年高考第一轮复习数学不等式的解法一

不等式的解法（一）

●知识梳理

1.一元一次不等式的解法.

任何一个一元一次不等式经过不等式的同解变形后，都可以化为ax ＞b （a ≠0）的形式.

当a ＞0时，解集为{x |x ＞a

b

}；当a ＜0时，解集为{x |x ＜a

b }. 2.一元二次不等式的解法.

任何一个一元二次不等式经过不等式的同解变形后，都可以化为ax 2+bx +c ＞0（或＜0）（其中a ＞0）的形式，再根据“大于取两边，小于夹中间”求解集.

3.简单的高次不等式、分式不等式的求解问题可采用“数轴标根法”.

思考讨论

用“数轴标根法”解高次、分式不等式时，对于偶次重根应怎样处理? ●点击双基

1.（2004年全国Ⅳ，5）不等式3

2-+x x x ）

（＜0的解集为 A.{x |x ＜－2或0＜x ＜3} B.{x |－2＜x ＜0或x ＞3} C.{x |x ＜－2或x ＞0} D.{x |x ＜0或x ＞3} 解析：在数轴上标出各根. 答案：A

2.（2003年北京）若不等式|ax +2|＜6的解集为（－1，2），则实数a 等于

C.－4

D.－8

解析：由|ax +2|＜6得－6＜ax +2＜6，

即－8＜ax＜4.∵不等式|ax+2|＜6的解集为（－1，2），易检验a=－4.

答案：C

3.（2003年重庆市诊断性考试题）已知函数f（x）是R上的增函数，A（0，－1）、B（3，1）是其图象上的两点，那么| f（x+1）|＜1的解集是

A.（1，4）

B.（－1，2）

C.（－∞，1］∪［4，+∞）

D.（－∞，－1］∪［2，+∞）

解析：由题意知f（0）=－1，f（3）=1.

又| f（x+1）|＜1 －1＜f（x+1）＜1，

即f（0）＜f（x+1）＜f（3）.

又f（x）为R上的增函数，

∴0＜x+1＜3.∴－1＜x＜2.

答案：B

4.（理）（2003年山东潍坊市第二次模拟考试题）不等式x2－|x－1|－1≤0的解集为____________.

解析：当x－1≥0时，原不等式化为x2－x≤0，解得0≤x≤1.

∴x=1；

当x－1＜0时，原不等式化为x2+x－2≤0，

解得－2≤x≤1.∴－2≤x＜1.

综上，x≥－2.

答案：{x|－2≤x≤1}

（文）不等式ax2+（ab+1）x+b＞0的解集为{x|1＜x＜2}，则a+b=_______.

解析：∵ax 2+（ab +1）x +b ＞0的解集为{x |1＜x ＜2}，

∴⎪⎪⎪⎩

⎪⎪⎪⎨⎧

==+-<.2310a b

a a

b a ，，

解得⎪⎩⎪⎨⎧

-=-=121b a ，或⎩⎨

⎧-=-=.21b a ， ∴a +b =－2

3或－3. 答案：－2

3或－3

5.不等式ax 2+bx +c ＞0的解集为{x |2＜x ＜3}，则不等式ax 2－bx +c ＞0的解集为_______.

解析：令f （x ）=ax 2+bx +c ，其图象如下图所示， 再画出f （－x ）的图象即可. 答案：{x |－3＜x ＜－2} ●典例剖析 【例1】 解不等式

3

252

---x x x ＜－1.

剖析：这是一个分式不等式，其左边是两个关于x 的多项式的商，而右边是非零常数，故需移项通分，右边变为零，再利用商的符号法则，等价转化成整式不等式组.

解：原不等式变为

3

252

---x x x ＋1＜0，

即322

322--+-x x x x ＜0⇔⎪⎩⎪⎨⎧<-->+-⎪⎩⎪⎨⎧>--<+-⇔0

320

230320232

222x x x x x x x x 或，－1＜x ＜1或2＜x ＜3. ∴原不等式的解集是｛x ｜－1＜x ＜1或2＜x ＜3｝.

【例2】 求实数m 的范围，使y =lg ［mx 2+2（m +1）x +9m +4］对任意x ∈R 恒有意义.

剖析：mx 2+2（m +1）x +9m +4＞0恒成立的含义是该不等式的解集为R . 故应⎩

⎨

⎧>.00＜，

Δm

解：由题意知mx 2+2（m +1）x +9m +4＞0的解集为R ，则 解得m ＞4

1

.

评述：二次不等式ax 2+bx +c ＞0恒成立的条件：⎩

⎨⎧<>.00Δa ，

若未说明是二次不等式还应讨论a =0的情况.

思考讨论

本题若要使值域为全体实数，m 的范围是什么? 提示：对m 分类讨论，m =0适合. 当m ≠0时，⎩

⎨

⎧≥>.00Δm ，

解m 即可. 【例3】 若不等式2x －1＞m （x 2－1）对满足|m |≤2的所有m 都成立，求x 的取值范围.

剖析：对于m ∈［－2，2］，不等式2x －1＞m （x 2－1）恒成立，把m 视为主元，利用函数的观点来解决.

解：原不等式化为（x 2－1）m －（2x －1）＜0. 令f （m ）=（x 2－1）m －（2x －1）（－2≤m ≤2）.

则⎪⎩⎪⎨⎧<---=<----=-.0121220121222

2）（）（）

（，）（）（）

（x x f x x f 解得

271+-＜x ＜2

3

1+. 深化拓展

1.本题若变式：不等式2x －1＞m （x 2－1）对一切－2≤x ≤2都成立，求m 的取值范围.

2.本题若把m 分离出来再求m 的范围能行吗? ●闯关训练