模块十五：市场风险计量：VAR方法

条线十一：风险计量、建模与应用<共21个模块>
模块十五：市场风险计量：V AR方法
单元一：在险价值（V AR）方法
VAR（Value at Risk）是为了满足用一个数据来衡量所有风险，尤其是市场风险的管理需求而产生的。

自J.P.摩根首次提出以来，这一方法以其对风险衡量的科学、实用、准确和综合等特点受到包括监管部门在内的国际金融界的普遍欢迎，迅速发展成为风险管理的一种标准，并且与压力测试、情景分析和返回检验等一系列方法构成了风险管理的VAR体系，其产生和发展过程甚至被誉为风险管理的VAR革命。

目前，VAR不仅被广泛用于市场风险的综合衡量与管理，而且正在向信用风险管理和操作风险管理领域延伸。

一、V AR的内涵：从风险的敏感性分析到V AR分析
对VAR内涵的理解可以从风险管理实践中经常面临的风险水平衡量问题开始思考。

在面临衡量一个具体的投资组合风险时，人们往往习惯于通过问这样一个问题来了解投资组合的风险水平，即“在假定明天市场发生某种不利变动的情况下，该组合的损失是多大？”。

1这显然是一个组合价值对于市场风险因子变化的敏感性问题，简单地运用上节所述的敏感性方法分析就可以得到一个明确的答案。

例如，对于一个投资额为100万元、修正持续期为2年的债券投资组合，当被问及“假定明天市场利率上升25个基本点，该债券组合会损失多少”时，我们可以很方便地利用敏感度分析方法按照如下公式计算出损失规模为5000元：dP = -D[dR/（1+R）]P = -（MD）×（dR）×（P）= - 2×0.0025×1000000= - $5000。

然而，如前所述，敏感度分析只涉及给定风险因子变化幅度下投资组合受影响的程度，而并不分析风险因子发生这种变化的可能性的大小。

因此，为了全面衡量投资风险，进一步的问题自然就是“发生5000元损失的可能性有多大？”更确切地说，“在正常市场条件下，在一定目标持有期限内，组合损失不超过5000元的可能性有多大？”，这是风险分析中的一个关键的转变，因为它将一个敏感度问题发展到了一个VAR问题。

通常，该问题如果以如下方式提出：“在正常市场条件下，在给定置信水平（如99%），在目标持有期限内，某投资组合可能遭受的最大损失是多少？”这就是一个标准的VAR问题。

VAR 通常被定义为在正常的市场条件和给定的置信水平（Confidence Level）下，某一投资组合在给定的持有期间内可能发生的最大的损失。

从统计的角度看，VAR实际上是投资组合回报分布的一个百分位数（Percentile），从这个角度看，VAR和回报的期望值在原
1另外一种常见的问法是“如果明天情况糟糕，该组合最大损失会是多少？”但这个问题本身并清楚，难以直接给出答案。

回答之前必须反问什么叫做“糟糕的一天”？定义“糟糕的一天”的一种简单方法是定义损失程度，但这将会使得以上问题没有意义。

合理且有意义的做法是将“糟糕的一天”定义为：在正常市场环境下，发生如此严重损失的天数在每100天当中才有1天。

换言之，发生这样损失的概率为1%。

如果明天是“糟糕的一天”（每100天才会发生一次），投资的最大损失是多少？这也就成为一个标准的V AR问题。

理上是一致的。

正如投资组合回报的期望值实际上是对投资回报分布的第50个百分位数的预测值一样，在99 %的置信水平上，VAR值实际上就是对投资回报分布的第99个百分位数（较低一侧）的预测值。

一个在99%置信水平上的一日VAR值表示投资组合在一天之内损失到VAR水平的可能性为1%，或说100天内出现损失状况超过VAR的天数为一天。

如同我们经
常用“百年一遇”来同时描述洪水的严重性和可能性一样，我们可以说，99%置信水平上的日VAR值就是“百天一遇”的损失。

二、界定V AR的统计要素
要确定一个金融机构或资产组合的VAR值或建立VAR的模型，必须首先确定两个基本
要素，一是要确定持有期限（Holding Period）问题。

持有期限就是持有投资头寸的时间长度，持有期限是指衡量回报波动性和关联性的时间单位，也是取得观察数据的频率，如所观察数据是日收益率、周收益率、月收益率还是年收益率等。

持有期限应该根据组合调整的速度来具体确定。

调整速度快的组合，如有些银行所拥有的交易频繁的头寸，应选用较短的期限，如一天；调整相对较慢的组合，如某些基金较长时期拥有的头寸，可选用一个月甚至更长。

巴塞尔银行监管委员会出于风险审慎监管的需要，选择了两个星期（即10个交易日）的持有期限。

此外，持有期限的选定通常会受到观察期间的影响。

在既定的观察期间内（如1年），选定的持有期限越长（如1个月），在观察期间所得的数据越少（只有12个），进而会影响到VAR模型对投资组合风险反映的质量。

市场风险矩阵中一般采用单日VAR值，它
也被称为每日在险收益（Daily Earning at Risk，DEAR）。

如果损失分别服从正态分布，超
过一天的VAR值可以由如下公式导出（在市场持续有效的假设下）：N天VAR=DEAR×N。

例如巴塞尔银行监管委员会对银行采用VAR模型计量针对市场风险的监管资本所要求的持
有期限时10天。

二是置信水平的选择。

置信水平过低，损失超过VAR值的极端事件发生的
概率过高，这使得VAR值失去意义；置信水平过高，超过VAR值的极端事件发生的概率可
以得到降低，但统计样本中反映极端事件的数据也越来越少，这使得对VAR值估计的准确
性下降。

对VAR的准确性和模型的有效性可以进行返回检验（Back Testing）。

置信水平决
定了返回检验的频率。

例如，对于日回报率的VAR值，95%的置信水平意味着每20个交易日需进行一次返回测试，而采用99 %的置信水平，返回测试的频率只有100个交易日一次，现实中，置信水平一般选在95%～99%之间。

巴塞尔银行监管委员会选择的置信水平是99%。

然后，VAR计算的关键问题就是确定金融机构或资产组合在既定的持有期限内的回报
的概率分布。

如果能够拥有或根据历史数据直接估算出投资组合中所有金融工具的收益分布，整个组合的收益分布，从而作为该分布的一个百分位数的VAR值也就容易推算出来。

但实
践中，要取得所有金融工具的收益分布是不容易的，尤其是在组合包括许多种金融工具时，要保存和拥有所有金融工具的充分的历史数据几乎是不可能的。

这使得投资组合收益分布的推算成为整个VAR法中最重要也是最难解决的一个问题，目前解决的办法是不试图直接寻
求组合中每一种金融工具本身收益的概率分布，而是将这些金融工具的收益转化为若干风险因子（Risk Factors）的收益，进而整个投资组合成为这些风险因子的函数，然后通过各种统
计分析方法得到这些风险因子收益的概率分布，再在此基础上得到整个组合收益的概率分布，最终求解出VAR的估计值。

三、V AR 应用于投资组合风险分析的相关指标
（一）边际V AR（Marginal V AR）
它是指当某一资产的持仓数量增加一个单位或者1％的时候，该组合的VAR值的变化。

边际VAR反映了新增资产对整个组合的风险贡献。

对于投资组合而言，要控制风险，就要
尽量增持边际VAR小的资产。

（二）分散化V AR（V AR Diversification Impact）
它指的是组合对VAR的分散化效应。

组合的VAR值不是等于各个资产VAR值相加之和，而是小于各个资产VAR相加之和，这反映了资产的分散化效应和风险的次可加性（Subadditivity）。

它们之间的差值就是分散化VAR，也就是分散化投资导致的风险的减少。

（三）局部V AR（Partial V AR），也称之为成分V AR（Component V AR）
它指的是从组合中减少一项资产对组合VAR值的影响，负的局部VAR值表示的是当组
合去掉一项资产后，组合VAR值减小的数量。

一般而言，边际VAR对控制增量风险较为有效，而局部VAR对存量风险的控制较为有效。

当在控制风险的同时需要增持已有资产的时候，就可以考虑增加边际VAR较小的资产，而如果要通过调整现有组合证券来降低VAR值
的时候，就需要减持局部VAR较大的股票。

（四）期望尾损失（Expected Tail Loss），也称之为条件V AR（Conditional V AR）
它是指组合处在超限区间（比如95％的置信水平下，尾部5％的部分就是超限区间）之内损失的期望值。

VAR值说明的是在给定的置信水平上最为严重的损失程度，超过这个置
信水平后的超限区间内的损失也相应会超过这个VAR值，VAR本身并不说明这一尾部超限
区间内损失的状况。

两个组合的VAR值相同，但尾部风险却可能相差很大。

期望尾损失能
弥补VAR值在反映尾部风险方面的不足。

如果期望尾损失与VAR值的差值越大，就说明该
组合（或证券）损益分布的肥尾性就越强，风险在相同的VAR水平上也就更高。

四、V AR风险分析法的特点
VAR把对未来损失的大小和该损失发生的可能性结合起来，不仅让投资者知道发生损
失的规模，而且知道其发生的可能性，这是随后要介绍的压力测试和情景分析两种市场风险衡量方法所不具备的。

该风险衡量方法适用面宽。

值只适用于衡量股票价格风险，持续期和凸性只适用于
衡量债券和存贷款的利率风险，希腊字母方法只适用于衡量期权等衍生金融工具的风险，但VAR却适用于衡量包括利率风险、汇率风险、股票价格风险以及商品价格风险和衍生金融
工具风险在内的各种市场风险，这使得金融机构用一个具体的指标数值（VAR值）就可以概括地反映整个金融机构的风险状况，大大方便了金融机构各业务部门对有关风险信息的交流，也方便了机构最高管理层随时掌握机构的整体风险状况，非常有利于金融机构对风险的统一管理。

另一方面，监管部门也得以对该金融机构的市场风险资本充足率提出统一要求。

通过调节置信水平，可以得到不同置信水平上的VAR值，这不仅使管理者能更清楚地
了解到金融机构在不同可能程度上的风险状况，也方便了不同的管理需要。

VAR是一种用规范的统计技术来全面综合地衡量风险的方法，较其他主观性、艺术性
较强的传统风险管理方法能够更加准确地反映金融机构面临的风险状况，大大增加了风险管理系统的科学性。

单元二：V AR的计算方法
一、计算方法
（一）计算V AR的基本框架与方法体系
1. 计算VAR的基本框架：风险因子的分解和映射
VAR计算的关键问题就是确定资产组合在既定持有期限内损益的概率分布。

但是，由
于一个投资组合往往由股票、债券和外汇等不同种类的资产组成，对这些资产的风险因子都有风险暴露，因此投资组合的损益概率分布往往难以直接获得。

加之投资组合本身也经常处在动态调整之中，这更增加了直接获得投资组合损益分布的难度。

在VAR计算实践中，常
见的方法是根据投资组合不同的风险暴露，即影响投资组合损益变化的风险因子，对投资组合进行风险因子分解，然后运用统计方法估计出每个风险因子本身的概率分布函数，同时计算出整个组合对该风险因子变动的敏感度，从而利用敏感性分析将风险因子变化与组合价值变化联系起来。

这种思想可以表示为：
投资组合的VAR＝P×S×R 式（15.1）其中，P表示投资组合对该风险因子暴露头寸的市场价值，S表示投资组合对该风险因
子的价格敏感度，R表示风险因子（如利率、汇率和股票价格指数等）本身的波动性，即不利变动。

目前金融市场上的风险因子主要可以分为八大类：利率、信用价差（Credit Spread）、股票价格指数、外汇汇率、风险因子波动率、商品远期价格、宏观经济因素和行业指数。

将风险因子变化值转化为组合价值变化的过程就叫作风险映射（Risk Mapping）。

首先找出金融工具对应的风险因子，然后利用蒙特卡罗模拟或者历史模拟分析这些风险因子的价格走势，最后用一个定价函数将风险因子的价值映射到金融工具价值上，得到每个金融工具的损益值，并计算其VAR值。

风险映射的思想很像主成分分析，将所有影响金融工具价值
变化的因素归结到由几个主成分因素上，只要得到了这几个主成分因素的变化的概率分布函数就可以计算出所有金融工具的变化，从而避免了大量的模拟和运算。

可见，求解某个投资组合的VAR可以分解为两个基本步骤：一是求解组合价值对于每
个风险因子的敏感度指标；二是求解每个风险因子变动的概率分布，即风险因子本身的VAR。

2. 计算VAR的方法体系
潜在损失是由风险因子的敞口造成的，同时也取决于这些风险因子的分布。

所以，风险管理系统的结构可以通过二分法进行分解：分别对风险敞口和风险因子的分布进行建模。

对风险敞口的建模可以分为两类。

第一类方法运用局部估值。

局部估值法（local-valuation
methods ）是通过对投资组合的初始头寸进行估值，并运用局部衍生头寸来推断大约变化。

在这一类方法中，德尔塔—正态法（delta -normal method ）运用线性敞口，即德尔塔敞口，并假设其服从正态分布。

有时也将它称为方差一协方差法（V ARiance -coV ARiance method ），如果投资组合对少量风险因子有敞口，常会用到二阶衍生头寸来进行衡量。

第二类方法运用完全估值法。

完全估值法（full -valuation method ）在一系列情景下对投资组合进行完全重新定价来衡量风险。

对风险因子的建模方法可以分为两类：参数方法和非参数方法。

参数方法就是假设风险因子服从一定的概率分布函数，然后利用这种分布的特征来分析风险因子的变化情况，从而算出VAR 值。

目前主流的参数方法都是假设风险因子服从正态分布，因为正态分布有良好的统计特征。

非参数方法就是不假设风险因子的分布函数，而是通过对风险因子的历史数据或随机数据进行模拟并映射到金融工具上来得到组合收益的分布，目前最流行的模拟方法是历史模拟和蒙特卡罗模拟。

（二）参数V AR ：德尔塔—正态法及其波动性估计
参数法假定风险因子收益的变化服从特定的分布（通常是正态分布），然后通过历史数据分析和估计该风险因子收益分布的参数值，如均值、方差、相关系数等，从而根据公式（15.2）得出整个投资组合收益分布的特征值。

∑∑====I i I j j i j i j i p X X k k VaR 11)()(σσρασα 式（15.2）
公式（15.2）中，()k α表示在正态分布下给定概率α所对应的标准差数目，p σ表示整个投资组合收益的标准差，i σ、j σ表示风险因子i 和j 的标准差，i j ρ表示风险因子i 和j 的相关系数，i X 表示整个投资组合对风险因子i 变化的敏感度，有时被称为Delta 。

从上述公式可以看出，参数VAR 分析可以分为两个步骤，一是分析投资组合对每个风险因子的敏感度，二是分析风险因子本身的波动性和相关性。

要用参数法算出VAR 值，最重要的是对风险因子波动的标准差σ进行估计。

在金融经济学中，波动性是用收益率的标准差而不是价格的标准差来衡量的。

因为普遍认为收益率呈现均值回复（Mean Reversion ）的趋势，而价格的波动是随机游走的，不利于统计分析。

估计风险因子收益率标准差的模型主要有以下几种。

1. 移动平均波动性模型
波动性估计的最简单的方法是移动加权平均模型（Moving Weighted Average Method ，MWAM ）。

MWAM 假定产生回报的随机过程是独立同分布的，并且在计算中采用等权重的移动平均。

用T σ表示T －n 期到T －1期的收益率数据的标准差，那么，
1
221()()1T T
t t T n E r r n σ-=-=--∑ 式（15.3）
其中
)(2T E σ是2T σ的期望值，t r 是第t 期的收益率，而r 表示T －n 期到T －1期的平均收益率。

大量的市场波动性实证预测表明，假定r ＝0的时候，往往有更好的预测结果。

在波动性和相关性估计的时候，都假设r ＝0，这样方差的估计式就变成：
∑--=-=12211)(T n T t t T
r n E σ 式（15.4） NWAM 采取的等权重的移动平均在应用中存在许多缺陷。

仅仅某一天的一个不正常收益就会对波动性的估计产生长时间的影响，只要该波动仍然包括在计算数据窗口中，用移动平均估计的波动性就会一直持续在高水平上，而实际的波动性很可能早就恢复到了正常水平，这种现象被称为“幽灵效应”。

换句话说，从冲击事件发生到此后的N 天内（N 为数据窗口），该冲击都会像幽灵一般游荡，对波动性产生影响。

2. 指数加权移动平均模型
对简单移动平均的一个补充就是指数加权移动平均模型（Exponentially Weighted
Moving Average ，EWMA ），该模型认为不同时期的历史收益率数据在波动性的预测过程中所占权重并不相同，距当前时间越远的数据所占的比重越小。

J.P.摩根银行的RiskMetrics 技术文档中引入了一个参数λ决定权重的分配，λ被称为衰减因子（Decay Factor ）。

RiskMetrics 所取的衰减因子在一天的持有期间内是0.94，在一个月内是0.97。

波动性的指数移动平均估计公式为：
2
121()(1)()T
t T
t t E r r σλλ-==--∑ 式（15.5） 这就是利用指数移动平均模型对波动性的估计。

在EWMA 模型中，只有衰减因子一个参数。

对衰减因子的预测一般都采用均方根误差原则（Root Mean Squared Error Criterion ，简称为RMSE ），就是选取使预测的均方根误差达到最小的衰减因子。

3. GARCH 模型
GARCH （Generalized Autoregressive Conditional Heteroskedastic 广义自回归条件异方差模型）是更加常用的一种波动性估计模型，由Engle 于1982首先提出并进行建模。

与传统事件序列和计量模型不同，GARCH 模型没有假设方差不变，而是把条件方差看作是前期误差的函数，也就是说条件方差是随着时间的变化而变化的。

GARCH 模型中最简单也是最常用的一种形式是GARCH （1，1）模型，它的表达式如下：
22211n n n u σωασβ--=++ 式（15.6）
其中ω是长期波动性的权重，且L V ωγ=，1,γαβ=--所以GARCH （1，1）模型只有当1αβ+<时才是稳定的，因为此时ω是为非负的。

在计算出风险因子本身的波动性之后，我们就可以进行VAR的计算，但是由于风险因子之间的相关关系不同，在计算VAR的时候还要根据具体情况区别对待。

如果计量的是单因子Delta正态V AR，那么就可以直接用简单的VAR = P×S×R的形式来计算VAR。

这种方法也称为因子推动方法。

如果计量的是多风险因子Delta正态V AR，那么就必须考虑风险因子之间的相关性问题。

在双因子的情况下，采用公式VaR=
总
ρ是两个风险相关因素的相关系数。

12
如果扩展到对于n个风险因子的计算，那么考虑到所有风险因子之间的相关关系，我们
V AR值。

采用公式VaR=
总
V代如果把这个思路用矩阵的形式写出来，我们得到公式VaR=
总
表n个单因子V AR的行向量，C为每一因子间的N*N相关矩阵，T代表转置运算符号。

（三）非参数V AR：历史模拟法
参数法最大的缺点就是它不能真实的反映投资组合在分布尾部的损失。

例如，在过去的84年中，道琼斯工业指数曾经发生过6次大跌，每一次股指都在一天当中下跌了6个标准差的幅度，所以从历史的角度来看，在一天当中下跌6个标准差的概率应该是0.04％，但是在正
10-，远远小于0.04％。

所以正态分布假设在很大程态分布中，6个标准差所对应的概率是9
度上低估了极端事件的发生概率。

历史模拟法是以历史可以在未来重复自身为假设前提，直接根据风险因子收益的历史数据来模拟风险因子收益分布，预测未来变化。

在这种方法下，VAR值直接取自于投资组合收益的历史分布，而组合收益的历史分布又来自于将组合中每一金融工具的盯市价值（Mark-to-Market Value）表示为风险因子收益的函数。

因此，风险因子收益的历史数据是该VAR模型的主要数据来源。

正因为这个原因，历史模拟法的一个重要缺陷就是VAR的估计值对所选用的历史样本期间比较敏感。

为数不多的几个极端值就可以很大程度地影响到VAR值，在不同的样本期限中，这些极端值可能变化较大，因而使VAR值变化也较大。

例如，在模型的样本空间中是否选入1997年亚洲金融危机期间有关外汇市场或股票市场的数据对以亚洲金融市场为管理对象的VAR模型的预测值有非常大的影响。

历史模拟法按照取样方式的不同可以分为简单的历史模拟法和可以重复抽样的历史模拟法。

简单的历史模拟直接将历史上的日收益率变化作为模拟过程的一个情景，就是认为过去的市场变化会在将来重演。

在应用历史模拟法的时候，不需要对资产的方差和协方差进行估计，因为它们已经被包括在资产的历史收益率中了，因此也体现在所估计的VAR值中，这样就不存在模型风险和参数估计风险。

历史数据的任何肥尾和自相关（因为估值是按照时间顺序排列开始的）也都会反映到投资组合的VAR中。

简单的历史模拟法面临的一个主要问题就是数据缺乏的问题。

通常认为，进行历史模拟所需要的样本数据不能少于1500个，否则就不能进行有效的模拟。

即便是相对于持有期为1天而言，这也相当于6年的历史数据要求，而在新兴市场很多的金融品种很难满足这种条件，而另一方面，过多的历史数据无法满足未来情形，因为包括了很多已经过时的消息，而且会违反独立同分布的原则。

在这种情况下，可以利用重复取样对简单历史数据模拟进行改进。

首先，按照随机可替代的方法等概率地从风险因子的历史收益率数据库中抽取一个收益率，作为该风险因子在未来一个可能的价值变化率（也就是一个历史情景）。

然后，抽取出来的收益率数据又被放回在数据库中以供下一次抽样。

这样的重复放回取样，就可以用有限的风险因子历史数据得到足够多的历史情景。

但是，重复抽样的一个重要假设就是风险因子每天的收益率数据都不相关，否则就是产生数据的系列相关性问题，对模拟结果产生影响。

得到所需的历史情景后，就可以用风险映射将历史情景映射到组合当中，得到组合在未来的损益分布，并计算1％、5％等分位点处的VAR值。

重复抽样在一定程度上减轻了进行历史模拟时历史数据缺乏的问题。

（四）非参数V AR：蒙特卡罗模拟法
蒙特卡罗模拟法（Monte Carlo Simulation）又称随机模拟法。

该方法的基本思路是从不同风险因子的分布中随机抽样，由这些随机抽样的值产生一个模拟的损益值，重复上述过程（成百上千甚至数万次）就会产生一系列损益值的分布，重复的次数越多，模拟结果就与实际情况越相近。

蒙特卡罗模拟法的计算精度与抽样点数成正比，需要较大的计算量才能达到较高的计算精度。

蒙特卡罗模拟模型与历史模拟的理念基本相似，最大的不同是资产的收益率不是取自历史数据，而是用计算机模拟出来的。

模拟时首先要为风险因子选择一个随机过程，该随机过程决定风险因子在未来的价格走势，这样就得到风险因子未来的价值状态，将其作为一个情景。

然后用定价公式将风险因子价值变化映射为金融工具的损失，就得到了金融工具在一种蒙特卡罗情景下的损益情况。

再将该过程重复多次，可以得到关于金融工具一系列的损益分布。

在得到直方图之后，在分布图上设定不同的置信区间，就可以得到相应置信区间下的VAR值。

进行蒙特卡罗模拟最关键的一步就是选择合适的随机模型来模拟风险因子的价格路径。

对风险因子价格的路径进行蒙特卡罗模拟无一例外的都要运用随机过程，也就是通过指定风险因子随时间变化的规律来预测风险因子在未来时点上的分布。

金融工具价格的随机模型主要可以分为两类：一类是存在均值回复（Mean Reversion）的模型（如对固定收益债券适用的CIR、Vasicek模型等），模型变量会随着到期日的临近而回归到某一水平；另一类就是不存在均值回复的模型（比如对股票、外汇等适用的GBM模型），其变量会按着一定的规律进行随机漫步（Random Walk）。

（五）参数法和非参数法的比较
1. 假设条件不同。

参数方法的实质是假设风险因子的收益率服从正态分布，其重点是波动性和相关性的估。