最短路径(将军饮马)问题
人教版八年级数学上册：13.4课题学习最短路径问题(将军饮马为题)教案
三、教学难点与重点
1.教学重点
-理解并掌握轴对称的性质，以及在实际问题中的应用。
-学会利用轴对称性质解决最短路径问题，特别是将军饮马问题。
-掌握通过直观感知、操作确认、推理证明等数学活动来解决几何问题。
其次，小组讨论环节，学生的参与度很高，大家积极分享自己的观点。但我注意到，有些小组在讨论时可能会偏离主题，讨论一些与最短路径问题不相关的内容。这提示我在今后的教学中，需要更加明确讨论的主题和目标，适时引导学生回到主题上来。
另外，实践活动的设计上，我觉得还可以进一步优化。虽然实验操作能够帮助学生理解最短路径的概念，但我觉得可以增加一些更具挑战性和实际意义的任务，让学生在实践中遇到更多的问题，从而激发他们更深层次的思考和探索。
教学内容：
（1）回顾线段的性质，强调线段是两点间距离最短的路径。
（2）引入将军饮马问题，探讨在给定条件下如何找到最短路径。
（3）学习轴对称的性质，掌握将问题转化为轴对称问题的方法。
（4）应用轴对称性质解决将军饮马问题，得出最短路径的解法。
（5）通过例题和练习，巩固最短路径问题的求解方法。
二、核心素养目标
在难点和重点的讲解上，我尽量使用了简单的语言和生动的例子，但仍有部分学生在理解上存在障碍。我考虑在下一节课前，通过一些小测验来检测学生对这些概念的理解程度，以便我能够更有针对性地进行辅导。
此外，我也意识到，对于一些接受能力较强的学生，他们在掌握了基本概念后，可能需要更多拓展性的内容来满足他们的学习需求。因此，我计划在后续的课程中，提供一些难度较高的题目，让他们在挑战中进一步提升自己的能力。
3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调轴对称性质和线段性质这两个重点。对于难点部分，我会通过具体例题和图形比较来帮助大家理解。
《最短路径-将军饮马问题》教学课件ppt
• A2
AB+BC+CA的和
为什么是最小呢？
·
M
A
两点之间
N
线段最短
反思验证
将军饮马问题
为什么AB+BC+CA的和最小？Fra bibliotek情节1：
O
B
C
• A2
A1 •
C′
B′ ·
M
A
N
两点之间 线段最短
反思验证
将军饮马问题
为什么AB+BC+CA的和最小？
情节2： A1 •
O
C
B
·
M
A
• A2
两点之间 线段最短
N
y
4
A′• 3 2 1•P
-4 -3 -2 -1 0 1 -1 -2 -3 -4
•A
2 3•P 4 x
•B
若换成y 轴呢？
一题多变
将军饮马问题
探究3 若将军要先让马到草地OM吃草，再到河边ON喝水 ，最后回到出发点A，你能画出最短路径吗？
O
A
M
N
探究新知
将军饮马问题
分析：1、建模：点在两直线的内部 2、在OM上找点B，在ON上找点C， 使AB+BC+CA的和最小。
O
B
·
M
A
考虑对称点的作用
C
1.将直线同侧两点问题转 化为直线异侧两点问题；
2.利用轴对称的性质可以 将相等线段转化。
N
方法揭晓
将军饮马问题
作法：
1、作点A关于直线OM的对称点A1，点A关于直线ON的对称点A2 ， 2、连接A1，A2，交OM于B，交ON于C,
则路径A-B-C-A是最短路径。
专题14 将军饮马问题(解析版)
专题14将军饮马问题模型的概述：唐朝诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河．”诗中隐含着一个有趣的数学问题：将军在观望烽火之后从山脚下的A点出发，走到河边让战马饮水后再到B点宿营。
问如何行走才能使总的路程最短。
模型一（两点在河的异侧）：将军在观望烽火之后从山脚下的A点出发，走到河边让战马饮水后再到B点宿营，将在何处渡河使行走距离最短并求最短距离。
方法：如右图，连接AB，与线段L交于点M,在M处渡河距离最短，最短距离为线段AB的长。
模型二（两点在河的同侧）：将军在观望烽火之后从山脚下的A点出发，需先走到河边让战马饮水后再到B 点宿营，将在何处渡河使行走距离最短并求最短距离。
方法：如右图，作点B关于直线L的对称点B’，连接AB’,与直线L的交点即为所求的渡河点，最短距离为线段AB’的长。
模型三：如图，将军同部队行驶至P处，准备在此驻扎，但有哨兵发现前方为两河AB、BC的交汇处，为防止敌军在对岸埋伏需派侦察兵到河边观察，再返回P处向将军汇报情况，问侦察兵在AB、BC何处侦查才能最快完成任务并求最短距离。
数学描述：如图在直线AB、BC上分别找点M、N，使得∆PMN周长最小。
方法：如右图，分别作点P关于直线AB、BC的对称点P’、P’’，连接P’P’’，与两直线的交点即为所求点M、N，最短距离为线段P’P’’的长。
模型四如图，深夜为防止敌军在对岸埋伏，将军又派一队侦察兵到河边观察，并叮嘱观察之后先去存粮位置点Q处查看再返回P处向将军汇报情况，问侦察在AB、BC何处侦查才能最快完成任务并求最短距离。
数学描述：如图在直线AB、BC上分别找点M、N，使得四边形PQNM周长最小。
方法：如右图，分别作点P、点Q关于直线AB、BC的对称点P’、Q’，连接P’Q’，与两直线的交点即为所求点M、N，最短距离为线段(PQ+P’Q’)的长。
模型一-模型四的理论依据：两点之间线段最短。
模型五：已知点P在直线AB、BC的外侧，在直线AB和BC上分别取一点M、N，求PM+PN的最小值方法：如右图，过点P作PN⊥BC，垂足为点N，PN与AB相交于点M，与两直线的交点即为所求点M、N，最短距离为线段PN的长。
134将军饮马——最短路径问题教学设计
134将军饮马——最短路径问题教学设计13.4将军饮马——最短路径问题教学设计一、教学内容解析为了解决生产，经营中省时省力省钱而希望寻求最佳的解决方案而产生了最短路径问题.初中阶段，主要以“两点之间，线段最短”，“连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短”，为理论基础，有时还要借助轴对称、平移、旋转等变换进行研究.本节内容是在学生研究平移、轴对称等变换的基础上对数学史中的一个经典问题——“将军饮马问题”为载体进行变式设计，开展对“最短路径问题”的课题研究，让学生经历将实际问题抽象为数学的线段和最小问题，再利用轴对称、平移将线段和最小问题转化为“两点之间，线段最短”的问题.从中，让学生借助所学知识和生活经验独立思考或与他人合作，经历发现问题和提出问题，分析问题和解决、验证问题的全过程，感悟数学各部分内容之间，数学与实际生活之间及其他学科的联系，激发学生研究数学的兴趣，加深对所学数学内容的理解，它既是轴对称、平移知识运用的延续，又能培养学生自行探究，学会思考，在知识与能力转化上起到桥梁作用。
基于以上分析，本节课的教学重点确定为：[教学重点]利用轴对称、平移等变换将最短路径问题转化为“两点之间，线段最短”问题.二、教学目标解析新课程标准明确要求，数学研究不仅要让学生获得必要的数学知识、技能，还要包括在启迪思维、解决问题、情感与态度等方面得到发展.因此，确定教学目标如下：[教学目标]能利用轴对称、平移解决简单的最短路径问题，体会图形的变化在解决最值问题中的作用，感悟领会转化的数学思想，培养学生探究问题的兴趣和合作交流的意识，感受数学的实用性，体验自己探究出问题的成就感.[目标解析]达线目标的标志是：学生能将实际问题中的“地点”、“河”、“草地”抽象为数学中的“点”、“线”，把最短路径问题抽象为数学中的线段和最小问题，能利用轴对称将处在直线同侧的两点，变成两点处在直线的异侧，能利用平移将两条线段拼接在一起，从而转化为“两点之间，线段最短”问题，能经由进程逻辑推理证实所求距离最短，在探索问题的进程中，体会轴对称、平移的感化，体会感悟转化的数学思想.三、学生学情诊断八年级的学生直接经验少，理解本领差，抽象思维水平较低，处于直觉经验型思维向逻辑思维的过渡阶段，辩证思维还只是处在萌芽和初始的状态上.最短路径问题从本质上说是最值问题，作为初中生，在此前很少涉及最值问题，解决这方面问题的数学经验尚显不足，特别是面对具有实际背景的最值问题，更会感到陌生，无从下手.解答：“当点A、B在直线的同侧时，如何在上找点C，使AC与CB的和最小”，需要将其转化为“直线异侧的两点，与上的点的线段和最小”的问题，为什么需要这样转化，怎样通过轴对称实现转化，一些学生会存在理解和操作方面的困难.在证实“最短”时，需要在直线上任取一点，证实所连线段和大于或等于所求作的线段和.这种思路和办法，一些学生还想不到.在解答“使处在直线两侧的两线段和最小”的问题，需要把它们平移拼接在一起，一些学生想不到.教学时，教师可以让学生首先思考“直线的异侧的两点，与上的点的线段和最小”，给予学生开导，在证实“最短”时，点拨学生要另选一个量，经由进程与求证的那个量举行比较来证实，同时让学生体会“任意”的感化，因此确定本节课的教学难点为：[教学难点]如何利用轴对称将最短路径问题转化为线段和最小问题.四、教学策略分析建构主义理论的核心是“知识不是被动接受的而是认知主体积极建构的.”根据本节课的教学目标、教材内容以及学生的认知特点和实际水平，教学上采用“引导——探究——发现——证明——归纳总结”的教学模式，鼓励引导学生、开动脑筋、大胆尝试，在探究活动中培养学生创新思维与想象能力.教师的教法：突出解题办法的引导与开导，注重思维惯的造就，为学生搭建介入和交流的平台.经由进程对“将军饮马问题”而改编与设计，增强数学教室兴趣性,相同背景，不同问题，由浅入深、层层递进，有利于学生分析与解决问题，同时利用现代的信息技术，直观地展示图形的变化进程，进步学生研究兴趣与激情.学生的学法：突出探究与发现，思考与归纳提升，在动手探究、自主思考、互动交流中，获取知识与能力.5、教学基本流程探索新知——运用新知——拓展新知——提炼新知——课外思考六、教学过程设计（一）探索新知1、建立模型问题1唐朝诗人XXX的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”．诗中隐含着一个有趣的数学问题．如图1所示，诗中将军在观望烽火之后从山脚下的指挥部A地出发，到一条笔直的河边使他所走的路线全程最短？追问1，这是一个实际问题，你打算首先做什么呢？师生活动：将A、B两地抽象为两个点，将河抽象为一条直线饮马，然后到军营B地，到河滨什么地方饮马可追问2，你能用自己的语言说明这个问题的意思，并把它抽象为数学的问题吗？师生活动：学生交流讨论，回答并相互补充，最后达成共识：（1）行走的路线：从A地出发，到河边饮马，然后到B 地；上的点.设C为直线l（2）路线全程最短转化为两条线段和最短；（3）现在的问题是怎样找出使两条线段长度之和为最短的直线上的一个动点，上面的问题转化为：当点C在的什么位置时，AC与CB的和最小［设计意图］从数学史上久负盛名的“将军饮马问题”引入，增长学生们的数学底蕴，进步其人文思想.同时引导学生分析题意，画出图形.将实际问题转化为数学问题更有利于分析问题、解决问题.2、解决问题问题2如图点A、B在直线的同侧，点C位直线位置时，AC与CB的和最小？上的一个动点，当点C在的什么师生活动：让学生独立思考、画图分析，并展示如果学生有困难，教师作如下提示：（1）如图，如果军营B地在河对岸，点C在此受到什么启发呢？的什么位置时，AC与CB的和最小？由（2）如图，如何将点B“移”到保持CB与CB´的长度相等？的另一侧B´处，且满足直线上的任意一点C，都学生在老师的开导引导下，完成作图.［设计意图］先通过学生对本题的思考尝试，并展示，师生共同纠错，提高认识与辩证思想，再通过老师的引导启发明白解决这个问题应该运用轴对称的性质，将两点在直线同侧的问题，转化为两点在直线异测的问题，提高学生的空间想象能力与逻辑思维能力，让学生在思考和解决问题的过程中，提高甄别是非的能力，感悟转化的数学思想.3、证明“最短”问题3，为什么这种作法是正确的呢？你能用所学的知识证明AC+CB最短吗？师生活动：分组讨论，教师引导点拨，结合多媒体的演示，师生共同完成证明过程.证明：如图，在直线上任取一点Cˊ.连接AC´、BC´、B´C´.由轴对称的性质可知：BC=B´CBC´.=B´C´∴XXX=AB´AC´+BC´=AC´+B´C´当C´与C不重合时AB´＜AC´+C´B´∴AC+BC＜AC´+C´B当C´与C重合时AC+BC=AC´+C´B总之，AC+BC≤AC´+C´B即AC+BC最短［设计意图］利用现代信息技术，经由进程移动点C´的位置，可发觉：当C´与C不重合时，AC+BC＜AC´+C´B，当C´与C重合时，XXX让学生很容易知道AC+BC最短，消除学生的疑虑，发挥了多媒体的感化，让学生进一步体会作法的正确性，进步了逻辑思维本领.4、小结新知回顾前面的探究进程，我们是经由进程怎样的进程，借助什么解决问题的？体现了什么数学思想？师生活动：学生回答，并相互补充.［设计意图］让学生在反思的过程中，体会轴对称的“桥梁”作用，感悟转化思想，明确解题的方法与策略，为后面进一步的研究探究做准备.（二）运用新知XXX，如果将军从指挥部A地出发，先到河滨a某一处饮马，再到草地边b某一处牧马，然后来到军营B地，请画出最短路径.师生活动：分组讨论，教师点拨，点学生上台操作演示，画出最短路径.［设计意图］对前面所学的解题办法与思路得以巩固，让学生构成技能，进一步体会感悟数学中的转化思想，点学生下台操作演示，进步他们的学生兴趣与理论本领，体会成功的高兴，激发他们进一步探究问题的欲望.（三）拓展新知有一天，将军突发奇想：如果从指挥部A地出发，到一条笔直的河边a某处饮马，然后沿着河边行走一定的路程，再来到军营B地，到河边什么地方饮马可使所走的路线全程最短？师生举动：1、老师首先解释行走肯定的路程的含义，引导学生将实际问题抽象为数学问题，再提出如下问题：（1）要使所走的路线全程最短，实际上是使几条线段之和最短？（2）怎样将问题转化为“两点之间，线段最短”的问题.2、分组讨论，师生共同分析.3、完成作图，体会作图的步调与分析问题的思路的联系与区别.［设计意图］本题在“将军饮马问题”的背景下进行改编，有造桥选址问题的影子，既增强了课堂教学的趣味性，又完成了教学任务，可谓一举两得..教学由问题引领，老师引导，学生小组合作讨论交流的方式，充分发挥现代信息技术的作用完成分析与解答的过程，让学生学得轻松与愉悦，培养了学生的应用意识、创新意识、综合与分析能力，在解决问题的过程中，体会作图题的解题方法与策略.让学生的能力得到进一步锻炼与提高.（四）提炼新知师生一起回顾本节课所学的主要内容，并请学生回答以下问题：1、本节课研讨问题的进程是什么？2、解决上述问题运用了什么知识？。
将军饮马最短距离原理
将军饮马最短距离原理1.引言1.1 概述将军饮马最短距离原理是一种常见的数学问题，根据传说中的典故“将军饮马”，通过解决这个问题我们可以得到最短距离的最优解。
这个问题在数学领域中被广泛研究和应用，尤其在图论、最优路径规划、网络优化等领域中具有重要的意义。
将军饮马最短距离问题可以简单描述为：一个将军要从指定位置A饮马到指定位置B，同时他必须经过多个中间位置，并且需要选择经过这些中间位置的最短路径。
这个问题可以用图论中的有权有向图来模拟和解决。
每个位置可以看作图中的一个节点，将军的移动可以看作是节点之间的有向边，每条边的权值表示将军从一个位置到另一个位置的移动距离。
通过这个问题的求解，我们可以找到从起点到终点的最短路径，即将军饮马的最短距离。
将军饮马最短距离原理的研究不仅可以用于解决实际问题，还可以用来优化和改进一些相关算法和模型。
例如，在网络优化中，我们可以利用这个原理来找到网络中数据传输的最短路径，从而提高网络的传输效率。
此外，通过将军饮马问题的研究，还可以挖掘和发现一些潜在的规律和规划策略，进一步推动相关领域的发展。
本文将从将军饮马最短距离原理的背景和原理解析两个方面进行详细探讨，通过对相关理论和算法的介绍和分析，旨在增加对这一原理的理解和认识。
同时，本文还将探讨将军饮马最短距离原理的应用价值和未来发展方向，以期为相关领域的研究和实践提供一定的参考和指导。
1.2文章结构1.2 文章结构本文将按照以下结构进行叙述和分析将军饮马最短距离原理：1. 引言：为了引出将军饮马最短距离原理的背景和意义，概述本文将要介绍的内容。
2. 正文：2.1 将军饮马最短距离原理的背景：详细介绍将军饮马最短距离原理的起源和历史背景，包括相关的故事或传说，以便读者能够更好地理解该原理。
2.2 将军饮马最短距离原理的原理解析：深入分析将军饮马最短距离原理的具体原理，包括数学模型和算法等相关内容。
通过展示相关的数学推导或图表，让读者理解这一原理的运作机制。
最短路径(将军饮马)问题(知识梳理与考点分类讲解)(人教版)(学生版) 24-25学年八年级数学上册
专题13.10最短路径（将军饮马）问题（知识梳理与考点分类讲解）第一部分【知识点归纳】【模型一：两定交点型】如图1，直线l和l的异侧两点A.B，在直线l上求作一点P，使PA+PB 最小；图1【模型二：两定一动型】如图2，直线l和l的同侧两点A.B，在直线l上求作一点P，使PA+PB 最小（同侧转化为异侧）；图2【模型三：一定两动型】如图3，点P是∠MON内的一点，分别在OM，ON上作点A，B。
使△PAB的周长最小。
图3【模型四：两定两动型】如图4，点P，Q为∠MON内的两点，分别在OM，ON上作点A，B。
使四边形PAQB的周长最小。
图4【模型五：一定两动（垂线段最短）型】如图5，点A是∠MON外的一点，在射线ON上作点P，使PA与点P到射线OM的距离之和最小。
图5【模型六：一定两动，找（作）对称点转化型】如图6，点A是∠MON内的一点，在射线ON 上作点P，使PA与点P到射线OM的距离之和最小。
图6【考点1】两定一动型；【考点2】一定两动（两点之间线段最短）型；【考点3】一定两动（垂线段最短）型；【考点4】两定两动型；【考点5】一定两动（等线段）转化型；.第二部分【题型展示与方法点拨】【考点1】两定一动型；【例1】（23-24八年级上·全国·课后作业）如图，在ABC ∆中，3,4AB AC ==，EF 垂直平分BC ，交AC 于点D ，则ABP 周长的最小值是（）A ．12B ．6C ．7D ．8【变式】（23-24八年级上·广东广州·期中）如图，在ABC ∆中，1216AB AC ==，，20BC =．将ABC V 沿射线BM 折叠，使点A 与BC 边上的点D 重合，E 为射线BM 上的一个动点，则CDE 周长的最小值．【考点2】一定两动（两点之间线段最短）型；【例2】（23-24八年级上·湖北省直辖县级单位·期末）如图，45MON ∠=︒，P 为MON ∠内一点，A 为OM 上一点，B 为ON 上一点，当PAB 的周长取最小值时，APB ∠的度数为（）A ．45︒B ．90︒C ．100︒D ．135︒【变式】（23-24八年级上·江苏无锡·期中）如图，45AOB ∠=︒，点M N 、分别在射线OA OB 、上，5MN =，15OMN S = ，点P 是直线MN 上的一个动点，点P 关于OA 的对称点为1P ，点P 关于OB 的对称点为2P ，连接1OP 、2OP 、12PP ，当点P 在直线MN 上运动时，则12OPP 面积的最小值是．【考点3】一定两动型（垂线段最短）；【例3】（22-23八年级上·湖北武汉·期末）如图，在ABC ∆中，3AB =，4BC =，5AC =，AB BC ⊥，点P 、Q 分别是边BC 、AC 上的动点，则AP PQ +的最小值等于（）A ．4B ．245C ．5D ．275【变式】（23-24七年级下·陕西西安·阶段练习）如图，在Rt ABC △中，90ACB ∠=︒，3AC =，4BC =，5AB =，AD 是ABC V 的角平分线，若P Q 、分别是AD 和AC 边上的动点，则PC PQ +的最小值是．【考点4】两定两动型；【例4】如图，已知24AOB ∠=︒，OP 平分AOB ∠，1OP =，C 在OA 上，D 在OB 上，E 在OP 上．当CP CD DE ++取最小值时，此时PCD ∠的度数为（）A ．36︒B ．48︒C ．60︒D ．72︒【考点5】一定两动（等线段）转化型；【例5】（20-21八年级上·湖北鄂州·期中）如图，AD 为等腰△ABC 的高，其中∠ACB =50°，AC =BC ，E ，F 分别为线段AD ，AC 上的动点，且AE =CF ，当BF ＋CE 取最小值时，∠AFB 的度数为（）A ．75°B ．90°C ．95°D ．105°【变式】（23-24七年级下·四川宜宾·期末）在ABC V 中，80CAB ∠=︒，2AB =，3AC =，点E 是边AB 的中点，CAB ∠的角平分线交BC 于点D ．作直线AD ，在直线AD 上有一点P ，连结PC 、PE ，则PC PE -的最大值是．第三部分【中考链接与拓展延伸】1、直通中考【例1】（2020·湖北·中考真题）如图，D 是等边三角形ABC 外一点．若8,6BD CD ==，连接AD ，则AD 的最大值与最小值的差为．【例2】（2020·新疆·中考真题）如图，在ABC V 中，90,60,4A B AB ∠=∠=︒=︒，若D 是BC 边上的动点，则2AD DC +的最小值为．2、拓展延伸【例1】（23-24八年级上·江苏镇江·阶段练习）如图，AC 、BD 在AB 的同侧，点M 为线段AB 中点，2AC =，8BD =，8AB =，若120CMD ∠=︒，则CD 的最大值为（）A ．18B ．16C ．14D ．12【例2】（22-23八年级上·湖北武汉·期末）如图，锐角ABC V 中，302A BC ∠=︒=，，ABC V 的面积是6，D 、E 、F 分别是三边上的动点，则DEF 周长的最小值是（）A ．3B ．4C ．6D ．7。
人教版数学八年级上册13.4课题学习最短路径问题将军饮马优秀教学案例
在本章节的学习过程中，学生将经历以下过程与方法：
1.通过小组合作、讨论交流的方式，培养学生的团队协作能力和沟通能力。
2.引导学生从实际问题出发，培养学生的发现问题、分析问题和解决问题的能力。
3.利用数学软件、教具等辅助工具，培养学生的动手操作能力和实际应用能力。
4.通过对最短路径问题的探讨，引导学生掌握数学建模的方法，提高学生的数学思维能力。
4.教师巡回指导，关注每个小组的学习情况，及时解答学生疑问。
（四）反思与评价
1.教师引导学生对所学知识进行总结、反思，帮助学生巩固知识点，形成知识体系。
2.鼓励学生自我评价，反思自己在解决问题过程中的优点和不足，培养学生的自我认知能力。
3.组织小组互评，让学生学会欣赏他人的优点，发现自身的不足，促进团队合作。
3.对学生提出的解决方案进行讨论、分析，找出最优解，并解释其原理。
（三）小组合作
小组合作是实现教学目标的重要途径，具体策略如下：
1.将学生分成若干小组，每组4-6人，确保组内成员在知识、能力、性格等方面具有一定的互补性。
2.各小组针对问题进行讨论、研究，共同寻找解决方案。
3.小组间进行交流、分享，互相学习，取长补短。
4.教师对学生在课堂上的表现进行评价，给予肯定和鼓励，指出需要改进的地方。
（五）作业小结
在作业小结环节，我将布置以下任务：
1.请学生运用所学知识，解决一个生活中的最短路径问题，并以作文或报告的形式提交。
2.要求学生在作业中阐述自己的思考过程、解决方案和心得体会，以提高学生的书面表达能力。
3.鼓励学生进行课后拓展，了解其他求解最短路径的方法，如：A*算法、遗传算法等，提升学生的自主学习能力。
3.小组间进行分享、交流，互相借鉴，完善各自的方法和思路。
最短路径(将军饮马+造桥选址)
为ＡM＋MN＋ＮＰ＋Ｐ
B
Ｑ＋ＱＢ．
11/24/2019
思维方法二
沿垂直于第一条河岸方
A
向平移Ａ点至Ａ１ 点，沿 A1
垂直于第二条河岸方向平移
Ｂ点至Ｂ１点，连接A1B1
M
分别交A、B的对岸于N、P 两点，建桥MN和PQ.
N P
最短路径 AM+MN+NP+PQ+QB转化为
AA1+A1B1+BB1.
Q B
M N P Q
B
平移的方法有三种：两个桥长都平移 到A点处、都平移到B点处、MN平移 到A点处，PQ平移到B点处
11/24/2019
思维方法一
1、沿垂直于第一条河岸的方向平移A点至 AA1使AA1=MN，此时问题转化为问题基本题 型两点（A1、B点）和一条河建桥（PQ）
A A1
B
11/24/2019
最短路径 问题
将军饮马 造桥选址
问题
问题
郧西县河夹中学
段廉洁
最短路径问题
①垂线段最短。
B L
A
②两点之间，线段最短。
A L
C B
问题1 如图，牧马人从A地出发，到一条笔直的河边l饮马，然后到B地.牧马
人到河边的什么地方饮马，可使所走的路径最短？
A C
B
L
两种情形
① 点A，B分别是直线l异 侧的两个点
a
A
M
b
N
B
解决问题 2
① 作图
A A′
M N
a b
B
② 证明
A A′
a
M′
b
M
N′
N
B
最短路径问题1--将军饮马型2-一点两轴型
13.4最短路径问题1--将军饮马型2-一点两轴型一．【知识要点】题方法是关键。
二．【经典例题】1．如图，已知∠AOB，点P在∠AOB内部，请在射线OA上确定点M，在射线OB上确定点N，使△PMN的周长最小。
【问题 1】作法作图原理在直线 l 上求一点 P，使PA+PB 值最小。
连 AB，与 l 交点即为 P．两点之间线段最短．PA+PB 最小值为 AB．【问题 2】作法作图原理在直线 l 上求一点 P，使PA+PB 值最小．作 B 关于 l 的对称点 B＇连 A B＇，与 l 交点即为 P．两点之间线段最短．PA+PB 最小值为A B＇．【问题 3】“将军饮马”作法作图原理在直线 l1 、 l2 上分别求点M、N，使△PMN 的周长最小．分别作点 P 关于两直线的对称点 P＇和 P＇，连 P＇P＇，与两直线交点即为M，N．两点之间线段最短．PM+MN+PN 的最小值为线段 P＇P＇＇的长。
【问题 5】作法作图原理在 l1上求点 A，在 l2上求点 B，使 PA+AB 值最小．作点P 关于l1的对称点P＇，作P＇B⊥ l2于B，交l1于 A．点到直线，垂线段最短PA+AB 的值最小为P＇B三．【题库】 【A 】1．有一个养鱼专业户，在如图所示地形的两个池塘内养鱼，他住的地方在P 点，每天早上必须去池塘边投放鱼食，试问他怎么走才能走最少的路程完成放食回到住地？说明理由.2.如图：点P 为∠AOB 内一点，分别作出P 点关于OA 、OB 的对称点P 1，P 2，连接P 1P 2交OA 于M ，交OB 于N ，P 1P 2=15，则△PMN 的周长为 ．【B 】1.如图，四边形ABCD 中，∠C=50°，∠B=∠D=90°，在BC 、CD 上分别找一点M 、N ，使△A MN 周长最小时，则∠MAN 的度数为____________。
P 2P 1N MO PB A2.如图，点P 为∠AOB 内一点，分别作出点P 关于OA 、OB 的对称点1P 、2P ，连接1P 2P 交OA 于M ，交OB 于N ，若1P 2P ＝6，则△PMN 的周长为（ ）． A.4 B.5 C.6 D.7【C 】1.如图，四边形ABCD 中，∠BAD=120°，∠B=∠D=90°，在BC 、CD 上分别找一点M 、N ，使△AMN 周长最小时，则∠AMN+∠ANM 的度数为（ ）。
最短路径(将军饮马造桥选址)
M N P Q
G
H
B
问题解决 A
A1
沿垂直于河岸方向依次把A点平 A 2 移至A１、A２、A3，使AA１ A3 ＝MN，A１A２ ＝PQ，A2A3 =GH ； 连接A3B交于B点相邻河岸于H 点，建桥GH； 连接A2G交第二河与G对岸的P 点，建桥PQ； 连接A1P交第一条河与A的对岸 于N点，建桥MN. 此时从A到B点路径最短.
M N
P Q
G H
B
问题解决
沿垂直于河岸方向依次把A点平 移至A１、A２、A3，使AA１ ＝MN，A１A２ ＝PQ，A2A3 =GH ； 连接A3B交于B点相邻河岸于H 点，建桥GH； 连接A2G交第二河与G对岸的P 点，建桥PQ； 连接A1P交第一条河与A的对岸 于N点，建桥MN. 此时从A到B点路径最短.
B
Ｑ＋ＱＢ．
思维方法二
沿垂直于第一条河岸方
A
向平移Ａ点至Ａ１ 点，沿 A1
垂直于第二条河岸方向平移
Ｂ点至Ｂ１点，连接A1B1
M
分别交A、B的对岸于N、P 两点，建桥MN和PQ.
N P
最短路径 AM+MN+NP+PQ+QB转化为
AA1+A1B1+BB1.
Q B
思维方法三
沿垂直于河岸方向依次把 B点平移至B１、B２，使 BB１＝PQ，B１B２ ＝MN ； 连接B２A交于A点相邻河 岸于M点，建桥MN； 连接B１N交B１的对岸于 P点，建桥PQ； 从Ａ点到Ｂ点的最短路径 为ＡM＋MN＋NP＋ＭＮ ＋ＮＰ＋ＰＱ＋ＱＢ转化 为AB2+B2B1+B1B．
最短路径问题 ---“将军饮马” 问题
【重要考点】 两点之间线段最短、轴对称的性质、正方形的性质、圆、
二次函数的图象与性质、三角形相关知识、基本作图等．
【命题形式】 主要以二次函数、四边形、三角形、圆为背景借助轴对称
的性质考查学生的综合能力。
【考查方向】 最短路径问题(即“将军饮马”模式)，动点问题下的最
塔P向A村、B村铺设管道最短需__5_0_0__米。
y
B
A
O
P
M
X
H
B′
知识应用
（利用正方形的对称性找对称点）
2. 已知正方形ABCD的边长为4，F为BC边的中点， P为 对角线BD上的一动点，要使 PF+PC的值最小，试确定点P 的位置，并求出最小值。
因为点C关于BD的对称点为
点A,连接AF，交BD于P点。
坐标为(2,−3)
总结
【思想方法】 (1) 最短路径问题的背景来源主要有：角、等腰(边) 三角形、菱形、正方形以及圆等．从内容上看，还会引申到 三角形(四边形)的周长最值问题、面积最值等问题。 (2)“将军饮马”问题就是利用对称性“化折为直”。
方法提升：（PA+PB最小）
1.点的分类及确定： 两个定点+一个动点
2．如图，在边长为4的菱形ABCD中，点E，F分别在AB，AD边上，AE=1， AF=3，点P为BD上一动点，求：线段EP+FP和的最小值。
3．如图，在直角坐标系中，点A、B的坐标分别为（1，4）和（3，0），点C是y 轴上的一个动点，且A、B、C三点不在同一条直线上，当△ABC的周长最小时， 求点C的坐标。
值问题在中考中一般放置在选择题、填空题或解答题最后， 以压轴题的形式出现．
人教版八年级数学上册13.4 课题学习 最短路径问题--将军饮马课件
l
我们是怎样解决问题的？说说思考问题的思路．
反思与总结
新知一 两点一线型
实际问题1 图形表示，数学化 几何问题2
轴对称，转化问题 求两点之间线 段最短问题．
实际意义解释
实际问题1的解
几何问题2的解
轴对称，还原问题
B
B
A
A
DC
l
B′
拓展延伸
新知二 两线一点型
如图，将军从A地出发,先到草地边某处巡逻,再到河边 饮马,然后回到A地,应该怎样走才能使路程最短？
A
拓展延伸
这是个实际问题，你能用自己理解的语言描述一下吗？
如图所示，将A地抽象为一个点，将草地边和河边抽象
为两条直线.
l2
A
l1
你能用数学语言说明这个问题所表达的意思吗？
拓展延伸
如图，在直线l1和直线l2上分别找到点M，N，使得 △AMN的周长最小.
l2
A l1
拓展延伸
如图，在直线l1和直线l2上分别找到点M，N，使得
分析问题
新知一 两点一线型 问题2 如图，A，ห้องสมุดไป่ตู้是直线l同侧的两点，在直线l上作一
点C，使AC+BC最小．
A
问题难在哪里？怎么办？
l
C
如点A，B在直线两侧． B
依据：“两点之间，线段最短”
分析问题
问题2 如图，A，B是直线l同侧的两点，在直线l上作一 点C，使AC+BC最小．
能否把点B变到直线l的另一侧？要求？方法？ 对于直线上任一点C有BC=B′C． 作点B关于直线l的对称点B′．
△AMN的周长最小.
作法：过点A分别作关于直线l1，
A2 N
“将军饮马”常见模型 路径最短问题
两
点
·A
之
间
P
m
， 线
段
B·
最 短
第二关： “两点一线”两点在线的同侧
如图，将军您在A处接到最新消息，有人欲偷袭粮仓B， 需要您前去支援，但马儿已经口渴难耐，无法支撑至B处， 需先到河边饮水，您将选择在何处饮马？
同侧----异侧
·A
两点之间，线段最短
B·
m
·P
B1
第三关： “一点两线”点在两线中间
难点：如何理解通过轴对称解决路径一定是最 短
【路径最短问题】
知识点回顾
1、从A到B有三条路径，选择哪个路径最短？ 理由是__两_点 __之__间__，__线__段__最_短 __。___
2、图中点C与直线AB上点的连线中哪条最短？
理由是__垂 __线__段__最__短____
C
①
②
A
B
第一题 ③
或 者转化为垂线段最短问题
3、基本思想：转化的思想
谢 谢！
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BM+MN最小。
因为BAC的平分线交BC于点D。
由角平分线性质可知，ME=MN，
A
N
当BE是点B到直线AC的距离时 B （垂线段最短）
AB= 2，BAC=45o
BE=AB sin 45o 1
课堂总结：
1、基本知识点：两点之间线段最短 垂线段最短
2、基本方法：求线段和最短的问题通过对 称转化为两点之间线段最短 问题，实现“折”化“直”，
如图，将军您接到一个寻找水源的任务，行至P处，发现前方有两 河A,B交汇，您需派出一位侦察兵前往探测两河情况，并回到P处复命。 则侦察兵应在OA,OB上的何处侦察才能最快？
人教版八年级数学上册13.4《最短路径问题——将军饮马》教学设计
13.4 课题学习最短路径问题第一课时一、内容和内容解析1.内容最短路径问题——将军饮马问题2.内容解析本节课主要以“轴对称知识”、“两点之间，线段最短”、“三角形三边关系”等为基础，来解决数学史上的一个经典问题——“将军饮马问题”，让学生经历将实际问题抽象为数学中的线段和最小问题，接着利用轴对称将线段和最小问题转化为“两点之间，线段最短”的问题，然后再利用“三角形三边关系”对作图进行证明。
最后让学生对所学知识加以应用。
重点：利用轴对称将最短路径问题转化为“两点之间、线段最短”问题，培养学生解决实际问题的能力。
二、目标和目标解析1.教学目标（1）能将实际问题中的“地点”、“一排商铺”抽象为数学中的“点”、“线”，把实际问题抽象为数学问题；（2）能利用轴对称将线段和最小问题转化为“两点之间，线段最短”的问题；（3）能通过逻辑推理证明所求距离最短；（4）体会图形的变换在解决最值问题中的作用，感悟转化思想，进一步获得数学活动的经验，增强应用意识。
2.目标解析（1）将实际问题抽象成数学问题是学生的应具备的能力。
数学来源生活，服务生活。
（2）学生学会将用轴对称最短路径变为“两点之间线段最短”问题三、教学问题诊断分析学生在之前已经学习了“两点之间，线段最短”、“三角形三边关系”、“轴对称”等知识，知道如何去找某点关于某条直线的对称点，为本节课的学习打下了基础。
但是如何将将军饮马问题中的同侧两点问题转化为异侧两点问题，最终用“两点之间线段最短”解决，这是学生不易理解的地方。
本节课教学难点：如何利用轴对称将最短路径问题转化为“两点之间、线段最短”问题；在实际问题中运用最短路径模型灵活解决问题。
关键：运用好数形结合的思想，特别是从轴对称和线段的性质入手，利用轴对称转移线段，从而获得求线段之和最短问题的直观形象，以便准确理解本节课的内容。
四、教学过程设计1.故事引入，引出课题问题1 同学们你们取过包裹快递吗？你们知道双十一吗？播放《直击双11物流现场》视频，激发学生学习兴趣。
13.4最短路径问题将军饮马专题训练人教版八年级上册2024—2025学年八年级上册
13.4最短路径问题将军饮马专题训练人教版八年级上册2024—2025学年八年级上册一．将军饮马：线段和的最小值例1．唐朝诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”．诗中隐含着一个有趣的数学问题．如图1所示，诗中将军在观望烽火之后从山脚下的A点出发，走到河旁边的C点饮马后再到B点宿营．请问怎样走才能使总的路程最短？请你用所学的数学知识在图2中画出．例2．已知x+y＝7，且x，y均为正数，则的最小值是．变式1．如图，在平面直角坐标系中，点A（﹣2，2），B（2，1），点P（x，0）是x轴上的一个动点．结合图形得出式子的最小值是（）A．3B．C．5D．变式2．如图，正方形ABCD的边长为8，M在CD上，且DM＝2，N是AC上的一个动点，则DN+MN的最小值为（）A．6B．8C．10D．8变式3．如图，牧童在A处牧马，牧童的家在B处，A，B处到河岸的距离分别是AC＝300m，BD＝500m，且C，D两地之间的距离为600m．牧童从A处将马牵到河边去饮水，再牵回家，他至少要走的路程是（）A．1400m B．（500+300）mC．1000m D．（300+100）m变式4．如图，在△ABC中，AB⊥AC，AB＝3，BC＝5，AC＝4，EF垂直平分BC，点P为直线EF上的任意一点，则△ABP周长的最小值是（）A．12B．6C．7D．8变式5．如图，在△ABC中，AB＝7，BC＝5，AC的垂直平分线分别交AB，AC于点D，E，点F是DE上任意一点，△BCF的周长的最小值是（）A．2B．12C．5D．7二．选址造桥例3．如图，A和B两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥MN，使从A到B的路径AMNB最短的是（假定河的两岸是平行直线，桥要与河岸垂直）（）A．B．C．D．变式1．河的两岸成平行线，A，B是位于河两岸的两个车间（如图），要在河上造一座桥，使桥垂直于河岸，并且使A，B间的路程最短确定桥的位置的方法是：作从A到河岸的垂线，分别交河岸PQ，MN于F，G．在AG上取AE＝FG，连接EB，EB交MN于D．在D处作到对岸的垂线DC，垂足为C，那么DC就是造桥的位置．请说出桥造在CD位置时路程最短的理由，也就是（AC+CD+DB）最短的理由．变式2．如图，在平面直角坐标系中，O为原点，点A，C，E的坐标分别为（0，4），（8，0），（8，2），点P，Q是OC边上的两个动点，且PQ＝2，要使四边形APQE的周长最小，则点P的坐标为（）A．（2，0）B．（3，0）C．（4，0）D．（5，0）三．线段差最大例4．如图，在正方形ABCD中，AB＝8，AC与BD交于点O，N是AO的中点，点M在BC边上，且BM＝6．P为对角线BD上一点，则PM﹣PN的最大值为（）A．2B．3C．D．变式1．如图，已知△ABC为等腰直角三角形，AC＝BC＝4，∠BCD＝15°，P为CD上的动点，则|P A﹣PB|的最大值为．变式2．如图，在△ABC中，AB＝AC，AC的垂直平分线交AC于点N，交AB于点M，AB＝12cm，△BMC的周长是20cm，若点P在直线MN上，则P A﹣PB的最大值为（）A．12cm B．8cmC．6cm D．2cm四．角中对称问题例5．如图所示，OB是一条河流，OC是一片菜田，张大伯每天从家（A点处）去河边挑水，然后把水挑到菜田处，最后回到家中．请你帮他设计一条路线，使张大伯每天行走的路线最短．下列四个方案中你认为符合要求的是（）A．B．C．D．变式1．如图，点P是∠AOB内任意一点，OP＝8cm，点M和点N分别是射线OA和射线OB上的动点，若PN+PM+MN的最小值是8cm，求∠AOB的度数．变式2．如图所示，点P为∠AOB内一点，分别作出点P关于OA、OB的对称点P1、P2．连接P1P2交OA于M，交OB于N，若P1P2＝6，求则△PMN的周长．变式3．如图，∠AOB＝60°，点M、N分别在边OA、OB上，且OM＝1，ON＝3，点P、Q分别在边OB、OA上，求MP+PQ+QN的最小值课后练习1．如图，已知正方形ABCD的边长是4，点E是AB边上一动点，连接CE，过点B作BG ⊥CE于点G，点P是AB边上另一动点，则PD+PG的最小值为．2．如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝4，AC＝3，M、N、P分别是边AB、AC、BC 上的动点，连接PM、PN和MN，则PM+PN+MN的最小值是．3．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝6，AE＝4，AF＝2，G，H分别是边BC，CD上的动点，则四边形EFGH周长的最小值为．4．如图，在边长为4的正方形ABCD中，E为BC的中点，P为对角线BD上的一个动点，则线段CP+EP的最小值为．5．如图，正方形ABCD的边长为6，∠DAC的平分线交DC于点E．若点P，Q分别是AD 和AE上的动点，则DQ+PQ的最小值是．6．如图，过边长为2的等边三角形ABC的顶点C作直线l ⊥BC，然后作△ABC关于直线l对称的△A′B′C，P为线段A′C上一动点，连接AP，PB，则AP+PB的最小值是（）A．4B．3C．2D．2+7．如图，∠AOB＝30°，点P是∠AOB内的定点且OP＝3，若点M、N分别是射线OA、OB上异于点O的动点，则△PMN周长的最小值是（）A．3B．C．D．65．如图，已知正方形ABCD的边长为3，点E是AB边上一动点，连接ED，将ED绕点E顺时针旋转90°到EF，连接DF，CF，则当DF+CF之和取最小值时，△DCF的周长为（）A．B．C．D．6．如图，四边形ABCD中，∠BAD＝130°，∠B＝∠D＝90°，在BC，CD上分别找一点M，N，使△AMN的周长最小时，则∠ANM+∠AMN的度数为（）A．80°B．90°C．100°D．130°7．如图，△ABC中，AD⊥BC，垂足为D，AD＝BC，P为直线BC 上方的一个动点，△PBC的面积等于△ABC的面积的，则当PB+PC最小时，∠PBC的度数为（）A．30°B．45°C．60°D．90°8．如图，直线y＝x+8分别与x轴、y轴交于点A和点B，点C，D分别为线段AB，OB的中点，点P为OA上一动点，当PC+PD值最小时，点P的坐标为（）A．（﹣4，0）B．（﹣3，0）B．C．（﹣2，0）D．（﹣1，0）9．如图，等边△ABC中，BD⊥AC于D，QD＝15，点P、Q分别为AB、AD上的两个定点且BP＝AQ＝20，在BD上有一动点E使PE+QE最短，则PE+QE的最小值为（）A．35B．40C．50D．6010．如图，在△ABC中，∠A＝90°，AB＝6，BC＝10，EF是BC 的垂直平分线，P是直线EF上的任意一点，则P A+PB的最小值是（）A．6B．8C．10D．1213．如图，在正方形ABCD中，点E，F在对角线AC上，AC＝12，若点E，F是AC的三等分点，点P在正方形ABCD的边上从点A开始按逆时针方向运动一周，直至返回点A，则在此过程中PE+PF的最小值为（）A．4B．4C．6D．614．如图，在锐角三角形ABC中，AB＝4，∠BAC＝60°，∠BAC 的平分线交BC于点D，M，N分别是AD和AB上的动点，当BM+MN取得最小值时，AN＝（）A．2B．4C．6D．815．如图，P为∠AOB内一定点，M，N分别是射线OA，OB上的点，当△PMN的周长最小时，∠MPN＝100°，求∠AOB．16．如图，在锐角△ABC中，∠C＝40°；点P是边AB上的一个定点，点M、N分别是AC 和BC边上的动点，当△PMN的周长最小时，求∠MPN的度数17．如图，∠AOB＝30°，点P在OB上且OP＝2，点M、N分别是OA、OB上的动点，求PM+MN的最小值18．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝60°，点D在BC上且BD＝1，AD＝4，点E、F分别为边AC、AB上的动点，求△DEF的周长的最小值为．19．如图，在锐角△ABC中，∠ACB＝30°，点P为边AB上的一定点，连接CP，CP＝4，M，N分别为边AC和BC上的两动点，连接PM，PN，MN，则△PMN周长的最小值为；当△PMN周长的最小值时，∠MPN的度数为．20．如图，在△ABC中，AC＝BC＝4，∠ACB＝120°，点M在边BC上，且BM＝1，点N 是直线AC上一动点，点P是边AB上一动点，求PM+PN的最小值.21．如图，边长为a的等边△ABC中，BF是AC上中线且BF＝b，点D是线段BF上的动点，连接AD，在AD的右侧作等边△ADE，连接BE，求△ABE周长的最小值。
人教版 八年级上册13.4 最短路径问题(将军饮马问题)
A
城堡
B
军营
“将军饮马” 问题（一）
设C将为河直流线抽上象的为一一个条动直点线，l上．面将的城问堡题和就军转营化分别 为抽：象当成点AC，在B l两的个什点么。位置时,AC 与CB 的和最小?
·B
·A
C
C
l
“将军饮马” 问题（一）
如果点A与点B在直线l的异侧，点C 在什么位置，AC+BC最短？
·A
人教版 八年级上册
13.4 最短路径问题
（将军饮马问题）
最短路径
B
l
线段公理： 两点之间，线段最短。
垂线段性质： 垂线段最短。
“将军饮马” 问题（一）
将相军传从，城古堡希出腊发亚，历到山一大条里笔亚直城的里河有边一饮位马久，负然盛后名到 军的营学．者请，问名将叫军海到伦河．边有什一么天地，方一饮位马将可军使专他程所拜走访的海路伦线， 全求程教最一短个？百思不得其解的问题：
你能将 这个实际问 题转化成数 学问题吗？
“将军饮马” 问题（二）
A’
C
D B’
A
B
最短路径为： A C D B
C
l
·B 转化：两点之间，线段最短。
“将军饮马” 问题（一）
利用轴对称的性质如何找到点A的对应点 A’的位置。
·B ·A
l
A’
归纳
B A
l
解决实 际问题
B
A
C
l
B′
抽象为数学问题 用旧知解决新知
B
A
C
l
联想旧知
A
C
l
B
“将军饮马” 问题（二）
牧马人从A地出发，先到草地边某处牧 马，再到河边饮马，然后回到B处，请画出 最短路径。
13.4-将军饮马——最短路径问题教学设计
13.4最短路径问题教学设计教学目标能利用轴对称、平移解决简单的最短路径问题，体会图形的变化在解决最值问题中的作用，感悟领会转化的数学思想，培养学生探究问题的兴趣和合作交流的意识，感受数学的实用性，体验自己探究出问题的成就感.教学重点利用轴对称、平移等变换将最短路径问题转化为“两点之间，线段最短”问题.教学难点如何利用轴对称将最短路径问题转化为线段和最小问题.教学过程一、回顾旧知1.从A地到B地有三条路可供选择，你会选走哪条路最近？你的理由是什么？2.要在河边修建一个泵站向张村引水，在何处修建才能使所用引水管道最短？为什么？前面我们研究过一些关于“两点的所有连线中，线段最短”、“连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短”等的问题，我们称它们为最短路径问题．现实生活中经常涉及到选择最短路径的问题。
二、探索新知1、建立模型问题1 唐朝诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”．诗中隐含着一个有趣的数学问题．如图1所示，诗中将军在观望烽火之后从山脚下的指挥部A地出发，到一条笔直的河边饮马，然后到军营B地，到河边什么地方饮马可使他所走的路线全程最短？追问1，这是一个实际问题，你打算首先做什么呢？师生活动：将A、B两地抽象为两个点，将河抽象为一条直线追问2，你能用自己的语言说明这个问题的意思，并把它抽象为数学的问题吗？师生活动：学生交流讨论，回答并相互补充，最后达成共识：（1）行走的路线：从A地出发，到河边饮马，然后到B地；（2）路线全程最短转化为两条线段和最短；（3）现在的问题是怎样找出使两条线段长度之和为最短的直线上的点.设C为直线l上的一个动点，上面的问题转化为：当点C 在的什么位置时，AC与CB的和最小2、解决问题问题2如图点A、B在直线的同侧，点C位直线上的一个动点，当点C在的什么位置时，AC与CB的和最小？师生活动：让学生独立思考、画图分析，并展示如果学生有困难，教师作如下提示：（1）如图，如果军营B地在河对岸，点C在的什么位置时，AC与CB的和最小？由此受到什么启发呢？（2）如图，如何将点B“移”到的另一侧B´处，且满足直线上的任意一点C，都保持CB与CB´的长度相等？学生在老师的启发引导下，完成作图.3、证明“最短”问题3，为什么这种作法是正确的呢？你能用所学的知识证明AC+CB最短吗？师生活动：分组讨论，教师引导点拨，结合多媒体的演示，师生共同完成证明过程.证明：如图，在直线上任取一点Cˊ.连接AC´、BC´、B´C´.由轴对称的性质可知：BC=B´C BC´.=B´C´∴AC+BC=AC+B´C=AB´AC´+BC´=AC´+B´C´当C´与C不重合时当C´与C重合时A B´＜AC´+C´B´AC+BC=AC´+C´B∴AC+BC＜AC´+C´B总之，AC+B C≤AC´+C´B，即AC+BC最短4、小结新知回顾前面的探究过程，我们是通过怎样的过程，借助什么解决问题的？体现了什么数学思想？师生活动：学生回答，并相互补充.三、运用新知如图，如果将军从指挥部A地出发，先到河边a某一处饮马，再到草地边b某一处牧马，然后来到军营B地，请画出最短路径.师生活动：分组讨论，教师点拨，点学生上台操作演示，画出最短路径.四、拓展新知有一天，将军突发奇想：如果从指挥部A地出发，到一条笔直的河边a某处饮马，然后沿着河边行走一定的路程再来到军营B地，到河边什么地方饮马可使所走的路线全程最短？师生活动：1、老师首先解释行走一定的路程的含义，引导学生将实际问题抽象为数学问题，再提出如下问题：（1）要使所走的路线全程最短，实际上是使几条线段之和最短？（2）怎样将问题转化为“两点之间，线段最短”的问题.2、分组讨论，师生共同分析.3、完成作图，体会作图的步骤与分析问题的思路的联系与区别.五、提炼新知师生一起回顾本节课所学的主要内容，并请学生回答以下问题：1、本节课研究问题的过程是什么？2、解决上述问题运用了什么知识？3、在解决问题的过程运用了什么方法？4、运用上述方法的目的是什么？体现了什么样的数学思想？六、课外思考将军又提出一个问题：如图，如果将军从指挥部A地出发，到一条笔直的河边a某处饮马，然后沿着河边行走一定的路程，再来到草地边b某一处牧马，最后来到军营B地，到河边什么地方饮马、草地边何处牧马可使所走的路线全程最短呢？。
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最短路径（将军饮马）问题与拓展
相关定理或公理：①线段公理：两点之间，线段最短。
由此可以推出两边之和大于第三边；
②垂线段性质：垂线段最短。
问题提出：
唐朝诗人李欣的诗《古从军行》开头两句：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河。
”诗中隐隐含着一个有趣的数学问题。
如图，将军在观望烽火后从山脚下的A 点出发，走到河边饮马后 再走到B 点的营地。
怎样走才能使总的路程最短？
模型【1】一定直线，异侧两定点
已知：直线l 和它异侧两点A 、B ，在直线l 上求作一点P ，使PA ＋PB 最小
模型【2】一定直线，同侧两定点
已知：直线l 和它同侧两点A 、B ，在直线l 上求作一点P ，使PA ＋PB 最小
模型【3】两定直线，两定点 已知：∠MON 内部有两点P 、Q ，在OM
、ON 上分别作点A 、B ，使四边形PQBA 周长最小 模型【4】两定直线，一定点 已知：∠MON 内部有一点P 在OM 、ON 上分别作点A 、B ，使△PAB 周长最小 模型【5】两定直线，一定点
已知：∠MON 内部有一点P 在OM 、ON 上分别作点A 、B ，使AB ＋PB 最小 注意：模型4与模型5的联系与区别 变式：线段之差最大问题
模型【6】一定直线，同侧两定点
已知：直线l 和它同侧两点A 、B ，在直线l 上求作一点P ，使︱PA －PB ︱最大
模型【7】一定直线，异侧两定点
已知：直线l 和它同侧两点A 、B ，在直线l 上求作一点P ，使︱PA －PB ︱最大
造桥选址问题
利用平移变换进行造桥选址，是平移变换的一个重要应用。
原题再现
如图1，A 和B 两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥MN 。
桥造在何处才能使从A 到B 的路径AMNB 最短？（假定河的两岸是平行的直线，桥与河垂直）。
（人教版八年级上册第86页） 变式拓展
模型【8】一定直线及直线上一长度不变的线段，同侧两定点
已知：直线l 和它同侧两点A 、B ，在直线求作一条线段CD （长度不变），使AC ＋CD ＋DB 最小 巩固练习
1、如图，在四边形ABCD 中，∠B ＝∠D ＝90°，∠BAD ＝110°，在BC 上存在一点M ，在CD 上存在点N ，使△AMN 的周长最短，则∠MAN 的度数为 ；
2、如图，Rt △ABC 中，BC ＝3，AC ＝4，AB ＝5， BD 平分∠BAC ，点E 、F 分别为BD 、BC 上的动点， 连接CE 、EF ，则C E ＋EF 的最小值是______
3、如图，若AP ＝4，∠CAB ＝30°，在AB 上有一动点M ，
AC 上有一动点N ，则 PMN 周长的最小值是____________ 4、如图，△ABC 在平面直角坐标系中，且A (1，3)、B (－4，1)、 若M （a-1，0）、N （a ，0）
，当BM ＋ l
A B M O
N
P
第1题图 D
C
B A D
C A B E F
直接写出a的值是_________．
几何的定值与最值
几何中的定值问题，是指变动的图形中某些几何元素的几何量保持不变，或几何元素间的某些几何性质或位置关系不变的一类问题，解几何定值问题的基本方法是：分清问题的定量及变量，运用特殊位置、极端位置，直接计算等方法，先探求出定值，再给出证明．
几何中的最值问题是指在一定的条件下，求平面几何图形中某个确定的量(如线段长度、角度大小、图形面积)等的最大值或最小值，求几何最值问题的基本方法有：
1．特殊位置与极端位置法；
2．几何定理(公理)法；
3．数形结合法等．
例1、如图，△ABC是等边三角形，边长为6，AD⊥BC，垂足是点D，点E为直线AD上一点，以CE为边作等边三角形CEF，则DF的最小值是________
A
练习：
1、如图，△ABC是等边三角形，边长为6，点D
三角形AEF，则DF的最小值是________
2、平面直角坐标系中，C(0，4)，K(2，0)，A为x
AB，当点A在x轴上运动，BK取最小值时，点。