弧齿锥齿轮三维实体模型的构建方法

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作者简介 : 陈国荣 (19752) ,女 ,江苏涟水人 ,硕士研究生 .
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陈国荣等 : 弧齿锥齿轮三维实体模型的构建方法
_( F) em
Ξ 收稿日期 :2002210215
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∑ 等同 ; (2) ∑ 固定坐标系 , z 为被加工齿轮回转轴 线 ; (3) ∑ ,与被加工齿轮相固连坐标系 ,初始位置与 ∑ a 重 1 合 ,随着滚切进行 ,齿轮绕 z 转动 , 坐标系 ∑ 跟随转动 , 在 1 ( 3) 中 坐标系 ∑ 中以φ 1 表示齿轮转动的位置 . 则将式 ( 1 ) 、
(3)
依据假想平顶齿轮原理加工弧齿锥齿轮 , 假设用产形面
F 来加工小齿轮 1 ,并引入 : (1) 坐标系
∑
a
m
,与前述固定坐标
图1 切齿示意图 在切齿过程中 ,刀盘绕其轴线回转 ,其切削刃形成一圆锥 面即产形面 . 可以得到在 ∑ d 中其矢量方程为 : rd = ( rHctg a θj d + u sin a ・ θk d . - ucos a ) i d + u sin a ・ sin cos
θ为确 式中 rH 为刀盘的计算半径 , a 为刀刃齿形角 , u 、 定锥面动点 N 的参数 . 产形面上点的法线单位矢量方程为 : ed θk d . 由坐标系 ∑ = sin a i d + cos a sin j d + cos a cos d 到坐标系 ∑ y 的坐标变换矩阵记为 Myd , 矢量变换矩阵记为 Lyd , 则在坐标 系
= 1、 2、 3、 4) 为 :
(F1) (F1)
(1)
v my = Ω
(F)
(1) δ δ zm + Ω [ ( xm - L sinΔ L 1) sin 1) cos b1 - ( zm + Δ b1 ]
(F1) (F) (1) δ v mz = - Ω ym + Ω ( ym + ΔE1) sin b1
Ξ
(1. 南京工业大学 机械学院 ,江苏 南京 210009 ;2. 河南机电高等专科学校 机电工程系 ,河南 新乡 453002)
摘要 : 通过应用空间啮合理论建立弧齿锥齿轮齿面方程 , 并经过点 、 线、 面的求解 , 实现在 Auto2 CAD 中建立弧齿锥齿轮三维实体模型 . 关键词 : 弧齿锥齿轮 ; 实体造型 ; 虚拟制造 中图分类号 : TH122 文献标识码 :A 文章编号 :100822093 ( 2003) 0220036203
_ (F1) vm _
_
_
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图3 坐标示意图 如图 3 ,以各锥顶点为原点 ,轴线为 z 轴分别建立坐标系 ∑ a1 、 ∑ a2 、 ∑ a3 、 ∑ a4 , ∑ a 是以节锥顶点 O 为原点建立的坐标 系 ,下标 1 、 2、 3、 4 分别表示背锥 、 根锥 、 前锥 、 面锥 . 各坐标系原点 Oai ( i = 1 、 2、 3、 4 ) 至原点 Oa 的距离 Li ( i
河南机电高等专科学校学报 2003 年第 2 期 立 ,从而得到四个方程组 . 每个方程组各有三个独立方程 , 而 θ ΨF 、 θ 未知数有 4 个 ,即 ui 、 2、 3、 4) . 如果令 ui 为循环 i、 F (i = 1 、 变量 ,每对应一个确定的 ui 值 , 可解出一组方程的解 , 将它们 代入方程组便可求得交线上对应此 ui 值的点 . 由 ui 的几何意 义可知 ,如果令 ui 的循环初值和循环终值恰选在齿面的四个 顶点 a 、 b、 c、 d 上 ,则把由此循环所求得的点连成线 ,便恰是齿 面的四条边界线 . 这就涉及如何确定 ui 的循环初值和循环终 值的问题 . 以下标 0 表初值 ,1 表终值 ,另一下标 1 、 2、 3、 4 对应交线 l1 、 l2 、
L 3 = OaOa3 = L b/ cosδ 1 L 4 = OaOa4 = 如把各坐标系
2
δ ・ ctg 1 - (
2
δ ・ ctg sinδ a1 - ha1 ・ a1 )
(7)
3 轮齿的造型
图 2 为弧齿锥齿轮上一个轮齿的示意图 . 如果能够求得轮 齿轮廓上的点 P00 ,P01 , …,P020 , …,P1520 ,则可在 AutoCAD 中调用
系
g a a a
下标 g 换为 m ,同时加上产形轮标志 F 即可得切制小齿轮 1
( F) ( F) 时 ,在坐标系 ∑ m 中产形面的方程 r m 及法线单位矢量 e m .
_ _
x m = rFctg a F - uFcos a F
_( r mF)
( F) ( F)
ym zm
= u F sin aF sin (θ F - qF + ψ F) - bF sin ( q F - ψ F) = u F sin aFcos (θ F - qF + ψ F) - bFcos ( qF - ψ F)
(8)
z = u・ cos a 为使各锥面方程进行坐标变换后形式统一 , 对于前锥面和背
锥面 ,式中 y 取负值 ; a 为圆锥的半锥角 , 当 a 分别用背锥角 、 根锥角 、 前锥角 、 面锥角代入后便得到各锥面在各自坐标系下
(8) 可得各锥面在 的方程 . 由坐标变换矩阵及式 (7) 、
中的 ∑ 1
Ω . 式中
_ _
_
_ (1)
_ (1) rm
为 接 触 点 的 径 矢 , r (1) m = xm i
_
_
m
+ ym j
_ _
_
m
+
( 1) zm k m , R m 为 引 到 矢 量 作 用 线 上 任 意 点 径 矢 , R ( 1) m =
Ω( F) = - Ω( F) i m ,Ω(1) = - Ω(1) ( sinδ δ OmO1 , b1 i m + cos b1 k m ) . 所 以可得矢量 v (mF1) 在坐标轴上的投影为 : δ v mx = - Ω ( ym + ΔE1) cos b1
_( e mF)
・
_( v mF1)
L 1 = OaOa1 = L a / cosδ 1 L 2 = OaOa2 =
d1
= 0 ,将
(6) 代入即可得啮合方程 . 同理 , 可以求出大齿轮 2 的 式 (5) 、
2
d1
δ ・ ctg 1 - (
db1
2
da1
δ ・ ctg sinδ b1 - hb1 ・ b1 )
齿面方程的求解可知 ,轮齿齿面是一个双参数曲面 ,参数为 θ P、 ψP) x = x (θ P、 ψP) ψP ,为了便于分析 ,将齿面方程简单表示为 : y = y (θ P、 ψ z = z (θ P、 P)
图4 下面求四锥面方程 . 如图 4 所示 ,设锥面上任一动点 N 的 θ确定 ,u 为动点 N 沿圆锥母线方向距锥顶的 位置由参数 u 、 距离 , θ为沿圆周方向的角度 . 则锥面方程可用坐标形式表示 为: θ x = u・ sin a・ cos θ r : y = ±u・ sin a・ sin 图2 单个轮齿示意图 因此可以固定第一个参数 ,另一个参数间隔变化 ,描出一系列 点 ,连接成线 ; 再对第一个参数给以增量 , 仍使另一个参数间 隔变化 ,再描出一系列点 ,连接成线 … 这样就可以画出曲面的 网格表示 . 在此有一个问题需要考虑 , 即边界问题 , 这必须通 过进行面面求交以及面线求交解决 . 要通过面面求交的方法确定齿面边界 , 不仅需已知各面
切制小齿轮 1 时 ,产形轮 F 和小齿轮本身分别以角速度 Ω( F) 和 Ω(1) 绕轴 xm 和 za 回转 ,产形面 F 与小齿轮 1 的相对运
( F1) (1) 动矢 量 用 vm 表 示 : v (mF1) = ( Ω( F) - Ω(1) ) × r (1) × m - Rm
_ _ _ _ _
1 问题的提出
弧齿锥齿轮传动平稳 、 噪音小 , 承载能力高 , 现已被广泛 应用到各种高速重载的相交轴传动中 . 然而弧齿锥齿轮加工 的高质高效始终难以实现 . 虚拟制造技术的出现为解决这一 难题带来了希望 ,产品和过程的建模与仿真技术则是实现虚 拟制造的核心技术 . 因此探讨建立弧齿锥齿轮三维实体模型 的方法有助于进一步实现虚拟制造技术在弧齿锥齿轮加工中 的应用 ,使啮合接触 、 切削切制等实际工作情况通过计算机屏 幕展现在人们眼前 .
2、 3、 4 ,分别标识背锥面 、 根锥面 、 前 方程为 ri = M1 ai ・r , i = 1 、
锥面 、 面锥面 . 求交线 l1 、 l2 、 l3 、 l4 时 ,可将齿面方程分别与各锥面方程联
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(6)
Δ 式中 δ L 1 分别为机床调整参数 . 在坐标系 b1为根锥角 , ΔE1 、 ∑m 中 ,产形面 F 与小齿轮 1 的啮合公式为 啮合方程 . 产形面与被切齿面的接触线在和齿轮相固连的坐标系 ∑ 1 中的轨迹就是被切齿轮的齿面 . 对式 ( 6) 进行坐标变换再联立 啮合方程可得小齿轮的齿面方程 ,同理得大齿轮齿面方程 .
_ _ _ _ _
∑ 中 ,产形面径矢
y
_
ry 和法线单位矢量 ey 可由 ry = Myd ・
_
_
rd 和 ey = Lyd・ ed 确定 ; 同样 ,在坐标系
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_
∑ 中 ,产形面径矢 rg
d
和法线单位矢量 eg 可由 rg = Mgy ・ ry 和 eg = L gy ・ ey 确定 , Mgy 为坐标系 ∑ y 到坐标系 ∑ g 的变换矩阵 ,Lgy 为矢量变换矩阵 . 从而可得在固定坐标系中 ,产形面径矢方程和法线单位矢量 :
= sin aF i m + cos aF [ sin (θ F - qF + ψ F) j m
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_
_
方程 ,而且求交时 ,各面方程需在同一坐标系中 . 由于前述齿
(5)
+ cos (θ F - qF + ψ F) k m ]
_ _
面方程是在与齿轮相固连的动坐标系 ∑ ∑ 1、 2 中求得的 ,在固 定坐标系中求得的各锥面方程需相应变化至 ∑ ∑ 1、 2 中 . 下以 小轮凹面为例进行推导 .
(2)
将式 (1) 写成直角坐标形式 ,即为产形面在固定坐标系 的方程 :
xg = rHctg a - ucos a
_
中 ∑g
rg : yg = u sin a sin ( θ - q + ψ) - bHsin ( q - ψ ) zg = u sin a cos ( θ - q + ψ) + bHcos ( q - ψ)
eg = sin a i g + cos a [sin ( θ 2q + ψ) j g + cos ( θ 2q + ψ) kg ]
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(1)
rg = ( rHctg a 2 ucos a
) i g + [ usin asin ( θ 2q + ψ)2 bHsin ( q - ψ) ]
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ψ) ] kg j g + [ usin acos ຫໍສະໝຸດ Baidu θ 2q + ψ) + bHcos ( q2
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2 齿面方程
将齿轮切削过程表示为示意图 1 ,同时引入坐标系 ∑ d (与 机床摇台相固连 ,Od 为刀盘中心 ,xd 为刀盘转动轴线 ) 、 ∑ y (与 机床摇台相固连 ,Oy 为摇台中心 ,xy 为摇台转动轴线 ) 、 ∑ g (固 定坐标系 , 与机床床身相固连 , 坐标系 ∑ y 初始位置与 ∑ g 重 合 ,在其中给出了产形轮转动的位置 ( 以ψ表示) ) .
3dmesh 命令 ,依序连接各点 ,便可得到单个轮齿的线框模型 . 由
2、 3、 4) 向 ∑ a 变换的变换矩阵记 ∑ai (i = 1 、 为 Maai ,各坐标系 ∑ai 向 ∑ 1 变换的变换矩阵记为 M1 , M1a为固定坐标系 ∑ 到坐标系 ∑ 的坐标变换矩阵及矢量 1
ai a
变换矩阵 ,则 M1 ai = M1 a ・Maai .
第 11 卷 第 2 期 2003 年 6 月
河南机电高等专科学校学报 Journal of Henan Mechanical and Electrical Engineering College
Vol. 11 №. 2 Jun. 2003
弧齿锥齿轮三维实体模型的构建方法
陈国荣1 ,吕春红2