第五章《相交线与平行线》证明题专题复习课件培训资料
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相交线与平行线复习课专题PPT教学课件(数学人教版七年级下册)
∴∠MCE=∠E ∠EAB=∠MNB
∵ AB∥CD
C
D
∴∠MCD=∠MNB
M
图(2)
请按下暂停键， 证明一下。
∴∠EAB=∠MCD ∵∠MCE=∠MCD+∠ECD ∴∠E=∠EAB+∠ECD
数学初中
添加辅助线
A
B
E
C
F
D
A
F
B
E
C
D
数学初中
（3）若将橡皮筋拉成图(3)的形状，则∠A、∠C、∠AEC之间
的三角板的一个顶点在纸条的另一边上，则∠1的度数是( C )
A．30° B．20° C．15° D．14°
请按下暂停键，动手算一下
数学初中
添加辅助线
类比
E
E
A
B
A
B
N
F
C
D
C
D
M
数学初中
（6）若将橡皮筋拉成图(6)的形状，则∠EAB、∠C之间有什么
关系？
E
A
B
C
图(6)
D
∠EAB=∠C
数学初中
（7）若将橡皮筋拉成图(7)的形状，则∠A、∠C、∠AEC之间
有什 么关系？
A
B
A
B
A
B
C
D
C
DC
D
E
E
图(7)
E
请按下暂停键，动手算一下
数学初中
添加辅助线
类比
A
E
B N
MC
D
图(4)
数学初中
（5）若将橡皮筋拉成图(5)的形状，则∠A、∠C、∠AEC之间
有什 么关系？
E
∵ AB∥CD
C
D
∴∠MCD=∠MNB
M
图(2)
请按下暂停键， 证明一下。
∴∠EAB=∠MCD ∵∠MCE=∠MCD+∠ECD ∴∠E=∠EAB+∠ECD
数学初中
添加辅助线
A
B
E
C
F
D
A
F
B
E
C
D
数学初中
（3）若将橡皮筋拉成图(3)的形状，则∠A、∠C、∠AEC之间
的三角板的一个顶点在纸条的另一边上，则∠1的度数是( C )
A．30° B．20° C．15° D．14°
请按下暂停键，动手算一下
数学初中
添加辅助线
类比
E
E
A
B
A
B
N
F
C
D
C
D
M
数学初中
（6）若将橡皮筋拉成图(6)的形状，则∠EAB、∠C之间有什么
关系？
E
A
B
C
图(6)
D
∠EAB=∠C
数学初中
（7）若将橡皮筋拉成图(7)的形状，则∠A、∠C、∠AEC之间
有什 么关系？
A
B
A
B
A
B
C
D
C
DC
D
E
E
图(7)
E
请按下暂停键，动手算一下
数学初中
添加辅助线
类比
A
E
B N
MC
D
图(4)
数学初中
（5）若将橡皮筋拉成图(5)的形状，则∠A、∠C、∠AEC之间
有什 么关系？
E
第五章相交线与平行线复习总结课件讲ppt
b∥c
“过一点有且只有一条直线与已知直线平行”这句话对吗？为什么？
l
P
P
l
过直线外一点……
2.平行线的判定与性质
平行线的判定
平行线的性质
1、同位角相等，两直线平行 2、内错角相等，两直线平行 3、同旁内角互补，两直线平行 4、平行于同一条直线的两条直线平行
1、两直线平行，同位角相等 2、两直线平行，内错角相等 3、两直线平行，同旁内角互补
收获的季节
1. 如图，∵∠D=∠DCF（已知） ∴_____//___（ ） 2. 如图，∵∠D+∠BAD=180°（已知） ∴____//_ _（ ） 3.如图∵∠B=∠DCF（已知） ∴_____//___ （同位角相等，两直线平行）
D
练一练
3.分别过点A、B、C画对边BC、 AC、AB的垂线，垂足分别为D、E、F.
B
A
C
D
E
F
4.直线AB、CD相交于点O，OE是射线 ，∠1= 32° ，∠2=58° ，则OE与AB的位置关系是_________.
垂直
E
A
O
C
B
D
1
2
∵∠AOE= 180°-∠1-∠2= 90°（平角定义） ∴OE⊥AB（垂直定义）
AD
BC
AB
DC
内错角相等，两直线平行
同旁内角互补，两直线平 行
AB
DC
3.如图，不能判别AB∥CD的条件是（ ） A. ∠B+ ∠BCD=180° B. ∠1= ∠2 C. ∠3= ∠4 D. ∠B= ∠5
B
AD∥BC
3.如图，已知直线a∥b，∠1=54°，那么∠2，∠3，∠4各是多少度？
“过一点有且只有一条直线与已知直线平行”这句话对吗？为什么？
l
P
P
l
过直线外一点……
2.平行线的判定与性质
平行线的判定
平行线的性质
1、同位角相等，两直线平行 2、内错角相等，两直线平行 3、同旁内角互补，两直线平行 4、平行于同一条直线的两条直线平行
1、两直线平行，同位角相等 2、两直线平行，内错角相等 3、两直线平行，同旁内角互补
收获的季节
1. 如图，∵∠D=∠DCF（已知） ∴_____//___（ ） 2. 如图，∵∠D+∠BAD=180°（已知） ∴____//_ _（ ） 3.如图∵∠B=∠DCF（已知） ∴_____//___ （同位角相等，两直线平行）
D
练一练
3.分别过点A、B、C画对边BC、 AC、AB的垂线，垂足分别为D、E、F.
B
A
C
D
E
F
4.直线AB、CD相交于点O，OE是射线 ，∠1= 32° ，∠2=58° ，则OE与AB的位置关系是_________.
垂直
E
A
O
C
B
D
1
2
∵∠AOE= 180°-∠1-∠2= 90°（平角定义） ∴OE⊥AB（垂直定义）
AD
BC
AB
DC
内错角相等，两直线平行
同旁内角互补，两直线平 行
AB
DC
3.如图，不能判别AB∥CD的条件是（ ） A. ∠B+ ∠BCD=180° B. ∠1= ∠2 C. ∠3= ∠4 D. ∠B= ∠5
B
AD∥BC
3.如图，已知直线a∥b，∠1=54°，那么∠2，∠3，∠4各是多少度？
第五章 相交线与平行线复习 课件(共19张ppt)
平行线的性质
1、两直线平行，同位角相等 2、两直线平行，内错角相等 3、两直线平行，同旁内角互补
基础演练2： 看图填空
（1）∵_____∥ _____(已知)
A
∴∠1= ∠4（
）
（2）∵_____∥ _____(已知)
1
∴∠C= ∠ADE（
）
（3）∵_____∥ _____(已知)
2 B
∴∠A+∠ABC=1800（
并用所学的知识推理它的正确性。
E
F
A
B
C
D
（1）如图，已知① AB∥CD，②BC ∥DE，则③∠B+∠D=1800
E
F
A
B
C
D
（2）如图，已知① AB∥CD，③∠B+∠D=1800 ，则②BC ∥DE
ELeabharlann FABC
D
（3）如图，已知，②BC ∥DE ，③∠B+∠D=1800 ，则①AB∥CD
课堂检测：
已知：如图，AC∥DE，AE平分∠CAB，
DF平分∠EDB，那么AE∥DF吗？请说明理由。
AE∥DF
C
理由：∵ AC∥DE（已知）
E
F ∴ ∠CAB= ∠EDB
1
3
（ 两直线平行，同位角相等 ）
2
4
B
A
D
∵ AE平分∠CAB, DF平∠EDB（已知）
∴ ∠2=1/2（ ∠CAB），∠4=1/2（ ∠EDB） （ 角平分线定义 ）
致我亲爱的同学们
天空的幸福是穿一身蓝 森林的幸福是披一身绿 阳光的幸福是如钻石般耀眼 老师的幸福是因为认识了你们
愿你们努力进取，永不言败
七年级下数学第五章相交线与平行线复习课件1人教版ppt
∠ A和哪个角是同旁内角? A
B
(∠B 、 ∠AOB、 ∠AOE)
在日常生活中，随处都可以看到浪费 粮食的 现象。 也许你 并未意 识到自 己在浪 费，也 许你认 为浪费 这一点 点算不 了什么
一、判断题
概念辨析
1、有公共顶点且相等的两个角是对顶角。（
×
）
2、两条直线相交，有两组对顶角。
（√ ）
3、两条直线相交所构成的四个角中有一个角是直角，
1、定义：
(二)、垂直：
两条直线相交所形成的四个角中有 A
一个是直角时叫两条直线互相垂直。
C
B O
2、画法： 过一点画一条直线的垂线。
D
p
3、性质：
c
b
Q
a
b
AB C
DE
P
(2)、 垂线段最短。
(1)、过一点有且只有一条直 线垂直于已知直线。
点到直线的距离:
在日常生活中，随处都可以看到浪费 粮食的 现象。 也许你 并未意 识到自 己在浪 费，也 许你认 为浪费 这一点 点算不 了什么
直线AB,CD相交于点O，OM⊥AB于O， 且 ∠D1 OM= ∠COM,求∠AOD 的度数3．
在日常生活中，随处都可以看到浪费 粮食的 现象。 也许你 并未意 识到自 己在浪 费，也 许你认 为浪费 这一点 点算不 了什么
线段、射线的垂线应怎么画呢？
P
Q
A
B
垂线性质一
O
A
过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.
垂线段是垂线上的一部分，它是线段， 一端是一个点，另一端是垂足。
P
A
B
D
在日常生活中，随处都可以看到浪费 粮食的 现象。 也许你 并未意 识到自 己在浪 费，也 许你认 为浪费 这一点 点算不 了什么
《相交线与平行线》证明题专题复习课件
平行线的应用
平行线的标记法
在图形中使用箭头来标记平行 的直线。
线段延长
可使用平行线性质延长线段。
室内设计
平行线可用于创造美观的室内 设计效果。
总结和复习要点
线段相等定理 平行线的证明方法
角相等定理 平行线的应用
垂直直角定理 总结和复习要点
平行线性质
《相交线与平行线》证明题专 题复习课件
欢迎来到《相交线与平行线》证明题专题复习课件。本课程将为您讲解线段 相等定理、角相等定理、垂直直角定理、平行线性质、证明方法、应用以及 总结复习要点。
线段相等定理
1 定理1
如果线段AB与线段CD的长度相等，即AB ≌ CD，则线段AB与线段CD相等。
2 定理2
如果在两个等量线段上取等量的两个点，这两个点可以同时彼此对应。
3 应用示例
利用线段相等定理证明三角形的边相等。
角相等定理
1
定理1
两个角的角度相等，称为角相等。
2
定理2
如果两个角是对顶角, 那么它们的角度相等。
3
定理3
如果两条直线相交，那么相交角相等的对侧角也相等。
垂直直角定理
垂直直角定理
如果两条直线相交且相交角为 9Байду номын сангаас度，那么这两条直线互相垂 直。
直角定义
直角是一个90度的角度。
对顶角垂直性
对顶角是相互垂直的。
平行线性质
平行线定义
如果两条直线没有交点，那么这两条直线是 平行线。
同位角补角
同位角补角相等。
同位角性质
同位角相等的两条直线是平行线。
同位角和内错角性质
同位角和内错角的和等于180度。
平行线的证明方法
人教版数学七下第五章《相交线与平行线》ppt复习课件
垂线段的长度,叫做这点到这条直线的距离.
判断:
1、画出点A到直线BC的距离。（ ）
B
2、画出点A到直线BC的垂线段。（ ）
A DC
3、量出点A到直线BC的距离。 （ ）
4、垂线最短。
（）
(三)、三线八角:
A
同位角: ∠1与∠5; ∠4与∠8;
∠2与∠6; ∠3与∠7.
内错角: ∠4与∠6; ∠3与∠5. C
则∠3=
40º
A
B
1
32
C
D
2
11、如图：
∠CDF= 2
AB∥CD ，∠ABF= 3
∠CDE，则∠E︰∠F=
∠ABE， 3：2
3
（提示： ∠E=∠ABE+ ∠CDE C
D FE
∠F= ∠ABF+ ∠CDF）
A
B
ba
1
2
∴ ∠1=90 (垂直定义)
又∵ b∥c (已知)
∴ ∠2= ∠1=90 (两直线平行,同位角相等)
∴ a ⊥c. (垂直定义)
二、平行线
E
（一）、定义：
A
21
B
在同一平面内，不相交的两 条直线叫做平行线。
34 65
（二）、判定：
1、定义。
C7 8
D
F
2、同位角相等，两直线平行。
E
G
B
C1
D
6、下列命题正确的是（A ）
A、垂直于同一条直线的两条直线平行（在同一平面内）
B、两条直线被第三条直线所截，同位角相等
C、相等的两个角是对顶角
D、点到直线间的距离，垂线段最短
7、三条直线相交一点，对顶角的对数是（ B ）
判断:
1、画出点A到直线BC的距离。（ ）
B
2、画出点A到直线BC的垂线段。（ ）
A DC
3、量出点A到直线BC的距离。 （ ）
4、垂线最短。
（）
(三)、三线八角:
A
同位角: ∠1与∠5; ∠4与∠8;
∠2与∠6; ∠3与∠7.
内错角: ∠4与∠6; ∠3与∠5. C
则∠3=
40º
A
B
1
32
C
D
2
11、如图：
∠CDF= 2
AB∥CD ，∠ABF= 3
∠CDE，则∠E︰∠F=
∠ABE， 3：2
3
（提示： ∠E=∠ABE+ ∠CDE C
D FE
∠F= ∠ABF+ ∠CDF）
A
B
ba
1
2
∴ ∠1=90 (垂直定义)
又∵ b∥c (已知)
∴ ∠2= ∠1=90 (两直线平行,同位角相等)
∴ a ⊥c. (垂直定义)
二、平行线
E
（一）、定义：
A
21
B
在同一平面内，不相交的两 条直线叫做平行线。
34 65
（二）、判定：
1、定义。
C7 8
D
F
2、同位角相等，两直线平行。
E
G
B
C1
D
6、下列命题正确的是（A ）
A、垂直于同一条直线的两条直线平行（在同一平面内）
B、两条直线被第三条直线所截，同位角相等
C、相等的两个角是对顶角
D、点到直线间的距离，垂线段最短
7、三条直线相交一点，对顶角的对数是（ B ）
《相交线与平行线复习课》课件(16张ppt)
A 2 D 3
1 C
O
4
B
l3
2 1 3 4 6 5 7 8
l1
l2
截线 同位角 内错角 同旁内角
同旁 两旁 同旁
被截线
同侧 之间(交错 之间
)
结构特征
F (或倒置 Z
) (或反置)
U
3、垂线： 当两条直线相交所构成的四个角中有一个 角是直角时，就说这两条直线互相垂直， 其中的一条叫做另一条的垂线。 C 1 B D 垂线的性质： ①过一点有且只有一条直线与已知直线 互相垂直 ②连接直线外一点与直线上各点的所有 线段中，垂线段最短 点到直线的距离：直线外一点到这条直线的 垂线段的长度。
邻补角 两条 直线 相交
一般情况
邻补角互补
对顶角相等 存在性和唯一性
对顶角
相 交 线
特殊
垂直
垂线段最短
两条直线被 第三条所截
点到直线 的距离
同位角、内错角、同旁内角 平行线的判定 平行线的性质
平行公理及其推论
两条平行线的距离 命题
平 行 线
平移
平移的性质
一、相交线 如果一个角的两边是另一个角的两边的反向 １、对顶角：
B
例题精讲:
例2 : 如图，BD⊥AC，EF⊥AC，D、F分别为 垂足，∠1＝∠2，试说明∠ADG ＝∠C 。
A D F C
2 1
G B
E
探究创新:
已知：如图AB∥CD，试探究
∠BED与∠B，∠D的关系
A
A
B
1 E
B
1
F
C
2 D
E C
2
D
F
的两条直线 ②平行公理：过直线外 ②若a∥b，a ∥ c， 叫平行线 一点有且只有一条直线 则b ∥ c
1 C
O
4
B
l3
2 1 3 4 6 5 7 8
l1
l2
截线 同位角 内错角 同旁内角
同旁 两旁 同旁
被截线
同侧 之间(交错 之间
)
结构特征
F (或倒置 Z
) (或反置)
U
3、垂线： 当两条直线相交所构成的四个角中有一个 角是直角时，就说这两条直线互相垂直， 其中的一条叫做另一条的垂线。 C 1 B D 垂线的性质： ①过一点有且只有一条直线与已知直线 互相垂直 ②连接直线外一点与直线上各点的所有 线段中，垂线段最短 点到直线的距离：直线外一点到这条直线的 垂线段的长度。
邻补角 两条 直线 相交
一般情况
邻补角互补
对顶角相等 存在性和唯一性
对顶角
相 交 线
特殊
垂直
垂线段最短
两条直线被 第三条所截
点到直线 的距离
同位角、内错角、同旁内角 平行线的判定 平行线的性质
平行公理及其推论
两条平行线的距离 命题
平 行 线
平移
平移的性质
一、相交线 如果一个角的两边是另一个角的两边的反向 １、对顶角：
B
例题精讲:
例2 : 如图，BD⊥AC，EF⊥AC，D、F分别为 垂足，∠1＝∠2，试说明∠ADG ＝∠C 。
A D F C
2 1
G B
E
探究创新:
已知：如图AB∥CD，试探究
∠BED与∠B，∠D的关系
A
A
B
1 E
B
1
F
C
2 D
E C
2
D
F
的两条直线 ②平行公理：过直线外 ②若a∥b，a ∥ c， 叫平行线 一点有且只有一条直线 则b ∥ c
人教版七年级下册第五章《相交线和平行线》复习课件(共17张PPT)
5的关系是______；
②∠3和∠5的关系是______；
内错角
③∠2和∠ __是直线______、______被直线______所截，形成的同位角。
同旁内角
7 EF
HE
CD
复习与回顾
（1）∵∠ 4 =∠ 2 ， ∴ a∥b（同位角相等，两直线平行）
c
4
13
a
（2）∵∠ 1 =∠ 2 ，
M N
平行线 间与拐点，过拐点作平行线
课堂小结： 谈谈你本节课的收获。
课后作业
P35页—P36页 2、3、6、8题
不去耕耘，不去播种，再肥的沃土也长不出庄稼， 不去奋斗，不去创造，再美的青春也结不出硕果
重点：复习平面内两条直线的相交和平行的位置关系，以及相交平行的 综合应用 难点：垂直、平行的性质和判定的综合应用。
学法指导：
1.回想或查阅资料总结知识点； 2.独立完成，小组订正答案，解决过程中发现的问题。
复习与回顾
如图中的∠1和∠2是同位角吗? 为什么?
2 1 ∠1和∠2不是同位角
1
2
∠1和∠2是同位角，
学习目标
1、经历基础知识梳理的过程，进一步体会数学知识中数量关系的一个有效数学模型； 2、能够利用基础知识解答一些简单问题，帮助学生认识到运用基础知识解答一些简 单问题的关键是理解定义、定理蕴含的关系；并且能根据具体问题的实际意义检验结果 的合理性，进一步培养学生分析问题、解决问题的意识和能力； 3、了解一对顶角、邻补角及其相关概念，会用平行线的性质及判断解答简单的证明 题，并在证明的过程中体会转化等数学思想；
∴ ∠ 3 +∠ 2 =180°
（两直线平行，同旁内角互补）
学法指导： 1.根据总结知识，完成例题； 2.小组互学，交流经验，总结方法； 3.板演，与全班同学订正。
②∠3和∠5的关系是______；
内错角
③∠2和∠ __是直线______、______被直线______所截，形成的同位角。
同旁内角
7 EF
HE
CD
复习与回顾
（1）∵∠ 4 =∠ 2 ， ∴ a∥b（同位角相等，两直线平行）
c
4
13
a
（2）∵∠ 1 =∠ 2 ，
M N
平行线 间与拐点，过拐点作平行线
课堂小结： 谈谈你本节课的收获。
课后作业
P35页—P36页 2、3、6、8题
不去耕耘，不去播种，再肥的沃土也长不出庄稼， 不去奋斗，不去创造，再美的青春也结不出硕果
重点：复习平面内两条直线的相交和平行的位置关系，以及相交平行的 综合应用 难点：垂直、平行的性质和判定的综合应用。
学法指导：
1.回想或查阅资料总结知识点； 2.独立完成，小组订正答案，解决过程中发现的问题。
复习与回顾
如图中的∠1和∠2是同位角吗? 为什么?
2 1 ∠1和∠2不是同位角
1
2
∠1和∠2是同位角，
学习目标
1、经历基础知识梳理的过程，进一步体会数学知识中数量关系的一个有效数学模型； 2、能够利用基础知识解答一些简单问题，帮助学生认识到运用基础知识解答一些简 单问题的关键是理解定义、定理蕴含的关系；并且能根据具体问题的实际意义检验结果 的合理性，进一步培养学生分析问题、解决问题的意识和能力； 3、了解一对顶角、邻补角及其相关概念，会用平行线的性质及判断解答简单的证明 题，并在证明的过程中体会转化等数学思想；
∴ ∠ 3 +∠ 2 =180°
（两直线平行，同旁内角互补）
学法指导： 1.根据总结知识，完成例题； 2.小组互学，交流经验，总结方法； 3.板演，与全班同学订正。
人教版七年级数学下册 第五章相交线与平行线复习(共30张ppt)
C
∟
O
B
D
你能量出C到AB的距离,B到AC的距离,A到BC的距 离吗?
F
E
C
A
D
B
理由:垂线段最短
拓展应用
如图：要把水渠中的水引到水池C 中，在渠岸的什么地方开沟，水沟的 长度才能最短？ 请画出图来，并说明理由。
理由:垂线段最短
C
∥平行∥
• 在平面内,两条直线有几种位置关系?
• 什么叫平行线？怎样表示？怎样读？
基础练习:
3.如图：∠ 1=100°∠2=80°，
dc
∠3=105° 则∠4=_1_0_5_°___
3
1
a
4 2b
4. 两条直线被第三条直线所截，则（ D ） A 同位角相等 B 同旁内角互补 C 内错角相等 D 以上都不对
基础练习:
5.如图, 若∠3=∠4，则 AD∥ ；BAC 1
B
若AB∥CD, 则∠ 1 =∠ 2 。
• 平行公理及其推论的内容是什么？
• 有哪些方法画平行线？
• 两＿直＿线对被，第内三错直角线有所＿截＿，对构，成同的旁八内个角角有中＿同＿位对角. 有C
3
E 1
• 平行线的判定方法有哪些？ • 平行线有哪些性质？ • 什么是平行线间的距离？
4 ２
75 42
２ A 8F6
D B
综合练习
1 .如图, 若∠3=∠4，则 AD∥ BC； 若AB∥CD, 则∠ 1 =∠ 2。 D
(两直线平行，内错角相等) 因为∠1=∠2（已知） 所以 ∠1=∠ACD(等量代换) 所以AB ∥ CD
(内错角相等，两直线平行)
A
D
1
2
B
人教版初一数学7年级下册 第5章(相交线与平行线)复习 课件(41张ppt)
问题4 已知：如图，AB和CD相交于点O， ∠C＝∠COA，∠D＝∠BOD． 求证：AC∥BD ．
例题讲解
思考：证明两条直线互相平行 的方法有哪些？
例题讲解
证明两条直线互相平行
两直线平行
同位角相等
内错角相等
同旁内角互补
平行公理的推论
例题讲解
例题讲解
对顶角相等
∠C＝∠D
A
∠C＝∠COA
∠D＝∠BOD
AC∥BD
分析：
例题讲解
证明：∵∠C＝∠COA，∠D＝∠BOD， ∠COA＝∠BOD， ∴∠C＝∠D． ∴ AC∥BD．
A
问题4 已知：如图，AB和CD相交于点O， ∠C＝∠COA，∠D＝∠BOD． 求证：AC∥BD ．
∠1与∠BOE互为邻补角
∠1与∠3相等
∠1与∠BOE互补
∠1与∠2互余
C
F
B
A
D
E
O
1
2
3
问题1 如图，直线AB⊥CD，垂足为O， 直线EF经过点O，∠1＝26°， 求∠2，∠3，∠BOE的度数．
例题讲解
解：∵ AB⊥CD ， ∴ ∠COB＝90° ． ∵ ∠1＝26°， ∴ ∠2＝∠COB －∠1＝64° ， ∠3＝∠1＝26°， ∠BOE＝180°－∠1＝180°－26°＝154° ．．
例题讲解
AB⊥CD
直线AB与直线EF交于点O
∠1与∠3互为对顶角
∠1与∠2互余
∠1与∠3相等
C
F
B
A
D
E
O
1
2
3
问题1 如图，直线AB⊥CD，垂足为O， 直线EF经过点O，∠1＝26°， 求∠2，∠3，∠BOE的度数．
例题讲解
思考：证明两条直线互相平行 的方法有哪些？
例题讲解
证明两条直线互相平行
两直线平行
同位角相等
内错角相等
同旁内角互补
平行公理的推论
例题讲解
例题讲解
对顶角相等
∠C＝∠D
A
∠C＝∠COA
∠D＝∠BOD
AC∥BD
分析：
例题讲解
证明：∵∠C＝∠COA，∠D＝∠BOD， ∠COA＝∠BOD， ∴∠C＝∠D． ∴ AC∥BD．
A
问题4 已知：如图，AB和CD相交于点O， ∠C＝∠COA，∠D＝∠BOD． 求证：AC∥BD ．
∠1与∠BOE互为邻补角
∠1与∠3相等
∠1与∠BOE互补
∠1与∠2互余
C
F
B
A
D
E
O
1
2
3
问题1 如图，直线AB⊥CD，垂足为O， 直线EF经过点O，∠1＝26°， 求∠2，∠3，∠BOE的度数．
例题讲解
解：∵ AB⊥CD ， ∴ ∠COB＝90° ． ∵ ∠1＝26°， ∴ ∠2＝∠COB －∠1＝64° ， ∠3＝∠1＝26°， ∠BOE＝180°－∠1＝180°－26°＝154° ．．
例题讲解
AB⊥CD
直线AB与直线EF交于点O
∠1与∠3互为对顶角
∠1与∠2互余
∠1与∠3相等
C
F
B
A
D
E
O
1
2
3
问题1 如图，直线AB⊥CD，垂足为O， 直线EF经过点O，∠1＝26°， 求∠2，∠3，∠BOE的度数．
第5章 相交线与平行线 复习与小结 课件(共21张PPT)
1 34
a
2 b
知识梳理
知识点六 平行线的性质
性质1：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等.
简单说成：两直线平行，同位角相等.
1
性质2：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等. 3 4
a
简单说成：两直线平行，内错角相等. 性质3：两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补.
2 b
简单说成：两直线平行，同旁内角互补.
2
∴∠3+∠4=180°.(两直线平行，同旁内角互补) 1
b
a
∵∠3=60°，
∴∠4=120°.
课堂检测
6.如图，一个由4条线段构成的“鱼”形图案，其中∠1＝
50°，∠2＝50°，∠3＝130°，找出图中的平行线，并说
明理由. 解：OA∥BC，OB∥AC，
∵∠1＝50°，∠2＝50°， ∴∠1＝∠2. ∴OB∥AC. ∵∠2＝50°，∠3＝130°， ∴∠2＋∠3＝180°， ∴ OA∥BC.
命题的分类: 真命题：如果题设成立，那么结论一定成立，这样的命 题叫做真命题. 假命题：如果题设成立时，不能保证结论一定成立，这 样的命题叫做假命题.
定理的概念：一些命题的正确性是经过推理证实的，这样得到的真命题 叫做定理.
证明的概念：一个命题的正确性需要经过推理，才能作出判断，这个 推理过程叫做证明.
A 符号语言表示：
∵∠AOD=90°
∴AB⊥CD（垂直的定义）
C
O
D
B
知识梳理
知识点二 垂线的定义和性质
垂 线 的 性 质 1 ：经过一点(已知直线上或直线外)，能画出已知直线的一 条垂线，并且只能画出一条垂线.
即：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.
人教版七年级下册数学第五章《相交线与平行线》复习课课件
(1）你能得到∠F与∠1+∠3的关系吗？
（2）你能得到∠ABE+∠CDE的值吗？ （3）由BF和DF分别平分∠ABE和∠CDE，你能得到
∠1+∠3 与∠ABE+∠CDE的关系吗？
解∵AB∥CD ∴∠F=∠1+∠3
∠ABE+∠E+∠CDE=360° ∵∠E=140°
∴∠ABE+∠CDE=360°-140°=220°
C
D
F
E
分别在下列图形中，探究∠E 与∠B、∠D之间的数 量关系：
A
B
A
B
C
D
E E
A
B
C
D
E
E
A
B
C
D
C
D
模型三：‘外错’ 型
规律总结：
当“拐点”在平行线的外部时， “拐角”等于两个边角之差.
(即：拐角=大角-小角)
知识再现
4.已知AB∥CD，∠ABE和∠CDE的平分线相交于
F，∠E = 140º，则 ∠F =____ 。
①点在两平行线之间
A
B
A
B
E
E
C
D
C
图1
②点在两平行线之外
E
A
B
A
B
A
C 图3
C
D
C
图4 E
图2
D
E A
B
D 图5
C
图6
B
D E
平行线中的折线成角问题模型：
一、内凹型：
归纳
数学建模
二、外凸型：
三、外错型：
E
A
B
C
D
（二） 合作探究 模型一：“内凹” 型
（2）你能得到∠ABE+∠CDE的值吗？ （3）由BF和DF分别平分∠ABE和∠CDE，你能得到
∠1+∠3 与∠ABE+∠CDE的关系吗？
解∵AB∥CD ∴∠F=∠1+∠3
∠ABE+∠E+∠CDE=360° ∵∠E=140°
∴∠ABE+∠CDE=360°-140°=220°
C
D
F
E
分别在下列图形中，探究∠E 与∠B、∠D之间的数 量关系：
A
B
A
B
C
D
E E
A
B
C
D
E
E
A
B
C
D
C
D
模型三：‘外错’ 型
规律总结：
当“拐点”在平行线的外部时， “拐角”等于两个边角之差.
(即：拐角=大角-小角)
知识再现
4.已知AB∥CD，∠ABE和∠CDE的平分线相交于
F，∠E = 140º，则 ∠F =____ 。
①点在两平行线之间
A
B
A
B
E
E
C
D
C
图1
②点在两平行线之外
E
A
B
A
B
A
C 图3
C
D
C
图4 E
图2
D
E A
B
D 图5
C
图6
B
D E
平行线中的折线成角问题模型：
一、内凹型：
归纳
数学建模
二、外凸型：
三、外错型：
E
A
B
C
D
（二） 合作探究 模型一：“内凹” 型
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∴∠D=∠B+∠BED 即: ∠BED=∠D-∠B
变式3 已知：如图，AB∥CD， 求证：∠BED=∠B-∠D
证明：如图，过E作EF∥AB，则 ∠FEB+∠B=180°， ∴∠FEB=180°-∠B． ∵AB∥CD， ∴EF∥CD， ∴∠FED+∠D=180°， ∴∠FED=180°-∠D， ∴∠BED=∠FED-∠FEB=180°-∠D180°+∠B=∠B-∠D，即∠BED=∠B∠D．
3.如图，M、N、T和A、B、C分别在同一直线上， 且∠1=∠3，∠P=∠T，求证：∠M=∠R。
4.已知：如图，AB∥DE，CM平分∠BCE， CN⊥CM．求证：∠B＝2∠DCN．
第五章相交线与平行线辅助线专题
题型一、“U”型中辅助线
已知：如图，AB∥ED，求证：∠BCD=360°-（∠B+∠D）。
点C添加一条平行线．
题型二、“Z”型中辅助线
如图所示，AB∥ED，∠B＝48°,∠D＝42°, 证明：BC⊥CD。（选择一种辅助线）
过点C作CF∥AB， ∵AB∥ED， ∴AB∥CF∥ED， ∴∠BCF=∠B，∠DCF=∠D， ∴∠BCD=∠B+∠D， =48°+42°， =90°， ∴BC⊥CD； 过点C作CG∥AB， ∵AB∥ED， ∴AB∥CG∥ED， ∴∠BCG=180°-∠B=180°-48°=132°， ∠DCG=∠D=180°-∠D=180°-42°=138°， ∴∠BCD=360°-∠BCG-∠DCG， =360°-132°-138°， =90°， ∴BC⊥CD．
变式1 已知：如图9，AB∥CD，∠ABF=∠DCE。求证：∠BFE=∠FEC。
变式1 已知：如图9，AB∥CD，∠ABF=∠DCE。求证：∠BFE=∠FEC。
如图，作FG∥AB,EH∥CD， ∴∠B=∠1，∠C=∠4， 又∵ AB∥CD， ∴FG∥GE ∴∠2=∠3， ∴∠1+∠2=∠3+∠4， 即∠BFE=∠FEC
第五章 相交线与平行线证明 题专题复习
平 行
条件
线
的 两直线平行 性
质
平 条件
行 线
同位角相等
的 内错角相等
判
定 同旁内角互补
结论
同位角相等 内错角相等 同旁内角互补
结论
两直线平行
例1. 已知∠DAC= ∠ACB, ∠D+∠DFE=1800,求证:EF//BC
D
F
C
证明: ∵ ∠DAC= ∠ACB (已知)
∴ AD// BC
(内错角相等,两直线平行) ∵ ∠D+∠DFE=1800(已知) ∴ AD// EF
B
E A
(同旁内角互补,两直线平行)
∴ EF// BC
(平行于同一条直线的两条直线互相平行)
例2. 如图 已知：∠1+∠2=180°， 求证：AB∥CD。
证明： ∵ ∠1+∠2=180°(已知)，
∠3+∠4+∠C=540°．
故答案为：540°．
变式2、如图所示，AB∥ED，∠CAB＝135°， ∠ACD＝80°，求∠CDE的度数．
如图，过点C作CF∥AB． ∵AB∥AB ∴∠A＋∠ACF＝180°(两直线平行，同旁内角互补) ∵∠A＝135°， ∴∠ACF＝45°． ∴∠FCD＝∠ACD－∠ACF＝80°－45°＝35° 又∵CF∥ED ∴∠FCD＝∠CDE(两直线平行，内错角相等) ∴∠CDE＝35°． 提示： 两平行线AB、ED没有一条直线去截它们，需要过
D E
B
∴ ∠DCB=∠GDC （等量代换）
∴ DG∥BC （内错角相等,两直线平行）
∴ ∠AGD=∠ACB
（两直线平行，同位角相等）
A G
FC
课堂练习
1.已知AD⊥BC，FG⊥BC，垂足分别为D、G，且∠1=∠2， 猜想∠BDE与∠C有怎样的大小关系？试说明理由.
2. 已知：如图，CD平分∠ACB，AC∥DE， ∠DCE=∠FEB，求证：EF平分∠DEB．
“平行线间的折线问题”题型小结
1.原题的难点在于平行线间没有截线或截线不明显 2.添加辅助线的目的是构造截线或构造新的平行线 3.处理平行线间折线的问题，过所有折点作平行线是一种通法 4. 加截线（连结两点、延长线段相交）构造三角形，应用 三角形内角和定理，也是一种“转化”的数学思想
作业：
1. 已知：如图23，AD平分∠BAC，点F在BD上， FE∥AD交AB于G，交CA的延长线于E，求证： ∠AGE＝∠E。
变式2 已知：如图，AB∥CD，求证：∠BED=∠D-∠B。
证明: 过E点作EF//AB, ∵ AB//CD ∴ AB//CD//EF ∴∠D=∠DEF∠B=∠BEF ∵∠BED=∠DEF-∠BEF ∴∠BED=∠D-∠B 另证: 设AB与ED相交点为O ∵ AB//CD ∴∠D=∠DOB ∵∠DOB=∠B+∠BED
E
∠1=∠3
A1
∠2=∠4（对顶角相等) ∴ ∠3+∠4=180°（等量代换）.
C
∴ AB//CD （同旁内角互补，两直线平行）.
B 3
4 D
2 F
例3. 如图，已知：AC∥DE，∠1=∠2， 试证明AB∥CD。
证明： ∵AC∥DE （已知）
∴ ∠ACD= ∠2
A 1
(两直线平行，内错角相等)
D 2
证明：过点C作CF∥AB，则∠B+∠1=180°（ ∵AB∥CD（已知），
又∵CF∥AB（已作），
∴EF∥CD（
）。
∴∠D+∠2=180°（
）。
∴∠B+∠1+∠D+∠2=180°+180°（
又∵∠BCD=∠1+∠2，
∴∠B+∠D+∠BCD=360°（ ）。
∴∠BCD==360°-（∠B+∠D）（
）。 ）。
）。
变式1、已知：如图,AB∥CD,求∠BAE＋∠AEF＋∠EFC＋∠FCD的度数.
A
B
E
F
解：过点E作EM∥AB，过点F作FN∥AB，
C 第3题
D
∴ EM∥FN
∵AB∥CD ，
∴EM∥FN∥AB∥CD，
∴∠A+∠1=180°，∠2+∠3=180°，
∠4+∠C=180°，
∴∠BAE+∠AEF+∠EFC+∠FCD=∠A+∠1+∠2+
∵ ∠1=∠2（已知） B
C
E
∴ ∠1=∠ACD(等量代换)
∴AB ∥ CD
(内错角相等，两直线平行)
例4.已知 EF⊥AB，CD⊥AB ，∠EFB=∠GDC，
求证：∠AGD=∠ACB。
证明： ∵ EF⊥AB，CD⊥AB （已知）
∴ AD∥BC
(垂直于同一条直线的两条直线互相平行) ∴ ∠EFB＝ ∠DCB （两直线平行，同位角相等） ∵ ∠EFB=∠GDC （已知）
变式3 已知：如图，AB∥CD， 求证：∠BED=∠B-∠D
证明：如图，过E作EF∥AB，则 ∠FEB+∠B=180°， ∴∠FEB=180°-∠B． ∵AB∥CD， ∴EF∥CD， ∴∠FED+∠D=180°， ∴∠FED=180°-∠D， ∴∠BED=∠FED-∠FEB=180°-∠D180°+∠B=∠B-∠D，即∠BED=∠B∠D．
3.如图，M、N、T和A、B、C分别在同一直线上， 且∠1=∠3，∠P=∠T，求证：∠M=∠R。
4.已知：如图，AB∥DE，CM平分∠BCE， CN⊥CM．求证：∠B＝2∠DCN．
第五章相交线与平行线辅助线专题
题型一、“U”型中辅助线
已知：如图，AB∥ED，求证：∠BCD=360°-（∠B+∠D）。
点C添加一条平行线．
题型二、“Z”型中辅助线
如图所示，AB∥ED，∠B＝48°,∠D＝42°, 证明：BC⊥CD。（选择一种辅助线）
过点C作CF∥AB， ∵AB∥ED， ∴AB∥CF∥ED， ∴∠BCF=∠B，∠DCF=∠D， ∴∠BCD=∠B+∠D， =48°+42°， =90°， ∴BC⊥CD； 过点C作CG∥AB， ∵AB∥ED， ∴AB∥CG∥ED， ∴∠BCG=180°-∠B=180°-48°=132°， ∠DCG=∠D=180°-∠D=180°-42°=138°， ∴∠BCD=360°-∠BCG-∠DCG， =360°-132°-138°， =90°， ∴BC⊥CD．
变式1 已知：如图9，AB∥CD，∠ABF=∠DCE。求证：∠BFE=∠FEC。
变式1 已知：如图9，AB∥CD，∠ABF=∠DCE。求证：∠BFE=∠FEC。
如图，作FG∥AB,EH∥CD， ∴∠B=∠1，∠C=∠4， 又∵ AB∥CD， ∴FG∥GE ∴∠2=∠3， ∴∠1+∠2=∠3+∠4， 即∠BFE=∠FEC
第五章 相交线与平行线证明 题专题复习
平 行
条件
线
的 两直线平行 性
质
平 条件
行 线
同位角相等
的 内错角相等
判
定 同旁内角互补
结论
同位角相等 内错角相等 同旁内角互补
结论
两直线平行
例1. 已知∠DAC= ∠ACB, ∠D+∠DFE=1800,求证:EF//BC
D
F
C
证明: ∵ ∠DAC= ∠ACB (已知)
∴ AD// BC
(内错角相等,两直线平行) ∵ ∠D+∠DFE=1800(已知) ∴ AD// EF
B
E A
(同旁内角互补,两直线平行)
∴ EF// BC
(平行于同一条直线的两条直线互相平行)
例2. 如图 已知：∠1+∠2=180°， 求证：AB∥CD。
证明： ∵ ∠1+∠2=180°(已知)，
∠3+∠4+∠C=540°．
故答案为：540°．
变式2、如图所示，AB∥ED，∠CAB＝135°， ∠ACD＝80°，求∠CDE的度数．
如图，过点C作CF∥AB． ∵AB∥AB ∴∠A＋∠ACF＝180°(两直线平行，同旁内角互补) ∵∠A＝135°， ∴∠ACF＝45°． ∴∠FCD＝∠ACD－∠ACF＝80°－45°＝35° 又∵CF∥ED ∴∠FCD＝∠CDE(两直线平行，内错角相等) ∴∠CDE＝35°． 提示： 两平行线AB、ED没有一条直线去截它们，需要过
D E
B
∴ ∠DCB=∠GDC （等量代换）
∴ DG∥BC （内错角相等,两直线平行）
∴ ∠AGD=∠ACB
（两直线平行，同位角相等）
A G
FC
课堂练习
1.已知AD⊥BC，FG⊥BC，垂足分别为D、G，且∠1=∠2， 猜想∠BDE与∠C有怎样的大小关系？试说明理由.
2. 已知：如图，CD平分∠ACB，AC∥DE， ∠DCE=∠FEB，求证：EF平分∠DEB．
“平行线间的折线问题”题型小结
1.原题的难点在于平行线间没有截线或截线不明显 2.添加辅助线的目的是构造截线或构造新的平行线 3.处理平行线间折线的问题，过所有折点作平行线是一种通法 4. 加截线（连结两点、延长线段相交）构造三角形，应用 三角形内角和定理，也是一种“转化”的数学思想
作业：
1. 已知：如图23，AD平分∠BAC，点F在BD上， FE∥AD交AB于G，交CA的延长线于E，求证： ∠AGE＝∠E。
变式2 已知：如图，AB∥CD，求证：∠BED=∠D-∠B。
证明: 过E点作EF//AB, ∵ AB//CD ∴ AB//CD//EF ∴∠D=∠DEF∠B=∠BEF ∵∠BED=∠DEF-∠BEF ∴∠BED=∠D-∠B 另证: 设AB与ED相交点为O ∵ AB//CD ∴∠D=∠DOB ∵∠DOB=∠B+∠BED
E
∠1=∠3
A1
∠2=∠4（对顶角相等) ∴ ∠3+∠4=180°（等量代换）.
C
∴ AB//CD （同旁内角互补，两直线平行）.
B 3
4 D
2 F
例3. 如图，已知：AC∥DE，∠1=∠2， 试证明AB∥CD。
证明： ∵AC∥DE （已知）
∴ ∠ACD= ∠2
A 1
(两直线平行，内错角相等)
D 2
证明：过点C作CF∥AB，则∠B+∠1=180°（ ∵AB∥CD（已知），
又∵CF∥AB（已作），
∴EF∥CD（
）。
∴∠D+∠2=180°（
）。
∴∠B+∠1+∠D+∠2=180°+180°（
又∵∠BCD=∠1+∠2，
∴∠B+∠D+∠BCD=360°（ ）。
∴∠BCD==360°-（∠B+∠D）（
）。 ）。
）。
变式1、已知：如图,AB∥CD,求∠BAE＋∠AEF＋∠EFC＋∠FCD的度数.
A
B
E
F
解：过点E作EM∥AB，过点F作FN∥AB，
C 第3题
D
∴ EM∥FN
∵AB∥CD ，
∴EM∥FN∥AB∥CD，
∴∠A+∠1=180°，∠2+∠3=180°，
∠4+∠C=180°，
∴∠BAE+∠AEF+∠EFC+∠FCD=∠A+∠1+∠2+
∵ ∠1=∠2（已知） B
C
E
∴ ∠1=∠ACD(等量代换)
∴AB ∥ CD
(内错角相等，两直线平行)
例4.已知 EF⊥AB，CD⊥AB ，∠EFB=∠GDC，
求证：∠AGD=∠ACB。
证明： ∵ EF⊥AB，CD⊥AB （已知）
∴ AD∥BC
(垂直于同一条直线的两条直线互相平行) ∴ ∠EFB＝ ∠DCB （两直线平行，同位角相等） ∵ ∠EFB=∠GDC （已知）