桥涵水文课件第三章__水文统计原理

KP 1 Cv Cv x
xP x
为了便于应用，预先制成离均系数值表（见表3-6-1），可供查 阅。
QP (C v 1)Q K P Q
离均系数 f ( P, C s )
皮尔逊Ⅲ型频率曲线的离均系数 值表 P(%) Cs 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.01 3.72 3.94 4.16 4.38 4.61 0.1 3.09 3.23 3.38 3.52 3.67 0.2 2.88 3.00 3.12 3.24 3.36 0.33 2.71 2.82 2.92 3.03 3.14 0.5 2.58 2.67 2.76 2.86 2.95 1 2.33 2.40 2.47 2.54 2.62 2 2.05 2.11 2.16 2.21 2.26 5 1.64 1.67 1.70 1.73 1.75 10 1.28 1.29 1.30 1.31 1.32 表3-6-1 20 0.84 0.84 0.83 0.82 0.82 50 0.00 -0.02 -0.03 -0.05 -0.07 75 -0.67 -0.68 -0.69 -0.70 -0.71 90 -1.28 -1.27 -1.26 -1.24 -1.23 95 -1.64 -1.62 -1.59 -1.55 -1.52 99 -2.33 -2.25 -2.18 -2.10 -2.03 P(%) Cs 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4

偏态系数
C S
反映密度曲线的对称特征，即衡量系列在均值的两侧分布 对称或不对称（偏态）程度的系数。
C
S

x
n i 1
i
x
3

3
n

K
i 1
n
i
1
3
n C V3
当Cs>0，密度曲线峰顶在均值的左边，为左偏或正偏，概率分 布曲线为向下凹曲线。 当Cs<0，密度曲线峰顶在均值的右边，为右偏或负偏，概率分 布曲线为向上凸曲线。 当Cs=0，密度曲线峰顶在均值处，为对称分布或正态分布，概 率分布曲线为一直线。
分布曲线－频率曲线

若以流量为纵坐标，累 积频率为横坐标，则可 绘出流量与累积频率关 系的条形图，表示年最 大流量的累积频率分 布。流量的实测次数趋 于无穷大，组距趋于无 穷小时，形成一条中间 平缓两侧陡峭的横置形 曲线，如图中虚线所 示，称为频率分布曲线 （简称为分布曲线）
F (x)

x
频率曲线

目前，各国应用最 广的经验频率公式 是维泊尔 （Weibull）公式， 又称均值公式、数 学期望公式，即 ：
m P 100 % n 1
流量与累积频率关系
11 9 7 5 3 1 0 20 40 60 80 100 120
1600 1400


海森格纸的特点是使 正态分布在其上面的 图形成为一条直线， 因此海森格纸是一种 中间密两边渐疏的特 种坐标分格的频率格 纸。 水文现象随机变量的 分布曲线在海森格纸 上呈微向下弯曲的曲 线，但端部条件较 好，利于延长。
密度曲线
某一组距 的频率密度 是频率在组 距内的平均 值，若组距 为 x ，区 间的频率 为 P ，则 频率密度为
30 0～
10 15 20 0 5 25 30 频 率 （％）
P x
P lim f (x) x
2 40 00 0～ 3 50 00 0～ 4 60 00 0～ 5 70 00 0～ 6 80 00 0～ 7 90 00 0～ 10 800 00 ～ 11 9 00 00 ～ 12 100 00 0 ～ 13 110 00 0 ～ 14 120 00 0 ～ 13 00
一、水文现象的特性 1．周期性：如暴雨与洪水的联系、降水、径流以年为 周期的变化、丰、枯年组的周期交替 2．随机性：如某河的某一断面各年径流不同，具有随 机性，但某一径流具有相应的稳定概率。 3． 地区性： 气候因素与地理因素具有地区性变化规 律，使水文现象也具有地区变化规律

我国多年平均降水量，东南→西北递减 多年平均径流深，东南→西北递减
二、水文研究的基本方法
1． 成因分析法： 建立水文现象与影响因素之间的数学物理方 程，预测未来水文现象 2． 数理统计法： 用数理统计原理和方法，推求水文现象的统 计规律和设计值，如千年一遇、万年一遇洪水 3． 地区综合法： 从地区变化规律入手，找出水文特征值的地 区分布规律，如水文等值线图、地区经验公式
频 率 （％） 1.3 1.3 2.7 4.0 6.7 10.7 18.6 26.7 14.7 8.0 4.0 1.3 100.0
累积出 现次数 （年） 1 2 4 7 12 20 34 54 65 71 74 75
累 积 频 率 （％） 1.3 2.6 5.3 9.3 16.0 26.7 45.3 72.0 86.7 94.7 98.7 100.0


常用的抽样方法是“年最大 值法”。例如从一个水文站 的历年流量观测资料中， 每年选取一个洪水成因相 同的最大洪峰流量，年的 观测资料中，可以选出个 年最大流量值，组成一个 项容量的随机样本，就称 为“年最大流量法”。 根据样本推断的规律性， 不是总体的客观真实情 况，与客观存在着一定的 误差。这种由抽样而引起 的误差，数理统计中称为 抽样误差。
通过密度函数可以求出概率分布函数 F(x)
F ( x) P ( X x)


x
f x dx
密度函数
密度函数与分布函数的关系
频率分布、频率密度、累积频率



水文资料是连续型随 机变量，可以在其最 大值和最小值的区间 内取一切值。但是， 实际观测的次数是有 限的，无法得到区间 内的一切取值。 现以某水文站75年的 年最大流量实测资料 为例，进行分析计 算，见表3-3-1。 这是一个样本
e
X

均方差

n
描述概率分布离散趋势的特征参数。限于比较均值相同的系列

x i
i 1
x
2
/n
随机变量分布越分散，均方差越大；分布越集中，均方差越小。

变差系数
C V
比较两个不同均值系列的离散程度时，采用均方差与均值 之比值，用于衡量系列相对离散程度。
CV
K
i
1 x x
水文现象大多属于正偏，Cs>0 （PШ曲线）。当 其他参数不变时，Cs值越大，则概率曲线的凹度越 大，即两端都在正态直线以上，中间部分向下。
几种常见的概率分布曲线
皮尔逊III 型曲线
耿贝尔 分布
威布尔 分布
耿贝尔分布
I型极值分布率：
xp x
pn
S
x
最小项极值分布率：
xp x

x
n i 1
i
x

2
/n
K
K i
i 1
n
1 / n
2
—— 为模比系数
i
xi / x
对于某条河流的年径流量来说，Cv越大，其年际变化越 大；若两个河流比较，一般大河的调节作用比小河要大，所以 大河年径流分布的Cv值比小河的小。
Cv越大，随机变量x的分布越分散，概率分布曲线的 左侧抬高，右侧降低；反之，左侧下降，右侧上抬。
皮尔逊III型曲线
y f (x) ( )
——


( )
( x a 0 ) a 1 e ( x a 0 )

0
t 1 e t dt ，称为 的伽马函数

0
—— 曲线七点的横坐标值，待定参数 —— 待定参数
,
曲线参数与统计参数之间的关系：

4 C s2

2 xC V C
s
a0
2CV x (1 ) CS
均值、变差系数、偏差系数
P-Ⅲ型曲线
将皮尔逊Ⅲ型曲线的密度函数进行一定的积分演算，就可 以得到频率曲线，即分布函数：
x P (C v 1) x K P x
模比系数
KP
xP x
C v 1
离均系数
1200 1000 800 600 400 200 0 1 3 5 9 16 27 45 72 87 95 99 100
随机变量的统计参数
能说明随机变量统计规律的某些特征数值，称为统计参数，或特征 参数，有时为分布参数。
常用：均值、变差系数、偏差系数

均值（平均数） x

x1 x2 ... xn 1 n x xi n n i1
周期性
成因法
偶然性
概率论和 数理统计
区域性
区域性方法
降水量分布：东南部平均年降水量1600mm 台湾： 平均年降水量2540mm
华北和东北： 平均年降水量400～800mm 西北大部： 平均年降水量200～400mm
新疆塔里木盆地：平均年降水量<25mm 青海柴达木盆地：平均年降水量<25mm 当前的径流特点：水多、水少、水脏
普通高等教育“十一五”国家级规划教材 21世纪交通版高等学校教材
桥涵水文（第四版）
第三章 水文统计原理
高冬光 李家春
王亚玲 编著 李朋丽 课件编制
高冬光校审
人民交通出版社
本章主要内容
水文现象的特征和分析方法 几率与频率 频率分布 经验频率曲线 统计参数 理论频率曲线 相关分析
§1-2 水文现象的特性和研究方法
随机变量 出现某一数值Xi常具有相应的概率，表明这种变量 x带有随机性，称为随机变量，或随机变数。
相邻两个随机变量之间，不存在中间值
随机变量在一个有限区间内可以取得任何数值
总体与样本



统计数学将研究对象中全 部个体的总和，称为总 体，总体所含个体的数 目，叫做总体的容量。 总体中的一部分个体称为 样本。样本所含的个体的 数目叫做样本容量。 由于样本是总体的一部 分，因此样本的特征在一 定程度上反映出总体的特 征。
流 量 3 （m /s） 1400～1300 1300～1200 1200～1100 1100～1000 1000～900 900～800 800～700 700～600 600～500 500～400 400～300 300～200 总计
出 现 次 数 （年） 1 1 2 3 5 8 14 20 11 6 3 1 75
随机变量的概率分布 随机变量与其概率一一对应的关系，称为随机变量 的概率分布规律，简称概率分布。 P ( X x n ) p n
P( X x)
是随机变量x的分布函数。
F (x ) P (X x )
代表X大于某一取值x的概率，其几何曲线称为概率 分布曲线；如果用实测资料点绘的，水文上称为累积频 率曲线，也简称为频率曲线。
1 重现期T与累积频率P的关系 T P
上述累积频率是指多年平均出现的机会；重现期则是平均若 干年出现一次，而不是固定的周期。
设计洪水频率

为了经济、合理地确定工程的设计流量，《公路 工程技术标准》（JTG B01—2003）规定了桥涵设 计洪水频率 。
构造物名称 特大桥 大、中桥 小桥 涵洞及小型排 水构造物 公 路 等 级 高速公路 1/300 1/100 1/100 1/100 一 1/300 1/100 1/100 1/100 二 1/100 1/100 1/50 1/50 三 1/100 1/50 1/25 1/25 四 1/100 1/50 1/25 不作规 定
pn
S
x
威布尔分布
P ( X s) F (x)
1 e

wk.baidu.comx


;(x )
0; ( x )
英国生物学家皮尔逊(K·Pearson)统计分析大量实际资料，发现 概率密度函数曲线的图形是单峰式的，且曲线的两端或一端与横 轴线渐近相切。
f(x )d x
流量与累积频率关系
11 9 7 5 3 1 0 20 40 60 80 100 120
P( x x P ) F ( x P )

xP
f ( x ) dx
水文统计中，等于和大于某一流量值出现的次数（即累积出现 重现期 次数）与总次数的比值，称为该流量的累积频率，工程应用中 简称为该流量的频率，以百分数（%）或以几分之一表示，如为 1%或1/100。 桥梁水文计算时，洪水、潮汐等水文现象的样本取值，采用的 抽样方法为年最大值法，因而表示的频率为年频率。 重现期：在一定的时期内，等于或大于某洪峰流量出现一次 的平均间隔时间。
均值表示系列的分布中心，代表随机变量系列的平均 水平， x 值越大表示累积频率曲线或密度曲线的平均水 平值高， x 值小则平均水平值低。

ˆ 众值（众数） x
0
概率密度曲线峰顶值在x坐标上相应的位置值，为 M
x 中值（中位数）
X
对于连续随机变量，把概率密度曲线下的面积分为两个 相等部分所对应的x值为中值，为 M