福建高考数学双曲线专项练习(含答案)

福建2019 届高考数学双曲线专项练习 (含答案) 在数学中，双曲线是定义为平面交截直角圆锥面的两半的一类圆锥曲线。

以下是双曲线专项练习，请考生认真练习。

1. 已知M(-2,0),N(2,0),|PM|-|PN|=3, 则动点P 的轨迹是() A. 双曲线B. 双曲线左边一支
C. 双曲线右边一支
D. 一条射线
2. 若双曲线方程为x2-2y2=1, 则它的右焦点坐标为()
A. B. C. D.(,0)
3. (2019 大纲全国, 文11)双曲线C:=1(a0) 的离心率为2, 焦点到渐近线的距离为, 则C 的焦距等于()
A.2
B.2
C.4
D.4
4. 过双曲线=1(aO)的右焦点F作圆x2+y2=a2的切线FM(切点为M),交y轴于点P.若M为线段FP的中点，则双曲线的离心率是()
A. B. C.2 D.
5. 已知双曲线的两个焦点为F1(-,0),F2(,0),M 是此双曲线上的一点, 且满足=0,||||=2, 则该双曲线的方程是()
A.-y2=1
B.x2-=1
C.=1
D.=1
6. 已知双曲线C的离心率为2,焦点为F1,F2，点A在C上.若
|F1A|=2|F2A|, 则cosAF2F1=()
A. B. C. D.
7. (2019 福建莆田模拟)已知双曲线=1 的右焦点的坐标为
(,0), 则该双曲线的渐近线方程为.
8. A,B是双曲线C的两个顶点，直线I与双曲线C交于不同的两点P,Q,且与实轴所在直线垂直.若=0,则双曲线C的离心率e= .
9. 已知双曲线的中心在原点, 焦点F1,F2 在坐标轴上, 离心率为, 且过点(4,-).
(1) 求双曲线方程;
⑵若点M(3,m)在双曲线上，求证:=0;
⑶在⑵ 的条件下求△ F1MF2的面积.
10. (2019 福建厦门模拟)双曲线=1(a0) 的一条渐近线方程是y=x,坐标原点到直线AB的距离为，其中A(a,O),B(O,-b).
(1) 求双曲线的方程;
⑵若B1是双曲线虚轴在y轴正半轴上的端点，过点B作直线交双曲线于点M,N求时,直线MN的方程.
能力提升组
11. 等轴双曲线C的中心在原点，焦点在x轴上,C与抛物线
y2=16x的准线交于A,B两点，|AB|=4,则C的实轴长为()
A. B.2 C.4 D.8
12. 已知点P是双曲线=1(a0)右支上一点,F1,F2分别为双曲线的左、右焦点，点I为PF1F2的内心,若+成立，则的值为()
A. B. C. D.
13. 若点0和点F(-2,0)分别为双曲线-y2=1(a0)的中心和左
焦点，点P为双曲线右支上的任意一点，则的取值范围为()
A.[3-2,+)
B.[3+2,+)
C. D.
14. (2019 浙江, 文17) 设直线x-3y+m=0(m0) 与双曲线=1(a0)
的两条渐近线分别交于点A,B.若点P(m,O)满足|PA|=|PB|,
则该双曲线的离心率是.
15. (2019湖南，文20)如图,0为坐标原点，双曲线C1:=1(a10) 和椭圆C2:=1(a20)均过点P,且以C1的两个顶点和C2的两个焦点为顶点的四边形是面积为2 的正方形.
(1) 求C1,C2 的方程;
(2) 是否存在直线I,使得I与C1交于A,B两点,与C2只有一个公共点, 且||=||? 证明你的结论.
16. 已知双曲线E:=1(a0) 的两条渐近线分别为
I1:y=2x,I2:y=-2x.
(1) 求双曲线E 的离心率;
(2) 如图,0 为坐标原点, 动直线I 分别交直线I1,I2 于A,B 两
点(A,B分别在第一、四象限),且厶OAB的面积恒为8.试探究：是否存在总与直线I有且只有一个公共点的双曲线E?若存在,求出双曲线E的方程；若不存在，说明理由.1.C解
析:|PM 卜|PN|=34,
由双曲线定义知, 其轨迹为双曲线的一支.
又|PM||PN|，点P的轨迹为双曲线的右支.
2. C解析: 双曲线的标准方程为x2-=1,a2=1,b2=. c2=a2+b2=.
c=, 故右焦点坐标为.
3. C解析:e=2,=2.
设焦点F2(c,0) 到渐近线y=x 的距离为, 渐近线方程为bx-ay=0, ••• c2=a2+b2,b=.
由=2, 得=2,
=4,
解得c=2. 焦距2c=4, 故选C.
4. A解析：如图所示，在Rt△ OPF中,0MPF且M为PF的中点，则厶P0F为等腰直角三角形.
所以△ 0MF也是等腰直角三角形.
所以有|0F|=|0M|, 即c=a.
故e=.
5. A 解析：由=0, 可知.
可设||=t1,||=t2,
则t1t2=2.
在厶MF1F2 中,=40,
则|t1-t2|= ==6=2a.
解得a=3. 故所求双曲线方程为-y2=1.
6. A解析: 双曲线的离心率为2,=2,
a :
b : c=1 :: 2.
又|AF1|=4a,|AF2|=2a,
|F1F2|=2c=4a,
cosAF2F1 选A.
7.2x3y=0解析：因为右焦点坐标是(,0),所以9+a=13,即a=4.
所以双曲线方程为=1. 所以渐近线方程为=0,
即2x3y=0.
8. 解析：如图所示, 设双曲线方程为=1, 取其上一点P(m,n), 则Q(m,-n), 由=0 可得(a-m,-n)(m+a,-n)=0,
化简得a2-m2+n2=0. 又=1 可得b=a, 故双曲线的离心率为e=. 9. (1) 解：因为e=, 所以可设双曲线方程为x2-y2=.
因为双曲线过点(4,-), 所以16-10=, 即=6. 所以双曲线方程为=1.
⑵证明：由(1)可知，在双曲线中a=b=,所以c=2.
所以F1(-2,0),F2(2,0).
所以=(-2-3,-m),
=(2-3,-m),
则=9-12+m2=m2-3.
因为点(3,m) 在双曲线上,
所以9-m2=6, 即m2=3.
所以=m2-3=0.
⑶解：由⑵ 知厶F1MF2的高h=|m|=,由厶F1MF2的底边
|F1F2|=4, 则=6.
10. 解：(1) 设直线AB：=1,
由题意, 所以所以双曲线方程为=1.
(2) 由(1) 得B(0,-3),B1(0,3),
设M(x1,y1),N(x2,y2), 易知直线MN的斜率存在.
设直线MN：y=kx-3,
所以所以3x2-(kx-3)2=9.
整理得(3-k2)x2+6kx- 18=0, ①
所以x1+x2=, y1+y2=k(x1+x2)-6=, x1x2=,y1y2=k2(x1x2)-
3k(x1+x2)+9=9.
因为=(x1,y1-3),=(x2,y2-3), =0,
所以x1x2+y1y2-3(y1+y2)+9=0,
即+9-+9=0,
解得k2=5, 所以k=, 代入①有解,
所以lMN:y=x-3.
11. C 解析: 设等轴双曲线方程为x2-y2=m(m0), 因为抛物线的准线为x=-4,
且|AB|=4,所以|yA|=2.
把坐标(-4,2) 代入双曲线方程得m=x2-y2=16-12=4,
所以双曲线方程为x2-y2=4,
即=1.
所以a2=4, 所以实轴长2a=4.
12. B解析：设厶PF1F2内切圆半径为r,根据已知可得
|PF1|r=|PF2|r+2cr, 整理可得|PF1|=|PF2|+2c.
由双曲线的定义可得
|PF1|-|PF2|=2a,
则2c=2a, 故=.
13. B 解析：由a2+1=4, 得a=, 则双曲线方程为-y2=1.
设点P(x0,y0), 则=1,
即-1.
=x0(x0+2)+
=+2x0+-1 x0,当x0=时，取最小值3+2.故的取值范围是［3+2,+).
14. 解析: 双曲线=1 的两条渐近线方程分别是y=x 和y=-x. 由解得A,
由解得B.
设AB 中点为E,
则E.
由于|PA|=|PB|,所以PE与直线x-3y+m=0垂直，
而kPE=, 于是=-1.
所以a2=4b2=4(c2-a2).
所以4c2=5a2, 解得e=.
15. 解:(1) 设C2 的焦距为2c2, 由题意知,2c2=2,2a1=2. 从而
a1=1,c2=1.
因为点P 在双曲线x2-=1 上, 所以=1. 故=3.
由椭圆的定义知2a2
==2.
于是a2==2.
故C1,C2 的方程分别为x2-=1,=1.
(2) 不存在符合题设条件的直线.
①若直线I垂直于x轴,因为I与C2只有一个公共点，所以直线I的方程为x=或x=-.
当乂=时,易知A(),B(,-),
所以||=2,||=2.
此时,||||.
当x=- 时,
同理可知,||||.
②若直线I 不垂直于x 轴, 设I 的方程为y=kx+m.
由
得(3-k2)x2-2kmx-m2-3=0.
当I与C1相交于A,B两点时，
设A(x1,y1),B(x2,y2),
则x1,x2 是上述方程的两个实根,
从而x1+x2=,x1x2=.
于是y1y2=k2x1x2+km(x1+x2)+m2=.
由得(2k2+3)x2+4kmx+2m2-6=0.
因为直线I与C2只有一个公共点，所以上述方程的判别式
=16k2m2-8(2k2+3)(m2-3)=0.
化简, 得2k2=m2-3,
因此=x1x2+y1y2=0,
于是+2-2,
即||||,
故||||.
综合① , ②可知, 不存在符合题设条件的直线.
16. 解法一:(1) 因为双曲线E 的渐近线分别为y=2x,y=-2x, 所以=2, 所以=2,
故c=a,
从而双曲线E 的离心率e=.
⑵由⑴知，双曲线E的方程为=1.
设直线l 与x 轴相交于点C.
当lx 轴时, 若直线l 与双曲线E 有且只有一个公共点,
则|0C|=a,|AB|=4a,
又因为△ OAB的面积为8,
所以|OC||AB|=8,
因此a4a=8, 解得a=2,
此时双曲线E 的方程为=1. 若存在满足条件的双曲线E, 则E 的方程只能为=1. 以下证明: 当直线l 不与x 轴垂直时, 双曲线E:=1 也满足条件.
设直线l 的方程为y=kx+m, 依题意, 得k2 或k-2, 则C.
记A(x1,y1),B(x2,y2).
由得y1=,
同理得y2=,
由S A0AB=|0C||y1 -y2| 得,
=8,
即m2=4|4-k2|=4(k2-4).
由得,
(4-k2)x2-2kmx-m2-16=0.
因为4-k20,
=4k2m2+4(4-k2)(m2+16)=-16(4k2-m2-16),
又m2=4(k2-4),
所以=0,即I与双曲线E有且只有一个公共点因此, 存在总与l 有且只有一个公共点的双曲线程为=1.
E,且E的方解法二:(1) 同解法一.
⑵由⑴知，双曲线E的方程为=1.
设直线I 的方程为x=my+t,A(x1,y1),B(x2,y2).
依题意得-2 或k-2.
由得,(4-k2)x2-2kmx-m2=0,
因为4-k20,0,
所以x1x2=,
又因为△ OAB的面积为8,
所以|OA||OB|sinAOB=8,
由已知sinAOB=,
所以=8, 化简得x1x2=4.
所以=4, 即m2=4(k2-4).
由⑴得双曲线E的方程为=1,由得,(4-k2)x2-2kmx-m2-4a2=0,
因为4-k20,直线I与双曲线E有且只有一个公共点当且仅当
=4k2m2+4(4-k2)(m2+4a2)=0,
即(k2-4)(a2-4)=0, 所以a2=4, 所以双曲线E的方程为=1.
当lx轴时，由A OAB的面积等于8可得l:x=2,又易知l:x=2 与双曲线E:=1 有且只有一个公共点.
综上所述,存在总与I有且只有一个公共点的双曲线E,且E
的方程为=1.
双曲线专项练习及答案的全部内容希望考生可以通过试卷查缺补漏。