函数的四则运算的微分法则
函数的微分
dy f ( x)dx. ——微分计算公式 dy 此时, 定理可重述为: dy f ( x)dx f ( x). dx
10
dy dy dx. 故导数也称为“微商”. dx 导数的这种定义在某些场合下应用会很方便 .
求函数导数或微分的方法也称为“微分法”. 可微、可导、连续的关系
2
第五节
函数的微分
一、微分的定义 设有函数 y f ( x) , 当 x 在 x0 处有增量 x 时, 函数 y 有对应的增量 y f ( x0 x) f ( x0 ) .
当函数 f ( x ) 较为复杂时, y 的计算就比较麻烦.
例如 y arctan x , 在 x0 1 处有增量 x 0.02 , 求 y .
（保留3位小数）
y arctan1.02 arctan1 计算困难
任务： 为 y 寻求一个既简单（容易计算）又满足一定精度 要求的近似表达式.
3
实例：正方形金属薄片受热后面积的改变量.
设边长由 x0变到x0 x,
x0
x
( x ) 2
x
正方形面积 A x ,
2 0
2 A ( x0 x)2 x0
y f ( x0 ) , (2) 充分性 设 函数f ( x)在点x0可导, 则 lim x 0 x y f ( x 0 ) x lim 0 , 于是 y f ( x0 )x o(x) , x 0 x
即 y Ax o(x ) , 函数 f ( x )在点x0可微 .
3
求函数的改变量 y .
3 y ( x 0 x ) 3 x 0 2 3 x0 x 3 x 0 ( x ) 2 ( x ) 3 .
微积分(上)复习资料——公式
1 cos2
x
dx
sec2
xdx
tan
x
c
9、
1 s in 2
x
dx
csc2
xdx
cot
x
c
10、 sec x tan xdx sec x c
11、 cscx cot xdx cscx c
12、
1 dx arcsin x c 1 x2
13、
1 1 x2
dx
arctanx
c
14、 tan xdx ln cosx c
cot(A B) cot A cot B 1 cot B cot A
sin 2A 2sin Acos A
tan
2
A
1
2
tan tan
A 2A
3.半角公式
cos 2A cos2 A sin2 A 1 2sin2 A 2cos2 A 1
sin A 1 cos A
2
2
cos A 1 cos A
(1) a2 x2 x asin t (2) a2 x2 x a tant (3) x2 a2 x asect
log a x
1 dx x ln a
⒀ d arcsin x 1 dx
1 x2
⒁ d arccos x 1 dx
1 x2
微分运算法则 ⑴ d u v du dv
⑶ d uv vdu udv
⒂
d
arctan
x
1 1 x2
dx
⒃
d
arc cot
x
1
1 x2
dx
⑵ d cu cdu
lim n a (a o) 1
n
微分公式和运算法则
(cos x)sin x
d(cos x)sin xdx
(tan x)sec2 x
d(tan x)sec2xdx
(cot x)csc2x
d(cot x)csc2xdx
(sec x)sec x tan x
d(sec x)sec x tan xdx
(csc x)csc x cot x
d(csc x)csc x cot xdx
§ 2.2.1 微分概念
一、微分的定义
引例: 一块正方形金属薄片受温度变化的影响, 其
边长由 变到
问此薄片面积改变了多少?
设薄片边长为 x , 面积为 A , 则
当x在 取
得增量 时, 面积的增量为
关于△x 的
时为
线性主部 高阶无穷小
故
称为函数在 的微分
1
定义1: 若函数
在点 的增量可表示为
( A 为不依赖于△x 的常数)
解: 已知球体体积为
镀铜体积为 V 在
时体积的增量
因此每只球需用铜约为 (g)
17
2.误差估计 某量的精确值为 A , 其近似值为 a , 称为a 的绝对误差 称为a 的相对误差 若 称为测量 A 的绝对误差限 称为测量 A 的相对误差限
18
误差传递公式 :
若直接测量某量得 x , 已知测量误差限为
12
§ 2.2.3 高阶微分
1、二阶微分：一阶微分的微分称为二阶微分。记作
且有
（1）
2、n 阶微分：n-1阶微分的微分称为n阶微分，记作
且有
（2）
3、高阶微分：二阶以及二阶以上的微分统称为高阶微分。
例设
（2）求
解由
得
依公式（1）得 类似地，依公式（2）得
导数与微分-- 函数的微分
本讲学习目标： 1、复述函数在一点可微的概念，并指出何为函数的微分。 2、能够指出导数与微分的关系，并能利用这个关系计算函数的微分。 3、能够默写或复述微分的基本公式和基本法则。 4、指出微分的几何意义，能利用微分做简单的近似计算。
2.4.1 微分的定义
定义2.4.1 设函数y=f(x)在点 x0 的某邻域内有定义，若相对于自变量x的微小增量∆x，相 应的函数增量 y f (x0 x) f (x0 ) 可表示为
dy x2 y x2 x 120.01 0.12
2.5.3 微分基本公式和基本法则
dy f (x)x
dx (x) x x
dy f (x)dx
dy f (x) dx
“微商”
1）微分基本公式：（常、幂、指、对、三角、反三角）
(sin x) cosx d(sin x) cosxdx
y ( y) dy dx
dy f (x)x
【例2.5.2】求函数 y x3 当x从 x0 2 变到x=2.01时的函数增量与函数微分。
解： 函数增量
又因为 所以
y f (x) f (x0 ) f (2.01) f (2) (2.01)3 23 8.12068 0.1206
y 3x2， y x2 3x2 12， x x x0 0.01
【例2.5.5】设函数 y ln(x x2 1) ，求dy 。
解： dy
1
d (x x2 1)
1
[dx d ( x 2 1)]
x x2 1
x x2 1
1
[dx 1 d (x2 1)]
1 [dx 2x dx]
x x2 1
2 x2 1
x x2 1
积分四则运算法则公式
积分四则运算法则公式
积分的运算法则：积分的运算法则，别称积分的性质。
积分是线性的。
如果一个函数f可积，那么它乘以一个常数后仍然可积。
如果函数f和g可积，那么它们的和与差也可积。
假设：
，那么对函数对x进行求积分，实际上就是求出这个微分函数的原函数。
用数学表达式表达积分就是：
是的微分函数，为什么求它的积分，会多出一个c常数的呢？理由很简单，因为任意常数的微分都是0，所以我们求微分函数的原函数时，要加上一个任意常数，由此可见，一个函数的积分函数，解不是唯一的，因为c可取任意常数。
因此我们真正求积分计算，都是进行固定x区间范围的定积分计算。
积分面积计算注意点：
这里要注意，在面对使用积分计算面积题时，核心是要搞清楚目标面积的加、减关系，然后使用积分求出各个能求的部分的面积，再进行加、减，即可得出目标面积。
同时要注意，直线也是曲线方程，只不过是特殊曲线方程罢了，也是可以使用积分公式进行面积计算的。
同时注意题目中往往不会显式给出直线方程，你可以根据图上的坐标数据自行求出直线方程。
第二章第3节-函数的微分
故 在点 可导, 且
定理 2.6 函数 在点
在点 x0 可微的充要条件是 处可导, 且 即
d y f ( x0 )x
“充分性” 已知 在点 的可导, 则
y lim f ( x0 ) x 0 x y f ( x0 ) x
Hale Waihona Puke d y 3 x x.2 0
(1)
( 2)
2 当x 很小时, y dy 3 x0 x.
定理 2.6 函数 在点
在点 x0 可微的充要条件是 处可导, 且 即
d y f ( x0 )x
证: “必要性”
已知
在点
可微 , 则
y f ( x0 x) f ( x0 ) A x o(x)
dy f ( x) 导数也叫作微商 dx
例1.
求 y x 2 在 x 1, x 0.01 时的微分。
x 1 x 0.01
解: d y
2 x x
x 1
0.02
x 0.01
例2. 求y=x3在x=2处的微分, 以及当x=0.1时在x=2 处的微分。
dx 3 x 2 dx 3x 2 x ( x dx ) 解: dy ( x )
1 x2 dx ; (16) d (arccot x) dx 2 . (15) d (arctan x) 1 x2 1 x
2.四则运算微分法则
设 u(x) , v(x) 均可微 , 则
du dv vdu udv
3. 复合函数的微分法则 均可导 , 则
(C 为常数)
(10)d (cot x) csc 2 xdx ;
高等数学第二章导数与微分(4)
(arcsin x) 1 1 x2
(arctan
x
)
1
1 x
2
(arccos x) 1 1 x2
(arc
cot
x)
1
1 x2
2.函数的和、差、积、商的求导法则
设u u(x),v v(x)可导，则
（1）(u v) u v, （2）(cu) cu ( C 是常数)
（3）(uv)
由y f 1(x)的严格单调性可知 y 0,
于是有
y x
1 x
,
y
y 0 (x 0),
y f 1(x)连续, 又知 f ( y) 0
[ f 1(x)] lim y lim 1 1 x0 x y0 x f ( y)
即[ f 1(x)] 1 .
y
f ( y)
4
例7 求函数 y arcsin x 的导数.
19
例20 双曲函数与反双曲函数的导数
ex ex
ex ex
sinh x
,cosh x
2
2
(sinh x) e x e x cosh x 2
(sinh x) cosh x (cosh x) sinh x
tanh x sinh x cosh x
(tanh
x)
1 cosh2
x
20
arcsinh x ln( x 1 x2 )
利用上述公式及法则, 初等函数求导问题可完全解决.
结论:初等函数的导数仍为初等函数.
16
例16 解
求函数 y x a2 x2 a2 arcsin x 的导数 .
y x 2
a2
2
x2
a2 2
2
微积分(上)复习
n
n−1
同步练习P6 同步练习 一、13，33，35 ， ， 二、6，9，16 ， ，
11/58
(6)幂指函数求导法 幂指函数求导法
y = [ f ( x )] g ( x )
①取自然对数化为隐函数再求导. 取自然对数化为隐函数再求导. 利用对数恒等式化为以 为底的复合函数 再求导. 为底的复合函数, ②利用对数恒等式化为以e为底的复合函数,再求导.
6/58
第一类间断点 (左右极限都存 在的点). 在的点). (3) 间 断 点
①可去间断点(左 可去间断点( 右极限相等) 右极限相等) ②跳跃间断点(左 跳跃间断点( 右极限不相等) 右极限不相等) 无穷间断点(左右 无穷间断点( 极限至少有一个为 ∞) 非无穷间断点 例如： 例如：振荡
同步练习P5 同步练习 二、15
推论: 推论
f ′( x ) ≡ 0 ⇒ f ( x ) = C f ′( x ) ≡ g ′( x ) ⇒ f ( x ) − g ( x ) = C
(3)柯西中值定理 柯西中值定理
f ′(ξ ) f (b) − f ( a ) (至少有一个 ξ ∈ (a , b)) 闭连开导 ⇒ = g′(ξ ) g(b) − g(a )
x → x0
( 3) lim f ( x ) = A ⇔ f ( x ) = A + α , lim α = 0
x → x0
x → x0
2.无穷小与无穷大的概念与性质 无穷小与无穷大的概念与性质 （1）无穷小 (lim α = 0) ）
有限个无穷小量的代数和仍是无穷小量。 有限个无穷小量的代数和仍是无穷小量。 有界量与无穷小量的积仍是无穷小。 有界量与无穷小量的积仍是无穷小。
微积分（ 微积分（上）
一、微分的定义二、微分的基本公式三、微分的四则运算法则
dy | x x0 , 或df | x x0 , 即 dy | x x0 A x.
定理3.7 y=f(x)可微的充分必要条件是y=f(x)可导，且 有 dy f ( x)dx .
dy 由于 f ( x) ，即函数的导数等于函数的微 dx 分与自变量微分之比，因此导数也称微商.
证
d(u v) (u v)dx (u v)dx
udx vdx du dv.
d(uv) (uv)dx (uv uv)dx
v udx u vdx vdu udv.
u 定理3.9 设u=u(x)，v=v(x)可微，且 v 0 ，则 可微, v u vdu udv 且有 d ( ) . 2 v v
(a 0,a 1).
d tan x sec2 xdx.
d cot x csc xdx.
2
d sec x sec x tan xdx. d csc x csc x cot xdx.
1 d arsin x dx. 2 1 x 1 d arccos x dx. 2 1 x
当立方体的边长从 x0 变到 x0 x 时，相应的体 积增量
3 2 2 V ( x0 x) 3 x0 3 x0 x (3x0 (x) 2 (x) 3 ).
函数增量 V 分成两部分，一部分是 x 的线性部分
2 3x0 x, 一部分是关于 x 的高阶无穷小
1 d arctan x dx . 2 1 x 1 d arccot x dx . 2 1 x
三、微分的四则运算法则
定理3.8 设u=u(x)，v=v(x)可微 ，则 u v , u , v可微， 且有
微分
dydf ( x) Ax.
若函数 y f ( x) 在区间 I 上 每一点可微，则称 y f ( x) 在区间 I 上 可微。
由微分的定义可知，当A0 时，dy Ax 是 x 的 线性函数，且当x0 时，y与dy 是等价 无穷小，而 ydy 是比 x 高阶的无穷小。
y y b2
x2 a2
y2 b2
,
∴切线方程为
x x a2
y y b2
1
。
类似可证：
★
过椭圆
x2 a2
y2 b2
1
上一点P
(
x
,
y
)
的切线方程为
x x a2
y y b2
1
★ 过圆 x2 y2 a2 上一点P( x, y ) 的切线方程为
x x y ya2.
例 1．一边长为 x 的正方形金属
x x x
薄片受热均匀膨胀，当边长增 x
加 x 时，面积 A 增加了多少？
解： A A( x) x2 ，
A(xx)2 x2 2xx(x)2 (1)
x0 时， 2xxO(x) ，(x)2 o(x).
A ＝ 2 xx ＋
(15)
d (arctan
x)
1 1 x2
dx
(12) d(cscx)cscxcotxdx.
(16)
d
( arccot
x
)
1 1 x
2
dx
2．微分的四则运算法则
设函数 uu( x) ， v v( x) 可微，则 （1） d[u( x)v( x)]d[u( x)]d[v( x)] ；
导数的四则运算法则
导数的四则运算法则导数的四则运算法则是微积分中常用的法则，它们描述了导数在加减乘除运算中的规律。
在微积分中，导数表示函数变化率的概念，它可以通过极限的方法计算得到。
四则运算法则包括加法法则、减法法则、乘法法则和除法法则。
1.加法法则：如果两个函数f(x)和g(x)都可导，则它们的和函数(f+g)(x)也可导，且有(d/dx)(f+g)(x) = f'(x) + g'(x)。
这个法则表明，两个函数的导数之和等于它们的和函数的导数。
2.减法法则：如果函数f(x)和g(x)都可导，则它们的差函数(f-g)(x)也可导，且有(d/dx)(f-g)(x) = f'(x) - g'(x)。
这个法则表明，两个函数的导数之差等于它们的差函数的导数。
3.乘法法则：如果函数f(x)和g(x)都可导，则它们的乘积函数(f*g)(x)也可导，且有(d/dx)(f*g)(x) = f'(x) * g(x) + f(x) * g'(x)。
这个法则可以通过展开乘积并使用导数定义来证明。
它表示两个函数的导数之乘等于其中一个函数乘以另一个函数的导数再加上另一个函数乘以其中一个函数的导数。
4.除法法则：如果函数f(x)和g(x)都可导，并且g(x)不等于零，则它们的商函数(f/g)(x)也可导，且有(d/dx)(f/g)(x) = (f'(x) * g(x) - f(x) * g'(x)) / g^2(x)。
这个法则可以通过乘法法则和导数的倒数法则来证明。
它表示两个函数的导数之商等于分子的导数乘以分母减去分母的导数乘以分子再除以分母的平方。
总结：导数的四则运算法则包括加法法则、减法法则、乘法法则和除法法则。
它们描述了导数在加减乘除运算中的规律。
利用这些法则，我们可以对函数进行导数计算，从而求解各种应用问题，如曲线的切线方程、最优化问题等。
这些法则是微积分中基础且重要的内容，值得深入学习和掌握。
高等数学_14
4. 微分在近似计算中的应用: 设有函数y = f (x), 当自变量从 x→x+∆x时, 有 公式(1): ∆y ≈ f ' (x) ⋅ ∆x
公式(1)用来计算函数改变量的近似值 公式 用来计算函数改变量的近似值. 用来计算函数改变量的近似值 公式(2): f (x+ ∆x ) ≈ f (x) + f ' (x)⋅ ∆x
证:
(1) d (u + v ) = (u + v)' dx = (u '+ v ' )dx = u ' dx + v ' dx = du + dv.
(2) 略 (3) 略
复合函数的微分法: 复合函数的微分法 命题: 命题 设由 y = f (u), u = ϕ(x)复合成函数y = f [ϕ(x)], 且 f (u), ϕ(x)可微, 则 y = f [ϕ(x)]也可微, 且 dy = f ' [ϕ(x)]dϕ(x)
因为y′ = (e1− 2 x sin 3 x)' = e1− 2 x ⋅ (1 − 2 x)' sin 3 x + e1− 2 x ⋅ cos 3 x ⋅ (3 x)' = e1− 2 x (3 cos 3 x − 2 sin 3 x) 所以dy = y ' dx = e
1− 2 x
(3 cos 3 x − 2 sin 3 x) dx
)d ( x
tan x
)
= f ' ( x tan x ) d ( e tan x ln x ) = f ' ( x tan x )e tan x ln x d (tan x ln x) = f ' ( x tan x )e tan x ln x [ln xd (tan x) + tan xd (ln x)]
微分的四则运算法则
微分的四则运算法则微分是数学中的一个重要分支，它以求导数为主要内容，是数学分析领域中最基本、最重要的内容之一。
在微分学中，微分的四则运算法则是非常重要的基础知识之一，本文将深入介绍微分的四则运算法则。
一、常数函数求导在微分学中，常数函数是指一个函数在定义域上的函数值都是一个确定的常数，如f(x) = 3或f(x) = 1/2等。
对于常数函数f(x) = c，其导数就是0，即f'(x) = 0。
二、幂函数求导幂函数是指f(x) = x^n的形式，其中n是一个正整数。
对于幂函数f(x) = x^n，其导数就是f'(x) = nx^(n-1)。
例如f(x) = x^3，则f'(x) = 3x^2。
三、指数函数求导指数函数是指f(x) = a^x的形式，其中a是一个正实数。
对于指数函数f(x) = a^x，其导数是f'(x) = a^xlna，其中lna是以e为底的自然对数函数。
例如f(x) = 2^x，则f'(x) = 2^xln2。
四、对数函数求导对数函数是指f(x) = loga(x)的形式，其中a是一个正实数且不等于1。
对于自然对数函数f(x) = ln(x)，它的导数就是f'(x) = 1/x。
当a不等于e 时，对数函数f(x) = loga(x)的导数可以用换底公式转化为f'(x) =1/(xlna)。
例如f(x) = log2(x)，则f'(x) = 1/(xln2)。
五、三角函数求导在微分学中，三角函数包括正弦函数、余弦函数、正切函数等。
对于正弦函数和余弦函数，它们的导数分别是它们的导函数cos(x)和-sin(x)，即(f(x))' = cos(x)和(g(x))' = -sin(x)。
对于正切函数f(x) = tan(x)，它的导数是f'(x) = sec^2(x)，其中sec(x)是secant函数，是cos(x)的倒数。
微分运算法则范文
微分运算法则范文微分运算法则是微积分中的重要理论基础，它是求导运算的一些基本规则和性质的总结和推广，能够极大地简化求导的计算过程。
在微分运算法则中，常用的有四则运算法则、导数的线性运算法则、乘积法则、商法则、复合函数求导法则等。
一、四则运算法则：1.和差法则：两个函数的和（积）的导数等于这两个函数的导数之和（积的求导等于因子的导数乘积）。
即（f(x)±g(x))'=f'(x)±g'(x)，(f(x)g(x))'=f'(x)g(x)±f(x)g'(x)2.常数乘积法则：一个函数乘以一个常数的导数等于这个函数的导数乘以这个常数。
即(cf(x))' = c*f'(x)，其中c为常数。
3.积的求导法则的应用：一个函数的和的导数等于这些函数的导数相加。
即(f1(x)+f2(x)+f3(x)+...+fn(x))' = f'1(x) + f'2(x) + f'3(x) + ... + f'n(x)4.恒等式f(x)=u(x)/v(x)的导数等于分子的导数乘以分母减去分子与分母的乘积的导数除以分母的平方。
即(f(x))'=(u(x)v'(x)-v(x)u'(x))/v^2(x),［v^2(x)≠0］其中u(x)和v(x)是可导的函数，v^2(x)≠0。
二、导数的线性运算法则：1.常数导数法则：常数的导数为0。
即(a)'=0，其中a是常数。
2.常函数导数法则：常函数的导数为0。
即（C）'=0，其中C是常数。
3.恒等函数导数法则：f(x)=x的导数为1即（x）'=14.幂函数导数法则：f(x)=x^n的导数为f'(x)=n*x^(n-1)。
即（x^n) ' = nx^(n-1)5. 指数函数导数法则：f(x) = a^x（a>0, a≠1）的导数为 f'(x) = a^x *ln(a)即(a^x)' = a^x * ln(a)6. 对数函数导数法则：f(x) = ln(x)的导数为 f'(x) = 1/x即(ln(x))' = 1/x7.三角函数导数法则：正弦函数的导数：f'(x) = cos(x)余弦函数的导数：f'(x) = -sin(x)正切函数的导数：f'(x) = sec^2(x)8.反三角函数导数法则：反正弦函数的导数：f'(x)=1/√(1-x^2)反余弦函数的导数：f'(x)=-1/√(1-x^2)反正切函数的导数：f'(x)=1/(1+x^2)三、复合函数求导法则：若函数y=f(u)，且u=g(x)，则y=f(g(x))，其中f(u)和g(x)都是可导的函数。
高等数学微积分公式大全
高等数学微积分公式大全高等数学微积分公式是高等数学中重要的一部分，也是我们在研究数学问题和应用数学技术时必须掌握的基础。
下面就让我们来看看高等数学微积分中常用的公式吧。
第一部分：导数公式1. 导数的定义公式$$f'(x)=\lim_{\Delta x\rightarrow0}\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}$$2. 导数的四则运算公式$$\left(f(x)\pm g(x)\right)'=f'(x)\pm g'(x)$$$$\left(f(x)g(x)\right)'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)$$$$\left(\frac{f(x)}{g(x)}\right)'=\frac{f'(x)g(x) -f(x)g'(x)}{g^2(x)}(g(x)\neq 0)$$$$\left(g(f(x))\right)'=g'(f(x))f'(x)$$3. 高阶导数公式$$f''(x)=(f'(x))'$$$$f'''(x)=(f''(x))'$$$$f^{(n)}(x)=\left(f^{(n-1)}(x)\right)'$$4. 链式法则$$\frac{d}{dx}f(g(x))=f'(g(x))g'(x)$$5. 反函数求导若$f(x)$的反函数为$y=g(x)$，则有$$\frac{d}{dx}g(x)=\frac{1}{f'(g(x))}$$6. 隐函数求导设有方程$F(x,y)=0$，其中$y$是$x$的隐函数，则有$$\frac{dy}{dx}=-\frac{\frac{\partial F}{\partial x}}{\frac{\partial F}{\partial y}}$$第二部分：微分公式7. 微分的定义公式$$df(x)=f'(x)dx$$8. 微分的四则运算公式$$(u\pm v)'=u'dx\pm v'dx$$$$(uv)'=(u'v+uv')dx$$$$\left(\frac{u}{v}\right)'=\frac{u'v-uv'}{v^2}dx(v\neq 0)$$$$(g\circ f)'=(g'\circ f)f'dx$$9. 高阶微分公式$$d^2y=d(dy)=d\left(\frac{dy}{dx}\right)=\frac{d^ 2y}{dx^2}dx$$$$d^3y=d(d^2y)=d\left(\frac{d^2y}{dx^2}\right)=\f rac{d^3y}{dx^3}dx$$$$d^ny=d(d^{n-1}y)=d\left(\frac{d^{n-1}y}{dx^{n-1}}\right)=\frac{d^ny}{dx^n}dx$$10. 多元函数微分公式设$z=f(x,y)$，则有$$dz=\frac{\partial z}{\partialx}dx+\frac{\partial z}{\partial y}dy$$其中，$\frac{\partial z}{\partial x}$表示$f(x,y)$对$x$的偏导数，$\frac{\partial z}{\partialy}$表示$f(x,y)$对$y$的偏导数。
第二章第五节 函数的微分
高等数学
二、微分的几何意义
当x从x0变到x0+∆x时, ∆y是曲线上点的纵坐 标的增量; dy是过点(x0, f(x0))的切 线上点的纵坐标的增量. 当|∆x|很小时, |∆y−dy|比|∆x|小得多. 因此, 在点M的邻近, 我们可以用切线段来近似代 替曲线段. 记 自变量的微分, ∆y = ∆x = dx 称∆x为 自变量的微分 记作 dx dy = f ′(x) 导数也叫作微商 则有 dy = f ′(x) dx 从而 dx
高等数学
§2.5函数的微分 函数的微分
一、微分的概念 二、微分的几何意义 三、微分的运算法则 四、微分在近似计算中的应用
高等数学
一、微分的概念 引例: 引例 一块正方形金属薄片受温度变化的影响, 其 边长由 x0 变到 x0 + ∆x , 问此薄片面积改变了多少? 设薄片边长为 x , 面积为 A , 则 A= x2 , 当 x 在 x0 取 得增量 ∆x 时, 面积的增量为 (∆x)2 x0∆x ∆x 关于△x 的 ∆x →0时为 线性主部 高阶无穷小 故 称为函数在 x0 的微分
高等数学
2、 微分的四则运算法则 、 设 u(x) , v(x) 均可微 , 则
= du ± dv = vdu + udv
3. 复合函数的微分 分别可微 , 则复合函数 的微分为
(C 为常数)
= f ′(u) ϕ′(x) dx dy = f ′(u) du
du
微分形式不变
高等数学
若y=f(u), u=j(x), 则dy=f ′(u)du. 例3 y=sin(2x+1), 求dy. 解 把2x+1看成中间变量u, 则 dy=d(sin u) =cos udu =cos(2x+1)d(2x+1) =cos(2x+1)⋅2dx =2cos(2x+1)dx. 在求复合函数的导数时, 可以不写出中间变量. 例4. y =ln(1+ex2 ) , 求 dy. 解 dy =d ln(1+ex2 ) = 1 2 d(1+ex2 ) 1+ex 1 ⋅ex2d(x2) = 1 ⋅ex2 ⋅2xdx = 2xex2 dx = . x2 x2 x2 1+e 1+e 1+e
函数极限的四则运算法则
极限的四则运算法则：极限的四则运算法则是在学习了极限概念和无穷小量与无穷大量之后的又一重要内容，也是学习导数和微分的重要基础知识。
在进行极限的四则运算法则之前，需要对极限的概念、无穷小量和无穷大量的概念、无穷小量的运算性质、无穷小量和无穷大量的关系等基本内容都有初步学习和了解，而对于如何利用无穷小量的运算法则、无穷小量与无穷大量之间的关系求取函数的极限，以及利用观察法求取数列的极限和简单函数的极限，需要进行进一步的学习与掌握。
极限的四则运算公式表公式加减法，，则乘法，，则除法，，且y≠0，B≠0，则极限的四则运算法则是两个函数的极限都存在，并且分母的极限还不等于0的情况下，当这两个条件都满足的，那么两个函数在和、差、积、商的极限和这两个函数的极限的和、差、积、商都相等；对于一个常数与一个函数的乘积的极限的情况，其结果等于这个常数与这个函数的极限乘积；并且一个函数的乘方的极限和这个函数的极限乘方也是相等的。
在解决具体问题时，需要根据实际情况进行运算和解答，重视实际应用。
当极限的函数是一个整式，可以直接运用极限的四则运算法则来进行计算。
例如，当x趋近于1时，分母的极限不是0，可以直接对法则进行运用和计算。
例：= =三极限的四则运算法则在进行函数极限求解时需要注意的事项第一，对于分式来说，当其分母的极限不等于0时，才能直接运用四则运算法则进行求解。
第二，避免一些常见的错误的认识，例如对c/0=∞，（c为任意的常数），∞-∞=0，∞/∞=0等。
第三，对于无穷多个无穷小量来说，其和未必是无穷小量。
四极限的四则运算法则的归类1.x→x0这种情况第一，当函数f（x）是一个整式，可以对极限的四则运算法则进行直接的运用和计算，或是直接对f（x0）进行求解。
第二，当函数f（x）是一个分式，其分母的极限等于0，而要注意分子的极限并不等于0，那么便可以对极限的四则运算法则进行直接的运用并计算，或者求出f（x0）。
第三，在函数f（x）是个分式的情况下，当分母的极限为0时，那么分子的极限不等于0，可以先对lim =0进行求解，再根据无穷小量和无穷大量这之间的关系来进行计算。
导数与微分导数的基本公式与运算法则
第2讲的基本公导数的定义提供了求导数的方法．但对于一些比较复杂的函数，求导数时不仅烦琐，而且需要相当的技巧．本节将给出所有基本初等函数的求导公式和导数的四则运算法则及复合函数的求导法则，借助于这些法则和公式，就能比较方便地求出常见函数的导数．01基本初等函数的导数02求导法则03反函数的导数04可导与连续的关系常见函数都是由基本初等函数生成的，因此首先考虑基本初等函数的导数。
利用导数的定义，可以比较容易的得到它们的求导公式。
先回顾一下导数的定义通过上一节的例题，我们知道ꢀ例1ꢀ注ꢀ例2证明根据定义，ꢀ例3证明ꢀ例4思路对于分段函数的导数，在各区段内直接求导即可；在分界点处需要通过单侧导数确定导数的存在性。
数的导数解01基本初等函数的导数02求导法则03反函数的导数04可导与连续的关系初等函数是由基本初等函数经过有限次四则运算和复合运算得到的，前面已经求得基本初等函数的导数，如果能够建立起导数的运算与函数运算之间的关系，则会使计算简化很多。
下面推导几个主要的求导法则，借助这些法则以及上节得到的导数公式，可以求出一系列函数的导数公式，并在此基础上解决初等函数的求导问题．ꢀ定理2.3并不像极限的四则运算法则那么美好证明（1）根据导数的定义，（2）可导必连续（3）（1）和（差）的求导法则可以推广至有限个可导函数的情形，即（2）乘积的求导法则中注意：每次只对一个因子求导！这一求导法则也可以推广至有限个可导函数的连乘积，例如ꢀ例5解根据定理2.3，有练习ꢀ例6解ꢀ例7解=sec2ꢀ.ꢀ例8解01基本初等函数的导数02求导法则03反函数的导数04可导与连续的关系ꢀ定理2.4（反函数求导法则）需改写！即：反函数的导数等于直接函数导数的倒数。
ꢀ例9证明ꢀ例10证明常见基本初等函数的导数表01基本初等函数的导数02求导法则03反函数的导数04可导与连续的关系在研究函数的变化率时，经常需要对复合函数进行求导。
为此有证明或由定理可知，复合函数对自变量的导数等于函数对中间变量的导数乘以中间变量对自变量的导数．此法则又称为复合函数的链式求导法则．因此，在对复合函数求导时，首先需要熟练引入中间变量，把复合函数分解成一串简单的函数，再用链式法则求导，最后把中间变量用自变量的函数代替．ꢀ例11求下列函数的导数：解熟练掌握链式法则后,可以不必写出中间变量和中间过程。
常用的基本求导公式
1．基本求导公式⑴ 0)(='C （C 为常数）⑵ 1)(-='n nnx x ；一般地，1)(-='αααx x 。
特别地：1)(='x ，x x 2)(2='，21)1(xx -='，xx 21)(='。
⑶ xxe e =')(；一般地，)1,0( ln )(≠>='a a a aa xx。
⑷ xx 1)(ln ='；一般地，)1,0( ln 1)(log≠>='a a ax x a。
2．求导法则 ⑴ 四则运算法则设f (x )，g (x )均在点x 可导，则有：（Ⅰ）)()())()((x g x f x g x f '±'='±； （Ⅱ）)()()()())()((x g x f x g x f x g x f '+'='，特别)())((x f C x Cf '='（C 为常数）； （Ⅲ）)0)(( ,)()()()()())()((2≠'-'='x g x g x g x f x g x f x g x f ，特别21()()()()g x g x g x ''=-。
3．微分 函数()y f x =在点x 处的微分：()dy y dx f x dx ''== 4、 常用的不定积分公式（1） ⎰⎰⎰⎰⎰+==+=+=-≠++=+c x dx x x dx x c x xdx c x dx C x dx x 43,2,),1( 11433221αααα；（2） C x dx x+=⎰||ln 1； C e dx e xx +=⎰； )1,0( ln ≠>+=⎰a a C a a dx a x x ； （3）⎰⎰=dx x f k dx x kf )()(（k 为常数） 5、定积分()()|()()bb a af x dx F x F b F a ==-⎰⑴⎰⎰⎰+=+bab abadx x g k dx x f k dx x g k x f k)()()]()([2121⑵ 分部积分法设u (x )，v (x )在[a ，b ]上具有连续导数)(),(x v x u ''，则⎰⎰-=bab abax du x v x v x u x dv x u )()()()()()(6、线性代数 特殊矩阵的概念（1）、零矩阵 ,000022⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⨯O （2）、单位矩阵⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=10010001ΛΛO ΛΛΛΛn I 二阶,100122⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⨯I(3)、对角矩阵⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=n a a a A 000000021ΛO ΛΛΛΛ(4)、对称矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---==752531212,A a a ji ij(5)、上三角形矩阵⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=nn n n a a a a a a A 00022211211ΛO ΛΛΛΛ下三角形矩阵⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=n a a a A 000000021ΛO ΛΛΛΛ (6)、矩阵转置⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=nn n n n n a a a a a a a a a A ΛΛO ΛΛΛΛ212222111211转置后⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=nn n nn n T a a a a a a a a a A ΛΛO ΛΛΛΛ2122212121116、矩阵运算 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡++++=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡=+h d g c f b e a h g f ed c b a B A ⎥⎦⎤⎢⎣⎡++++=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡=dh cf dg ce bh af bg ae h gf ed c b a AB 7、MATLAB 软件计算题例6 试写出用MATLAB 软件求函数)e ln(2x x x y ++=的二阶导数y ''的命令语句。
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(csc x) csc x cot x
(a x ) a x ln a
(e x ) e x
(log
x a
)
1 x ln
a
(ln x) 1 x
(arcsin x) 1 1 x2
d(sec x) sec x tan xdx
d(csc x) csc x cot xdx
y e与t ln x复合而成，
dy
et
e ln x
dx
x
x
x x 1 .
x
验证了第一节的例二.
由上例可见，初等函数的求导必须熟悉. (a)基本初等函数的导数公式； (b)复合函数的分解； (c)复合函数的求导公式.
复合函数的分解过程熟悉后，可以不写 中间变量，而直接写出结果.
d (a x ) a x ln adx
d (e x ) e xdx
d
(log
x a
)
1 x ln a
dx
d(ln x) 1 dx x
d(arcsin x) 1 dx 1 x2
(arccos x) 1 1 x2
d(arccos x) dx 1 x2
(arctan x) 1 1 x2
于是有
y x
1 x
, 因为
f
( x)连续,
y
所以当x 0时,必有y 0
故f ( x) lim y x0 x
lim 1 y0 x
1
( y)
( ( y) 0)
即 f ( x) 1 . y
( y)
例5.求 y arcsin x 的导数.
例4 求 y sec x 的导数 .
解
y (sec x) ( 1 ) cos x
(cos cos2
x) x
sin x cos2 x
sec x tan x.
同理可得 y (cscx) csc x cot x
二 、反函数的微分法则
定理2. 如果函数 x ( y)在某区间 I y内单调、可导
uv v2
uv.
证 (2)设 f ( x) u( x)v( x),
f ( x) lim u( x x)v( x x) u( x)v( x)
x0
x
lim [u( x x) u( x)]v( x x) u( x)[v( x x) v( x)]
解
y
ln x ln(
x)
x0 x0
当x 0时，y 1 , x
当x 0时，y 1 (1) 1 ,
x
x
即 (ln | x |) 1 ( x 0). x
四、微分法小结
1.基本微分公式
(c) 0
d(c) 0
( x ) x1
d ( x ) x1dx
lim[
x0
f
(u0
)
u x
u] x
f
(u0
)
lim
x0
u x
lim
x0
lim
x0
u x
f (u0 )( x0 ).
即 因变量对自变量求导,等于因变量对中间变 量求导,乘以中间变量对自变量求导(链式法则).
推广 设 y f (u),u (v),v ( x), 则复合函数y f {[ ( x)]}的导数为：
或d(u v) du dv; (2) [u( x) v( x)] u( x)v( x) u( x)v( x),
或duv vdu udv;
(3)[u( v(
x)] x)
u(
x
)v(
x) u( v( x)2
x
)v(
x)(v(
x)
0),
或 d(
u) v
解x
sin
y在 I y
(
2
, )内单调、可导 ,
2
且 (sin y) cos y 0, 所以 在 I x (1,1)内有
(arcsin x) 1 1 (sin y) cos y
1
1 sin2 y
1 1 x2
同理可得 (arccos x) 1
证 设函数 y f ( x)有导数f ( x), (1)若x是自变量时，dy f ( x)dx; (2)若x是中间自变量时，即另一变量t的可
微函数x (t ),则dy f ( x)( x)dt. (t )dt dx, dy f ( x)dx.
例6 求 函数y arctan 1 的导数. x
例3 求 y tan x 的导数 .
解 y (tan x) (sin x )
cos x
(sin x) cos x sin x(cos x)
cos2 x
cos2 x cos2
sin2 x
x
1 cos2
x
sec2
x
y (tan x) sec2 x
同理可得 y (cot x) csc2 x
(sin x) cos x d(sin x) cos xdx
(cos x) sin x d(cos x) sin xdx
(tan x) sec2 x d(tan x) sec2 xdx
(cot x) csc2 x d(cot x) csc2 xdx
(sec x) sec x tan x
dx
dy dy du dv .
dx du dv dx 即 因变量对自变量求导等于因变量对中间变量 求导，乘以中间变量对自变量求导.(链式法则)
注意：{ f [ ( x)]}与f [ ( x)]不同，前者是对
x求导，后者对u求导.
定理4. 设 y f ( x)可微，则不论x是自变量 还是中间变量，恒有 dy f ( x)dx. 即，微分形式不变性.
x0
x
u( x)v( x) u( x)v( x).
推论
n
n
n
n
(1) (
fk (x))
f
' k
(
x
),
d
(
fk (x))
d(
fk ( x));
k 1
k 1
k 1
k 1
(2) [cf ( x)] cf ( x), d(cf ( x)) cdf ( x);
解 y arctan 1 看成y arctan u x
与u 1 复合而成， x
11
1
(arctan x) 1 u2 , ( x ) x2 ,
dy 1 1
1
.
dx
1 1 x2
x2
1 x2
例7 求函数y x (为常数)的导数.
解 y x e ln x看成
(arc
cot
x
)
1
1 x
2
d(arctan x) dx 1 x2
d
( arc
cot
x
)
1
dx x
2
2.四则运算微分法则
如果u u( x),v v( x)可导(可微),
则：（u v) u v
d(u v) du dv;
(uv) uv uv
d(uv) vdu udv
(cu) cu d(cu) cdu(c为常数)
(
u v
)
vu v2
uv
3.复合函数微分法则
d
(
u v
)
vdu
v2
udv
设 y f (u), u ( x)可导(可微),则： dy f (u)( x)或dy f (u)( x)dx.
第三节 函数的求导法则
一 函数的四则运算的微分法则 二 反函数的微分法则 三 复合函数的微分法则及微分
形式不变性 四 微分法小结
一、函数四则运算的微分
定理1 如果函数u( x), v( x)在点 x处可导（或可微), 则它们的和、差、积、商(分母不为零)在点x处 也可导, 并且
(1) [u( x) v( x)] u( x) v( x);
(3) [uvw] uvw uvw uvw,
d(uvw) vwdu uwdv uvdw.
注意：[u( x)v( x)] u( x) v( x); [u( x)] u( x) . v( x) v( x)
例1. 求 f ( x) x 2
x
e
1 x
cos
1
(
1
)
x
xx
1
sin 1
ex
cos 1 .
x2
x
练习：
求函数 y ln x2 1 ( x 2) 的导数. 3 x2
例10设 y f (arcsin x),而f (u)可导， 求 dy . dx
解 dy f (arcsin x)d arcsin x f (arcsin x) 1 dx, 1 x2
例8 设y 1 x2 ,求y.
解 y (1 x2 )
1 (2x) 2 1 x2
x . 1 x2
或 y 1 (2x) x .
2 1 x2
1 x2
sin 1