冲刺2021届高考数学存在问题之解决专题02 三角函数与解三角形(解析版)

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专题二 三角函数与解三角形

【考生存在问题报告】

（一）概念理解不透彻

概念理解不透彻主要表现在三角函数的定义、诱导公式；三角函数的复合变换和三角函数的性质（周期性、单调性、对称性）等.

【例1】（2020·安徽高三期末）若函数()x x f 2sin =的图象向右平移

6

11π

个单位得到的图象对应的函数为()x g ，则下列说法正确的是（ ）

A ．()g x 的图象关于12

x π

=-

对称

B ．()g x 在[]0π，上有2个零点

C ．()g x 在区间5

36ππ⎛⎫

⎪⎝

⎭，上单调递减 D ．()g x 在 02π⎡⎤

-⎢⎥⎣⎦，上的值域为 0⎡⎤⎢⎥⎣

⎦

【解析】由题意1111()sin 2()sin(2)sin(2)633

g x x x x πππ

=-

=-=+， 1()sin()12632

g πππ-=-+=不是函数的最值，12x π

=-不是对称轴，A 错；

由()sin(2)03

g x x π=+=，2()3x k k Z ππ+=∈，26k x ππ=

-，其中5,36ππ

是[0,]π上的零点，B 正确； 由3222232k x k πππππ+≤+≤+得71212k x k ππ

ππ+≤≤+，k Z ∈，因此()g x 在7(,

)312

ππ是递减，在75(,)126

ππ

上递增，C 错；

[,0]2

x π

∈-

时，22[,]3

33x π

ππ+

∈-

，()[g x ∈-，D 错． 故选：B ．

【评析】本题有两个考查重点，即三角函数图象变换和三角函数的性质．三角函数图象变换和三角函数的几何性质（对称轴方程，对称点坐标，单调区间等）是考生的易错点，比如，考生比较容易将平移以后的解析式写为()⎪⎭

⎫

⎝

⎛

-

=6112sin πx x f ，或者将正弦函数的单调区间直接搬来等．在解决问题时，只有深刻地理解三角函数图象的平移变换和三角函数图象的性质，提高应用所学三角函数知识进行运算的能力，才能正确地判断三角函数图象经平移以后的图象的对称轴方程．

（二）整体意识较薄弱

在三角函数专题中，常常出现三角求值问题．在求值过程中，整体意识薄弱，不能合理运用有关公式进行恒等变形，是导致失分的主要原因，主要包括：①找不准已知式与待求式之间的差别与联系，无法将角进行合理的拆分；②对角的结构特征分析不透，不能从整体的意识上去分析和思考问题等． 【例2】（2020·黑龙江哈尔滨三中高三期末）若02

π

α<<

，02π

β-

<<，1cos 43πα⎛

⎫+= ⎪⎝

⎭，

cos 42πβ⎛⎫

-=

⎪⎝⎭cos 2βα⎛⎫+ ⎪⎝⎭等于（ ）

A ．

3

B ．

C

D ．

【解析】

02

π

α<<

，34

4

4π

π

πα∴

<+

<

，则sin 43πα⎛⎫+== ⎪⎝⎭，

02

π

β-

<<，则

4

4

2

2

π

π

β

π

<

-

<

，所以，sin 42πβ⎛⎫-==

⎪⎝⎭， 因此，cos cos 2442βππβαα⎡⎤⎛

⎫

⎛⎫⎛⎫+

=+-- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝

⎭⎝

⎭⎝⎭⎣⎦

1cos cos sin sin 44244233339ππβππβαα⎛⎫⎛⎫⎛

⎫⎛⎫=+-++-=⋅+=

⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝

⎭⎝⎭， 故选C ．

【评析】面对这样的给值求值问题，学生整体的意识不强，不能正确地利用方程思想，解出角的函数值，进一步利用两角和的正弦公式求值，事实上，“从角的关系出发分析问题”与“从（同角）三角函数值的代数运算关系出发分析问题”，是我们在解决同类问题时最常用的两种途径． （三）恒等变形欠灵活

化归与转化思想是三角恒等变形的主导思想．在三角恒等变形中，学生存在的主要问题是对已知式中角的差异、函数名称的差异、式子结构的差异等分析不到位，识别、选择、应用三角公式解决问题的能力不强，致使三角恒等变形转化不准确，造成后续求解繁琐或错误.

【例3】【2016年课标卷Ⅲ理5】若3

tan 4

α=

，则2cos 2sin 2αα+= A ．6425 B ．4825 C ． 1 D ．1625

【解析】思路1： 对所求式子作等价变形：22

222cos 4sin cos 14tan cos 2sin 2cos sin tan 1

αααα

ααααα+++==

++，再将3tan 4

α=代入，可求得264

cos 2sin 225αα+=．选A ．

思路2 ：将所求的式子等价变形为22cos 2sin 2cos 4sin cos ααααα+=+，由3

tan 04

α=>，可知

sin cos 0αα>，可得3412sin cos 5525αα=⨯=，所以2161264

cos 2sin 24252525

αα+=+⨯=．选A ．

思路3：由3tan 4α=，可知cos 0α≠，则22cos 2sin 2cos (14tan )αααα+=+，将3tan 4

α=，216

cos 25α=

代入，可得216364

cos 2sin 2(14)25425

αα+=+⨯=．选A ．

【评析】在本题的解答中，学生存在的主要问题是不能快速地识别、选择、应用三角公式，如面对待求式

2cos 2sin 2αα+，不会巧妙地利用22sin cos 1αα+=，将待求式恒等变形为

214tan tan 1

α

α++；

将待求式2cos 2sin 2αα+化为2cos 4sin cos ααα+之后，无法从3

tan 4

α=

求出它的值.三角恒等变形的实质是消除两个式子的差异，认真观察、比较已知条件与待求式子之间的联系，选择适当途径，将已知式与待求式化异为同，从而达到解题的目的． （四）形数结合不灵巧

形数结合不灵巧主要表现在：对三角函数的图象与性质（周期性、单调性与对称性）的掌握情况不理想；对三角概念及三角函数三种表征的理解与变换不透彻；对三角函数的数形结合思想的运用以及基于三角函数的逻辑推理能力不强，尤其是识图、用图能力及利用三角公式进行三角恒变形的能力不强．

【例4】（2016年课标卷Ⅰ文6）将函数π2sin(2)6y x =+的图象向右平移1

4

个周期后，所得图象对应的函数

为

A ．π2sin(2)4y x =+

B ．π

2sin(2)3y x =+

C ．π2sin(2)4y x =-

D ．π

2sin(2)3

y x =-

【解析】思路1： 求出给定三角函数的最小正周期，依据函数图象平移的一般方法，把已知函数图象平移．因

为π2sin(2)6y x =+的最小正周期为πT =，所以π

2sin(2)6y x =+的图象向右平移π44T =个单位长度后，所

得图象对应的函数为ππ2sin[2()]46y x =-+，即π

2sin(2)3

y x =-，选D ．

思路2 ：根据给定三角函数的特殊点，确定平移后的三角函数的初始相位．在已知函数π

2sin(2)6

y x =+的

图象中找到一点π(,0)12-

，点π(,0)12-向右平移π44T =个单位长度后为点π

(,0)6

．由于三角函数图象的平