误差分布

概率的频率解释
若对某一个被测量重复测量，我们可以得 到一系列测量数据，这些数据称测量值或 观测值 测量值是随机变量，它们分散在某个区间 内，概率是测量值在区间内出现的相对频 率，即出现的可能性大小的度量

概率的可信程度的解释
由于测量的不完善或人们对被测量及其影 响量的认识不足，概率是测量值落在某个 区间内的可信度大小的度量 在这个定义中，对于那些我们不知道其大 小的系统误差，可以认为是以一定的概率 落在区间的某个位置，认为也属于随机变 量 或者说，某项未知的系统误差落在该区间 内的可信程度也可以用概率表征。
i i
20
si
15
10
5
0
x
概率分布(probability distribution)

一个随机变量取任何给定值或属于某一给 定值集的概率随取值而变化的函数
随机变量在整个集合中取值的概率等于1 2. 一个概率分布与单一(标量)随机变量有关时 称为单变量概率分布，与随机变量的向量有关 时称为多变量概率分布。多变量概率分布也称 联合分布 3. 一个概率分布可以采用分布函数或概率密度 函数的形式
第2章 测量误差分布
教学目标

通过本章内容的学习，可以让读者熟悉误 差分布的基本概念、常见误差分布特征与 处理方法。为学好本课程内容打下重要理 论基础。
随机变量



作一次试验，其结果有多种可能。每一种可能结 果都可用一个数来表示，可把这些数看作为某变 量X的取值范围，变量X称为“随机变量”，即实 验结果可用随机变量X来表示。 通俗地讲，表示随机现象结果的变量称为随机变 量。常用大写字母X，Y，Z等表示随机变量，它 们的取值用相应的小写字母x，y，z表示。 定义：如果某一量(例如测量结果)在一定条件下 ，取某一值或在某一范围内取值是一个随机事件 ，则这样的量称作随机变量。
4

f (x)
Ⅱ 4 3 Ⅰ 4 0
总体及其误差分布的峰 Ⅲ 1.2 凸程度。4 4 是将 4 无量 纲化，也称峰度，而 4 x 是按标准正态分布归零，0 较尖峭的分布有 4 0 ，较平 即对于正态分布超越系 坦的分布有 4 0 数 4 视为零
1

2 3
期望
期望与真值之差即 为系统误差，如果 系统误差可以忽略 ，则期望 就是被 测量的真值 期望代表了测量的 最佳估计值，或相 对真值的系统误差 三条测量值分布曲线的精密 度相同，但正确度不同。 大小

1
2
3
方差Variance
对于一个随机变量，仅用数学期望还不足 以充分描述其特性。 比如，两组测量数据： 28,29,30,31,32……数学期望30，各个数据 在28和32之间波动 10,20,30,40,50……数学期望30，各个数据 在10和50之间波动 两组数据具有相同的数学期望为30，但它 们具有重要的差别。
第二节 常见测量误差分布
本节介绍几种常见的误差分布，包括正态 分布、均匀分布、三角分布、瑞利分布、反 正弦分布、 分布。
一、正态分布
服从正态分布的条件
误差因素多而小，无一个占优，彼此相互 独立（中心极限定理）。 一般认为，当影响测量的因素在15个以上， 且相互独立，其影响程度相当，可以认为 测量值服从正态分布；若要求不高，影响 因素则应在5个（至少3个）以上，也可视 为正态分布。
分散性， 精密度 误差分布 不对称性
误差分布 尖峭程度 两误差关 联程度
偏态系数
峰态系数 协方差
3 ( x )3 f ( x)dx


不对称
尖峭
4
4 3 4 4




( x )4 f ( x)dx
Cov( x, y)




( x x )( y y ) f ( x, y)dxdy
i i
0 7
7.1
7.2
7.3
7.4
7.5
7.6
统计直方图的作用

矩形面积：
fi si x f i x
25



随机误差统计直方图中的 矩形面积，表示误差落在 误差区间 x x 2 , x x 2 中的频率 当测量次数充分多时，此 频率亦即随机误差落在该 区间内的概率 此图在一定程度上直观地 反映了测量随机误差的分 布情况
=1 = 0.5
负相关
线性不 相关
_ = 0.5
=0
统计分布常用的特征值
名称 数学期望 方差 定义
E( X )
2
几何意义

误差意义
实际值 正确度
xf ( x)dx
2
位置特征 弥散
D( X ) ( x ) f ( x)dx
3 3 3
1.
分布函数

对于每个x值给出了随机变量X小于或等于x 的概率的一个函数称分布函数，用F(x)表示 F (x)= P( X≤ x )
F (x) 是一个不减的函数 1
10
F(x)
0 F ( x) 1, 且 F () lim F ( x) 0;
x
20
F () lim F ( x) 1.
x
3.概率分布的特征参数

尽管概率分布反映了该随机变量的全貌， 但在实际使用中更关心代表该该概率分布 的若干数字特征量。
期望 方差
标准偏差
期望expectation


期望又称(概率分布或随机变量的)均值 (mean)或期望值(expected value),有时又称数 学期望。 常用符号 表示，也用E(X)表示。 测量值的期望

方差

(随机变量或概率分布的)方差用符号 表 示 (x )
n 2
lim
2
i 1
i
n
n

测量值与期望之差是随机误差，方差就 是随机误差平方的期望值
V ( X ) E X E ( X )
2

2




( x )2 p( x)dx

方差说明了随机误差的大小和测量值的 分散程度。但由于方差的量纲是单位的 平方，使用不方便，因此引出了标准偏 差这个术语
ຫໍສະໝຸດ Baidu


数学上，积分代表了面积。由此可见，概率p 是概率分布曲线下在区间(a,b)内包含的面积 当p=0.9，表明测量值有90%的可能性落在该 区间内，该区间包含了概率分布下总面积的 90% 当p=1，表明测量值以100%的可能性落在该 区间内，也就是测量值必定在此区间内。
P a x b p x dx
标准偏差

概率分布或随机变量的标准偏差是方差的 正平方根值，用符号表示
V (X )

标准偏差是无穷多次测量的随机误差平方 n 的算术平均值的正平方根值的极限， ( xi ) 2 lim i 1 n n
标准偏差
标准偏差是表明测 得值分散性的参数， 小表明测得值比较 集中，大表明测得 值比较分散。通常， 测量的重复性或复 现性是用标准偏差 来表示的。
随机变量根据其值的性质不同，可分为 离散型和连续型两种， 如果随机变量X的所有可能取值为有限个 或可列个，且以各种确定的概率取这些 不同的值，则称随机变量X为离散型随机 变量。 如果随机变量的所有可能取值充满为某 范围内的任何数值，且在其取值范围内 的任一区间中取值时，其概率是确定的 ，则称X为连续型随机变量。

概率(probability)

概率是一个0和1之间隶属于随机事件的实 数
概率与在一段较长时间内的事件发生的相对频
率有关 或与事件发生的可信程度(degree of belief)有关
-----------GBT 3358.1-2009 统计学词汇及符号 第1部分：一般统计术语与 用于概率的术语
1
1 2 2 3 3
标准偏差
由于期望、方差 和标准偏差都是 以无穷多次测量 的理想情况定义 的，因此都是概 念性的术语，无 法由测量得到 ， 2和。
1
1 2 3
2 3
三条误差分布曲线的正确 度相同，但精密度不同
偏态系数
f (x)
定义
3 ( x ) f ( x)dx


在相同测量条件下，对某钢球工件的直径测量150 x1 , x2 ,, x150 次，得到一个测量样本（ ） 测量点列图：以测量序数i为横坐标，以测得值 x i 或其误差 x x为纵坐标
i i 0
xi
7.585
单峰性
有界性
7.335
对称性
7.085
抵偿性
i
统计直方图

3

Ⅰ 3 0
Ⅱ 3 0
3 3 3

三阶中心矩， 3 将3 无量纲化，称为偏态 系数， 3 描述了测量 总体及其误差分布的 非对称程度
0
1
2
x
曲线Ⅱ具有正(右)偏态，曲 线Ⅰ具有负(左)偏态
峰态系数
定义
4 ( x ) f ( x)dx
1
1 2 3
2 3
三条误差分布曲线的正确 度相同，但精密度不同
标准偏差
由于标准偏差是无穷多 次测量时的极限值，所 以又称总体标准偏差。 可见：期望和方差(或标 准偏差)是表征概率分布 的两个特征参数。理想 情况下，应该以期望为 被测量的测量结果，以 标准偏差表示测得值的 三条误差分布曲线的正确 分散性 度相同，但精密度不同
离散随机变量 连续随机变量
E X pi xi
i 1
E( X )


xp( x)dx

通俗地说：期望值是无穷多次测量的平均值
期望
• 期望是概率分布曲线与横坐标轴构成面积 的重心所在的横坐标，因此它是决定随机 变量分布的位置的量


对于单峰、对称的概 率分布来说，期望值 在分布曲线峰顶对应 的横坐标 正因为实际上不可能 进行无穷多次测量， 因此，测量中期望值 是可望而不可得的。
yf ( x, y)dxdy
协方差 Cov( x, y) 表示了两变量间的相关程度
相关系数
定义

Cov ( x, y )
x y
线性 相关
正相关
1 1
表示了两个变量间线性相 关的程度 | | 越小，X，Y之间线性相 | 关程度越小， | 取值越大， X，Y之间线性相关程度越大 当 0 1 ，X与Y正相关， 当 1 0 ，X与Y负相关
b a
概率密度的性质
概率密度曲线 f ( x) 完好的描述了随机误差的统计 规律。 有两个性质
f (x ) p =1 _



f x dx 1
b a
P a x b f x dx 1
a x b 置信区间 a b p 1 置信概率（或置 概率密度函数的几何意义 信水平），简记为符号 p 显著性水平（又称显著度或危险率）

（1）测量样本按数据的大 小分组，分组数=11，组 25 距 x 0.05mm ； （2）依次定各组的频数 20 m i ）、 （每组出现的数据个数 频率 f m n 和频率密 15 f i x ； 度 （3）以数据为横坐标，频 10 率密度为纵坐标，在横坐标 上划出等分的子区间，划出 5 各子区间的直方柱，即为所 求统计直方图。
x
0 3
1
2
x
离散型随机变量的概率分布
要了解离散型随机变量X的统计规律，就必 须知道它的一切可能值xi及取每种可能值的 概率pi 如果将离散型随机变量X的一切可能取值xi 及其对应的概率pi ，记作 P(X= xi)= pi ，i=1,2,…. 则称上式为离散型随机变量X的概率分布或 2 3 X -1 分布

pi
1 4
1 2
1 4
概率密度函数
分布函数的导数（当导数存在时）称（连 续随机变量的）概率密度函数，用p(x)表示 p(x)=dF (x)/dx p(x) dx称“概率元素” p(x) dx= P( x＜X＜x+ dx )

概率密度函数

若已知某个随机变量的概率密度函数p(x),则 测量值x落在(a,b)区间内的概率p可用下式计 算
4
4 3 4 4 , 4 4 , 4 表征了测量 4
协方差
定义
Cov( x, y)




( x x )( y y ) f ( x, y)dxdy
式中
x
y






xf ( x, y)dxdy