函数的四则运算的微分法则

解 y arctan 1 看成y arctan u x
与u 1 复合而成， x
11
1
(arctan x) 1 u2 , ( x ) x2 ,
dy 1 1
1


.
dx
1 1 x2
x2
1 x2
例7 求函数y x (为常数)的导数.
解 y x e ln x看成
(arc
cot
x
)


1
1 x
2
d(arctan x) dx 1 x2
d
( arc
cot
x
)


1
dx x
2
2.四则运算微分法则
如果u u( x),v v( x)可导(可微),
则：（u v) u v
d(u v) du dv;
(uv) uv uv
x0
x
u( x)v( x) u( x)v( x).
推论
n
n
n
n
(1) (
fk (x))


f
' k
(
x
),
d
(

fk (x))

d(
fk ( x));
k 1
k 1
k 1
k 1
(2) [cf ( x)] cf ( x), d(cf ( x)) cdf ( x);
d (a x ) a x ln adx
d (e x ) e xdx
d
(log
x a
)

1 x ln a
dx
d(ln x) 1 dx x
d(arcsin x) 1 dx 1 x2
(arccos x) 1 1 x2
d(arccos x) dx 1 x2
(arctan x) 1 1 x2
证 设函数 y f ( x)有导数f ( x), (1)若x是自变量时，dy f ( x)dx; (2)若x是中间自变量时，即另一变量t的可
微函数x (t ),则dy f ( x)( x)dt. (t )dt dx, dy f ( x)dx.
例6 求 函数y arctan 1 的导数. x
d(uv) vdu udv
(cu) cu d(cu) cdu(c为常数)
(
u v
)

vu v2
uv
3.复合函数微分法则
d
(
u v
)

vdu
v2
udv
设 y f (u), u ( x)可导(可微),则： dy f (u)( x)或dy f (u)( x)dx.
(csc x) csc x cot x
(a x ) a x ln a
(e x ) e x
(log
x a
)

1 x ln
a
(ln x) 1 x
(arcsin x) 1 1 x2
d(sec x) sec x tan xdx
d(csc x) csc x cot xdx
例3 求 y tan x 的导数 .
解 y (tan x) (sin x )
cos x
(sin x) cos x sin x(cos x)

cos2 x

cos2 x cos2
sin2 x
x
1 cos2
x
sec2
x
y (tan x) sec2 x
同理可得 y (cot x) csc2 x
(sin x) cos x d(sin x) cos xdx
(cos x) sin x d(cos x) sin xdx
(tan x) sec2 x d(tan x) sec2 xdx
(cot x) csc2 x d(cot x) csc2 xdx
(sec x) sec x tan x
dy dy du dv .
dx du dv dx 即 因变量对自变量求导等于因变量对中间变量 求导，乘以中间变量对自变量求导.(链式法则)
注意：{ f [ ( x)]}与f [ ( x)]不同，前者是对
x求导，后者对u求导.
定理4. 设 y f ( x)可微，则不论x是自变量 还是中间变量，恒有 dy f ( x)dx. 即，微分形式不变性.
于是有
y x

1 x
, 因为
f
( x)连续,
y
所以当x 0时,必有y 0
故f ( x) lim y x0 x
lim 1 y0 x
1
( y)
( ( y) 0)
即 f ( x) 1 . y
( y)
例5.求 y arcsin x 的导数.
dy dx
x x0

f (u0 ) ( x0 ).
或
dy dy du , dx du dx
证明
由y 故
f y
u
(
u)在点u0可导
,所以
lim
u0

f
(u0
)


(
lim
u0
0)
y u

f (u0 )
则 y f (u0 )u u
故 lim y x0 x
例4 求 y sec x 的导数 .
解
y (sec x) ( 1 ) cos x

(cos cos2
x) x
sin x cos2 x
sec x tan x.
同理可得 y (cscx) csc x cot x
二 、反函数的微分法则
定理2. 如果函数 x ( y)在某区间 I y内单调、可导
1 x2
(arctan
x
)

1
1 x
2
;
( arc
cot
x
)


1
1 x
2
.
三 复合函数的微分法则 及微分形式不变性
定理3.如果函数u ( x)在点 x0可导 , 而y
f (u)在点u0 ( x0 )可导 ,则复合函数 y
f [ ( x)]在点 x0可导,且其导数为
uv v2
uv.
证 (2)设 f ( x) u( x)v( x),
f ( x) lim u( x x)v( x x) u( x)v( x)
x0
x
lim [u( x x) u( x)]v( x x) u( x)[v( x x) v( x)]
解x

sin
y在 I y
(
2
, )内单调、可导 ,
2
且 (sin y) cos y 0, 所以 在 I x (1,1)内有
(arcsin x) 1 1 (sin y) cos y
1

1 sin2 y
1 1 x2
同理可得 (arccos x) 1
y e与t ln x复合而成，
dy

et



e ln x

dx
x
x
x x 1 .
x
验证了第一节的例二.
由上例可见，初等函数的求导必须熟悉. (a)基本初等函数的导数公式； (b)复合函数的分解； (c)复合函数的求导公式.
复合函数的分解过程熟悉后，可以不写 中间变量，而直接写出结果.
或d(u v) du dv; (2) [u( x) v( x)] u( x)v( x) u( x)v( x),
或duv vdu udv;
(3)[u( v(
x)] x)

u(
x
)v(
x) u( v( x)2
x
)v(
x)(v(
x)
0),
或 d(
u) v
2 x 的导数.
解 f ( x) ( x 2 x 2 )
x
x (2 x) ( 2 ) x
12 1 2 1 1 2 x 2 x3
1 1 1 . x x3
例2. 设 f ( x) xe x ln x,求 f ( x).
解 f ( x) ( xe x ln x) xe x ln x x(e x )ln x xe x (ln x) e x ln x xe x ln x xe x 1 x e x (1 ln x x ln x).
第三节 函数的求导法则
一 函数的四则运算的微分法则 二 反函数的微分法则 三 复合函数的微分法则及微分
形式不变性 四 微分法小结
一、函数四则运算的微分
定理1 如果函数u( x), v( x)在点 x处可导（或可微), 则它们的和、差、积、商(分母不为零)在点x处 也可导, 并且
(1) [u( x) v( x)] u( x) v( x);
dx

lim[
x0
f
(u0
)
u x


u] x

f
(u0
)
lim
x0
u x

lim
x0
lim
x0
u x
f (u0 )( x0 ).
即 因变量对自变量求导,等于因变量对中间变 量求导,乘以中间变量对自变量求导(链式法则).
推广 设 y f (u),u (v),v ( x), 则复合函数y f {[ ( x)]}的导数为：
例8 设y 1 x2 ,求y.
解 y (1 x2 )
1 (2x) 2 1 x2
x . 1 x2
或 y 1 (2x) x .
2 1 x2
1 x2
sin 1
例9 求函数 y e x 的导数.
解
y

sin
e
1 x
(sin
1
)
sin
解
y

ln x ln(
x)
x0 x0
当x 0时，y 1 , x
当x 0时，y 1 (1) 1 ,
x
x
即 (ln | x |) 1 ( x 0). x
四、微分法小结
1.基本微分公式
(c) 0
d(c) 0
( x ) x1
d ( x ) x1dx
(3) [uvw] uvw uvw uvw,
d(uvw) vwdu uwdv uvdw.
注意：[u( x)v( x)] u( x) v( x); [u( x)] u( x) . v( x) v( x)
例1. 求 f ( x) x 2
x
且( y) 0 , 那末它的反函数 y f ( x)在对应区间
I x内也可导 , 且有
f ( x)
1
,即
dy
1
( y) dx dx
dy
即 反函数的导数等于直接函数导数的倒数.
注意：f (x),( y) 的" " 均为求导，但意义不同.
证 任取x Ix , 给x以增量x (x 0, x x I x ) 由y f ( x)的单调性可知 y 0,
e
1 x

cos
1

(
来自百度文库
1
)
x
xx


1
sin 1
ex
cos 1 .
x2
x
练习：
求函数 y ln x2 1 ( x 2) 的导数. 3 x2
例10设 y f (arcsin x),而f (u)可导， 求 dy . dx
解 dy f (arcsin x)d arcsin x f (arcsin x) 1 dx, 1 x2
dy 1 f (arcsin x). dx 1 x2
例11设 y ln( x 1 x2 ),求 y.
解 y [ln( x 1 x2 )]
( x 1 x2 ) x 1 x2

1
(1 x )
x 1 x2
1 x2
1 1 x2
例12 求 y ln | x |的导数.