立体几何典型例题精选(含答案)
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在△BFG中，cos∠BFG＝ ＝ .…………13分
所以，∠BFG＝ ，即二面角BADE的大小是 .…………14分
方法二：以D为原点，分别以射线DE，DC为x，y轴的正半轴，
建立空间直角坐标系Dxyz，如图所示．
由题意知各点坐标如下：
D(0，0，0)，E(1，0，0)，C(0，2，0)，A(0，2， )，B(1，1，0)．
热点三：无棱二面角
例3．如图三角形BCD与三角形MCD都是边长为2的正三角形，平面MCD⊥平面BCD，AB⊥平面BCD， .
（1）求点A到平面MBC的距离；
（2）求平面ACM与平面BCD所成二面角的正弦值.
变式5：在正方体 中， ， ，且 ， ．
求：平面AKM与ABCD所成角的余弦值．
变式6：如图 是长方体，AB＝2， ，求二平面 与 所成二面角的正切值．
则 ＝(1，1，0)， ＝ ， ＝(0，1，－1)．…………7分
设平面MBC的法向量n＝(x0，y0，z0)，则 即
取z0＝1，得平面MBC的一个法向量n＝(1，－1，1)．…………9分
设直线AD与平面MBC所成角为θ，
则sinθ＝ ＝ ＝ .…………11分
即直线AD与平面MBC所成角的正弦值为 .…………12分
证法2：连接 ， 与 相交于点 ，则点 是 的中点，
取 的中点 ，连接 ， ，
则 ∥ ， .
由（1）知 ∥ ，且 ，
∴ ∥ ，且 .
∴四边形 是平行四边形.
∴ ∥ ，且 .……………7分
由（1）知 平面 ，又 平面 ，
∴ .
∵ ， 平面 ， 平面 ，
∴ 平面 .
∴ 平面 .……………8分
以 为坐标原点， 所在直线为 轴， 所在直线为 轴， 所在直线为 轴，
∴ ，即 .
∵四边形 是正方形，
∴ .……………5分
∵ ， 平面 ， 平面 ，
∴ 平面 .……………6分
（2）证法1：连接 ， 与 相交于点 ，则点 是 的中点，
取 的中点 ，连接 ， ，
则 ∥ ， .
由（1）知 ∥ ，且 ，
∴ ∥ ，且 .
∴四边形 是平行四边形.
∴ ∥ ，且 .……………7分
由（1）知 平面 ，又 平面 ，
立体几何专题复习答案
例1.（2014，广二模）
（1）证明：取 的中点 ，连接 ，则 ，
∵ ∥平面 ， 平面 ，平面 平面 ，
∴ ∥ ，即 ∥ .……………1分
∵
∴四边形 是平行四边形.……………2分
∴ ∥ ， .
在Rt△ 中， ，又 ，得 .
∴ .……………3分
在△ 中， ， ， ，
∴ ，
∴ .……………4分
设平面ADE的法向量为m＝(x1，y1，z1)，平面ABD的法向量为n＝(x2，y2，z2)．
可算得AD＝(0，－2，－ )，AE＝(1，－2，－ )， ＝(1，1，0)．…………7分
由 即 可取m＝(0，1，－ )．…………9分
由 即 可取n＝(1，－1， )．…………11分
于是|cos〈m，n〉|＝ ＝ ＝ .…………13分
高考试题精选
1．[2014·四川，18]三棱锥ABCD及其侧视图、俯视图如图14所示．设M，N分别为线段AD，AB的中点，P为线段BC上的点，且MN⊥NP.
(1)证明：P是线段BC的中点；(2)求二面角ANPM的余弦值．
2．[2014·湖南卷]如图所示，四棱柱ABCDA1B1C1D1的所有棱长都相等，AC∩BD＝O，A1C1∩B1D1＝O1，四边形ACC1A1和四边形BDD1B1均为矩形．
（2）CE是平面 与平面 的交线.
由（1）知，O是BE的中点，则BCED是菱形.
作BF⊥EC于F，连AF，则AF⊥EC，∠AFB就是二面角A-EC-B的平面角，设为 .……7分
因为∠BCE=120°，所以∠BCF=60°.
，…………9分
， …………11分
所以，所求二面角的正弦值是 .…………12分
解法二：取CD中点O，连OB，OM，则OB⊥CD，OM⊥CD，又平面 平面 ,则MO⊥平面 .
因为A1C为∠ACC1的平分线，所以A1D＝A1E＝ .…………8分
作DF⊥AB，F为垂足，连接A1F.
由三垂线定理得A1F⊥AB，故∠A1FD为二面角A1ABC的平面角．…………10分
由AD＝ ＝1，得D为AC中点，DF＝ ，tan∠A1FD＝ ＝ ，……12分
所以cos∠A1FD＝ .…………13分
(2)方法一：
过B作BF⊥AD，与AD交于点F，过点F作FG∥DE，与AE交于点G，连接BG.
由(1)知DE⊥AD，则FG⊥AD.所以∠BFG是二面角BADE的平面角．…………6分
在直角梯形BCDE中，由CD2＝BC2＋BD2，得BD⊥BC.
又平面ABC⊥平面BCDE，得BD⊥平面ABC，从而BD⊥AB.由AC⊥平面BCDE，得AC⊥CD.
| |·|cos〈m， 〉|＝ ＝ ＝c.…………6分
又依题设，A到平面BCC1B1的距离为 ，所以c＝ ，
代入①，解得a＝3(舍去)或a＝1，
于是 ＝(－1，0， )．…………8分
设平面ABA1的法向量n＝(p，q，r)，
则n⊥ ，n⊥ ，即n· ＝0，n· ＝0，
－p＋ r＝0，且－2p＋q＝0.
所以二面角A1ABC的大小为arccos .…………14分
方法二：以C为坐标原点，射线CA为x轴的正半轴，以CB的长为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系Cxyz.由题设知A1D与z轴平行，z轴在平面AA1C1C内．
(1)证明：设A1(a，0，c)．由题设有a≤2，A(2，0，0)，B(0，1，0)，则 ＝(－2，1，0)， ＝(－2，0，0)， ＝(a－2，0，c)， ＝ ＋ ＝(a－4，0，c)， ＝(a，－1，c)．由| |＝2，得 ＝2，即a2－4a＋c2＝0.①
（1） 求证： 平面
（2）求直线 与平面 所成角的余弦值.
变式2：[2014·福建卷]在平面四边形ABCD中，AB＝BD＝CD＝1，AB⊥BD，CD⊥BD.将△ABD沿BD折起，使得平面ABD⊥平面BCD，如图15所示．
(1)求证：AB⊥CD；(2)若M为AD中点，求直线AD与平面MBC所成角的正弦值．
在Rt△ACD中，由DC＝2，AC＝ ，得AD＝ .
在Rt△AED中，由ED＝1，AD＝ ，得AE＝ .…………7分
在Rt△ABD中，由BD＝ ，AB＝2，AD＝ ，得BF＝ ，AF＝ AD.
从而GF＝ ED＝ .…………9分
在△ABE，△ABG中，利用余弦定理分别可得cos∠BAE＝ ，BG＝ .…………11分
令p＝ ，则q＝2 ，r＝1，所以n＝( ，2 ，1)．…………10分
又p＝(0，0，1)为平面ABC的法向量，…………11分
故cos〈n，p〉＝ ＝ .…………13分
所以二面角A1ABC的大小为arccos .…………14分
例3.无棱二面角（2010年江西卷）
解法一：（1）取CD中点O，连OB，OM，则OB⊥CD，
建立空间直角坐标系 ，则 ， ， ， .
∴ ， ， .……………9分
设平面 的法向量为 ，由 ， ，
得 ， ，得 .
令 ，则平面 的一个法向量为 .……………10分
设直线 与平面 所成角为 ，
则 .……………11分
∴ ， .……………13分
∴直线 与平面 所成角的正切值为 .……………14分
变式1：（2013湖北8校联考）
OM⊥CD.又平面 平面 ,则MO⊥平面 ，所以MO∥AB，A、B、O、M共面.延长AM、BO相交于E，则∠AEB就是AM与平面BCD所成的角.OB=MO= ，MO∥AB，MO//面ABC，M、O到平面ABC的距离相等，作OH BC于H，连MH，则MH BC，求得：
OH=OCsin600= ,MH= ,利用体积相等得： 。…………5分
以O为原点，直线OC、BO、OM为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系如图.
OB=OM= ，则各点坐标分别为O（0，0，0），C（1，0，0），M（0，0， ），B（0，- ，0），A（0，- ，2 ），
又 · ＝a2－4a＋c2＝0，所以AC1⊥A1B.…………4分
(2)设平面BCC1B1的法向量m＝(x，y，z)，则m⊥ ，m⊥ ，即m· ＝0，m· ＝0.因为 ＝(0，1，0)， ＝ ＝(a－2，0，c)，所以y＝0且(a－2)x＋cz＝0.
令x＝c，则z＝2－a，所以m＝(c，0，2－a)，故点A到平面BCC1B1的距离为
(1)证明：DE⊥平面ACD；(2)求二面角BADE的大小．
变式4：[2014·全国19]如图11所示，三棱柱ABCA1B1C1中，点A1在平面ABC内的射影D在AC上，∠ACB＝90°，BC＝1，AC＝CC1＝2.
(1)证明：AC1⊥A1B;(2)设直线AA1与平面BCC1B1的距离为 ，求二面角A1-AB-C的大小．
立体几何专题复习
热点一：直线与平面所成的角
例1．（2014，广二模理18）如图，在五面体 中，四边形 是边长为 的正方形， ∥平面 ， ， ， .
（1）求证： 平面 ；
（2）求直线 与平面 所成角的正切值.
变式1：（2013湖北8校联考）如左图，四边形 中， 是 的中点，
将左图沿直线 折起，使得二面角 为 如右图.
(1)证明：O1O⊥底面ABCD；(2)若∠CBA＝60°，求二面角C1OB1D的余弦值．
3．[2014·江西19]如图16，四棱锥PABCD中，ABCD为矩形，平面PAD⊥平面ABCD.
(1)求证：AB⊥PD. (2)若∠BPC＝90°，PB＝ ，PC＝2，问AB为何值时，四棱锥PABCD的体积最大？并求此时平面BPC与平面DPC夹角的余弦值．
由三垂线定理得AC1⊥A1B.……4分（注意：这个定理我们不能用）
(2)BC⊥平面AA1C1C，BC⊂平面BCC1B1，故平面AA1C1C⊥平面BCC1B1.
作A1E⊥CC1，E为垂足，则A1E⊥平面BCC1B1.…………6分
又直线AA1∥平面BCC1B1，因而A1E为直线AA1与平面BCC1B1的距离，即A1E＝ .
例2.（2014，广东卷）
变式3：（2014浙江卷）
解：(1)证明：在直角梯形BCDE中，
由DE＝BE＝1，CD＝2，得BD＝BC＝ ，
由AC＝ ，AB＝2，
得AB2＝AC2＋BC2，Leabharlann BaiduAC⊥BC.…………2分
又平面ABC⊥平面BCDE，从而AC⊥平面BCDE，
所以AC⊥DE.又DE⊥DC，从而DE⊥平面ACD.…………4分
热点二：二面角
例2．[2014·广东卷]如图14，四边形ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，∠DPC＝30°，AF⊥PC于点F，FE∥CD，交PD于点E.
(1)证明：CF⊥平面ADF；(2)求二面角DAFE的余弦值．
变式3：[2014·浙江卷]如图15，在四棱锥ABCDE中，平面ABC⊥平面BCDE，∠CDE＝∠BED＝90°，AB＝CD＝2，DE＝BE＝1，AC＝ .
（1）取 中点 ，连结 ,则 ……………2分
由余弦定理知 ………4分
又 平面 , 平面 ………6分
（2）以 为原点建立如图示的空间直角坐标系，
则 , ………8分
设平面 的法向量为 ,
由 得 ,取 ,则 .
……11分
故直线 与平面 所成角的余弦值为 .…………12分
变式2：（2014福建卷）
解：(1)证明：∵平面ABD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD＝BD，
由题意可知，所求二面角是锐角，故二面角BADE的大小是 .…………14分
变式4：（2014全国卷）
19．解：方法一：(1)证明：因为A1D⊥平面ABC，A1D⊂平面AA1C1C，故平面AA1C1C⊥平面ABC.又BC⊥AC，所以BC⊥平面AA1C1C.…………2分
连接A1C，因为侧面AA1C1C为菱形，故AC1⊥A1C.
∴ .……………8分
∵ ， 平面 ， 平面 ，
∴ 平面 .……………9分
∴ 平面 .
∵ 平面 ，
∴ .……………10分
∵ ， 平面 ， 平面 ，
∴ 平面 .……………11分
∴ 是直线 与平面 所成的角.……………12分
在Rt△ 中， .……………13分
∴直线 与平面 所成角的正切值为 .……………14分
AB⊂平面ABD，AB⊥BD，∴AB⊥平面BCD.…………3分
又CD⊂平面BCD，∴AB⊥CD.…………4分
(2)过点B在平面BCD内作BE⊥BD.
由(1)知AB⊥平面BCD，BE⊂平面BCD，BD⊂平面BCD，∴AB⊥BE，AB⊥BD.……6分
以B为坐标原点，分别以 ， ， 的方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系(如图所示)．依题意，得B(0，0，0)，C(1，1，0)，D(0，1，0)，A(0，0，1)，M .
所以，∠BFG＝ ，即二面角BADE的大小是 .…………14分
方法二：以D为原点，分别以射线DE，DC为x，y轴的正半轴，
建立空间直角坐标系Dxyz，如图所示．
由题意知各点坐标如下：
D(0，0，0)，E(1，0，0)，C(0，2，0)，A(0，2， )，B(1，1，0)．
热点三：无棱二面角
例3．如图三角形BCD与三角形MCD都是边长为2的正三角形，平面MCD⊥平面BCD，AB⊥平面BCD， .
（1）求点A到平面MBC的距离；
（2）求平面ACM与平面BCD所成二面角的正弦值.
变式5：在正方体 中， ， ，且 ， ．
求：平面AKM与ABCD所成角的余弦值．
变式6：如图 是长方体，AB＝2， ，求二平面 与 所成二面角的正切值．
则 ＝(1，1，0)， ＝ ， ＝(0，1，－1)．…………7分
设平面MBC的法向量n＝(x0，y0，z0)，则 即
取z0＝1，得平面MBC的一个法向量n＝(1，－1，1)．…………9分
设直线AD与平面MBC所成角为θ，
则sinθ＝ ＝ ＝ .…………11分
即直线AD与平面MBC所成角的正弦值为 .…………12分
证法2：连接 ， 与 相交于点 ，则点 是 的中点，
取 的中点 ，连接 ， ，
则 ∥ ， .
由（1）知 ∥ ，且 ，
∴ ∥ ，且 .
∴四边形 是平行四边形.
∴ ∥ ，且 .……………7分
由（1）知 平面 ，又 平面 ，
∴ .
∵ ， 平面 ， 平面 ，
∴ 平面 .
∴ 平面 .……………8分
以 为坐标原点， 所在直线为 轴， 所在直线为 轴， 所在直线为 轴，
∴ ，即 .
∵四边形 是正方形，
∴ .……………5分
∵ ， 平面 ， 平面 ，
∴ 平面 .……………6分
（2）证法1：连接 ， 与 相交于点 ，则点 是 的中点，
取 的中点 ，连接 ， ，
则 ∥ ， .
由（1）知 ∥ ，且 ，
∴ ∥ ，且 .
∴四边形 是平行四边形.
∴ ∥ ，且 .……………7分
由（1）知 平面 ，又 平面 ，
立体几何专题复习答案
例1.（2014，广二模）
（1）证明：取 的中点 ，连接 ，则 ，
∵ ∥平面 ， 平面 ，平面 平面 ，
∴ ∥ ，即 ∥ .……………1分
∵
∴四边形 是平行四边形.……………2分
∴ ∥ ， .
在Rt△ 中， ，又 ，得 .
∴ .……………3分
在△ 中， ， ， ，
∴ ，
∴ .……………4分
设平面ADE的法向量为m＝(x1，y1，z1)，平面ABD的法向量为n＝(x2，y2，z2)．
可算得AD＝(0，－2，－ )，AE＝(1，－2，－ )， ＝(1，1，0)．…………7分
由 即 可取m＝(0，1，－ )．…………9分
由 即 可取n＝(1，－1， )．…………11分
于是|cos〈m，n〉|＝ ＝ ＝ .…………13分
高考试题精选
1．[2014·四川，18]三棱锥ABCD及其侧视图、俯视图如图14所示．设M，N分别为线段AD，AB的中点，P为线段BC上的点，且MN⊥NP.
(1)证明：P是线段BC的中点；(2)求二面角ANPM的余弦值．
2．[2014·湖南卷]如图所示，四棱柱ABCDA1B1C1D1的所有棱长都相等，AC∩BD＝O，A1C1∩B1D1＝O1，四边形ACC1A1和四边形BDD1B1均为矩形．
（2）CE是平面 与平面 的交线.
由（1）知，O是BE的中点，则BCED是菱形.
作BF⊥EC于F，连AF，则AF⊥EC，∠AFB就是二面角A-EC-B的平面角，设为 .……7分
因为∠BCE=120°，所以∠BCF=60°.
，…………9分
， …………11分
所以，所求二面角的正弦值是 .…………12分
解法二：取CD中点O，连OB，OM，则OB⊥CD，OM⊥CD，又平面 平面 ,则MO⊥平面 .
因为A1C为∠ACC1的平分线，所以A1D＝A1E＝ .…………8分
作DF⊥AB，F为垂足，连接A1F.
由三垂线定理得A1F⊥AB，故∠A1FD为二面角A1ABC的平面角．…………10分
由AD＝ ＝1，得D为AC中点，DF＝ ，tan∠A1FD＝ ＝ ，……12分
所以cos∠A1FD＝ .…………13分
(2)方法一：
过B作BF⊥AD，与AD交于点F，过点F作FG∥DE，与AE交于点G，连接BG.
由(1)知DE⊥AD，则FG⊥AD.所以∠BFG是二面角BADE的平面角．…………6分
在直角梯形BCDE中，由CD2＝BC2＋BD2，得BD⊥BC.
又平面ABC⊥平面BCDE，得BD⊥平面ABC，从而BD⊥AB.由AC⊥平面BCDE，得AC⊥CD.
| |·|cos〈m， 〉|＝ ＝ ＝c.…………6分
又依题设，A到平面BCC1B1的距离为 ，所以c＝ ，
代入①，解得a＝3(舍去)或a＝1，
于是 ＝(－1，0， )．…………8分
设平面ABA1的法向量n＝(p，q，r)，
则n⊥ ，n⊥ ，即n· ＝0，n· ＝0，
－p＋ r＝0，且－2p＋q＝0.
所以二面角A1ABC的大小为arccos .…………14分
方法二：以C为坐标原点，射线CA为x轴的正半轴，以CB的长为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系Cxyz.由题设知A1D与z轴平行，z轴在平面AA1C1C内．
(1)证明：设A1(a，0，c)．由题设有a≤2，A(2，0，0)，B(0，1，0)，则 ＝(－2，1，0)， ＝(－2，0，0)， ＝(a－2，0，c)， ＝ ＋ ＝(a－4，0，c)， ＝(a，－1，c)．由| |＝2，得 ＝2，即a2－4a＋c2＝0.①
（1） 求证： 平面
（2）求直线 与平面 所成角的余弦值.
变式2：[2014·福建卷]在平面四边形ABCD中，AB＝BD＝CD＝1，AB⊥BD，CD⊥BD.将△ABD沿BD折起，使得平面ABD⊥平面BCD，如图15所示．
(1)求证：AB⊥CD；(2)若M为AD中点，求直线AD与平面MBC所成角的正弦值．
在Rt△ACD中，由DC＝2，AC＝ ，得AD＝ .
在Rt△AED中，由ED＝1，AD＝ ，得AE＝ .…………7分
在Rt△ABD中，由BD＝ ，AB＝2，AD＝ ，得BF＝ ，AF＝ AD.
从而GF＝ ED＝ .…………9分
在△ABE，△ABG中，利用余弦定理分别可得cos∠BAE＝ ，BG＝ .…………11分
令p＝ ，则q＝2 ，r＝1，所以n＝( ，2 ，1)．…………10分
又p＝(0，0，1)为平面ABC的法向量，…………11分
故cos〈n，p〉＝ ＝ .…………13分
所以二面角A1ABC的大小为arccos .…………14分
例3.无棱二面角（2010年江西卷）
解法一：（1）取CD中点O，连OB，OM，则OB⊥CD，
建立空间直角坐标系 ，则 ， ， ， .
∴ ， ， .……………9分
设平面 的法向量为 ，由 ， ，
得 ， ，得 .
令 ，则平面 的一个法向量为 .……………10分
设直线 与平面 所成角为 ，
则 .……………11分
∴ ， .……………13分
∴直线 与平面 所成角的正切值为 .……………14分
变式1：（2013湖北8校联考）
OM⊥CD.又平面 平面 ,则MO⊥平面 ，所以MO∥AB，A、B、O、M共面.延长AM、BO相交于E，则∠AEB就是AM与平面BCD所成的角.OB=MO= ，MO∥AB，MO//面ABC，M、O到平面ABC的距离相等，作OH BC于H，连MH，则MH BC，求得：
OH=OCsin600= ,MH= ,利用体积相等得： 。…………5分
以O为原点，直线OC、BO、OM为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系如图.
OB=OM= ，则各点坐标分别为O（0，0，0），C（1，0，0），M（0，0， ），B（0，- ，0），A（0，- ，2 ），
又 · ＝a2－4a＋c2＝0，所以AC1⊥A1B.…………4分
(2)设平面BCC1B1的法向量m＝(x，y，z)，则m⊥ ，m⊥ ，即m· ＝0，m· ＝0.因为 ＝(0，1，0)， ＝ ＝(a－2，0，c)，所以y＝0且(a－2)x＋cz＝0.
令x＝c，则z＝2－a，所以m＝(c，0，2－a)，故点A到平面BCC1B1的距离为
(1)证明：DE⊥平面ACD；(2)求二面角BADE的大小．
变式4：[2014·全国19]如图11所示，三棱柱ABCA1B1C1中，点A1在平面ABC内的射影D在AC上，∠ACB＝90°，BC＝1，AC＝CC1＝2.
(1)证明：AC1⊥A1B;(2)设直线AA1与平面BCC1B1的距离为 ，求二面角A1-AB-C的大小．
立体几何专题复习
热点一：直线与平面所成的角
例1．（2014，广二模理18）如图，在五面体 中，四边形 是边长为 的正方形， ∥平面 ， ， ， .
（1）求证： 平面 ；
（2）求直线 与平面 所成角的正切值.
变式1：（2013湖北8校联考）如左图，四边形 中， 是 的中点，
将左图沿直线 折起，使得二面角 为 如右图.
(1)证明：O1O⊥底面ABCD；(2)若∠CBA＝60°，求二面角C1OB1D的余弦值．
3．[2014·江西19]如图16，四棱锥PABCD中，ABCD为矩形，平面PAD⊥平面ABCD.
(1)求证：AB⊥PD. (2)若∠BPC＝90°，PB＝ ，PC＝2，问AB为何值时，四棱锥PABCD的体积最大？并求此时平面BPC与平面DPC夹角的余弦值．
由三垂线定理得AC1⊥A1B.……4分（注意：这个定理我们不能用）
(2)BC⊥平面AA1C1C，BC⊂平面BCC1B1，故平面AA1C1C⊥平面BCC1B1.
作A1E⊥CC1，E为垂足，则A1E⊥平面BCC1B1.…………6分
又直线AA1∥平面BCC1B1，因而A1E为直线AA1与平面BCC1B1的距离，即A1E＝ .
例2.（2014，广东卷）
变式3：（2014浙江卷）
解：(1)证明：在直角梯形BCDE中，
由DE＝BE＝1，CD＝2，得BD＝BC＝ ，
由AC＝ ，AB＝2，
得AB2＝AC2＋BC2，Leabharlann BaiduAC⊥BC.…………2分
又平面ABC⊥平面BCDE，从而AC⊥平面BCDE，
所以AC⊥DE.又DE⊥DC，从而DE⊥平面ACD.…………4分
热点二：二面角
例2．[2014·广东卷]如图14，四边形ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，∠DPC＝30°，AF⊥PC于点F，FE∥CD，交PD于点E.
(1)证明：CF⊥平面ADF；(2)求二面角DAFE的余弦值．
变式3：[2014·浙江卷]如图15，在四棱锥ABCDE中，平面ABC⊥平面BCDE，∠CDE＝∠BED＝90°，AB＝CD＝2，DE＝BE＝1，AC＝ .
（1）取 中点 ，连结 ,则 ……………2分
由余弦定理知 ………4分
又 平面 , 平面 ………6分
（2）以 为原点建立如图示的空间直角坐标系，
则 , ………8分
设平面 的法向量为 ,
由 得 ,取 ,则 .
……11分
故直线 与平面 所成角的余弦值为 .…………12分
变式2：（2014福建卷）
解：(1)证明：∵平面ABD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD＝BD，
由题意可知，所求二面角是锐角，故二面角BADE的大小是 .…………14分
变式4：（2014全国卷）
19．解：方法一：(1)证明：因为A1D⊥平面ABC，A1D⊂平面AA1C1C，故平面AA1C1C⊥平面ABC.又BC⊥AC，所以BC⊥平面AA1C1C.…………2分
连接A1C，因为侧面AA1C1C为菱形，故AC1⊥A1C.
∴ .……………8分
∵ ， 平面 ， 平面 ，
∴ 平面 .……………9分
∴ 平面 .
∵ 平面 ，
∴ .……………10分
∵ ， 平面 ， 平面 ，
∴ 平面 .……………11分
∴ 是直线 与平面 所成的角.……………12分
在Rt△ 中， .……………13分
∴直线 与平面 所成角的正切值为 .……………14分
AB⊂平面ABD，AB⊥BD，∴AB⊥平面BCD.…………3分
又CD⊂平面BCD，∴AB⊥CD.…………4分
(2)过点B在平面BCD内作BE⊥BD.
由(1)知AB⊥平面BCD，BE⊂平面BCD，BD⊂平面BCD，∴AB⊥BE，AB⊥BD.……6分
以B为坐标原点，分别以 ， ， 的方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系(如图所示)．依题意，得B(0，0，0)，C(1，1，0)，D(0，1，0)，A(0，0，1)，M .