北京交通大学(数字信号处理研究生课程)ch7_3多相分解

例：试求五阶II型线性相位系统M=2时的多项分量
H ( z) h[0] h[1]z 1 h[2]z 2 h[3]z 3 h[4]z 4 h[5]z 5
解：
E0 ( z ) h[0] h[2]z 1 h[4]z 2 E1 ( z) h[1] h[3]z 1 h[5]z 2
H ( z ) h[0] h[1] z 1 h[ 2] z 2 h[3] z 3 h[ 2] z 4 h[1] z 5 h[0] z 6
解：
E0 ( z ) h[ 0] h[ 2] z h[ 2] z
1
2
h[ 0] z
3
E1 ( z ) h[1] h[3] z 1 h[1] z 2
M 1
I型多相分解
例: M=4时，h[k]的多相分量。
h[k]
h[k]
4
e0[k] e1[k] e2[k] e3[k]
k 0 1 2 3
z z z
4 4 4
e0[k]
k 0 1 2 3
e1[k]
0 1 2 3
k
e2[k]
k 0 1 2 3
e3[k]
k 0 1 2 3
1 H ( z ) E 0 ( z 4 ) E1 ( z 4 ) z E 2 ( z 4 ) z 2 E 3 ( z 4 ) z 3 多相分解
n z
H ( z ) En ( z M ) z n
n 0
M E ( z ) 多相分解可由矩阵表示为 0 M 1 ( M 1) E1 ( z ) H ( z ) [1 z z ] M EM 1 ( z ) 多相分解
(1 ) 1 z 1 H ( z) 2 1 z 1
解：
(1 ) (1 z 1 )(1 z 1 ) (1 ) 1 z 1 H ( z) 1 2 1 z 2 (1 z 1 )(1 z 1 )
(1 ) 1 z 2 z 1 (1 ) 2 1 2 z 2
H ( z)
M 1

n 0
En ( z M ) z n E0 ( z 2 ) E1 ( z 2 ) z 1
根据II型线性相位系统的对称性，可得
h[0] h[5] h[1] h[ 4 ] h[2] h[3]
因此有
E1 ( z ) z 2 E0 ( z 1 )
例：试求六阶I型线性相位系统M=2时的多项分量

z1 R2(z)
L

z1 RM-1(zL)

z1
y[k ]
RM-1(z)
L

y[k ]
多相分解
一个有用的等式：
x[k ]
L
x1[k ]
H(z)
x2 [k ]
L
y[k ]
x[k ]
E0(z)
y[k ]
H ( z ) En ( z M ) z n
X1 ( z) X ( z )
H ( z)
M 1

n 0
En ( z M ) z n E0 ( z 2 ) E1 ( z 2 ) z 1
根据I型线性相位系统的对称性，可得
E0 ( z ) z 3 E0 ( z 1 )
E1 ( z ) z 2 E1 ( z 1 )
例：已知某IIR系统的H(z)，试求 M=2时的多项分量。
E0 ( z )
(1 ) 1 z 1 2
1
1 2 z 1
(1 ) 1 E1 ( z ) 2 1 2 z 1
H ( z ) E n ( z 2 ) z n E 0 ( z 2 ) E1 ( z 2 ) z 1
n 0
II型多相分解
[ E0 ( z M ) 1 z 1 M M E1 ( z ) E M 1 ( z )] ( M 1) z
z1 EM-1(zM)
多相分解
多相分解和FIR结构
x[k ]
R0(zM) z1 R1(zM)

z1 R2 (zM)

H ( z ) Rn ( z M ) z ( M 1n )
M
M 1 n 0
M 1 n 0
X 2 ( z ) H ( z ) X 1 ( z ) En ( z M ) z n X ( z M )
1 Y ( z) M
M 1 n 0
M 1

l 0
1 l X 2 ( z WM ) M
n M
1 M
M 1 M 1

l 0 n 0
多相分解
多相分解实现内插滤波器(interpolator)
x[k ] L H ( z) y[ k ]
H ( z ) Rn ( z M ) z ( M 1 n )
n 0
M 1
x[k ]
L
R0(zL) z1 R1(zL)

x[k ]
R0(z)
L
z1
R1(z)
L

z1 R2(zL)
近代数字信号处理
(Advanced Digital Signal Processing)
信号与图像处理研究室 电子信息工程学院
多速率信号处理基础
多速率系统中的基本单元
抽取滤波器和内插滤波器
多相分解
半带滤波器 两通道滤波器组
多相分解(polyphase decomposition)
I型多相分解
II型多相分解
X ( z ) En ( z ) z

n M
nl WN
X ( z ) En ( z ) z
M [n] X ( z) E0 ( z)
~
n 0
( M 1) z
M 1
z ( M 2)
z1 RM-1(zM)

R0 ( z M ) M R ( z ) 1 1 M R ( z ) M 1
y[k ]
多相分解
多相分解和FIR结构
x[k ]
H (z )
M
M
y[k ]
H ( z ) En ( z M ) z n
n 0
M 1
x[k ]
z1
M
E0(z)

y[k ]
M
z1
M
E1(z)

E2(z)

z1 EM-1(zM)
z1
M
EM-1(z)
直接型：一个周期内完成N次乘法 多相结构：M个周期内完成N次乘法，降低了对系统的要求。
y 2 [k ]
x[k ]
M
H ( z)
y1[k ]
x[ k ]
L
H (z )
L
y3 [k ]
x[ k ]
H ( z)
L
y 4 [k ]
多相分解
多相分解实现抽取滤波器(decimator)
x[k ]
x[k ]
z1 E1(zM) z1 E2(zM)

H(z )
E0(zM)

M
M
y[ k ]
根据I型多项分解
H ( z ) En ( z M ) z n
n 0
M 1
记： Rn ( z ) E M 1n ( z ), n 0,1,, M 1
可得II型多项分解
M 1 n 0
H (z)

Rn ( z ) z
M
( M 1n )
( M 1) z
z ( M 2)
R0 ( z M ) M R1 ( z ) 1 M RM 1 ( z )
多相分解
多相分解和FIR结构
x[k ]
z1 E1(zM) z1 E2(zM)

M 1 n 0
E0(zM)

y[k ]
H ( z ) En ( z M ) z n
多相分解和FIR结构
多相分解实现抽取滤波器
多相分解实现内插滤波器
多相分解
I型多相分解
h[k] 为某离散系统的单位脉冲序列，H(z)是其系统函数
en [ k ] h[ kM n ], n 0,1,, M 1
称en[k]为h[k]的第n个多相分量。
若en[k]的z变换记为En(z)，称En(z)为
H(z) 第n个多相分量。
H(z) 可以由M个多相分量En(z)表示
多相分解
I型多相分解
H ( z)
H ( z)
k
M 1 n 0


h[k ]z k
令k=rM+n, n=0,1,,M1, rZ
( rM n )

r
h[ rM n ]z

M 1

n 0
rM e [ r ] z n r