定积分的应用--简单几何体的体积

简单几何体的 体积
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前面学习了微积分在几何中的简单应用----求 曲线围成的平面图形的面积。接下来继续看它在 几何学中的应用----求体积的问题。
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例1 给定直角边为 1 的等腰直角三角形，绕一条 直角边旋转一周，得到一个圆锥体，求其体积。
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分析： 在平面直角坐标系中，直角边为1的等腰直角三
角形可以看作是由直线 y=x ，x=1 及 x 轴所围成的
V （02 x0 xi2 xi 12 xn )
所以求体积是定积分问题。
解：圆锥体的体积为：
V
1
0
x2dx
3
x3
1 0
3
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简单几何体的体积
设旋转体是由连续曲线 y＝f(x)和 直线 x＝a，x＝b(a＜b)及 x 轴所 围成的曲边梯形绕 x 轴旋转而 成，设在区间[a，b]上点 x 处垂 直 x 轴的截面面积为 A(x)＝πf2(x)，则 体积为 V＝bπf2(x)dx.
周后体积V b (( y))2dy b x2dy
a
a
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探究3 设两抛物线y x2 2x, y x2 所围成的图形为M，将M绕x轴旋转一 周所得旋转体的体积V ？
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2.5
2
y x2
1.5
1
0.5
fx = -x2+2x
gx = x2
-2
-1
1
2
3
4
-0.5
y x2 2x
平面图形。
y
y
o
x
x
o
1
xi
xi
把这个三角形分割成许多垂直于 x 轴的小梯形，
设第 i 个小梯形的宽是 xi ，它绕 x 轴旋转一周就得
到一个厚xi 度是 的小圆台。
4
当xi 很小时，每个小圆台近似于底面半径 为 xi 的小圆柱，因此，小圆台的体积近似为
Vi xi2 xi
圆锥的体积就等于所有小圆台的体积和：
-1
14
-1.5
结论 3
探由y f (x)2 和y g(x)2 所
围成的图形为M，将M绕
x轴旋转一周所得旋转体
的体积V
b
[
f
(x)2
g(x)2
来自百度文库
]dx
a
( f (x) g(x))
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四、课堂小结
本节课用定积分解决了 简单旋转体的体积，注意：
1、注意
2、被积函数的平方 3、求体积的一般步骤
积。（塔壁厚度不计，精确到10 m3 ）
C 18my C′
yi A 14m A′ 20m x
22m
B
B′
双曲线方程为 x2 y2 1 49 98
容积为 V 8 x2dy 对y求积分 12 V 4.25 103 (m3 )
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结论 2
旋转体由曲线x=( y), y a, y b
和y轴围成的平面图形绕y轴旋转一
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小结
＊ 定积分求旋转体的体积： （1）画示意图； （2）确定积分的上、下限； （3）确定被积函数（分清积分变量）； （4）列式求解。
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例2
某电厂冷却塔的外形是双曲线的一部分绕其中轴
旋转得到的曲面， A、A′是双曲线顶点，C、C′
是冷却塔上口直径的两个端点，已知 ：AA′=14 m，
BB′= 22m，CC′= 18m，塔高 20m，求冷却塔的容
a
6
旋转轴是 x 轴的旋转体的体积公式是 V＝πb[f(x)]2dx(a＜b)．
a
7
结论 1
由y f (x)，x a, x b和x轴围
成的平面图形绕x轴旋转一周，则
V=
b
2
( f (x)) dx
b y2dx
a
a
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练习： 一个半径为 1 的球可看作由曲线y 1 x2
与 x 轴所围成的区域（半圆）绕 x 轴旋转一周得到 的，求球的体积。