高考数学 统计与统计案例
高考数学复习统计与统计案例概率节变量间的相关关系与统计案例文新人教A版PPT课件
解析 易求－x＝9，－y＝4，样本点中心(9，4)代入验证，满足y^＝0.7x－2.3.
答案 C
3.两个变量y与x的回归模型中，分别选择了4个不同模型，它 们的相关指数R2如下，其中拟合效果最好的模型是( ) A.模型1的相关指数R2为0.98 B.模型2的相关指数R2为0.80 C.模型3的相关指数R2为0.50 D.模型4的相关指数R2为0.25 解析 在两个变量y与x的回归模型中，它们的相关指数R2越
最新考纲 1.会作两个有关联变量的数据的散点图，会利用 散点图认识变量间的相关关系；2.了解最小二乘法的思想， 能根据给出的线性回归方程系数公式建立线性回归方程(线性 回归方程系数公式不要求记忆)；3.了解独立性检验(只要求 2×2列联表)的基本思想、方法及其简单应用；4.了解回归分 析的基本思想、方法及其简单应用.
到
的区
域，两个变量的这种相关关系称为一负条相直关线.
(3)如果散点图中点的分布从整体上看大致在
2.线性回归方程
(1)最小二乘法：使得样本数据的点到回归直线的 距离的平方最和小的方法叫做最
小二乘法.
(2)回归方程：两个具有线性相关关系的变量的一组数据：(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，
yn)，其回归方程为
知识
1.相关关系与回归分析 梳 理 回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种
常用方法；判断相散关点性图的常用统计图是：
；统左计下量角有相关右系上数角与相关指数.
(1)在散点图中，点散布在从
到
的区
域，对于两个变量的这左种上相角关关系右，下我角们将它称为正相关.
(2)在散点图中，点散布在从
≈4.844.
则
认
为
高考数学二轮复习专题突破—统计与统计案例(含解析)
高考数学二轮复习专题突破—统计与统计案例1.某行业主管部门为了解本行业中小企业的生产情况,随机调查了100个企业,得到这些企业第一季度相对于前一年第一季度产值增长率y 的频数分布表.(1)分别估计这类企业中产值增长率不低于40%的企业比例、产值负增长的企业比例;(2)求这类企业产值增长率的平均数与标准差的估计值(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表).(精确到0.01) 附:√74≈8.602.2.(2021·江西赣州二模改编)遵守交通规则,人人有责.“礼让行人”是我国《道路交通安全法》的明文规定,也是全国文明城市测评中的重要内容.《道路交通安全法》第47条明确规定:“机动车行经人行横道时,应当减速行驶;遇行人正在通过人行横道,应当停车让行.机动车行经没有交通信号的道路时,遇行人横过道路,应当避让.否则扣3分罚200元”.下表是2021年1至4月份我市某主干路口监控设备抓拍到的驾驶员不“礼让行人”行为统计数据:(1)请利用所给数据求不“礼让行人”驾驶员人数y 与月份x 之间的经验回归方程y ^=b ^x+a ^,并预测该路口2021年10月不“礼让行人”驾驶员的大约人数(四舍五入);(2)交警从这4个月内通过该路口的驾驶员中随机抽查50人,调查驾驶员不“礼让行人”行为与驾龄的关系,得到下表:依据小概率值α=0.10的独立性检验,分析“礼让行人”行为是否与驾龄有关.参考公式:b ^=∑i=1nx i y i -nx y ∑i=1nx i 2-nx2=∑i=1n(x i -x)(y i -y)∑i=1n(x i -x)2.χ2=n(ad-bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d),其中n=a+b+c+d.3.(2021·河北石家庄二模改编)某地区在2020年底全面建成小康社会,随着实施乡村振兴战略规划,该地区农村居民的收入逐渐增加,可支配消费支出也逐年增加.该地区统计了2016~2020年农村居民人均消费支出情况,对有关数据处理后,制作如图1的折线图[其中变量y (单位:万元)表示该地区农村居民人均年消费支出,年份用变量t 表示,其取值依次为1,2,3,…].(1)由图1可知,变量y与t具有很强的线性相关关系,求y关于t的经验回归方程,并预测2021年该地区农村居民人均消费支出;2016~2020年该地区农村居民人均消费支出图1(2)在国际上,常用恩格尔系数(其含义是指食品类支出总额占个人消费支出总额的比重)来衡量一个国家和地区人民生活水平的状况.根据联合国粮农组织的标准:恩格尔系数在40%~50%为小康,30%~40%为富裕.已知2020年该地区农村居民平均消费支出构成如图2所示,预测2021年该地区农村居民食品类支出比2020年增长3%,从恩格尔系数判断2021年底该地区农村居民生活水平能否达到富裕生活标准.2020年该地区农村居民人均消费支出构成图2参考公式:经验回归方程y ^=b ^x+a ^中斜率和截距的最小二乘估计分别为:b ^=∑i=1n(x i -x)(y i -y)∑i=1n(x i -x)2=∑i=1nx i y i -nx y∑i=1nx i 2-nx 2,a ^=y −b ^x .4.(2021·山东潍坊一模)在对人体的脂肪含量和年龄之间的关系的研究中,科研人员获得了一些年龄和脂肪含量的简单随机样本数据(x i ,y i )(i=1,2,…,20,25<x i <65),其中x i 表示年龄,y i 表示脂肪含量,并计算得到∑i=120x i 2=48 280,∑i=120y i 2=15 480,∑i=120x i y i =27 220,x =48,y =27,√22≈4.7.(1)请用样本相关系数说明该组数据中y 与x 之间的关系可用线性回归模型进行拟合,并求y 关于x的经验回归方程y ^=a ^+b ^x (a ^,b ^的计算结果保留两位小数);(2)科学健身能降低人体脂肪含量,下表是甲、乙两款健身器材的使用年限(整年)统计表:某健身机构准备购进其中一款健身器材,以使用年限的频率估计概率,请根据以上数据估计,该机构选择购买哪一款健身器材,才能使用更长久?参考公式:样本相关系数r=∑i=1n(x i -x)(y i -y)√∑i=1n (x i -x)2√∑i=1n(y i -y)2=∑i=1nx i y i -nx y√∑i=1nx i 2-nx 2√∑i=1ny i 2-ny 2;对于一组具有线性相关关系的数据(x i ,y i )(i=1,2,…,n ),其经验回归直线y ^=b ^x+a ^的斜率和截距的最小二乘估计分别为:b ^=∑i=1n(x i -x)(y i -y)∑i=1n(x i -x)2,a ^=y −b ^x .答案及解析1.解 (1)根据产值增长率频数分布表得,所调查的100个企业中产值增长率不低于40%的企业频率为14+7100=0.21.产值负增长的企业频率为2100=0.02.用样本频率分布估计总体分布得这类企业中产值增长率不低于40%的企业比例为21%,产值负增长的企业比例为2%.(2)y =1100(-0.10×2+0.10×24+0.30×53+0.50×14+0.70×7)=0.30, s 2=1100[(-0.40)2×2+(-0.20)2×24+02×53+0.202×14+0.402×7]=0.029 6, s=√0.029 6=0.02×√74≈0.17.所以,这类企业产值增长率的平均数与标准差的估计值分别为0.30,0.17. 2.解 (1)由表中数据易知:x =1+2+3+44=52,y =125+105+100+904=105,则b ^=∑i=14x i y i -4x y∑i=14x i 2-4x2=995−1 05030−25=-11,a ^=y −b ^ x =105-(-11)×52=132.5,故所求经验回归方程为y ^=-11x+132.5.令x=10,则y ^=-11×10+132.5=22.5≈23(人),预测该路口10月份不“礼让行人”的驾驶员大约人数为23. (2)零假设为H 0:“礼让行人”行为与驾龄无关.由表中数据可得χ2=50×(10×12−20×8)218×32×30×20≈0.23<2.706=x 0.10,依据小概率值α=0.10的独立性检验,没有充分证据推断H 0不成立,可以认为H 0成立,即认为“礼让行人”行为与驾龄无关.3.解 (1)由已知数据可求t =1+2+3+4+55=3, y =1.01+1.10+1.21+1.33+1.405=1.21,∑i=15t i 2=12+22+32+42+52=55,∑i=15t i y i =1×1.01+2×1.10+3×1.21+4×1.33+5×1.40=19.16,b ^=19.16−5×3×1.2155−5×32=1.0110=0.101,a ^=1.21-0.101×3=0.907,所求经验回归方程为y ^=0.101t+0.907. 当t=6时,y ^=0.101×6+0.907=1.513(万元),故2021年该地区农村居民人均消费支出约为1.513万元.(2)已知2021年该地区农村居民平均消费支出1.513万元,由图2可知,2020年该地区农村居民食品类支出为4 451元,则预测2021年该地区食品类支出为4 451×(1+3%)=4 584.53元,恩格尔系数=4 584.5315 130×100%≈30.3%∈(30%,40%),所以,2021年底该地区农村居民生活水平能达到富裕生活标准.4.解 (1)x 2=2 304,y2=729,∑i=120x i y i -20x y =1 300,∑i=120x i 2-20x 2=2 200,∑i=1ny i 2-20y 2=900,r=∑i=120x i y i -20x y√∑i=120x i 2-20x 2√∑i=1ny i 2-20y2≈0.92,因为y 与x 的样本相关系数接近1,所以y 与x 之间具有较强的线性相关关系,可用线性回归模型进行拟合.由题可得,b ^=∑i=120(x i -x)(y i -y)∑i=120(x i -x)2=∑i=120x i y i -20x y∑i=120x i 2-20x2=1322≈0.591,a ^=y −b ^ x =27-0.591×48≈-1.37,所以y ^=0.59x-1.37.(2)以频率估计概率,设甲款健身器材使用年限为X (单位:年).E (X )=5×0.1+6×0.4+7×0.3+8×0.2=6.6. 设乙款健身器材使用年限为Y (单位:年).E (Y )=5×0.3+6×0.4+7×0.2+8×0.1=6.1.因为E (X )>E (Y ),所以该健身机构购买甲款健身器材更划算.。
统计与统计案例PPT课件
走向高考 ·二轮专题复习 ·新课标版 ·数学
用样本估计总体
专题七 第一讲
走向高考 ·二轮专题复习 ·新课标版 ·数学
用样本估计总体 (文)某学校为了调查学生平均每周的上网时间(单 位：h)对学习产生的影响，从高三年级随机抽取了 100 名学生， 将所得数据整理后，画出频率分布直方图(如图)，其中频率分 布直方图从左到右前 3 个小矩形的面积之比为 1：3：5，试估 计：
专题七 第一讲
走向高考 ·二轮专题复习 ·新课标版 ·数学
疑难误区警示 1．当总体数 N 不能被样本容量整除，用系统抽样法剔除 多余个体时，必须随机抽样． 2．注意中位数与平均数的区别，中位数可能不在样本数 据中．
专题七 第一讲
走向高考 ·二轮专题复习 ·新课工厂甲、乙、丙三个车
间生产了同一种产品，数量分别为 120 件，80 件，60 件，为
了解它们的产品质量是否存在显著差异，用分层抽样方法抽
取了一个容量为 n 的样本进行调查，其中从丙车间的产品中
抽取了 3 件，则 n＝( )
A．9
B．10
C．12
D．13
[答案] D
专题七 第一讲
走向高考 ·二轮专题复习 ·新课标版 ·数学
某市有大型超市 200 家、中型超市 400 家、小型超市 1400 家．为掌握各类超市的营业情况，现按分层抽样方法抽取一个 容量为 100 的样本，应抽取中型超市________家．
[答案] 20
专题七 第一讲
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[解析] 属简单题，关键是清楚每一层的抽取比例都一样 是Nn .
专题七 第一讲
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新高考数学复习专题-专题二十 统计与统计案例(原卷版)
专题二十 统计与统计案例一、单选题1．（2021·河南高二月考（文））有下列四个命题：（ ） ①在回归分析中，残差的平方和越小，模型的拟合效果越好；②在残差图中，残差点比较均匀地落在水平的带状区域内，说明选用的模型比较合适； ③若数据1x ，2x ，…，n x 的平均数为1，则12x ，22x ，…2n x 的平均数为2； ④对分类变量x 与y 的随机变量2K 的观测值k 来说，k 越小，判断“x 与y 有关系”的把握越大．其中真命题的个数为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．42．（2021·全国高二课时练习）若由一个22⨯列联表中的数据计算得2 4.013K =，那么有（ ）把握认为两个变量有关系.20()P K k ≥ 0.150.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.0010k2.072 2.7063.841 5.024 6.635 7.879 10.828A ．95%B ．97.5%C ．99%D ．99.9%第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明二、解答题3．（2021·广东汕头市·高三一模）为确保我国如期全面建成小康社会，实现第一个百年奋斗目标打下了坚实的基础．在产业扶贫政策的大力支持下，某玩具厂对原有的生产线进行技术升级，为了更好地对比升级前和升级后的效果，其中甲生产线继续使用旧的生产模式，乙生产线采用新的生产模式．质检部门随机抽检了甲、乙两条生产线的各100件玩具，在抽取的200件玩具中，根据检测结果将它们分为“A ”、“B ”、“C ”三个等级，,A B 等级都是合格品，C 等级是次品，统计结果如表所示：等级ABC频数 100 75 25（表二）合格品 次品 合计 甲 80 乙 5 合计在相关政策扶持下，确保每件合格品都有对口销售渠道，但从安全起见，所有的次品必须由厂家自行销毁．（1）请根据所提供的数据，完成上面的22⨯列联表（表二），并判断是否有99.5%的把握认为产品的合格率与技术升级有关？（2）每件玩具的生产成本为20元，,A B 等级产品的出厂单价分别为m 元、40元．若甲生产线抽检的玩具中有35件为A 等级，用样本的频率估计概率，若进行技术升级后，平均生产一件玩具比技术升级前多盈利12元，则A 等级产品的出产单价为多少元？附：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++．()20P K k ≥0.05 0.025 0.010 0.005 0.0010k3.841 5.024 6.635 7.879 10.8284．（2021·河南高二月考（文））某班主任对全班50名学生的学习积极性和对待班级工作的态度进行了调查，得出以下22⨯列联表：积极参加班级工作不太主动参加班级工作总计 学习积极性高 18725 学习积极性一般ab25 总计cd50如果随机抽查该班的一名学生，那么抽到积极参加班级工作的学生的概率是1225． （1）求a ，b ，c ，d 的值．（2）试运用独立性检验的思想方法分析：能否有99.9%的把握认为学生的学习积极性与对待班级工作的态度有关系？并说明理由．参考公式：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++．参考数据：20()P K k ≥0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.0010k2.7063.841 5.024 6.635 7.879 10.8285．（2021·内蒙古包头市·高三一模（文））某贫困县为了响应国家精准扶贫的号召，特地承包了一块土地，已知土地的使用面积以及相应的管理时间的关系如下表： 土地使用面积x （单位：亩） 1 2 3 4 5 管理时间y （单位：月）911142620并调查了某村300名村民参与管理的意愿，得到的部分数据如下表所示：愿意参与管理不愿意参与管理男性村民 140 60 女性村民40（1）求相关系数r 的大小（精确到0.01），并判断管理时间y 与土地使用面积x 的线性相关程度；（2）是否有99.9%的把握认为村民的性别与参与管理的意愿具有相关性？参考公式：()()()()12211niii nniii i x x y y r x x y y ===--=--∑∑∑，()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++．临界值表：()20P K k ≥0.100 0.050 0.025 0.010 0.0010k2.7063.841 5.024 6.635 10.82848522.02≈．6．（2021·聊城市·山东聊城一中高三一模）已知某班有50位学生，现对该班关于“举办辩论赛”的态度进行调查，，他们综合评价成绩的频数分布以及对“举办辩论赛”的赞成人数如下表：综合评价成绩（单位：分） [40，50)[50，60)[60，70)[70，80)[80，90)[90，100)频数 510151055赞成人数4812431（1）请根据以上统计数据填写下面2×2列联表，并回答：是否有95%的把握认为“综合评价成绩以80分位分界点”对“举办辩论赛”的态度有差异？综合评价成绩小于80分的人数综合评价成绩不小于80分的人数合计赞成 不赞成 合计（2）若采用分层抽样在综合评价成绩在[60，70)，[70，80)的学生中随机抽取10人进行追踪调查，并选其中3人担任辩论赛主持人，求担任主持人的3人中至少有1人在[60，70)的概率．参考公式：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++．参考数据：P()20Kk ≥0.10 0.050.010 0.005 k 02.7063.8416.6357.8797．（2021·全国高三月考（理））某购物网站统计了,A B 两款手机在2020年7月至11月的总销售量y （单位：百部），得到以下数据： 月份x 7 8 9 10 11 销售量y100120110120200（Ⅰ）已知销售量y 与月份x 满足线性相关关系，求出y 关于x 的线性回归方程，ˆˆˆybx a =+，并预测12月的手机销售量； （Ⅱ）网站数据分析人员发现：,A B 两款手机11月的销售量与顾客性别有关.请填写下面的22⨯列联表，并判断能否有超过99.5%的把握认为“,A B 两款手机11月的销售量与顾客性别有关”？男性顾客女性顾客合计A 款销售量90B 款销售量50合计90参考公式：()()()121niii ni i x x y y b x x ==--=-∑∑，ˆˆay bx =-， ()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++.临界值表：()20P K k ≥ 0.010 0.005 0.0010k6.6357.879 10.8288．（2021·湖北高三月考）近年来，明代著名医药学家李时珍故乡黄冈市蕲春县大力发展大健康产业，蕲艾产业化种植已经成为该县脱贫攻坚的主要产业之一，已知蕲艾的株高y (单位：cm)与一定范围内的温度x (单位：℃)有关，现收集了蕲艾的13组观测数据，得到如下的散点图：现根据散点图利用y a x =+dy c x=+建立y 关于x 的回归方程，令s x =，1t x=得到如下数据： xyst10.15109.943.040.16113ni ii s y s y =-⋅∑ 13113i ii t yt y =-⋅∑1322113ik ss =-∑1322113ii tt =-∑1322113ii yy =-∑13.94 -2.1 11.67 0.21 21.22且(i s ，i y )与(i t ，i y )(i ＝1，2，3，…，13)的相关系数分别为1r ，2r ，且2r ＝﹣0.9953． （1）用相关系数说明哪种模型建立y 与x 的回归方程更合适； （2）根据（1）的结果及表中数据，建立y 关于x 的回归方程；（3）已知蕲艾的利润z 与x 、y 的关系为1202z y x =-，当x 为何值时，z 的预报值最大．参考数据和公式：0.21×21.22＝4.4562，11.67×21.22＝247.6374，247.637415.7365，对于一组数据(i u ，i v )(i ＝1，2，3，…，n )，其回归直线方程v u αβ=+的斜率和截距的最小二乘法估计分别为1221ni i i nii u vnu v unuβ==-⋅=-∑∑，v u αβ=-，相关系数222211ni i nniii i u vnu vr unu vnv==-⋅=-⋅-∑∑∑．9．（2021·辽宁高三期末（文））2019年4月，中国电信公布了2019年的终端洞察报告，其中，国产手机品牌表现抢眼，统治地位不容置疑.在2018年6—11月上市的新机中，用户最满意机型与用户推荐机型的项目中国产手机优势明显，华为及荣耀手机分别占据不同价位段的榜单第一，OPPO ､vivo ､小米､魅族均有机型占据榜单.在用户满意机型调研项目中，曾经位于神坛地位的苹果手机也仅仅只有iPhoneXR 一款位列第三.最满意度机型TOP3 中国电信大于3500 2500-3499 1500-2499 1000-1499 1000元以下 第一名华为P30 ProvivoiQoo荣耀9X Vivo Z5x华为畅享9e第二名三星S10+荣耀20Pro红米K20ProOPPO A9红米7第三名iPhone XRVivo X27化为 麦芒8华为畅享9plus中兴BladeA7 （1）从上表中“华为(不含荣耀)”和“iPhoneXR ”的5个机型中任取2个，求这两个机型都是华为的概率；（2）测试数据源于消费者的反馈，从反馈信息中随机抽取500个“华为畅享9plus ”消费者，其中来自城市300个，来自农村200个，统计他们对“华为畅想9plus ”的满意情况如下：满意不满意城市 270 30 农村17030根据上表数据，问是否有95%的把握认为消费者是否满意与城市用户还是农村用户有关？(附：()()()()()22n ad bc X a b c d a c b d -=++++；当2 3.841X >时，有95%的把握说事件A与B 有关；当2 6.635X >时，有99%的把握说事件A 与B 有关；当2 3.841X ≤时，认为事件A 与B 是无关的)10．（2021·全国高三其他模拟）在我国，大学生就业压力日益严峻，伴随着政府政策的引导与社会观念的转变，大学生的创业意识与就业方向也悄然发生转变．某大学生在国家提供的税收，担保贷款等多方面的政策扶持下选择加盟某专营店自主创业，该专营店统计了近五年来创收利润数i y （单位：万元）与时间i t （单位：年）的数据，列表如下：i t1 2 3 4 5i y2.4 2.7 4.1 6.4 7.9（1）依据表中给出的数据，是否可用线性回归模型拟合与t 的关系，请计算相关系数r 并加以说明（计算结果精确到0.01）．（若0.75r>，则线性相关程度很高，可用线性回归模型拟合）（2）该专营店为吸引顾客，特推出两种促销方案． 方案一：每满500元可减50元；方案二：每满500元可抽奖一次，每次中奖的概率都为25，中奖就可以获得100元现金奖励，假设顾客每次抽奖的结果相互独立．（ⅰ）某位顾客购买了1050元的产品，该顾客选择参加两次抽奖，求该顾客换得100元现金奖励的概率（ⅱ）某位顾客购买了2000元的产品，作为专营店老板，是希望该顾客直接选择方案一返回200元现金，还是选择方案二参加四次抽奖？说明理由．附：相关系数公式：()()()()()()1122221111nnii i ii i nnnniiiii i i i tt y y t yntyr tt yy tt yy ======---=----∑∑∑∑∑∑，参考数据：56.957.547≈，5185.2i i i t y ==∑，()52110i i t t =-=∑，()52122.78i i y y =-∑11．（2021·全国高三其他模拟）人均可支配收入是反映一个地区居民收入水平和城市经济发展水平的重要指标，并且对人均消费水平有重大影响，下图是根据国家统计局发布的《2020年上半年居民收入和消费支出情况》绘制的，是我国31个省（区、市）2020年上半年人均可支配收入x （单位：元）与人均消费支出y （单位：元）的散点图．（1）由散点图可以看出，可以用线性回归模型ˆˆybx a =+拟合人均消费支出y 与人均可支配收入x 的关系，请用相关系数加以说明； （2）建立y 关于x 的线性回归方程（精确到0.01）；（3）根据（2）的结论，规定半年人均盈余（人均可支配收入-人均消费支出）不低于4620元的省（区、市）达到阶段小康的标准，则估计达到阶段小康标准的省（区、市）的半年人均可支配收入至少为多少元？ 参考数据：xy()3121=-∑ii xx()()311=--∑ii i xx y y()3121=-∑ii xx()3121=-∑ii yy15500 9632 1412000000 683900000 38000 18400参考公式：相关系数()()()()12211niii nniii i x x y y r x x y y ===--=--∑∑∑回归方程ˆˆˆybx a =+中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为()()()121ˆniii nii x x y y b x x ==--=-∑∑，ˆˆay bx =-． 12．（2021·甘肃兰州市·高三其他模拟（文））某校高二生物研究性学习小组的同学们为了研究当地某种昆虫的产卵数与温度的变化关系，他们收集了一只该种昆虫在温度C x ︒时相对应产卵数个数为y 的8组数据，为了对数据进行分析，他们绘制了如下散点图：（1）根据散点图，甲、乙两位同学分别用y bx a =+和z dx c =+（其中ln z y =）两种模型进行回归分析，试判断这两位同学得到的回归方程中，哪一个的相关指数2R 更接近1；（给出判断即可，不必说明理由）（2）根据（1）的结论选定上述两个模型中更适宜作为对昆虫产卵数与温度变化关系进行回归分析的模型，并利用下表中数据，计算该模型的回归方程： （方程表示为()y f x =的形式，数据计算结果保留两位小数） xyz81i ii x y =∑81i i i x z =∑821ii x=∑26 72 3.3 11871 757 5722（3）据测算，若只此种昆虫的产卵数超过4e ，则会发生虫害.研究性学习小组的同学通过查阅气象资料得知近期当地温度维持在25C ︒左右，试利用（2）中的回归方程预测近期当地是否会发生虫害.附：对于一组数据()()()1122,,,,,,n n u v u v u v ，其回归直线v u βα=+的斜率和截距的最小二乘估计分别为1221ˆˆˆ,nl i i ni i u v nuvv u unu βαβ==-==--∑∑. 13．（2021·全国高三月考（文））2020年11月24日我国使用长征五号运载火箭成功发射嫦娥五号月球探测器，12月17日嫦娥五号返回器携带月球样品在预定地区安全着陆，探月工程嫦娥五号任务取得圆满成功.某大学为此举行了与嫦娥系列探测工程有关的知识测试，测试满分为100分，该校某专业的100名大一学生参加了学校举行的测试，记录这100名学生的分数，将数据分成7组; [)[)[]30,40,40,50,,90,100⋯，并整理得到如下频率分布直方图：（1）估计这100名学生测试分数的中位数；（2）把分数不低于80分的称为优秀，已知这100名学生中男生有70人，其中测试优秀的男生有45人，填写下面列联表，并根据列联表判断是否有95%的把握认为测试优秀与性别有关： 男生 女生 优秀 不优秀附：20()P K k ≥0.050 0.010 0.0010k 3.841 6.635 10.828()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++ （3）对于样本中分数在[)[]80,90,90,100的人数，学校准备按比例从这2组中抽取12人，在从这12人中随机抽取3人参与学校有关的宣传活动，记这3人分数不低于90分的学生数为,X 求X 的分布列.14．（2021·江西高三其他模拟（文））某疫苗进行安全性临床试验.该疫苗安全性的一个重要指标是：注射疫苗后人体血液中的高铁血红蛋白（MetHb ）的含量（以下简称为“M 含量”）不超过1%，则为阴性，认为受试者出现血症.若一批受试者的M 含量平均数不超过0.65%，出现血症的被测试者的比例不超过5%，同时满足这两个条件则认为该疫苗在M 含量指标上是“安全的”；否则为“不安全”.现有男、女志愿者各200名接受了该疫苗注射.经数据整理，制得频率分布直方图如图.（注：在频率分布直方图中，同一组数据用该区间的中点值作代表.）（1）请说明该疫苗在M 含量指标上的安全性；（2）按照性别分层抽样，随机抽取50名志愿者进行M 含量的检测，其中女性志愿者被检测出阳性的恰好1人.请利用样本估计总体的思想，完成这400名志愿者的22⨯列联表，并判断是否有超过95%的把握认为，注射该疫苗后，高铁血红蛋白血症与性别有关？性别 阴性阳性男 女 合计阳性 阴性合计附：()()()()()22n ad bcKa b c d a c b d-=++++.()2P K k≥0.050 0.010 0.001 0k 3.841 6.635 10.82815．（2021·全国高三专题练习（文））在关研究表明，正确佩戴安全头盔，规范使用安全带能够将交通事故死亡风险大幅降低，对保护群众生命安全具有重要作用.2020年4月，“一盔一带”安全守护行动在全国各地开展.行动期间，公安交管部门将加强执法管理，依法查纠摩托车和电动自行车骑乘人员不佩戴安全头盔，汽车驾乘人员不使用安全带的行为，助推养成安全习惯.该行动开展一段时间后，某市针对电动自行车骑乘人员是否佩戴安全头盔问题进行调查，在随机调查的1000名骑行人员中，记录其年龄和是否佩戴头盔情况，得到如下的统计图表：（Ⅰ）估算该市电动自行车骑乘人员的平均年龄；（Ⅱ）根据所给的数据，完成下面的列联表：是否佩戴头盔年龄是否[)20,40[]40,70（Ⅲ）根据（Ⅱ）中的列联表，判断是否有99%把握认为遵守佩戴安全头盔与年龄有关？附：()()()()()22n ad bcKa b c d a c b d-=++++，()2P K k≥0.050 0.010 0.001k 3.841 6.635 10.82816．（2021·全国高三专题练习（文））针对偏远地区因交通不便､消息闭塞导致优质农产品藏在山中无人识的现象，各地区开始尝试将电商扶贫作为精准扶贫的重要措施.为了解电商扶贫的效果，某部门随机就100个贫困地区进行了调查，其当年的电商扶贫年度总投入(单位：万元)及当年人均可支配年收入(单位：元)的贫困地区数目的数据如下表：人均可支配年收入(元)电商扶贫年度总投入(万元)(5000，10000] (10000，15000] (15000，20000] (0，500] 5 3 2(500，1000] 3 21 6(1000，3000) 2 34 24（1）估计该年度内贫困地区人均可支配年收入过万的概率，并求本年度这100个贫困地区的人均可支配年收入的平均值的估计值(同一组数据用该组数据区间的中间值代表)；（2）根据所给数据完成下面的列联表，并判断是否有99%的把握认为当地的人均可支配年收入是否过万与当地电商扶贫年度总投入是否超过千万有关.人均可支配年收入≤10000元人均可支配年收入>10000元电商扶贫年度总投入不超过1000万电商扶贫年度总投入超过1000万附：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++.()2P K k ≥0.050 0.01 0.005 k3.8416.6357.87917．（2021·全国高三专题练习（文））为研究男、女生的身高差异，现随机从高三某班选出男生、女生各10人，并测量他们的身高，测量结果如下（单位：厘米）： 男：173 178 174 185 170 169 167 164 161 170 女：165 166 156 170 163 162 158 153 169 172（1）根据测量结果完成身高的茎叶图（单位：厘米），并分别求出男、女生身高的平均值；（2）请根据测量结果得到20名学生身高的中位数h （单位：厘米），将男、女生身高不低于h 和低于h 的人数填入下表中，并判断是否有90%的把握认为男、女生身高有差异？（3）若男生身高低于165厘米为偏矮，不低于165厘米且低于175厘米为正常，不低于175厘米为偏高.采用分层抽样的方法从以上男生中抽取5人作为样本.若从样本中任取2人，试求恰有1人身高属于正常的概率.()20P K k ≥ 0.100.05 0.025 0.010 0.005 0.0010k2.7063.8415.0246.6357.879 10.828参照公式：()()()()()22n ad bc k a b c d a c b d -=++++ 18．（2021·全国高三专题练习（文））某生物研究所研发了某种型号的新冠疫苗，为检验该种型号疫苗的效果，研究所将疫苗用在小白鼠身上进行科研实验，得到如下数据：未感染病毒感染病毒 总计未注射疫苗 a 60 m 注射疫苗 b30 n总计11090200从未注射疫苗的小白鼠中任取1只，取到“未感染病毒”的小白鼠的概率为5. （1）能否有99.9%的把握认为注射此疫苗有效？（2）在感染病毒的小白鼠中，按未注射疫苗和注射疫苗的比例抽取6只进行病理分析，然后从这6只小白鼠中随机抽取2只对注射疫苗的情况进行核实，求至少有1只为注射过疫苗的概率.附：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++. ()2P K k ≥0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k3.8415.0246.6357.87910.82819．（2021·全国高三专题练习（文））某研究部门为了研究气温变化与患流感人数多少之间的关系，在某地随机对50人进行了问卷调查得到如下列表：(附22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++)高于22.5C ︒ 不高于22.5C ︒ 合计 患流感2025不患流感15合计50（1）对上述22⨯列联表进行填空，并判断是否有99%的把握认为患流感与温度有关，说明你的理由；（2）为了了解患流感与年龄的关系，已知某地患有流感的老年､中年､青年的人数分别为108人，72人，36人.按分层抽样的方法随机抽取6人进行问卷调查，再从6人中随机抽取2人进行调查结果对比，求这2人中至少一人是中年人的概率.()2>0.10 0.05 0.025 0.01 P K kk 2.701 3.841 5.024 6.63520．（2021·山东德州市·高三一模）2021年春晚首次采用“云”传播，“云”互动形式，实现隔空连线心意相通，全球华人心连心“云团圆”，共享新春氛围，“云课堂”亦是一种真正完全突破时空限制的全方位互动性学习模式．某市随机抽取200人对“云课堂”倡议的了解情况进行了问卷调查，记Y表示了解，N表示不了解，统计结果如下表所示：（表一）了解情况Y N人数140 60（表二）男女合计Y80N40合计（1）请根据所提供的数据，完成上面的22⨯列联表（表二），并判断是否有99％的把握认为对“云课堂”倡议的了解情况与性别有关系;（2）用样本估计总体，将频率视为概率，在男性市民和女性市民中各随机抽取4人，记“4名男性中恰有3人了解云课堂倡议”的概率为1P，“4名女性中恰有3人了解云课堂倡议”的概率为2P ．试求出1P 与2P ，并比较1P 与2P 的大小． 附：临界值参考表的参考公式()20p K K ≥0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.0010K 2.7063.841 5.024 6.635 7.879 10.828()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++） 21．（2021·吉林长春市·高三二模（理））随着互联网行业、传统行业和实体经济的融合不断加深，互联网对社会经济发展的推动效果日益显著，某大型超市计划在不同的线上销售平台开设网店，为确定开设网店的数量，该超市在对网络上相关店铺做了充分的调查后，得到下列信息，如图所示（其中x 表示开设网店数量，y 表示这x 个分店的年销售额总和），现已知55118850,2000i ii i i x yy ====∑∑，求解下列问题；（1）经判断，可利用线性回归模型拟合y 与x 的关系，求解y 关于x 的回归方程； （2）按照经验，超市每年在网上销售获得的总利润w （单位：万元）满足25140w y x =--，请根据（1）中的线性回归方程，估算该超市在网上开设多少分店时，才能使得总利润最大．参考公式；线性回归方程y bx a =+，其中515221,i ii ii x y nx ya y bxb xnx==-=-=-∑∑22．（2021·河南高三月考（文））2020年初，新冠病毒肆虐．疫情期间，停课不停教学，各学校以网课形式进行教学．教育局抽样对某所学校的高三1000名学生某一周每天学习时间以及考试进行了调查，得如下频数分布表 学习时间（分钟） [)7,7.5[)7.5,8[)8,8.5[)8.5,9[)9,9.5[]9.5,10人数160190200180150120从1000名学生中抽取50名学生，调查学习时间与成绩的关系，得如下二阶列联表学习时间9小时以上（含9小时）学习时间9小时以下合计总分600分以上（含600分） 7 3 10 总分600分以下 17 23 40 合计242650（1）求出第一星期这1000名学生学习时间的中位数；（2）为了解学生们的学习状况，一次考试结束，从全年级随机抽取50人根据学习时间的多少和成绩的是否优秀列成以下列联表计算说明：有没有90%的把握认为总分600分以上和学习时间超过9小时有关附公式及表如下：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++ ()20P K K ≥ 0.150.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.0010k2.0722.7063.841 5.024 6.635 7.879 10.82823．（2021·全国高三专题练习）垃圾是人类日常生活和生产中产生的废弃物，由于排出量大，成分复杂多样，且具有污染性，所以需要无害化､减量化处理.某市为调查产生的垃圾数量，采用简单随机抽样的方法抽取20个县城进行了分析，得到样本数据()(),1,2,,20i i x y i =⋅⋅⋅，其中i x 和i y 分别表示第i 个县城的人口(单位：万人)和该县年垃圾产生总量(单位：吨)，并计算得20180i i x ==∑，2014000i i y ==∑，()202180i i x x=-=∑，()20218000ii y y =-=∑，()()201700i ii x xy y =--=∑.（1）请用相关系数说明该组数据中y 与x 之间的关系可用线性回归模型进行拟合； （2）求y 关于x 的线性回归方程，用所求回归方程预测该市10万人口的县城年垃圾产生总量约为多少吨？参考公式：相关系数()()()()12211niii nniii i x x y y r x x y y ===--=--∑∑∑，对于一组具有线性相关关系的数据()(),1,2,3,,i i x y i n =⋅⋅⋅，其回归直线y bx a =+的斜率和截距的最小二乘估计分别为()()()121nii i nii xx y yb xx==--=-∑∑，a y bx =-.24．（2021·全国高三专题练习（文））随着冬季的到来，是否应该自觉佩戴口罩成为了人们热议的一个话题.为了调查佩戴口罩的态度与性别是否具有相关性，研究人员作出相应调查，并统计数据如表所示： 认为冬季佩戴口罩十分必要 认为冬季佩戴口罩没有必要 男性 300 200 女性150150（1）判断是否有99.9%的把握认为佩戴口罩的态度与性别有关？（2）若按照分层抽样的方法从男性中随机抽取5人，再从这5人中随机抽取2人，求恰有1人认为冬季佩戴口罩十分必要的概率.参考公式：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++.参考数据：()20P K k0.100 0.050 0.010 0.001k 2.706 3.841 6.635 10.82825．（2021·全国高三专题练习）在新型冠状病毒疫情期间，某高中学校实施线上教学，为了解线上教学的效果，随机抽取了100名学生对线上教学效果进行评分(满分100分)，记低于80的评分为“效果一般”，不低于80分为“效果较好”．（1）请补充完整22⨯列联表；通过计算判断，有没有99%的把握认为线上教学效果评分为“效果较好”与性别有关？效果一般效果较好合计男20女1555合计（2）用（1）中列联表的数据估计全校线上教学的效果，用频率估计概率．从该校学生中任意抽取3人，记所抽取的3人中线上教学“效果较好”的人数为X，求X的分布列和数学期望．附表及公式：()2P K k0.150.100.050.0250.010 0k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635其中()()()()()22n ad bcka b c d a c b d-=++++，n a b c d=+++．26．（2021·全国高三专题练习）近年来，我国的电子商务行业发展迅速，与此同时，相关管理部门建立了针对电商的商品和服务评价系统.现从评价系统中选出200次成功的交易，并对其评价进行统计，对商品的好评率为35，对服务的好评率为710；其中对商品和服务均为好评的有80次（1）是否可以在犯错误概率不超过0.1的前提下，认为商品好评与服务好评有关？（2）若将频率视为概率，某人在该购物平台上进行的4次购物中，设对商品和服务全好评的次数为随机变量X：求对商品和服务全好评的次数X的分布列及其期望.()20P K k 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.0010k2.072 2.7063.841 5.024 6.635 7.879 10.82822()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++（其中n a b c d =+++）27．（2021·全国高三专题练习）某校高一年级进行安全知识竞赛（满分为100分），所有学生的成绩都不低于75分，从中抽取100名学生的成绩进行分组调研，第一组[)75,80，第二组[)80,85，，第五组[]95,100（单位：分），得到如下的频率分布直方图.（1）若竞赛成绩不低于85分为优秀，低于85分为非优秀，且成绩优秀的男学生人数为35，成绩非优秀的女学生人数为25，请判断是否有95%的把握认为竞赛成绩的优秀情况与性别有关；（2）用分层抽样方法，在成绩不低于85的学生中抽取6人，再从这6人中随机选3人发言谈体会，设这3人中成绩在[)85,90的人数为ξ，求ξ的分布列与数学期望.附：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，n a b c d =+++.临界值表：()20P K k ≥ 0.10 0.05 0.025 0.01 0.0050k2.7063.841 5.024 6.635 7.87928．（2021·全国高三专题练习）支付宝为人们的生活带来许多便利，为了了解支付宝在某市的使用情况，某公司随机抽取了100名支付宝用户进行调查，得到如下数据： 每周使用支付宝次数 1 2 3 4 5 6及以上 40岁及以下人数 3 3 4 8 7 30 40岁以上人数 4 5 6 6 4 20 合计7810141150（1）如果认为每周使用支付宝超过3次的用户“喜欢使用支付宝”，完成下面22⨯列联表，并判断能否在犯错误概率不超过0.05的前提下，认为是否“喜欢使用支付宝”与年龄有关？不喜欢使用支付宝 喜欢使用支付宝 合计 40岁及以下人数 40岁以上人数 合计（2）每周使用支付宝6次及以上的用户称为“支付宝达人”，视频率为概率，在该市所有“支付宝达人”中，随机抽取3名用户.①求抽取的3名用户中，既有40岁及以下“支付宝达人”又有40岁以上“支付宝达人”的概率；②为了鼓励40岁以上用户使用支付宝，对抽出的40岁以上“支付宝达人”每人奖励500元，记奖励总金额为X (单位：元)，求X 的数学期望.附：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++.()20P K k ≥ 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.0010k2.0722.7063.841 5.024 6.635 7.879 10.82829．（2021·全国高三专题练习）2019年4月，江苏省发布了高考综合改革实施方案，试行“312++”高考新模式.为调研新高考模式下，某校学生选择物理或历史与性别是否有。
江苏2018届高考数学总复习专题11.2统计与统计案例试题含解析
专题11.2 统计与统计案例【三年高考】1. 某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品，产量分别为200，400，300，100件．为检验产品的质量，现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取60件进行检验，则应从丙种型号的产品中抽取▲ 件．【答案】18【解析】应从丙种型号的产品中抽取30060181000⨯=件，故答案为18．【考点】分层抽样【名师点睛】在分层抽样的过程中，为了保证每个个体被抽到的可能性是相同的，这就要求各层所抽取的个体数与该层所包含的个体数之比等于样本容量与总体的个体数之比，即n i∶N i＝n∶N．2.【2016江苏】已知一组数据4.7，4.8，5.1，5.4，5.5，则该组数据的方差是 . 【答案】0.1【考点】方差【名师点睛】本题考查的是总体特征数的估计，重点考查了方差的计算，本题有一定的计算量，属于简单题.认真梳理统计学的基础理论，特别是系统抽样和分层抽样、频率分布直方图、方差等，针对训练近几年的江苏高考类似考题，直观了解本考点的考查方式，强化相关计算能力.3．【2015江苏高考，2】已知一组数据4，6，5，8，7，6，那么这组数据的平均数为________. 【答案】6【解析】46587666x+++++==【考点定位】平均数4. 【2017课标3，理3】某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量（单位：万人）的数据，绘制了下面的折线图．根据该折线图，下列结论错误的是A ．月接待游客量逐月增加B ．年接待游客量逐年增加C ．各年的月接待游客量高峰期大致在7,8月D ．各年1月至6月的月接待游客量相对7月至12月，波动性更小，变化比较平稳【答案】A【解析】【考点】 折线图【名师点睛】将频率分布直方图中相邻的矩形的上底边的中点顺次连结起来，就得到一条折线，我们称这条折线为本组数据的频率折线图，频率分布折线图的的首、尾两端取值区间两端点须分别向外延伸半个组距，即折线图是频率分布直方图的近似，他们比频率分布表更直观、形象地反映了样本的分布规律.5. 【2017山东，理5】为了研究某班学生的脚长（单位：厘米）和身高y （单位：厘米）的关系，从该班随机抽取10名学生，根据测量数据的散点图可以看出y 与之间有线性相关关系，设其回归直线方程为ˆˆˆybx a =+．已知101225i i x ==∑，1011600i i y ==∑，ˆ4b =．该班某学生的脚长为24，据此估计其身高为（A ）160 （B ）163 （C ）166 （D ）170【答案】C【解析】试题分析：由已知22.5,160,160422.570,42470166x y a y ==∴=-⨯==⨯+= ,选C.【考点】线性相关与线性回归方程的求法与应用．【名师点睛】（1）判断两个变量是否线性相关及相关程度通常有两种方法：（1）利用散点图直观判断；（2）将相关数据代入相关系数公式求出，然后根据的大小进行判断．求线性回归方程时在严格按照公式求解时，一定要注意计算的准确性．6. 【2017课标1，文2】为评估一种农作物的种植效果，选了n 块地作试验田．这n 块地的亩产量（单位：kg ）分别为x 1，x 2，…，x n ，下面给出的指标中可以用来评估这种农作物亩产量稳定程度的是A ．x 1，x 2，…，x n 的平均数B ．x 1，x 2，…，x n 的标准差C ．x 1，x 2，…，x n 的最大值D ．x 1，x 2，…，x n 的中位数【答案】B【解析】 试题分析：刻画评估这种农作物亩产量稳定程度的指标是标准差，故选B【考点】样本特征数【名师点睛】众数：一组数据出现次数最多的数叫众数，众数反应一组数据的多数水平； 中位数：一组数据中间的数，（起到分水岭的作用）中位数反应一组数据的中间水平； 平均数：反应一组数据的平均水平；方差：方差是和中心偏离的程度，用来衡量一批数据的波动大小（即这批数据偏离平均数的大小）并把它叫做这组数据的方差．在样本容量相同的情况下，方差越大，说明数据的波动越大，越不稳定．标准差是方差的算术平方根，意义在于反映一个数据集的离散程度．7. 【2017山东，文8】如图所示的茎叶图记录了甲、乙两组各5名工人某日的产量数据（单位：件）.若这两组数据的中位数相等,且平均值也相等,则x 和y 的值分别为A. 3，5B. 5，5C. 3，7D. 5，7【答案】A【解析】【考点】茎叶图、样本的数字特征【名师点睛】由茎叶图可以清晰地看到数据的分布情况,这一点同频率分布直方图类似.它优于频率分布直方图的第一点是从茎叶图中能看到原始数据,没有任何信息损失,第二点是茎叶图便于记录和表示.其缺点是当样本容量较大时,作图较繁琐. 利用茎叶图对样本进行估计是,要注意区分茎与叶,茎是指中间的一列数,叶是从茎的旁边生长出来的数.8.【2016高考新课标3理数改编】某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中︒，B 月平均最高气温和平均最低气温的雷达图．图中A点表示十月的平均最高气温约为15C︒．下面叙述不正确的是．点表示四月的平均最低气温约为5C︒以上②七月的平均温差比一月的平均温差大①各月的平均最低气温都在0C︒的月份有5个③三月和十一月的平均最高气温基本相同④平均气温高于20C【答案】④【解析】︒均在虚线框内，所以各月的平均最低气温都在0℃以上，①正确；由试题分析：由图可知0C图可在七月的平均温差大于7.5C ︒，而一月的平均温差小于7.5C ︒，所以七月的平均温差比一月的平均温差大，②正确；由图可知三月和十一月的平均最高气温都大约在5C ︒，基本相同，③正确；由图可知平均最高气温高于20℃的月份有3个或2个，所以④不正确． 考点：1、平均数；2、统计图．【易错警示】解答本题时易错可能有两种：（1）对图形中的线条认识不明确，不知所措，只觉得是两把雨伞重叠在一起，找不到解决问题的方法；（2）估计平均温差时易出现错误，错选②．9．【2016高考上海理数】某次体检，6位同学的身高（单位：米）分别为1.72,1.78,1.75,1.80,1.69,1.77则这组数据的中位数是_________（米）.【答案】1.76【解析】试题分析：将这6位同学的身高按照从矮到高排列为：1.69,1.72,1.75，1.77,1.78，1.80，这六个数的中位数是1.75与1.77的平均数，显然为1.76.考点：中位数的概念.【名师点睛】本题主要考查中位数的概念，是一道基础题目.从历年高考题目看，涉及统计的题目，往往不难，主要考查考生的视图、用图能力，以及应用数学解决实际问题的能力. 10．2016高考北京文数】某网店统计了连续三天售出商品的种类情况：第一天售出19种商品，第二天售出13种商品，第三天售出18种商品；前两天都售出的商品有3种，后两天都售出的商品有4种，则该网店①第一天售出但第二天未售出的商品有______种；②这三天售出的商品最少有_______种.【答案】①16；②29C BA139142考点： 统计分析【名师点睛】本题将统计与实际情况结合，创新味十足，是能力立意的好题，关键在于分析商品出售的所有可能的情况，分类讨论做到不重复不遗漏，另外，注意数形结合思想的运用.11．【2015高考重庆，文4改编】重庆市2013年各月的平均气温（°C）数据的茎叶图如下 08 9 12 5 8 20 0 3 3 8 3 1 2则这组数据中的中位数是 ．【答案】20【解析】由茎叶图可知总共12个数据，处在正中间的两个数是第六和第七个数，它们都是20，由中位数的定义可知：其中位数就是20．12.【2015高考陕西，文2改编】某中学初中部共有110名教师，高中部共有150名教师，其性别比例如图所示，则该校女教师的人数为 ．（高中部）（初中部）男男女女60%70%【答案】137 【解析】由图可知该校女教师的人数为11070%150(160%)7760137⨯+⨯-=+=．13．【2015高考湖北，文2改编】我国古代数学名著《九章算术》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1534石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为 石．【答案】169【解析】设这批米内夹谷的个数为x ，则由题意并结合简单随机抽样可知，282541534x =，即281534169254x =⨯≈． 14.【2015高考广东，文12】已知样本数据1x ，2x ，⋅⋅⋅，n x 的均值5x =，则样本数据121x +，221x +，⋅⋅⋅，21n x +的均值为 ．【答案】11【解析】因为样本数据1x ，2x ，⋅⋅⋅，n x 的均值5x =，所以样本数据121x +，221x +，⋅⋅⋅，21n x +的均值为2125111x +=⨯+=，所以答案应填：11．15.【2015高考北京，文14】高三年级267位学生参加期末考试，某班37位学生的语文成绩，数学成绩与总成绩在全年级中的排名情况如下图所示，甲、乙、丙为该班三位学生．从这次考试成绩看，①在甲、乙两人中，其语文成绩名次比其总成绩名次靠前的学生是 ；②在语文和数学两个科目中，丙同学的成绩名次更靠前的科目是 ．【答案】乙；数学【解析】①由图可知，甲的语文成绩排名比总成绩排名靠后；而乙的语文成绩排名比总成绩排名靠前，故填乙.②由图可知，比丙的数学成绩排名还靠后的人比较多；而总成绩的排名中比丙排名靠后的人数比较少，所以丙的数学成绩的排名更靠前，故填数学.16.【2015高考北京，文17】某超市随机选取1000位顾客，记录了他们购买甲、乙、丙、丁四种商品的情况，整理成如下统计表，其中“√”表示购买，“×”表示未购买．（I ）估计顾客同时购买乙和丙的概率；（II ）估计顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买中商品的概率；（III ）如果顾客购买了甲，则该顾客同时购买乙、丙、丁中那种商品的可能性最大？ （Ⅲ）与（Ⅰ）同理，可得：顾客同时购买甲和乙的概率可以估计为2000.21000=，顾客同时购买甲和丙的概率可以估计为1002003000.61000++=，顾客同时购买甲和丁的概率可以估计为1000.11000=，所以，如果顾客购买了甲，则该顾客同时购买丙的可能性最大. 16.【2015高考广东，文17】某城市100户居民的月平均用电量（单位：度），以[)160,180，[)180,200，[)200,220，[)220,240，[)240,260，[)260,280，[]280,300分组的频率分布直方图如图2．（1）求直方图中x 的值；（2）求月平均用电量的众数和中位数；（3）在月平均用电量为[)220,240，[)240,260，[)260,280，[]280,300的四组用户中，用分层抽样的方法抽取11户居民，则月平均用电量在[)220,240的用户中应抽取多少户？【解析】（1）由()0.0020.00950.0110.01250.0050.0025201x ++++++⨯=得：0.0075x =，所以直方图中x 的值是0.0075（2）月平均用电量的众数是2202402302+=，因为()0.0020.00950.011200.450.5++⨯=<，所以月平均用电量的中位数在[)220,240内，设中位数为a ，由()()0.0020.00950.011200.01252200.5a ++⨯+⨯-=得：224a =，所以月平均用电量的中位数是224（3）月平均用电量为[)220,240的用户有0.01252010025⨯⨯=户，月平均用电量为[)240,260的用户有0.00752010015⨯⨯=户，月平均用电量为[)260,280的用户有0.0052010010⨯⨯=户，月平均用电量为[]280,300的用户有0.0025201005⨯⨯=户，抽取比例11125151055==+++，所以月平均用电量在[)220,240的用户中应抽取12555⨯=户【2018年高考命题预测】概率统计试题在试卷中的题型仍是填空题型，纵观近几年高考数学试卷中，概率与统计是必考题，而且是基础题，有时以直方图或茎叶图提供问题的背景信息，预测2018年仍会出现此类题，因此掌握概率与统计的基础知识是学习的关键.【2018年高考考点定位】本知识点主要是：随机抽样常以选择、填空题考查分层抽样，难度较低.在用样本估计总体中，会读图、识图，会从频率分布直方图中分析样本的数字特征（众数、中位数、平均数等）；重视茎叶图；要重视线性回归方程，不仅会利用公式求，还要能分析其特点（正相关、负相关、回归方程过样本点中心）；重视独立性检验（ 2×2列联表）.【考点1】抽样方法、总体分布的估计【备考知识梳理】1.简单随机抽样：一般地，设一个总体的个体数为N ，如果通过逐个抽取的方法从中抽取一个样本，且每次抽取时各个个体被抽到的概率相等，就称这样的抽样为简单随机抽样.2.分层抽样：当已知总体由差异明显的几部分组成时，为了使样本更充分地反映总体的情况，常将总体分成几部分，然后按照各部分所占的比进行抽样，这种抽样叫做分层抽样.3.总体：在数理统计中，通常把被研究的对象的全体叫做总体.4.频率分布：用样本估计总体，是研究统计问题的基本思想方法，样本中所有数据（或数据组）的频数和样本容量的比，就是该数据的频率.所有数据（或数据组）的频率的分布变化规律叫做样本的频率分布.可以用样本频率表、样本频率分布条形图或频率分布直方图来表示.【规律方法技巧】分层抽样的步骤：（1）分层；（2）按比例确定每层抽取个体的个数；（3）各层抽样（方法可以不同）；（4）汇合成样本.解决总体分布估计问题的一般程序如下：（1）先确定分组的组数（最大数据与最小数据之差除以组距得组数）；（2）分别计算各组的频数及频率（频率=总数频数）；（3）画出频率分布直方图，并作出相应的估计.【考点针对训练】1.某小区共有1000户居民，现对他们的用电情况进行调查，得到频率分布直方图如图所示,则该小区居民用电量的中位数为 ，平均数为 ．【答案】155;156.8【解析】根据中位数的定义知中位数由200.005200.0150.0200.5m ⨯+⨯+⨯=，解得5m =，所以中位数为：1505155+=；平均数为：1200.0051400.0151600.0201800.0052000.0032200.002156.8⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=，所以答案为：155;156.8．2.某城市100户居民的月平均用电量（单位：度），以[)160,180，[)180,200，[)200,220，[)220,240，[)240,260，[)260,280，[]280,300分组的频率分布直方图如图．（1）求直方图中的值；（2）求月平均用电量的众数和中位数；（3）在月平均用电量为[)220,240，[)240,260，[)260,280，[]280,300的四组用户中，用分层抽样的方法抽取11户居民，则月平均用电量在[)220,240的用户中应抽取多少户？ 【解析】（1）由()0.0020.00950.0110.01250.0050.0025201x ++++++⨯=得：0.0075x =，所以直方图中的值是0.0075．（2）月平均用电量的众数是2202402302+=；因为()0.0020.00950.011200.450.5++⨯=<，所以月平均用电量的中位数在[)220,240内，设中位数为，由()()0.0020.00950.011200.01252200.5a ++⨯+⨯-=得：224a =，所以月平均用电量的中位数是224．【考点2】相关性、最小二乘估计与统计案例 【备考知识梳理】1．相关性(1)通常将变量所对应的点描出来，这些点就组成了变量之间的一个图，通常称这种图为变量之间的散点图．(2)从散点图上，如果变量之间存在某种关系，这些点会有一个集中的大致趋势，这种趋势通常可以用一条光滑的曲线来近似，这样近似的过程称为曲线拟合．(3)若两个变量x 和y 的散点图中，所有点看上去都在一条直线附近波动，则称变量间是线性相关，若所有点看上去都在某条曲线(不是一条直线)附近波动，称此相关是非线性相关． 如果所有的点在散点图中没有显示任何关系，则称变量间是不相关的． 2．回归方程 (1)最小二乘法如果有n 个点(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )，可以用表达式[y 1－(a ＋bx 1)]2＋[y 2－(a ＋bx 2)]2＋…＋[y n －(a ＋bx n )]2来刻画这些点与直线y ＝a ＋bx 的接近程度，使得上式达到最小值的直线y ＝a ＋bx 就是我们所要求的直线，这种方法称为最小二乘法． (2)回归方程方程y ＝bx ＋a 是两个具有线性相关关系的变量的一组数据(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )的回归方程，其中a ，b 是待定参数．∑∑∑∑=-=--=--=-Λ--=---=ni ni i ni ii ni ixn xy x n yx x xy y x xb 12211121)())((，-Λ-Λ-=x b y a3．回归分析(1)定义：对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种常用方法． (2)样本点的中心对于一组具有线性相关关系的数据(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )，其回归直线y ＝bx ＋a 的斜率和截距的最小二乘法估计分别为：∑∑∑∑=-=--=--=-Λ--=---=ni ni i ni ii ni ixn xy x n yx x xy y x xb 12211121)())((，-Λ-Λ-=x b y a ）.其中x ＝1n ∑i ＝1nx i ，y ＝1n ∑i ＝1ny i ，(x ，y )称为样本点的中心．(3)相关系数①1()()nniii x x y y x yn x yr -------==∑∑r ＞0时，表明两个变量正相关；当r ＜0时，表明两个变量负相关．r 的绝对值越接近于1，表明两个变量的线性相关性越强．r 的绝对值越接近于0，表明两个变量之间几乎不存在线性相关关系． 4．独立性检验(1)设A ，B 为两个变量，每一个变量都可以取两个值，变量A ：A 1，A 2＝A 1；变量B ：B 1，B 2＝B 1. 2×2列联表构造一个随机变量2()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++其中d c b a n +++=为样本容量．(2)独立性检验:利用随机变量来判断“两个变量有关联”的方法称为独立性检验． (3)当数据量较大时，在统计中，用以下结果对变量的独立性进行判断①当χ2≤2.706时，没有充分的证据判定变量A ，B 有关联，可以认为变量A ，B 是没有关联的；②当χ2＞2.706时，有90%的把握判定变量A ，B 有关联； ③当χ2＞3.841时，有95%的把握判定变量A ，B 有关联； ④当χ2＞6.635时，有99%的把握判定变量A ，B 有关联．【规律方法技巧】1．“相关关系与函数关系”的区别：函数关系是一种确定性关系，体现的是因果关系；而相关关系是一种非确定性关系，体现的不一定是因果关系，可能是伴随关系．2．三点提醒： 一是回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的方法，只有在散点图大致呈线性时，求出的线性回归方程才有实际意义，否则，求出的线性回归方程毫无意义．二是根据回归方程进行预报，仅是一个预报值，而不是真实发生的值．三是独立性检验得出的结论是带有概率性质的，只能说结论成立的概率有多大，而不能完全肯定一个结论，因此才出现了临界值表，在分析问题时一定要注意这点，不可对某个问题下确定性结论，否则就可能对统计计算的结果作出错误的解释．3.正确理解计算b ，a 的公式和准确的计算是求线性回归方程的关键．回归直线方程y ＝bx ＋a 必过样本点中心(x ，y )．在分析两个变量的相关关系时，可根据样本数据作出散点图来确定两个变量之间是否具有相关关系，若具有线性相关关系，则可通过线性回归方程来估计和预测．4.利用独立性检验，能够帮助我们对日常生活中的实际问题作出合理的推断和预测．独立性检验就是考察两个分类变量是否有关系，并能较为准确地给出这种判断的可信度，具体做法是根据公式22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，计算2K 值，2K 值越大，说明“两个变量有关系”的可能性越大． 【考点针对训练】1.已知x 、y 的取值如下表所示，若y 与x 线性相关，且yˆ＝0．95x ＋，则＝____________．【答案】6.2 【解析】244310=+++=x ，5.447.68.43.42.2=+++=y ，样本中心点，在回归直线上，所以代入aˆ295.05.4+⨯=，所以6.2ˆ=a 2.为大力提倡“厉行节约，反对浪费”，某市通过随机询问100名性别不同的居民是否能做到“光盘”行动，得到如下的列联表：附：22n(ad bc )K (a b )(c d )(a c )(b d )-=++++参照附表，在如下结论：A ．在犯错误的概率不超过l ％的前提下，认为“该市居民能否做到‘光盘’与性别有关”B ．在犯错误的概率不超过l ％的前提下，认为“该市居民能否做到‘光盘’与性别无关”C ．有90％以上的把握认为“该市居民能否做到‘光盘’与性别有关”D ．有90％以上的把握认为“该市居民能否做到‘光盘’与性别无关” 中正确的是 ． 【答案】C【解析】由表计算得：22100(45153010)==3.0355457525K ⨯-⨯⨯⨯⨯，所以有90％以上的把握认为“该市居民能否做到‘光盘’与性别有关”，填C ．【两年模拟详解析】1. 【苏北三市（连云港、徐州、宿迁）2017届高三年级第三次调研考试】已知一组数据3，6，9，8，4，则该组数据的方差是__________． 【答案】 (或5.2)【解析】2. 【2016-2017学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研（二）】下表是一个容量为10的样本数据分组后的频数分布.若利用组中值近似计算本组数据的平均数x ，则x 的值为 ．【答案】19.7 【解析】3. 【南京市、盐城市2017届高三年级第一次模拟】已知样本数据12345,,,,x x x x x 的方差23s =，则样本数据123452,2,2,2,2x x x x x 的方差为 ▲ . 【答案】12【解析】由题意得方差为2224312s =⨯=4. 【2017年第三次全国大联考江苏卷】已知样本7,8,9,,x y 的平均数为，且60xy =，则此样本的方差为_____________． 【答案】2 【解析】因为78985x y++++=，所以16x y +=，而60xy =，所以610x y =⎧⎨=⎩或106x y =⎧⎨=⎩，从而样本的方差为22221[(1)01(2)2]25⨯-+++-+=．5. 【2017年高考原创押题预测卷02（江苏卷）】某人次上班途中所花的时间（单位：分钟）分别为9,11,10,8,12，则这组数据的标准差为_______. 【答案】2【解析】因为这组数据的平均数是10591110812=++++=x ，所以其方差25)109()1011()1010()108()1012(222222=-+-+-+-+-=s ，故所求这组数据的标准差2=s .6. 【淮安、宿迁、连云港、徐州苏北四市2016届高三第二次调研】交通部门对某路段公路上行驶的汽车速度实施监控，从速度在h km /9050-的汽车中抽取150辆进行分析，得到数据的频率分布直方图如图所示，则速度在h km /70以下的汽车有 辆．）【答案】75【解析】由频率分布直方图得，速度在h km /70以下的汽车所占频率为(0.020.03)100.5+⨯=，则速度在h km /70以下的汽车有1500.575⨯=辆7．【江苏省清江中学数学模拟试卷】某棉纺厂为了了解一批棉花的质量，从中随机抽取了100根棉花纤维的长度（棉花纤维的长度是棉花质量的重要指标），所得数据都在区间[5,40]中，其频率分布直方图如图所示，则其抽样的100根中，有 根在棉花纤维的长度大于25mm.【答案】40【解析】(0.0550.0250.015)10040⨯+⨯+⨯⨯=．8．【扬州市2015—2016学年度第一学期期末检测试题】某学校从高三年级共800名男生中随机抽取50名测量身高. 据测量被测学生身高全部介于155cm 和195cm 之间，将测量结果按如下方式分成八组：第一组[)160155，、第二组[)165160，、……、第八组[]195190，. 按上述分组方式得到的频率分布直方图的一部分如图所示，估计这所学校高三年级全体男生身高180cm 以上（含180cm ）的人数为 .【答案】144【解析】由图得，身高180cm 以上（含180cm ）的频率为()150.0080.0160.0420.060.18-⨯++⨯+=，则人数为8000.18144⨯=9．【南京市、盐城市2016届高三年级第一次模拟考试数学】某校高一年级有学生400人，高二年级有学生360人，现采用分层抽样的方法从全校学生中抽出55人，其中从高一年级学生中抽出20人，则从高三年级学生中抽取的人数为 . 【答案】17【解析】高一高二人数之比为10:9，因此高二抽出的人数为18人，高三抽出的人数为55-20-18=17人10．【苏州市2016届高三年级第一次模拟考试】若一组样本数据9，8，x ，10，11的平均数为10，则该组样本数据的方差为 ． 【答案】2【解析】由题意得12x =，因此方差为221(12201)25++++=11．【江苏省扬州中学2015—2016学年第二学期质量检测】在一段时间内有2000辆车通过高速公路上的某处，现随机抽取其中的200辆进行车速统计，统计结果如下面的频率分布直方图所示．若该处高速公路规定正常行驶速度为90km/h ～120km/h ，试估计2000辆车中，在这段时间内以正常速度通过该处的汽车约有________辆．【答案】1700【解析】2000(0.0350.030.02)101700⨯++⨯=12．【南京市、盐城市2016届高三年级第二次模拟考试】如图所示，一家面包销售店根据以往某种面包的销售记录，绘制了日销售量的频率分布直方图．若一个月以30天计算，估计这家面包店一个月内日销售量不少于150个的天数为 ．【答案】【解析】950)002.0004.0(30=⨯+⨯13．【江苏省南京市2016届高三年级第三次学情调研适应性测试】一个社会调查机构就某地居民的月收入调查了10000人，并根据所得数据画了样本的频率分布直方图（如图）．为了分析居民的收入与年龄、学历、职业等方面的关系，要从这10000人中再用分层抽样方法抽出100人作进一步调查，则月收入在[2500，3000)范围内的应抽出人.【答案】25⨯⨯=【解析】由题意得：0.00055001002514．【南京市2016届高三年级第三次模拟考试】甲、乙两位选手参加射击选拔赛，其中连续5轮比赛的成绩（单位：环）如下表：则甲、乙两位选手中成绩最稳定的选手的方差是．【答案】0.02【一年原创真预测】1. 以下四个命题中：R的值判断模型的拟合效果, 2R越大，模型的拟合效果越①在回归分析中，可用相关指数2好；②两个随机变量的线性相关性越强，相关系数的绝对值越接近于1；③若数据123,,n x x x x 的方差为1，则1232,2,22n x x x x 的方差为2；④对分类变量与y 的随机变量2k 的观测值k 来说，k 越小，判断“x 与y 有关系”的把握程度越大．其中真命题的个数为 ． 【答案】2【入选理由】本题考查特称命题真假的判断，回归分析，相关系数，独立性检验等基础知识，意在考查考生转化能力，分析问题解决问题的能力，运算求解能力.此类知识属于高考冷门问题，近年高考有所重视，应多注意，故选此题.2.某单位为了了解某办公楼用电量y (度)与气温x (oC)之间的关系，随机统计了四个工作日的用电量与当天平均气温，并制作了对照表：得到的回归方程为a bx y+=ˆ，则a 0,b 0. 【答案】＞，＜【解析】依题意，画散点图知，两个变量负相关，所以0<b ，0>a .【入选理由】本题考查考查散点图、线性回归方程等基础知识，意在考查考生分析问题解决问题的能力，运算求解能力.近年高考加强了对线性回归方程的考查，应多注意，故选此题. 3.2015国际滑联世界花样滑冰锦标赛于3月23日至29日在上海举行，为调查市民喜欢这项赛事是否与年龄有关，随机抽取了55名市民，得到如下数据表：。
高考数学统计与统计案例专题讲解
[明考情—备考如何学] 1．以选择题、填空题的形式考查随机抽样、样本的数字特征、统计图表、回归方 程、独立性检验等． 2．在概率与统计的交汇处命题，以解答题中档难度出现．
[研考点考向·破重点难点]
考点 1 抽样方法(基础型)
[知识整合] 1.简单随机抽样特点是从总体中逐个抽取．适用范围：总体中的个体较少． 2.系统抽样特点是将总体均分成几部分，按事先确定的规则在各部分中抽取．适用范 围：总体中的个体数较多． 3.分层抽样特点是将总体分成几层，分层进行抽取．适用范围：总体由差异明显的几 部分组成． [注意] 无论哪种抽样方法，每一个个体被抽到的概率都是相等的，都等于样本容量 和总体容量的比值．
解析：由题意得，从随机数表第 行第 8 列的数开始向右读，符合条件的前三个编 号依次是 331，455，068，故抽取的第 3 支疫苗的编号是 068. 答案：068
3．200 名职工年龄分布如图所示，从中随机抽取 40 名职工作样本，采用系统抽样 方法，按 1～200 编号分为 40 组，分别为 1～5，6～10，…，196～200，第 5 组抽 取号码为 23，第 9 组抽取号码为________；若采用分层抽样，40～50 岁年龄段应 抽取________人．
答案：0.98
3．(2019·高考全国卷Ⅰ)某商场为提高服务质量，随机调查了 50 名男顾客和 50 名女 顾客，每位顾客对该商场的服务给出满意或不满意的评价，得到下面列联表：
满意
不满意
男顾客
40
10
女顾客
30
20
(1)分别估计男、女顾客对该商场服务满意的概率；
(2)能否有 95%的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异？
第二部分 高考热点 分层突破
(旧教材适用)2023高考数学一轮总复习第十章统计统计案例第3讲变量间的相关关系与统计案例课件
抽取次序 9 10 11 12 13 14 15 16 零件尺寸 10.26 9.91 10.13 10.02 9.22 10.04 10.05 9.95
经
计
算
得
－x
＝
1 16
16
x
i
＝
9.97
，
s
＝
i＝1
1 16
16
xi－－x 2
＝
i＝1
0.050 0.010
k0
3.841 6.635
附：K2＝a＋bcn＋add－ab＋cc2b＋d.
0.005 7.879
0.001 10.828
解析 根据题目所给数据得到如下 2×2 列联表：
乐观
不乐观
总计
国内代表
60
40
100
国外代表
40
60
100
总计
100
100
200
则 K2＝20100×0×6100×0×601－004×0×104002＝8>6.635，所以有 99%的把握认为是否
∵y 与 x 的相关系数近似为 0.9966，说明 y 与 x 的线性相关程度相当强，
∴可以用线性回归模型拟合 y 与 x 的关系．
(3)建立 y 关于 x 的回归方程，预测第 5 年的销售量约为多少？
参考数据：
∑4
i＝1
yi－－y 2≈32.7，
5≈2.24，i∑＝4 1xiyi＝418.
参考公式：
(3)回归分析 ①定义：对具有 □06 相关关系的两个变量进行统计分析的一种常用方法． ②样本点的中心：在具有线性相关关系的数据(x1，y1)，(x2，y2)，…， (xn，yn)中，－x ＝1n(x1＋…＋xn)，－y ＝1n(y1＋…＋yn)，a^ ＝－y －b^ －x ，(－x ，－y ) 称为样本点的中心．
高中数学《统计与统计案例》课件
设施投资额的变化规律呈线性增长趋势，利用 2010 年至 2016 年的数据建立的线性模型y ＝99＋17.5t 可以较好地描述 2010 年以后的环境基础设施投资额的变化趋势，因此利用 模型②得到的预测值更可靠.
13
考点整合
1.抽样方法 抽样方法包括简单随机抽样、系统抽样、分层抽样，三种抽样方法都是等概率抽样， 体现了抽样的公平性，但又各有其特点和适用范围.
位，则该校阅读过《西游记》的学生人数与该校学生总数比值的估计值为( )
A.0.5
B.0.6
C.0.7
D.0.8
解析 法一 设调查的 100 位学生中阅读过《西游记》的学生人数为 x，则 x＋80－60
＝90，解得 x＝70，所以该校阅读过《西游记》的学生人数与该校学生总数比值的估计
值为17000＝0.7.故选 C.
解 (1)由调查数据，男顾客中对该商场服务满意的比率为4500＝0.8，因此男顾客对该商场
服务满意的概率的估计值为 0.8.女顾客中对该商场服务满意的比率为3500＝0.6，因此女顾
客对该商场服务满意的概率的估计值为 0.6.
8
(2)K2 的观测值 k＝100×5（0×405×0×207－0×303×010）2≈4.762. 由于4.762>3.841，故有95%的把握认为男、女顾客对该商场服务 的评价有差异.
^
利用模型②，该地区 2018 年的环境基础设施投资额的预测值为y＝99＋17.5×9＝256.5(亿 元).
12
(2)利用模型②得到的预测值更可靠. 理由如下： 从折线图可以看出，2000 年至 2016 年的数据对应的点没有随机散布在直线 y＝－30.4＋ 13.5t 上下，这说明利用 2000 年至 2016 年的数据建立的线性模型①不能很好地描述环境 基础设施投资额的变化趋势.2010 年相对 2009 年的环境基础设施投资额有明显增加， 2010 年至 2016 年的数据对应的点位于一条直线的附近，这说明从 2010 年开始环境基础
高考数学大二轮复习 7.2 统计与统计案例学案 文-人教版高三全册数学学案
第2讲统计与统计案例考点1 抽样方法1．简单随机抽样特点是从总体中逐个抽取．适用范围：总体中的个体较少．2．系统抽样特点是将总体均分成几部分，按事先确定的规则在各部分中抽取．适用范围：总体中的个体数较多．3．分层抽样特点是将总体分成几层，分层进行抽取．适用范围：总体由差异明显的几部分组成．[例1] (1)[2019·全国卷Ⅰ]某学校为了解1 000名新生的身体素质，将这些学生编号为1,2，…，1 000，从这些新生中用系统抽样方法等距抽取100名学生进行体质测验．若46号学生被抽到，则下面4名学生中被抽到的是( )A．8号学生B．200号学生C．616号学生D．815号学生(2)[2019·全国卷Ⅲ]《西游记》《三国演义》《水浒传》和《红楼梦》是中国古典文学瑰宝，并称为中国古典小说四大名著．某中学为了解本校学生阅读四大名著的情况，随机调查了100位学生，其中阅读过《西游记》或《红楼梦》的学生共有90位，阅读过《红楼梦》的学生共有80位，阅读过《西游记》且阅读过《红楼梦》的学生共有60位，则该校阅读过《西游记》的学生人数与该校学生总数比值的估计值为( )A．0.5 B．0.6C．0.7 D．0.8【解析】(1)本题考查系统抽样；考查了数据处理能力；考查的核心素养为数据分析．将1 000名学生分成100组，每组10人，则每组抽取的号码构成公差为10的等差数列{a n}，由题意知a5＝46，则a n＝a5＋(n－5)×10＝10n－4，n∈N*，易知只有C选项满足题意．故选C.(2)本题主要考查用样本估计总体；考查学生对实际问题的处理能力和数据分析能力；考查了数据分析的核心素养．在样本中，仅阅读过《西游记》的学生人数为90－80＝10，又由既阅读过《西游记》又阅读过《红楼梦》的学生人数为60，得阅读过《西游记》的学生人数为10＋60＝70，所以在样本中阅读过《西游记》的学生人数所占的比例为70100＝0.7，即为该校阅读过《西游记》的学生人数与该校学生总数比值的估计值．【答案】 (1)C (2)C(1)随机抽样各种方法中，每个个体被抽到的概率都是相等的； (2)系统抽样又称“等距”抽样，被抽到的各个号码间隔相同；(3)分层抽样满足：各层抽取的比例都等于样本容量在总体容量中的比例.『对接训练』1．[2019·河北枣强中学期末]总体由编号为01,02，…，19,20的20个个体组成，利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法是从随机数表第1行的第6个数字开始向右读(每两个连续数字组成一个编号)，则选出来的第5个个体的编号为( )21 16 65 08 90 34 20 76 43 81 26 34 91 64 17 50 71 59 45 06 91 27 35 36 80 72 74 67 21 33 50 25 83 12 02 76 11 87 05 26 A ．12 B ．07 C ．15 D ．16解析：从随机数表第1行的第6个数字开始由左到右依次选取两个数字中小于20的编号依次为03,07,12,16,07,15，其中第二个和第五个都是07，重复，所以选出的5个个体的编号为03,07,12,16,15，则第5个个体的编号为15.故选C.答案：C2．[2019·惠州市高三第二次调研]某班共有56人，学号依次为1,2,3，…，56，现用系统抽样的方法抽取一个容量为4的样本，已知学号为2,30,44的同学在样本中，则样本中还有一位同学的学号为________．解析：由题意得，需要将56人按学号从小到大分成4组，每组抽取第2个学号对应的同学，所以还有一位同学的学号为1×14＋2＝16.答案：16考点2 用样本估计总体1．频率分布直方图中横坐标表示组距，纵坐标表示频率组距，频率＝组距×频率组距.2．频率分布直方图中各小长方形的面积之和为1. 3．利用频率分布直方图求众数、中位数与平均数利用频率分布直方图求众数、中位数和平均数时易出错，应注意区分这三者．在频率分布直方图中：(1)最高的小长方形底边中点的横坐标即是众数； (2)中位数左边和右边的小长方形的面积和是相等的；(3)平均数是频率分布直方图的“重心”，等于频率分布直方图中每个小长方形的面积乘以小长方形底边中点的横坐标之和．[例2] (1)[2018·江苏卷]已知5位裁判给某运动员打出的分数的茎叶图如图所示，那么这5位裁判打出的分数的平均数为________；(2)[2017·全国卷Ⅰ]为评估一种农作物的种植效果，选了n 块地作试验田．这n 块地的亩产量(单位：kg)分别为x 1，x 2，…，xn ，下面给出的指标中可以用来评估这种农作物亩产量稳定程度的是( )A ．x 1，x 2，…，xn 的平均数B ．x 1，x 2，…，xn 的标准差C ．x 1，x 2，…，xn 的最大值D ．x 1，x 2，…，xn 的中位数【解析】 (1)这5位裁判打出的分数分别是89,89,90,91,91，因此这5位裁判打出的分数的平均数为89＋89＋90＋91＋915＝90.(2)因为可以用极差、方差或标准差来描述数据的离散程度，所以要评估亩产量稳定程度，应该用样本数据的极差、方差或标准差．故选B.【答案】 (1)90 (2)B众数、中位数、平均数与直方图的关系(1)众数为频率分布直方图中最高矩形的底边中点的横坐标．(2)中位数为平分频率分布直方图面积且垂直于横轴的直线与横轴交点的横坐标． (3)平均数等于频率分布直方图中每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之积的和.『对接训练』3．[2019·河北石家庄模拟]已知甲、乙两名篮球运动员进行罚球训练，每人练习10组，每组罚球40个，每组投中个数的茎叶图如图所示，则下列结论错误的是( )A ．甲投中个数的极差是29B ．乙投中个数的众数是21C ．甲的投中率比乙高D ．甲投中个数的中位数是25解析：由茎叶图可知甲投中个数的极差为37－8＝29，故A 正确；易知乙投中个数的众数是21，故B 正确；甲的投中率为8＋12＋13＋20＋22＋24＋25＋26＋27＋3740×10＝0.535，乙的投中率为9＋11＋13＋14＋18＋19＋20＋21＋21＋2340×10＝0.422 5，所以甲的投中率比乙高，C 正确；甲投中个数的中位数为22＋242＝23，D 不正确．故选D.答案：D4．[2019·河北衡水中学五调]某“跑团”为了解团队每月跑步的平均里程，收集并整理了2018年1月至2018年11月期间“跑团”每月跑步的平均里程(单位：千米)的数据，绘制了下面的折线图．根据折线图，下列结论正确的是( )A ．月跑步平均里程的中位数为6月份对应的平均里程数B ．月跑步平均里程逐月增加C ．月跑步平均里程高峰期大致在8月和9月D ．1月至5月的月跑步平均里程相对于6月至11月，波动性更小，变化比较平稳 解析：由折线图知，月跑步平均里程的中位数为5月份对应的平均里程数，A 错；月跑步平均里程不是逐月增加的，B 错；月跑步平均里程高峰期大致在9月和10月，C 错．故选D.答案：D考点3 变量的相关性与统计案例1．线性回归方程方程y ^＝b ^x ＋a ^称为线性回归方程，其中b ^＝∑i ＝1nx i y i －n x－y－∑i ＝1nx 2i －n x －2，a ^＝y －－b ^x －；(x －，y －)称为样本中心点．2．随机变量K 2(χ2)＝(a ＋b ＋c ＋d )(ad －bc )2(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d )，若K 2(χ2)>3.841，则有95%的把握说两个事件有关； 若K 2(χ2)>6.635，则有99%的把握说两个事件有关．[例3] [2019·全国卷Ⅰ]某商场为提高服务质量，随机调查了50名男顾客和50名女顾客，每位顾客对该商场的服务给出满意或不满意的评价，得到下面列联表：(1)(2)能否有95%的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异？附：K 2＝n (ad －bc )2(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d ).【解析】 象概括能力与数据处理能力，重点考查数学抽象、数据分析、数学运算的核心素养；倡导学生关注生活，提高数学应用意识．(1)由调查数据知，男顾客中对该商场服务满意的比率为4050＝0.8，因此男顾客对该商场服务满意的概率的估计值为0.8.女顾客中对该商场服务满意的比率为3050＝0.6，因此女顾客对该商场服务满意的概率的估计值为0.6.(2)K 2＝100×(40×20－30×10)250×50×70×30≈4.762.由于4.762>3.841，故有95%的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异.(1)求回归直线方程的关键①正确理解计算b ^，a ^的公式和准确的计算．②在分析实际中两个变量的相关关系时，可根据样本数据作出散点图来确定两个变量之间是否具有相关关系，若具有线性相关关系，则可通过线性回归方程估计和预测变量的值．(2)独立性检验的关键①根据2×2列联表准确计算K 2，若2×2列联表没有列出来，要先列出此表． ②K 2的观测值k 越大，对应假设事件H 0成立的概率越小，H 0不成立的概率越大.『对接训练』5．[2019·湖南长沙长郡中学调研]长沙某公司对其主推产品在过去5个月的月广告投入x i (万元)和相应的销售额y i (万元)进行了统计，其中i ＝1,2,3,4,5，对所得数据进行整理，绘制散点图并计算出一些数据如下：∑i ＝15x i ＝6.8，∑i ＝15w i ＝10.3，∑i ＝15y i ＝15.8，∑i ＝15x i y i ＝22.76，∑i ＝15w i y i ＝34.15，∑i ＝15(x i －x )2＝0.46，∑i ＝15(w i －w )2＝3.56，其中w i ＝x 2i ，i ＝1,2,3,4,5.(1)根据散点图判断y ＝bx ＋a 与y ＝cx 2＋d 哪一个适宜作为月销售额y 关于月广告投入x 的回归方程类型？(给出判断即可，不必说明理由)(2)根据(1)的判断结果及题中所给数据，建立y 关于x 的回归方程，并据此估计月广告投入220万元时的月销售额．附：对于一组数据(u 1，v 1)，(u 2，v 2)，…，(u n ，v n )，其回归直线v ＝α＋βu 的斜率和截距的最小二乘估计分别为β^＝解析：(1)根据散点图可知，y ＝cx 2＋d 适宜作为月销售额y 关于月广告投入x 的回归方程类型．(2)由题意知，＝34.15－5×10.35×15.853.56＝0.45，d ^＝y －－0.45×w －＝15.85－0.45×10.35＝2.233，故回归方程为y ^＝0.45x 2＋2.233，当月广告投入为220万元时，月销售额y ^＝0.45×2202＋2.233＝21 782.233(万元)． 故选择y ＝cx 2＋d 作为回归方程模型，当月广告投入为220万元时，月销售额约为21 782.233万元．课时作业 17 统计与统计案例1．[2019·湖南五市十校联考]在某次赛车中，50名参赛选手的成绩(单位：min )全部介于13到18之间(包括13和18)，将比赛成绩分为五组：第一组[13,14)，第二组[14,15)，…，第五组[17,18]．其频率分布直方图如图所示，若成绩在[13,15)内的选手可获奖，则这50名选手中获奖的人数为( )A．39 B．35C．15 D．11解析：由频率分布直方图知成绩在[15,18]内的频率为(0.38＋0.32＋0.08)×1＝0.78，所以成绩在[13,15)内的频率为1－0.78＝0.22，则成绩在[13,15)内的选手有50×0.22＝11(人)，即这50名选手中获奖的人数为11，故选D.答案：D2．[2019·湖北黄冈期末]为了调查学生对某项新政策的了解情况，准备从某校高一A，B，C三个班级中抽取10名学生进行调查．已知A，B，C三个班级的学生人数分别为40,30,30.考虑使用简单随机抽样、分层抽样和系统抽样三种方案，使用简单随机抽样和分层抽样时，将学生按A，B，C三个班级依次统一编号为1,2，…，100；使用系统抽样时，将学生按A，B，C三个班级依次统一编号为1,2，…，100，并将所有编号依次平均分为10组．如果抽得的号码有下列四种情况：①7,17,27,37,47,57,67,77,87,97；②3,9,15,33,43,53,65,75,85,95；③9,19,29,39,49,59,69,79,89,99；④2,12,22,32,42,52,62,73,83,96.关于上述样本的下列结论中，正确的是( )A．①③都可能为分层抽样B．②④都不能为分层抽样C．①④都可能为系统抽样D．②③都不能为系统抽样解析：对于①，既满足系统抽样的数据特征，又满足分层抽样的数据特征，所以可能是分层抽样或系统抽样；对于②，只满足分层抽样的数据特征，所以可能是分层抽样；对于③，既满足系统抽样的数据特征，又满足分层抽样的数据特征，所以可能是分层抽样或系统抽样；对于④，只满足分层抽样的数据特征，所以可能是分层抽样．故选A.答案：A3．[2019·广东惠州一调]已知数据x1，x2，…，x10,2的平均值为2，方差为1，则数据x1，x2，…，x10相对于原数据( )A．一样稳定B．变得稳定C．变得不稳定D．稳定性不可以判断解析：数据x 1，x 2，…，x 10,2的平均值为2，方差为1，故111[(x 1－2)2＋(x 2－2)2＋…＋(x 10－2)2＋(2－2)2]＝1，数据x 1，x 2，…x 10的方差s 2＝110[(x 1－2)2＋(x 2－2)2＋…＋(x 10－2)2]>1，故相对于原数据变得不稳定，故选C .答案：C4．[2019·陕西商洛质检]在一次53.5千米的自行车个人赛中，25名参赛选手成绩(单位：分钟)的茎叶图如图所示，现将参赛选手按成绩由好到差编为1～25号，再用系统抽样的方法从中选取5人，已知选手甲的成绩为85分钟，若甲被选取，则被选取的其余4名选手的成绩的平均数为( )A .95B ．96C ．97D ．98解析：由系统抽样法及已知条件可知被选中的其他4人的成绩分别是88,94,99,107，故平均数为88＋94＋99＋1074＝97，故选C .答案：C5．[2019·湖北重点高中协作体联考]某镇有A ，B ，C 三个村，它们的人口数量之比为3：4：7，现在用分层抽样的方法抽出容量为n 的样本，样本中A 村有15人，则样本容量为( )A ．50B ．60C ．70D ．80解析：设A ，B ，C 三个村的人口数量分别为3x,4x,7x ，则由题意可得3x 15＝3x ＋4x ＋7x n ，解得n ＝70，故选C .答案：C6．[2019·云南昆明诊断]某商家今年上半年各月的人均销售额(单位：千元)与利润率统计表如下：月份 1 2 3 4 5 6 人均销售额658347利润率(%) 12.6 10.4 18.5 3.0 8.1 16.3根据表中数据，下列说法正确的是( )A ．利润率与人均销售额成正相关关系B ．利润率与人均销售额成负相关关系C ．利润率与人均销售额成正比例函数关系D ．利润率与人均销售额成反比例函数关系解析：画出利润率与人均销售额的散点图，如图．由图可知利润率与人均销售额成正相关关系．故选A .答案：A7．[2019·河南濮阳摸底]根据如表数据，得到的回归方程为y ^＝b ^x ＋9，则b ^＝( )x 4 5 6 7 8 y54321A .2B ．1C ．0D ．－1解析：由题意可得x －＝15×(4＋5＋6＋7＋8)＝6，y －＝15×(5＋4＋3＋2＋1)＝3，因为回归方程为y ^＝b ^x ＋9且回归直线过点(6,3)，所以3＝6b ^＋9，解得b ^＝－1，故选D .答案：D8．[2019·宁夏银川一中月考]利用独立性检验的方法调查大学生的性别与爱好某项运动是否有关，通过随机询问110名不同的大学生是否爱好该项运动，得到2×2列联表，并计算可得K 2≈8.806.P(K 2≥k 0)0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k 02.7063.8415.0246.6357.87910.828A ．有99.5%以上的把握认为“是否爱好该项运动与性别无关”B ．有99.5%以上的把握认为“是否爱好该项运动与性别有关”C ．在犯错误的概率不超过0.05%的前提下，认为“是否爱好该项运动与性别有关”D ．在犯错误的概率不超过0.05%的前提下，认为“是否爱好该项运动与性别无关”解析：由于8.806>7.879，所以根据独立性检验的知识可知有99.5%以上的把握认为“是否爱好该项运动与性别有关”，故选B .答案：B9．[2019·安徽六安毛坦厂中学月考]某位教师2017年的家庭总收入为80 000元，各种用途占比统计如下面的折线图.2018年收入的各种用途占比统计如下面的条形图，已知2018年的就医费用比2017年增加了4 750元，则该教师2018年的家庭总收入为( )A ．100 000元B ．95 000元C ．90 000元D ．85 000元解析：由已知得，2017年的就医费用为80 000×10%＝8 000(元)，故2018年的就医费用为8 000＋4 750＝12 750(元)，所以该教师2018年的家庭总收入为12 75015%＝85 000(元)．故选D .答案：D10．[2019·华中师范大学第一附属中学期末]给出下列结论：①某学校从编号依次为001,002，…，900的900个学生中用系统抽样的方法抽取一个样本，已知样本中有两个相邻的编号分别为053,098，则样本中最大的编号为862；②甲组数据的方差为5，乙组数据为5,6,9,10,5，那么这两组数据中甲组数据比较稳定； ③两个变量的线性相关性越强，则相关系数r 的值越接近于1； ④对A ，B ，C 三种个体按 3：1：2的比例进行分层抽样调查，若抽取的A 种个体有15个，则样本容量为30.则正确的个数是( )A ．3B ．2C ．1D ．0解析：①中，样本中相邻的两个编号为053,098，则样本组距为98－53＝45，所以样本容量为90045＝20，则样本中最大的编号为53＋45×(20－2)＝863，故①错误；②中，乙组数据的平均数为5＋6＋9＋10＋55＝7，所以乙组数据的方差为15×[(5－7)2＋(6－7)2＋(9－7)2＋(10－7)2＋(5－7)2]＝4.4<5，那么这两组数据中乙组数据比较稳定，故②错误；③中，两个变量的线性相关性越强，则相关系数r 的绝对值越接近于1，故③错误；④中，易知样本容量为15÷33＋1＋2＝30，故④正确．综上，选C .答案：C11．[2019·福建三明质检]某校为了解学生的身体素质情况，采用按年级分层抽样的方法，从高一、高二、高三年级的学生中抽取一个300人的样本进行调查，已知高一、高二、高三年级的学生人数之比为k ：5：4，抽取的样本中高一年级的学生有120人，则实数k 的值为________．解析：由题意可得，120300＝kk ＋5＋4，解得k ＝6.答案：612．[2019·河北六校联考]在一次53.5千米的自行车个人赛中，25名参赛选手的成绩(单位：分)的茎叶图如图所示，若用简单随机抽样的方法从中选取2人，则这2人成绩的平均数恰为100的概率为________．解析：根据题意知，从25人中选取2人，基本事件的总数为C 225＝300，其中这2人成绩的平均数恰为100的基本事件为(100,100)，(95,105)，(95,105)，(95,105)，(94,106)，(93,107)，共6个，所以所求的概率P ＝6300＝150.答案：15013．某炼钢厂废品率x(%)与成本y(元/t )的线性回归方程为y ^＝105.492＋42.569x.当成本控制在176.5元/t 时，可以预计生产的1 000 t 钢中，约有________t 钢是废品．解析：因为176.5＝105.492＋42.569x ，所以x≈1.668，即成本控制在176.5元/t 时，废品率为1.668%.所以生产的1 000 t 钢中，约有1 000×1.668%＝16.68 t 钢是废品．答案：16.6814．某医疗研究所为了检验某种血清预防感冒的作用，把500名使用血清的人与另外500名未使用血清的人一年中的感冒记录作比较，提出假设H0：“这种血清不能起到预防感冒的作用”，利用2×2列联表计算得K2≈3.918，经查临界值表知P(K2≥3.841)≈0.05.则下列结论中，正确结论的序号是________．①有95%的把握认为“这种血清能起到预防感冒的作用”；②若某人未使用该血清，那么他在一年中有95%的可能性得感冒；③这种血清预防感冒的有效率为95%；④这种血清预防感冒的有效率为5%.解析：K2≈3.918≥3.841，而P(K2≥3.841)≈0.05，所以有95%的把握认为“这种血清能起到预防感冒的作用”．要注意我们检验的是假设是否成立和该血清预防感冒的有效率是没有关系的，不是同一个问题，不要混淆．答案：①15．[2019·湖南四校摸底调研]某家电公司销售部门共有200名销售员，每年部门对每名销售员都有 1 400万元的年度销售任务．已知这200名销售员去年的销售额都在区间[2,22](单位：百万元)内，现将其分成5组，第1组、第2组、第3组、第4组、第5组对应的区间分别为[2,6)，[6,10)，[10,14)，[14,18)，[18,22]，并绘制出如下的频率分布直方图．(1)求a的值，并计算完成年度任务的人数；(2)用分层抽样的方法从这200名销售员中抽取容量为25的样本，求这5组分别应抽取的人数；(3)现从(2)中完成年度任务的销售员中随机选取2名，奖励海南三亚三日游，求获得此奖励的2名销售员在同一组的概率．解析：(1)∵(0.02＋0.08＋0.09＋2a)×4＝1，∴a＝0.03，∴完成年度任务的人数为2×0.03×4×200＝48.(2)第1组应抽取的人数为0.02×4×25＝2，第2组应抽取的人数为0.08×4×25＝8， 第3组应抽取的人数为0.09×4×25＝9， 第4组应抽取的人数为0.03×4×25＝3， 第5组应抽取的人数为0.03×4×25＝3，(3)在(2)中完成年度任务的销售员中，第4组有3人，记这3人分别为A 1，A 2，A 3；第5组有3人，记这3人分别为B 1，B 2，B 3.从这6人中随机选取2名，所有的基本事件为A 1A 2，A 1A 3，A 1B 1，A 1B 2，A 1B 3，A 2A 3，A 2B 1，A 2B 2，A 2B 3，A 3B 1，A 3B 2，A 3B 3，B 1B 2，B 1B 3，B 2B 3，共有15个基本事件，获得此奖励的2名销售员在同一组所包含的基本事件有6个， 故所求概率P ＝615＝25.16．[2019·四川德阳一诊]某市工业部门计划对所辖中、小型企业推行节能降耗技术改造，下面是对所辖企业是否支持技术改造进行的问卷调查的结果(不完整)：已知从这560家企业中随机抽取1家，抽到支持技术改造的企业的概率为47.(1)能否在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为“是否支持节能降耗技术改造与企业规模大小”有关？(2)从支持技术改造的中、小型企业中按分层抽样的方法抽出8家企业，再从这8家企业中选出2家进行奖励：中型企业奖励20万元，小型企业奖励10万元．求奖励总金额为20万元的概率．附：K 2＝n (ad －bc )2(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d )，其中n ＝a ＋b ＋c ＋d.解析：(1)由从这560家企业中随机抽取1家，抽到支持技术改造的企业的概率为47可知，支持技术改造的企业共有320家，故列联表为支持 不支持 合计 中型企业 80 40 120 小型企业 240 200 440 合计320240560所以K 2＝n (ad －bc )2(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d )＝560×(80×200－40×240)2120×440×320×240≈5.657>5.024.故能在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为“是否支持节能降耗技术改造与企业规模大小”有关．(2)由(1)可知，从支持技术改造的中、小型企业中，按分层抽样的方法抽出8家企业，其中有2家中型企业，分别用x ，y 表示，6家小型企业，分别用1,2,3,4,5,6表示．则从中选取2家企业的所有可能情况为xy ，x1，x2，x3，x4，x5，x6，y1，y2，y3，y4，y5，y6,12,13,14,15,16,23,24,25,26,34,35,36,45,46,56，共28种，其中奖励总金额为20万元的有12,13,14,15,16,23,24,25,26,34,35,36,45,46,56，共15种．所以奖励总金额为20万元的概率为1528.17．[2019·河南南阳期末联考]某网购平台为了解某市居民在该平台的消费情况，从该市使用该平台且平均每周消费金额超过100元的人员中随机抽取了100名，并绘制如图所示的频率分布直方图，已知中间三组的人数可构成等差数列．(1)求m ，n 的值．(2)分析人员对这100名调查对象的性别进行统计，发现平均每周消费金额不低于300元的男性有20人，低于300元的男性有25人，请根据统计数据完成下列2×2列联表，并判断是否有99%的把握认为平均每周消费金额与性别有关？男性 女性 合计 平均每周消费金额≥300(3)线性相关，得到的回归方程为y ^＝－5x ＋a ^.已知这100名调查对象的平均年龄为38岁，试估算一名年龄为25岁的年轻人平均每周的消费金额．(同一组数据用该区间的中点值作代表)2×2列联表：附：K 2＝n (ad －bc )2(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d )，其中n ＝a ＋b ＋c ＋d.解析：(1)＝0.006， 由题意可知m ＋0.001 5＝2n ， 解得m ＝0.003 5，n ＝0.002 5.(2)平均每周消费金额不低于300元的频率为(0.003 5＋0.001 5＋0.001)×100＝0.6，因此这100名调查对象中，平均每周消费金额不低于300元的人数为100×0.6＝60(人)．所以2×2列联表为K 2＝100×(45×55×60×40≈8.249>6.635，所以有99%的把握认为平均每周消费金额与性别有关．(3)调查对象的平均每周消费金额为0.15×150＋0.25×250＋0.35×350＋0.15×450＋0.10×550＝330(元)，由题意得330＝－5×38＋a ^，解得a ^＝520. y ^＝－5×25＋520＝395(元)．故一名年龄为25岁的年轻人平均每周的消费金额约为395元．18．[2019·福建三明月考]统计学中经常用环比、同比来进行数据比较．环比是指本期统计数据与上期比较，如2017年7月与2017年6月相比．环比增长率＝本期数－上期数上期数×100%，同比增长率＝本期数－同期数同期数×100%.下表是某地区近17个月来的消费者信心指数的统计数据： 序号x 12345678时间2017年 1月2017年 2月2017年 3月2017年 4月2017年 5月2017年 6月2017年 7月2017年8月消费者信心指数y 107.2108.6108.4109.2112.6111113.4112910111213141516172017年 9月 2017年 10月 2017年 11月 2017年 12月 2018年 1月 2018年 2月 2018年 3月 2018年 4月 2018年 5月 113.3114.6114.7118.6123.9121.3122.6122.3124(1)①求该地区2018年5月消费者信心指数的同比增长率(百分比形式下保留整数)； ②除2017年1月外，该地区消费者信心指数月环比增长率为负数的有几个月？ (2)由以上数据可判断，序号x 与该地区消费者信心指数y 具有线性相关关系，求出y 关于x 的线性回归方程y ^＝b ^x ＋a ^(a ^，b ^保留2位小数)，并依此预测该地区2018年6月的消费者信心指数(结果保留1位小数)．参考数据与公式：∑i ＝117x i y i ＝18 068.5，∑i ＝117x 2i ＝1 785，x －＝9，y －≈115，b ^＝，a ^＝y －－b ^x －.解析：(1)①该地区2018年5月消费者信心指数的同比增长率为124－112.6112.6×100%≈10%.②若月环比增长率为负数，则本期数<上期数，从表中可以看出，2017年3月、2017年6月、2017年8月、2018年2月、2018年4月共5个月的月环比增长率为负数．(2)由已知，得≈1.16，a ^＝y －－b ^x －＝104.56，∴线性回归方程为y ^＝1.16x ＋104.56. 当x ＝18时，y ^＝125.4，故该地区2018年6月的消费者信心指数约为125.4.。
高考数学一轮复习第十一章统计与统计案例2用样本估计总体课件新人教A版2
;b.决定组距与
组数;c. 将数据分组
;d.列频率分布表;e.画频率分布直方
图.
-3知识梳理
双基自测
(3)总体密度曲线
①频率分布折线图:连接频率分布直方图中各小长方形上端的中
点,就得到频率分布折线图.
②总体密度曲线:随着样本容量的增加,作图时所分的组数增加,
底部周长(单位:cm),所得数据均在区间[80,130]上,其频率分布直方
24
图如图所示,则在抽测的60株树木中,有
株树木的底部
周长小于100 cm.
解析 由题意知,在抽测的60株树木中,底部周长小于100 cm的株
数为(0.015+0.025)×10×60=24.
-11考点1
考点2
考点3
考点 1
组距减小,相应的频率分布折线图会越来越接近于一条光滑曲线,
统计中称这条光滑曲线为总体密度曲线.总体密度曲线反映了总体
在各个范围内取值的百分比,它能提供更加精细的信息.
(4)茎叶图:茎叶图中茎是指 中间 的一列数,叶是从茎的 旁边
生长出来的数.当样本数据较少时,用茎叶图表示数据的效果较好,
它不但可以保留所有信息,而且可以随时记录,给数据的记录和表
月平均用电量在[260,280)的用户有0.005×20×100=10(户),
月平均用电量在[280,300]的用户有0.002 5×20×100=5(户),抽
11
1
= ,
取比例为
25+15+10+5
5
所以月平均用电量在[220,240)的用户中应抽取25×
1
5 =5(户).
-14考点1
高考数学考点二十《统计与统计案例》课件
100
200
则 K2＝2001×00（×6100×0×601－004×0×10400）2＝8>6.635，
所以有 99%以上的把握认为是否持乐观态度与国内外差异有关．
四、解答题 13．(2021·全国乙卷)某厂研制了一种生产高精产品的设备，为检验新设 备生产产品的某项指标有无提高，用一台旧设备和一台新设备各生产了 10 件产品，得到各件产品该项指标数据如下：
考点二十 统计与统计案例
一、选择题(在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求) 1．(2021·河北张家口第三次模拟)某中学春季运动会上，12 位参加跳高 半决赛同学的成绩各不相同，按成绩从高到低取前 6 位进入决赛，如果小明 知道了自己的成绩后，则他可根据其他 11 位同学成绩的哪个数据判断自己 能否进入决赛( )
A．r2<r4<0<r3<r1 C．r4<r2<0<r3<r1
B．r4<r2<0<r1<r3 D．r2<r4<0<r1<r3
答案 A 解析 易知题中图(1)和图(3)是正相关，图(2)与图(4)是负相关，且图(1) 与图(2)中的样本点集中分布在一条直线附近，则 r2<r4<0<r3<r1.故选 A.
5．通过随机询问 110 名性别不同的大学生是否爱好某项运动，得到如
下列联表：
男
女
总计
爱好
40
20
60
不爱好
20
30
50
总计
60
50
110
由
K2
＝
n（ad－bc）2 （a＋b）（c＋d）（a＋c）（b＋d）
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高考数学 统计与统计案例
1．小吴一星期的总开支分布如图1所示，一星期的食品开支如图2所示，则小吴一星期的鸡蛋开支占总开支的百分比为( )
A ．1%
B ．2%
C ．3%
D ．5%
C [由图1所示，食品开支占总开支的30%，由图2所示，鸡蛋开支占食
品开支的3030＋40＋100＋80＋50
＝110， ∴鸡蛋开支占总开支的百分比为30%×110＝3%.故选C.]
2．(2019·德州模拟)某人到甲、乙两市各7个小区调查空置房情况，调查得到的小区空置房的套数绘成了如图所示的茎叶图，则调查中甲市空置房套数的中位数与乙市空置房套数的中位数之差为( )
A ．4
B ．3
C ．2
D ．1
B [由茎叶图可以看出甲、乙两市的空置房的套数的中位数分别是79,76，因此其差是79－76＝3，故选B.]
3．某工厂对一批新产品的长度(单位：mm)进行检测，如图是检测结果的频
率分布直方图，据此估计这批产品的中位数为( )
A ．20
B ．25
C ．22.5
D ．22.75
C [产品的中位数出现在概率是0.5的地方. 自左至右各小矩形面积依次为0.1,0.2,0.4，……，设中位数是x ，则由0.1＋0.2＋0.08·(x －20)＝0.5，得x ＝22.5，故选C.]
4．(2019·三明模拟)在某次高中数学竞赛中，随机抽取90名考生，其分数如图所示，若所得分数的平均数，众数，中位数分别为a ，b ，c ，则a ，b ，c 的大小关系为( )
A ．b <a <c
B ．c <b <a
C ．c <a <b
D ．b <c <a
D [经计算得平均值a ＝5923，众数为b ＝50，中位数为c ＝50＋602＝55，故
b <
c <a, 选A.]
5．(2019·南充模拟)如表是我国某城市在2017年1月份至10月份各月最低温与最高温(℃)的数据一览表．
则下列结
论错误的是( )
A ．最低温与最高温为正相关
B ．每月最高温与最低温的平均值在前8个月逐月增加
C ．月温差(最高温减最低温)的最大值出现在1月
D ．1月至4月的月温差(最高温减最低温)相对于7月至10月，波动性更大
B [根据题意，依次分析选项：对于A ，知该城市的各月最低温与最高温具有相关关系，由数据分析可得最低温与最高温为正相关，则A 正确；对于B ，由表中数据，每月最高温与最低温的平均值依次为：－
3.5,3,5,
4.5,12,20.5,23,26.5,28,1
5.5，在前8个月不是逐月增加，则B 错误；对于C ，由表中数据，月温差依次为：17,12,8,13,10,7,8,7,6,11；月温差的最大值出现在1月，C 正确；对于D ，有C 的结论，分析可得1月至4月的月温差相对于7月至10月，波动性更大，D 正确；故选B.]
6．设某中学的高中女生体重y (单位：kg)与身高x (单位：cm)具有线性相关关系，根据样本数据(x i ，y i )(i ＝1,2,3，…，n )，用最小二乘法近似得到回归直线
方程为y ^＝0.85x －85.71，则下列结论中不正确的是( )
A ．y 与x 具有正线性相关关系
B ．回归直线过样本点的中心(–x ，–
y )
C ．若该中学某高中女生身高增加1 cm ，则其体重约增加0.85 kg
D ．若该中学某高中女生身高为160 cm ，则可断定其体重必为50.29 kg
D [因为回归直线方程y ^＝0.85x －85.71中x 的系数为0.85＞0，因此y 与x
具有正线性相关关系，所以选项A 正确；由最小二乘法及回归直线方程的求解
可知回归直线过样本点的中心(–x ，–
y )，所以选项B 正确；由于用最小二乘法得到的回归直线方程是估计值，而不是具体值，若该中学某高中女生身高增加1 cm ，则其体重约增加0.85 kg ，所以选项C 正确，选项D 不正确．]
7．(2018·永州三模)党的十九大报告明确提出：在共享经济等领域培育增长点、形成新动能．共享经济是公众将闲置资源通过社会化平台与他人共享，进而获得收入的经济现象．为考察共享经济对企业经济活跃度的影响，在四个不同的企业各取两个部门进行共享经济对比试验，根据四个企业得到的试验数据画出如
下四个等高条形图，最能体现共享经济对该部门的发展有显著效果的图形是
( )
D [根据四个列联表中的等高条形图可知，图中D 中共享与不共享的企业经济活跃度的差异最大，它最能体现共享经济对该部门的发展有显著效果，故选
D.]
8．(2019·惠州模拟)已知x 与y 之间的几组数据如下表：
假设根据上表数据所得的线性回归方程为y ＝b x ＋a ^.若某同学根据上表中的
前两组数据(1,0)和(2,2)求得的直线方程为y ＝b ′x ＋a ′，则以下结论正确的是
( )
A.b ^>b ′，a ^>a ′
B.b ^>b ′，a ^<a ′
C.b ^<b ′，a ^>a ′
D.b ^<b ′，a ^<a ′
C [由两组数据(1,0)和(2,2)可求得直线方程为y ＝2x －2，b ′＝2，a ′＝－
2.而利用线性回归方程的公式与已知表格中的数据，可求得b ^＝
＝＝57，a ^＝–y －b ^–x ＝136－57
×72＝－13，所以b ^<b ′，a ^>a ′.]
9．(2019·天津模拟)某校高中共有720人，其中理科生480人，文科生240人，现采用分层抽样的方法从中抽取90名学生参加调研，则抽取理科生的人数________．
60 [由分层抽样的定义得抽取理科生的人数为480720×90＝60.]
10．已知样本数据x 1，x 2，…，x n 的平均数–
x ＝5，则样本数据2x 1＋1,2x 2＋1，…，2x n ＋1的平均数为________．
11 [由x 1，x 2，…，x n 的平均数x ＝5，得2x 1＋1,2x 2＋1，…，2x n ＋1的平
均数为2–
x ＋1＝2×5＋1＝11.]
11．某学校随机抽取部分新生调查其上学所需时间(单位：分钟)，并将所得数据绘制成频率分布直方图(如图)，其中，上学所需时间的范围是[0,100]，样本数据分组为[0,20)，[20,40)，[40,60)，[60,80)，[80,100]，则
(1)图中的x ＝________；
(2)若上学所需时间不少于1小时的学生可申请在学校住宿，则该校600名新生中估计有________名学生可以申请住宿．
0．0125 72 [(1)由频率分布直方图知20x ＝1－20×(0.025＋0.0065＋0.003＋0.003)，解得x ＝0.0125.
(2)上学时间不少于1小时的学生的频率为0.12，因此估计有0.12×600＝72(人)可以申请住宿．]
12．以下四个命题，其中正确的序号是________．
①从匀速传递的产品生产流水线上，质检员每20分钟从中抽取一件产品进行某项指标检测，这样的抽样是分层抽样；
②两个随机变量相关性越强，则相关系数的绝对值越接近于1；
③在线性回归方程y ^＝0.2x ＋12中，当解释变量x 每增加一个单位时，预报
变量y ^平均增加0.2个单位；
④对分类变量X 与Y 的统计量K 2来说，K 2越小，“X 与Y 有关系”的把握程度越大．
②③ [①是系统抽样；对于④，统计量K 2越小，说明两个相关变量有关系的把握程度越小．]。