第三章 中世纪的中国数学

(3) 开方术。《九章算术》“少广”章有“开方术”和“开 立方术”，给出了开平方和开立方的算法。《九章算术》开方 术本质上是一种减根变换法，开创了后来开更高次方和求高次 方程数值解之先河。
2 《九章算术》开方术实际上包含了二次方程 x bx c 的数 值求解程序，称为“开带从平方法”。
《九章算术》开方术中特别令人惊异之处，是指出了存在有 开不尽的情形：“若开之不尽者，为不可开”，并给这种不尽根 数起了一个专门的名字—“面”。
《墨经》中甚至涉及到“有穷”与“无穷”，说： “或（域）不容尺，有穷；莫不容尺，无穷也”。
名家著作《庄子》（庄子，前369-前286）中记载他们的多条
名辩，也可以从数学的意义上去理解，其中最有名的如： ○矩不方，规不可以为圆； ○飞鸟之影未尝动也； ○镞(zu)矢之疾,而有不行不止之时； ○一尺之棰，日取其半，万世不竭 等等，可以说与希腊芝诺学派的悖论遥相呼应。
（2）正负术。《九章算术》在代数方面的另一项突出贡献 是负数的引进。
《九章算术》正是在“方程”章中提出了“正负术”，即 正、负数的加减运算法则： “同名相除，异名相益，正无入负之，负无入正之。其异名 相除，同名相益，正无入正之，负无入负之。”
对负数的认识是人类数系扩充的重大步骤。如果说古希腊无 理量是演绎思维的发现，那么如前所述可以看到，中算负数则是 算法思维的产物。
题中“禾”为黍米(黍,音“署”)，“秉”指捆，“实” 是打下来的粮食。设上、中、下、禾各一秉打出的粮食分 别为 x, y, z （斗），则问题就相当于解一个三元一次联立 方程组：
3 x 2 y z 39, 2 x 3 y z 34, x 2 y 3 z 26 .
与欧几里得《原本》中将代数问题几何化的做法相反， 《九章算术》将几何问题算术化和代数化。在“勾股章”中可 以找到典型的例子。如第20题： “今有邑方不知大小，各中开门。出北门二十步有木。出南门十 四步，折而西行一千七百七十五步见木。问邑方几何？”
《九章算术》的解法是以
项），
CB ED 2 71000
3.1《周髀算经》与《九章算术》 3.1.1 古代背景
第一章中已涉及了中国远古数与形概念的萌芽。殷商甲骨文中 已经使用完整的十进制记数。至迟到春秋战国时代，又开始出现严 格的十进位值制筹算记数。
《孙子算经》中记载的筹算记数法则说：“凡算之法，先识其位。 一纵十横，百立千僵。千十相望，百万相当”。
纵式用来表示个位、百位、万位，……数字；横式用来表示 十位、千位、十万位、……数字。纵、横相间，零则以空位表示。 这样，数76 031用算筹表示出来是 。这种十进位值记数法 是中国古代数学对人类文明的特殊贡献。
应有 a 2 b 2 .如果将这合并图形所含 的两个三角形移补到图中所示的位置，
将得到一个以原三角形之弦为边的正
方形，其面积应为 c 2 ，因此 a 2 b 2 c 2 .
3.1.3《九章算术》
《九章算术》是中国古典数学最重要的著作。成书年代至迟 在公元前1世纪，其中的数学内容，有些也可以追溯到周代。 《周礼》记载,西周贵族子弟必学的六门课程（“六艺”）中 有一门是“九数”，刘徽《九章算术注》“序”中就称《九章算 术》是由“九数”发展而来，并经过西汉张苍（?-公元前152）、 耿寿昌等人删补。 《九章算术》采用问题集的形式，全书246个问题，分成九章， 依次为：方田、粟(su)米、衰分、少广、商功、均输、盈不足、方
程、勾股。
(一）算术方面
（1）分数四则运算法则。《九章算术》“方田”章给出了完整 的分数加、减、乘、除以及约分和通分运算法则。 “约分术：可半者半之．不可半者，副置分母、子之数，以 少减多，更相减损，求其等也．以等数约之．”
（2）比例算法。《九章算术》“粟米”、“衰分”、“均输” 诸章集中讨论比例问题，并提出“今有术”作为解决各类比例问 题的基本算法。 “今有术曰：以所有数乘所求率为实，以所有率为法．实如 法而一．”
为“实”（常数
以 CB EF 34 为“从法”（一次项系数），然后
x 2 34 x 71000
“开方除 之”，相当于解一个二次方程： 这种几何代数化的做法，经过刘徽和更晚的宋、元数学家 的发扬，成为中国古典数学的重要特征。
方程术曰：置上禾三秉，中禾二秉，下禾一秉， 实三十九斗，于右方．中、左禾列如右方．以右行 上禾遍乘中行而以直除．又乘其次，亦以直除．然 以中行中禾不尽者遍乘左行而以直除．左方下禾不 尽者，上为法，下为实．实即下禾之实．求中禾， 以法乘中行下实，而除下禾之实．余如中禾秉数而 一，即中禾之实．求上禾亦以法乘右行下实，而除 下禾、中禾之实．余如上禾秉数而一，即上禾之实 ．实皆如法，各得一斗．”
稍后的刘徽在“开方术注”中明确提出了用十进制小数任 意逼近不尽根数的方法，他称之为求微数法，并指出在开方过 程中，“其一退以十为母，其再退以百为母，退之弥下，其分 弥细，则朱幂虽有所弃之数，不足言之也.”
（三）几何方面
《九章算术》“方田”、“商功”和“勾股”三章处理几何问题。 其中“方田”章讨论面积问题，“商功”章讨论体积问题，“勾股” 章则是关于勾股定理的应用。 各种几何图形的名称就反映着它们的现实来源。如平面图形有 “方田”（正方形）、“直田”（矩形）、“圭田”（三角形）、 “箕(ji)田”（梯形）、“圆田”（圆）、“弧田”（弓形）、“环 田”（圆环）等；立体图形则有“仓”（长方体）、“方亭”（平 截头方锥）、“阳马”（底面为长方形而有一棱与地面垂直的锥体） 以及“刍童”（上、下底面都是长方形的棱台）等等。
关于几何学，《史记》“夏本纪”记载说：夏禹治水，“左 规矩，右准绳”。“规”是圆规，“矩”是直尺，“准绳”则是 确定铅垂方向的器械。 战国（公元前475-前221）诸子百家，与希腊雅典学派时代 相当。“百家”就是多种不同的学派，其中的“墨家”（代表 人物是墨翟,前468-前376）与“名家”（代表人物是惠施、公 孙龙），其著作包含有理论数学的萌芽。
若求邪至日者，以日下为勾，日高为股，勾股各自乘，并而 开方除之，得邪至日。
中国数学史上最先完成勾股定理证明的数学家，是公元3世 纪三国时期的赵爽（吴）。赵爽注《周髀算经》，作“勾股圆 方图”，其中的“弦图”，相当于运用面积的出入相补证明了
勾股定理。
考察以一直角三角形的勾和股为 边的两个正方形的合并图形，其面积
3.1.2《周髀算经》
在现存的中国古代数学著作中，《周髀算经》是最早的一部。
作者不祥，成书年代应不晚于公元前2世纪西汉时期，但书中涉及
的数学、天文知识，有的可追溯到西周（公元前11世纪-前8世 纪）。这部著作实际上是从数学上讨论“盖天说”（天圆地方） 宇宙模型，反映了中国古代数学与天文学的密切联系。从数学上 看，《周髀算经》主要的成就是分数运算、勾股定理及其在天文 测量中的应用，其中关于勾股定理的论述最为突出。
《九章算术》中典型的盈亏类问题如： 今有共买物，人出八盈三；人出七不足四。问人数、物价各几 何？
“盈不足术曰：置所出率，盈、不足各居其下．令维乘所出率， 并，以为实．并盈、不足为法．实如法而一．盈、不足相与同 其买物者，置所出率，以少減多．余，以约法、实．实为物价， 法为人数．” 一般地假设人数为 x ，物价为y ，每人出钱 a1盈b1 ，出钱 a 2 不 足 b2 。《九章算术》“盈不足术”相当于给出解法：
《周髀算经》卷上记载西周开国时期周公与大夫商高讨论勾 股测量的对话. 周公向商高求教： “……夫天不可阶而升，地不可得尺寸而度，请问数安从 出？” 商高所提供的测量方法是“勾股术”： “……故折矩，以为勾广三，股修四，径隅五．……”
卷上另一处叙述周公后人荣方与陈子（约公元前6、7世纪）
的对话中，则包含了勾股定理的一般形式：
《九章算术》没有表示未知数的符号，而是 用算筹将 x, y, z 的系数和常数项排列成一个方阵 （如图,其中已将筹算数码换作阿拉伯数码），这 就是“方程”一词的来源。 “方程术”的关键算 法叫“遍乘直除”，在本例中演算程序如下：
用图(i)右行上禾 (x) 的系数3“遍乘”中行和左 行各数，然后从所得结果按行分别“直除”右行， 即连续减去右行各数，就得到图(ii)所示的新方程。 其次以图(ii)中行中禾 ( y) 的系数5遍乘左行各 数，从所得结果直除中行并约分，右得到图(iii)所 示的新方程。其中左行未知量系数只剩一项，以4 除11，即得下禾 ( z ) 2 3 （斗）。
《九章算术》中给出的所有直线形的面、 体积公式都是准确的。如刍童（如图）体积 公式为
h V [( 2b d )a (2d b)c] 6
羡除体积公式为：
V 1 (a b c)hl 6
《九章算术》方田章“圆田术” 圆面积公式 A R 2是正确的，但 以3为圆周率失于粗疏。“开立圆 术”则相当于给出球体积公式 V 3 D 3 （ D 为直径），这是不正确的， 16 加之取π为3，误差过大。
a: b=c: x 设从比例关系 求x, 《九章算术》称a为“所有率”，b为“所求率”，c为“所有 数”，x为“所求数”。今有术相当于
bc x a
Baidu Nhomakorabea
以“今有术”为基础，“衰分”章处理正、反比例分配问 题，“衰分”就是按一定级差分配。“均输”章则运用比例分配
解决粮食运输负担的平均分配。
（3）盈不足术。“盈不足”术是以盈亏类问题为原型，通 过两次假设来求繁难算术问题的解的方法。
“盈不足术”在中世纪阿拉伯数学著作中称为“契丹 算法”，即中国算法。
（二）代数方面
（1）方程术。“方程术”即线性联立方程组的解法。 以“方程”章第1题为例： “今有上禾三秉，中禾二秉，下禾一秉，实三十九斗；上 禾二秉，中禾三秉，下禾一秉，实三十四斗；上禾一秉，中 禾二秉，下禾三秉，实二十六斗。问：上、中、下禾实一秉 各几何？” 答曰：上禾一秉，九斗、四分斗之一；中禾一秉，四斗、四 分斗之一；禾一秉，二斗、四分斗之三．
．
分两部分：第一部分是求每人出多少才不盈不朒， 其公式是：
y a1b2 a 2 b1 x b1 b2
第二部分是求人数、物价的公式：
b1 b2 a1b2 a 2 b1 x ,y a1 a 2 a1 a 2
任何算术问题（不一定是盈亏类问题），通过两次假 设未知量的值，都可以转换成盈亏类问题来求解。《九章 算术》“盈不足”章就用这种方法解决了许多不属于盈亏类 的问题。
4
为求上禾 (x)和中禾 ( y) ，重复“遍乘直除”程序。以图(iii)左 行下禾 (z ) 的系数4遍乘中行和右行各数，从所得结果按行分别直 除左行并约分，最后得到图(iv)所示的新方程。由此方程计算得
上禾 ( x) 9
1 4
，中禾( y) 4
1 4
，下禾
( z) 2
3 4
。
《九章算术》方程术的遍乘直除算法，实质上就是我们今天 所使用的解线性联立方程组的消元法，西方文献中称之为“高斯 消去法”。
数学史讲义
中世纪的中国数学
主讲 王鸿业
中世纪的中国数学
希腊几何的演绎精神，随着希腊文明的衰微而在整个中世纪 的欧洲湮没不彰。数学史上继希腊几何兴盛时期之后是一个漫长 的东方时期。中世纪（公元5-17世纪）数学的主角，是中国、印度 与阿拉伯地区的数学。
与希腊数学相比，中世纪的东方数学表现出强烈的算法精神， 特别是中国与印度数学，着重算法的概括，不讲究命题的数学推 导。 就繁荣时期而言，中国数学在上述三个地区是延续最长的。 从公元前后至公元14世纪，先后经历了三次发展高潮，即两汉时 期、魏晋南北朝时期以及宋元时期，其中宋元时期达到了中国古 典数学的顶峰。
如《墨经》（约公元前4世纪著作）中讨论了某些形式逻辑的 法则，并在此基础上提出了一系列数学概念的抽象定义：
◇点：“端，体之无厚而最前者也”； ◇直线：“直，参也”； ◇圆：“圜(yuan)，一中同长也”； ◇正方形：“方，柱隅四讙也”（讙,同“权”，意“正”） ◇平行：“平，同高也”； ◇体积：“厚，有所大也”