的演化与对称性[1]. 证明力学量Aˆ（不显含t ）的平均值对时间的二次微商为： ]ˆ],ˆ,ˆ[[222H H A A dtd -= （H ˆ是哈密顿量） [2]. 证明，在不连续谱的能量本征态（束缚定态）下，不显含t 的物理量对时间t 的导数的平均值等于零。

[3]. 设粒子的哈密顿量为 )(2ˆˆ2r V p H+=μ。

（１） 证明V r p p r dtd ∀⋅-=⋅μ/)(2。

（２） 证明：对于定态 V r T ∀⋅=2[4]. 证明，对于一维波包：)(12px xp x dt d +=μ[5]. 求海森伯表象中自由粒子的座标的算符。