2021届湖南长郡中学新高考模拟考试(十四)数学(理)试题
湖南省长郡中学2021届高三数学第三次适应性考试试题 理.doc
湖南省长郡中学2021届高三数学第三次适应性考试试题理本试题卷共8页，全卷满分150分。
注意事项：1.答题前，考生可能需要输入信息。
请务必正确输入所需的信息，如姓名、考生号等。
2.选择题的作答：请直接在选择题页面内作答并提交。
写在试题卷、草稿纸等非答题区域均无效。
3.非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内或空白纸张上，按规定上传。
4.选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用笔涂黑，或者在空白纸张上注明所写题目，然后开始作答。
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.集合{x∈N*|12x∈Z}中含有的元素个数为A.4B.6C.8D.122.设a，b∈R，i是虚数单位，则“复数z＝a＋bi为纯虚数”是“ab＝0”的A.充要条件B.必要不充分条件C.既不充分也不必要条件D.充分不必要条件3.2021年10月1日上午，庆祝中华人民共和国成立70周年阅兵仪式在天安门广场隆重举行。
这次阅兵不仅展示了我国的科技军事力量，更是让世界感受到了中国的日新月异。
今年的阅兵方阵有一个很抢眼，他们就是院校科研方阵。
他们是由军事科学院、国防大学、国防科技大学联合组建.若已知甲、乙、丙三人来自上述三所学校，学历分别有学士、硕士、博士学位。
现知道：①甲不是军事科学院的；②来自军事科学院的不是博士；③乙不是军事科学院的；④乙不是博士学位；⑤国防科技大学的是研究生。
则丙是来自哪个院校的，学位是什么A.国防大学，博士B.国防科技大学，研究生C.国防大学，研究生D.军事科学院，学士4.(1x＋x＋y2)8的展开式中x－1y2的系数为A.160B.240C.280D.3205.已知a＝ln3，b＝log3e，c＝logπe(注：e为自然对数的底数)，则下列关系正确的是A.c<b<aB.a<b<cC.b<a<cD.b<c<a6.函数()()2ln1x xe ef xx--=+，在[－3，3]的图象大致为7.一个几何体的三视图及尺寸如下图所示，其中正视图是直角三角形，侧视图是半圆，俯视图是等腰三角形，该几何体的表面积是A.828πB.8216π+ C.1628π D.16216π8.已知a∈(0，2π)，β∈(－2π，0)，且cos(4π＋α)＝13，cos(4π－2β)3，则cos(α＋2β)＝3353D.69.已知F1，F2是双曲线C：2221(0)xy aa-=>的两个焦点，过点F1且垂直于x轴的直线与C 相交于A，B两点，若|AB|2，则△ABF2的内切圆的半径为23222310.已知数列{a n}的通项公式为a n＝＝2n＋2，将这个数列中的项摆放成如图所示的数阵。
湖南省长郡中学2021届高三数学入学摸底考试试题
2 2 sin
(II)设∠BAD＝α，∠DAC＝β，若△ADC 的面积为 ，求
的值。
3
sin
19.(本小题满分 12 分) 据相关部门统计，随着电商网购的快速普及，快递包装业近年来实现了超过 50%的高速年均增 长，针对这种大好形式，某化工厂引进了一条年产量为 1000 万个包装胶带的生产线。已知该 包装胶带的质量以某项指标值 k 为衡量标准。为估算其经济效益，该化工厂先进行了试生产， 并从中随机抽取了 1000 个包装胶带，统计了每个包装胶带的质量指标值 k，并分成以下 5 组， 其统计结果及产品等级划分如下表所示：
＝1 相切。若存在定点 P，使得当 A 运动时，|MA|－|MP|为定值，则点 P 的坐标为
。
16.在三棱锥 P－ABC 中，PA＝PB＝PC＝2，二面角 A－PB－C 为直二面角，∠APB＝2∠BPC(∠
BPC< )，M，N 分别为侧棱 PA，PC 上的动点，设直线 MN 与平面 PAB 所成的角为α。当 tanα
平行四边形，则四边形 ABCD 的面积是
A. 26 5
B. 26 3
C. 52 5
D. 52 3
8.设数列{an}的前 n 项和为 Sn，当 n∈N*时，an，n＋ 1 ，an＋1 成等差数列，若 Sn＝2020，且 a2<3， 2
则 n 的最大值为
A.63 B.64 C.65 D.66
二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。在每小题给出的选项中，有多项符
假定该化工厂所生产的包装胶带都能销售出去，且这一年的总投资为 5000 万元(含引进生产 线、兴建厂房等等一切费用在内)，问：该化工厂能否在一年之内通过生产包装胶带收回投资?
2021届湖南长郡中学新高考模拟考试(三)理科数学
2021届湖南长郡中学新高考模拟考试（三）理科数学★祝你考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考考查范围。
2、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B铅笔将答题卡上试卷类型A后的方框涂黑。
3、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
4、主观题的作答：用0.5毫米黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非主观题答题区域的答案一律无效。
5、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B铅笔涂黑。
答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。
6、保持卡面清洁，不折叠，不破损。
7、本科目考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项只有一项是符合题目要求的。
1、已知集合A={x|x-2＜0}，B={x|log2(x-1)＜1}，则A∩B=（）A.（-∞，2）B.（1,3）C.（-∞，3）D.（1,2）2、已知复数ii Z 212017-=，则复数Z 的虚部为（ ）A.52-B. 51-C. i 51D. 513、n xa x )(-展开式中所有二项式系数之和是512，常数项为-84，则实数a 的值是（ ） A. 1 B. -1 C. ±1 D. 24、设a=4.05.0,4.0log ,3.0log 84.0==c b ,则a,b,c 的大小关系是（ ） A. a<b<c B. c<b<a C. c<a<b D. b<c<a5、运行如图所示的程序框图，若输出的S=－46， 则①处应填（ ） A. k<4？ B. k>4？C. k<5？D. k>5？6、已知ΔABC 中，内角A,B,C 的对边分别为A,b,c ，若4,222=-+=bc bc c b a ，则ΔABC 的面积（ ）A.21B. 1C. 3D. 27、已知圆9:22=+y x c ，一个直径为1的小圆E 与 是 圆C 相内切且在圆C 内滚动，若在圆C 内任取一点P ， 否 则P 能被小圆E 覆盖的概率为（ ）A.31B.32C.94D. 95开 始K=1，S=2K=k+1S=2S -3k①输出S结束8、已知实数x,y 满足⎪⎩⎪⎨⎧≥++≥+-≤--0122304202y x y x y x ， 直线(2+λ)x+(λ-1)y+λ+8=0（λϵR ）过定点A （00,y x ），则0x x y y Z --=的取值范围为（ ） A. ⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,114 B. [)+∞,2 C. ⎥⎦⎤ ⎝⎛∞-114, D. [)+∞⋃⎥⎦⎤ ⎝⎛∞-,2114,9、某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A. 1B. 2C. 3D. 610、已知焦点为F 的抛物线)0(22＞p px y =上有一点A （m,22）, 以A 为圆心，|AF|为半径的圆被y 轴截得的弦长为52， 则m=（ ）A. 2或-2B. 2C. 1D. 1或-111、已知数列{}n a 的首项1a =3，对任意m, n ϵ*N ，都有n m nm a a a +=.，则当n ≥1时，=+++-1233313log log log n a a a （ ）A. n(2n -1)B. 2)1(+nC. 2nD. 2)1(-n12、已知函数⎪⎩⎪⎨⎧≤≤=102),4sin(2x 0,log )(2x x x x f π＜＜，若存在实数4321,,,x x x x ，满足4321x x x x ＜＜＜，且)()()()(4321x f x f x f x f ===，则2143)2()2(x x x x ⋅-⋅-的取值范围是（ ）A. （0,12）B. （4,16）C. （9,21）D. （15,25）132二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2021届湖南长郡中学新高考模拟考试(一)数学(理)试题
即 ，
可知，循环变量 的初值为1，终值为1011， 的步长值为1，循环共执行1011次，
可得②中填入的可以是 ，
又 的值为正奇数倒数正负交错相加，
可得①中填入的可以是 .
故选：D．
【点睛】本题考查由循环程序框图的输出值选择条件，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．
8.已知函数 的图象如图所示，则函数 的图象可能（）
4、主观题的作答：用0.5毫米黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非主观题答题区域的答案一律无效。
5、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B铅笔涂黑。答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。
所以 ≥ ，即 ≤ ，当且仅当 时取等号，
所以 的最大值为 ，
故选：B
【点睛】此题考查两直线垂直的性质，利用基本不等式求最值，属于基础题.
7.2019年11月26日，联合国教科文组织宣布3月14日为“国际数学日”（昵称： ），2020年3月14日是第一个“国际数学日”．圆周率 是圆的周长与直径的比值，是一个在数学及物理学中普遍存在的数学常数． 有许多奇妙性质，如莱布尼兹恒等式 ，即为正奇数倒数正负交错相加等．小红设计了如图所示的程序框图，要求输出的 值与 非常近似，则①、②中分别填入的可以是（）
9.中国是茶的故乡，也是茶文化的发源地.中国茶的发现和利用已有四千七百多年的历史，且长盛不衰，传遍全球.为了弘扬中国茶文化，某酒店推出特色茶食品“金萱排骨茶”，为了解每壶“金萱排骨茶”中所放茶叶量 克与食客的满意率 的关系，通过试验调查研究，发现可选择函数模型 来拟合 与 的关系，根据以下数据：
2021届湖南长郡中学新高考模拟考试(十)数学(理)试题
2021届湖南长郡中学新高考模拟考试（十）理科数学★祝你考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考考查范围。
2、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
3、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
4、主观题的作答：用0.5毫米黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非主观题答题区域的答案一律无效。
5、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。
答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。
6、保持卡面清洁，不折叠，不破损。
7、本科目考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
第1卷(选择题共60分)一､选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合2{|320}A x x x =-+≤，{}2|lo 1g B x x =<，则A B =（ ）A. {}|12x x ≤<B. {}2|1x x <≤C. {}2|0x x <≤D. {}2|0x x ≤≤【答案】C 【解析】 【分析】分别求出集合,A B ，然后取并集即可.【详解】由题意，2{|320}A x x x =-+≤{|12}x x =≤≤，{}{}2|log 12|0B x x x x =<<=<， 所以AB ={}2|0x x <≤.故选：C.【点睛】本题考查不等式的解法，考查集合的并集，考查学生的计算求解能力，属于基础题. 2.已知1z 、2z 均为复数，下列四个命题中，为真命题的是（ ）A. 11||||z z ==B. 若2||2z =，则2z 的取值集合为{2,2,2,2}i i --（i 是虚数单位）C. 若22120z z +=，则10z =或20z =D. 1212z z z z +一定是实数 【答案】D 【解析】 【分析】对A ，取1z i =，即可判断出正误；对B ，由2||2z =，则22(cos sin )z i θθ=+，[0θ∈，2)π；对C ，取1z i =，2z i =-，即可否定；对D ，设1z a bi =+，2z c di =+，a ，b ，c ，d R ∈，利用复数的运算法则即可判断出正误．【详解】对A ，例如取1z i =无意义，故A 错误；对B ，2||2z =，取22(cos sin )z i θθ=+，[0θ∈，2)π，故B 错误； 对C ，例如取1z i =，2z i =-，满足条件，故C 错误；对D ，设1z a bi =+，2z c di =+，a ，b ，c ，d R ∈，则1212()()z z z z a bi c di +=+-()()()()2a bi c di ac bd bc ad i ac bd ad bc i ac +-+=++-+-+-=，所以1212z z z z +是实数，故D 正确．故选：D ．【点睛】本题考查复数的运算法则、复数的相关概念，考查逻辑推理能力和运算求解能力. 3.已知正实数,a b 满足21()log 2aa =，21()log 3bb =，则（ ） A. 1a b << B. 1b a <<C. 1b a <<D. 1a b <<【答案】B 【解析】 【分析】在同一坐标系内，分别作出函数211(),()log 23xxy y y x ===的图象，结合图象，即可求解． 【详解】由题意，在同一坐标系内，分别作出函数211(),()log 23xxy y y x ===的图象， 结合图象可得：1b a <<，故选B ．【点睛】本题主要考查了指数函数、对数函数的图象与性质的应用，其中解中熟记指数函数、对数函数的图象，结合图象求解是解答的关键，着重考查了数形结合思想，以及推理与运算能力，属于中档试题． 4.2019年5月22日具有“国家战略”意义的“长三角一体化”会议在芜潮举行，长三角城市群包括，上海市以及江苏省､浙江省､安徽省三省部分城市，简称“三省一市".现有4名高三学生准备高考后到上海市､江苏省､浙江省､安徽省四个地方旅游，假设每名同学均从这四个地方中任意选取一个去旅游则恰有一个地方未被选中的概率为（ ） A.2764B.916C.81256D.716【答案】B 【解析】 【分析】求出4名同学去旅游的所有情况种数，再求出恰有一个地方未被选中的种数，由概率公式计算出概率． 【详解】4名同学去旅游的所有情况有：44256=种恰有一个地方未被选中共有2113424322144C C C A A ⋅⋅=种情况； 所以恰有一个地方未被选中的概率：144925616p ==； 故选：B.【点睛】本题考查古典概型，解题关键是求出基本事件的个数，本题属于中档题． 5.已知函数()2sin()(0,0)f x x ωϕωϕπ=+><<的部分图象如图所示，点(3A ，,03B π⎛⎫⎪⎝⎭，则下列说法错误的是（ ）A. 直线12x π=是()f x 图象的一条对称轴B. ()f x 的最小正周期为πC. ()f x 在区间,312ππ⎛⎫-⎪⎝⎭上单调递增 D. ()f x 的图象可由2sin 2g x x 向左平移3π个单位而得到【答案】D 【解析】 【分析】根据三角函数的图象，求得函数的解析式()2sin(2)3f x x π=+，再结合三角函数的图象与性质，逐项判定，即可求求解.【详解】由题意，函数()2sin()f x x ωϕ=+的图象过点(3A ， 可得()03f =2sin 3ϕ=3sin 2ϕ=， 因为0ϕπ<<，所以3πϕ=，即()2sin()3f x x πω=+，又由点,03B π⎛⎫⎪⎝⎭，即()2sin()0333f πππω=⨯+=，可得33ππωπ⨯+=，解得2ω=，所以函数的解析式为()2sin(2)3f x x π=+，令12x π=，可得2121()2sin(2)si 222n 3f ππππ=⨯+==，所以12x π=是函数()f x 的一条对称轴，所以A是正确的；由正弦型函数的最小正周期的计算的公式，可得222T πππω===，所以B 是正确的； 当(,)312x ππ∈-，则2(,)332x πππ+∈-， 根据正弦函数的性质，可得函数()f x 在区间(,)312ππ-单调递增，所以C 是正确的；由函数2sin 2g x x 向左平移3π个单位而得到函数22sin[2()]2sin(2)33y xx， 所以选项D 不正确. 故选：D .【点睛】本题主要考查了利用三角函数的图象求解三角函数的解析式，以及三角函数的图象与性质的应用，其中解答中熟记三角函数的图象与性质，准确计算与逐项判定是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题.6.设向量a 与b 的夹角为θ，定义a 与b 的“向量积”：a b ⨯是一个向量，它的模||||||sin a b a b θ⨯=⋅⋅，若(3,1),(1,3)a b =--=，则||a b ⨯（ ）A.B. 2C.D. 4【答案】B 【解析】 【分析】根据(3,1),(1,3)a b =--=，利用数量积运算求得夹角，进而得到夹角的正弦值，再代入公式||||||sin a b a b θ⨯=⋅⋅求解.【详解】(3,1),(1,3)a b =--=||2,||2a b ∴==23cos ||||a b a b θ⋅-∴===⋅则1sin 2θ=||||||sin 2a b a b θ∴⨯=⋅⋅=，故选：B【点睛】本题主要考查平面向量的数量积运算以及向量积的新定义运算，还考查了运算求解的能力，属于基础题. 7.已知621(1)a x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭的展开式中各项系数的和为256，则该展形式中3x 的系数为（ ） A. 26 B. 32C. 38D. 44【答案】C【解析】 【分析】令1x =，由系数和求得a ，然后求得6(1)x +展开式中3x 和5x 的系数，由多项式乘法法则得结论．【详解】令1x =则6(1)2256,3a a +⋅=∴=， ∴6231(1)x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭展开式中含3x 的项为26335536338C x C x x x+⋅=，所以3x 的系数为38. 故选：C.【点睛】本题考查二项式定理，考查用赋值法求展开式中所有项的系数和，对多项式相乘问题，除要掌握二项展开式通项公式外还应掌握多项式乘法法则． 8.执行如下的程序框图，则输出的S 是（ ）A. 36B. 45C. 36-D. 45-【答案】A 【解析】 【分析】列出每一步算法循环，可得出输出结果S 的值.【详解】18i =≤满足，执行第一次循环，()120111S =+-⨯=-，112i =+=；28i =≤成立，执行第二次循环，()221123S =-+-⨯=，213i =+=；38i =≤成立，执行第三次循环，()323136S =+-⨯=-，314i =+=； 48i =≤成立，执行第四次循环，()4261410S =-+-⨯=，415i =+=； 58i =≤成立，执行第五次循环，()52101515S =+-⨯=-，516i =+=； 68i =≤成立，执行第六次循环，()62151621S =-+-⨯=，617i =+=； 78i =≤成立，执行第七次循环，()72211728S =+-⨯=-，718i =+=； 88i =≤成立，执行第八次循环，()82281836S =-+-⨯=，819i =+=； 98i =≤不成立，跳出循环体，输出S 的值为36，故选A.【点睛】本题考查算法与程序框图的计算，解题时要根据算法框图计算出算法的每一步，考查分析问题和计算能力，属于中等题.9.数列{}n a 满足1a Z ∈，123n n a a n ++=+，且其前n 项和为n S .若13m S a =，则正整数m =（ ） A. 99 B. 103 C. 107 D. 198【答案】B 【解析】 【分析】根据递推公式，构造新数列{}1n a n --为等比数列，求出数列{}n a 通项，再并项求和，将13S 用1a 表示，再结合通项公式，即可求解.【详解】由123n n a a n ++=+得()()1111n n a n a n +-+-=---， ∴{}1n a n --为等比数列，∴()()11112n n a n a ---=--，∴()()11121n n a a n -=--++，()()11121m m a a m -=--++，∴()()131231213S a a a a a =+++++()112241236102a a =+⨯++++⨯=+，①m 为奇数时，1121102a m a -++=+，103m =.②m 为偶数时，()1121102a m a --++=+，1299m a =+， ∵1a Z ∈，1299m a =+只能为奇数， ∴m 为偶数时，无解.综上所述，103m =. 故选:B.【点睛】本题考查递推公式求通项，合理应用条件构造数列时解题的关键，考查并项求和，考查分类讨论思想，属于较难题.10.已知双曲线22221x y a b-=(0a >,0b >)的左、右焦点分别为1F ,2F ,过2F 的直线交双曲线右支于,P Q 两点,且1PQ PF ⊥,若134PQ PF =,则该双曲线离心率e =( )A.B.C.3D.5【答案】C 【解析】 【分析】由1PQ PF ⊥,134PQ PF =,可得1QF 与1PF 的关系,由双曲线的定义可得12122a PF PF QF QF =-=-,解得|1PF ,然后利用12Rt PF F ∆,推出,a c 的关系,可得双曲线的离心率.【详解】设,P Q 为双曲线右支上一点, 由1PQ PF ⊥,134PQ PF =, 在直角三角形1PF Q 中1154QF PF ==由双曲线的定义可得:12122a PF PF QF QF =-=- 134PQ PF =∴ 22134PF QF PF +=可得:111532244PF a PF a PF -+-=1351444PF a ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭解得183a PF =21223a PF PF a =-=在12Rt PF F ∆中根据勾股定理:221282233a a c F F ⎛⎫⎛⎫==+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭解得:21723c a =∴ 173c e a ==故选:C.【点睛】本题考查了求双曲线的离心率,解题关键是掌握离心率的定义和根据条件画出草图,数形结合,寻找几何关系,考查了分析能力和计算能力,属于中档题.11.在三棱锥P ABC -中,ABC ∆与PBC ∆均为边长为1的等边三角形,,,,P A B C 四点在球O 的球面上,当三棱锥P ABC -的体积最大时,则球O 的表面积为( ) A.53π B. 2πC. 5πD.203π【答案】A 【解析】 【分析】由ABC ∆与PBC ∆均为边长为1的等边三角形,,,,P A B C 四点在球O 的球面上,当三棱锥P ABC -的体积最大时,即面ABC 与面PBC 垂直,画出图像,求出此时的三棱锥P ABC -外接球的半径,即可求得答案. 【详解】当三棱锥P ABC -的体积最大时,即面ABC 与面PBC 垂直 画出立体图像:设PBC ∆外接圆圆心为M ,ABC ∆外接圆圆心为N ,P ABC -外接球的半径为R , 取BC 中点为Q PBC ∆等边三角形∴ PQ BC ⊥又面ABC ⊥面PBC 垂直∴ PQ ⊥面ABCAQ ⊂面ABC∴ PQ ⊥AQABC ∆与PBC ∆均为边长为1的等边三角形∴ 可得ABC ∆与PBC ∆外接圆半径为即AN PM == 则NQ MQ == 又OM ⊥面PBC ,ON ⊥面ABC∴ 四边形OMNQ 是正方形,NQ MQ OM ON ∴====在Rt PMO △中有:222PO OM PM =+解得: 222512PO =+=⎝⎭⎝⎭故P ABC -外接球的半径为2512R =球的表面积公式为:25544123S R πππ==⨯= 故选:A.【点睛】本题考查了求三棱锥外接球表面积,解题关键是掌握三棱锥外接球半径的求法,画出立体图形,结合图形,寻找几何关系,考查了空间想象能力和计算能力,属于基础题. 12.已知函数()f x 与()f x '的图象如图所示，则不等式()()04f x f x x ⎧>⎨<<'⎩的解集为（ ）A. ()0,1B. 41,3⎛⎫⎪⎝⎭C. 4,23⎛⎫⎪⎝⎭D. ()2,4【答案】A 【解析】 【分析】对图中实线部分曲线为函数()y f x =或其导函数()y f x '=的图象进行分类讨论，结合导数符号与原函数单调性之间的关系进行分析，再结合图象得出不等式()()04f x f x x ⎧>⎨<<'⎩的解集.【详解】若图中实线部分曲线为函数()y f x =的图象，则虚线部分曲线为导函数()y f x '=的图象， 由导函数()y f x '=的图象可知，函数()y f x =在区间()0,4上的单调递减区间为()0,2， 但函数()y f x =在区间()0,2上不单调，不合乎题意；若图中实线部分曲线为导函数()y f x '=的图象，则函数()y f x =在区间()0,4上的减区间为40,3⎛⎫ ⎪⎝⎭，增区间为4,43⎛⎫⎪⎝⎭，合乎题意. 由图象可知，不等式()()04f x f x x ⎧>⎨<<'⎩的解集为()0,1.故选：A.【点睛】本题考查利用图象解不等式，解题的关键就是要结合导函数与原函数之间的关系确定两个函数的图象，考查数形结合思想以及推理能力，属于中等题.第11卷(非选择题共90分)本卷包括必考题和选考题两部分，第13~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22-23题据要求作答､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13.为了防止受到核污染的产品影响我国民众的身体健康，要求产品在进入市场前必须进行两轮核辐射检测，只有两轮都合格才能进行销售，否则不能销售.已知某产品第一轮检测不合格的概率为16，第二轮检测不合格的概率为110，两轮检测是否合格相互没有影响.若产品可以销售，则每件产品获利40元；若产品不能销售，则每件产品亏损80元.已知一箱中有4件产品，记一箱产品获利X 元，则P (X ≥－80)＝________. 【答案】243256【解析】 【分析】首先求某产品两轮检测合格的概率113116104⎛⎫⎛⎫--= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，X 的所有可能取值为－320，－200，－80,40,160，然后根据二项分布求其概率，并计算()80P X ≥-. 【详解】由题意得该产品能销售的概率为113116104⎛⎫⎛⎫--= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭,易知X 的所有可能取值为－320，－200，－80,40,160，设ξ表示一箱产品中可以销售的件数，则ξ～B 34,4⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以()443144kkk P k C ξ-⎛⎫⎛⎫==⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以P (X ＝－80)＝P (ξ＝2)＝2224312744128C ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ，P (X ＝40)＝P (ξ＝3)＝33431274464C ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， P (X ＝160)＝P (ξ＝4)＝444318144256C ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, 故P (X ≥－80)＝P (X ＝－80)＋P (X ＝40)＋P (X ＝160)＝243256.【点睛】本题考查独立事件同时发生的概率和二项分布，意在考查分析问题和解决问题的能力，对于此类考题，要注意认真审题，从数学与实际生活两个角度来理解问题的实质,将问题成功转化为古典概型，独立事件、互斥事件等概率模型求解，因此对概率型应用性问题，理解是基础，转化是关键. 14.已知()sin(2019)cos(2019)63f x x x ππ=++-的最大值为A ，若存在实数12,x x 使得对任意实数x 总有12()()()f x f x f x ≤≤成立，则12A x x -的最小值为____________【答案】22019π【分析】利用三角恒等变换可得f （x ）=2sin （2019x+6π），依题意可知A=2，|x 1﹣x 2|的最小值为12T=2019π，从而可得答案．【详解】∵f （x ）=sin （2019x+6π）+cos （2019x ﹣3π），=12cos2019x+12，=2sin （2019x+6π）， ∴A=f （x ）max =2，周期T=22019π， 又存在实数x 1，x 2，对任意实数x 总有f （x 1）≤f （x ）≤f （x 2）成立， ∴f （x 2）=f （x ）max =2，f （x 1）=f （x ）min =﹣2，|x 1﹣x 2|的最小值为12T=2019π，又A=2， ∴A|x 1﹣x 2|的最小值为22019π．故答案为22019π． 【点睛】本题考查三角函数的最值，着重考查两角和与差的正弦与余弦，考查三角恒等变换，突出正弦函数的周期性的考查，属于中档题．15.设函数()f x 在定义域(0，+∞)上是单调函数，()()0,,xx f f x e x e ⎡⎤∀∈+∞-+=⎣⎦，若不等式()()f x f x ax '+≥对()0,x ∈+∞恒成立，则实数a 的取值范围是______．【答案】(],21e -∞- 【解析】 【分析】先利用换元法求出()f x ，然后再用分离变量法，借助函数的单调性解决问题． 【详解】解：由题意可设()xf x e x t -+=，则()xf x e x t =-+，∵()xf f x e x e ⎡⎤-+=⎣⎦，∴()ttf t e t t e e =-+==，∴()1xf x e x =-+，∴()1xf x e '=-，由()()f x f x ax '+≥得11x x e x e ax -++-≥，∴21xe a x≤-对()0,x ∈+∞恒成立，令()21xe g x x =-，()0,x ∈+∞，则()()221'x e x g x x-=， 由()'0g x =得1x =，∴()g x 在()0,1上单调递减，在()1,+∞单调递增， ∴()()121g x g e ≥=-， ∴21a e ≤-，故答案为：(],21e -∞-．【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的最值，考查利用函数的单调性解决恒成立问题，属于中档题． 16.已知抛物线()220y px p =>，F 为其焦点，l 为其准线，过F 任作一条直线交抛物线于,A B 两点，1A 、1B 分别为A 、B 在l 上的射影，M 为11A B 的中点，给出下列命题：（1）11A F B F ⊥；（2）AM BM ⊥；（3）1//A F BM ； （4）1A F 与AM 的交点的y 轴上；（5）1AB 与1A B 交于原点. 其中真命题的序号为_________. 【答案】（1）（2）（3）（4）（5） 【解析】 【分析】（1）由A 、B 在抛物线上，根据抛物线的定义可知1AA AF =，1BB BF =，从而有相等的角，由此可判断11A F B F ⊥；（2）取AB 的中点C ，利用中位线即抛物线的定义可得()1122CM AF BF AB =+=，从而可得AM BM ⊥；（3）由（2）知，AM 平分1A AF ∠，从而可得1A F AM ⊥，根据AM BM ⊥，利用垂直于同一直线的两条直线平行，可得结论；（4）取1AA 与y 轴的交点D ，可得1A D OF =，可得出1A F 的中点在y 轴上，从而得出结论； （5）设直线AB 的方程为2px my =+，设点()11,A x y 、()22,B x y ，证明出1A 、O 、B 三点共线，同理得出A 、O 、1B 三点共线，由此可得出结论.【详解】（1）由于A 、B 在抛物线上，且1A 、1B 分别为A 、B 在准线l 上的射影， 根据抛物线的定义可知1AA AF =，1BB BF =，则11AA F AFA ∠=∠，11BB F BFB ∠=∠，11//AA BB ，11180FAA FBB ∠+∠=，则1111180AA F AFA BB F BFB ∠+∠+∠+∠=，即()112180AFA BFB ∠+∠=，1190AFABFB ∴∠+∠=，则1190A FB ∠=，即11A F B F ⊥，（1）正确；（2）取AB 的中点C ，则()1122CM AF BF AB =+=，90AMB ∴∠=，即AM BM ⊥， （2）正确；（3）由（2）知，1//CM AA ，1A AM AMC ∠=∠，12CM AB AC ==，AMC CAM ∴∠=∠，1A AM CAM ∴∠=∠， AM ∴平分1A AF ∠，1AM A F ∴⊥，由于BM AM ⊥，11//A F B M ∴，（3）正确； （4）取1AA 与y 轴的交点D ，则12pA D OF ==，1//AA x 轴，可知1A DE FOE ∆≅∆，1A E EF ∴=，即点E 为1A F 的中点，由（3）知，AM 平分1A AF ∠，1A M ∴过点E ，所以，1A F 与AM 的交点的y 轴上，（4）正确；（5）设直线AB 的方程为2p x my =+，设点()11,A x y 、()22,B x y ，则点11,2p A y ⎛⎫- ⎪⎝⎭、12,2p B y ⎛⎫- ⎪⎝⎭，将直线AB 的方程与抛物线的方程联立，消去x 得，2220y mpy p --=，由韦达定理得212y y p =-，122y y mp +=，直线1OA 的斜率为1221122222OAp y y y p k p p p y ⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭==-=-=-， 直线OB 的斜率为22222222OB y y p k y x y p===，1OA OB k k ∴=， 则1A 、O 、B 三点共线，同理得出A 、O 、1B 三点共线， 所以，1AB 与1A B 交于原点，（5）正确.综上所述，真命题的序号为：（1）（2）（3）（4）（5）. 故答案为：（1）（2）（3）（4）（5）.【点睛】本题考查抛物线的几何性质，涉及抛物线定义的应用，考查推理能力，属于中等题.三､解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. (一)必考题：共60分17.设公差不为0的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，等比数列{}n b 的前n 项和为n T ，若2a 是1a 与4a 的等比中项，612a =，11221a b a b ==. (1)求n a ，n S 与n T ; (2)若n c =:()1222n n n c c c +++⋅⋅⋅+<.【答案】(1)2n a n =，()1n S n n =+，112n n T =-;(2)见解析 【解析】 【分析】（1）由题意得，2214a a a =，代入等差数列的通项公式即可求得首项与公差，则等差数列的通项公式与前n项和可求，再将12,a a 代入11221a b a b ==，利用等比数列通项公式求出1b ，q ，进而可得n T ；（2）由n c =，结合10112n⎛⎫<-< ⎪⎝⎭恒成立，即可得到12n c n <<=+，结合等差数列的前n 项和公式即可证明()1222n n n c c c +++⋅⋅⋅+<.【详解】(1)根据定义求解.由题易知()()2111135120a d a a d a d d ⎧+=+⎪+=⎨⎪≠⎩解得122a d =⎧⎨=⎩，故()112n a a n d n =+-=，()()112n n a a n S nn +==+，1122111241a b a b b b q ==⇒==解得112b =，12q =， 则1112n n n b b q -==，()11112nn n b q T q -==--，n N +∈.(2)由题可知n c =10112n⎛⎫<-< ⎪⎝⎭，12n <+，121(1)1(2)1232222n n n n nc c c n n n ++∴++⋯+<+++++=+=，即()1222n n n c c c ++++<成立. 【点睛】本题考查等差数列的通项公式，考查等比数列的性质，训练了利用放缩法证明数列不等式，是中档题.18.某大型公司为了切实保障员工的健康安全，贯彻好卫生防疫工作的相关要求，决定在全公司范围内举行一次乙肝普查，为此需要抽验960人的血样进行化验，由于人数较多，检疫部门制定了下列两种可供选择的方案.方案①：将每个人的血分别化验，这时需要验960次.方案②：按k 个人一组进行随机分组，把从每组k 个人抽来的血混合在一起进行检验，如果每个人的血均为阴性，则验出的结果呈阴性，这k 个人的血就只需检验一次；否则，若呈阳性，则需对这k 个人的血样再分别进行一次化验，这样，该组k 个人的血总共需要化验1k +次.假设此次普查中每个人的血样化验呈阳性的概率为p ，且这些人之间的试验反应相互独立. （1）设方案②中，某组k 个人中每个人的血化验次数为X ，求X 的分布列；（2）设0.1p =，试比较方案②中，k 分别取2，3，4时，各需化验的平均总次数；并指出在这三种分组情况下，相比方案①，化验次数最多可以平均减少多少次？(最后结果四舍五入保留整数). 【答案】（1）见解析（2）390次 【解析】 【分析】（1）设每个人的血呈阴性反应的概率为q ，则1q p =-，11,1X k k=+，求出k 个人的血混合后呈阴性反应的概率，呈阳性反应的概率得分布列；（2）由（1）计算出期望()E X ，令2,3,4k =分别计算出均值后可得检验次数，从而可得结论． 【详解】（1）设每个人的血呈阴性反应的概率为q ，则1q p =-所以k 个人的血混合后呈阴性反应的概率为kq ，呈阳性反应的概率为1kq - 依题意可知11,1X =+，所以X 的分布列为：（2）方案②中结合（1）知每个人的平均化验次数为：()111()111k k k E X q q q k k k ⎛⎫=⋅++⋅-=-+ ⎪⎝⎭所以当2k =时，21()0.910.692E X =-+=，此时960人需要化验的总次 数为662次，3k =时，31()0.910.60433E X =-+=，此时960人需要化验的总次数为580次，4k =时，41()0.910.59394E X =-+=，此时960人需要化验的次数总为570次即2k =时化验次数最多，3k =时次数居中，4k =时化验次数最少 而采用方案①则需化验960次，故在三种分组情况下，相比方案①，当4k =时化验次数最多可以平均 减少960570390-=次．【点睛】本题考查随机变量的概率分布列，考查用样本估计总体，考查了学生的数据处理能力和运算求解能力．19.如图，直三棱柱111ABC A B C -中，90BAC ∠=︒，1AB AC ==，D ，E 分别为1AA ，1B C 的中点．（1）证明：DE ⊥平面11BCC B ；（2）已知1B C 与平面BCD 所成的角为30°，求二面角1D BC B --的余弦值． 【答案】（1）证明见解析；（22． 【解析】 【分析】（1）取BC 中点F ，连接AF 、EF ，根据题目条件，利用线面垂直的判定定理，得出AF ⊥平面11BCC B ，由于E 为1B C 中点，1EFBB ，112EF BB =，可证出四边形ADEF 为平行四边形，得出AF DE ∥，从而可证出DE ⊥平面11BCC B ；（2）设1AB AC ==，12AA a =，根据（1）可知，DE ⊥平面1BCB ，则D 到平面1BCB 距离2DE =，设1B 到面BCD 距离为d ，根据三棱锥等体积法有11B BDC D BCB V V --=，得11133BCB BDC S DE S d ⋅=⋅△△，得221d a =+因为1B C 与平面BCD 所成的角为30°，可求出2a =结合线面垂直的判定定理证出BC ⊥平面DEFA ，进而得出EFD ∠为二面角1D BC B --的平面角，只需求出EFD ∠，即可求出二面角1D BC B --的余弦值．【详解】解：（1）取BC 中点F ，连接AF 、EF ， ∵AB AC =∴AF BC ⊥，∵1BB ⊥平面ABC ，AF ⊂平面ABC ，∴1BB AF ⊥，而BC ⊂平面11BCC B ，1B B ⊂平面11BCC B ，1BC B B B =∩∴AF ⊥平面11BCC B ，∵E 为1B C 中点，∴1EF BB ，112EF BB =， ∴EF DA ，EF DA =，∴四边形ADEF 为平行四边形，∴AF DE ∥．∴DE ⊥平面11BCC B ．（2）设1AB AC ==，12AA a =，则BC =2AF =，BD DC ==∴DF ==∴122BDC S BC DF =⋅=△，1112BCB S BB BC =⋅=，D 到平面1BCB 距离DE =，设1B 到面BCD 距离为d ， 由11B BDC D BCB V V --=，得11133BCB BDC S DE S d ⋅=⋅△△，即113232d ⋅=⋅，得d = 因为1B C 与平面BCD 所成的角为30°， 所以12sin 30d B C d ===︒而在直角三角形1B BC 中，1B C ===，解得a =因AF ⊥平面11BCC B ，BC ⊂平面11BCC B ，所以AF BC ⊥，又EF ⊥平面11BCC B ，BC ⊂平面11BCC B ，所以EF BC ⊥，所以BC ⊥平面DEFA ，∵DF ⊂平面DBC ，EF ⊂平面1B BC所以EFD ∠为二面角1D BC B --的平面角， 而22DA AF ==， 可得四边形DAFE 是正方形，所以45EFD ∠=︒，则2cos cos452EFD ∠=︒=， 所以二面角1D BC B --的余弦值为22．【点睛】本题考查线面垂直的判定定理，以及利用几何法求二面角余弦值，涉及平行四边形的证明、等体积法求距离、棱锥的体积，线面角的应用等知识点，考查推理证明能力和计算能力.20.已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的左､右焦点分别为12,F F ，离心率为22，P 是椭圆上一点，且△12PF F 面积的最大值为1.（1）求椭圆C 的方程；（2）过2F 且不垂直坐标轴的直线l 交椭圆C 于A ，B 两点，在x 轴上是否存在一点(,0)N n ，使得22||:||:AN BN AF BF =，若存在，求出点(,0)N n ，若不存在，说明理由.【答案】（1）2212x y +=;（2）(1,0)N ,过程见解析 【解析】【分析】（1）当P 是椭圆短轴顶点时，△12PF F 面积取得最大值，建立方程组可得（2）设直线方程，联立得22121222422,2121k k x x x x k k -+==++ 若22||:||:AN BN AF BF =，则0NB NA k k += ，得12120y y x n x n +=--化简得1n = 【详解】（1）121212PF F P S F F y = ，由椭圆性质知当=P y b 时，△12PF F 面积最大. 由题得： 222121222c b c a a b c ⎧⨯⨯=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=+⎪⎩解得21a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩ 所以椭圆方程为：2212x y += （2）设直线方程为(1)y k x =-，1122(,),(,)A x y B x y22(1)21y x x y k =-+=⎧⎪⎨⎪⎩ 化简得2222(21)4220k x k x k +-+-= 22121222422,2121k k x x x x k k -+==++ 22||:||:AN BN AF BF =，如图，作//AM BN 交2NF 延长线与M 点，易证得22||||AF AM BN BF =,22||:||:AN BN AF BF = AM AN ∴= 22ANF BNF ∴∠=∠所以2F N 是ANB ∠的角平分线,则有0NB NA k k +=12120y y x n x n+=-- ，1221(1)(1)0y x y x ∴-+-= 1122,y kx k y kx k =-=-1221()(1)()(1)0kx k x kx k x ∴--+--=12212()(+)20kx x kn k x x kn ∴+++= 22222242()202121k k k kn k kn k k -∴⨯+++=++ 化简得1n = 所以存在点(1,0)N 满足题意.【点睛】本题主要考查椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，圆锥曲线的取值范围等基本知识与基本技能，以及数形结合、转化与化归的数学思想.意在考查考生的运算求解能力、推理论证能力以及分析问题、解决问题的能力.21.已知函数()2x f x e ax =-.（1）讨论()f x 的单调性；（2）当0x >时，()21f x ax >+，求a 的取值范围. 【答案】（1）见解析；（2）(],2-∞.【解析】【分析】（1）求出函数()y f x =的导数，分0a ≤和0a >两种情况讨论，分析导数()f x '的符号变化，即可求出函数()y f x =的单调区间；（2）问题变形为2210x e ax ax --->，令()221x g x e ax ax =---，由题意得出()()00g x g >=，根据函数()y g x =的单调性确定a 的范围即可．【详解】（1）()2x f x e ax =-，定义域为R 且()22x f x e a '=-.①当0a ≤时，则()0f x '>，则函数()y f x =在R 上单调递增；②当0a >时，由()0f x '=，得22x e a =，得1ln 22a x =. 当1ln 22a x <时，()0f x '<，函数()y f x =单调递减； 当1ln 22a x >时，()0f x '>，函数()y f x =单调递增. 此时，函数()y f x =的单调减区间为1,ln 22a ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭，单调增区间为1ln ,22a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭. 综上所述，当0a ≤时，函数()y f x =的单调递增区间为(),-∞+∞；当0a >时，函数()y f x =的单调减区间为1,ln 22a ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭，单调增区间为1ln ,22a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭； （2）()21f x ax >+变形为2210x e ax ax --->，令()221x g x e ax ax =---，定义域为()0,∞+，且()00g =， ()()2222x g x e ax a f x a '=--=-.①当0a ≤时，对任意的0x >，()0g x '>，函数()y g x =在区间()0,∞+上为增函数，此时，()()00g x g >=，合乎题意；②当0a >时，则函数()y g x '=在R 上的单调减区间为1,ln 22a ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭，单调增区间为1ln ,22a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭. （i ）当1ln 022a ≤时，即当02a <≤时，则函数()y g x '=在区间()0,∞+上为增函数， 此时()()020g x g a ''>=-≥，则函数()y g x =在区间()0,∞+上为增函数.此时，()()00g x g >=，合乎题意；（ii ）当1ln 022a >时，即当2a >时，则函数()y g x '=在区间10,ln 22a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在区间1ln ,22a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，所以，()min 1ln ln 0222a a g x g a ⎛⎫''==-< ⎪⎝⎭， 又()020g a '=-<，所以，函数()y g x =在区间10,ln 22a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减， 当10,ln 22a x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()()00g x g <=，不合乎题意. 综上所述，实数a 的取值范围是(],2-∞.【点睛】本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，是一道综合题．(二)选考题：共10分，请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.22.在直角坐标系xOy 中，曲线C的参数方程为11212x t t y t t ⎧⎛⎫=+ ⎪⎪⎝⎭⎪⎨⎫⎪=-⎪⎪⎝⎭⎩（t 为参数）.以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系.直线l 的极坐标方程为2cos sin 0m ρθρθ-+=.（1）求C 和l 的直角坐标方程；（2）已知l 与C 相切，求m 的值.【答案】（1）C 的直角坐标方程为2212y x -=,直线l 的直角坐标方程为20x y m -+=（2）m =【解析】【分析】（1）将11212x t t y t t ⎧⎛⎫=+ ⎪⎪⎝⎭⎪⎨⎫⎪=-⎪⎪⎝⎭⎩化为121x t t t t ⎧=+⎪⎪=-，两式平方相减，消去参数t ，求得C 的普通方程；cos ,sin x y ρθρθ==代入极坐标方程，即可求出直线l 的直角坐标方程；（2）直线l 与曲线C 方程联立，消去y ，得到关于x 的一元二次方程，l 与C 相切，0∆=，即可求解.【详解】解：（1）因为()222122x t t =++，22212t t =+-，两式相减，有22424x y -=，所以C 的直角坐标方程为2212y x -=. 直线l 的直角坐标方程为20x y m -+=.（2）联立l 与C 的方程，有221220y x x y m ⎧-=⎪⎨⎪-+=⎩，消y ， 得222420x mx m +++=，因为l 与C 相切，所以有()222164228160m m m ∆=-⨯+=-=，解得：m =.【点睛】本题考查参数方程与普通方程互化，极坐标方程与直角坐标方程互化，考查直线与圆锥曲线的位置关系，属于中档题,23.已知0a >，0b >，0c >设函数()f x x b x c a =-+++，x ∈R（1）若2a b c ===，求不等式()7f x >的解集；（2）若函数()f x 的最小值为2，证明：4199()2a b c a b b c c a ++≥+++++． 【答案】（1）55,,22⎛⎫⎛⎫-∞-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（2）见解析 【解析】【分析】（1）根据题意，当a ＝b ＝c ＝2时，f （x ）＝|x ﹣2|+|x +2|+2，然后利用零点分段法解不等式即可；（2）根据题意，由绝对值不等式的性质可得f （x ）的最小值为2，所以a +b +c ＝2，进而利用柯西不等式即可证明不等式．【详解】解：（1）解：（1）当a ＝b ＝c ＝2时，f （x ）＝|x ﹣2|+|x +2|+2 所以f （x ）>7⇔2227x x ≤-⎧⎨->⎩或2267x -⎧⎨>⎩＜＜或2227x x ≥⎧⎨+>⎩所以不等式的解集为55,,22⎛⎫⎛⎫-∞-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； （2）因为a ＞0，b ＞0，c ＞0所以()()()f x x b x c a x b x c a b c a a b c =-+++≥--++=++=++因为f （x ）的最小值为2，所以a +b +c ＝2()()()41914192a b b c c a a b b c c a a b b c c a ⎛⎫++=+++++++⎡⎤ ⎪⎣⎦++++++⎝⎭ 21189()422a b c ≥==++ 【点睛】本题考查绝对值不等式的解法以及不等式的证明，涉及柯西不等式的应用，考查转化能力与计算能力，属于基础题．。
2021届湖南长郡中学新高考模拟考试(十三)数学(理)试题
2021届湖南长郡中学新高考模拟考试（十三）理科数学★祝你考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考考查范围。
2、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
3、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
4、主观题的作答：用0.5毫米黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非主观题答题区域的答案一律无效。
5、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。
答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。
6、保持卡面清洁，不折叠，不破损。
7、本科目考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
第Ⅰ卷 选择题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.若复数31iz i =+，则复数z 的虚部为（ ） A.12B. 12iC. 12-D. 12i -【答案】C 【解析】 【分析】根据虚数的性质以及复数的乘除法运算法则化简复数z ，根据共轭复数的概念可得其共轭复数，再根据复数的概念可得结果. 【详解】因为31i z i =+(1)11(1)(1)2i i i i i i i +-+===--+1122i =-+， 所以1122z i =--，所以复数z 的虚部为12-. 故选：C.【点睛】本题考查了复数的乘除法运算法则，考查了共轭复数的概念，属于基础题.2.采用系统抽样方法从960人中抽取32人做问卷调查，为此将他们随机编号为1，2，…，960，分组后某组抽到的号码为41.抽到的32人中，编号落入区间[401,731]的人数为( ) A. 10 B. 11C. 12D. 13【答案】C 【解析】 【分析】根据系统抽样的特征可知，抽出的号码成等差数列，由题意即可写出通项公式，解不等式即可求出. 【详解】∵9603230÷=，∴每组30人，∴由题意可得抽到的号码构成以30为公差的等差数列， 又某组抽到的号码为41，可知第一组抽到的号码为11，∴由题意可得抽到的号码构成以11为首项、以30为公差的等差数列， ∴等差数列的通项公式为11(1)303019n a n n =+-=-， 由4013019731n ≤-≤，n 为正整数可得1425n ≤≤， ∴编号落入区间[401,731]的人数2514112-+=. 故选：C.【点睛】本题主要考查系统抽样的特征应用，以及等差数列的通项公式的应用，属于基础题. 3.有一散点图如图所示，在5个(,)x y 数据中去掉(3,10)D 后，下列说法正确的是（ ）A. 残差平方和变小B. 相关系数r 变小C. 相关指数2R 变小D. 解释变量x 与预报变量y 的相关性变弱【答案】A 【解析】 【分析】由散点图可知，去掉(3,10)D 后，y 与x 的线性相关性加强，由相关系数r ，相关指数2R 及残差平方和与相关性的关系得出选项.【详解】∵从散点图可分析得出：只有D 点偏离直线远，去掉D 点，变量x 与变量y 的线性相关性变强， ∴相关系数变大，相关指数变大，残差的平方和变小，故选A.【点睛】该题考查的是有关三点图的问题，涉及到的知识点有利用散点图分析数据，判断相关系数，相关指数，残差的平方和的变化情况，属于简单题目.4.等比数列{}n a 的前项和为n S ，若1,3,2,S S S 成等差数列，则{}n a 的公比q 等于 A. 1 B.12C. -12D. 2【答案】C 【解析】【详解】因为1,3,2,S S S 成等差数列，所以123112232311=+2(202)2a a a a a a a a S q S S ∴++=++∴+=∴=-，选C 5.函数()2ln xf x x x =-的图象大致为（ ） A. B.C. D.【答案】A 【解析】 【分析】根据函数()f x 的奇偶性和单调性，排除错误选项，从而得出正确选项. 【详解】因为()()f x f x -=，所以()f x 是偶函数，排除C 和D.当0x >时，()2ln x x f x x =-，()332ln 1'x x f x x=+-， 令()'0f x <，得01x <<，即()f x 在()0,1上递减；令()'0f x >，得1x >，即()f x 在()1,+∞上递增.所以()f x 在1x =处取得极小值，排除B. 故选：A【点睛】本小题主要考查函数图像的识别，考查利用导数研究函数的单调区间和极值，属于中档题. 6.已知2a =，2b =，且()b a b ⊥-，则向量a 在b 方向上的投影为（ ）A. 1B.C. 2D.2【答案】B 【解析】 【分析】设a 和b 的夹角为α，根据已知得cos α=，再求出向量a 在b 方向上的投影. 【详解】设a 和b 的夹角为α， 因为()b a b ⊥-，所以2()=22cos 20,cos b a b a b b αα⋅-⋅-=-=∴=所以向量a 在b 方向上的投影为2cos α=故选：B【点睛】本题主要考查平面向量的数量积的计算，考查向量投影的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 7.在101()2x x-的展开式中，4x 的系数为( ) A. -120 B. 120C. -15D. 15【答案】C 【解析】【分析】写出101()2x x -展开式的通项公式1021101()2r r r r T C x -+=-，令1024r -=，即3r =，则可求系数． 【详解】101()2x x -的展开式的通项公式为101021101011()()22r r r r r r r T C x C x x --+=-=-，令1024r -=，即3r =时，系数为33101()152C -=-．故选C 【点睛】本题考查二项式展开的通项公式，属基础题．8.设m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中正确的是（ ） A. 若αβ⊥，m α⊂，n β⊂，则m n ⊥ B. 若//αβ，m α⊂，n β⊂，则//m n C. 若m n ⊥，m α⊂，n β⊂，则αβ⊥ D. 若m α⊥，//m n ，//n β，则αβ⊥ 【答案】D 【解析】 试题分析：m α⊥，,n βαβ∴⊥,故选D.考点：点线面的位置关系.9.在ABC 中，3sin()sin 2A B C -+=，3BC AC =，则B =（ ） A.3πB.6π C.6π或3π D.2π 【答案】B 【解析】 【分析】利用两角和的正弦公式以及3sin()sin 2A B C -+=可得3sin cos 4A B =①，再由3BC AC =得到sin 3sin A B ②，联立①②解方程组即可.【详解】因为3sin()sin 2A B C -+=，所以3sin()sin()2A B A B -++=，化简得32sin cos 2A B =，即3sin cos 4A B=①，又3BC AC =及正弦定理可得 sin 3sin AB ②，由①②可得33sin cos 4B B =，即3sin 2B =， 又(0,)B π∈，所以6B π=或3π，注意到sin 3sin 1A B =≤，所以3sin 3B ≤， 所以6B π=.故选：B【点睛】本题考查正弦定理解三角形，涉及到两角和的正弦公式，本题容易错选C ，要注意题中隐含的信息，是一道中档题. 10.函数()cos 2xf x π=与()g x kx k =-在[]6,8-上最多有n 个交点，交点分别为(),i i x y （1i =，……，n ），则()1nii i xy =+=∑（ ）A. 7B. 8C. 9D. 10【答案】C 【解析】 【分析】根据直线()g x 过定点()1,0，采用数形结合，可得最多交点个数， 然后利用对称性，可得结果. 【详解】由题可知：直线()g x kx k =-过定点()1,0 且()cos 2xf x π=在[]6,8-是关于()1,0对称 如图通过图像可知：直线()g x 与()f x 最多有9个交点 同时点()1,0左、右边各四个交点关于()1,0对称所以()912419iii x y =+=⨯+=∑故选：C【点睛】本题考查函数对称性的应用，数形结合，难点在于正确画出图像，同时掌握基础函数cos y x =的性质，属难题.11.已知不等式1ln ax x a x x e++≥对()1,x ∈+∞恒成立，则实数a 的最小值为（ ）A. B. e 2- C. e - D. 2e -【答案】C 【解析】 【分析】将不等式变形,通过构造函数()ln g x x x =-,求导数后,结合函数的单调性即可得解. 【详解】不等式1ln a x x a x x e++≥对()1,x ∈+∞恒成立 可变形为1ln ax x x a x e≥-+, 即n n l l x x a a e x x e ----≥对()1,x ∈+∞恒成立设()ln g x x x =- 则()11'1x g x x x-=-= 当()1,x ∈+∞时,()'0g x >,即()ln g x x x =-在()1,x ∈+∞时单调递增 当()0,1x ∈时,()'0g x <,即()ln g x x x =-在()0,1x ∈时单调递减 因而()()xa g eg x -≥在()1,x ∈+∞上恒成立即可当()1,x ∈+∞时, 10,xee -⎛⎫∈ ⎪⎝⎭而当0a <时(因四个选项都小于0,所以只需讨论0a <的情况)()0,1a x ∈因为()ln g x x x =-在()0,1x ∈时单调递减,若()()x a g e g x -≥只需x a e x -≤不等式两边同取自然底数的对数,可得ln x a x -≤ 当()1,x ∈+∞时, 0ln x < 化简不等式可得ln xa x-≤只需maxln x a x -⎛⎫≤ ⎪⎝⎭ 令()ln xh x x-=,()1,x ∈+∞ 则()()21ln 'ln xh x x -=,令()'0h x =解得x e =当()1,x e ∈时, ()'0h x >,则()ln xh x x -=在()1,e 内单调递增 当(),x e ∈+∞时, ()'0h x <,则()ln xh x x-=在(),e +∞内单调递减所以()ln x h x x -=在x e =处取得最大值, ()max ln eh x e e-==- 故e a -≤所以实数a 的最小值为e - 故选:C【点睛】本题考查了导数在研究函数单调性与最值中的综合应用,根据不等式恒成立问题求参数的取值,利用构造函数法求最值,对函数式的变形尤为重要,属于难题.12.已知双曲线221221(0,0)x y C a b a b ：-=>>的一个焦点F 与抛物线22:2(0)C y px p =>的焦点相同，1C 与2C 交于A ，B 两点，且直线AB 过点F ，则双曲线1C 的离心率为（ ）A.B.C. 2D.1【答案】D 【解析】 【分析】由图形的对称性及题设条件AF ⊥x 轴，且,22p c p c ==，不难得到,2p A p ⎛⎫⎪⎝⎭，将其代入双曲线方程化简可得22241c e b-=，再化简整理可得212e e -=，解之即可得到结果.【详解】由图形的对称性及题设条件AF ⊥x 轴，且,22p c p c ==，不妨设交点1,2p A y ⎛⎫ ⎪⎝⎭代入22y px =可得1y p =，故,2p A p ⎛⎫ ⎪⎝⎭代入双曲线方程化简可得222214p p a b -=，即22241c e b -=，也即222241c e c a-=-，由此可得()22214e e -=，即212e e -=，也即2(1)2e -=，所以1e =+.所以本题应选D.【点睛】圆锥曲线是平面解析几何的重要内容，也是高考和各级各类考试的重要内容和考点，解答本题时要充分利用题设中提供的有关信息，探寻出,22pc p c ==，及AF ⊥x 轴等条件，这些都是解答本题的重要条件和前提.解答时，将,2p A p ⎛⎫ ⎪⎝⎭代入双曲线方程化简得到222214p p a b-=后化简并求出双曲线的离心率仍是一个难点，因为22241c e b-=距离求出离心率的目标仍然较远，解这个方程不是很简单，这需引起足够的重视.第Ⅱ卷 非选择题二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.已知向量(,4),(3,2)a m b ==-，且a b ∥，则m =___________. 【答案】6- 【解析】 【分析】由向量平行的坐标表示得出2430m --⨯=，求解即可得出答案. 【详解】因为a b ∥，所以2430m --⨯=，解得6m =-. 故答案为：6-【点睛】本题主要考查了由向量共线或平行求参数，属于基础题.14.已知cos θ=，且,2πθπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则tan 2θ=__________．【答案】43【解析】分析：根据cos θ的值得到tan θ的值，再根据二倍角公式得到tan 2θ的值．详解：因此cos 5θ=-且,2πθπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，故tan 2θ=-，所以()()2224tan 2312θ⨯-==--，故填43．点睛：三角函数的化简求值问题，可以从四个角度去分析：（1）看函数名的差异；（2）看结构的差异；（3）看角的差异；（4）看次数的差异．对应的方法是：弦切互化法、辅助角公式（或公式的逆用）、角的分拆与整合（用已知的角表示未知的角）、升幂降幂法．15.我国古代数学名著《九章算术》的论割圆术中有：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周盒体而无所失矣.”它体现了一种无限与有限的转化过程.比如在表达式11111+++中“…”既代表无限次重复，但原式却是个定值，它可以通过方程11xx+=求得x=，类似上述过程，则=__________．【解析】【分析】()0m m=>，平方可得方程23m m+=，解方程即可得到结果.()0m m=>，则两边平方得，得23m+=即23m m+=，解得：m=m=【点睛】本题考查新定义运算的问题，关键是读懂已知条件所给的方程的形式，从而可利用换元法来进行求解.16.设1F，2F分别是椭圆C：22221x ya b+=（0a b>>）的左、右焦点，直线l过1F交椭圆C于A，B两点，交y轴于E点，若满足112F E AF=，且1260EF F∠=，则椭圆C的离心率为______.【答案】13【解析】【分析】采用数形结合，计算1F E以及1AF，然后根据椭圆的定义可得2AF，并使用余弦定理以及cea=，可得结果.【详解】如图由1260EF F ∠=，所以12cos60c F E c == 由112F E AF =，所以1112AF F E c == 又122AF AF a +=，则22AF a c =- 所以222121212121cos 2AF F F AF AF F AF F F +-∠= 所以()()22222cos12022c c a c c c+--=⋅ 化简可得：()227227c a c a c c =-⇒-= 则7171c a -==+ 71- 【点睛】本题考查椭圆的定义以及余弦定理的使用，关键在于根据角度求出线段的长度，考查分析能力以及计算能力，属中档题.三．解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分17.某火锅店为了解气温对营业额的影响，随机记录了该店四月份中5天的日营业额y （单位：千元）与该地当日最低气温x （单位：C ︒）的数据，如下表： x 2 5 8 9 11（Ⅰ）求y关于x的回归方程y bx a=+；（Ⅱ）设该地区4月份最低气温()2,X Nμσ，其中μ近似为样本平均数x，2σ近似为样本方差2s，求()0.610.2P X<<.附：（1）回归方程y bx a=+中，1221ni iiniix y nx ybx nx==-⋅=-∑∑，a y bx=-；（2 3.2≈ 1.8≈；（3）若()2,X Nμσ，则()0.6827P Xμσμσ-<<+=，()220.9545P Xμσμσ-<<+=.【答案】（Ⅰ）0.5612.92y x=-+（Ⅱ）0.8186【解析】【分析】（Ⅰ）根据题意计算x、y，求出回归系数，写出回归直线方程；（Ⅱ）由题意知平均数μ和方差2σ，利用正态分布计算(0.610.2)P X<<的值．【详解】解：（Ⅰ）根据题意，计算1(258911)75x=⨯++++=，1(1210887)95y=⨯++++=，22212875790.5629557ni iiniix y nx ybx nx==--⨯⨯===--⨯-∑∑，9(0.56)712.92a y bx=-=--⨯=，y∴关于x回归直线方程为0.5612.92y x=-+；（Ⅱ）由题意知平均数7μ=，计算方差210σ=，~(7,10)X N∴，(0.610.2)(0.67)(710.2)P X P X P X∴<<=<<+<<110.95450.682722=⨯+⨯0.8186=．【点睛】本题考查了线性回归方程与正态分布的应用问题，属于中档题．18.已知等差数列{}n a 的公差0d >，其前n 项和为n S ，若36S =,且1a ，2a ，31a +成等比数列. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若2n a n n b a -=+，求数列{}n b 的前n 项和n T .【答案】（1）n a n =.（2）(1)1122n n n n T +⎛⎫=+- ⎪⎝⎭【解析】【分析】（1）根据等差数列公式得到()213212316a a a a a a ⎧⋅+=⎨++=⎩，计算得到答案. （2）12nn b n ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，利用分组求和法计算得到答案.【详解】（1）依题意，得()213212316a a a a a a ⎧⋅+=⎨++=⎩即()()2111121336a a d a d a d ⎧++=+⎪⎨+=⎪⎩，整理得220d d +-=. ∵0d >，∴1d =，11a =.∴数列{}n a 的通项公式()11n a n n =+-=即数列{}n a 的通项公式n a n =.（2）1222n na nn n b a n n --⎛⎫=+=+=+ ⎪⎝⎭， 12n n T b b b =+++211221122n n ⎛⎫⎛⎫ ⎪=+++ +++⎪⎝⎭⎝⎭， ()231111122222n n T n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++++++⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦11122(1)1212n n n ⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭+⎢⎥⎣⎦=+- 11122(1)1212n n n ⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭+⎢⎥⎣⎦=+-(1)1122n n n +⎛⎫=+- ⎪⎝⎭故(1)1122n n n n T +⎛⎫=+- ⎪⎝⎭.【点睛】本题考查了等差数列通项公式，分组求和法求前n 项和，意在考查学生对于数列公式方法的综合应用.19.如图，在平行四边形ABCD 中，2=AD AB ，60A ∠=︒，现沿对角线BD 将ABD ∆折起，使点A 到达点P ，点M ，N 分别在直线PC ，PD 上，且A ，B ，M ，N 四点共面.（1）求证：MN BD ⊥；（2）若平面PBD ⊥平面BCD ，二面角M AB D --平面角大小为30，求直线PC 与平面BMN 所成角的正弦值.【答案】（1）证明见解析；（215 【解析】【分析】（1）根据余弦定理，可得AB BD ⊥，利用AB //CD ，可得CD //平面ABMN ，然后利用线面平行的性质定理，CD //MN ，最后可得结果.（2）根据二面角M AB D --平面角大小为30，可知N 为PD 的中点，然后利用建系，计算PC 以及平面BMN 的一个法向量，利用向量的夹角公式，可得结果.【详解】（1）不妨设2AB =，则4=AD ，在ABD ∆中, 2222cos BD AB AD AB AD A =++⋅⋅， 则23BD =因为22241216AB BD AD +=+==，所以AB BD ⊥，因为AB //CD ，且A 、B 、M 、N 四点共面，所以CD //平面ABMN .又平面ABMN 平面PCD MN =，所以CD //MN .而CD BD ⊥，MN BD ⊥.（2）因为平面PBD ⊥平面BCD ，且PB BD ⊥，所以PB ⊥平面BCD ，PB AB ⊥，因为AB BD ⊥，所以AB ⊥平面PBD ，BN AB ⊥，因为BD AB ⊥，平面BMN 与平面BCD 夹角为30，所以30DBN ∠=︒，在Rt PBD ∆中，易知N 为PD 的中点，如图，建立空间直角坐标系，则()0,0,0B ，()002P ,,，()2,23,0C ， ()3,1N ，()3,1M ， ()1,0,0NM =，()0,3,1BN =，()2,23,2PC =-，设平面BMN 的一个法向量为(),,n x y z =， 则由00030x n NM n BN z =⎧⎧⋅=⎪⇒⎨⎨⋅=+=⎪⎩⎩， 令1y =，得(0,1,3n =-.设PC 与平面BMN 所成角为θ，则()15sin cos 905n PCn PC θθ⋅=︒-==⋅. 【点睛】本题考查线面平行的性质定理以及线面角，熟练掌握利用建系的方法解决几何问题，将几何问题代数化，化繁为简，属中档题.20.已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，过点F ，斜率为1的直线与抛物线C 交于点A ，B ，且8AB =．（1）求抛物线C 的方程；（2）过点Q （1，1）作直线交抛物线C 于不同于R （1，2）的两点D 、E ，若直线DR ，ER 分别交直线:22l y x =+于M ，N 两点，求|MN|取最小值时直线DE 的方程．【答案】（1）24y x =；（2）20x y +-=．【解析】【分析】（1）过点F 且斜率为1的直线方程与抛物线的方程联立，利用8AB =求得p 的值，即可求得抛物线C 的方程；（2）设D （x 1，y 1），E （x 2，y 2），直线DE 的方程为(1)1,0x m y m =-+≠，直线DR 的方程为1(1)2y k x =-+，由题意求出,M N x x 得值，建立MN 的解析式，再求出MN 的最小值以及直线DE 的方程．【详解】（1）抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为(,0)2p F ， 直线方程为：2p y x =-， 代入22(0)y px p =>中，消去y 得： 22304p x px -+=， 设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则有123x x p +=，由8AB =，得128x x p ++=，即38p p +=，解得2p =，所以抛物线C 的方程为：24y x =；（2）设D （x 1，y 1），E （x 2，y 2），直线DE 的方程为(1)1,0x m y m =-+≠，如图所示， 由2(1)14x m y y x=-+⎧⎨=⎩，消去x ，整理得：244(1)0y my m -+-=，∴12124,4(1)y y m y y m +==-，设直线DR 的方程为1(1)2y k x =-+，由()11222y k x y x ⎧=-+⎨=+⎩，解得点M 的横坐标112M k x k =-， 又k 1=1121y x --=142y +，∴x M =112k k -=-12y ， 同理点N 的横坐标22N x y =-， 1221212()4y y y y y y +--==421m m -+，∴|MN|=5|x M -x N |=5|-12y +22y |=25|2112y y y y -|=285141m m m ⋅-+-=22511m m m ⋅-+-， 令1,0m t t -=≠，则1m t =+，∴|MN|=25•221t t t++=25•211()1t t ++=25•2113()24t ++≥25•34=15， 所以当2t =-，即01x ≠时，|MN|取最小值为15，此时直线DE 的方程为20x y +-=．【点睛】本题主要考查了抛物线线的标准方程的求解、及直线与抛物线的位置关系的应用问题,解答此类题目，通常联立直线方程与抛物线方程的方程组，应用一元二次方程根与系数的关系进行求解，此类问题易错点是复杂式子的变形能力不足，导致错解，能较好的考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力、分析问题解决问题的能力等．21.已知函数21()ln ()2f x x ax x a R =-+∈，函数()23g x x =-+. （Ⅰ）判断函数1()()()2F x f x ag x =+的单调性；（Ⅱ）若21a -≤≤-时，对任意12,[1,2]x x ∈，不等式1212()()()()f x f x t g x g x -≤-恒成立，求实数t 的最小值.【答案】(1) 故函数()y F x =在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减;(2)114. 【解析】试题分析：（Ⅰ）根据题意得到()F x 的解析式和定义域，求导后根据导函数的符号判断单调性．（Ⅱ）分析题意可得()()()()2211f x tg x f x tg x +≤+对任意21a -≤≤-，1212x x ≤≤≤恒成立，构造函数()()()()21ln 1232h x f x tg x x ax t x t =+=-+-+，则有()()1120h x ax t x'=-+-≤对任意[]2,1a ∈--，[]1,2x ∈恒成立，然后通过求函数的最值可得所求．试题解析：（I ）由题意得()()()()2113ln 1222F x f x ag x x ax a x a =+=-+-+，()x 0,∈+∞， ∴()()21111ax a x F x ax a x x-+-+=-+-=' ()()11ax x x -++=. 当0a ≤时，()0F x '≥，函数()y F x =在()0,+∞上单调递增；当0a >时，令()0F x '>，解得10x a <<；令()0F x '<，解得1x a>. 故函数()y F x =在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减. 综上，当0a ≤时，函数()y F x =在()0,+∞上单调递增；当0a >时，函数()y F x =在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减. （II ）由题意知0t ≥. ()2111ax x f x ax x x-+=='+-+， 当21a -≤≤-时，函数()y f x =单调递增．不妨设1≤ 122x x ≤≤，又函数()y g x =单调递减，所以原问题等价于：当21a -≤≤-时，对任意1212x x ≤≤≤，不等式()()21f x f x -≤ ()()12t g x g x ⎡⎤-⎣⎦恒成立，即()()()()2211f x tg x f x tg x +≤+对任意21a -≤≤-，1212x x ≤≤≤恒成立.记()()()()21ln 1232h x f x tg x x ax t x t =+=-+-+， 由题意得()h x 在[]1,2上单调递减. 所以()()1120h x ax t x'=-+-≤对任意[]2,1a ∈--，[]1,2x ∈恒成立. 令()()112H a xa t x=-++-，[]2,1a ∈--， 则()()max 122120H a H x t x =-=++-≤在()0,x ∈+∞上恒成立. 故max 1212t x x ⎛⎫-≥+ ⎪⎝⎭， 而12y x x=+在[]1,2上单调递增， 所以函数12y x x =+在[]1,2上的最大值为92. 由9212t -≥，解得114t ≥. 故实数t 的最小值为114． （二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．22.在平面直角坐标系xOy 中,直线l 的参数方程为1x t y t=-+⎧⎨=-⎩（t 为参数）,以原点O 为极点,x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系,曲线C 的极坐标方程为=4cos ρθ-,直线l 与曲线C 交于A 、B 两点.（1）写出直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程；（2）若(1,0)P -,求11AP BP +值.【答案】（1）10x y ++=；22(2)4x y ++=（2）3【解析】【分析】(1)相加消去参数t 可得直线l 的普通方程,对=4cos ρθ-两边乘以ρ再根据极坐标与,x y 的关系化简可得曲线C 的直角坐标方程.(2)将直线l 写成过(1,0)P -的标准直线参数方程,再联立圆的方程化简求得关于t 的二次方程,进而根据t 的几何意义,结合韦达定理求解11AP BP+即可. 【详解】（1）因为1x t y t =-+⎧⎨=-⎩,相加可得直线的普通方程为10x y ++=,. 又=4cos ρθ-,即2224cos 40x y x ρρθ=-⇒++=,化简可得曲线C 的直角坐标方程22(2)4x y ++=. （2）直线的参数方程可化为12x y t ⎧=--⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）,代入曲线()2224x y ++=可得2214⎛⎫⎫-+= ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭,化简可得230t -=,由韦达定理有1212123,t t t t t t +==--==所以121211||||3t t AP BP t t -+== 【点睛】本题主要考查了参数方程与极坐标和直角坐标方程的互化,同时也考查了直线参数的几何意义,属于中档题. 23.已知函数()211f x x x =-++.（1）求不等式()2f x x ≤+的解集；（2）若函数()y f x =的最小值记为m ，设0a >，0b >，且有a b m +=.求1212a b +++的最小值. 【答案】（1）[]0,1（2【解析】【分析】（1）作出函数图象，数形结合即可得到答案；（2）32a b +=⇒9122a b +++=，()()112121212912a b a b a b ⎛⎫+=++++⎡⎤ ⎪⎣⎦++++⎝⎭，在乘开，利用基本不等式即可.【详解】解（1）因为()3,1,1 2112,1,213,.2x xf x x x x xx x⎧⎪-<-⎪⎪=-++=-+-≤≤⎨⎪⎪>⎪⎩从图可知满足不等式()2f x x≤+的解集为[]0,1.（2）由图可知函数()y f x=的最小值为32，即32m=.所以32a b+=，从而9122a b+++=，从而()()112121212912a ba b a b⎛⎫+=++++⎡⎤ ⎪⎣⎦++++⎝⎭()()21212222642332912912a ab ba b a b⎡⎡⎤+-⎛⎫+++=++≥+⋅=⎢⎢⎥⎪++++⎢⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎣当且仅当()21212aba b++=++，即92111492,22a b-==时，等号成立，∴1212a b+++的最小值为6429+.【点睛】本题考查解绝对值不等式以基本不等式求最值的问题，是一道中档题.。
2021届湖南长郡中学新高三原创预测试卷(二)数学
2021届湖南长郡中学新高三原创预测试卷（二）数学★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。
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4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
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一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知复数z 满足，i iiz +=++12，则复数z= A ．2+i B ．1 +2i C ．3 +i D ．3-2i 2．已知集合⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤+-=031x x xA ，{}2<=x x B ，则A∩B=A ．{}12<<-x xB ．{}23<<-x xC ．{}12≤<-x xD ．{}12≤≤-x x 3．设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，21=a ，02432=++a a a ，则5S =A ．2B ．0C ． -2D ． -4 4．若某几何体的三视图如下，则该几何体的体积为 A ．2 B ．4C ．24D ．D ．34 5．在某项测量中，测量结果ξ服从正态分布)0)(,1(2>σσN ，若ξ在（0，2）内取值的概率为0.8，则ξ在),0(+∞内取值的概率为A ．0.9B ．0.1C ．0.5D ．0.4 6．已知函数)22)(3cos()(πϕπϕ<<-+=x x f 图象关于直线185π=x 对称，则函数f （x ）在区间[0，π]上零点个数为A ．1B ．2C ．3D ．47．已知向量，是互相垂直的单位向量，向量满足1=⋅，1=⋅= A ．2 B ．5 C ．3 D ．78．已知等差数列{}n a 满足：82521=+a a ，则21a a +的最大值为A ．2 C ．4B ．3 D ．5 9．已知直线21-=x y PQ ：与y 轴交于P 点，与曲线)0(:2≥=y x y C 交于M Q ，成为线段PQ 上一点，过M 作直线t x =交C 于点N ，则△MNP 面积取到最大值时，t 的值为 A ．161 B ．41 C ．1 D ．45 10．已知函数)(1)(1R a eax ex f x ∈--=-的图象与x 轴有唯一的公共点，则实数a 的取值范围为A ．{}0≤a a B ．⎭⎬⎫⎩⎨⎧=≤e a a a 10，或C ．{}e a a a =≤，或0D ．{}10=≤a a a ，或11．已知A ，B 分别为双曲线1322=-Γy x ：实轴的左右两个端点，过双曲线Γ的左焦点F 作直线PQ 交双曲线于P ，Q 两点（点P ，Q 异于A ，B ） ，则直线AP ，BQ 的斜率之比BQ AP k k := A ．31-B ．3-C ．32-D ．23- 12．在四棱锥ABCD P -中，2=PA ，7===PD PC PB ，7==AD AB ，2==CD BC ，则四棱锥ABCD P -的体积为A ．32B ．3C ．5D ．3二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分 13．函数ln 1xy x =+在点P （1，0）处的切线方程为 ． 14．一种药在病人血液中的量保持1500 mg 以上才有疗效；而低于500 mg 病人就有危险。
湖南省长沙市长郡中学2021年高考复习数学模拟试卷(选修4-5)
푎
푏
푐
푑
【解答】解：푎 + 푏 + 푐 + 푏 + 푐 + 푑 + 푐 + 푑 + 푎 + 푑 + 푎 + 푏＞
푎
푏
푐
푑
푎+푏+푐+푑+푏+푐+푑+푎+푐+푑+푎+푏+ 푑+푎+푏+푐
푎+푏+푐+푑 = 푎+푏+푐+푑=1
푎
푎
푐
푐
即 S＞1，푎 + 푏 + 푐＜푎 + 푐，푐 + 푑 + 푎＜푎 + 푐，
푏
푏
푑
푑
푏 + 푐 + 푑＜푏 + 푑，푑 + 푎 + 푏＜푑 + 푏
푎
푐
푐
푎
得푎 + 푏 + 푐 + 푐 + 푑 + 푎＜푎 + 푐 + 푎 + 푐 = 1，
푏
+
푏 푐
+
푑
+
푑
+
푑 푎
+
푏＜푑
푑 +
푏
+
푏
푏 +
푑
=
1
푎
푏
푐
푑
即푎 + 푏 + 푐 + 푏 + 푐 + 푑 + 푐 + 푑 + 푎 + 푑 + 푎 + 푏＜2，
2021届湖南长郡中学新高考模拟考试(八)数学(理)试题
2021届湖南长郡中学新高考模拟考试（八）理科数学★祝你考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考考查范围。
2、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
3、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
4、主观题的作答：用0.5毫米黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非主观题答题区域的答案一律无效。
5、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。
答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。
6、保持卡面清洁，不折叠，不破损。
7、本科目考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
第I 卷 选择题一、选择题：本题共12小题，在每小题给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.已知集合A 为自然数集N ，集合{}23,B x x x =<∈Z ，则( ) A. {}1A B ⋂= B. {}0,1AB =C. A B B ⋃=D. A B A ⋃=【答案】B 【解析】 【分析】解一元二次不等式化简集合B ，再利用交集定义，即可得到答案； 【详解】集合A 为自然数集N ，集合2{|3B x x =<，}x Z ∈，{0A ∴=，1，2，3，}⋯，{}1,0,1B =-， {0A B ∴=，1}．故选：B ．【点睛】本题考查交集的求法，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 2.已知复数z 满足(34)12i z i -=-（i 是虚数单位），则其共轭复数在复平面位于（ ） A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】C 【解析】 【分析】先求出z ，再求出其共轭复数，而后根据复数的几何意义作出判断即可. 【详解】(34)12i z i -=-，∴12(12)(34)34682134(34)(34)91655i i i i i z i i i i --+++-====-+--+--， 其共轭复数为：2155z i =--，在复平面内对应点的坐标为21(,)55--，在第三象限. 故选：C.【点睛】本题考查复数的几何意义，考查共轭复数，考查对基础知识的理解和掌握，属于基础题. 3.已知平面向量()a 1,2=, ()b 2,m =-, 且a //b , 则b = ( )A.B.C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据向量//a b ，列出方程求得m 的值，得到向量b 的坐标，再由模的计算公式，即可求解． 【详解】由题意，向量//a b ，则122m=-，解得4m =-，即(2,4)b =--，所以2(2)b =-=D ．【点睛】本题主要考查了平面向量的运算及向量的模的计算问题，其中熟记向量共线的条件和向量的 模的计算公式是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．4.《九章算术》中有一题：今有牛、马、羊食人苗，苗主责之粟五斗，羊主曰：“我羊食半马”，马主曰：“我马食半牛”，今欲衰偿之，问各处儿何？其意思是：今有牛、马、羊吃了别人的禾苗，禾苗主人要求赔偿五斗粟，羊主人说：“我羊所吃的禾苗只有马的一半”马主人说：“我马所吃的禾苗只有牛一半”．若按此比例偿还，牛、马、羊的主人各应赔偿多少粟？在这个问题中，牛主人比羊主人多赔偿（ ） A.507斗粟 B.107斗粟 C.207斗粟 D.157斗粟 【答案】D 【解析】 【分析】先确定羊、马、牛的主人应赔偿的比例，再根据比例分别计算各个主人应赔偿的斗数即可求解.【详解】羊、马、牛的主任所应赔偿的比例是1:2:4，故牛主人比羊主人多赔偿了15577417⎛⎫-⨯= ⎪⎝⎭斗.故选：D.【点睛】本题为一道数学文化题，考查阅读理解能力，考查划归于转化思想，此类题型在近几年中经常出现..5.两个实习生每人加工一个零件.加工为一等品的概率分别为56和34，两个零件是否加工为一等品相互独立，则这两个零件中恰有一个一等品的概率为( ) A.12B.13C.512D.16【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，分析可得，这两个零件中恰有一个一等品包含仅第一个实习生加工一等品与仅第二个实习生加工一等品两种互斥的事件，而两个零件是否加工为一等品相互独立，进而由互斥事件与独立事件的概率计算可得答案．【详解】记两个零件中恰好有一个一等品的事件为A ， 即仅第一个实习生加工一等品为事件1A ， 仅第二个实习生加工一等品为事件2A 两种情况， 则()()()125113164643P A P A P A =+=⨯+⨯=， 故选：B ．【点睛】本题考查了相互独立事件同时发生的概率与互斥事件的概率加法公式，解题前，注意区分事件之间的相互关系，属于基础题.6.已知()()()sin 0,0,f x A x A ωϕωϕπ=+>><，其部分图象如图所示，则()f x 的解析式为（ ）A. ()13sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭B. ()153sin 26x x f π⎛⎫=-⎪⎝⎭C. ()153sin 26x x f π⎛⎫=+⎪⎝⎭D. ()13sin 26f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭【答案】D 【解析】 【分析】根据图像可得函数周期，最值，则可得,A ω，再根据五点作图法求得ϕ即可. 【详解】由图可知24T ππω==，解得12ω=； 又因为()3max f x =，故可得3A =； 由五点作图法可知1023πϕ⨯+=，解得6πϕ=-， 故()13sin 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭.故选：D.【点睛】本题考查由正弦型函数的图像求解函数解析式，属基础题.7.某天的值日工作由4名同学负责，且其中1人负责清理讲台，另1人负责扫地，其余2人负责拖地，则不同的分工共有（ ） A. 6种 B. 12种 C. 18种 D. 24种【答案】B 【解析】方法数有1134C C 12=种.故选B.8.已知函数y =f （x ），若对其定义域内任意x 1和x 2均有1212()()22x x f x f x f ++⎛⎫>⎪⎝⎭，则称函数()f x 为“凸函数”；若均有1212()()22x x f x f x f ++⎛⎫<⎪⎝⎭，则称f （x ）函数为“凹函数”.下列函数中是“凹函数”的是( ) A. 13y x = B. 2yx C. 2log y x =D. 231x y x +=- 【答案】B 【解析】【分析】根据“凹函数”的定义及选项逐个进行判定，可利用特殊值简化判断过程. 【详解】对于A ，因为()()1311,22201012f f f +⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎭+⎝，131122⎛⎫> ⎪⎝⎭，所以不符合“凹函数”的定义；对于B ，任意12,x x R ∈，()1212242x x f x x +⎛⎫= ⎪⎭+⎝，()()22121222f x f x x x ++=， 因为()()2222221212121212202444x x x x x x x x x x +-++--==>，所以1212()()22x x f x f x f ++⎛⎫<⎪⎝⎭，符合“凹函数”的定义； 对于C ，因为()()231log ,22212122f f f +⎛⎫==⎪+⎝⎭，231log 22>，所以不符合“凹函数”的定义； 对于D ，因为()()3122403032f f f +⎛⎫=>⎪⎭+= ⎝，所以不符合“凹函数”的定义； 故选：B.【点睛】本题主要考查函数性质的新定义，准确理解定义是求解的关键，侧重考查数学抽象的核心素养. 9.设π()3sin 112f x x ω⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，若f （x ）在ππ,36⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上为增函数，则ω的取值范围是( ) A. 57,122⎡⎤⎢⎥⎣⎦B. 57,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦C. 70,4⎛⎤ ⎥⎝⎦D. 50,4⎛⎤ ⎥⎝⎦【答案】D 【解析】 【分析】由题意利用正弦函数的单调增区间，可得[12312x πωππω-∈--，]612ωππ-，故有31226122ωπππωπππ⎧---⎪⎪⎨⎪-⎪⎩，由此求得ω的取值范围． 【详解】设()3sin()112f x x πω=-+，在[,]36ππ-上，[12312x πωππω-∈--，]612ωππ-，由于()f x 为增函数，∴31226122ωπππωπππ⎧---⎪⎪⎨⎪-⎪⎩，即5472ωω⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩， 求得504ω<， 故选：D ．【点睛】本题考查正弦函数的图象与性质，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力．10.如图是一个几何体的三视图，则该几何体的外接球的表面积为（ ）A. 4πB. 6πC. 8πD. 2π【答案】C 【解析】 【分析】由题意判断几何体的形状，几何体扩展为长方体，求出外接球的半径，即可求出外接球的表面积 2，高为2的长方体 该长方体的外接球和几何体的外接球为同一个 故22222(2)(2)22R ++=2R =所以外接球的表面积为：248R ππ=． 故选：C【点睛】本题考查球的表面积的求法，几何体的三视图与直观图的应用，考查空间想象能力，计算能力，属于中档题.11.若双曲线C:22221x y a b-=（0a >，0b >）的一条渐近线被圆()2224x y -+=所截得的弦长为2，则C 的离心率为 （ ） A. 2 32D.33【答案】A 【解析】由几何关系可得，双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的渐近线方程为0bx ay ±=，圆心()2,0到渐近线距离为22213d -=()2,0到直线0bx ay +=的距离为222023b a bd ca b +⨯===+ 即2224()3c a c -=，整理可得224c a =，双曲线的离心率2242c e a===．故选A ．点睛:双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质，求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出a ，c ，代入公式ce a=；②只需要根据一个条件得到关于a ，b ，c 的齐次式，结合b 2＝c 2－a 2转化为a ，c 的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a 或a 2转化为关于e 的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e (e 的取值范围)．12.已知函数y=f （x ）的图象与函数y=a x （a ＞0且a≠1）的图象关于直线y=x 对称，记g （x ）=f （x ）[f（x ）+f （2）-1]．若y=g （x ）在区间122⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上是增函数，则实数a 的取值范围是（ ） A. [)2,∞+B. ()()0,11,2⋃C. 1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭D. 10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦【答案】D 【解析】 【分析】先表述出函数()f x 的解析式然后代入将函数()g x 表述出来，然后对底数a 进行讨论即可得到答案． 【详解】已知函数()y f x =的图象与函数(0,1)x y a a a =>≠的图象关于直线y x =对称， 则()log a f x x =，记()()()2[(2)1](log )(log 21)log a a a g x f x f x f x x =+-=+-．当1a >时，若()y g x =在区间1[,2]2上是增函数，log a y x =为增函数，令log a t x =，t∈1[log ,log 2]2aa ，要求对称轴log 211log 22a a --≤，无解； 当01a <<时，若()y g x =在区间1[,2]2上是增函数，log a y x =为减函数，令log a t x =，t∈1[log 2,log ]2a a ，要求对称轴log 211log 22a a --≥， 解得12a ≤，所以实数a 的取值范围是1(0,]2，故选D ．【点睛】本题主要考查指数函数与对数函数互为反函数．这里注意指数函数和对数函数的增减性与底数的大小有关，即当底数大于1时单调递增，当底数大于0小于1时单调递减．第II 卷 非选择题二、填空题：13.若x ，y 满足约束条件2020x x y x y ≥-⎧⎪+≥⎨⎪-+≤⎩则2z x y =-的最大值为______．【答案】3- 【解析】【详解】分析：画出约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案．详解：由x ，y 满足约束条件2,0,20,x x y x y ≥-⎧⎪+≥⎨⎪-+≤⎩作出可行域如图，化目标函数z=x ﹣2y 为y=12x ﹣2z ， 由图可知，当直线y=12x ﹣2z 过点A （﹣1，1）时，直线在y 轴上的截距最小，z 有最大值为﹣3．故答案为﹣3点睛：本题考查简单的线性规划，意在考查学生线性规划基础知识的掌握能力和数形结合的解题思想方法. 14.()()52x y x y +-的展开式中33x y 的系数为________.（用数字填写答案） 【答案】40 【解析】 【分析】由二项式定理及分类讨论思想得：5(2)x y -的展开式的通项为515(2)()r rr r T C x y -+=-，则5()(2)x y x y +-的展开式中33x y 的系数为352C -2235240C +=，得解． 【详解】由5(2)x y -的展开式的通项为515(2)()r rr r T C x y -+=-，0,1,,5r =,则5()(2)x y x y +-的展开式中33x y 的系数为352C -2235240C +=， 故答案为：40．【点睛】本题考查二项式定理的运用、求指定项的系数，考查逻辑推理能力、运算求解能力.15.过抛物线28y x =的焦点的一条直线交抛物线与,A B 两点，正三角形ABC 的顶点C 在直线2x =-上，则ABC ∆的边长是______. 【答案】24 【解析】 【分析】由抛物线的方程与几何性质，利用ABC 是正三角形，求出直线AB 的斜率和方程，再与抛物线方程联立，求得弦长|AB |的值.【详解】解：抛物线方程为28y x =，焦点为()2,0P ，准线方程为:2l x =-，如图所示，由ABC 是正三角形，设M 为AB 的中点，11,,AA l BB l MN l ⊥⊥⊥，垂足分别为11,A B 和N ， 则()11111()222MN BB A AA F BF AB =+=+=，3MC AB =， 又3cos sin sin CMN NMF AFx ∠==∠=∠， ∴直线AB 的斜率为2323tan 2313k AFx =∠==⎛⎫- ⎪⎝⎭，AB 直线方程为22)2y x =-； 由222)8y x y x ⎧=-⎪⎨⎪=⎩，消去y ，得22040x x -+=， 1220x x ∴+=，12||20424AB x x p ∴=++=+=.故答案为：24.【点睛】本题考查了直线与抛物线方程的应用问题，也考查了弦长公式，是中档题.16.若函数2e ,?0()e 1,?0x m x f x x x ⎧+>=⎨-≤⎩的图象上存在关于原点对称的相异两点，则实数m 的最大值是_______.【答案】2e 1+ 【解析】 【分析】由题意题目可转化方程2e 1e x x m +=+有两个不等的正根，得2e 1e x m x =+-，令()2()e 1e 0x g x x x =+->，利用导数研究函数的单调性与最值，由此可得出答案．【详解】解：∵点(),x y 关于原点对称的点为(),x y --，∴题目可转化为函数()22e 1e 1y x x ⎡⎤=-⋅--=+⎣⎦与e xy m =+图像在第一象限内有两个交点，即方程2e 1e x x m +=+有两个不等的正根，得2e 1e x m x =+-， 令()2()e 1e0xg x x x =+->，则2()e e x g x '=-，由()0g x '>得02x <<，由()0g x '<得2x >，∴函数()g x 在()0,2上单调递增，在()2,+∞上单调递减， ∴2()(2)e 1g x g ≤=+， ∴2e 1m ≤+， 故答案为：2e 1+．【点睛】本题主要考查函数与方程的应用，考查利用导数研究函数的单调性与最值，考查转化与化归思想，属于中档题．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
2021届湖南长郡中学新高考原创预测试卷(十四)数学
2021届湖南长郡中学新高考原创预测试卷（十四）数学★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。
2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。
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4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
6、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。
如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
7、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。
答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。
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9、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
第Ⅰ卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}2=|20M x x -<，{}2,1,0,1,2N =--，则MN =（ ）A. ∅B. {}1C. {}0,1D. {}1,0,1-【答案】B 【解析】 【分析】化简集合M ，按交集定义，即可求解.【详解】由220x x -<，得()0,2x ∈，所以{}1M N ⋂=，故选：B ．【点睛】本题考查集合间的运算，属于基础题. 2.已知i 为虚数单位，复数12iz i i +=--，则z =（ ）. A.1255i - B. 2155i - C. 1255i +D.2551i + 【答案】C 【解析】 【分析】先根据复数的除法计算出z ，然后根据复数的共轭复数的概念直接写出z . 【详解】因为()()()()1211312222555i i ii z i i i i i i i ++++=-=-=-=---+， 所以1255z i =+. 故选：C.【点睛】本题考查复数的除法运算以及共轭复数的求法，难度较易.互为共轭复数的两个复数实部相同虚部互为相反数.3.设x ∈R ，则“20x x ->”是“12x -<”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 充要条件C. 必要不充分条件D. 既不充分又不必要条件【答案】A 【解析】 【分析】根据20x x ->、12x -<中x 范围的互相推出情况，确定出20x x ->是12x -<的何种条件.【详解】因为20x x ->，所以()10x x -<，所以01x <<， 因为12x -<，所以212x -<-<，所以13x，根据小范围推出大范围可知：01x <<能推出13x ，但13x 不能推出01x <<，所以20x x ->是12x -<的充分不必要条件. 故选：A.【点睛】本题考查一元二次不等式和绝对值不等式的求解以及充分、必要条件的判断，难度较易.注意小范围推出大范围的情况.4.已知向量()()(),1,21,30,0m a n b a b =-=->>，若//m n ，则21a b+的最小值为（ ）. A. 12B. 8+C. 16D.10+【答案】B 【解析】 【分析】根据向量的平行关系，得到,a b 间的等量关系，再根据“1”的妙用结合基本不等式即可求解出21a b+的最小值. 【详解】因为//m n ，所以3210a b +-=，所以321a b +=， 又因为()21213432888a b a b a b a b b a ⎛⎫+=++=++≥+=+ ⎪⎝⎭取等号时34321a b b a a b ⎧=⎪⎨⎪+=⎩即14a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以min218a b ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭故选：B .【点睛】本题考查利用基本不等式求解最小值，难度一般.本题是基本不等式中的常见类型问题：已知()1,,,0ma nb m n a b +=>，则()p q p q mqa npb ma nb mp nq a b a b b a ⎛⎫+=++=+++≥ ⎪⎝⎭),0mp nq mp nq p q ++=++>，取等号时22mqa npb =. 5.将函数()sin 2f x x =的图象向右平移6π个单位长度后得到函数()g x 的图象，则下列说法正确的是（ ） A. 1()22g π=B. ()g x 的最小正周期是4πC. ()g x 在区间[0，]3π上单调递增D. ()g x 在区间[3π，5]6π上单调递减 【答案】C 【解析】 【分析】根据函数的平移变换求出()g x 的解析式，再一一对照选项验证是否成立. 【详解】函数()sin 2f x x =的图象向右平移6π个单位长度得：()sin(2)3g x x π=-.对A ，sin()3()2g πππ-==，故A 错误； 对B ，最小正周期为π，故B 错误；对C ，当023333x x ππππ<-<-<⇒<，因为(,)33ππ-是(,)22ππ-的子区间，故C 正确；对D ，当54263333x x πππππ<<<⇒-<，4(,)33ππ不是3(,)22ππ的子区间，故D 错误； 故选：C.【点睛】本题考查三角函数的平移变换及三角函数的图象与性质，考查数形结合思想和运算求解能力.6.等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，公比为q ，若639S S =，562S =，则1a =（ ）B. 2D. 3【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，分析可得等比数列{}n a 的公比1q ≠±，进而由等比数列的通项公式可得()()631111911a q a q qq--=⨯--，解可得2q，又由()5151131621a q S aq-===-，解可得1a 的值，即可得答案．【详解】根据题意，等比数列{}n a 中，若639S S =，则1q ≠±，若639S S =，则()()631111911a q a q qq--=⨯--，解可得38q =，则2q ，又由562S =，则有()5151131621a q S aq-===-，解可得12a =；故选B ．【点睛】本题考查等比数列的前n 项和公式的应用，关键是掌握等比数列的前n 项和的性质． 7.已知三棱锥D ABC -的所有顶点都在球O 的球面上，2AB BC ==，22AC =，若三棱锥D ABC -体积的最大值为2，则球O 的表面积为( ) A. 8π B. 9πC.25π3D.1219π【答案】D 【解析】分析：根据棱锥的最大高度和勾股定理计算球的半径，从而得出外接球的表面积． 详解：因为2,22AB BC AC ===，所以AB BC ⊥，过AC 的中点M 作平面ABC 的垂下MN ，则球心O 在MN 上， 设OM h =，球的半径为R ，则棱锥的高的最大值为R h +，因为1122()232D ABC V R h -=⨯⨯⨯⨯+=，所以3R h +=， 由勾股定理得22(3)2R R =-+，解得116R =，所以球的表面积为1211214369S ππ=⨯=，故选D ．点睛：本题考查了有关球的组合体问题，以及三棱锥的体积的求法，解答时要认真审题，注意球的性质的合理运用，求解球的组合体问题常用方法有（1）三条棱两两互相垂直时，可恢复为长方体，利用长方体的体对角线为外接球的直径，求出球的半径；（2）利用球的截面的性质，根据勾股定理列出方程求解球的半径．8.已知函数())ln f x x =，设()3log 0.2a f =，()0.23b f -=，()1.13c f =-，则（ ） A. a b c >>B. b a c >>C. c b a >>D.c a b >>【答案】D 【解析】∵())lnf x x =∴()ln()f x x ==∴())f x x -=∵当0x >1x >；当0x <时，01x <<∴当0x >时，())))f x x x x ==-=，())f x x -=；当0x <时()))f x x x ==；()))f x x x -=-=.∴()()f x f x =- ∴函数()f x 是偶函数∴当0x >时，易得())f x x =为增函数∴33(log 0.2)(log 5)a f f ==， 1.1 1.1(3)(3)c f f =-=∵31log 52<<，0.2031-<<， 1.133>∴ 1.10.23(3)(log 5)(3)f f f ->>∴c a b >> 故选D.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.9.下列说法正确的是（ ） A. 方程12yx =-表示一条直线 B. 到x 轴的距离为2的点的轨迹方程为2y =C. 方程()()2222140x y -+-=表示四个点D. a b >是22ac bc >的必要不充分条件 【答案】CD 【解析】 【分析】A ．根据特殊点进行分析并判断对错；B ．注意多解的情况并判断对错；C ．根据平方和为零的特殊性进行分析并判断对错；D ．根据不等式互相推出的情况判断对错. 【详解】A ．因为12yx =-，所以()202x y x --=≠，表示直线20x y --=去掉点()2,0，故错误；B ．根据题意可知，满足要求的的轨迹方程为2y =±，故错误；C ．因()()2222140x y -+-=，所以2214x y ⎧=⎨=⎩，解得12x y =⎧⎨=⎩或12x y =⎧⎨=-⎩或12x y =-⎧⎨=⎩或12x y =-⎧⎨=-⎩，表示四个点，故正确； D ．因为0c时，22a b ac bc >⇒=，所以充分性不满足，又因为22ac bc >时，根据不等式性质可知a b >，所以必要性满足，所以a b >是22ac bc >的必要不充分条件，故正确. 故选：CD.【点睛】本题考查曲线与方程以及充分、必要条件的判断，属于综合题型，难度一般.（1）判断曲线所表示的方程时，注意分析一些特殊点或者特殊取值；（2）充分、必要条件的判断，根据互相推出的情况即可判断.10.已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为12,F F ，P 为双曲线上一点，且122PF PF =，若12sin F PF ∠= ）A. 6e= B. 2e= C. 5b a=D. 3b a=【答案】ABCD【解析】【分析】根据1215sin4F PF∠=对12F PF∠分类讨论，利用双曲线的定义以及122PF PF=，再结合12F PF∠对应的余弦定理，即可计算出离心率的值，从而可求,a b的关系.【详解】若12F PF∠为锐角时，12215114os4c F PF⎛⎫=-=⎪⎪⎝⎭∠，如图所示，因为122PF PF=，122PF PF a-=，所以124,2PF a PF a==，所以222222121221212cos164412164PF PF F F a a cPF FPFPF a+-+-===⋅∠，所以224c a=，所以2c a=，所以2e=，所以2224a b a+=，3b a=，故BD正确；若12F PF∠为钝角时，12215114os4c F PF⎛⎫=--=-⎪⎪⎝⎭∠，如图所示，因为122PF PF=，122PF PF a-=，所以124,2PF a PF a==，所以222222121221212cos 164412164PF PF F F a a c PF F P PF F a +-+-===-⋅∠， 所以226c a =，所以6c a =，所以6e =，所以2226a b a +=，5b a =，故AC 正确. 故选：ABCD.【点睛】本题考查双曲线性质的综合应用，着重考查了离心率以及根据离心率求等量关系，强调了分类讨论的思想，难度一般.双曲线中的焦点三角形要注意利用定义以及顶角的余弦定理进行问题分析.11.如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，动点E 在线段11A C 上，F 、M 分别是AD 、CD 的中点，则下列结论中正确的是（ ）A. 11//FM ACB. BM ⊥平面1CC FC. 存在点E ，使得平面//BEF 平面11CC D DD. 三棱锥B CEF -的体积为定值【答案】ABD 【解析】 【分析】对A,根据中位线的性质判定即可.对B,利用平面几何方法证明BM CF ⊥再证明BM ⊥平面1CC F 即可. 对C,根据BF 与平面11CC D D 有交点判定即可.对D,根据三棱锥B CEF -以BCF 为底,且同底高不变,故体积不变判定即可. 【详解】在A 中,因为,F M 分别是,AD CD 的中点,所以11////FM AC AC ,故A 正确;在B 中,因为tan 2BC BMC CM ∠==,tan 2CDCFD FD∠==,故BMC CFD ∠=∠, 故2BMC DCF CFD DCF π∠+∠=∠+∠=.故BM CF ⊥,又有1BM C C ⊥,所以BM ⊥平面1CC F ,故B 正确；在C 中,BF 与平面11CC D D 有交点,所以不存在点E ,使得平面//BEF 平面11CC D D ,故C 错误.在D 中,三棱锥B CEF -以面BCF 为底,则高是定值,所以三棱锥B CEF -的体积为定值,故D 正确. 故选：ABD.【点睛】本题主要考查了线面垂直平行的证明与判定,同时也考查了锥体体积等问题.属于中档题.12.在数学中，布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理，它可应用到有限维空间，并构成一般不动点定理的基石.布劳威尔不动点定理得名于荷兰数学家鲁伊兹·布劳威尔（L .E . J . Brouwer ），简单的讲就是对于满足一定条件的连续函数()f x ，存在一个点0x ，使得()00f x x =，那么我们称该函数为“不动点”函数，下列为“不动点”函数的是（ ） A. ()2xf x x =+B. ()23g x x x =--C. ()221,12,1x x f x x x ⎧-≤⎪=⎨->⎪⎩D. ()1f x x x=- 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据已知定义，将问题转化为方程()f x x =有解，然后逐项进行求解并判断即可. 【详解】根据定义可知：若()f x 有不动点，则()f x x =有解.A ．令2x x x +=，所以20x =，此时无解，故()f x 不是“不动点”函数；B ．令23x x x --=，所以3x =或1x =-，所以()f x 是“不动点”函数；C ．当1x ≤时，令221x x -=，所以12x =-或1x =，所以()f x 是“不动点”函数；D ．令1x x x -=，所以x =，所以()f x 是“不动点”函数. 故选：BCD.【点睛】本题考查新定义的函数问题，难度较难.解答本题的关键是能通过定义将问题转化为方程是否有解的问题，对于转化能力要求较高.第Ⅱ卷三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.7人并排站成一行，如果甲乙两人不相邻，那么不同的排法种数是____________（用数字作答）. 【答案】3600 【解析】 【分析】采用插空法，先排列除甲乙以外的5个人，然后将甲乙两人插入到5个人形成的6个空位中，根据排列数计算种数即可.【详解】第一步：先排列除甲乙以外的5个人，方法数为55120A =，第二步：将甲乙插入到5个人形成的6个空位中，方法数为2630A =，所以总的排法种数为：52563600A A ⨯=.故答案为：3600.【点睛】本题考查排列的简单应用，难度一般.求解排列组合的相关问题时，可根据分步或分类计数原理完成进行分析计算.14.已知等差数列{}n a 的首项及公差均为正数，令)*,2020n b n n =∈<N ，当k b 是数列{}n b 的最大项时，k = __________. 【答案】1010 【解析】 【分析】设x=，y= ，根据基本不等式()222222222()22x y x y xy x y x y x y +=++≤+++=+和等差数列的性质202010102n n a a a -=+得()()222020101010102224n n n b a a a a -=≤+==，由此可得解.x =，y = ，根据基本不等式()222222222()22x y x y xy x y x y x y +=++≤+++=+，又由等差数列{}n a 的首项及公差均为正数，得202010102n n a a a -=+，所以()()222020101010102224n n n b a a a a -=≤+==，当且仅当2020n n a a -=时，n b 取得最大值，此时1010n =，所以1010k =， 故答案为1010.【点睛】本题考查等差数列的基本性质和 基本不等式及其应用，关键在于运用换元法，简化已知式与基本不等式建立联系，属于中档题. 15.过点()2,1N -作抛物线21:4C y x =的两条切线，切点分别为A 、B ，则该抛物线C 的焦点坐标为：_______________，AB 所在的直线方程为_______________. 【答案】 (1). ()0,1 (2). 10x y -+= 【解析】 【分析】将抛物线方程化为标准形式即可计算出焦点坐标；设出切点坐标，利用导数以及切线方程得到交点N 的坐标与切点坐标的关系，化简直线AB 的方程即可得到结果.【详解】因为抛物线C 的方程：22x py =，所以2p =，所以焦点坐标为()0,1；设221212,,,44x x A x B x ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，2x y '=， 所以A 处切线方程()211124x x y x x =-+，B 处切线方程()222224x x y x x =-+，所以()()211122222424x x y x x x x y x x ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩，解得121224x x x x x y +⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以12122214x x x x +⎧=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，所以121244x x x x +=⎧⎨=-⎩，又因为AB 的方程为()222121121444x x x y x x x x -=-+-，即211244x x x x y x +=-， 所以AB 的方程为1y x =+，即10x y -+=. 故答案为：()0,1；10x y -+=.【点睛】对于焦点在y 轴的标准形式的抛物线，其也是函数，涉及到切线问题时可以利用导数的几何意义进行相关分析.16.函数()21,1,{ln ,1,x x f x x x -≤=>若方程()12f x mx =-恰有四个不相等的实数根，则实数m 的取值范围是__________． 【答案】1,2⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭e 【解析】作出函数()21,1,,1,x x f x lnx x ⎧-≤=⎨>⎩与函数()12f x mx =-的图象，如图所示：由题意,直线()12f x mx =-过(1,0)时,12k =， x >1时,()()1,'f x lnx f x x==，直线与y =ln x 相切时,设切点坐标为(a ,ln a ), 则切线方程为()1y lna x a a -=-,即11y x lna a=-+，令112lna -+=-,则a =1k a ==， ∴函数()21,1,,1,x x f x lnx x ⎧-≤=⎨>⎩若方程()12f x mx =-恰有四个不相等的实数根，实数m 的取值范围是12⎛ ⎝⎭.点睛：已知函数有零点求参数常用的方法和思路：（1）直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围； （2）分离参数法：先将参数分离，转化成函数的值域问题解决；数形结合法：先对解析式变形，在同一个平面直角坐标系中，画出函数的图像，然后数形结合求解.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.已知△ABC 的内角A ，B ，C 满足sin sin sin sin sin sin sin sin A B C BC A B C-+=+-．（1）求角A ；（2）若△ABC 的外接圆半径为1，求△ABC 的面积S 的最大值． 【答案】（1）3A π= ; （2）4. 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理将角化为边可得222a b c bc =+-，再由余弦定理即可得A ；（2）由正弦定理2aR sinA=，可得a ，由基本不等式利用余弦定理可得222b c bc bc bc bc +-≥-=，从而由12S bscinA =可得解.【详解】（1）设内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．根据sin sin sin sin sin sin sin sin A B C BC A B C-+=+-，可得222a b c ba b c bc c a b c-+=⇒=+-+-， 所以2221cos 222b c a bc A bc bc +-===，又因为0A π<<，所以3A π=．（2）22sin 2sin sin 3a R a R A A π=⇒===所以2232b c bc bc bc bc =+-≥-=，所以11sin 322S bc A =≤⨯=b c =时取等号）．【点睛】本题主要考查了正余弦定理及三角形的面积公式的应用，涉及基本不等式求最值，属于基础题.18.已知数列{}n a 的各项均为正数，对任意的*n N ∈，它的前n 项和n S 满足2111623n n n S a a =++，并且249,,a a a 成等比数列.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设11(1)n n n n b a a ++=-⋅，n T 为数列{}n b 的前n 项和，求2n T . 【答案】（1）*32,n a n n N =-∈；（2）2186n n --【解析】 【分析】（1）根据已知等式再写出一个关于1n S -的等式，两式作差得到{}n a 的通项公式，并根据已知条件对通项公式进行取舍；（2）写出2n T 的表达式，将其化简，并根据等差数列的求和公式完成求解即可. 【详解】解（1）∵对任意*n N ∈，有2111623n n n S a a =++① ∴当1a =时，有21111111623S a a a ==++，解得11a =或2. 当2n ≥时，有2111111623n n n S a a ---=++②①②并整理得()()1130n n n n a a a a --+--=. 而数列{}n a 的各项均为正数，∴13n n a a --=.当11a =时，13(1)32n a n n =+-=-，此时2429a a a =成立；当12a =时，23(1)31n a n n =+-=-，此时2429a a a =，不成立，舍去.∴*32,n a n n N =-∈.（2）212212233445221n n n n T b b b a a a a a a a a a a +=+++=-+-+⋯-.()()()21343522121242666n n n n a a a a a a a a a a a a -+=-+-+⋯+-=---⋯-()2426n a a a =-++⋯+2(462)61862n n n n +-=-⨯=--【点睛】本题考查利用递推关系求解通项公式、等比数列概念理解、公式法求和，属于综合问题，难度一般.注意利用()12n n n a S S n -=-≥求解通项公式. 19.如图，三棱锥P ABC -中，PC ⊥平面ABC ，3PC =，2ACB π∠=．,D E 分别为线段,AB BC 上的点，且2,22CD DE CE EB ====．(1)证明：DE ⊥平面PCD ； (2)求二面角A PD C --的余弦值． 【答案】（1）见解析；（23【解析】【详解】试题分析：（1）要证线面垂直，就是要证线线垂直，题中由PC ⊥平面ABC ，可知PC DE ⊥，再分析已知由2,2DC DE CE ===得CD DE ⊥，这样与DE 垂直的两条直线都已找到，从而可得线面垂直；（2）求二面角的大小，可心根据定义作出二面角的平面角，求出这个平面角的大小，本题中，由于2ACB π∠=，PC ⊥平面ABC ，因此,,CA CB CP 两两垂直，可以他们为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，写出图中各点的坐标，求出平面APD 和平面CPD 的法向量12,n n ，向量12,n n 的夹角与二面角相等或互补，由此可得结论． 试题解析：（1）证明：由PC ⊥平面ABC ，DE ⊂平面ＡＢＣ，故PC ⊥DE由CE ＝２，CD=DE＝２得∆ＣＤＥ为等腰直角三角形，故CD ⊥DE 由PC CD=C ，DE 垂直于平面PCD 内两条相交直线，故DE ⊥平面PCD （2）解：由（１）知，∆CDE 为等腰直角三角形，∠DCE ＝4,π，如（１９）图，过点Ｄ作DF 垂直CE 于Ｆ，易知DF ＝FC ＝EF ＝１，又已知EB ＝１，故FB ＝２． 由∠ACB ＝2,π得DF //AC ，23DF FB AC BC ==，故AC ＝32DF ＝32． 以Ｃ为坐标原点，分别以,CA CB CP ， 的方程为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系，则Ｃ（0,0,0,），Ｐ（0,0,3），Ａ（32,0,0）,Ｅ（0,2,0），Ｄ（1,1,0），(1,1,0),ED =- (1,1,3)(,1,0)DP DA １，２=--=-设平面PAD 的法向量111,,)n x y z １＝（， 由0n DP ⋅=１，0n DA ⋅=１，得11111130{(2,1,10+)12x y z n x y 故可取--==-=.由（1）可知DE ⊥平面PCD ，故平面PCD 的法向量2n 可取为ED ,即2(1,1,0)n =-. 从而法向量1n ，2n 的夹角的余弦值为1212123,=||||n n cos nn n n ⋅〈〉=⋅，故所求二面角A-PD-C 考点：考查线面垂直，二面角．考查空间想象能力和推理能力．20.已知椭圆2222:1(0)x y C a ba b+=>>的离心率为12，左、右焦点分别是12,F F ，椭圆C 上（1）求椭圆C 的方程；（2）过1F 作垂直于x 轴的直线l 交椭圆C 于,A B 两点（点A 在第二象限），,M N 是椭圆上位于直线l 两侧的动点，若MAB NAB ∠=∠，求证：直线MN 的斜率为定值.【答案】（1）22143x y +=；（2）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）根据离心率和三角形面积可构造关于,,a b c 的方程，解方程可求得,,a b c ，进而得到椭圆方程；（2）假设直线方程，代入椭圆方程，利用韦达定理得到12x x +和12x x ；根据MAB NAB ∠=∠知0AM AN k k +=，从而可利用韦达定理形式表示出等式，化简可得()()212230k m k +--=；当2230m k --=时，可知过A 点，不符合题意；所以可知12k =-.【详解】（1）由题意可得：12c a =且bc =又222a b c =+得：24a =，23b =，21c =∴椭圆C 的方程为22143x y +=（2）证明：由（1）可得：直线l ：1x =-，31,2A ⎛⎫- ⎪⎝⎭设直线MN 的方程为y kx m =+，代入椭圆方程 消y 可得()2223484120kxkmx m +++-=设()11,M x y ，()22,N x y ，则()2248430k m ∆=-+>则122834km x x k +=-+，212241234m x x k-=+ MAB NAB ∠=∠ 0AM ANk k ∴+= 12123322011y y x x --∴+=++ 即()()12213311022kx m x kx m x ⎛⎫⎛⎫+-+++-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()()21212222412338223230234234k m km kx x m k x x m m k m k k -⎛⎫⎛⎫∴++-++-=-+-⋅+-= ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭化简可得()()212230k m k +--=12k ∴=-或2230m k --=当2230m k --=时，直线MN 的方程为()312y k x =++则直线MN 经过点31,2A ⎛⎫- ⎪⎝⎭，不满足题意12k ∴=-即直线MN 的斜率为定值12-【点睛】本题考查椭圆标准方程求解、椭圆中的定值问题的求解.对于定值问题，关键是能够通过已知条件建立起与参数有关的等量关系式，通过整理化简将关系式变为恒等式，或通过消元得到所求定值. 21.已知函数()12ln f x x a x x=-+⋅. （1）讨论()f x 的单调性；（2）设()2ln g x x bx cx =--，若函数()f x 的两个极值点()1212,x x x x <恰为函数()g x 的两个零点，且()12122x x y x x g +⎛⎫'=-⋅⎪⎝⎭的范围是2ln 2,3⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭，求实数a 的取值范围. 【答案】（1）当1a ≤时，单调递减区间为()0,∞+，无单调递增区间；当1a >时，单调递减区间为(()0,,a a +∞；单调递增区间为(a a ；（2）⎫+∞⎪⎪⎣⎭【解析】 【分析】（1）求解导函数，根据导函数的分子（二次函数）分类讨论()f x '与0的关系，从而可分析出函数的单调性； （2）根据已知条件构造关于12x x 的新函数，根据新函数的单调性分析出12x x 的取值范围，然后根据a 与12x x 的关系即可求解出a 的取值范围. 【详解】解：（1）()f x 的定义域为()0,∞+，()22212211a x ax f x x x x--+'=-+=-. （i ）若1a ≤，则()0f x '≤，当且仅当1a =，1x =时，()0f x '= （ii ）若1a >，令()0f x '=得12x a x a ==当(()20,x a a a ∈++∞时，()0f x '<；当(x a a ∈时，()0f x '>，所以，当1a ≤时，()f x 单调递减区间为()0,∞+，无单调递增区间； 当1a >时，()f x 单调递减区间为(()0,,aa+∞；单调递增区间为(a a . （2）由（1）知：1a >且12122,1x x a x x +==. 又()12g x b cx x '=--，∴()12121222x x g b c x x x x +⎛⎫'=--+ ⎪+⎝⎭，由()()120g x g x ==得()()22112122ln x b x x c x x x =-+-， ∴()()()()()121222121112121212121212222122ln ln 21x x x x x x x x x y x x g b x x c x x x x x xx x x x x ⎛⎫- ⎪--+⎛⎫⎝⎭'=-=----=-=- ⎪++⎝⎭+. 令12(0,1)x t x =∈，∴2(1)ln 1t y t t -=-+， ∴22(1)0(1)t y t t --'=<+，所以y 在()0,1上单调递减. 由y 的取值范围是2ln 2,3⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭，得t 的取值范围是10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦， ∵122x x a +=，∴()222222211221212112212212(2)242x x x x x xa x x x x x x a x x x x ++=+=++===++，∴2122119422,2x x a t x x t ⎡⎫=++=++∈+∞⎪⎢⎣⎭， 又∵1a >，故实数a的取值范围是4⎡⎫+∞⎪⎢⎪⎣⎭. 【点睛】（1）含参函数的单调性分析，要注意抓住参数的临界值进行分类讨论；（2）利用导数求解双变量问题，多数情况下需要构造关于12x x （或21x x ）的新函数，借助新函数的单调性分析问题.22.红铃虫是棉花的主要害虫之一，能对农作物造成严重伤害，每只红铃虫的平均产卵数y 和平均温度x 有关，现收集了以往某地的7组数据，得到下面的散点图及一些统计量的值.（表中711ln ,7i i i z y z z ===∑）平均温度/x C ︒21 23 25 27 29 3235平均产卵数y /个7 11 21 24 66 115325x yz()()1ni i i x x z z =--∑()21ni i x x =-∑27.429 81.286 3.612 40.182 147.714（1）根据散点图判断，y a bx =+与dxy ce =（其中e 2.718=自然对数的底数）哪一个更适宜作为平均产卵数y 关于平均温度x 的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）并由判断结果及表中数据，求出y 关于x 的回归方程.（计算结果精确到小数点后第三位）（2）根据以往统计，该地每年平均温度达到28℃以上时红铃虫会造成严重伤害，需要人工防治，其他情况均不需要人工防治，记该地每年平均温度达到28℃以上的概率为()01p p <<. ①记该地今后5年中，恰好需要3次人工防治的概率为()f p ，求()f p 的最大值，并求出相应的概率p .②当()f p 取最大值时，记该地今后5年中，需要人工防治的次数为X ，求X 的数学期望和方差.附：线性回归方程系数公式()()()121ˆˆˆ,niii nii x x y y bay bx x x ==-⋅-==--∑∑.【答案】（1）dxy ce =更适宜，0.272 3.849ˆx y e -=；（2）①()max 216625f p =，35p =；②()3E X =，6()5D X =【解析】 【分析】（1）根据散点图选择合适函数模拟，利用变量z ，构造线性回归方程，利用已知量求解出z 关于x 的线性回归方程，即可求解出y 关于x 的回归方程；（2）①先表示出()f p ，然后根据()f p '分析出()f p 的最大值以及p 的值； ②根据p 的值以及二项分布的均值与方差的计算方法求解出结果即可. 【详解】解：（1）根据散点图可以判断，dxy ce =更适宜作为平均产卵数y 关于平均温度x 的回归方程类型；对dxy ce =两边取自然对数，得ln ln y c dx =+； 令ln ,ln ,z y a c b d ===，得z a bx =+；因为()()()7121740.182ˆ0.272147.714iii i i x x zz bx x ==--==≈-∑∑，ˆˆ 3.6120.27227.429 3.849az bx =-=-⨯≈-； 所以z 关于x 的回归方程为ˆ0.272 3.849zx =-； 所以y 关于x 的回归方程为0.272 3.849ˆx ye -=；（2）（i ）由5332()(1)f p C p p =⋅⋅-，得()325(1)(35)f C p p p p '=⋅--，因为01p <<，令()0f p '>，得350p ->，解得305p <<； 所以()f p 在30,5⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在3,15⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，所以()f p 有唯一的极大值为35f ⎛⎫ ⎪⎝⎭，也是最大值；所以当35p =时，()max 32165625f p f ⎛⎫== ⎪⎝⎭； （ii ）由（i ）知，当()f p 取最大值时，35p =，所以3~5,5X B ⎛⎫⎪⎝⎭， 所以X 的数学期望为3()535E X =⨯=， 方差为326()5555D X =⨯⨯=. 【点睛】本题考查线性回归方程的求解、独立重复试验的概率与函数的综合应用、二项分布的均值与方差计算，难度较难.已知()~,X B n p ，则()()(),1E X np D X np p ==-.。
2021届湖南长郡中学新高考模拟考试(十一)数学(理)试题
2021届湖南长郡中学新高考模拟考试（十一）理科数学★祝你考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考考查范围。
2、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
3、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
4、主观题的作答：用0.5毫米黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非主观题答题区域的答案一律无效。
5、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。
答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。
6、保持卡面清洁，不折叠，不破损。
7、本科目考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
第I 卷 选择题（60分）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知i 为虚数单位，复数z 满足()1z i i ⋅-=，则复数z 在复平面内对应的点在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】B 【解析】 【分析】求出复数z ，得出其对应点的坐标，确定所在象限． 【详解】由题意(1)111(1)(1)22i i i z i i i i +===-+--+,对应点坐标为11(,)22- ，在第二象限． 故选：B ．【点睛】本题考查复数的几何意义，考查复数的除法运算，属于基础题．2.已知集合{(,)|A x y y =，{}(,)|2B x y y x ==，则AB 中元素的个数为( )A. 3B. 2C. 1D. 0【答案】C【解析】 【分析】集合A 表示半圆上的点，集合B 表示直线上的点，联立方程组求得方程组解的个数，即为交集中元素的个数.【详解】由题可知：集合A 表示半圆上的点，集合B 表示直线上的点，联立y 2y x =，2x =，整理得215x =，即5x =±，当x =时，20y x =<，不满足题意；故方程组有唯一的解⎝⎭.故A B ⎧⎫⎪⎪⋂=⎨⎬⎪⎪⎝⎭⎩⎭. 故选：C.【点睛】本题考查集合交集的求解，涉及圆和直线的位置关系的判断，属基础题.3.已知条件:1p a =-，条件:q 直线10x ay -+=与直线210x a y +-=平行，则p 是q 的( ) A. 充要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分不必要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】 【分析】先根据直线10x ay -+=与直线210x a y +-=平行确定a 的值，进而即可确定结果.【详解】因为直线10x ay -+=与直线210x a y +-=平行， 所以20a a +=，解得0a =或1a =-；即0q a =：或1a =-； 所以由p 能推出q ；q 不能推出p ； 即p 是q 的充分不必要条件. 故选C【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判定，熟记概念即可，属于基础题型.4.函数21()cos 2f x x x =+的大致图象是（ ）. A. B. C. D.【答案】C 【解析】 【分析】根据函数的奇偶性和利用导数得出其单调性，即可得出答案.【详解】函数21()cos 2f x x x =+的定义域为R 21()()2f x x -=-21cos()cos ()2x x x f x +-=+=，所以函数21()cos 2f x x x =+为偶函数，函数图象关于y 轴对称，排除A ，D ；()sin f x x x '=-，令()sin g x x x =-，()1cos 0g x x '=-≥，故函数()g x 在R 上单调递增由(0)0sin 00g =-=可知，当0x >时，()sin 0f x x x '=->，函数21()cos 2f x x x =+单调递增，排除B ，只有C 选项中的图象符合. 故选：C【点睛】本题主要考查了函数图象的识别，函数的图象可以从定义域、值域、增减性、奇偶性、图象经过的特殊点等方面判断，属于中档题.5.已知数列 {}n a 是公比为 q 的等比数列，且 1a ， 3a ， 2a 成等差数列，则公比 q 的值为（ ） A. 12-B. 2-C. 1- 或12D. 1 或 12-【答案】D 【解析】 【分析】由132a a a ，，成等差数列得3122a =a +a ，利用等比数列的通项公式展开即可得到公比q 的方程. 【详解】由题意3122a =a +a ，∴2a 1q 2=a 1q+a 1，∴2q 2=q+1，∴q=1或q=1-2故选D ．【点睛】本题考查等差等比数列的综合，利用等差数列的性质建立方程求q 是解题的关键，对于等比数列的通项公式也要熟练．6.5()(2)x y x y +-的展开式中33x y 的系数为( ) A. －30 B. －40 C. 40 D. 50【答案】C 【解析】 【分析】先写出()52x y -的通项公式，再根据33x y 的产生过程，即可求得. 【详解】对二项式()52x y -，其通项公式为()()()555155221r rrrr rr r r T C x y C x y ---+=-=-5()(2)x y x y +-的展开式中33x y 的系数是()52x y -展开式中23x y 的系数与32x y 的系数之和.令3r =，可得23x y 的系数为()33252140C -=-；令2r =，可得32x y 的系数为()22352180C -=；故5()(2)x y x y +-的展开式中33x y 的系数为804040-=. 故选：C .【点睛】本题考查二项展开式中某一项系数的求解，关键是对通项公式的熟练使用，属基础题.7.已知A 类产品共两件12,A A ，B 类产品共三件123,,B B B ，混放在一起，现需要通过检测将其区分开来，每次随机检测一件产品，检测后不放回，直到检测出2件A 类产品或者检测出3件B 类产品时，检测结束，则第一次检测出B 类产品，第二次检测出A 类产品的概率为（ ） A.12B.35C.25D.310【答案】D 【解析】 【分析】根据分步计数原理，由古典概型概率公式可得第一次检测出B 类产品的概率，不放回情况下第二次检测出A 类产品的概率，即可得解.【详解】A 类产品共两件12,A A ，B 类产品共三件123,,B B B ， 则第一次检测出B 类产品的概率为35；不放回情况下，剩余4件产品，则第二次检测出A 类产品的概率为2142=； 故第一次检测出B 类产品，第二次检测出A 类产品的概率为3135210⨯=；故选：D.【点睛】本题考查了分步乘法计数原理的应用，古典概型概率计算公式的应用，属于基础题. 8.设长方体的长、宽、高分别为2,,a a a ，其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为 A. 3πa 2 B. 6πa 2C. 12πa 2D. 24πa 2【答案】B 【解析】【详解】方体的长、宽、高分别为2,,a a a ,其顶点都在一个球面上,长方体的对角线的，，所以球的表面积是22462a a ππ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，故选B9.给甲、乙、丙、丁四人安排泥工、木工、油漆三项工作，每项工作至少一人，每人做且仅做一项工作，甲不能安排木工工作，则不同的安排方法共有（ ） A. 12种 B. 18种 C. 24种 D. 64种【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，分2步进行分析：①，将4人分成3组，②，甲不能安排木工工作，甲所在的一组只能安排给泥工或油漆，将剩下的2组全排列，安排其他的2项工作，由分步计数原理计算可得答案． 【详解】解：根据题意，分2步进行分析： ①，将4人分成3组，有246C =种分法；②，甲不能安排木工工作，甲所在的一组只能安排给泥工或油漆，有2种情况，将剩下的2组全排列，安排其他的2项工作，有222A =种情况，此时有224⨯=种情况，则有2446=⨯种不同的安排方法； 故选C ．【点睛】本题考查排列、组合的应用，涉及分步计数原理的应用，属于基础题． 10.关于函数()cos sin f x x x =+有下述四个结论： ①()f x 是偶函数；②()f x 的最大值为2； ③()f x 在[],ππ-有3个零点；④()f x 在区间0,4π⎛⎫⎪⎝⎭单调递增. 其中所有正确结论的编号是（ ） A. ①② B. ①③C. ②④D. ①④【答案】D 【解析】 【分析】利用偶函数的定义可判断出命题①的正误；分222k x k πππ-≤≤和()222k x k k Z πππ<≤+∈两种情况，去绝对值，利用辅助角公式以及正弦函数的最值可判断命题②的正误；分0x π-≤≤和0x π<≤两种情况讨论，求出函数()y f x =的零点，可判断命题③的正误；去绝对值，将函数()y f x =的解析式化简，结合正弦型函数的单调性可判断出命题④的正误.【详解】对于命题①，函数()y f x =的定义域为R ，关于原点对称，且()()cos sin f x x x -=-+-()cos sin cos sin x x x x f x =+-=+=，该函数的为偶函数，命题①正确；对于命题②，当函数()y f x =取最大值时，cos 0x ≥，则()2222k x k k Z ππππ-≤≤+∈.当()222k x k k Z πππ-≤≤∈时，()cos sin 4x x x f x π⎛⎫=-=+ ⎪⎝⎭，此时，()22444k x k k Z πππππ-≤+≤+∈，当()24x k k Z ππ+=∈，函数()y f x =.当()222k x k k Z πππ<≤+∈时，()cos sin 4f x x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，此时，()32244k x k k Z ππππ+<≤+∈，当()242x k k Z πππ+=+∈，函数()y f x =.所以，函数()y f x =，命题②错误；对于命题③，当0x π-≤≤时，令()cos sin 0f x x x =-=，则tan 1x =，此时34x π=-； 当0x π<≤时，令()cos sin 0f x x x =+=，则tan 1x =-，此时34x π=.所以，函数()y f x =在区间[],ππ-上有且只有两个零点，命题③错误；对于命题④，当04x π<<时，()cos sin 4f x x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，则442x πππ<+<.所以，函数()y f x =在区间0,4π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，命题④错误. 因此，正确的命题序号为①④. 故选D.【点睛】本题考查三角函数基本性质，解题的关键在于对自变量的取值范围进行分类讨论，并去绝对值，结合辅助角公式以及三角函数的基本性质来进行判断，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.11.已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>，点()00,P x y 是直线40bx ay a -+=上任意一点，若圆()()22001x x y y -+-=与双曲线C 的右支没有公共点，则双曲线的离心率取值范围是（ ）． A. (]1,2 B. (]1,4C. [)2,+∞D. [)4,+∞ 【答案】B 【解析】 【分析】先求出双曲线的渐近线方程，可得则直线bx ay 2a 0-+=与直线bx ay 0-=的距离d ，根据圆()()2200x x y y 1-+-=与双曲线C 的右支没有公共点，可得d 1≥，解得即可．【详解】由题意，双曲线2222x y C :1(a 0,b 0)a b-=>>的一条渐近线方程为b y x a =，即bx ay 0-=，∵()00P x ,y 是直线bx ay 4a 0-+=上任意一点， 则直线bx ay 4a 0-+=与直线bx ay 0-=的距离4ad c==， ∵圆()()2200x x y y 1-+-=与双曲线C 的右支没有公共点，则d 1≥， ∴41a c ≥，即4ce a=≤，又1e > 故e 的取值范围为(]1,4， 故选：B ．【点睛】本题主要考查了直线和双曲线的位置关系，以及两平行线间的距离公式，其中解答中根据圆与双曲线C 的右支没有公共点得出d 1≥是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．12.已知函数()ln 1f x x =+，()122x g x e -=，若()()f m g n =成立，则m n -的最小值是（ ）A.1ln 22+ B. 2e - C. 1ln 22-12【答案】A 【解析】分析：设()()f m g n t ==，则0t >，把,m n 用t 表示，然后令()h t m n =-，由导数求得()h t 的最小值．详解：设()()f m g n t ==，则0t >，1t m e -=，11lnln ln 2222t n t =+=-+， ∴11ln ln 22t m n e t --=-+-，令11()ln ln 22t h t e t -=-+-，则11'()t h t e t -=-，121"()0t h t e t-=+>，∴'()h t 是(0,)+∞上的增函数，又'(1)0h =，∴当(0,1)t ∈时，'()0h t <，当(1,)t ∈+∞时，'()0h t >， 即()h t 在(0,1)上单调递减，在(1,)+∞上单调递增，()h 1是极小值也是最小值，1(1)ln 22h =+，∴m n -的最小值是1ln 22+． 故选A ．点睛：本题易错选B ，利用导数法求函数的最值，解题时学生可能不会将其中求b a -的最小值问题，通过构造新函数，转化为求函数()h t 的最小值问题，另外通过二次求导，确定函数的单调区间也很容易出错．第II 卷 非选择题（90分）二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知随机变量ζ服从正态分布()22,N δ，则()2P ζ<=___________.【答案】12【解析】 【分析】根据正态曲线的对称性,直接求解即可.【详解】解:因为随机变量ζ服从正态分布()22,N δ,所以正态曲线关于2ζ=对称,所以()122P ζ<=. 故答案为:12.【点睛】本题考查了由正态曲线的对称性求概率,属基础题.14.已知实数x ，y 满足205y x x y x y ≥⎧⎪-≥⎨⎪+≤⎩，则2yz x =+的最大值为______.【答案】1011【解析】 【分析】画出不等式组表示的平面区域，将目标函数理解为点(),x y 与()2,0-构成直线的斜率，数形结合即可求得. 【详解】不等式组表示的平面区域如下所示：因为2yz x =+可以理解为点(),x y 与()2,0-构成直线的斜率， 数形结合可知，当且仅当目标函数过点510,33B ⎛⎫ ⎪⎝⎭时，斜率取得最大值， 故z 的最大值为1010351123=+.故答案为：1011.【点睛】本题考查目标函数为斜率型的规划问题，属基础题.15.已知()||f x x x =，则满足(21)()0f x f x -+≥的x 的取值范围为_______． 【答案】1[,)3+∞ 【解析】 【分析】将f （x ）写成分段函数形式，分析得f （x ）为奇函数且在R 上为增函数，利用奇偶性和单调性解不等式即可得到答案.【详解】根据题意，f （x ）＝x |x |＝22,0,0x x x x ⎧≥⎨-<⎩， 则f （x ）为奇函数且在R 上为增函数，则f （2x ﹣1）+f （x ）≥0⇒f （2x ﹣1）≥﹣f （x ）⇒f （2x ﹣1）≥f （﹣x ）⇒2x ﹣1≥﹣x ，解可得x ≥13，即x 的取值范围为[13，+∞）； 故答案为[13，+∞）．【点睛】本题考查分段函数的奇偶性与单调性的判定以及应用，注意分析f （x ）的奇偶性与单调性． 16.函数32()sin 3cos ,32f x x x x ππ⎛⎫⎡⎤=+∈-⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭的值域为_________．【答案】⎤⎥⎣⎦【解析】 【分析】利用换元法，得到()32g t t 3t 3,t 2⎡⎤=-+∈-⎢⎥⎣⎦，利用导数求得函数()g t 的单调性和最值，即可得到函数的值域，得到答案．【详解】由题意，可得()3232ππf x sin x 3cos x sin x 3sin x 3,x ,,32⎡⎤=+=-+∈-⎢⎥⎣⎦，令t sinx =，t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，即()32g t t 3t 3=-+，t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦则()()2g't 3t 6t 3t t 2=-=-，当t 0<<时，()g't 0>，当0t 1<<时，()g't 0>，即()y g t =在⎡⎤⎢⎥⎣⎦为增函数，在[]0,1为减函数，又6g 28⎛⎫--= ⎪ ⎪⎝⎭，()g 03=，()g 11=，故函数的值域为：6,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦． 【点睛】本题主要考查了三角函数的最值，以及利用导数研究函数的单调性与最值，其中解答中合理利用换元法得到函数()g t ，再利用导数求解函数的单调性与最值是解答的关键，着重考查了推理与预算能力，属于基础题．三．解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分17.△ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,且()sin sin sin =+-C B A B ． (1)求角A 的大小 (2)若a =ABC的面积S =求△ABC 的周长． 【答案】（I ）3A π=；（II）5+．【解析】 【详解】试题分析：（I ）由已知可得sin sin()sin sin()C A B B A B =+=+-⇒2cos ?sin sin A B B =⇒1cos 2A =⇒3A π=；（II）依题意得：2221·sin {222cos ABC S bc A a b c bc A∆===+-⇒226{13bc b c =+=⇒222()225+=++=b c b c bc ⇒5b c +=⇒5a b c ++=⇒ABC ∆的周长为5+．试题解析：（I ）∵A B C π++=，∴()C A B π=-+． ∴sin sin()sin sin()C A B B A B =+=+-，∴sin ?cos cos ?sin sin sin ?cos cos sin A B A B B A B A B +=+-， ∴2cos ?sin sin A B B =， ∴1cos 2A =， ∴3A π=．（II）依题意得：2221·sin {22cos ABC S bc A a b c bc A∆===+-∴226{13bc b c =+=，∴222()225+=++=b c b c bc ， ∴5b c +=，∴5a b c ++=+ ∴ABC ∆的周长为5考点：1、解三角形；2、三角恒等变换．18.某百货商店今年春节期间举行促销活动，规定消费达到一定标准的顾客可进行一次抽奖活动，随着抽奖活动的有效开展，参与抽奖活动的人数越来越多，该商店经理对春节前7天参加抽奖活动的人数进行统计，y 表示第x 天参加抽奖活动的人数，得到统计表格如下：（1）经过进一步统计分析，发现y 与x 具有线性相关关系．请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y关于x 的线性回归方程ˆˆˆybx a =+； （2）该商店规定：若抽中“一等奖”，可领取600元购物券；抽中“二等奖”可领取300元购物券；抽中“谢谢惠顾”，则没有购物券．已知一次抽奖活动获得“一等奖”的概率为16，获得“二等奖”的概率为13．现有张、王两位先生参与了本次活动，且他们是否中奖相互独立，求此二人所获购物券总金额X 的分布列及数学期望．参考公式：1221ˆni ii n i i x ynx ybx nx==-=-∑∑，ˆˆay bx =-，71364i i i x y ==∑，721140i i x ==∑． 【答案】（1）ˆ23y x =+；（2）见解析【解析】 试题分析：（I ）由题意可得4x =，11y =，则ˆ2b =，ˆ3a =，y 关于x 的线性回归方程为ˆ23yx =+． （II ）由题意可知二人所获购物券总金额X 的可能取值有0、300、600、900、1200元，它们所对应的概率分别为：()104P X ==，()13003P X ==，()560018P X ==，()190036P X ==．据此可得分布列，计算相应的数学期望为400EX =元． 试题解析： （I ）依题意：()1123456747x =++++++=， ()158810141517117y =++++++=，721140i i x ==∑，71364i i i x y ==∑，7172217364741121407167ˆi i i i i x y xy b x x ==--⨯⨯===-⨯-∑∑，11243ˆˆa y bx =-=-⨯=， 则y 关于x 的线性回归方程为ˆ23yx =+． （II ）二人所获购物券总金额X 的可能取值有0、300、600、900、1200元，它们所对应的概率分别为：()1110224P X ==⨯=，()1113002233P X ==⨯⨯=，()111156002332618P X ==⨯+⨯⨯=，()1119002369P X ==⨯⨯=，()11112006636P X ==⨯=． 所以，总金额X 的分布列如下表：总金额X 的数学期望为11511030060090012004004318936EX =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=元． 19.如图在直角ABC ∆中，B 为直角，2AB BC =，E ，F 分别为AB ，AC 的中点，将AEF ∆沿EF 折起，使点A 到达点D 的位置，连接BD ，CD ，M 为CD 的中点． （Ⅰ）证明：MF ⊥面BCD ；（Ⅱ）若DE BE ⊥，求二面角E MF C --的余弦值．【答案】（Ⅰ）详见解析；3【解析】 【分析】（Ⅰ）取DB 中点N ，连结MN 、EN ，四边形EFMN 是平行四边形，由EF BE ⊥，EF DE ⊥，得EF BDE ⊥平面，从而EF EN ⊥，MF MN ⊥，求出MF CD ⊥，由此能证明MF BCD ⊥平面．（Ⅱ）以E 为原点，BE 、EF 、ED 所在直线分别为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角E MF C --的余弦值．【详解】证明：（Ⅰ ）取DB 中点N ，连结MN 、EN ， ∵ 12MNBC =，12EF BC =， ∴ 四边形EFMN 是平行四边形， ∵ EF BE ⊥，EF DE ⊥，BE EF E =，∴ EF BDE ⊥平面，∴ EF EN ⊥，∴MF MN ⊥， 在DFC ∆中，DF FC =，又∵ M 为CD 的中点，∴MF CD ⊥， 又∵ MFMN M =，∴MF BCD ⊥平面．解：（Ⅱ）∵DE BE ⊥，DE EF ⊥，BE EF E =，∴ DE BEF ⊥平面，以E 为原点，BE 、EF 、ED 所在直线分别为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系， 设2BC =，则()000E ，，，()010F ，，，()220C -，，，()111M -，，， ∴ ()0,1,0EF =，()1,0,1FM =-，()2,1,0CF =-， 设面EMF 的法向量(),,m x y z =，则00m EF y m FM x z ⎧⋅==⎨⋅=-+=⎩，取1x =，得()1,0,1m =，同理，得平面CMF 的法向量()1,2,1n =， 设二面角E MF C --的平面角为θ， 则3cosm n m nθ⋅==⋅，∴ 二面角E MF C --的余弦值为33．【点睛】本题考查面面垂直及线面垂直性质定理、线面垂直判定与性质定理以及利用空间向量求线面角与二面角，考查基本分析求解能力，属中档题．20.已知抛物线()21:20C x py p =>和圆()222:12C x y ++=，倾斜角为45°的直线1l 过抛物线1C 的焦点，且1l 与圆2C 相切． （1）求p的值；（2）动点M 在抛物线1C 的准线上，动点A 在1C 上，若1C 在A 点处的切线2l 交y 轴于点B ，设MN MA MB =+．求证点N 在定直线上，并求该定直线的方程．【答案】（1）6p ；（2）点N 在定直线3y =上．【解析】 【分析】（1）设出直线1l 的方程为2py x =+，由直线和圆相切的条件：d r =，解得p ； （2）设出(,3)M m -，运用导数求得切线的斜率，求得A 为切点的切线方程，再由向量的坐标表示，可得N 在定直线上；【详解】解：（1）依题意设直线1l 的方程为2py x =+， 由已知得：圆222:(1)2C x y ++=的圆心2(1,0)C -，半径2r =因为直线1l 与圆2C 相切，所以圆心到直线1:2pl y x =+的距离d ===6p 或2p =-（舍去）．所以6p ；（2）依题意设(,3)M m -，由（1）知抛物线1C 方程为212x y =，所以212x y =，所以6x y '=，设11(,)A x y ，则以A 为切点的切线2l 的斜率为16x k =，所以切线2l 的方程为1111()6y x x x y =-+．令0x =，211111111266y x y y y y =-+=-⨯+=-，即2l 交y 轴于B 点坐标为1(0,)y -，所以11(,3)MA x m y =-+， 1(,3)MB m y =--+，∴()12,6MN MA MB x m =+=-， ∴1(,3)ON OM MN x m =+=-．设N 点坐标为(,)x y ，则3y =， 所以点N 在定直线3y =上．【点睛】本题考查抛物线方程和性质，直线与圆的位置关系的判断，考查直线方程和圆方程的运用，以及切线方程的求法，考查化简整理的运算能力，属于综合题． 21.已知函数()()222ln ,2af x ax xg x ax ax x=+-=-+ (1)若0,a ≥讨论()f x 的单调性;(2)当0a >时,若函数()f x 与()g x 的图象有且仅有一个交点()00,x y ,求[]0x 的值(其中[]x 表示不超过x 的最大整数,如[[][0.3710,0.37 1.2.92])=-=-=.参考数据:20.693 ,3 1.099 ,5 1.609,7 1.946ln ln ln ln ====【答案】（1）当0a =时， ()f x 在()0,∞+单调递减；当0a >时，()f x 在⎛ ⎝⎭单调递减；()f x 在⎫+∞⎪⎪⎝⎭单调递增． （2）2 【解析】【分析】（1）对()f x 进行求导，讨论a 的取值范围，令()0f x '>或()0f x '<，解不等式即可求解.（2）两函数有且仅有一个交点 ()00,x y ，则方程222ln 2aax x ax ax x+-=-+ 即方程22ln 0a ax x x +-=在()0,∞+只有一个根, 令()22ln a F x ax x x=+-，研究 ()F x 的单调性，求出()F x 的零点，然后根据零点存在性定理判断零点所在的区间即可.【详解】解：（1）()2222122'2a ax x af x a x x x--=-+-= 对于函数()222,h x ax x a =--21160a ∆=+>当0a =时，则()1'0,f x x=-<()f x ∴在()0,∞+单调递减；当0a >时，令()0f x '<，则2220ax x a --<，解得0x <<∴()f x 在⎛ ⎝⎭单调递减；令()0f x '>，解得14x a >，所以()f x 在⎫+∞⎪⎪⎝⎭单调递增． （2）0a >且两函数有且仅有一个交点 ()00,x y ，则方程222ln 2aax x ax ax x+-=-+ 即方程22ln 0aax x x+-=在()0,∞+只有一个根 令()22ln a F x ax x x =+-，则()3222'ax x a F x x--= 令()[)322,0,x ax x a x ϕ=--∈+∞，则()2'61x ax ϕ=-()0,a x ϕ>∴在⎛ ⎝单调递减，在⎫+∞⎪⎪⎭上单调递增，故()min x ϕϕ=注意到()()020,a x ϕϕ=-<∴在⎛ ⎝无零点，在⎫+∞⎪⎪⎭仅有一个变号的零点m()F x ∴在()0.m 单调递减，在(),m +∞单调递增，注意到()130F a =>根据题意m 为 ()F x 的唯一零点即0m x =20003002ln 0220aax x x ax x a ⎧+-=⎪∴⎨⎪--=⎩消去a ，得：3003300232ln 111x x x x +==+--令()332ln 11H x x x =---，可知函数()H x 在()1,+∞上单调递增 ()101022ln 220.693077H =-=⨯-<，()292932ln 32 1.00902626H =-=⨯->()[]002,3,2x x ∴∈∴=【点睛】本题主要考查了导函数在研究函数单调性、最值中的应用，考查了分类讨论的思想以及零点存在性定理，综合性比较强，难度较大.（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22.在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程13cos ,23sin x t y t =+⎧⎨=-+⎩（t 为参数），在极坐标系（与平面直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴的非负半轴为极轴）中，直线l的方程为()sin 4m m R πθ⎛⎫-=∈ ⎪⎝⎭.（1）求圆C 的普通方程及直线l 的直角坐标方程； （2）若圆心C 到直线l 的距离等于2，求m 的值.【答案】（1）圆的普通方程为()()22129x y -++=；0x y m --=；（2）2m=-32. 【解析】 试题分析：(Ⅰ)消去参数可得圆C 的普通方程及直线l 的直角坐标方程分别为()()22129x y -++=,0x y m -+= ；(Ⅱ)由题意结合点到直线距离公式得到关于实数m的方程，解方程可得3m =-±试题解析：（Ⅰ）消去参数t ，得到圆C 的普通方程为()()22129x y -++=.πsin 4m θ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，得sin cos 0m ρθρθ--=.所以直线l 的直角坐标方程为0x y m -+=. （Ⅱ）依题意，圆心C 到直线l 的距离等于2，2=，解得3m =-±.[选修4-5：不等式选讲]23.已知函数()|21|f x x =- （1）解不等式()||3f x x <+； （2）若对于x ，y R ∈，有1|31|3x y -+≤，1|21|6y -≤，求证：(67)f x ≤. 【答案】（1）{|24}x x -<<；（2）见解析 【解析】 【分析】（1）分0x ≤，102x <<，12x ≥三种情况讨论；（2）()|21||2(31)3(21)|f x x x y y =-=-++-，再利用绝对值三角不等式即可证明. 【详解】（1）由()||3f x x <+，得|21|||3x x -<+，则12213x x x ⎧≥⎪⎨⎪-<+⎩，或102123x x x ⎧<<⎪⎨⎪-<+⎩，或012 3.x x x ≤⎧⎨-<-+⎩， 解得142x ≤<，或102x <<，或20x -<≤， 即24x -<<，所以不等式()||1f x x <+的解集为{|24}x x -<<. （2）证明：由1|31|3x y -+≤，1|21|6y -≤， 所以217()|21||2(31)3(21)|2|31|3|21|326f x x x y y x y y =-=-++-≤-++-≤+=. 【点睛】本题考查解绝对值不等式以及证明不等式，考查学生的运算能力，是一道容易题.。
2021届湖南长郡中学新高考模拟考试(十二)数学(文)试题
2021届湖南长郡中学新高考模拟考试（十二）数学试题（文科）★祝你考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考考查范围。
2、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
3、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
4、主观题的作答：用0.5毫米黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非主观题答题区域的答案一律无效。
5、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。
答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。
6、保持卡面清洁，不折叠，不破损。
7、本科目考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
第Ⅰ卷（选择题）一、选择题（共12小题，在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.）1.已知集合2{|2}A x y x ==-，集合2{|2}B y y x ==-，则有( )A. A B =B. AB =∅C. A B A ⋃=D. A B A =【答案】C 【解析】 【分析】首先根据二次函数的定义域和值域，分别求得集合A ，B ，判断两集合的关系，最后分析选项得出结果. 【详解】2{|2}A x y x R ==-=，2{|2}[2,)B y y x ==-=-+∞，所以B A ⊆， 故A B A ⋃=， 故选：C.【点睛】该题考查的是有关集合的问题，涉及到的知识点有二次函数的定义域和值域，两集合的关系，属于基础题目.2.若复数满足(2)5i z +=，则在复平面内与复数z 对应的点Z 位于( ) A. 第一象限 B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】D 【解析】 【分析】根据复数的除法运算求出复数z ，再根据复数的几何意义可得答案. 【详解】由(2)5i z +=得52z i=+5(2)1052(2)(2)5i i i i i --===-+-， 所以复数z 对应的点Z 的坐标为(2,1)-，其位于第四象限. 故选：D.【点睛】本题考查了复数的除法运算，考查了复数的几何意义，属于基础题. 3.“θ为第一或第四象限角”是“cos 0θ>”的( ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】 【分析】根据x 轴正半轴上的角的余弦值也大于0以及充分条件、必要条件的定义可得答案.【详解】当θ为第一或第四象限角时，cos 0θ>，所以“θ为第一或第四象限角”是“cos 0θ>”的充分条件，当cos 0θ>时，θ为第一或第四象限角或x 轴正半轴上的角，所以“θ为第一或第四象限角”不是“cos 0θ>”的必要条件，所以“θ为第一或第四象限角”是“cos 0θ>”的充分不必要条件. 故选：A【点睛】本题考查了三角函数的符号规则，考查了充分必要条件的概念，属于基础题.4.为实现国民经济新“三步走”的发展战略目标，国家加大了扶贫攻坚的力度.某地区在2015 年以前的年均脱贫率（脱离贫困的户数占当年贫困户总数的比）为70%.2015年开始，全面实施“精准扶贫”政策后，扶贫效果明显提高，其中2019年度实施的扶贫项目，各项目参加户数占比（参加该项目户数占 2019 年贫困户总数的比）及该项目的脱贫率见下表：那么2019年的年脱贫率是实施“精准扶贫”政策前的年均脱贫率的（ ） A.75B.4835C.4735D.3728【答案】C 【解析】 【分析】首先算出2019年的年脱贫率，再与2015年以前的年均脱贫率相比即可. 【详解】由图表得，2019年的年脱贫率为()0.40.950.40.950.10.90.10.90.94E X =⨯+⨯+⨯+⨯=.所以2019年的年脱贫率是实施“精准扶贫”政策前的年均脱贫率的0.94470.735=. 故选：C【点睛】本题主要考查数学期望的实际应用，同时考查了学生的分析问题能力，属于简单题. 5.已知正项等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，()4123S a a =+，则公比q 的值为（ ）A. 2B.C.D.【答案】D 【解析】 【分析】利用等比数列的通项公式求和公式即可得出． 【详解】解：4123()S a a =+，1q ≠． ∴411(1)3(1)1a q a q q -=+-，10a ≠213q ∴+=化为：22q =，解得q =． 故选：D ．【点睛】本题考查了等比数列的通项公式求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 6.如图，在平行四边形ABCD 中，E 为BC 的中点，F 为DE 的中点，若34AF xAB AD =+，则x =( )A.34B.23C.12D.14【答案】C 【解析】 【分析】以,AB AD 为基底，利用向量的中点公式，以及三角形法则即可表示出AF ， 由34AF xAB AD =+，根据平面向量基本定理，可知对应项系数相等，即求解． 【详解】因为F 为DE 的中点，所以()12AF AD AE =+， 而1122AE AB BE AB BC AB AD =+=+=+， 即有11132224AF AD AB AD AB AD ⎛⎫=++=+ ⎪⎝⎭，又34AF xAB AD =+，所以12x =． 故选：C ．【点睛】本题主要考查平面向量基本定理的应用，以及向量的中点公式，三角形法则的应用，属于基础题． 7.人们通常以分贝（符号是dB ）为单位来表示声音强度的等级，其中0dB 是人能听到的等级最低的声音. 一般地，如果强度为x 的声音对应的等级为()f x dB ，则有12()10lg 110xf x -=⨯，则90dB 的声音与60dB 的声音强度之比( ) A. 100 B. 1000C.1100D.11000【答案】B 【解析】 【分析】设90dB 与60dB 的声音强度分别为12,x x ，根据1()90f x =，2()60f x =计算即可求解. 【详解】设90dB 的声音与60dB 的声音强度分别为12,x x ，则1()90f x =，即11210lg90110x -=⨯，解得3110x -=. 由2()60f x =，即21210lg 60110x -=⨯，解得6210x -=. 因此所求强度之比为316210100010x x --==. 故选：B【点睛】本题考查了对数的运算法则，对数函数的应用，考查函数在实际问题中的应用，属于容易题. 8.如图，在以下四个正方体中，使得直线AB 与平面CDE 垂直的个数是( )A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】B 【解析】 【分析】①根据ABC 是正三角形，利用异面直线所成的角结合线面垂直的定义判断；②根据正方形对角线相互垂直，利用线面垂直的判定定理判断；③根据AB 与CE 的夹角为60，再由线面垂直的定义判断；④易知CE ⊥平面ABD ，得到ABCE ，同理AB ED ⊥，再利用线面垂直的判定定理判断.【详解】①因为ABC 是正三角形，所以AB 与AC 的夹角为60，又因为//AC ED ，所以AB 与ED 的夹角为60，故错误；②因为正方形对角线相互垂直，所以ABCE ，,AB ED ED CE E ⊥⋂=，AB ⊥平面CDE ，故正确；③由①知AB 与CE 的夹角为60，故错误；④因为,,CE AD CE BD BD AD D ⊥⊥⋂=，所以CE ⊥平面ABD ，则ABCE ，同理AB ED ⊥，又ED CE E ⋂=，所以AB ⊥平面CDE ，故正确.故选：B【点睛】本题主要考查直线与平面垂直的判定与性质，还考查了空间想象和逻辑推理的能力，属于中档题. 9.已知圆2216x y +=与抛物线22(0)y px p =>的准线l 交于A ，B 两点，且||15AB =P 为该抛物线上一点，PQ l ⊥于点Q ，点F 为该抛物线的焦点.若PQF △是等边三角形，则PQF △的面积为（ ）A. B. 4C. D. 2【答案】A 【解析】 【分析】首先由条件可得出2p =，然后由PQF △是等边三角形，焦点F 到准线l 的距离为2可得出PQF △的边长为4，然后算出答案即可.【详解】由AB =()0,0到l 1=，即12p=，即2p = 所以抛物线的方程为24y x =因为PQF △是等边三角形，焦点F 到准线l 的距离为2 所以PQF △的边长为4所以144sin 602PQF =⨯⨯⨯︒=△S 故选：A【点睛】设圆的半径为r ，圆心到直线的距离为d ，弦长为AB ，则有2222AB r d ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭10.已知函数1,0,()ln ,0.ax x f x x x +<⎧=⎨>⎩若函数()f x 的图像上存在关于坐标原点对称的点，则实数a 的取值范围是（ ） A. (,0]-∞ B. (,1]-∞C. 1[,0]2-D. 1(,1]2【答案】B 【解析】 【分析】存在两对称点(),M x y ,(),N x y --,(0)x >则1ln y ax y x -=-+⎧⎨=⎩,即ln 1x ax =-,故ln y x =与1y ax =-有交点,先求得1y ax =-与ln y x =相切时的斜率,进而求解即可 详解】由题,设两对称点(),M x y ,(),N x y --,(0)x >则1ln y ax y x-=-+⎧⎨=⎩,所以ln 1x ax =-,即ln y x =与1y ax =-有交点, 设1y ax =-与ln y x =的切点为()00,ln x x , 则切线斜率为01x x a y x =='=, 又有0001ln 1x x x =-,所以01x =,即1a =, 所以当ln y x =与1y ax =-有交点时,1a ≤, 故选:B【点睛】本题考查导数的几何意义的应用,考查图像的对称点问题,考查数形结合思想11.已知P 为双曲线22:13x C y -=上位于右支上的动点，过P 作两渐近线的垂线，垂足分别为A ，B ，则||AB 的最小值为( )A.8116 B.278C.94D.32【答案】D 【解析】 【分析】由题意，,,,P A B O 四点共圆，求||AB 的最小值，只需要求出圆的直径的最小值，从而求得结果. 【详解】由题意，,,,P A B O 四点共圆， 要使取||AB 的最小值，只需圆的直径OP 最小，即P为右顶点时满足条件，且OP =，因为2213x y -=的渐近线为3y x =±，所以60AOB ∠=︒，所以有sin 60AB =︒32AB =，故选：D.【点睛】该题考查的是有关双曲线的问题，涉及到的知识点有双曲线的性质，四点共圆的条件，弦的最值，属于简单题目.12.已知函数()sin()f x x ωϕ=+（0>ω，||2ϕπ<）满足44f x f x ππ⎛⎫⎛⎫-=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()2f x f x π⎛⎫--= ⎪⎝⎭，且在0,8π⎛⎫⎪⎝⎭上是单调函数，则ω的值可能是（ ） A. 3B. 4C. 5D. 6【答案】C 【解析】 【分析】通过给出的等式，可以判断出函数的对称性，进而能求出周期，结合选项，作出判断． 【详解】函数()()sin f x x ωϕ=+ 满足44f x f x ππ⎛⎫⎛⎫-=-+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以函数()f x 关于(,0)4π对称，同时又满足()2f x f x π⎛⎫--= ⎪⎝⎭，所以函数又关于4πx =-对称，设周期T ,21()()4442n T n Z πππ-=--=∈,而221()T n n Z πωω=⇒=-∈显然ω是奇数， 当ω=3时，()sin(3)f x x ϕ=+，()f x 关于(,0)4π对称，33()44k k Z k ππϕπϕπ+=∈⇒=-而2πϕ<，4πϕ=，()sin(3)4f x x π=+ 5(0,)(3)(,)8448x x ππππ∈⇒+∈，显然不单调；当ω=5时，()sin(5)f x x ϕ=+，()f x 关于(,0)4π对称，55()44k k Z k ππϕπϕπ+=∈⇒=-，而2πϕ<，4πϕ=-，()sin(5)4f x x π=-， 3(0,)(5)(,)8448x x ππππ∈⇒-∈-，显然单调，故本题选C ．【点睛】本题考查了正弦函数的对称性、周期,熟记推到周期和对称轴的表达式是关键.第Ⅱ卷（非选择题）二、填空题（共4小题，将答案填在答题纸上.）13.等差数列{}n a 中，10a =，公差0d ≠，n S 是其前n 项和，若10k a S =，则k =________. 【答案】46 【解析】【分析】利用等差数列的基本量计算． 【详解】由题意10110910452S a d d ⨯=+=，1(1)(1)k a a k d k d =+-=-，所以(1)45k d d -=，又0d ≠，所以46k =． 故答案为：46．【点睛】本题考查等差数列的基本量计算，用首项1a 和公差d 表示项与前n 项和是解题的基本方法．14.已知实数x ，y 满足约束条件404x y x y x +≥⎧⎪-≥⎨⎪≤⎩，则22(1)x y ++的最小值为________.【答案】13 【解析】 【分析】画出可行域，则22(1)x y ++表示可行域内的点(),x y 到定点()1,0P -的距离.数形结合可求距离的最小值.【详解】画出可行域，如图所示22(1)x y ++(),x y 到定点()1,0P -的距离. 解方程组40x y x y +=⎧⎨-=⎩，得22x y =⎧⎨=⎩，设()2,2M .由图可知，(2222min(1)(21)213x y MP ++==++=13【点睛】本题考查简单的线性规划，属于基础题.15.圆锥SD （其中S 为顶点，D 为底面圆心）的侧面积与底面积的比是2:1，若圆锥的底面半径为3，则圆锥SD 的内切球的表面积为________. 【答案】12π 【解析】 【分析】首先求出母线l ，设内切球的半径为R ，则利用轴截面，根据等面积可得R ，即可求出该圆锥内切球的表面积．【详解】解：依题意，圆锥SD （其中S 为顶点，D 为底面圆心）的侧面积与底面积的比是2:1， 所以()()2:2:1rl rππ=，因为3r =，所以6l =设内切球的半径为R ，则利用轴截面，根据等面积可得116(666)22R ⨯=⨯++，R ∴=，∴该圆锥内切球的表面积为2412ππ⨯=，故答案为：12π【点睛】本题考查该圆锥内切球的表面积，考查学生的计算能力，确定内切球的半径是关键，属于中档题． 16.高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，为了纪念数学家高斯，人们把函数[]y x =，x ∈R 称为高斯函数，其中[]x 表示不超过x 的最大整数. 设{}[]x x x =-，则函数(){}21f x x x x =--的所有零点之和为________.【答案】1- 【解析】 【分析】令()0f x =，显然0x ≠，可得出{}121x x=+，将问题转化为函数{}2y x =与函数11y x =+的图象交点的横坐标之和，可知两个函数的图象都关于点()0,1，数形结合可得出结果.【详解】()01f =-，令()0f x =，可得{}121x x=+，则函数()y f x =的零点，即为函数{}2y x =与函数11y x=+的图象交点的横坐标，作出函数{}2y x =与函数11y x=+的图象如下图所示：由图象可知，两函数除以交点()1,0-之外，其余的交点关于点()0,1对称， 所以，函数()y f x =的所有零点之和为1-. 故答案为：1-.【点睛】本题考查函数的零点之和，一般转化为两函数的交点问题，解题时要注意函数图象对称性的应用，考查数形结合思想的应用，属于中等题.三、解答题（本大题共6小题，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.在 ①22cos cos 20B B +=，②cos 31b A acosB +=，这两个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解决相应问题.已知在锐角ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，ABC ∆的面积为S ，若2224S b c a =+-，6b =，求ABC 的面积S 的大小.33+ 【解析】 【分析】先根据2224S b c a =+-，6b =，222cos 2b c aA bc+-=求出4A π=，若选择①，根据二倍角的余弦公式求出3B π=，根据正弦定理求出2a =，根据两角和的正弦公式求出sin B ，再根据三角形的面积公式求出面积即可；若选择②,根据余弦定理角化边可得31c =，再根据三角形的面积公式求出面积即可.【详解】因为2224S b c a =+-，222cos 2b c a A bc+-=，1sin 2S bc A =，所以2sin 2cos bc A bc A =.显然cos 0A ≠，所以tan 1A =，又(0,)A π∈，所以4A π=.若选择①，由22cos cos 20B B +=得,21cos 4B = 又(0,)2B π∈,∴3B π=，由sin sin a bA B=，得sin 2sin 2b A a B ===.又sin sin[()]sin()C A B A B π=-+=+1sin cos cos sin 2A B A B =+=+=所以13sin 22S ab C +==.若选择②,cos 1bcos A a B +=+，则222222222222cos cos 12222b c a a c b b c a a c b b A a B b a c bc ac c c+-+-+-+-+=+=+==所以113sin 1)2222S bc A +==⨯=. 【点睛】本题考查了正弦定理、余弦定理、三角形的面积公式，考查了两角和的正弦公式，属于中档题. 18.一饮料店制作了一款新饮料，为了进行合理定价先进行试销售，其单价x （元）与销量y （杯）的相关数据如下表：（1）已知销量y 与单价x 具有线性相关关系，求y 关于x 的线性回归方程；（2）若该款新饮料每杯的成本为8元，试销售结束后，请利用（1）所求的线性回归方程确定单价定为多少元时，销售的利润最大？（结果四舍五入保留到整数）附：线性回归方程ˆˆy bxa =+中斜率和截距最小二乗法估计计算公式：1221ˆni ii nii x y nxyb xnx ==-=-∑∑，ˆˆay bx =-，51=4195i ii x y =∑，521=453.75ii x=∑.【答案】（1）ˆ32394yx =-+（2）单价应该定为10元 【解析】 【分析】（1）首先求出x 、y ，然后再求出ˆb、ˆa ，即可求解. （2）设定价为x 元，利润函数为()()323948y x x =-+-，利用二次函数的性质即可求解. 【详解】解：（1）由表中数据，()18.599.51010.59.55x =⨯++++= ()1201101590706090y ++++==， 则12221419559.590ˆ32453.7559.5ni ii nii x y nxybxnx ==--⨯⨯===--⨯-∑∑， ˆˆ90329.5394ay bx =-=+⨯=， 所以y 关于x 的线性相关方程为ˆ32394yx =-+. （2）设定价为x 元，则利润函数为()()323948y x x =-+-， 其中8x ≥，则2326503152y x x =-+-， 所以()65010232x =-≈⨯-（元），为使得销售的利润最大，确定单价应该定为10元.【点睛】本题考查了线性回归方程、二次函数的性质，考查了计算求解能力，属于基础题.19.如图，在四边形ABCD 中，BC CD =，BC CD ⊥，AD BD ⊥，以BD 为折痕把ABD △折起，使点A 到达点P 的位置，且PC BC ⊥.（1）证明：PD ⊥平面BCD ； （2）若M 为PB 的中点，2PD CD =，三棱锥P BCD -的表面积为62223+，求三棱锥P MCD -的体积.【答案】（1）证明见解析；（222【解析】 【分析】(1)先证明BC ⊥平面PCD ，再证明PD ⊥平面BCD 即可.(2)易得三棱锥P BCD -的各面均为直角三角形，再设CD BC x ==，根据三棱锥P BCD -的表面积为62223+列式可求得2x =，进而根据1122P MCD M PCD B PCD P BCD V V V V ----===求解体积即可.【详解】（1）证明：因为BC CD ⊥，BC PC ⊥，PC CD C =，所以BC ⊥平面PCD ，又因为PD ⊂平面PCD ，所以BC PD ⊥. 又因为PD BD ⊥，BD BC B ⋂= 所以PD ⊥平面BCD .（2）∵BC ⊥平面PCD ，PD ⊥平面BCD ， ∴三棱锥P BCD -的各面均为直角三角形， 设CD BC x ==，则2PD BD x ==，3PC x =，∴三棱锥P BCD -的表面积为)2221111323223622232222x x x x x x x +++++==+∴2x =∵M 为PB 的中点， ∴11112222233P MCD M PCD B PCD P BCD BCD V V V V PD S ----====⋅⋅=△【点睛】本题主要考查了线面垂直的性质与判定、锥体体积的求解等，需要根据题意设合适的线段长度再列式求解.属于中档题.20.已知函数()()ln f x x ax a R =+∈，()2e x g x x x =+-. （1）求 函数()f x 的单调区间；（2）定义：对于函数()f x ，若存在0x ，使()00f x x =成立，则称0x 为函数()f x 的不动点. 如果函数()()()F x f x g x =-存在两个不同的不动点，求实数a 的取值范围.【答案】（1）当0a ≥时，()f x 的单调递增区间为(0,)+∞；当0a <时，()f x 的单调递增区间为1(0,)a-，单调递减区间为1(,)a-+∞ ；（2）1a e >+. 【解析】 【分析】（1）先确定函数的定义域，再求导，讨论a 的取值，得到函数的单调区间； （2）依题意可得()()2ln 0xF x x x ax x ex =-++->，()F x 存在两个不动点，所以方程()0F x =有两个实数根，即2ln e x x x a x-+=有两个解， 令()()2n 0e l x x xh x x x +-=>，利用导数研究函数的单调性、极值，即可求出参数的取值范围；【详解】解：（1）()f x 的定义域为()()()110,0ax f x a x x x++∞=+='>，， 对于函数1y ax =+，①当0a ≥时，10y ax =+>在0x >恒成立.()0f x '∴>在()0,∞+恒成立.()f x ∴在()0,∞+为增函数；② 当0a <时，由()0f x '>，得10x a<<-； 由()0f x '<，得1x a>-； ()f x ∴在1(0,)a -为增函数，在1(,)a-+∞减函数.综上，当0a ≥时，()f x 的单调递增区间为(0,)+∞当0a <时，()f x 的单调递增区间为1(0,)a -，单调递减区间为1(,)a-+∞ （2）()()()()2ln 0xF x f x g x x x ax x ex =-=-++->，()F x 存在两个不动点，∴方程()0F x =有两个实数根，即2ln e x x x a x -+=有两个解，令()()2n 0e l x x x h x x x +-=>，()()()()()()2211ln 1ln 11e e x x x x x x x x x h x x x++-+-+++-='=， 令()0h x '=，得1x =，当()0,1x ∈时，()()0h x h x '<，单调递减；当()1,x ∈+∞时，()()0h x h x '>，单调递增；()()1e 1h x h ∴≥=+， 设()ln I x x x =-,则'1()1I x x=-,max ()(1)10I x I =≤-<,即0x >时,ln x x < 将ln x x <两边取指数,则e x x <当0x +→时,2211()1x e x x x x h x x x x x+-+->>=+-→+∞当x →+∞时 , 2()x x xh x x x+->=→+∞当1a e >+时，()F x 有两个不同的不动点【点睛】本题考查了函数的单调性的求法，利用导数研究函数的零点，属于中档题． 21.已知长度为4的线段的两个端点,A B 分别在x 轴和y 轴上运动，动点P 满足3BP PA ，记动点P 的轨迹为曲线C .（1）求曲线C 的方程；（2）设曲线C 与y 轴的正半轴交于点D ，过点D 作互相垂直的两条直线，分别交曲线C 于点M ，N 两点，连接MN ，求DMN ∆的面积的最大值.【答案】（1）2219x y +=；（2）278. 【解析】 【分析】（1）设动点P 和点A ，B 的坐标，利用向量数乘关系结合||4AB =容易求得方程； （2）联立直线与曲线方程，利用弦长公式可得|DM |=，2|DN |9k =+则221162()1||||12829()DMNk k S DM DN k k∆+==++，设1k t k +=，则2t ≥，再利用基本不等式计算可得；【详解】（1）解：设,,,0,0,P x y A m B n .3BP PA ，,,33,3x y n m x ym x y ，即333x m xy n y =-⎧⎨-=-⎩.434m x n y⎧=⎪∴⎨⎪=⎩. 又||4AB =，2216m n ∴+=. 从而221616169x y .∴曲线C 的方程为2219x y +=.（2）由题意可知，直线DM 的斜率存在且不为0.故可设直线DM 的方程为1y kx =+，由对称性，不妨设0k >，由221990y kx x y =+⎧⎨+-=⎩，消去y 得22(19)180k x kx ++=，则|DM |，将式子中的0k >换成1k -，得：|DN |=. 1|DM ||DN |2DMNS ∆==342162()9829k k k k +=++221162()1829()k k k k +=++，设1k t k+=，则2t ≥. 故2162964DMNt S t ∆==+162276489t t=+，取等条件为649t t =即83t =， 即183k k +=，解得43k =时，DMN S 取得最大值278. 【点睛】本题考查了曲线方程的求法，直线与圆锥曲线的综合，基本不等式的应用，属于中档题．请考生在第22，23题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分. 【选修4－4：坐标系与参数方程】22.在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为32cos ,22sin x y αα=+⎧⎨=-+⎩（α为参数）. 以坐标原点O 为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知射线L 的极坐标方程为()704πθρ=≥. （1）求曲线C 的极坐标方程与射线L 的直角坐标方程；（2）若射线L 与曲线C 交于A ，B 两点，求22OA OB OB OA ⋅+⋅【答案】（1）26cos 4sin 90ρρθρθ-++=，()0y x x =-≥；（2）【解析】 【分析】（1）消参即可容易求得曲线C 的普通方程，结合公式即可由极坐标方程求得直角坐标方程； （2）联立74πθ=与26cos 4sin 90ρρθρθ-++=，即可求得12ρρ，12ρρ+，则问题得解. 【详解】（1）由32cos ,22sin ,x y αα=+⎧⎨=-+⎩得()()22324x y -++=，即226490x y x y +-++=，故曲线C 的极坐标方程为26cos 4sin 90ρρθρθ-++=. 射线L 的直角坐标方程为()0yx x =-≥.（2）将74πθ=代入26cos 4sin 90ρρθρθ-++=， 得26490ρρρ--+=，即290ρ-+=， 则12ρρ+=129ρρ=，所以()()221212OA OB OB OA OA OB OA OB ρρρρ⋅+⋅=⋅⋅+=+=【点睛】本题考查极坐标方程，参数方程和直角坐标方程之间的相互转化，ρ的几何意义，根与系数的关系，属于中档题.【选修4-5：不等式选讲】23.已知0a ≠，函数()1f x ax =-，()2g x ax =+. （1）若()()f x g x <，求x 的取值范围；（2）若()()2107af xg x +≥⨯-对x ∈R 恒成立，求a 的最大值与最小值之和.【答案】（1）当0a >时，不等式解集为1,2a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭；当0a <时，不等式解集为1,2a ⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭；（2）1.【解析】 【分析】（1）两边平方求解绝对值不等式，对参数a 进行分类讨论，则问题得解；（2）利用绝对值三角不等式，即可容易求得()()f x g x +的最小值，再求解绝对值不等式，即可求得a 的最大值和最小值，利用对数运算，求解即可.【详解】（1）因为()()f x g x <，所以12ax ax -<+， 两边同时平方得22222144a x ax a x ax -+<++， 即63ax >-， 当0a >时，12x a >-；当0a <时，12x a<-. 故当0a >时，不等式解集为1,2a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭；当0a <时，不等式解集为1,2a ⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭（2）因为()()()()12123f x g x ax ax ax ax +=-++≥--+=， 当且仅当()()120ax ax -+≤时取得等号. 所以()()f x g x +的最小值为3，所以21073a⨯-≤，则321073a -≤⨯-≤， 解得lg 2lg5a ≤≤，故a 的最大值与最小值之和为lg 2lg5lg101+==.【点睛】本题考查绝对值不等式的求解，涉及绝对值三角不等式，对数运算，属综合中档题.。
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2021届湖南长郡中学新高考模拟考试（十四）理科数学★祝你考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考考查范围。
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7、本科目考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合{}{}22|10,|log 0A x x B x x =-<=<，则AB =（ ）A. (1,0]-B. (0,1)C. (1,1)-D. ∅【答案】A 【解析】 【分析】由得可得()1,1A =-和(0,1)B =，然后根据补集的定义即可得出答案. 【详解】解：210x -<，11x ∴-<<，()1,1A ∴=-.2log 0,01,(0,1)x x B <∴<<∴=.(]1,0A B ∴=-.故选：A.【点睛】本题主要考查集合的补集运算、一元二次不等式和对数不等式的解集，考查学生的计算能力，属于基础题.2.设复数11iz i+=-，则22z z -+的虚部为（ ） A. i B. i -C. 1-D. 1【答案】C 【解析】 【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简z ，代入22z z -+，整理后即可求得22z z -+的虚部． 【详解】解：21(1)1(1)(1)i i z i i i i ++===--+， 22221z z i i i ∴-+=-+=-，则22z z -+的虚部为1-． 故选：C ．【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，属于基础题．3.X 表示某足球队在2次点球中射进的球数，X 的分布列如下表，若()1E X =，则()D X =（ ）A.13B.12C.14D.23【答案】D 【解析】 【分析】根据期望和方差的数学公式求解即可【详解】由()1E X =，可得1()01213E X a b =⨯+⨯+⨯=①，又由113a b ++=②，由①和②可得，13a =，13b =，所以，2221112()(01)(11)(21)3333D X =⨯-+⨯-+⨯-= 故选：D【点睛】本题考查离散型随机变量的期望和方差公式的应用，属于基础题. 4.已知1tan 43πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则cos2=α（ ）A.35B.35C.45D. 45-【答案】B 【解析】 【分析】先用两角和的正切公式求出tan α，再用倍角公式化简cos2α，再用弦化切技巧求解.【详解】由1tan 43πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭,则tan tan44tan tan 441tan tan44ππαππααππα⎛⎫-+ ⎪⎛⎫⎝⎭=-+= ⎪⎛⎫⎝⎭-- ⎪⎝⎭2=，又222222cos sin cos 2cos sin cos sin ααααααα-=-=+221tan 14141tan αα--==++35=- 故选：B ． 【点睛】本题考查两角和的正切公式，余弦的倍角公式，弦化切技巧，角变换技巧，是考查了多个基本知识的基础题． 5.对数的发明是数学史上的重大事件，它可以改进数字的计算方法、提高计算速度和准确度.已知{1,3}M =，{1,3,5,7,9}N =，若从集合M ，N 中各任取一个数x ，y ，则3log ()xy 为整数的概率为（ ） A.15B.25C.35D.45【答案】C 【解析】 【分析】基本事件总数2510n，利用列举法求出3log ()xy 为整数包含的基本事件有6个，再利用古典概型的概率计算公式即可求解.【详解】{1,3}M =，{1,3,5,7,9}N =， 若从集合M ，N 中各任取一个数x ，y ， 基本事件总数2510n，3log ()xy 为整数包含的基本事件有()1,1，()1,3，()1,9，()3,1，()3,3，()3,9，共有6个，∴3log ()xy 为整数的概率为63105p ==.故选：C【点睛】本题考查了古典概型的概率计算公式、分步计数原理、列举法求基本事件个数、对数的运算，属于基础题.6.已知直线l m 、与平面αβ、，,l m αβ⊂⊂，则下列命题中正确的是（ ） A. 若//l m ，则//αβ B. 若l β⊥，则αβ⊥ C. 若l β//，则//αβ D. 若αβ⊥，则l m ⊥【答案】B 【解析】 【分析】根据空间点、直线、平面之间的位置关系，对四个选项逐一判断可得答案. 【详解】对于A ，若//l m ，则//αβ或α与β相交，故A 不正确；对于B ，若l β⊥，又l α⊂，则根据平面与平面垂直的判定定理可得αβ⊥，故B 正确； 对于C ，若l β//，则//αβ或α与β相交，故C 不正确；对于D ，若αβ⊥，则//l m 或l 与m 为异面直线，或l 与m 相交，故D 不正确. 故选：B.【点睛】本题考查了空间点、直线、平面之间的位置关系，属于基础题.7.甲、乙、丙三名学生参加数学竞赛，他们获得一、二、三等奖各一人，对于他们分别获得几等奖，其他学生作了如下的猜测：猜测1：甲获得二等奖，丙获得三等奖； 猜测2：甲获得三等奖，乙获得二等奖； 猜测3：甲获得一等奖，丙获得二等奖；结果，学生们的三种猜测各对了一半，则甲、乙、丙所获得的奖项分别是（ ） A. 一等、二等、三等 B. 二等、一等、三等 C. 二等、三等、一等 D. 三等、二等、一等 【答案】A 【解析】 【分析】首先假设猜测1：甲获得二等奖正确，得到与猜测2矛盾，假设不成立，得到丙获得三等奖正确，从而得到猜测3中甲获得一等奖正确和猜测2中乙获得二等奖正确，综合即可得到答案. 【详解】假设猜测1：甲获得二等奖正确，则猜测2：甲获得三等奖错误，乙获得二等奖错误；与题意矛盾，假设不成立. 故：猜测1：甲获得二等奖错误，丙获得三等奖正确； 根据丙获得三等奖正确得到：猜测3：甲获得一等奖正确，丙获得二等奖错误； 根据甲获得一等奖正确，得到：猜测2：甲获得三等奖错误，乙获得二等奖正确， 综上：甲获得一等奖，乙获得二等奖，丙获得三等奖. 故选：A【点睛】本题主要考查合情推理，同时考查学生分析问题和解决问题的能力，属于简单题.8.过双曲线2222:1(0,0)x y E a b a b-=>>的左焦点1(2,0)F -作垂直于实轴的弦MN ，A 为E 的右顶点.若AM AN ⊥，则E 的方程为（ ）A. 22139x y -=B. 2213x y -=C. 2213y x -=D. 22193x y -=【答案】C 【解析】 【分析】由题意可得c 的值，再由题意及双曲线的对称性可得2ba c a+=，又有a ，b ，c 之间的关系求出a ，b 的值，进而求出双曲线的方程．【详解】解：由题意可得2c =，由题意可得2(2,)b M a -，2(2,)b N a--，由双曲线的对称性及AM AN ⊥可得2b ac a +=，2224c a b =+=，解得：21a =，23b =，所以双曲线的方程为：2213y x -=，故选：C ．【点睛】本题考查双曲线的性质，属于基础题．9.已知函数()y f x =满足()(1)1f x f x +-=，若数列{}n a 满足12(0)n a f f f n n ⎛⎫⎛⎫=++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1(1)n f f n -⎛⎫+ ⎪⎝⎭，则数列{}n a 的前20项和为（ ）A. 100B. 105C. 110D. 115【答案】D 【解析】 【分析】根据函数()y f x =满足()(1)1f x f x +-=，利用倒序相加法求出n a ，再求前20项和． 【详解】解：函数()y f x =满足()(1)1f x f x +-=，()()12101n n a f f f f f n n n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++⋯⋯++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭①，()()12110n n n a f f f f f n n n --⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=+++⋯⋯++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭②，由①+②可得21n a n =+，12n n a +∴=，所以数列 {}n a 是首项为1，公差为12的等差数列，其前20项和为20120121152+⎛⎫+ ⎪⎝⎭=． 故选：D ．【点睛】本题主要考查函数的性质及倒序相加法求和，属于基础题．10.已知圆柱的高为h ，它的两个底面半径为r 的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的侧面积的最大值为（ ）A. 2πB. 3πC. 4πD. 8π【答案】A 【解析】 【分析】由题意画出图形，利用勾股定理可得2214h r +=，再由基本不等式求得rh 的最大值，则圆柱侧面积的最大值即可求得. 【详解】解：如图：根据题意可得：1,,2h OA OG GA r ===，则2212h r ⎛⎫+= ⎪⎝⎭, 所以2214h r +=，则221242h h r r rh =+≥⋅⋅=，当且仅当2hr =，即22r 时上式等号成立. 所以，圆柱的侧面积22S r h ππ=⋅≤. 即该圆柱的侧面积的最大值为2π. 故选：A.【点睛】本题主要考查圆柱的外接球，基本不等式，考查学生数形结合的能力，属于中档题.11.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左右焦点分别为12,F F ，过1F 的直线与C 交于,A B 两点.若112AF F B =，2||AB BF =，则C 的离心率为（ ）A.13B.23C.3 D.23【答案】C 【解析】 【分析】由112AF BF =，2AB BF =，利用椭圆的定义，求得1AF a =，2AF a =，32AB a =， 可得2112cos 332aBAF a ∠==，1sin c OAF a ∠=，由于212BAF OAF ∠=∠，由二倍角公式列方程可得结果. 【详解】如图，由题意可得：122AF AF a +=，122F B BF a +=，112AF F B =，213AB BF BF ==，所以1132F B F B a +=，故12a F B =， 可得1AF a =，2AF a =，32AB a =，122F F c =， 利用2AB BF =，则2ABF ∆为等腰三角形，所以，221122cos 332AF a BAF AB a ∠===，1sin c OAF a ∠=，212BAF OAF ∠=∠,可得2112()3ca =-，可得3c e a ==．故选：C【点睛】本题考查椭圆的简单性质的应用以及椭圆的离心，属于难题．离心率的求解在圆锥曲线的考查中是一个重点也是难点，一般求离心率有以下几种情况：①直接求出,a c ，从而求出e ;②构造,a c 的齐次式，求出e ;③采用离心率的定义以及圆锥曲线的定义来求解．12.已知函数()f x 是定义在R 上连续的奇函数，当0x >时，()2()0xf x f x '+>，且(1)1f =，则函数21()()g x f x x=-的零点个数是（ ） A. 0 B. 1C. 2D. 3【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，设2()()h x x f x =，由函数的零点与方程的关系分析可得函数21()()g x f x x =-的零点就是方程2()1x f x =的根，分析可得()h x 为R 上连续的奇函数，且在R 上为增函数，又由f （1）的值可得h （1）的值，据此可得方程2()1x f x =只有一个根，即函数21()()g x f x x=-只有1个零点，可得答案． 【详解】根据题意，若21()()0g x f x x =-=，变形可得22()1()0x f x g x x -==， 设2()()h x x f x =， 则函数21()()g x f x x=-的零点就是方程2()1x f x =的根， 2()()h x x f x =，其定义域为R ，又由()f x 为定义在R 上连续的奇函数，则2()()()()h x x f x h x -=--=-， 则()h x 为R 上连续的奇函数，2()()h x x f x =，则2()2()()[()2()]h x xf x x f x x xf x f x ''=+'=+，又由当0x >时，()2()0xf x f x '+>，则有()0h x '>，即函数()h x 为(0,)+∞上的增函数， 又由()h x 为R 上连续的奇函数，且(0)0h =， 则()h x 为R 上的增函数，又由f （1）1=，则h （1）f =（1）1=，则方程2()1x f x =只有一个根， 故函数21()()g x f x x =-只有1个零点， 故选：B.【点睛】本题考查函数的零点与方程的关系以及函数的奇偶性与单调性的判断以及应用，涉及利用导数分析函数的单调性，属于中档题．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分题，共20分.13.已知13,2a ⎛= ⎝⎭，()a b a +⊥，则a b ⋅=________. 【答案】1- 【解析】 【分析】计算出2a 的值，再由()a b a +⊥可得出()0a b a +⋅=，由此可得出a b ⋅的值.【详解】13,22a ⎛= ⎝⎭，222112a ⎛⎫∴=+= ⎪⎝⎭⎝⎭， ()a b a +⊥，()0a b a ∴+⋅=，即20aa b +⋅=，因此，21a b a ⋅=-=-.故答案为：1-.【点睛】本题考查向量数量积的运算，考查垂直向量的等价条件的应用，考查计算能力，属于基础题. 14.函数()cos (0)6f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭在[]0,π有且只有3个零点，则ω的取值范围是______. 【答案】710,33⎡⎫⎪⎢⎣⎭【解析】 【分析】根据x 的取值范围，求得6x πω+的取值范围，结合余弦函数的零点列不等式，由此求得ω的取值范围.【详解】依题意，0>ω.由0x π≤≤得666x πππωωπ≤+≤+，要使函数()cos (0)6f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭在[]0,π有且只有3个零点，则需57262πππωπ≤+<，即71033ω≤<.所以ω的取值范围是710,33⎡⎫⎪⎢⎣⎭. 故答案为：710,33⎡⎫⎪⎢⎣⎭【点睛】本小题主要考查三角函数的零点问题，属于中档题. 15.在锐角ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知sinsin 2B Cb a B +⋅=⋅，且2c =，则锐角ABC 面积的取值范围是______.【答案】,2⎛ ⎝ 【解析】 【分析】根据已知条件，利用正弦定理求得A .画出图象，结合三角形ABC 是锐角三角形，求得b 的取值范围，由此求得三角形ABC 面积的取值范围.【详解】依题意，锐角三角形ABC 中，sin sin 2B Cb a B +⋅=⋅， 即sinsin 2Ab a B π-⋅=⋅，即cossin 2Ab a B ⋅=⋅.由正弦定理得cossin sin 2sin A B A B ⋅=⋅，由于02B π<<，所以sin 0B >. 故cossin 2AA =，即cos 2sin cos 222A A A =，由于02A π<<，所以024A π<<，所以2sin 12A=，1sin 22263A A A ππ=⇒=⇒=.画出三角形ABC 的图象如下图所示，其中12,BC AC BC AB ⊥⊥，1212cos21,4132cos32AB AC AB AC ππ=⋅=⨯====， 由于三角形ABC 是锐角三角形，所以C 在线段12C C 内运动（不包括端点）， 所以12AC b AC <<，即14b <<. 所以133sin ,23222ABCS bc A b ⎛⎫==∈ ⎪ ⎪⎝△. 故答案为：3,232⎛⎫⎪ ⎪⎝【点睛】本小题主要考查正弦定理解三角形，考查三角形的面积公式，属于中档题. 16.已知函数32()1f x x ax bx =+++，关于函数()y f x =有下列结论： ①0x R ∃∈，()00f x =；②函数()y f x =的图象是中心对称图形，且对称中心是(0,1)； ③若0x 是()f x 的极大值点，则()f x 在区间()0,x +∞单调递减；④若0x 是()f x 的极小值点，且()00f x >，则()y f x =有且仅有一个零点. 其中正确的结论有________（填写出所有正确结论的序号）.【答案】①④ 【解析】 【分析】根据零点存在定理，对称性，导数与极值的关系对各选项判断．【详解】易知x →+∞时，()f x →+∞，x →-∞时，()f x →-∞，因此()f x 一定存在零点，①正确； 32322()()(1)(1)22f x f x x ax bx x ax bx ax -+=-+-+++++=+，所以()f x 图象不一定关于点(0,1)对称，②错；由题意2()32f x x ax b '=++，若0x 是()f x 的极大值点，则0x 是()0f x '=的一根，则它还有另一根2x ，据题意02x x <，只有在02(,)x x x ∈上()0f x '<，()f x 递减，在2(,)x x ∈+∞时，()0f x '>，()f x 递增，③错；与上面讨论类似，2()320f x x ax b '=++=有两个不等实根10,x x ，10x x <，在1x x <或0x x >时，()0f x '>，()f x 在两个区间上都是递增，10x x x <<时，()0f x '<，()f x 递减，0x 是极小值点，1x 是极大值点，0()0f x >则，1()0>f x ，()f x 在1(,)x +∞上无零点，在1(,)x -∞上有唯一零点．④正确． 故答案：①④【点睛】本题考查函数的对称性，考查导数与极值的关系，函数的零点问题． 对称性结论：若()(2)2f x f a x b +-=在定义域内恒成立，则()f x 的图象关于点(,)a b 对称．三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程和演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22、23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：60分.17.在①224n n n a a S b +=+，且25a =，②224n n n a a S b +=+，且1b <-，③224n n n a a S b +=+，且28S =这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的b 存在，求出b 和数列{}n a 的通项公式与前n 项和；若b 不存在，请说明理由.设n S 为各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和，满足________，是否存在b ，使得数列{}n a 成为等差数列？ 【答案】答案不唯一，具体见解析 【解析】 【分析】由224n n n a a S b +=+，用1n +换n 后得211124n n n a a S b ++++=+，两式相减得12n n a a +-=，若选择①，由25a =可求得等差数列{}n a 的通项公式及b 值，前n 项和；若选择②，由1n =得1a 和b 的关系式，作为关于1a 的二次方程，至少有正根，由根的分布得其条件是0∆≥，得出与已知矛盾的结论，说明不存在；若选择③，由28S =，同样可求n a 和b ． 【详解】解：选择①，因为224n n n a a S b +=+，所以211124n n n a a S b ++++=+，两式相减，得()()()2211112n n n n n n n n a a a a a a a a +++++=-=+-，即()()1120n n n n a a a a ++--+=，又10n n a a ++>，所以12n n a a +-=， 因为25a =，且212a a -=，所以13a =，由224n n n a a S b +=+，得211124a a a b +=+，即21120a a b --=， 把13a =代入上式，得3b =，当3b =时，由21120a a b --=及10a >，得13a =，所以13a =，25a =，满足12n n a a +-=，可知数列{}n a 是以3为首项，以2为公差的等差数列. 数列{}n a 的通项公式为32(1)21n a n n =+-=+， 数列{}n a 的前n 项和为2(1)3222n n n S n n n -=+⨯=+. 选择②，因为224n n n a a S b +=+，所以211124n n n a a S b ++++=+，两式相减，得()()()2211112n n n n n n n n a a a a a a a a +++++=-=+-，即()()1120n n n n a a a a ++--+=，又10n n a a ++>，所以12n n a a +-=， 由224n n n a a S b +=+，得121124a a a b +=+，即12120a a b --=， 因为已知数列{}n a 的各项均为正数，所以10a >，因为关于1a 的一元二次方程12120a a b --=至少存在一个正实数解的充要条件是440b ∆=+，解得1b -，这与已知条件1b <-矛盾，所以满足条件的b 不存在.（注：若21120a a b --=存在两个实数解分别为1x ，2x ，则122x x +=，12x x b =-，当0b >时，21120a a b --=的解一正一负；当0b =时，21120a a b --=的解一正一零； 当10b -≤<时，21120a a b --=的解均为正.所以方程21120a a b --=至少存在一个正实数解，当且仅当440b ∆=+.） 选择③，因为224n n n a a S b +=+，所以211124n n n a a S b ++++=+，两式相减，得()()()2211112n n n n n n n n a a a a a a a a +++++=-=+-，即()()1120n n n n a a a a ++--+=，又10n n a a ++>，所以12n n a a +-=， 由12n n a a +-=，得212a a -=，又已知2128S a a =+=， 所以13a =，25a =，由224n n n a a S b +=+，得121124a a a b +=+，2112b a a =-，所以21123b a a =-=，当3b =时，由21120a a b --=及10a >得13a =， 由2222243a a S +=+，13a =及20a >，得25a =，所以13a =和25a =满足12n n a a +-=，可知数列{}n a 是以3为首项，以2为公差的等差数列， 数列{}n a 的通项公式为32(1)21n a n n =+-=+， 数列{}n a 的前n 项和为2(1)3222n n n S n n n -=+⨯=+. 【点睛】本题考查数列的探索性命题，考查数列的前n 项n S 与n a 的关系，确定数列的通项公式．解题根据是1(2)n n n S S a n --=≥．18.如图，在Rt ABC 中，,2AB BC AB BC ⊥==，点P 为AB 的中点，//PD BC 交AC 于点D ，现将PDA 沿PD 翻折至1PDA ，使得平面1PDA ⊥平面PBCD .（1）若Q 为线段1A B 的中点，求证：PQ ⊥平面1A BC ； （2）在线段1A C 上是否存在点E ，使得二面角B PD E --大小为4π.若存在，请求出点E 所在位置，若不存在，请说明理由.【答案】（1）证明见解析；（2）存在；E 为线段1A C 的中点 【解析】 【分析】（1）推导出AB BC ⊥，//PD BC ，从而PD AB ⊥，推导出1PD A P ⊥，1BC A P ⊥，进而BC ⊥平面1PBA ，由此能求出PQ BC ⊥，1PQ A B ⊥，由此能证明PQ ⊥平面1A BC ．（2）推导出PD PB ⊥，1PD PA ⊥，得1PA ⊥平面PBCD ，以点P 为坐标原点，分别以PA ，PD ，1PA 所在直线为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系，当点E 为线段1A C 的中点时，二面角B PD E --的大小为4π． 【详解】解：（1）证明：在Rt ABC 中，,//AB BC PD BC ⊥，PD AB ∴⊥，将PDA 沿PD 翻折至1PDA ，1PD A P ∴⊥，1BC A P ∴⊥ 又1AB A P P ⋂=，BC ∴⊥平面1PBA ， PQ ⊂平面1PBA ，PQ BC ∴⊥，在1PBA 中1PA PB =，Q 为1A B 的中点，1PQ A B ∴⊥，又1A B BC B ⋂=，PQ ∴⊥平面1A BC（2）在Rt ABC ，,//AB BC PD BC ⊥，PD PB ∴⊥，又PDA 沿PD 翻折至1PDA ，且平面1PDA ⊥平面PBCD ，由（1）有1PD PA ⊥，得1PA ⊥平面PBCD .以点P 为坐标原点，分别以1,,PA PD PA 所在直线为,,x y z 轴建立空间直角坐标系P xyz -，如图所示. 则1(0,0,0),(0,0,1),(0,1,0),(1,2,0)P A D C -，1(0,1,0),(1,2,1)PD AC ==--. 设11(01)A E AC λλ=，则(,2,1)E λλλ--，所以(,2,1)PE λλλ=--设平面PDE 的一个法向量为(,,)m x y z =则由0,0,m PE m PD ⎧⋅=⎨⋅=⎩即2(1)0,x y z y λλλ-++-=⎧⎨=⎩可得(1,0,)m λλ=-可取平面BPD 的一个法向量为(0,0,1)n = 则()222cos ,21m n m n m nλλ⋅===-+，解得12λ=. 所以当点E 为线段1A C 的中点时，二面角B PD E --大小为4π.【点睛】本题考查线面垂直的证明，考查二面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，属于中档题．19.某校举行了全体学生的一分钟跳绳比赛，为了了解学生的体质，随机抽取了100名学生，其跳绳个数的频数分布表如下： 一分钟跳绳个数 [145,155) [155,165) 165,[175) 175,[185) [185,195) [195,205) [205,215]频数 612183016108（1）若将抽取的100名学生一分钟跳绳个数作为一个样本，请将这100名学生一分钟跳绳个数的频率分布直方图补充完整（只画图，不需要写出计算过程）；（2）若该校共有3000名学生，所有学生的一分钟跳绳个数X 近似服从正态分布()2,15N μ，其中μ为样本平均数的估计值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）.利用所得正态分布模型，解决以下问题： ①估计该校一分钟跳绳个数超过165个的人数（结果四舍五入到整数）；②若在该校所有学生中任意抽取4人，设一分钟跳绳个数超过180个的人数为ξ，求随机变量ξ的分布列、期望与方差.附：若随机变量Z 服从正态分布()2,N μσ，则()0.6826P Z μσμσ-+=，(22)0.9544P Z μσμσ-+=，(33)0.9974P Z μσμσ-+=.【答案】（1）作图见解析；（2）①2524（人）②分布列见解析；()2,()1E D ξξ== 【解析】 【分析】（1）由跳绳个数的频数分布表能完成频率分布直方图．（2）①由频率分布直方图求出样本数据的平均数的估计值，从而该校全体学生的一分钏跳绳个数X 近似服从正态分布(180N ，215)，由18015165μσ-=-=，求出0.68261(165)0.841322P X >=+=，由此能求出该校一分钟跳绳个数超过165个的人数．②由正态分布求出在该校任取一人，一分钟跳绳个数超过180个的概率约为12，从而1~(4,)2B ξ，由此能求出随机变量ξ的分布列、期望与方差． 【详解】解：（1）由题意可得，（2）样本数据的平均数的估计值为0.061500.121600.181700.31800.16190μ=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+0.12000.08210180⨯+⨯=（个）所以该校全体学生的一分钟跳绳个数X 近似服从正态分布()2180,15N①18015165μσ-=-=，0.68261(165)0.841322P X ∴>=+= 所以该校一分钟跳绳个数超过165个的人数约为30000.84132523.92524⨯=≈（人） ②由正态分布可得，在该校任取一人，一分钟跳绳个数超过180个的概率约为12，所以1~4,2B ξ⎛⎫⎪⎝⎭，ξ的所有可能的取值为0，1，2，3，4.所以0404111(0)12216P C ξ⎛⎫⎛⎫==⨯⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，1314111(1)1224P C ξ⎛⎫⎛⎫==⨯⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，2224113(2)1228P C ξ⎛⎫⎛⎫==⨯⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，3134111(3)1224P C ξ⎛⎫⎛⎫==⨯⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，444111(4)12216P C ξ⎛⎫⎛⎫==⨯⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以ξ的分布列为ξ0 1 2 3 4P 116 14 3814 116所以111()42,()411222E D ξξ⎛⎫=⨯==⨯⨯-= ⎪⎝⎭【点睛】本题考查频率分布直方图的画法，考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列、数学期望、方差的求法，考查正态分布、二项分布等基础知识，考查运算求解能力，属于中档题． 20.已知函数()21xf x e x =--.（1）若函数()()f x F x x=，讨论()F x 在()0,∞+的单调性； （2）若()()23522f x k x x k Z -+∈，对任意x ∈R 恒成立，求整数k 的最大值. 【答案】（1）()F x 在区间()0,1上单调递减，在区间()1,+∞上单调递增（2）1- 【解析】 【分析】（1）利用导数的符号可求得()F x 在()0,∞+的单调性； （2）分离变量k ，转化为求函数()215122xh x e x x =+--的最小值，通过导数和零点存在性定理可得结果.【详解】（1）因为()()()211x x e x F x x ---'=，令()1xg x e x =--，则()()100xg x e x =->>'.所以函数()g x 在()0,∞+单调递增，从而()()00g x g >=，所以10x e x -->. 由()0F x '>，得1x >；由()0F x '<得01x <<. 所以()F x 区间()0,1上单调递减，在区间()1,+∞上单调递增.（2）因为()()23522f x k x x k Z -+∈，对任意x ∈R 恒成立， 所以2min15122xk e x x ⎛⎫+-- ⎪⎝⎭. 令()215122xh x e x x =+--，则()52x h x e x '=+-，所以()h x '在R 上单调递增， 又()()3300,1022h h e ''=-<=->，所以存在唯一的()00,1x ∈，使得()00h x '=又1202h ⎛⎫'=<⎪⎝⎭由（1）知当0x >时，1xe x >+，所以343737104444h e ⎛⎫=->+-⎪'= ⎝⎭所以存在唯一的013,24x ⎛⎫∈⎪⎝⎭，使得()00h x '=，即0052x e x =-.当01,2x x ⎛⎫∈⎪⎝⎭时，()0h x '<，所以()h x 单调递减； 当03,4x x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0h x '>，所以()h x 单调递增；所以()()0222000000min151731737122222224x h x h x e x x x x x ⎡⎤⎛⎫==+--=-+=--⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦013,24x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()min 271,328h x ⎛⎫∴∈-- ⎪⎝⎭又k Z ∈，所以k 的最大值为1-.【点睛】本题考查了利用导数讨论函数的单调性，考查了零点存在性定理，考查了利用导数处理不等式恒成立问题，属于中档题.21.已知抛物线2:2(0)M x py p =>上一点(4,)Q a 到焦点F 的距离为54a . （1）求抛物线M 的方程；（2）过点F 斜率为k 的直线l 与M 相交于C ，D 两点，线段CD 的垂直平分线l '与M 相交于,A B 两点，点,E H 分别为线段CD 和AB 的中点.①试用k 表示点E H 、的坐标；②若以线段AB 为直径的圆过点C ，求直线l 的方程.【答案】（1）24x y =（2）①()22,21E k k +；2222,23H k k k ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭②1y x =+，或1y x =-+ 【解析】 【分析】（1）根据题意可得524p aa +=且216pa =，解得p ，进而得出抛物线方程． （2）①点F 的坐标为(0,1)，写出直线l 的方程为：1(0)y kx k =+≠，联立直线l 与抛物线M 的方程得2440(x kx --=0)∆>，设1(C x ，1)y ，2(D x ，2)y ，则由韦达定理得124x x k +=，21242y y k +=+，进而得中点E 的坐标，再写出线段CD 垂直平分线l '的方程：21(23)y x k k=-++，联立它与抛物线方程，同理得线段AB 中点H 的坐标．②根据题意得AC BC ⊥，1||||2CH AB =，在Rt CEF 中，由勾股定理得222||||||CE EH CH +=，即22211(||)||(||)22CD EH AB +=，分别由抛物线定义，弦长公式，两点之间得距离公式表示||CD ，||AB ，||EH ，代入化简解得21k =，进而得直线l 的方程．【详解】解：（1）根据抛物线的定义和已知条件，得524p a a +=，故2a p =， 由点Q 在M 上，可知216pa =，把2a p =代入，得2p =.所以抛物线M 的方程为：24x y =.（2）①由（1）可知点F 的坐标为(0,1)，所以直线l 的方程为：1(0)y kx k =+≠. 联立21,4y kx x y=+⎧⎨=⎩消去y 得2440(0)x kx --=∆>， 设()()1122,,,C x y D x y ，则124x x k +=，所以21242y y k +=+，所以线段CD 中点()22,21E k k +.因为l '过点E 且与l 垂直，所以l '的方程为：()2123y x k k=-++ 联立()22123,4y x k k x y ⎧=-++⎪⎨⎪=⎩消去y ，得()2244230x x k k +-+=，>0∆显然成立. 设()()3344,,,A x y B x y ，则()234344,423x x x x k k +=-=-+，所以2342446y y k k+=++， 所以线段AB 中点2222,23H k k k ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭②因为以线段AB 为直径的圆过点C ，所以1,||||2AC BC CH AB ⊥=， 在Rt CEH 中，222||||||CE EH CH +=， 即22211||||||22CD EH AB ⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.根据抛物线定义，得212||44CD y y p k =++=+，又34||AB x =-== 222222||22EH k k k ⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以，由22211||||||22CD EH AB ⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 得()22222222111111123k k k k k k k ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++=+++ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 解方程得21k =，所以直线l 的方程为1y x =+，或1y x =-+.【点睛】本题考查抛物线方程，直线与抛物线相交问题，属于中档题．（二）选考题：共10分.请考生在第22、23两题中任选一题作答，并用2B 铅笔将所选题号涂黑，多涂、错涂、漏涂均不给分，如果多做，则按照所做的第一题计分.22.在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为65cos ,5sin .x t y t =+⎧⎨=⎩（t 为参数）.在以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线2:C θα=，其中4tan 3α=. （1）说明1C 是哪种曲线，并将1C 的方程化为极坐标方程；（2）设曲线2C 和曲线1C 交于A ，B 两点，求||AB .【答案】（1）1C 是以(6,0)为圆心，5为半径的圆；212cos 110ρρθ-+=（2）14||5AB =【解析】【分析】（1）消去参数t 得到1C 的普通方程，再利用极坐标公式得到答案.（2）根据韦达定理得到1212cos ρρα+=，1211ρρ=，根据12||AB ρρ=-计算得到答案.【详解】（1）消去参数t 得到1C 的普通方程为22(6)25x y -+=， 1C 是以(6,0)为圆心，5为半径的圆，将cos x ρθ=，sin y ρθ=代人1C 的普通方程中，得到()22(cos 6)sin 25ρθρθ-+=，化简整理得到：212cos 110ρρθ-+=.（2）设A ，B 两点所对应的极径分别为1ρ，2ρ，将曲线2C 的极坐标方程代人曲线1C 的极坐标方程，得212cos 110ρρα-+=.于是1212cos ρρα+=，1211ρρ=，12||AB ρρ=-==. 由4tan 3α=，得4sin cos 3αα=，两边平方整理得29cos 25α=，所以14||5AB ===. 【点睛】本题考查了参数方程，极坐标方程，求弦长，意在考查学生的计算能力和转化能力. 23.已知x ，y ，z 为正实数，且1xyz =，证明：（1）()()()8x y y z z x +++；（2）222111x y z x y z++≤++. 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；【解析】【分析】（1）利用3次均值不等式，相乘计算得到答案.（2）变换111yz xz xy x y z++=++，利用3次均值不等式相加，计算得到证明. 【详解】（1）因为x ，y ，z 为正实数，所以2x y xy +，2y z yz +，2z x zx +， （当且仅当1x y z ===时，等号同时成立），所以()()()288x y y z z x xy xyz +++⨯==.（2）因为1xyz =，所以111111xyz yz xz xy x y z x y z ⎛⎫++=++⋅=++ ⎪⎝⎭ 又()()()()2222222222222x y zx y y z z x xy yz zx ++=+++++++， 即222x y z xy yz zx ++++.（当且仅当1x y z ===时，等号同时成立）.所以222111x y z x y z ++++，即222111x y z x y z++≤++. 【点睛】本题考查了利用均值不等式证明不等式，意在考查学生对于均值不等式各种变形技巧的灵活运用.。