自动控制原理(王万良)第二章

δ (t )
脉冲响应是系统的数学模型! 阶跃响应不是系统的数学模型! 思考： 求系统在单位阶跃信号作用下的输出相应（单位阶跃响应）。 并考虑系统的单位脉冲响应与单位阶跃响应之间的关系？
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系统
g(t)
传递函数的性质：
（1）传递函数只取决于系统或元件的结构和参数，与输 入输出无关； （2）传递函数概念仅适用于线性定常系统，具有复变函 数的所有性质； （3）传递函数是复变量s 的有理真分式，即n≥m； （4）传递函数是系统冲激响应的拉氏变换； （5）传递函数与真正的物理系统不存在一一对应关系； （6）由于传递函数的分子多项式和分母多项式的系数均 为实数，故零点和极点可以是实数，也可以是成对 的共轭复数。
Φ (s ) ——闭环传递函数
当H(s)=1时，为单位反馈系统
闭环传函= 前向通路传函 1+开环传函
思考：正反馈情况下的闭环传函？
闭环传函= 前向通路传函 1—开环传函
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说明1： 在很多情况下，传函为分式，
B1 ( s ) 设前向通道传函G(s) = A1 ( s ) B2 ( s ) 反馈通道传函H(s) = A2 ( s )
5
例2.1
一阶RC网络系统
du c i=C dt
u1 = iR
u1 + u c = u r
RC du c + uc = ur dt
du c T + uc = ur dt
T = RC
6
例2.2
RLC网络。 L R
设系统输入为ui(t)，输出为uo(t)。 解： 根据电路原理，可列得如下方程 ui
i
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结构图的三种基本运算
◆ 方框的串联及运算
R(s) G1(s) U(s) G2(s) C(s) R(s) G1(s)G2(s) ? C(s)
思考：多个环节串联？ 结论：方框串联连接总传递函数等于各个方框传递函数的乘积。 ◆ 方框的并联及运算
R(s) G1(s) G2(s)
U1
+ +
C(s)
R(s)
C ( s ) 3s 2 + 5 s + 1 = 3 相应的传递函数为： G ( s ) = R(s) s + s 2 + 4s C ( s ) 3s 2 + 2 s + 1 = 3 练习2 已知某系统传递函数为： G ( s ) = R( s) s + 4s + 1
相应的微分方程为： c (t ) + 4c(t ) + c(t ) = 3r (t ) + 2r (t ) + r (t )
m
∏ (s − p )
= 2( s + 1)( s − 2) ( s + 3)( s + 1 + j )( s + 1 − j )
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G(s) =
2s 2 − 2s − 4 s 3 + 5s 2 + 8s + 6
3．时间常数形式
K G ( s) = sv
∏ (τ s + 1)
i
m
∏ (T s + 1)
20
2.3.2
传递函数的表示方式
G ( s) = bm s m + bm−1 s m−1 + a n s n + a n −1 s n −1 + + b1 s + b0 + a1 s + a 0 = N ( s) D( s)
1．有理分式形式
2．零极点形式
k G ( s) =
∏ (s − z )
i i =1 n i i =1
d 2 X (t ) dX (t ) m + f + kX (t ) = F (t ) 2 dt dt
数学模型只反映数学关系，不反映物理结构！
3
数学模型可分为静态模型和动态模型 静态模型—— 在静态（即变量的各阶导数为零）条件下， 描写变量之间关系的代数方程。 动态模型——描写变量各阶导数之间关系的微分方程
C(s) C(s) R(s) G (s) G (s) R(s) G (s) C(s) C(s) C(s) 1/G (s) R(s)
± ±
◆ 引出点前移： R( G (s) s) ◆ 引出点后移： R(s)
●
●
G (s)
C(s)
R(s) ◆ 比较点前移： R(s) G (s) C(s)
R(s)
G (s)
放大环节（比例环节）：k 积分环节： 1
s 微分环节： s
振荡环节：
1 T 2 s 2 + 2ς Ts + 1
一阶微分环节： τs + 1 二阶微分环节：τ 2 s 2 + 2ςτs + 1
滞后环节（纯时滞环节）：e
−τs
1 惯性环节： Ts + 1
其中，振荡环节和二阶微分环节中 0 < ς < 1 一个系统或一个元件（线性连续）总可以由一个或几 个基本环节组成。 有些基本环节在实际中可以单独存在，但象各种微 分环节实际上是不能单独存在的。
一个很实用的结论。
式中：“+”表示负反馈；“-”表示正反馈。 说明2： 定义：Φ(s)的 分母=0 为系统特征方程。 特征方程的根称为系统的特征根。
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1 ± G (s) H (s) = 0
A1 ( s ) ⋅ A2 ( s ) ± B1 ( s ) ⋅ B2 ( s ) = 0
2.4.2
结构图的变换法则
i i =1
2 (τ k s 2 + 2ς k τ k s + 1)
i =1 n′
K G (s) = sv
∏ ∏
j =1 i =1 n1
m1
(τ i s + 1)
∏
k =1 n2 l =1
m2
(T j s + 1)
∏
(Tl 2 s 2 + 2ς l Tl s + 1)
22
2.3.3 线性系统的基本环节
2
2.1
系统数学模型的概念
自控理论方法是先将系统抽象完数学模型，然后用数学的方法处理。 控制系统的数学模型是描述系统内部各物理量（或变量） 之间关系的数学表达式或图形表达式或数字表达式。
＋
F(t)
＋
ur(t)
i
uc(t) －
m
f
X(t)
－
d 2U c (t ) dU c (t ) LC + RC + U c (t ) = U r (t ) dt 2 dt
思考与理解:传递函数只是 对系统的数学描述，并不 反映系统的物理构成。
8
例2.4 (P18)
。
ur R1 R1
－ ＋
C
R2
。 uc 。
9
2.3
传递函数
预备知识——拉普拉斯变换
典型信号的拉氏变换
10
11
拉普拉斯变换的性质（基本定理）
12
有理分式的分解（1）：极点为相异实数的情况
13
有理分式的分解（2）：出现极点为相同实数的情况
U(s)
系统G(s)
Y(s)
a n s n + a n −1 s n −1 +
Y ( s) = G ( s )U ( s)
y (t ) = L−1 {Y ( s )} = L−1{G ( s )U ( s )}
系统微分方程与传递 函数可以直接转换!
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关注传递函数和微分方程的对应关系
a n y ( n ) + a n −1 y ( n −1) + + a1 y + a 0 y = bm u ( m ) + + b1u + b0 u
C
uo
⎧ui = u L + u R + uo ⎪ ⎪i = C duo dt ⎪ ⎪ du ⎨ u R = Ri = RC o ⎪ dt ⎪ d 2uo di ⎪ ⎪u L = L dt = LC dt 2 ⎩
d 2uo du LC 2 + RC o + uo = ui ——二阶线性常系数微分方程 dt dt
d 2 x(t ) m = F (t ) − F1 (t ) − F2 (t ) 2 dt
其中：K为弹簧的弹性系数；f为阻尼器的阻尼系数。
dx(t ) d 2 x(t ) ∴m + f + Kx (t ) = F (t ) 2 dt dt 2 d uo du 上例RLC网络 LC + RC o + uo = ui dt 2 dt
Y ( s ) bm s m + bm −1s m −1 + + b1s + b0 = U ( s ) an s n + an −1s n −1 + + a1s + a0 练习1
已知某系统微分方程为：
c ( t ) + c ( t ) + 4 c ( t ) = 3r ( t ) + 5 r ( t ) + r ( t )
结构图可以形象直观地描述系统中各元件间的相互 关系及其功能以及信号在系统中的传递、变换过程。 特点：具有图示模型的直观，又有数学模型的精确。
反馈控制系统原理图
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结构图包含四个基本元素：
信号线：带有箭头的直线，箭头表示信号传递方向。 引出点（测量点）：引出或者测量信号的位置。
这里的信号引出与测量信号一样，不影响原信号，所以也称为测量点。 比较点（综合点）：对两个或者两个以上的信号进行代数运算。 方块：对于线性定常系统或元件，通常在方框中写入其传递函数。
7
例2.3 弹簧-质量-阻尼机器机械位移系统。 试列写质量m在外力F(t)作用下，位移x(t)的运动方程。 解：设质量m相对于初始状态的位移为：x(t) 则速度、加速度分别，dx(t)/dt，d2x/dt2 由牛顿运动定律有：
F(t) m x(t) f 弹簧的弹力=Kx(t) 阻尼器的阻尼力=fdx(t)/dt K
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惯性环节与延迟环节的区别：
惯性环节: 从输入开始时刻就已有输出，仅由于惯性，输出要经过一段
时间之后才接近所要求的输出值；
延迟环节: 从输入开始后在0－τ时间内没有输出，在t =τ之后，才有输出。
r (t )
0
c(t )
τ
24
2.4
2.4.1
结构图
结构图的基本组成 控制系统的结构图是系统数学模型的图解形式；
C(s) Q(s)
Q( C(s) = R(s)G(ss) Q(s) )±
1/G (s)
Q( s) ]G ( s ) C ( s) = [ R( s) ± G(s)
⎧ 分析法（解析法） 建立数学模型的方法主要有 ⎨ ⎩ 实验法（辨识法）
4
2.2
u(t)
微分方程描述
系统
y(t)
a n y ( n ) + a n −1 y ( n −1) +
+ a1 y + a 0 y = bm u ( m) +
+ b1u + b0 u
系统微分方程的形式与系统分类之间的关系: （1）非线性微分方程描述的是非线性系统； （2）线性微分方程描述的是线性系统; （3）时变系统的微分方程的系数与时间有关； （4）时不变(定常)系统的微分方程的系数与时间无关。
G1(s)+G2(s) ?
C(s)
U2
思考：多个环节并联？ 结论：并联的总传递函数等于各个方框传递函数的代数和。
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◆ 反馈（feedback ）连接方框的运算
R(s) E(s) G(s) - B(s) H(s) C(s) R(s) C(s) G ( s) 1 + G (？ ( s ) s) H
G(s)H(s) ——闭环系统的开环传递函数
第2章
连续系统的数学模型
校正方法（控制器设计方法）
滞后-超前、PID、LQ最优等
系统
(机械，电气， 过程等)
建模方法 机理或实验
数学模型
性能分析
若性能
稳定性、 对系统进行校正 动态性能、 鲁棒性等等
不满足要求
1
本章主要内容 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 系统数学模型的概念 微分方程描述 传递函数 结构图 信号流图 系统数学模型的MATLAB表示
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考察单位脉冲输入信号下系统的输出
单位脉冲输入信号的拉氏变换为1
U ( s ) = L{δ (t )} = 1
U(s)
系统G(s)
Y(s)
单位脉冲输入信号下系统的输出的拉氏变换为
Y(s) = G(s)
1
系统G(s)
Y(s)
单位脉冲输入信号下系统的输出为
g(t) = L−1{Y(s)} = L−1{G(s)}
即：
B1 ( s ) A1 ( s ) 有：Φ ( s ) = B ( s) B (s) 1± 1 ⋅ 2 A1 ( s ) A2 ( s )
=
闭环传递函数 =
前向分子 ⋅ 反馈分母 分母乘积 ± 分子乘积
B1 ( s ) ⋅ A2 ( s ) A1 ( s ) ⋅ A2 ( s ) ± B1 ( s ) ⋅ B2 ( s )
u(t)
+ b1u + b0 u
Y ( s ) bm s m + bm −1s m −1 + + b1s + b0 = U ( s ) an s n + an −1s n −1 + + a1s + a0
bm s + bm −1 s
m m −1
系统
y(t)
G(s) =
+
+ b1 s + b0 + a1 s + a 0
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例：
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有理分式的分解（3）：出现极点为相异复数数的情况
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2.3.1百度文库
传递函数与脉冲响应函数的定义
定义：在零初始条件下，线性定常系统（环节）输出的拉氏变换与 输入的拉氏变换之比，称为该系统（环节）的传递函数。
a n y ( n) + a n −1 y ( n −1) + + a1 y + a 0 y = bm u ( m) +