排列组合解题策略大全(十九种模型)
排列组合问题的20种解法
排列组合问题的20 种解法排列组合问题联系实际生动有趣，但题型多样，思路灵活，因此解决排列组合问题，首先要认真审题，弄清楚是排列问题、组合问题还是排列与组合综合问题；其次要抓住问题的本质特征，采用合理恰当的方法来处理。
复习巩固分类计数原理 ( 加法原理 )完成一件事，有类办法，在第 1 类办法中有种不同的方法，在第 2 类办法中有种不同的方法，，在第类办法中有种不同的方法，那么完成这件事共有：种不同的方法．2.分步计数原理（乘法原理）完成一件事，需要分成个步骤，做第 1 步有种不同的方法，做第 2 步有种不同的方法，，做第步有种不同的方法，那么完成这件事共有：种不同的方法．3.分类计数原理分步计数原理区别分类计数原理方法相互独立，任何一种方法都可以独立地完成这件事。
分步计数原理各步相互依存，每步中的方法完成事件的一个阶段，不能完成整个事件．解决排列组合综合性问题的一般过程如下:1.认真审题弄清要做什么事2.怎样做才能完成所要做的事 , 即采取分步还是分类 , 或是分步与分类同时进行 , 确定分多少步及多少类。
3.确定每一步或每一类是排列问题 ( 有序 ) 还是组合 ( 无序 ) 问题 , 元素总数是多少及取出多少个元素 .4.解决排列组合综合性问题，往往类与步交叉，因此必须掌握一些常用的解题策略一. 特殊元素和特殊位置优先策略例 1. 由 0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字五位奇数.解: 由于末位和首位有特殊要求, 应该优先安排, 以免不合要求的元素占了这两个位置.先排末位共有然后排首位共有最后排其它位置共有由分步计数原理得位置分析法和元素分析法是解决排列组合问题最常用也是最基本的方法 , 若以元素分析为主 , 需先安排特殊元素 , 再处理其它元素 . 若以位置分析为主 , 需先满足特殊位置的要求 , 再处理其它位置。
若有多个约束条件，往往是考虑一个约束条件的同时还要兼顾其它条件练习题:7 种不同的花种在排成一列的花盆里, 若两种葵花不种在中间，也不种在两端的花盆里，问有多少不同的种法？二. 相邻元素捆绑策略例 2. 7人站成一排, 其中甲乙相邻且丙丁相邻,共有多少种不同的排法.再解：可先将甲乙两元素捆绑成整体并看成一个复合元素，同时丙丁也看成一个复合元素，与其它元素进行排列，同时对相邻元素内部进行自排。
排列组合常见模型及解题技巧
排列组合常见模型及解题技巧排列组合常见模型及解题技巧___________________________________排列组合是数学中的一个重要概念，其主要用于解决有关物品数量、顺序、种类等问题，十分重要。
尤其在中考、高考中，排列组合模型非常常见。
因此，想要在考试中取得好成绩，需要对排列组合的相关知识有所了解。
### 一、常见的排列组合模型1. 元素排列模型：当有n个元素时，可以有n!种不同的排列方式。
2. 重复的排列模型：当有n个元素中有m个重复的元素时，可以有$\frac{n!}{m!}$种不同的排列方式。
3. 选择排列模型：当从n个元素中选出m个元素进行排列时，可以有$\frac{n!}{(n-m)!}$种不同的排列方式。
4. 组合模型：当从n个元素中选出m个元素进行组合时，可以有$\frac{n!}{m!(n-m)!}$种不同的组合方式。
5. 组合中出现重复的情况：当从n个元素中选出m个元素进行组合时，若有k个重复的元素，可以有$\frac{n!}{(m-k)!(n-m)!}$种不同的组合方式。
### 二、解题技巧1. 明确问题：排列组合问题一般都是要求出物品的总数量或者某一种情况出现的总次数。
因此，在解决这样的问题之前，要明确问题是要计算出总数量还是总次数。
2. 对物品进行分类：在解决排列组合问题时，要明确物品的数量、重复的情况以及可以选择的情况，将物品分成不同的分类。
3. 认真计算：根据不同的情况，选择对应的模型来计算出总数量或者总次数。
在计算之前一定要仔细地去理解问题，以免出错。
4. 熟悉常用公式：在处理排列组合问题时，要能够准确地使用对应的公式来计算出正确的答案。
因此，对于常用的公式一定要牢记于心，并能够准确地使用。
### 三、总结通过本文，我们可以了解到排列组合常见的几个模型以及如何正确地使用它们来解决问题。
排列组合问题是数学考试中常见的问题之一，因此在备考考试时一定要加强对这方面的学习。
排列组合20种解法策略
圆梦教育中心 高考难点排列组合排列组合问题联系实际生动有趣，但题型多样，思路灵活，因此解决排列组合问题，首先要认真审题，弄清楚是排列问题、组合问题还是排列与组合综合问题；其次要抓住问题的本质特征，采用合理恰当的方法来处理。
复习巩固1.分类计数原理(加法原理)完成一件事，有n 类办法，在第1类办法中有1m 种不同的方法，在第2类办法中有2m 种不同的方法，…，在第n 类办法中有n m 种不同的方法，那么完成这件事共有：种不同的方法．2.分步计数原理（乘法原理）完成一件事，需要分成n 个步骤，做第1步有1m 种不同的方法，做第2步有2m 种不同的方法，…，做第n 步有n m 种不同的方法，那么完成这件事共有：种不同的方法．3.分类计数原理分步计数原理区别分类计数原理方法相互独立，任何一种方法都可以独立地完成这件事。
分步计数原理各步相互依存，每步中的方法完成事件的一个阶段，不能完成整个事件． 解决排列组合综合性问题的一般过程如下: 1.认真审题弄清要做什么事2.怎样做才能完成所要做的事,即采取分步还是分类,或是分步与分类同时进行,确定分多少步及多少类。
3.确定每一步或每一类是排列问题(有序)还是组合(无序)问题,元素总数是多少及取出多少个元素.4.解决排列组合综合性问题，往往类与步交叉，因此必须掌握一些常用的解题策略 一.特殊元素和特殊位置优先策略例1.由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字五位奇数.解:由于末位和首位有特殊要求,应该优先安排,先排末位共有13C然后排首位共有14C 最后排其它位置共有34A由分步计数原理得113434288C C A =练习题:7种不同的花种在排成一列的花盆里,若两种葵花不种在中间，也不种在两端的花盆里，问有多少不同的种法？二.相邻元素捆绑策略例2. 7人站成一排 ,其中甲乙相邻且丙丁相邻, 共有多少种不同的排法. 解：可先将甲乙两元素捆绑成整体并看成一个复合元素，同时丙丁也看成一个复合元素，再与其它元素进行排列，同时对相邻元素内部进行自排。
排列组合常用策略及模型九种
排列组合问题常用策略排列组合问题的常用模型及策略有：捆绑法、插空法、隔板法、特殊元素/特殊位置优先法、缩倍法、间接法（正难则反）、均分问题、错排问题、圆排列问题等。
1、捆绑法：题目中规定相邻的几个元素捆绑成一个组，当作一个大元素参与排列.A B C D E五人并排站成一排，如果,A B必须相邻且B在A的右边，那么不同的例题：,,,,排法种数有（）A、60种B、48种C、36种D、24种2、插空法:元素相离（即不相邻）问题，可先把无位置要求的几个元素全排列，再把规定的相离的几个元素插入上述几个元素的空位和两端.例题：七人并排站成一行，如果甲乙两个必须不相邻，那么不同的排法种数是（）A、1440种 B、3600种 C、4820种 D、4800种3、缩倍法:在排列问题中限制某几个元素必须保持一定的顺序，可用缩小倍数的方法.A B C D E五人并排站成一排，如果B必须站在A的右边（,A B可以不相邻）那例题：,,,,么不同的排法种数是（）A、24种B、60种C、90种D、120种4、隔板法:对于将不可分辨的球装入可以分辨的盒子中求装入方法数的问题，常用隔板法.例题：10个三好学生名额分到7个班级，每个班级至少一个名额，有多少种不同分配方案？5、特殊元素/特殊位置优先法：某个或某几个元素要或不要排在指定位置，可先处理这个或几个元素，再排其它的元素（元素优先法）；也可先把指定位置安排符合要求的元素，再排其它的元素（位置优先法）。
例题：某高校从某系的10名优秀毕业生中选4人分别到西部四城市参加中国西部经济开发建设，其中甲同学不到银川，乙不到西宁，共有多少种不同派遣方案？6、间接法：对有限制条件的问题，尤其是“至多”“至少”问题，直接法较难则采用间接法，即从总体考虑，再把不符合条件的情况去掉。
例题：从0,1,2,3,4,5,6,7,8,9这十个数字中取出三个数，使其和为不小于10的偶数,不同的取法有多少种？7、均分问题：n个元素分成m堆得问题，平均分成的组，无论顺序如何都是一种情况。
高考数学排列组合解题的二十一种方法总结，尖子生的秘诀都在这
高考数学排列组合解题的二十一种方法总结，尖子生的秘诀都
在这
今天给大家带来的是高中数学排列组合结题的二十一种方法！
分别包括
一.特殊元素和特殊位置优先策略
二.相邻元素捆绑策略
三.不相邻问题插空策略
四.定序问题倍缩空位插入策略
五.重排问题求幂策略
六.环排问题线排策略
七.多排问题直排策略
八.排列组合混合问题先选后排策略
九.小集团问题先整体后局部策略
十.元素相同问题隔板策略
十一.正难则反总体淘汰策略
十二.平均分组问题除法策略
十三. 合理分类与分步策略
十四.构造模型策略
十五.实际操作穷举策略
十六. 分解与合成策略
十七.化归策略
十八.数字排序问题查字典策略
十九.树图策略
二十.复杂分类问题表格策略
二十一：住店法策略
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排列组合方法归纳大全复习巩固1.分类计数原理(加法原理)完成一件事，有类办法，在第1类办法中有种不同的方法，在第2类办法中有种不同的方法，n 1m 2m …，在第类办法中有种不同的方法，那么完成这件事共有：n n m 12nN m m m =+++ 种不同的方法．2.分步计数原理（乘法原理）完成一件事，需要分成个步骤，做第1步有种不同的方法，做第2步有种不同的方法，…，n 1m 2m 做第步有种不同的方法，那么完成这件事共有：n n m 12nN m m m =⨯⨯⨯ 种不同的方法．3.分类计数原理分步计数原理区别分类计数原理方法相互独立，任何一种方法都可以独立地完成这件事。
分步计数原理各步相互依存，每步中的方法完成事件的一个阶段，不能完成整个事件．解决排列组合综合性问题的一般过程如下:1.认真审题弄清要做什么事2.怎样做才能完成所要做的事,即采取分步还是分类,或是分步与分类同时进行,确定分多少步及多少类。
3.确定每一步或每一类是排列问题(有序)还是组合(无序)问题,元素总数是多少及取出多少个元素.4.解决排列组合综合性问题，往往类与步交叉，因此必须掌握一些常用的解题策略一.特殊元素和特殊位置优先策略例1.由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字五位奇数.解:由于末位和首位有特殊要求,应该优先安排,先排末位共有13C 然后排首位共有14C 最后排其它位置共有34A 由分步计数原理得113434288C C A =练习题:7种不同的花种在排成一列的花盆里,若两种葵花不种在中间，也不种在两端的花盆里，问有多少不同的种法？二.相邻元素捆绑策略例2. 7人站成一排 ,其中甲乙相邻且丙丁相邻, 共有多少种不同的排法.解：可先将甲乙两元素捆绑成整体并看成一个复合元素，同时丙丁也看成一个复合元素，再与其它元素进行排列，同时对相邻元素内部进行自排。
由分步计数原理可得共有种不同的排法522522480A A A =练习题:某人射击8枪，命中4枪，4枪命中恰好有3枪连在一起的情形的不同种数为 20三.不相邻问题插空策略例3.一个晚会的节目有4个舞蹈,2个相声,3个独唱,舞蹈节目不能连续出场,则节目的出场顺序有多少种？解:分两步进行第一步排2个相声和3个独唱共有种，第二步将4舞蹈插入第一步排好的6个元素中55A 间包含首尾两个空位共有种不同的方法,由分步计数原理,节目的不同顺序共有 种46A 5456A A目插入原节目单中，且两个新节目不相邻，那么不同插法的种数为 30四.定序问题倍缩空位插入策略例4.7人排队,其中甲乙丙3人顺序一定共有多少不同的排法解:(倍缩法)对于某几个元素顺序一定的排列问题,可先把这几个元素与其他元素一起进行排列,然后用总排列数除以这几个元素之间的全排列数,则共有不同排法种数是：7373/A A (空位法)设想有7把椅子让除甲乙丙以外的四人就坐共有种方法，其余的三个位置甲乙丙共有 147A 种坐法，则共有种方法。
排列组合全部20种方法
排列组合解法解决排列组合综合性问题的一般过程如下:1.认真审题弄清要做什么事2.怎样做才能完成所要做的事,即采取分步还是分类,或是分步与分类同时进行,确定分多少步及多少类。
3.确定每一步或每一类是排列问题(有序)还是组合(无序)问题,元素总数是多少及取出多少个元素.4.解决排列组合综合性问题，往往类与步交叉，因此必须掌握一些常用的解题策略一.特殊元素和特殊位置优先策略1、由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字五位奇数.&练习、 7种不同的花种在排成一列的花盆里,若两种葵花不种在中间，也不种在两端的花盆里，问有多少不同的种法二.相邻元素捆绑策略2、7人站成一排 ,其中甲乙相邻且丙丁相邻, 共有多少种不同的排法.练习、某人射击8枪，命中4枪，4枪命中恰好有3枪连在一起的情形的不同种数为三.不相邻问题插空策略…3、一个晚会的节目有4个舞蹈,2个相声,3个独唱,舞蹈节目不能连续出场,则节目的出场顺序有多少种练习、某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目.如果将这两个新节目插入原节目单中，且两个新节目不相邻，那么不同插法的种数为四.定序问题倍缩空位插入策略4、7人排队,其中甲乙丙3人顺序一定共有多少不同的排法,练习、10人身高各不相等,排成前后排，每排5人,要求从左至右身高逐渐增加，共有多少排法五.重排问题求幂策略5、把6名实习生分配到7个车间实习,共有多少种不同的分法练习1．某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目.如果将这两个节目插入原节目单中，那么不同插法的种数为2. 某8层大楼一楼电梯上来8名乘客人,他们到各自的一层下电梯,下电梯的方法|六.环排问题线排策略6、 8人围桌而坐,共有多少种坐法练习、 6颗颜色不同的钻石，可穿成几种钻石圈七.多排问题直排策略 "7、8人排成前后两排,每排4人,其中甲乙在前排,丙在后排,共有多少排法前 排后 排练习、有两排座位，前排11个座位，后排12个座位，现安排2人就座规定前排中间的3个座位不能坐，并且这2人不左右相邻，那么不同排法的种数是】八.排列组合混合问题先选后排策略8、有5个不同的小球,装入4个不同的盒内,每盒至少装一个球,共有多少不同的装法.练习、一个班有6名战士,其中正副班长各1人现从中选4人完成四种不同的任务,每人完成一种任务,且正副班长有且只有1人参加,则不同的选法有 种￥九.小集团问题先整体后局部策略9、用1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数其中恰有两个偶数夹1,５在两个奇数之间,这样的五位数有多少个、练习、１.计划展出10幅不同的画,其中1幅水彩画,４幅油画,５幅国画, 排成一行陈列,要求同一品种的必须连在一起，并且水彩画不在两端，那么共有陈列方式的种数为 2. 5男生和５女生站成一排照像,男生相邻,女生也相邻的排法有 种十.元素相同问题隔板策略10、有10个运动员名额，分给7个班，每班至少一个,有多少种分配方案一般地,n 个不同元素作圆形排列,共有(n-1)!种排法.如果从n 个不同元素中取出m 个元素作圆形排列共有1mn A n一般地,元素分成多排的排列问题,可归结为一排考虑,再分段研解决排列组合混合问题,先选后排是最基本的指导思想.此法与相邻元素捆绑策略相似吗 小集团排列问题中，先整体后局部，再结合其它策略进行处理。
巧解排列组合的19种模型
巧解排列组合的19种模型1.相邻问题捆绑法:题目中规定相邻的几个元素捆绑成一个组，当作一个大元素参与排列.1.,,,,A B C D E 五人并排站成一排，如果,A B 必须相邻且B 在A 的右边，那么不同的排法种数有242.相离问题插空排:元素相离（即不相邻）问题，可先把无位置要求的几个元素全排列，再把规定的相离的几个元素插入上述几个元素的空位和两端.1.七人并排站成一行，如果甲乙两个必须不相邻，那么不同的排法种数是36003.定序问题消序法:在排列问题中限制某几个元素必须保持一定的顺序，可用消序的方法.1.,,,,A B C D E 五人并排站成一排，如果B 必须站在A 的右边（,A B 可以不相邻）那么不同的排法种数是604映射错位问题分步法:把元素排到指定位置上，可先把某个元素按规定排入，第二步再排另一个元素，如此继续下去，依次即可完成.1.将数字1，2，3，4填入标号为1，2，3，4的四个方格里，每格填一个数，则每个方格的标号与所填数字均不相同的填法有 9总结：3个元素错位：2种. 4个元素错位：9种. 5个元素错位：44种。
公式[])2()1()(11-+-=-n f n f n f C n （n 表示元素个数） 2．今有标号1，2，3，4，5的5封信，另有同样的标号的5个信封，现将5封信任意地装入5个信封，每个信封装入1封信，至少有1封信配对的种数 129352515++∙+C C C .3.设有编号为1，2，3，4，5的五个球和编号为1，2，3，4，5的盒子现将这5个球投入5个盒子要求每个盒子放一个球，并且恰好有两个球的号码与盒子号码相同，有20 种不同的方法.5.有序分配问题逐分法:有序分配问题指把元素分成若干组，可用逐步下量分组法.（1）有甲乙丙三项任务，甲需2人承担，乙丙各需一人承担，从10人中选出4人承担这三项任务，不同的选法种数是（ C ）A 、1260种 B 、2025种 C 、2520种 D 、5040种解析：先从10人中选出2人承担甲项任务，再从剩下的8人中选1人承担乙项任务，第三步从另外的7人中选1人承担丙项任务，不同的选法共有21110872520C C C =种，选C .（2）12名同学分别到三个不同的路口进行流量的调查，若每个路口4人，则不同的分配方案有A 、4441284C C C 种 B 、44412843C C C 种 C 、4431283C C A 种 D 、444128433C C C A 种 （A ） 6.全员分配问题分组法: 分配的元素多于对象且每一对象都有元素分配时： 先分组再分配（1）4名优秀学生全部保送到3所学校去，每所学校至少去一名，则不同的保送方案有多少种？ 36（2）5本不同的书，全部分给4个学生，每个学生至少一本，不同的分法种数为A 、480种B 、240种C 、120种D 、96种 （ B ）7.名额分配问题隔板法:1. 10个三好学生名额分到7个班级，每个班级至少一个名额，有多少种不同分配方案？6984C =8.限制条件的分配问题分类法:1.某高校从某系的10名优秀毕业生中选4人分别到西部四城市参加中国西部经济开发建设，其中甲同学不到银川，乙不到西宁，共有多少种不同派遣方案？ 4088解析：因为甲乙有限制条件，所以按照甲乙参不参加来分类，有以下四种情况：9.多元问题分类法：元素多，取出的情况也多种，可按结果要求分成不相容的几类情况分别计数，最后总计.（1）由数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的六位数，其中个位数字小于十位数字的共有A 、210种B 、300种C 、464种D 、600种 （ B ）解析：按题意，个位数字只可能是0、1、2、3和4共5种情况，（2）从1，2，3…，100这100个数中，任取两个数，使它们的乘积能被7整除，这两个数的取法（不计顺序）共有多少种？解析：能被7整除的数的集合记做{}7,14,21,98A =共有14个元素,不能被7整除的数组成的集合记做{}1,2,3,4,,100I A =ð共有86个元素；2111414861295C C C +=种 （3）从1，2，3，…，100这100个数中任取两个数，使其和能被4整除的取法（不计顺序）有多少种？4n ,4n+1 ,4n+2 ,4n+3 211225252525C C C C ++ 10.交叉问题集合法：某些排列组合问题几部分之间有交集，可用集合中求元素个数公式()()()()n A B n A n B n A B =+-.例10.从6名运动员中选出4人参加4×100米接力赛，如果甲不跑第一棒，乙不跑第四棒，共有多少种不同的参赛方案？ ()()()()n I n A n B n A B --+⋂43326554252A A A A =--+=种.11.定位问题优先法：某个或几个元素要排在指定位置，可先排这个或几个元素；再排其它的元素。
排列组合全部20种方法
排列组合解法解决排列组合综合性问题的一般过程如下：1.认真审题弄清要做什么事2.怎样做才能完成所要做的事,即采取分步还是分类,或是分步与分类同时进行,确定分多少步及多少类。
3.确定每一步或每一类是排列问题（有序）还是组合（无序）问题,元素总数是多少及取出多少个元素.4.解决排列组合综合性问题，往往类与步交叉，因此必须掌握一些常用的解题策略一.特殊元素和特殊位置优先策略1、由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字五位奇数.练习、7种不同的花种在排成一列的花盆里，若两种葵花不种在中间，也不种在两端的花盆里，问有多少不同的种法？二.相邻元素捆绑策略2、7人站成一排，其中甲乙相邻且丙丁相邻，共有多少种不同的排法.练习、某人射击8枪，命中4枪，4枪命中恰好有3枪连在一起的情形的不同种数为_________三.不相邻问题插空策略3、一个晚会的节目有4个舞蹈,2个相声,3个独唱,舞蹈节目不能连续出场,则节目的出场顺序有多少种?练习、某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目.如果将这两个新节目插入原节目单中，且两个新节目不相邻，那么不同插法的种数为______________四.定序问题倍缩空位插入策略4、7人排队,其中甲乙丙3人顺序一定共有多少不同的排法?练习、10人身高各不相等，排成前后排，每排5人,要求从左至右身高逐渐增加，共有多少排法?五.重排问题求幂策略5、把6名实习生分配到7个车间实习，共有多少种不同的分法练习1.某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目如果将这两个节目插入原节目单中，那么不同插法的种数为2.某8层大楼一楼电梯上来8名乘客人，他们到各自的一层下电梯,下电梯的方法 ______六.环排问题线排策略6、8人围桌而坐,共有多少种坐法?一般地,n个不同元素作圆形排列，共有(n-1)!种排法.如果从n个不同元素中取出m个元素作圆形排列共有1A-n n练习、6颗颜色不同的钻石，可穿成几种钻石圈？七.多排问题直排策略7、8人排成前后两排,每排4人，其中甲乙在前排,丙在后排,共有多少排法?' —犷排—" —后排~练习、有两排座位，前排11个座位，后排12个座位，现安排2人就座规定前排中间的3个座位不能坐，并且这2人不左右相邻，那么不同排法的种数是 _____________八.排列组合混合问题先选后排策略8、有5个不同的小球,装入4个不同的盒内,每盒至少装一个球,共有多少不同的装法.练习、一个班有6名战士,其中正副班长各1人现从中选4人完成四种不同的任务,每人完成一种任务,且正副班长有且只有1人参加,则不同的选法有种九.小集团问题先整体后局部策略9、用1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数其中恰有两个偶数夹1, 5在两个奇数之间，这样的五位数有多少个？练习、1.计划展出10幅不同的画,其中1幅水彩画，4幅油画，5幅国画，排成一行陈列,要求同一品种的必须连在一起，并且水彩画不在两端，那么共有陈列方式的种数为____________2. 5男生和5女生站成一排照像,男生相邻,女生也相邻的排法有种十.元素相同问题隔板策略10、有10个运动员名额，分给7个班，每班至少一个,有多少种分配方案？练习题：1. 10个相同的球装5个盒中，每盒至少一有多少装法？2. x + y + z +攻=100求这个方程组的自然数解的组数?十一.正难则反总体淘汰策略11、从0,1,2,3,4,5,6,7,8,9这十个数字中取出三个数，使其和为不小于10的偶数，不同的取法有多少种？练习、我们班里有43位同学，从中任抽5人，正、副班长、团支部书记至少有一人在内的抽法有多少种？十二.平均分组问题除法策略12、6本不同的书平均分成3堆，每堆2本共有多少分法？练习题：1、将13个球队分成3组，一组5个队，其它两组4个队，有多少分法？2、10名学生分成3组，其中一组4人，另两组3人但正副班长不能分在同一组，有多少种不同的分组方法3、某校高二年级共有六个班级，现从外地转入4名学生，要安排到该年级的两个班级且每班安排2名，则不同的安排方案种数为十三.合理分类与分步策略例13.在一次演唱会上共10名演员，其中8人能能唱歌,5人会跳舞,现要演出一个2人唱歌2人伴舞的节目, 有多少选派方法练习：1、从4名男生和3名女生中选出4人参加某个座谈会，若这4人中必须既有男生又有女生，则不同的选法共有 ___2、3成人2小孩乘船游玩,1号船最多乘3人，2号船最多乘2人,3号船只能乘1人,他们任选2只船或3 只船,但小孩不能单独乘一只船，这3人共有多少乘船方法.十四.构造模型策略14、马路上有编号为1,2,3,4,5,6,7,8,9的九只路灯,现要关掉其中的3盏,但不能关掉相邻的2盏或3盏, 也不能关掉两端的2盏,求满足条件的关灯方法有多少种？一些不易理解的排列组合题如果能转化为非常熟悉的模型，如占位填空模型，排队模型，装盒模型等，可使问题直观解决练习、某排共有10个座位，若4人就坐，每人左右两边都有空位，那么不同的坐法有多少种？十五.实际操作穷举策略15、设有编号1,2,3,4,5的五个球和编号1,2,3,4,5的五个盒子,现将5个球投入这五个盒子内,要求每个盒子放一个球，并且恰好有两个球的编号与盒子的编号相同,有多少投法对于条件比较复杂的排列组合问题，不易用公式进行运算，往往利用穷举法或画出树状图会收到意想不到的结果练习 1、同一寝室4人，每人写一张贺年卡集中起来,然后每人各拿一张别人的贺年卡，则四张贺年卡不同的分配方式有多少种？2、给图中区域涂色,要求相邻区域不同色,现有4种可选颜色,则不同的着色方法有种十六.分解与合成策略16、30030能被多少个不同的偶数整除练习：正方体的8个顶点可连成多少对异面直线分解与合成策略是排列组合问题的一种最基本的解题策略，把一个复杂问题分解成几个小问题逐一解决，然后依据问题分解后的结构，用分类计数原理和分步计数原理将问题合成，从而得到问题的答案，每个比较复杂的问题都要用到这种解题策略十七.化归策略17、25人排成5X5方阵,现从中选3人，要求3人不在同一行也不在同一列,不同的选法有多少种?练习、某城市的街区由12个全等的矩形区组成其中实线表示马路，从A走到B的最短路径有多少种？____ ____ _____ ____ .B十八.数字排序问题查字典策略18、由0, 1, 2, 3, 4, 5六个数字可以组成多少个没有重复的比324105大的 A 数？练习：用0,1,2,3,4,5这六个数字组成没有重复的四位偶数,将这些数字从小到大排列起来,第71个数是—十九.树图策略19、3人相互传球，由甲开始发球，并作为第一次传球，经过5次传求后，球仍回到甲的手中，则不同的传球方式有________对于条件比较复杂的排列组合问题，不易用公式进行运算，树图会收到意想不到的结果练习：分别编有1, 2, 3, 4, 5号码的人与椅，其中i号人不坐i号椅(i 1,2,3,4,5 )的不同坐法有多少种？二十.复杂分类问题表格策略20、有红、黄、兰色的球各5只，分别标有A、B、C、D、E五个字母，现从中取5只，要求各字母均有且三色齐备,则共有多少种不同的取法排列组合解法解决排列组合综合性问题的一般过程如下：1.认真审题弄清要做什么事2.怎样做才能完成所要做的事,即采取分步还是分类,或是分步与分类同时进行,确定分多少步及多少类。
排列组合解题策略大全(十九种模型)
2、某 8 层大楼一楼电梯上来 8 名乘客人,他们到各自的一层下电梯,下电梯的方法有多少种？
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十、相同元素分组隔板法
相同的元素分成 m 份（n，m 为正整数）,每份至少一个元素,可以用 m-1 块隔板，插入 n 个元素排成一排的 n-1
个空隙中，所有分法数为
C m−1 n−1
解析：看成一排，某 2 个元素在前半段四个位置中选排 2 个，有 A42 种，某 1 个元素排在后半段的四个位置中选一个有 A41
种，其余 5 个元素任排 5 个位置上有 A55 种，故共有 A41 A42 A55 = 5760 种排法.
2、有 2 排座位,前排 11 个座位，后排 12 个座位。现在安排 2 人就坐,规定前排中间 3 个座位不能坐,并且这 2 个人不左 右相邻,那么不同的排法共多少种？ 在 20 个可以坐的任意取 2 个排列,有 380 种,减去其中两人相邻的情况.相邻的情况有 2*3+2*3+2*11=34 种 所以答案为 380-34=346
先排末位： C13 ，再排首位： C14 ，最后排中间三位： A34 共有： C13 C14 A34 =288
2、7 种不同的花种在排成一列的花盆里,若两种葵花不种在中间，也不种在两端的花盆里，问有多少不同的种法？
先种这两种特殊的花在除中间和两端外剩余的 3 个位置：A24 ;再在其余 5 个位置种剩余的 5 种花：A55 ；总共：A24 A55 =1440
三、排列组合混合问题先选后排法
解决排列组合混合问题,先选后排是最基本的指导思想。
1
1、4 个不同小球放入编号为 1，2，3，4 的四个盒中，恰有一空盒的方法有多少种？
分析： 因恰有一空盒，故必有一盒子放两球。1）选：从四个球中选 2 个有 C42 种，从 4 个盒中选 3 个盒有 C43 种；
超全超全的排列组合的二十种解法
排列有两种定义，但计算方法只有一种，凡是符合这两种定义的都用这种方法计算。
定义的前提条件是m≦n，m与n均为自然数。
①从n个不同元素中，任取m个元素按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列。
②从n个不同元素中，取出m个元素的所有排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数。
③用具体的例子来理解上面的定义：4种颜色按不同颜色，进行排列，有多少种排列方法，如果是6种颜色呢。
从6种颜色中取出4种进行排列呢。
解：A(4,4)=4x(4-1)x(4-2)x(4-3)x(4-4+1)=4x1x2x3x1=24。
A(6,6)=6x5x4x3x2x1=720。
A(6,4)=6!/(6-4)!=(6x5x4x3x2x1)/2=360。
[计算公式]排列用符号A(n,m)表示，m≦n。
计算公式是：A(n,m)＝n(n-1)(n-2)……(n-m+1)＝n!/(n-m)!此外规定0!=1，n!表示n(n-1)(n-2) (1)例如：6!=6x5x4x3x2x1=720，4!=4x3x2x1=24。
组合的定义及其计算公式1组合的定义有两种。
定义的前提条件是m≦n。
①从n个不同元素中，任取m个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合。
②从n个不同元素中，取出m个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数。
③用例子来理解定义：从4种颜色中，取出2种颜色，能形成多少种组合。
解：C(4,2)=A(4,2)/2!={[4x(4-1)x(4-2)x(4-3)x(4-4+1)]/[2x(2-1)x(2-2+1)]}/[2x(2-1)x(2-2+1)]=[( 4x3x2x1)/2]/2=6。
[计算公式]组合用符号C(n,m)表示，m≦n。
公式是：C(n,m)=A(n,m)/m! 或C(n,m)=C(n,n-m)。
例如：C(5,2)=A(5,2)/[2!x(5-2)!]=(1x2x3x4x5)/[2x(1x2x3)]=10。
排列组合全部20种方法
排列组合全部20种方法排列组合解法解决排列组合综合性问题的一般过程如下:1.认真审题弄清要做什么事2.怎样做才能完成所要做的事,即采取分步还是分类,或是分步与分类同时进行,确定分多少步及多少类。
3.确定每一步或每一类是排列问题(有序)还是组合(无序)问题,元素总数是多少及取出多少个元素.4.解决排列组合综合性问题，往往类与步交叉，因此必须掌握一些常用的解题策略一.特殊元素和特殊位置优先策略1、由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字五位奇数.练习、7种不同的花种在排成一列的花盆里,若两种葵花不种在中间，也不种在两端的花盆里，问有多少不同的种法？二.相邻元素捆绑策略2、7人站成一排,其中甲乙相邻且丙丁相邻, 共有多少种不同的排法.练习、某人射击8枪，命中4枪，4枪命中恰好有3枪连在一起的情形的不同种数为三.不相邻问题插空策略3、一个晚会的节目有4个舞蹈,2个相声,3个独唱,舞蹈节目不能连续出场,则节目的出场顺序有多少种？练习、某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目.如果将这两个新节目插入原节目单中，且两个新节目不相邻，那么不同插法的种数为四.定序问题倍缩空位插入策略4、7人排队,其中甲乙丙3人顺序一定共有多少不同的排法？练习、10人身高各不相等,排成前后排，每排5人,要求从左至右身高逐渐增加，共有多少排法？五.重排问题求幂策略5、把6名实习生分配到7个车间实习,共有多少种不同的分法练习1．某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目.如果将这两个节目插入原节目单中，那么不同插法的种数为2. 某8层大楼一楼电梯上来8名乘客人,他们到各自的一层下电梯,下电梯的方法六.环排问题线排策略6、 8人围桌而坐,共有多少种坐法?练习、 6颗颜色不同的钻石，可穿成几种钻石圈？七.多排问题直排策略7、8人排成前后两排,每排4人,其中甲乙在前排,丙在后排,共有多少排法？前排后排练习、有两排座位，前排11个座位，后排12个座位，现安排2人就座规定前排中间的3个座位不能坐，并且这2人不左右相邻，那么不同排法的种数是八.排列组合混合问题先选后排策略8、有5个不同的小球,装入4个不同的盒内,每盒至少装一个球,共有多少不同的装法.练习、一个班有6名战士,其中正副班长各1人现从中选4人完成四种不同的任务,每人完成一种任务,且正副班长有且只有1人参加,则不同的选法有种九.小集团问题先整体后局部策略9、用1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数其中恰有两个偶数夹1,５在两个奇数之间,这样的五位数有多少个？练习、１.计划展出10幅不同的画,其中1幅水彩画,４幅油画,５幅国画, 排成一行陈列,要求同一品种的必须连在一起，并且水彩画不在两端，那么共有陈列方式的种数为 2. 5男生和５女生站成一排照像,男生相邻,女生也相邻的排法有种十.元素相同问题隔板策略10、有10个运动员名额，分给7个班，每班至少一个,有多少种分配方案？一般地,n 个不同元素作圆形排列,共有(n-1)!种排法.如果从n 个不同元素中取出m 个元素作圆形排列共有1mn A n一般地,元素分成多排的排列问题,可归结为一排考虑,再分段研解决排列组合混合问题,先选后排是最基本的指导思想.此法与相邻元素捆绑策略相似吗? 小集团排列问题中，先整体后局部，再结合其它策略进行处理。
巧解排列组合及21种模型
巧解排列组合的21种模型排列组合问题是高考的必考题，它联系实际生动有趣，但题型多样，思路灵活，不易掌握.实践证明，掌握题型和识别模式，并熟练运用，是解决排列组合的有效途径.下面就系统地介绍巧解排列组合的21种模型.1.相邻问题捆绑法:题目中规定相邻的几个元素捆绑成一个组，当作一个大元素参与排列.例1.,,,,A B C D E 五人并排站成一排，如果,A B 必须相邻且B 在A 的右边，那么不同的排法种数有A 、60种B 、48种C 、36种D 、24种解析：把,A B 视为一人，且B 固定在A 的右边，则本题相当于4人的全排列，4424A =种，答案：D .2.相离问题插空排:元素相离（即不相邻）问题，可先把无位置要求的几个元素全排列，再把规定的相离的几个元素插入上述几个元素的空位和两端.例2.七人并排站成一行，如果甲乙两个必须不相邻，那么不同的排法种数是 A 、1440种 B 、3600种 C 、4820种 D 、4800种解析：除甲乙外，其余5个排列数为55A 种，再用甲乙去插6个空位有26A 种，不同的排法种数是52563600A A =种，选B . 3.定序问题缩倍法:在排列问题中限制某几个元素必须保持一定的顺序，可用缩小倍数的方法.例3.,,,,A B C D E 五人并排站成一排，如果B 必须站在A 的右边（,A B 可以不相邻）那么不同的排法种数是A 、24种B 、60种C 、90种D 、120种解析：B 在A 的右边与B 在A 的左边排法数相同，所以题设的排法只是5个元素全排列数的一半，即551602A =种，选B . 4.标号排位问题分步法:把元素排到指定位置上，可先把某个元素按规定排入，第二步再排另一个元素，如此继续下去，依次即可完成.例4.将数字1，2，3，4填入标号为1，2，3，4的四个方格里，每格填一个数，则每个方格的标号与所填数字均不相同的填法有A 、6种B 、9种C 、11种D 、23种解析：先把1填入方格中，符合条件的有3种方法，第二步把被填入方格的对应数字填入其它三个方格，又有三种方法；第三步填余下的两个数字，只有一种填法，共有3×3×1=9种填法，选B .5.有序分配问题逐分法:有序分配问题指把元素分成若干组，可用逐步下量分组法. 例5.（1）有甲乙丙三项任务，甲需2人承担，乙丙各需一人承担，从10人中选出4人承担这三项任务，不同的选法种数是A 、1260种B 、2025种C 、2520种D 、5040种解析：先从10人中选出2人承担甲项任务，再从剩下的8人中选1人承担乙项任务，第三步从另外的7人中选1人承担丙项任务，不同的选法共有21110872520C C C =种，选C . （2）12名同学分别到三个不同的路口进行流量的调查，若每个路口4人，则不同的分配方案有A 、4441284C C C 种 B 、44412843C C C 种 C 、4431283C C A 种D 、444128433C C C A 种 答案：A .6.全员分配问题分组法:例6.（1）4名优秀学生全部保送到3所学校去，每所学校至少去一名，则不同的保送方案有多少种？解析：把四名学生分成3组有24C 种方法，再把三组学生分配到三所学校有33A 种，故共有234336C A =种方法.说明：分配的元素多于对象且每一对象都有元素分配时常用先分组再分配. （2）5本不同的书，全部分给4个学生，每个学生至少一本，不同的分法种数为 A 、480种 B 、240种 C 、120种 D 、96种 答案：B .7.名额分配问题隔板法:例7.10个三好学生名额分到7个班级，每个班级至少一个名额，有多少种不同分配方案？解析：10个名额分到7个班级，就是把10个名额看成10个相同的小球分成7堆，每堆至少一个，可以在10个小球的9个空位中插入6块木板，每一种插法对应着一种分配方案，故共有不同的分配方案为6984C =种.8.限制条件的分配问题分类法:例8.某高校从某系的10名优秀毕业生中选4人分别到西部四城市参加中国西部经济开发建设，其中甲同学不到银川，乙不到西宁，共有多少种不同派遣方案？解析：因为甲乙有限制条件，所以按照是否含有甲乙来分类，有以下四种情况： ①若甲乙都不参加，则有派遣方案48A 种；②若甲参加而乙不参加，先安排甲有3种方法，然后安排其余学生有38A 方法，所以共有383A ；③若乙参加而甲不参加同理也有383A 种；④若甲乙都参加，则先安排甲乙，有7种方法，然后再安排其余8人到另外两个城市有28A 种，共有287A 方法.所以共有不同的派遣方法总数为433288883374088A A A A +++=种.9.多元问题分类法：元素多，取出的情况也多种，可按结果要求分成不相容的几类情况分别计数，最后总计.例9.（1）由数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的六位数，其中个位数字小于十位数字的共有A 、210种B 、300种C 、464种D 、600种解析：按题意，个位数字只可能是0、1、2、3和4共5种情况，分别有55A 、113433A A A 、113333A A A 、113233A A A 和1333A A 个，合并总计300个,选B .（2）从1，2，3…，100这100个数中，任取两个数，使它们的乘积能被7整除，这两个数的取法（不计顺序）共有多少种？解析：被取的两个数中至少有一个能被7整除时，他们的乘积就能被7整除，将这100个数组成的集合视为全集I,能被7整除的数的集合记做{}7,14,21,98A =共有14个元素,不能被7整除的数组成的集合记做{}1,2,3,4,,100I A =ð共有86个元素；由此可知，从A 中任取2个元素的取法有214C ，从A 中任取一个，又从I A ð中任取一个共有111486C C ，两种情形共符合要求的取法有2111414861295C C C +=种. （3）从1，2，3，…，100这100个数中任取两个数，使其和能被4整除的取法（不计顺序）有多少种？解析：将{}1,2,3,100I =分成四个不相交的子集，能被4整除的数集{}4,8,12,100A =；能被4除余1的数集{}1,5,9,97B =，能被4除余2的数集{}2,6,,98C =，能被4除余3的数集{}3,7,11,99D =，易见这四个集合中每一个有25个元素；从A 中任取两个数符合要；从,B D 中各取一个数也符合要求；从C 中任取两个数也符合要求；此外其它取法都不符合要求；所以符合要求的取法共有211225252525C C C C ++种.10.交叉问题集合法：某些排列组合问题几部分之间有交集，可用集合中求元素个数公式()()()()n A B n A n B n A B =+-.例10.从6名运动员中选出4人参加4×100米接力赛，如果甲不跑第一棒，乙不跑第四棒，共有多少种不同的参赛方案？解析：设全集=｛6人中任取4人参赛的排列｝，A=｛甲跑第一棒的排列｝，B=｛乙跑第四棒的排列｝，根据求集合元素个数的公式得参赛方法共有：()()()()n I n A n B n A B --+⋂43326554252A A A A =--+=种. 11.定位问题优先法：某个或几个元素要排在指定位置，可先排这个或几个元素；再排其它的元素。
(完整版)排列组合问题常用方法(二十种)
解排列组合问题常用方法（二十种）一、定位问题优先法（特殊元素和特殊位置优先法）例1、由01,2,3,4,5，可以组成多少个没有重复数字五位奇数？ 分析：特殊元素和特殊位置有特殊要求，应优先考虑。
末位和首位有特殊要求。
先排末位，从1,3,5三个数中任选一个共有13C 种组合；然后排首位，从2,4和剩余的两个奇数中任选一个共有14C 种组合；最后排中间三个数，从剩余四个数中任选三个共有34A 种排列。
由分步计数原理得113344288C C A =。
变式1、7种不同的花种在排成一列的花盆里，若两种葵花不种在中间，也不种在两端的花盆里，问有多少不同的种法？分析：先种两种不同的葵花在不受限制的四个花盒中共有24A 种排列，再种其它葵花有55A 种排列。
由分步计数原理得25451440A A =。
二、相邻问题捆绑法例2、7人站成一排 ，其中甲乙相邻且丙丁相邻，共有多少种不同的排法？分析：分三步。
先将甲乙两元素捆绑成整体并看成一个复合元素，将丙丁两元素也捆绑成整体看成一个复合元素，再与其它元素进行排列，同时在两对相邻元素内部进行自排。
由分步计数原理得522522480A A A =。
变式2、某人射击8枪，命中4枪，4枪命中恰好有3枪连在一起的情形的不同种数为 。
分析：命中的三枪捆绑成一枪，与命中的另一枪插入未命中四枪形成的五个空位，共有25A 种排列。
三、相离问题插空法例3、一个晚会节目有4个舞蹈，2个相声，3个独唱，舞蹈不能连续出场，则节目出场顺序有多少种？分析：相离问题即不相邻问题。
分两步。
第一步排2个相声和3个独唱共有55A 种排列，第二步将4个舞蹈插入第一步排好后形成的6个空位中（包含首尾两个空位）共有46A 种排列，由分步计数原理得545643200A A =。
变式3、某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目，如果将这两个新节目插入原节目单中且不相邻，那么不同插法的种数为 。
排列组合常见21种解题方法精选
排列合二十一种方法排列合系生幽默，但型多，思路灵便，因此解决排列合，第一要真，弄清楚是排列、合是排列与合合；其次要抓住的本特点，采用合理合适的方法来理。
授课目1.一步理解和用分步数原理和分数原理。
2.掌握解决排列合的常用策略 ; 能运用解策略解决的合用。
提高学生解决解析的能力3.学会用数学思想和方法解决排列合 .复牢固1.分数原理 ( 加法原理 )完成一件事，有 n 法，在第1法中有 m1种不相同的方法，在第2法中有 m2种不相同的方法，⋯，在第 n 法中有 m n种不相同的方法，那么完成件事共有：N m1m2L m n种不相同的方法．2.分步数原理（乘法原理）完成一件事，需要分成n 个步，做第 1 步有m1种不相同的方法，做第2 步有m2种不相同的方法，⋯，做第 n 步有 m n种不相同的方法，那么完成件事共有：N m1m2L m n种不相同的方法．3.分数原理分步数原理区分数原理方法相互独立，任何一种方法都能够独立地完成件事。
分步数原理各步相互依存，每步中的方法完成事件的一个段，不能够完成整个事件．解决排列合合性的一般程以下:1.真弄清要做什么事2.怎做才能完成所要做的事 , 即采用分步是分 , 或是分步与分同行 , 确定分多少步及多少。
3.确定每一步或每一是排列 ( 有序 ) 是合 ( 无序 ) , 元素数是多少及取出多少个元素 .4.解决排列合合性，经常与步交织，因此必掌握一些常用的解策略一. 特别元素和特别地址先策略例 1. 由 0,1,2,3,4,5能够成多少个没有重复数字五位奇数.解: 由于末位和首位有特别要求, 先安排 , 省得不合要求的元素占了两个地址 .先排末位共有 C31尔后排首位共有 C41最后排其余地址共有 A43由分步计数原理得 C41C31 A43288C41 A 43C31地址解析法和元素解析法是解决排列组合问题最常用也是最基本的方法, 若以元素解析为主 , 需先安排特别元素 , 再办理其余元素 . 若以地址解析为主, 需先满足特别地址的要求, 再办理其余位置。
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排列组合解题策略大全一、合理分类与分步1、五个人排成一排，其中甲不在排头，乙不在排尾，不同的排法有多少种？分析：由题意可先安排甲，并按其分类讨论：1）若甲在末尾，剩下四人可自由排，有44A 种排法；2）若甲在第二，三，四位上，则有131333A A A 种排法，由分类计数原理，排法共有7813133344=+A A A A （种） 解法二(排除法):甲在排头:44A ,乙在排尾: 44A ,甲在排头且乙在排尾: 33A ,故符合题意的不同的排法为: 5443544378A A A A --+=.注: 甲在排头和乙在排尾都包含甲在排头的同时乙在排位,所以多减了要补回来.2、从某系的10名优秀毕业生中选4人分别到西部四城市参加中国西部经济开发建设，其中甲同学不到银川，乙不到西宁，共有多少种不同派遣方案？解析：因为甲乙有限制条件，所以按照是否含有甲乙来分类，有以下四种情况：① 若甲乙都不参加，则有派遣方案48A 种；②若甲参加而乙不参加，先安排甲有3种方法，然后安排其余学生有38A 方法，所以共有383A ；③若乙参加而甲不参加同理也有383A④（同例1）若甲乙都参加，则先安排甲乙，有7种方法，然后再安排其余8人到另外两个城市有28A 种，共有287A 方法.所以共有不同的派遣方法总数433288883374088A A A A +++=（种）二、特殊元素和特殊位置优先法1、0，1，2，3，4，5可以组成多少个没有重复数字的五位奇数？ 分析：特殊元素：0，1，3，5；特殊位置：首位和末位先排末位：13C ，再排首位：14C ，最后排中间三位：34A 共有：13C 14C 34A =2882、7种不同的花种在排成一列的花盆里,若两种葵花不种在中间，也不种在两端的花盆里，问有多少不同的种法？先种这两种特殊的花在除中间和两端外剩余的3个位置：24A ;再在其余5个位置种剩余的5种花：55A ；总共：24A 55A =1440三、排列组合混合问题先选后排法解决排列组合混合问题,先选后排是最基本的指导思想。
1、4个不同小球放入编号为1，2，3，4的四个盒中，恰有一空盒的方法有多少种？分析： 因恰有一空盒，故必有一盒子放两球。
1）选：从四个球中选2个有24C 种，从4个盒中选3个盒有34C 种；2）排：把选出的2个球看作一个元素与其余2球共3个元素，对选出的3盒作全排列有33A 种，故所求放法有144333424=A C C 种。
2、5个不同的小球,装入4个不同的盒内,每盒至少装一个球,共有多少不同的装法？解:第一步从5个球中选出2个组成复合元共有25C 种方法.再把4个元素(包含一个复合元素)装入4个不同的盒内有44A 种方法，根据分步计数原理装球的方法共有2454C A3、9名乒乓球运动员，其中男5名，女4名，现在要进行混合双打训练，有多少种不同的分组方法？解析：先取男女运动员各2名，有2254C C 种，这四名运动员混和双打练习有22A 中排法，故共有222542120C C A =种.4、一个班有6名战士,其中正副班长各1人现从中选4人完成四种不同的任务,每人完成一种任务,且正副班长有且只有1人参加,则不同的选法有多少种？先在正副班长中选1人：12C ，再在剩余4名战士中选3人：34C ，最后对选出的4人进行全排列：44A ，总共12C 34C 44A =192四、相邻元素捆绑法1、,,,,A B C D E 五人并排站成一排，如果,A B 必须相邻且B 在A 的右边，那么不同的排法种数有多少种？解析：把,A B 视为一人，且B 固定在A 的右边，则本题相当于4人的全排列，4424A =种，答案：D .2、7人站成一排照相，甲、乙、丙三人相邻，有多少种不同排法？分析： 把甲、乙、丙三人看作一个“元”，与其余4人共5个元作全排列，有55A 种排法，而甲乙、丙、之间又有33A 种排法，故共有55A 72033=A 种排法。
3、7人站成一排 ,其中甲乙相邻且丙丁相邻, 共有多少种不同的排法？可先将甲乙两元素捆绑成整体并看成一个复合元素，同时丙丁也看成一个复合元素，再与其它元素进行排列，同时对相邻元素内部进行自排。
55A 22A 22A =4804、用1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数其中有且只有两个偶数夹在1和５之间,这样的五位数有多少个？解：把１,５,２,４当作一个小集团与３排队共有22A 种排法，再排小集团内部共有2222A A 种排法，由分步计数原理共有222222A A A 种排法.五、不相邻（相离）问题插空法1、七人并排站成一行，如果甲乙两个不能站在一起，那么不同的排法种数有多少？解析：除甲乙外，其余5个排列数为55A 种，再用甲乙去插6个空位有26A 种，不同的排法种数是52563600A A =种，选B .2、一个晚会的节目有4个舞蹈,2个相声,3个独唱,舞蹈节目不能连续出场,则节目的出场顺序有多少种？先排除舞蹈外的5个节目为55A 种，再用4个舞蹈节目去插6个空位有46A 种，不同的排法种数是5456A A3、某人射击8枪，命中4枪，命中的4枪中恰有3枪连在一起的情形有多少种？先将未命中的4枪排好，这里不讲顺序，然后将命中的4枪分3枪和1枪两组，插入5个空，共25A 种情形。
4、马路上有8只路灯，为节约用电又不影响正常的照明，可把其中的三只灯关掉，但不能同时关掉相邻的两只或三只，也不能关掉两端的灯，那么满足条件的关灯方法共有多少种？分析：表面上看关掉第1只灯的方法有6种，关第二只，第三只时需分类讨论，十分复杂。
若从反面入手考虑，每一种关灯的方法对应着一种满足题设条件的亮灯与关灯的排列，于是问题转化为“在5只亮灯的4个空中插入3只暗灯”的问题。
故关灯方法种数为34C 。
六、定序问题缩倍法1、,,,,A B C D E 五人并排站成一排，如果B 必须站在A 的右边（,A B 可以不相邻）那么不同的排法种数有多少？ 解析：B 在A 的右边与B 在A 的左边排法数相同，所以题设的排法只是5个元素全排列数的一半，即551602A =种，选B .2、6个人排队，甲、乙、丙三人按“甲---乙---丙”顺序排的排队方法有多少种？分析： 不考虑附加条件，排队方法有66A 种，而其中甲、乙、丙的33A 种排法中只有一种符合条件。
故符合条件的排法有1203366=÷A A 种。
七、多排问题直排法1、（1）6个不同的元素排成前后两排，每排3个元素，那么不同的排法种数有多少？一般地,元素分成多排的排列问题,可归结为一排考虑,再分段研究.解析：前后两排可看成一排的两段，因此本题可看成6个不同的元素排成一排，共66720A =种，选C .（2）8个不同的元素排成前后两排，每排4个元素，其中某2个元素要排在前排，某1个元素排在后排，有多少种不同排法？解析：看成一排，某2个元素在前半段四个位置中选排2个，有24A 种，某1个元素排在后半段的四个位置中选一个有14A 种，其余5个元素任排5个位置上有55A 种，故共有1254455760A A A =种排法.2、有2排座位,前排11个座位，后排12个座位。
现在安排2人就坐,规定前排中间3个座位不能坐,并且这2个人不左右相邻,那么不同的排法共多少种？在20个可以坐的任意取2个排列,有380种,减去其中两人相邻的情况.相邻的情况有2*3+2*3+2*11=34种 所以答案为380-34=346九、自由分配求幂法1、把6名实习生分配到7个车间实习,共有多少种不同的分法 解:完成此事共分六步:把第一名实习生分配到车间有 7 种分法.把第二名实习生分配到车间也有7种分依此类推,由分步计数原理共有67种不同的排法2、某8层大楼一楼电梯上来8名乘客人,他们到各自的一层下电梯,下电梯的方法有多少种？87十、相同元素分组隔板法解：因为10个名额没有差别，把它们排成一排。
相邻名额之间形成９个空隙。
在９个空档中选６个位置插入隔板，可把名额分成７份，对应地分给７个班级，每一种插板方法对应一种分法共有69C 种分法。
一班二班三班四班七班2、10个相同的球装入5个盒中,每盒至少一有多少装法？ 49C允许重复的排列问题的特点是以元素为研究对象，元素不受位置的约束，可以逐一安排各个元素的位置，一般地n 不同的元素没有限制地安排在m 个位置上的排列数为nm 种十一、平均分组先乘后除1、将4人平均分成两组，有多少种不同的分法？分析：如果象例1一样，则有C 24=6种。
但事实上，将ABCD 四人平均分成两组，只有AB-CD 、AC-BD 、AD-BC 三种。
为什么呢？我们不难发现，从4人中选2人时，选AB 或CD 是两种不同的选法，但在分组时，AB-CD 应是同一组，即每种分法都重复了2次。
故正确的分组种数为2242223C C A =种。
2、六本不同的书，分为三组，求在下列条件下各有多少种不同的分配方法？(1)每组两本（均分三堆）(2)一组一本，一组二本，一组三本 (3)一组四本，另外两组各一本分析：（1）22264233C C C =15A (2) C 16C 25C 33=60 (3) 41162122C C C =15A 十一、非平均分组只用乘法 (分步为每个小组按数量取物）1、将6人分成1人、2人、3人三组，有多少种不同的分法？解：由乘法原理不难得到不同的分法有C 16C 25C 33=60种。
说明：这种分组将元素分成个数互不相等的组，可以直接由乘法原理求出适合条件的不同种分法。
十四、定向．．分配（小组要分给指定的对象）------用分步乘法(分步为每个对象按数量取物） 1、 六本不同的书，分给甲、乙、丙三人，求在下列条件下各有多少种不同的分配方法？ (1) 甲两本、乙两本、丙两本. (2) 甲一本、乙两本、丙三本. (3) 甲四本、乙一本、丙一本.分析：（１）法一：先平均分组：22264233C C C =15A ；再分给三人：33A ；共22264233C C C A 33A =90 此法较繁，故采用法二：先为甲选两本：26C ,再为乙选两本：24C ，最后为丙选两本：22C ； 共26C 24C 22C =90（2）先为甲选1本：16C ,再为乙选两本：25C ，最后为丙选两本：33C ；平均分成的组,不管它们的顺序如何,都是一种情况,所以分组后要一定要除以 (n 为均分的组数)避免重复计数。
说明：若将m 个元素分组，其中有r 组元素个数相同，则不同种分组方法有rr cm cm b a m a m P C C C ---说明：若将m 个元素分组，其中每组元素个数都不相同，则不同种分组方法有abm cm m am c C C C ---共16C 25C 33C =60（３）先为甲选1本：46C ,再为乙选两本：12C ，再为丙选两本：11C ；共46C 12C 11C =30十三、不定．．向．分配（小组可分给任一对象）-----先分组，再排列1、六本不同的书，分给甲、乙、丙三人，求在下列条件下各有多少种不同的分配方法？ (1) 每人两本（平均分给甲乙丙三人） (2) 一人一本、一人两本、一人三本 (3) 一人四本、一人一本、一人一本分析：此组题属于分配中的不定向分配问题，是该类题中比较困难的问题。