第十一讲 第六章 样本和抽样分布(2016)

正独立的量只有n-1个，所以自由度是n-1.
9、单个正态总体下：
X U ~ N (0, 1) / n
X T ~ t (n 1) . S/ n
两个正态总体下：
U ( X Y ) ( 1 2 )
2 12 / n1 2 / n2
~ N (0,1)
T
(X Y ) （1 2） ~ t (n1 n2 2) 1 1 S 2 n1 n2 (n1 1) S12 (n2 1) S2 2 其中 S
1、总体中的每一个个体是随机试验的一个观察值， 因此它是某一随机变量X的值。这就意味着一个总体 对应一个随机变量X，因此对总体的研究就是对一个
随机变量X的研究，总是把总体看成一个具有分布的
随机变量X 。X中每一个个体被抽到的机会相等，因 此与总体具有一样的分布。如果二年级同学年龄分 布律为： X p
, X5
1、由于X 1 X 2 ~ N (0, 2), X 3 X 4 ~ N (0, 2), X 5 X 6 ~ N (0,2)
U1
U2
1 ( X 1 X 2 ) ~ N (0,1) 2
1 ( X 3 X 4 ) ~ N (0,1) 2
U ~ (1)
2 1 2
2 U2 ~ 2 (1)
4
U1 / 3 ~ F (3,3) 又由题意知 U1 , V1相互独立，故 V1 / 3
即统计量U服从F(3,3)分布.
四 讨论题
1、设总体X 2 (n), X 1 , X 2 ,..., X 10是来自总体X 的样本， 求E ( X ), D( X ), E ( S 2 ).
2、设总体X b(1, p), X 1 , X 2 ,..., X n是来自总体X 的样本， 求:1) X i , 2) E ( X ), D( X ), E ( S 2 ).
2 (
i 1
n
Xi

)2
n

i 1
n
(Xi )
2

2
n
~ 2 ( n) .
2 9、正态总体方差已知和未知时样本均值分布有何不同？
而
(n 1) S 2
~ 2 (n 1)
10、正态总体样本方差的分布？
6、(1)
X1 , X 2 , , X n 相互独立,且 X i ~ N (0, 1) , 则
X X
2 2 1 2 2
X ~ ( n) .
2 n
2
(2) 设 X ~ N (0,1) , Y ~ 2 (n) ,且 X,Y 相互独立,
X T ~ t ( n) . Y n
2 2 (3) 设 X ~ (m) , Y ~ (n) ,且 X,Y 相互独立,
X /m F ~ F (m, n) . Y /n
n1 n2 2
10、单个正态总体下：
(n 1) S 2 ~ 2 (n 1) X 与 S 2 相互独立。
2
两个正态总体下：
S12 F 2 S2
12 ~ F (n1 1, n2 1) . 2 2
三 填空题
1、从标准正态总体Ｎ（0,1）中抽取样本 X 1 , X 2 ,
（2）X中每一个个体被抽到的机会相等（与总体X同
分布）. 满足这两个条件的样本就是简单随机样本.
3、样本是总体的反映，又是进行统计推断的依据， 但样本反映的信息是凌乱的，无序的和分散的， 所以要针对不同的问题构造不同的函数，将信息
集中起来，便于进行统计推断和研究分析，使之
更易揭示问题的本质。 若不含未知参数，则统计量与样本有关，而与总 体无关；若含有未知参数，则无法依靠样本观测 值来求未知参数的估计值；因而失去了利用统计 量估计未知参数的作用。
2 (n) ( z 2n 1) 2
1 2
当n充分大时 (n 45)，t (n) z .
（了解）
2 8、 ( i 1
n
Xi

)2
n

i 1
n
(Xi )
2
2
n
n
2 ( X X ) i i 1
~ 2 ( n) .
未知，用 X 替代
4、设随机变量X与Y相互独立，且都服从 N (0 , 2 )
X 1 , X 2 , X 3 和 Y1 , Y2 , Y3 , Y4 分别来自X和Y的样本，则
统计量 U
2 X i i 1 2 ( Y Y ) j j 1 4 3
服从
ຫໍສະໝຸດ Baidu分布。
2 X ~ N (0, 0.3 ), i 1, 2,...,9 3、由于 i
4.2 5 X 5 5.8 5 （ 1）P{4.2 X 5.8} P{ } 2 / 25 2 / 25 2 / 25 (2) (2) 2 (2) 1 0.908
2 (25 1) S (25 1) 6.07 2 （2）P{S 6.07} P{ } 4 4 24 S 2 P{ 36.42} 0.5 4 (查 2分布的分位点得)
1 U3 ( X 3 X 4 ) ~ N (0,1) 2
U 32 ~ 2 (1)
2 2 2 U , U , U 又易知 1 2 3 相互独立 ，故U12 U 22 U 32 ~ 2 (3)
所以C=1/2
2、因 X 1 X 2 ~ N (0, 2)， 从而
2 3 2 4 2 5 2
本节讨论课提纲



内容提要 思考题 填空题 讨论题 总结
一 内容提要
样 本 和 抽 样 分 布 统计量：X、S 2、S、Ak、Bk 2 分布 三大分布 T分布 （ 构造、性质、分位点） 方差已知 F分布 X 的分布 方差未知 单正态总体 正态总 S 2 的分布 体的样 方差已知 本均值 X Y 的分布 和方差 方差未知 双正态总体 2 的分布 S12 / S 2 的分布 基本概念 总体、个体、容量、样本
E (S ) D( X ) p(1 p).
2
3、 在正态总体Ｎ（5,4）中随机抽取一容量为25的样
本，求
(1)样本均值 X 落在4.2到5.8的概率；
2 S (2)样本方差 大于6.07的概率。
(3) 求 D( S 2 ).
3、解：因总体X~N(5,4)，所以
X 5 X ~ N (5, 4 / 25), ~ N (0,1), 2 / 25 2 (25 1) S ~ 2 (24) 4
18 0.2 19 0.5 20 0.3
总体可以理解为18岁占的比例为0.2，而随机抽取一 个同学是18岁的可能性为0.2。
2、要了解一个总体，最好是了解每一个个体，但这
样太费时间，代价太高，因此，用抽取样本的方式 来了解是最好的选择.为了使样本 X1 , X 2 , , X n 具有充 分的代表性： （1）X 1 , X 2 , , X n 相互独立；
, X6,
使统计量 Y C[( X 1 X 2 ) 2 ( X 3 X 4 ) 2 ( X 5 X 6 ) 2 ]
服从 2 分布.则C
.
2、 从标准正态总体Ｎ（0,1）中抽取样本 X 1 , X 2 , X1 X 2 若统计量 Y C 2 X 32 X 4 X 52 服从 t 分布，则常数C= .
i 1 n
1、解：E ( X )=E （X） =n; D( X ) D( X ) 2n n ;
10 10 5
E ( S 2 ) D( X ) 2n.
2、解： X i ~ b(n, p)
i 1 n
D( X ) p(1 p) E ( X )=E （X） =p; D( X ) ; n n
(n 1)
1 n 2 S ( X X ) i n 1 i 1
2
2
n 1
(n 1) S 2
2
(n 1) 1 n 2 2 ( X X ) ~ (n 1) i 2 n 1 i 1
因为有等式 X
X 1 X 2 ... X n 约束，可以理解为真 n
则
X
i 1
9
i
~ N (0,9 0.3 ) 即
2
10 9 X i ~ N (0,1) 9 i 1
又由于Yi ~ N (0, 0.32 ), 即 Yi ~ N (0,1)，i 1, 2,...,9
0.3
Yi 100 9 2 2 Y ~ (9) 从而有 i 9 i 1 i 1 0.3
n 1 n 1 n 1 2 2 2 2 B2 ( X i X ) X i nX S n i 1 n i 1 n
n 1 1 n 2 2 E (S ) E ( X i nX ) [ E ( X i2 ) nE ( X 2 )] n 1 i 1 n 1 i 1 2
1 n 2 2 2 [ ( ) n( 2 )] 2 . n 1 i 1 n
n 1 n 1 2 2 2 E ( B2 ) E ( X i nX ) . n i 1 n
6、三大分布如何构造？ 7、上 位点和上 1 分位点关系？ 8、如何理解
7、若 Z ~ N (0, 1) , 则 z1 z .
若 T ~ t (n) , 则 t1 (n) t (n).
1 . 若 F ~ F (n1 , n2 ) , 则 F1 (n1 , n2 ) F (n2 , n1 )
注意：卡方分布的上 位点和上 1 分位 点没有必然关系？ 当n充分大时 (n 40)，近似地有
1 ( X 1 X 2 ) ~ N (0,1) 2
又因为 X X X ~ (3) 且与 故由t分布的构造可知：
3 Y 2 2 2 2 (X3 X4 X5 ) / 3
3 6 所以C 2 2
1 ( X1 X 2 ) 2
相互独立
( X1 X 2 ) / 2
X1 X 2 X X X
二 思考题
1、为什么可以把总体看成是一个随机变量？如何理 解个体与总体具有一样的分布？
2、简单随机样本有什么特点？有什么意义？
3、统计量有什么意义？为什么统计量中不能 含有未 知参数？ 4、样本均值的期望与方差？ 5、如何定义样本方差 S 2？与样本2阶中心矩 B2 的区 别？若总体方差存在，试求 E ( S 2 ), E ( B2 ).
1 n 1 n 4、 E ( X ) E ( X i ) E ( X i ) , n i 1 n i 1
1 n 1 n D( X ) D( X i ) 2 D( X i ) . n i 1 n i 1 n
2
n n 1 1 2 2 2 2 (Xi X ) X i nX 5、S n 1 i 1 n 1 i 1
(3) 因为
9
2
又 因为 X 1 , X 2 ,..., X 9 和 Y1 , Y2 ,..., Y9 独立，根据t分布
10 9 Xi 的定义可得： 9 i 1 100 9 9 Yi 9 9 i 1
X 1 X 2 ... X 9 Y Y ... Y
2 1 2 2 2 9
U ~ t (9)
4、易知 U1
1
2
2 ( X 12 X 2 X 32 ) ~ 2 (3)
又记
2 4 1 (4 1) S 2 2 S2 ( Y Y ) ，则 ~ (4 1) j 2 4 1 j 1
得 V1
1
2
2 2 ( Y Y ) ~ (3) j j 1
2 3 2 4 2 5
~ t (3)
3、设 X 1 , X 2 ,..., X 9 和 Y1 , Y2 ,..., Y9 均来自正态总体N (0,0.32 ) 的两个独立样本，则统计量
U X 1 X 2 ... X 9 Y12 Y22 ... Y92 服从
分布。