信号的采样

1 x(n) 2π
π T π r T


2πr jΩnT X a jΩ j T e dΩ
第一章 时间离散信号与系统 并有
π 1 T 2πr jΩnT x(n) π T r X a jΩ j T e dΩ 2π
第一章 时间离散信号与系统
1.8 时间连续信号的采样
1.8.1 采样序列与原信号间的内在联系
大家知道，在模拟信号研究中，经典的傅里叶分析已被公
认为一种相当完美的数学理论，而且获得了十分广泛的应用。 傅里叶分析的基本思路在于将一般函数（如某种信号）表示成 具有不同频率的谐波函数的线性叠加， 从而将原来的函数 （在时域或空域）的研究转化为对这个叠加的权系数, 即傅里 叶变换（在频域）的研究。式（1-58a）就是其数学表示，而 式（1-58b）则是它的傅里叶反变换公式。
（1-67）

第一章 时间离散信号与系统 将式（1-66）与式（1-67）一并考虑， 可得
π 1 T xa (t ) TX (e jT )e jt d Tπ 2π
由于
X (e
因而
jT
)
k
x (kT )e
a

- jΩk T
T - jΩkT jΩt xa (t ) [ x (kT )e ]e d 2π
第一章 时间离散信号与系统
X(e j ), X(e jT) 1 T
－2
－ － 0 T
0





0T 0
2π T
2π T
－ 0

图1.19 时间连续信号的傅里叶变换与采样序列的对应关系 （a） 某一连续时间信号的傅里叶变换; （b） 经周期性采样所得的时间离散信号的傅里叶变换; (c) 时间连续信号的傅里叶变换周期性重复时不发生混叠
π T π a T k -
第一章 时间离散信号与系统 交换积分与求和次序， 可得 π T T jΩ ( t-kT ) xa (t ) xa (kT ) π e d k 2π T
π π j ( t-kT ) - j ( t-kT ) T eT e T xa (kT ) 2π j(t kT ) k π sin (t kT ) T xa (kT ) （1-68） π k (t kT ) T 式（1-68）为由xa(t)的采样序列恢复其连续时间信号xa(t)提供
(c)
第一章 时间离散信号与系统
1.8.2
内插公式
为了得到内插公式，假设Ω 0<π /T, 即此时没有发生频谱 混叠，如图1.17(c)所示， 而且其
X (e
jT
1 ) X a ( j ) T
π π Ω T T
π T π T
（1-66）
按连续时间信号的傅里叶关系：
1 1 jt xa (t ) X a ( jΩ)e d X a ( jΩ)e jt d 2π 2π
假如Ω0≤π/T，则在-π≤ω≤π的区间内， X(ejΩT)将与Xa(jΩ)相同。
在这种情况下，就可以用相关的内插公式，从采样信号xa(nT)恢 π 复原信号xa(t)。事实上， 表示其采样率 Ω0 T 1 Ω0 2πf 0 即此时至少以二倍于Xa(jΩ)的最高频率进行采样。 fs ， 2 f0 T π π 这也就是我们熟悉的所谓奈奎斯特(Nyquist)采样率。
T 到 ，则
用 Ω ' Ω 2πr 作变量替换，并将式中的积分区间改换成
T
T
（1-61） 虑考到ej2π rn=1, 而且我们将式（1-61）中的Ω ′仍用Ω 表示， 于是
1 x(n) 2π
π T π r T


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2πr jΩ 'nT j2rn e dΩ' X a jΩ' j T e
（1-64）
第一章 时间离散信号与系统 或者
1 2πr jΩT X (e ) X a jΩ j T r T
（1-65）
式（1-64）与式（1-65）明确揭示了时间连续信号的傅里 叶变换与该信号的采样序列的傅里叶变换之间的对应关系。下 面我们举一个例子进一步观察这种关系。
（1-60）
为了将式（1-59）与式（1-60）联系在一起， 我们将式
（1-59）表示成无限多的积分之和， 而中间每个积分则均在长 度为 2 π 的区间上完成，即 T
1 x(n) 2π
( 2 r 1) π T ( 2 r 1) π r T


X a ( jΩ)e jnT dΩ
第一章 时间离散信号与系统
第一章 时间离散信号与系统
设此时的Xa(jΩ)如图1.19（a）所示，那么当Ω0>π/T时， X(ejω)
将有如图1.19（b）所示的结果。在图1.19（b）中，我们可以看 到，当采样周期过大时，Xa(jΩ)平移后得到的诸相关图形将发生 重叠。此时Xa(jΩ)的高频分量将混入X(ejω)的低频范围，出现 Xa(jΩ)的高频分量与低频分量的混叠。当然， 参阅图1.19（c），
第一章 时间离散信号与系统
Xa( j ) 1
－ 0
0
0

(a)
图1.19 时间连续信号的傅里叶变换与采样序列的对应关系 （a） 某一连续时间信号的傅里叶变换; （b） 经周期性采样所得的时间离散信号的傅里叶变换; (c) 时间连续信号的傅里叶变换周期性重复时不发生混叠
第一章 时间离散信号与系统
1 x(n) xa (nT ) X ( j)e jnT d 2π
(1-59)
第一章 时间离散信号与系统
xa(t) xa(nT)
0 T
t
图1.18 模拟信号的采样
第一章 时间离散信号与系统 而序列x(n)的傅里叶表示式
1 π j j n x ( n) π X (e )e d 2π
第一章 时间离散信号与系统
X a ( j) xa (t )e - jΩt dt


（1-58a） （1-58b）
1 xa (t ) X a ( j)e jΩt dt 2π
为了研究采样序列与原信号的内在联系，先假设此时的x(n)的序列 值如图1.18所示那样是由xa(t)通过周期性采样所得的采样值xa(nT) 得到的，T为采样周期。为了确定用x(n)代表xa(t)的含意，显然也 可用x(n)的傅里叶变换X(ejω)与xa(t)的傅里叶变换Xa(jΩ)之间的关系 作为分析的依据。根据假设及式（1-58b），此时的
利用 Ω

T
（1-62）
，式（1-62）可写成
1 π 1 2πr jn x(n) π T r X a j T j T e d （1-63） 2π
对照式（1-60）与式（1-63）， 可得
1 2πr j X (e ) X a j j T r T T
X(e j ), X(e jT) 1 T
－3
－2
－
Ω0T
0
Ω0T Ω0




2π T
Ω0
(b)
2π T

图1.19 时间连续信号的傅里叶变换与采样序列的对应关系 （a） 某一连续时间信号的傅里叶变换; （b） 经周期性采样所得的时间离散信号的傅里叶变换; (c) 时间连续信号的傅里叶变换周期性重复时不发生混叠
了一个内插公式。该公式仅对带限信号成立，而且T要选得足够 小， 以保证采样后的频谱不产生混叠。