外微分
Maxwell方程的张量与外微分形式
(47)
下面我们论证 d(∗ α) = 0 正是另一 Maxwell 方程： 1 0 = d(∗ α) = ∂τ Fµν µνρσ dxτ ∧ dxρ ∧ dxσ 4 1 = ∂τ Fµν µνρσ dxρ ∧ dxσ ∧ dxτ g τ τ 4 1 = ∂τ Fµν µνρσ ρστ δ ∗ dxδ g τ τ 4 1 µ ν µ ν ∗ ∂τ Fµν 2(δτ δδ − δδ = δτ ) dxδ g τ τ 4 1 µ ν µ ν ∗ ∂τ Fµν (δτ δδ − δδ δτ ) dxδ g τ τ = 2 1 = (∂τ Fτ δ − ∂τ Fδτ ) ∗ dxδ g τ τ 2 = g τ τ ∂τ Fτ δ ∗ dxδ = ∂ τ Fτ δ ∗ dxδ 因此 0 = ∂ τ Fτ δ (49)
ρµνσ ∗
dx1 ∧ dx2 ∧ dx3 = 0ijk ∗ dx0 = ijk ∗ dxk = 0ijk ∗ dxk = 0ijk ∗ dxk
ijk
ijk0 ∗
dx0 (42) (43)
dxσ
(44)
代入(31)得 1 0 = ∂ρ Fµν 2 因此 1 0 = ∂ρ Fµν 2
ρµνσ ρµνσ ∗
dx σ
(45)
1 = ∂ρ Fµν 2
ρσµν
= ∂ρ ∗ F ρσ
(46)
此即 Maxwell 方程之一(27)。下面对(29)求 ∗ 得
∗
α =
1 dλ = Fµν ∗ (dxµ ∧ dxν ) 2 1 1 µνρσ 1 Fµν dxρ ∧ dxσ = Fµν = 2 2 4
∗
µνρσ
dxρ ∧ dxσ
0ijk
1 2 1 1 ijk0 ⇒ 0= ∂j Fk0 + 2 2 1 iµνρ ⇒ 0= ∂µ Fνρ 2 ⇒ 0=− ∂j Fk0 + 结合(20),(22)可得 1 2
外微分统一四大积分公式
外微分统一四大积分公式作者：王桦来源：《青年文学家》2012年第03期摘要：Newton－Leibniz公式，Green公式，Stokes公式，以及Gauss公式是数学分析中联系一元函数及多元函数微分与积分关系的基本公式，本文先利用外微分的形式将一维与高维的四个基本公式统一起来，然后利用外积运算，推导了多变量积分变量代换公式中微元的代换公式。
关键词：微分、积分、外微分作者简介：王桦，女（1973.2.15-），长沙理工大学数学与计算科学学院，学历：博士，研究方向：复分析。
[中图分类号]：O186.15 [文献标识码]：A[文章编号]：1002-2139(2012)-03-0247-02微分、积分的概念古已有之，使之成为一门学问而发扬光大的是由Newton和Leibniz证明了的微积分基本定理，这一定理指出了微分与积分是一对矛盾关系，这只是对于一维的情形。
对于高维情形同样也有相应的三个部分，即微分，积分及联系微分与积分的微积分基本定理，只是微分部分中有偏微分、全微分、及与微商相当的Jacobi矩阵；积分部分有重积分、线积分、曲面积分等。
这些都是一维微积分的自然推广，于是也可列出高维中相应的定理。
而关于第三部分，在高维情况下，什么是微积分基本公式？又是什么定理刻画了高维情形下微分、积分这一对矛盾？是Green公式，Stokes公式，以及Gauss公式担当了一维中Newton-Leibniz公式的角色。
本文主要运用外微分统一一维和高维的情形的基本积分公式，即统一Newton-Leibniz公式，Green公式，Stokes公式，以及Gauss公式。
本文仅在在三维空间中讨论。
一、微分的外积运算微分的外积定义：对三维空间中自变量各分量的微分，，，其外积运算用表示，如与的外积记为，它们满足以下运算法则：（1）（是实数）；（2）外积运算对加法有分配律，如；（3）反交换律，即任何两个微分的外积交换次序后变号，如；（4）任意一个微分与自身的外积等于0，如；（5）结合律，；注：，，。
外微分在微积分中的应用
ｏ ｔｅ ｔ ｓ ｎ ｏ ｕｅ ｃｅ ｃ， ｈｎ ｄ ｅｃ ｅｓ ｏｌｇ ｒ ｔ ｎ ｌｉｓ Ｃ ｅ ｇ ｅ０ ７ ０ ， ｈｎ ） ｆ ｈ ｍａｉ ｄＣ ｍｐ ｔｒ ｉ ｅ Ｃ ｅｇ ｅＴ ａｈ ｒ Ｃ ｌ ｅ ｏ ｉ ａｉｅ， ｈｎ ｄ ６ ０ ０ Ｃ ｉａ Ｍａ ｃａ Ｓ ｎ ｅ ｆ Ｎａ ｏ ｔ
将用坐标 （，）表示 ，而 ｖ
基 金 项 目 唐 山师范学院教育教学改革研究项 目 （０ ００ ３ ２ １０ １ １ ） １
２０ ．４ 收稿 日期 ２Ｏ１ ． １ Ｏ
作者简介 宋泽成 （９４） 男 ， １６一， 河北唐 山人 ，学士 ，副教授 ，大学本科 ， 究方 向为函数论 。 研
Ａｂ ｔ ａ ｔ ｓ ｒ ｃ ：Ａｆｅ ｈ ｏ ｃ ｐ ｆ ｏ ｔ ｒｐ ｏ ｕ ｔ ｎ ｕ ｓｄ ｉｆ ｒ ｎ ｉ ｌ ａ ｅ ｎ ｉ ｔｏ ｕ ｅ ，ｉ ｉ ｕ ｅ ｏ ｅ ｐ ａ ｎ ｄ ｕ ｌ ｔ ｒｔ ｅ ｃ ｎ ｅ ｔｏ ｕ ｅ ｒ ｄ ｃ ｄ ｏ ｔｉ ｅ ｄ ｆ ｅ ｅ ｔａ ｓｂ ｅ ｎ ｒ ｄ ｃ ｄ ｔ ｓ ｓ ｄ ｔ ｘ ｌ ｉ ｏ ｂ ｅ ａ ｈ ｉ ｔ ｇ ａ ａ ｉ ｂ ｅ ｔａ ｓ ｏ ｍｓｉ ｈ ａ ｃ ｌ ， ｒ ｅ ’ ｆ ｒ ｕ ａ ｉ ｈ ｅ ｄｔ ｅ ｒ ， ｔ ｋ ｏ ｕ ａ ａ ｄ ｔ ｅＧａ ｓ ｏ ｍ ｕ ａ ｎ ｅ ｒ ｌ ｒ ａ ｌ ｒ ｎ ｆ ｒ ｎ ｔ ｅ ｃ ｌ ｕ ｕｓ ｇ ｅ ｎ Ｓ ｏ ｍ ｌ ｎ ｔ ｅｆ ｌ ｏ ｙ ａｓ ｏ ｅ ｆ ｒ ｌ ｈ ｕ ｓｆ ｒ ｌ ． ｖ ｉ ｈ ｍ ｎ Ｋｅ ｏ ｄ ： ｕ ｓ ｄ ｉ ｅ ｅ ｔａ ； ｘ ｌ ｎ ｔｏ ； ａ ｃ ｌ ｓ ｙ Ｗ ｒ ｓ ｏ ｔ ｉ ｅｄ ｆ ｒ ｎ ｉ ｌ ｅ ｐ ａ ａ ｉ ｎ ｃ ｌ ｕ ｕ
外微分及斯托克斯公式
外微分及斯托克斯公式外微分和斯托克斯公式是微分几何学中的两个重要概念，它们在描述和计算曲线、曲面和空间中的微分形式，以及它们之间的关系方面起着重要作用。
下面将详细介绍这两个概念。
1.外微分：外微分是微分几何学中用来描述曲线、曲面和空间中的微分形式的一种工具。
在微积分中，我们通常使用微分来描述函数的变化率。
而在微分几何学中，函数的微分被定义为函数的外微分。
设有一个定义在n维欧几里得空间上的函数f，其微分形式为df。
对于其中一点p，微分形式df描述了函数f在p点附近的变化率。
在局部坐标系中，微分形式df可以表示为：df = ∂f/∂x1 dx1 + ∂f/∂x2 dx2 + ... + ∂f/∂xn dxn其中∂f/∂xi表示函数f对第i个坐标分量的偏导数，而dxi表示第i 个坐标分量的微小增量。
外微分的代数定义遵循线性性质，例如：d(af + bg) = a df + b dg对于两个函数f和g以及常数a和b。
2.斯托克斯公式：斯托克斯公式是微分几何学中的一个重要定理，它描述了曲线和曲面上的微分形式之间的关系。
公式的核心思想是，曲线和曲面的边界上的微分形式之间的积分等于曲面内部微分形式的外微分的积分。
设M为一个有限曲线或曲面，边界记为∂M，f为定义在M上的一个光滑函数，而ω为M上的一个光滑微分形式。
则斯托克斯公式可以表示为：∫Mdω=∫∂Mω其中∫Mdω表示微分形式ω的外微分在M内部的积分，而∫∂Mω表示微分形式ω沿M的边界∂M的积分。
斯托克斯公式在物理学、工程学和应用数学中具有广泛的应用。
它可以用于计算曲面上其中一属性的总量，例如磁通量、电荷分布、质量流量等。
通过应用斯托克斯公式，可以将曲面的积分转化为曲线的积分，从而简化了计算的复杂性。
总结起来，外微分和斯托克斯公式是微分几何学中的两个重要概念。
外微分用于描述曲线、曲面和空间中的微分形式，而斯托克斯公式则描述了曲线和曲面上的微分形式之间的关系。
第八节微分式的外微分
第八节 微分形式的外微分一 微分形式及其外积我们知道, 一个可微函数12(,,,)n f x x x L 的全微分为1ni i ifdf dx x =∂=∂∑. 它是12,,n dx dx dx L 的线性组合, 一个很自然的想法是将12,,n dx dx dx L 看作一个线性空间的基.设Ω是nℜ上的区域, 记12(,,)n x x x x =r L , 1()C Ω(1,2,,i n =L )为Ω上连续可微函数全体. 将12,,n dx dx dx L 看作一组基, 其线性组合11122()()(),()()(1,2,,)n n i a x dx a x dx a x dx a x C i n +++∈Ω=rL L称为一次微分形式,简称1-形式. 1-形式的全体记为1()ΛΩ(或1Λ).如果对1Λ中的元素定义加法、数乘、零元和负元等, 就可以使1Λ成为一个1()C Ω上的线性空间. 对于任意1,ξη∈Λ:1122()()()n n a x dx a x dx a x dx ξ=+++L , 1122()()()n n b x dx b x dx b x dx η=+++L ,定义ξη+和λξ(1()C λ∈Ω)为111222(()())(()())(()())n n n a x b x dx a x b x dx a x b x dx ξη+=++++++r r r r r rL ,1122(()())(()())(()())n n x a x dx x a x dx x a x dx λξλλλ=+++r r r r r rL ,进一步定义1Λ中的零元为120000n dx dx dx =+++L ,且定义负元为1122(())(())(())n n a x dx a x dx a x dx ξ-=-+-++-L显然1Λ成为一个1()C Ω上的线性空间.为了得到二次微分形式, 我们先引入向量的外积这个概念.设12(,)a a a =r , 12(,)b b b =r 为平面2ℜ上两个线性无关的向量, 我们将行列式1212a ab b称为向量a r 与b r 的外积, 记为a b Λr r, 即1212a a ab b b Λ=r r . 平面上的向量的外积的讨论可以推广到nℜ上去. 设12(,,,),1,2,,,i i i in a a a a i n ==u rL L定义他们的外积为11121212221212n n n n n nna a a a a a a a a a a a ΛΛΛ=L u r u u r u u r LL M M O M L.它是由12,,,n a a a u r u u r u u rL 所张成的平行2n 面体的有向体积. 而且这种体积满足反对称性和分配律.类似于向量的外积, 规定,0(,1,2,,)i j j i i i dx dx dx dx dx dx i j n Λ=-ΛΛ==L .因此共有2n C 个有序元,1.i j dx dx i j n Λ≤<≤以这些有序元为基就可以构造一个线性空间2Λ. 其中2Λ的元素称为二次微分形式. 简称2-形式. 于是2Λ中的元素可以表示为1()ij i j i j ng x dx dx ≤<≤Λ∑r.这种形式称为2-形式的标准形式.一般地, 在12{,,,}n dx dx dx L 中任意选取k 个组成有序元, 记为12k i i i dx dx dx ΛΛΛL ,这里12,,,k i i i L 是从集合{1,2,,}n L 中选取的任意k 个整数. 规定1212,1i i k k dx dx dx i i i n ΛΛΛ≤<<<≤L L .以这些有序元为基构造一个线性空间kΛ. 其中kΛ的元素称为k 次微分形式. 简称k -形式. 于是一般k-形式就可以表示为121212,,,1()k k k i i i i i i i i i ng x dx dx dx ≤<<<≤ΛΛΛ∑L L rL .这种形式称为k -形式的标准形式.显然, 当k n >时, 总有120k i i i dx dx dx ΛΛΛ=L , 因此{0}kΛ=.Ω上的连续可微函数称为0-形式, 它们的全体记为0Λ, 它是一个线性空间, 函数1g ≡是它的一个基.现在把i j dx dx Λ中的Λ理解为一种运算. 对于任意1,ξη∈Λ:1122()()()n n a x dx a x dx a x dx ξ=+++L , 1122()()()n n b x dx b x dx b x dx η=+++L ,定义ξ与η的外积为1()()()()i j i j i j ni j a x a x dx dx b x b x ξη≤<≤Λ=Λ∑r r r r 它是2Λ中的元素.下面把这样的外积定义推广到任意的i Λ和jΛ上去. 若记Λ为线性空间01,,,nΛΛΛL 之和, 即有01n Λ=Λ+Λ++ΛL , 于是Λ是一个2n(因012n n n n n C C C +++=L )维的线性空间, 因此Λ中的元素的一般形式为01,,0,1,,i n i i n ωωωωω=+++∈Λ=L L .记12p I i i i dx dx dx dx =ΛΛΛL ,12qJ j j j dx dx dx dx =ΛΛΛL . 则1212p q I J i i i j j j dx dx dx dx dx dx dx dx Λ=ΛΛΛΛΛΛΛL L它是()p q +-形式. 对一般p -形式()I I Ig x dx ξ=∑r 和q -形式()J J Jh x dx η=∑r, 定义ξ和η的外积ξηΛ为,().I J I J I Jg h x dx dx ξηΛ=Λ∑它是()p q +-形式. 对于0-形式f ,我们补充定义()(),p I I If f f xg x dx ξξξ=Λ=∈Λ∑二 外微分的基本概念设nΩ⊂ℜ为区域, Ω上的可微函数12(,,,)n f x x x L 的全微分为1.ni n ifdf dx x =∂=∂∑这可以理解为: 一个0-形式作了微分运算后成为了1-形式.现在将微分运算推广到k Λ上去. 对k Λ中的任意一个k -形式.1212121()k k k i i i i i i i i i ng x dx dx dx ω≤<<<≤=ΛΛΛ∑L L L ,定义1212121(())k k k i i i i i i i i i nd dg x dx dx dx ω≤<<<≤=ΛΛΛΛ∑L L L12121211kk k ni i i i i i i i i i n i ig dx dx dx dx x ≤<<<≤=∂=ΛΛΛΛ∂∑∑L L L同时,对空间0n Λ=Λ++ΛL 上的任意一个元素01,,i n i ωωωωω=+++∈ΛL定义01n d d d d ωωωω=+++L .这样,微分运算:d Λ→Λ就是线性的, 即()d d d αξβηαξβη+=+, ,ξη∈Λ,其中,αβ为常数. 这样的微分运算d 称为外微分. 显然,1212()(1)k k i i i i i i d dx dx dx d dx dx dx ΛΛΛ=ΛΛΛL L12(1)0k i i i d dx dx dx =ΛΛΛΛ=L .性质1 设ω为k -形式, η为l -形式, 则()(1)k d d d ξηξηξηΛ=Λ+-Λ.证明 (留作练习).设ω∈Λ, 定义2()d d d ωω=. 在下面的讨论中,我们假设微分形式的系数都具有二阶连续偏导数.例13.34 设0f ∈Λ为0-形式, 证明20.d f =证明 由于f 具有二阶连续偏导数, 因此22i j j if fx x x x ∂∂=∂∂∂∂. 所以 22111()n n n i j i i i j i j if fd f d df d dx dx dx x x x ===⎛⎫∂∂===Λ ⎪∂∂∂⎝⎭∑∑∑220i j i j i jj i f f dx dx x x x x <⎛⎫∂∂=-Λ= ⎪ ⎪∂∂∂∂⎝⎭∑. 性质2 对任意ω∈Λ, 有20.d ω= 证明 由于d 的线性性, 只要证明12()ki i i a x dx dx dx ω=ΛΛΛL这种情形即可. 这时12(())k i i i d da x dx dx dx ω=ΛΛΛΛL ,由于ω具有二阶连续偏导数, 因此22i j j ix x x x ωω∂∂=∂∂∂∂. 所以 22111()n n n i j i i i j i j id d d d dx dx dx x x x ωωωω===⎛⎫∂∂===Λ ⎪∂∂∂⎝⎭∑∑∑220i j i j i jj i dx dx x x x x ωω<⎛⎫∂∂=-Λ= ⎪ ⎪∂∂∂∂⎝⎭∑.因此再由性质1可得2()d d d ωω=122()k i i i d a dx dx dx =ΛΛΛΛL12()()k i i i da d dx dx dx -ΛΛΛΛL 120()00k i i i dx dx dx da =ΛΛΛΛ-Λ=L .二 外微分的应用 首先看Green 公式()(),,L D Q P dxdy P x y dx Q x y dy x y ⎛⎫∂∂-=+ ⎪∂∂⎝⎭⎰⎰⎰Ñ 其中闭区域nD ⊂ℜ的边界由分段光滑的曲线L 所围成. 若将dx dy Λ看成有向面积元素,那么如果将它看成是正面积元素dxdy 的话, 上式就可以表示为()(),,L D Q P dx dy P x y dx Q x y dy x y ⎛⎫∂∂-Λ=+ ⎪∂∂⎝⎭⎰⎰⎰Ñ 对于1-形式(,)(,)P x y dx Q x y dy ω=+, 则由外微分的定义可得()()d dP dx dQ dy ω=Λ+ΛP P Q Q dx dy dx dx dy dy x y x y ⎛⎫⎛⎫∂∂∂∂=+Λ++Λ ⎪ ⎪∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭P Q Q P dy dx dx dy dx dy y x x y ⎛⎫∂∂∂∂=Λ+Λ=-Λ ⎪∂∂∂∂⎝⎭. 于是有下式成立LDd ωω=⎰⎰.再看Stokes 公式()()()R Q P R Q Pdydz dzdx dxdy y z z x x y ∑∂∂∂∂∂∂-+-+-∂∂∂∂∂∂⎰⎰Pdx Qdy Rdz Γ=++⎰Ñ 其中Γ为分段光滑的空间有向闭曲线,∑是以Γ为边界的分片光滑的有向曲面, Γ的正向与∑的侧符合右手规则. 对于1-形式(,,)(,,)(,,)P x y z dx Q x y z dy R x y z dz ω=++,由外微分的定义可得()()()d dP dx dQ dy dR dz ω=Λ+Λ+ΛP P R Q Q Q R R R dx dy dz dx dx dy dx dz x y z x y z x y z ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∂∂∂∂∂∂∂∂∂=++Λ+++Λ+++Λ ⎪ ⎪ ⎪∂∂∂∂∂∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭⎝⎭R Q P R Q Q dy dz dz dx dx dy y z z x x y ⎛⎫⎛⎫∂∂∂∂∂∂⎛⎫=-Λ+-Λ+-Λ ⎪ ⎪ ⎪∂∂∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭⎝⎭于是Stokes 公式则变为d ωωΓ∑=⎰⎰.同样地, 对于Gauss 公式()P Q R dxdydz Pdydz Qdzdx Rdxdy x y z Ω∑∂∂∂++=++∂∂∂⎰⎰⎰⎰⎰Ò 其中空间区域Ω由分片光滑的双侧封闭曲面∑所围成. 如果我们将有向体积元素dx dy dz ΛΛ看成是正体积元素dxdydz 的话, 它就可以表示为()P Q R dxdydz Pdy dz Qdz dx Rdx dy x y z Ω∑∂∂∂++=Λ+Λ+Λ∂∂∂⎰⎰⎰⎰⎰Ò对于2-形式(,,)(,,)(,,)P x y z dy dz Q x y z dz dx R x y z dx dy ω=Λ+Λ+Λ, 我们有()()()d dP dy dz dQ dz dx dR dx dy ω=ΛΛ+ΛΛ+ΛΛP P P dx dy dz dy dz x y z ⎛⎫∂∂∂=++ΛΛ ⎪∂∂∂⎝⎭Q Q Q dx dy dz dz dx xy z ⎛⎫∂∂∂+++ΛΛ ⎪∂∂∂⎝⎭R R R dx dy dz dy dz xy z ⎛⎫∂∂∂+++ΛΛ ⎪∂∂∂⎝⎭.于是Gauss 公式则变为d ωω∑Ω=⎰⎰.这样, Green 公式、Gauss 公式和Stokes 公式就可以统一地写成如下形式：MMf df ∂=⎰⎰.这个式子统称为Stokes 公式. 它说明了, 高次的微分形式d ω在给定区域上的积分等于低一次的微分形式ω在低一维的区域边界上的积分.习题14.8 1. 设pξ∈Λ, qη∈Λ, 证明: 当p q n +>时, 0ξηΛ=.2. 设pξ∈Λ, qη∈Λ,证明: (1)pqξηηξΛ=-Λ.3. 设1njj ii n adx ξ==∑, 1,2,,j n =L , 为n ℜ上的1-形式, 证明1212det()j n i n a dx dx dx ξξξΛΛΛ=ΛΛΛL L .4. 证明性质1.。
外微分 微分几何
外微分微分几何全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：外微分是微分几何中一个重要的概念，它是研究曲面局部性质的有力工具。
在微分几何中，我们经常遇到曲面上的切向量、法向量、曲率等概念，而这些概念的定义和运算都与外微分密切相关。
外微分的概念最早是由意大利数学家里卡尔多·考西（Ricardo Oxxi）提出的。
外微分是将曲面上的向量场和微分形式与切空间之间的映射联系起来的一种运算。
简单来说，外微分是定义在曲面上的微分形式或者向量场在局部投影到切空间上的一个操作。
在微分几何的研究中，我们经常需要对曲面上的函数或者向量场进行求导操作。
以函数为例，我们知道在欧几里得空间中，一元函数的微分可以用函数的导数来表示。
而在曲面上，函数的导数则需要通过外微分来定义。
对于向量场而言，也可以通过外微分操作来定义向量场的微分。
在介绍外微分的具体概念之前，我们先来回顾一下曲面的切空间和法空间的概念。
在欧几里得空间中，切空间是与曲面上点处切平面对应的向量空间，切向量是切空间中的一个向量。
法空间则是与切空间正交的一个向量空间，法向量是法空间中的一个向量。
通过外微分，我们可以将曲面上的函数或者向量场投影到切空间或者法空间上，从而得到在局部的微分形式。
在微分几何中，我们通常会研究曲面的局部性质，比如曲率、曲率流、平均曲率等。
而外微分可以帮助我们求解这些局部性质。
通过外微分，我们可以将曲面上的函数或者向量场投影到切空间或者法空间上，再进行进一步的运算。
通过外微分，我们可以定义曲面上的导数、梯度等概念，从而推导出曲面的曲率、法曲率等性质。
除了在求解曲面的局部性质方面，外微分还有许多应用。
在计算几何学、机器学习、图像处理等领域，外微分也被广泛应用。
通过外微分，我们可以对曲面进行局部参数化、计算曲率、求解曲线间的关系等操作。
外微分在微分几何中具有重要的意义，它帮助我们理解曲面的局部性质，为曲面的研究提供了有力的工具。
外微分是微分几何中一个重要的概念，它通过将曲面上的函数或者向量场投影到切空间或者法空间上，帮助我们定义并求解曲面的局部性质。
外微分换元法
外微分换元法外微分换元法，在微积分中属于比较重要的拓展知识点，而且在工程领域等实际应用中也有着广泛的运用。
如果你正在学习微积分或者需要在工作中应用到这方面的知识，那么就需要掌握外微分换元法的相关知识点。
下面我们就来重新整理一下这方面的知识点，希望能对大家有所帮助。
1. 外微分的定义在微积分中，将一个函数f(x,y)进行微小的变化，可以得到以下的式子：df = ∂f/∂x dx + ∂f/∂y dy其中，df表示函数f的微小变化量，dx和dy分别是自变量x和y的微小变化量，而∂f/∂x和∂f/∂y则分别表示函数f对自变量x和y的偏导数。
2. 外微分的运用在实际应用中，我们常常需要将一个函数进行变量替换，例如将f(x,y)替换为 g(u,v)，此时我们需要用到外微分换元法。
假设现在有一个函数f(x,y)，我们需要将其中的自变量x和y换成新的自变量u和v，也就是f(u,v)。
此时，需要对函数f进行一些变形，来得到f对u和v的偏导数和u和v对x和y的偏导数。
具体的过程如下：- 对函数f(x,y)进行外微分运算，得到：df = ∂f/∂x dx +∂f/∂y dy- 将dx和dy分别表示出来，得到：dx = (∂u/∂x)du + (∂v/∂x)dv，dy = (∂u/∂y)du + (∂v/∂y)dv- 将dx和dy带入到df的式子中，得到：df = (∂f/∂x)du +(∂f/∂y)dv- 将df表示成g(u,v)对u和v的偏导数的形式，得到：df =(∂g/∂u)du + (∂g/∂v)dv根据以上公式，我们可以计算出g(u,v)对u和v的偏导数，从而得到函数f(x,y)对新的自变量u和v的偏导数，以及新的自变量u和v对原自变量x和y的偏导数。
这将有利于我们求解一些复杂函数的导数和积分问题。
3. 小结外微分换元法是微积分中的重要知识点之一，适用于一些复杂函数的导数和积分求解。
通过对函数进行外微分操作，我们可以得到函数对新的自变量的偏导数，从而用于计算新自变量对原自变量的偏导数。
张量和外代数的基本概念和运算法则
张量和外代数的基本概念和运算法则在现代数学中，张量和外代数是重要的代数结构。
它们在物理、工程、计算机科学等领域中被广泛应用。
本文将介绍张量和外代数的基本概念和运算法则，帮助读者对这些代数结构有更深入的认识。
一、张量的基本概念张量可以看作是线性函数的扩展。
线性函数接受向量作为输入，并输出一个标量。
而张量接受向量作为输入，并输出一个向量或张量。
因此，张量有多个分量，每个分量可以是标量、向量或张量。
在二维欧几里得空间中，一个二阶张量可以表示为一个矩阵。
设$T$是一个二阶张量，它的第$i$行第$j$列的分量为$T_{ij}$。
假设$u$和$v$是两个向量，它们的分量分别为$u_i$和$v_j$。
则$T(u,v)$可以表示为：$T(u,v)=T_{ij}u_iv_j$这里的$u_iv_j$表示一个标量的乘积，$T_{ij}$表示矩阵的第$i$行第$j$列的元素。
因此，$T(u,v)$是一个标量。
同样的，对于$n$维欧几里得空间中的$k$阶张量，它可以表示为一个$n^k$维的数组。
二、张量的运算法则张量有多种运算法则，包括张量的加法、张量的数乘、张量的乘法和张量的缩并等。
这里介绍其中的几种基本运算法则。
1. 张量的加法设$T$和$S$是两个$k$阶张量，它们的分量分别为$T_{i_1i_2...i_k}$和$S_{i_1i_2...i_k}$。
则$T$和$S$的和可以表示为：$(T+S)_{i_1i_2...i_k}=T_{i_1i_2...i_k}+S_{i_1i_2...i_k}$即将$T$和$S$的每个对应分量相加，得到一个新的$k$阶张量$T+S$。
2. 张量的数乘设$a$是一个标量，$T$是一个$k$阶张量，它的分量为$T_{i_1i_2...i_k}$。
则$aT$可以表示为：$(aT)_{i_1i_2...i_k}=aT_{i_1i_2...i_k}$即将$T$的每个分量乘以标量$a$，得到一个新的$k$阶张量$aT$。
微分形式的外微分
∂Σ
∫ pdx + Qdy + Rdz
∂R ∂Q ∂Q ∂P ∂P ∂R − − − dz Λdx + dyΛdz + dx Λdy ∫∫ ∂y ∂z ∂z ∂x ∂x ∂y Σ
⇒ ∫ω = ∫ dω .
∂Σ Σ
再看 Stokes 公式
∂Σ
∫ ω = ∫ dω 。
Σ
二、外微分的应用
Gauss公式
∂P ∂Q ∂R = ∫∫∫ + + Pdydz + Qdzdx + Rdxdy dxdydzy ∫∫ ∂x ∂y ∂z ∂D Ω ⇒
∂Ω
∫ω= ∫ dω .
Ω
∂D
同样地，对于 Gauss 公式 ∫∫ Pdydz + Qdzdx + Rdxdy =
n
这可理解为， 一个 0-形式做了微分运算后成为了 1-形式。
一、外微分
现将微分运算 d 推广到 Λ k 上去。
对 Λ k 中的任意一个 k-形式
ω
定义d ω
1≤ i1 < i2 << lk ≤ n
∑
gi1 ,i2 ,,ik ( x )dxi1 Λdxi2 Λ Λdxik ,
1≤ i1 < i2 << lk ≤ n
∑
(dgi1 ,i2 ,,ik ( x ))dxi1 Λdxi2 Λ Λdxik ,
∂gi1 ,i2 ,,ik ∂x i dxi1 Λdxi2 Λ Λdxik ,
1≤ i1 < i2 << lk ≤ n i = 1
∑
∑
n
外 微 分
外微 分尹 小 玲以下仅在三维空间中讨论。
一、微分的外积运算微分的外积定义：对三维空间中自变量的微分dx ，dy ，dz ，其外积运算用∧表示，如dx 与dy 的外积记为dy dx ∧，它们满足以下运算法则：（1）)()(dy dx a dy adx ∧=∧，（a 是实数）；（2）外积运算对加法有分配律，如dz dx dy dx dz dy dx ∧+∧=+∧)(；（3）反交换律，即任何两个微分的外积交换次序后变号，如dx dy dy dx ∧-=∧； （4）任意一个微分与自身的外积等于0，如0=∧dx dx ； （5）结合律，dz dy dx dz dy dx ∧∧=∧∧)()(；dx ，dy ，dz 在几何上可以理解为有向长度微元。
dy dx dx dz dz dy ∧∧∧,,在几何上可以理解为有向面积微元，dz dy dx ∧∧在几何上可以理解为有向体积微元。
因此，它们与dxdy dzdx dydz ,,，dxdydz 的区别在于前者是有向度量，即值有正负之分，而后者是无向的，永远是正的。
把微分的外积运算与向量的外积运算b a ⨯相比较，上述运算法则（1）~（4）是完全类似的。
而||b a ⨯在几何上是以b a,为边的平行四边形的面积，对应于dydz dz dy =∧||，dzdx dx dz =∧||，dxdy dy dx =∧||二、外微分式及其外微分式的外积运算设F C B A R Q P ,,,,,,都是三维空间的函数，则分别称（1）~（4）式为零阶、一阶、二阶和三阶外微分式F （1）Rdz Qdy Pdx ++ （2） dy Cdx dx Bdz dz Ady ∧+∧+∧ （3） dz dy Fdx ∧∧ （4）例 p 阶外微分式与q 阶外微分式的外积是q p +阶外微分式，当3>+q p 时，外积为0。
证 两个一阶外微分式的外积∧++)(111dz R dy Q dx P )(222dz R dy Q dx P ++)()(22212221dz R dy Q dx P dy Q dz R dy Q dx P dx P ++∧+++∧= )(2221dz R dy Q dx P dz R ++∧+dy dx P Q Q P dx dz R P P R dz dy Q R R Q ∧-+∧-+∧-=)()()(212121212121222111R Q P R Q P dydx dx dz dz dy ∧∧∧=一阶外微分式与二阶外微分式的外积∧++)(Rdz Qdy Pdx )(dy Cdx dx Bdz dz Ady ∧+∧+∧ )(dy Cdx dx Bdz dz Ady Pdx ∧+∧+∧∧= )(dy Cdx dx Bdz dz Ady Qdy ∧+∧+∧∧+ )(dy Cdx dx Bdz dz Ady Rdz ∧+∧+∧∧+dz dy dx RC QB PA ∧∧++=)(dz dy dx C B A R Q P ∧∧⋅=}),,{},,({ 其余显然成立。
微分几何期末复习题答案
微分几何期末复习题答案1. 曲面上的切向量和法向量的定义是什么？答：曲面上的切向量是与曲面在某点相切的向量，而法向量是垂直于该点切平面的向量。
2. 描述高斯曲率和平均曲率的计算方法。
答：高斯曲率是曲面上某点的主曲率的乘积，平均曲率是主曲率的平均值。
3. 什么是黎曼曲率张量？答：黎曼曲率张量是描述流形曲率的数学对象，它通过测量无穷小测地线之间的偏差来定义。
4. 请解释什么是测地线？答：测地线是在曲面或流形上两点间的最短路径，它是连接这两点的局部最小化曲线。
5. 什么是平行移动？答：平行移动是指在曲面或流形上沿着曲线移动一个向量，使得该向量在移动过程中保持不变。
6. 描述Christoffel符号的作用。
答：Christoffel符号用于描述在曲面或流形上如何沿着曲线平行移动向量，它们是黎曼几何中的基本组成部分。
7. 什么是度量张量？答：度量张量是一个对称张量，它定义了曲面或流形上两点间的距离和角度。
8. 请解释什么是联络形式？答：联络形式是描述在曲面或流形上如何平行移动向量的一种数学工具，它们与Christoffel符号紧密相关。
9. 什么是外微分？答：外微分是一种将微分几何中的函数或形式映射到更高阶形式的操作。
10. 描述Hodge星算子的作用。
答：Hodge星算子是一种将微分形式映射到其对偶形式的线性映射，它在微分几何和拓扑学中有着重要应用。
11. 什么是流形上的拉普拉斯-贝特拉米算子？答：拉普拉斯-贝特拉米算子是定义在流形上的一个微分算子，它推广了欧几里得空间中的拉普拉斯算子。
12. 请解释什么是特征类？答：特征类是拓扑不变量，它们通过将流形上的向量丛与某些代数结构联系起来，提供了关于流形拓扑性质的信息。
13. 描述什么是测地线曲率？答：测地线曲率是描述测地线如何偏离直线的量度，它是衡量流形曲率的一种方式。
14. 什么是全纯曲线？答：全纯曲线是复流形上的一类特殊曲线，它们在复坐标系下保持全纯性。
外微分及斯托克斯公式
定义：如果微分形式 满足dω = 0, 则称ω是 定义： ω 一个闭微分形式.
如果存在微分形式 α，使得 ω = dα , 则称ω是一个恰当微分形式 .
( Poincare定理） dω是一个闭微分形式，即 d (dω ) = 0. 定理） 是一个闭微分形式，
( 3) dxi ∧ dxi = 0
一次形式 ω = Xdx + Ydy + Zdz 二次ω = Xdy ∧ dz + Ydz ∧ dx + Zdx ∧ dy 三次ω = f ( x , y , z )dx ∧ dy ∧ dz
d ( Xdx ) = dX ∧ dx
∂X ∂X ∂X dy + dz ) = ( dx + ∂x ∂y ∂z
∂X ∂X dy ∧ dz + dz ∧ dx = ∂y ∂z
d ( Pdy ∧ dz ) = dP ∧ dy ∧ dz
∂P ∂p ∂p = ( dx + dy + dz ) ∧ dy ∧ dz ∂x ∂y ∂z
∂P dx ∧ dy ∧ dz = ∂x d ( fdx ∧ dy ∧ dz ) = df ∧ dx ∧ dy ∧ dz ∂f ∂f ∂f = ( dx + dy + dz ) ∧ dx ∧ dy ∧ dz = 0 ∂x ∂y ∂z
(4)高斯公式
∂X ∂Y ∂Z （ ∫∫∫ ∂x + ∂y + ∂z )dxdydz Ω
Ω
∫ dω = ∫
ω ∂Ω
∂Ω
= ∫∫ Xdy ∧dz + Ydz ∧ dx + Zdx ∧ dy
外微分
外微分尹小玲(以下仅在三维空间中讨论)一、微分的外积运算微分的外积定义：对三维空间中自变量的微分dx ，dy ，dz ，其外积运算用Ù表示，如dx 与dy 的外积记为dy dx Ù，它们满足以下运算法则：（1）)()(dy dx a dy adx Ù=Ù，（a 是实数）；（2）外积运算对加法有分配律，如dz dx dy dx dz dy dx Ù+Ù=+Ù)(；（3）反交换律，即任何两个微分的外积交换次序后变号，如dx dy dy dx Ù-=Ù；（4）任意一个微分与自身的外积等于0，如0=Ùdx dx ；（5）结合律，dz dy dx dz dy dx ÙÙ=ÙÙ)()(；dx ，dy ，dz 在几何上可以理解为有向长度微元。
dy dx dx dz dz dy ÙÙÙ,,在几何上可以理解为有向面积微元，dz dy dx ÙÙ在几何上可以理解为有向体积微元。
因此，它们与dxdy dzdx dydz ,,，dxdydz 的区别在于前者是有向度量，即值有正负之分，而后者是无向的，永远是正的。
把微分的外积运算与向量的外积运算b a r r ´相比较，上述运算法则（1）~（4）是完全类似的。
而||b a r r ´在几何上是以b a r r ,为边的平行四边形的面积，对应于dydz dz dy =Ù||，dzdx dx dz =Ù||，dxdydy dx =Ù||二、外微分式及其外微分式的外积运算设F C B A R Q P ,,,,,,都是三维空间的函数，则分别称（1）~（4）式为零阶、一阶、二阶和三阶外微分式F（1）RdzQdy Pdx ++（2）dyCdx dx Bdz dz Ady Ù+Ù+Ù（3）dz dy Fdx ÙÙ（4）例p 阶外微分式与q 阶外微分式的外积是q p +阶外微分式，当3>+q p 时，外积为0。
外微分形式论文统一推导论文梯度旋度散度论文
外微分形式论文统一推导论文梯度旋度散度论文外微分形式论文统一推导论文梯度旋度散度论文
基于外微分形式的一般坐标系下梯度\旋度\散度的统一推
导
【摘要】一般坐标系下的梯度、旋度、散度和laplace算子在很多应用中都会遇到，特别是那些要利用偏微方程解决的问题。
它们的推导一般比较麻烦，而且不统一。
本文给出了一种利用外微分形式下的斯托克斯公式导出所有四个算子的统一办法。
【关键词】外微分形式统一推导梯度旋度散度
四总结
本文给出了一种基于外微分形式的推导任意坐标系下梯度、旋度、散度的统一方法。
该方法非常简单，其步骤仅有微分运算和比较等式两边。
相比一般教材上的复杂且不统一的办法，该方法易懂易算。
其根本原因在于我们“掌握了更有力的工具和更简单的方法”，正如龚昇老师所说：“高级的东西往往简单，低级的东西往往复杂”。
本人撰写此文，以表示对龚老师的无限怀念。
参考文献。
外微分形式
外微分形式外微分形式，又称微分形式，是微分流形上定义的反对称协变张量场。
1外微分形式简介微分形式是多变量微积分、微分拓扑和张量分析领域的一个数学概念。
现代意义上的微分形式，及其以楔积(wedge product)和外微分结构形成外代数的想法，都是由法国数学家埃里·嘉当引入的。
我们从R中的开集的情形开始。
一个0-形式（0-form）定义为一个光滑函数f. 当我们在R的m-维子空间S上对函数f积分时，我们将积分写作：把dx1, ...,dxn当作形式化的对象，而非让积分看起来像个黎曼和的标记。
我们把这些和他们的负−dx1, ..., −dxn叫做基本'1-形式。
我们再在其上定义一种乘法规则楔积，这种乘法只需满足反交换的条件：对所有i,j注意这意味着我们把这些乘积的集合叫做基本2-形式，类似的我们定义乘积的集合为基本'3-形式，这里假定n至少为3。
定义一个单项式'k-形式为一个0-形式乘以一个基本的k-形式，定义k-形式为一些单项式k-形式的和。
楔积可以推广到这些和上：等等，这里dxI和类似的项表示k-形式。
换句话说，和的积就是所有可能的积的和。
我们来定义光滑流形上的k-形式。
为此，我们假设有一个开坐标覆盖。
我们可以在每个坐标邻域上定义一个k-形式；一个全局的k-形式就是一组坐标领域上的k-形式，他们在坐标邻域的交集上一致。
这种一致的精确定义，见流形。
2楔积的性质若f,g,w为任意微分形式，则若f为k-形式，g为l-形式：3抽象(简明)定义及讨论在微分几何中，k阶微分k-形式是一个流形的余切丛的k阶外幂（exterior power）的光滑截面。
在流形的每一点p,一个k-形式给出一个从切空间的k阶笛卡儿幂（cartesian power）到R的多线性映射。
例如，光滑函数（0-形式）的微分就是一个1-形式。
1-形式在张量的坐标无关表示中是一个很有用的基本概念。
在这个上下文中，他们可以定义为向量的的实值函数，并可以看成他们所对应的向量空间的对偶空间。
外微分及斯托克斯公式
外微分在物理上可以理解为场的散度， 它描述了场在给定点处的变化率。斯 托克斯公式则可以理解为在物理过程 中，场的散度沿着路径的积分，它描 述了场在物理过程中的变化。
VS
外微分和斯托克斯公式的物理意义都 与物理场的变化有关，它们物理上 具有密切的联系。
04 外微分与斯托克斯公式的 应用
在数学物理中的应用
外微分形式可以表示为$df = f dx^1 wedge dx^2 wedge cdots wedge dx^n$，其中$dx^i$是坐标微分，$wedge$表示外积。
外微分的形式
01
外微分形式可以表示为线性组合、数乘和外积的线性组合，即 $d(k f) = k df, d(f + g) = df + dg, d(f dx^i) = df wedge dx^i$。
计算电磁场的量
通过外微分和斯托克斯公式，可以计算电磁场的能 量密度、坡印廷矢量等物理量。
研究电磁学现象
外微分和斯托克斯公式可以用于研究电磁学 现象，例如麦克斯韦方程组的求解、电磁波 的传播等。
05 外微分及斯托克斯公式的 扩展
外微分的扩展形式
01
广义外微分
在更广泛的函数空间中，引入了 更一般的微分概念，使得外微分 的应用范围更广。
物理应用
斯托克斯公式在物理中有广泛的应用，如电磁学、流体力学和量子力学等领域。它描述了磁场和电场之间的相互 作用，以及流体速度场和压力场之间的关系。
数学应用
斯托克斯公式在数学中也有重要的应用，如在偏微分方程和微分几何等领域。它用于求解某些偏微分方程，以及 在微分几何中研究流形上的向量场和标量场之间的关系。
描述物理量之间的关系
01
外微分可以用来描述物理量之间的关系，例如速度场和流线之
【牛顿-莱布尼茨公式的n维推广】外微分公式、斯托克斯公式、广义斯托克斯公式
【⽜顿-莱布尼茨公式的n维推⼴】外微分公式、斯托克斯公式、⼴义斯托克斯公式⽬录0、前⾔&引⼦0.1、本⽂要求的预备知识本⽂要求读者已修习书⽬《⾼等数学（下）》，了解「梯度」、「散度」、「旋度」的定义，了解全微分公式，熟悉「第⼀/⼆类曲线/⾯积分」，了解「⽜顿-莱布尼茨公式」、「格林公式」、「⾼斯公式」、「斯托克斯公式」。
本⽂旨在于让读者理解到「⽜顿-莱布尼茨公式」、「格林公式」、「⾼斯公式」、「斯托克斯公式」可以被统⼀为「⼴义斯托克斯公式」。
0.2、⽜顿-莱布尼茨公式我们在⾼数中讲过⽜顿-莱布尼茨公式\[\int_{a}^b{f^\prime\left( x \right) \mathrm{d}x}=f\left( b \right) -f\left( a \right) \tag{0.1} \]或者记为\[\int_{\left[ a,b \right]}{ \mathrm{d}f}=f\left( b \right) -f\left( a \right) \tag{0.2} \]0.3、格林公式在讲⼆重积分时，引⼊了格林公式\[\iint_D{\left( \frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y} \right) \mathrm{d}x\mathrm{d}y}=\oint_{l}{P\mathrm{d}x+Q\mathrm{d}y}\tag{0.3} \]其中曲线 \(l\) 是平⾯区域 \(D\) 的边界曲线，我们⽤符号 \(l=\partial D\) 来表⽰ \(D\) 的边界曲线，并⽤⾏列式化简表达式\[\iint_D{\left| \begin{matrix} \frac{\partial}{\partial x}& \frac{\partial}{\partial y}\\ P& Q\\ \end{matrix}\right|\mathrm{d}x\mathrm{d}y}=\oint_{\partial D}{P\mathrm{d}x+Q\mathrm{d}y} \tag{0.4} \]表达式右端可以看作向量的内积 \(\left\{P,Q\right\}\cdot \left\{\mathrm{d}x,\mathrm{d}y\right\}\) ，因此，令 \(\boldsymbol{F}=\left\{ P,Q \right\} ,\mathrm{d}\boldsymbol{l}=\left\{ \mathrm{d}x,\mathrm{d}y \right\}\) ，格林公式可以进⼀步写为\[\iint_D{\left| \begin{matrix} \frac{\partial}{\partial x}& \frac{\partial}{\partial y}\\ P& Q\\ \end{matrix}\right|\mathrm{d}x\mathrm{d}y}=\oint_{\partial D}{\boldsymbol{F} \cdot\mathrm{d}\boldsymbol{l}} \tag{0.5} \]还记得⾼数讲得旋度公式 \(\nabla \times \boldsymbol{F}=\left| \begin{matrix} \boldsymbol{\hat{x}}& \boldsymbol{\hat{y}}&\boldsymbol{\hat{z}}\\ \frac{\partial}{\partial x}& \frac{\partial}{\partial y}& \frac{\partial}{\partial z}\\ P& Q& R\\\end{matrix} \right|\) 吗？是不是感觉和这⾥很像？因为这⾥的 \(\boldsymbol{F}\) 没有 \(z\) 分量，所以这⾥有 \(\nabla \times \boldsymbol{F}=\left| \begin{matrix}\boldsymbol{\hat{x}}& \boldsymbol{\hat{y}}& \boldsymbol{\hat{z}}\\ \frac{\partial}{\partial x}& \frac{\partial}{\partial y}& 0\\ P& Q&0\\\end{matrix} \right| = \boldsymbol{\hat{z}}\left| \begin{matrix} \frac{\partial}{\partial x}& \frac{\partial}{\partial y}\\ P& Q\\ \end{matrix} \right|\)。
外微分
dxdydz dxdy dz dydx dz dydxdz,
dxdydx dx(dydx) dx(dxdy) (dxdx)dy 0
等等。 设 P, Q, R 是定义在 R 中的函数，下列表达式
3
Pdx Qdy Rdz,
fPdxdydz gQd dzdx hRdz dxdy ( fP gQ hR)dxdydz
注：从以上两例还可以看出， dx, dy, dz 在做外微分运算时相当于向 量当中 i , j , k 的作用。 2. 外微分运算 现在我们引进外微分运算，仍用符号 d 表示。
D
w dw
D
Pdx Qdy Rdz (
L S
R Q P R Q P )dydz ( )dzdx ( )dxdy y z z x x y
若令 w Pdx Qdy Rdz ， 则由公式(1)可知 Stokes 公式可以改写为 这里 w 是一个 1 次形式。 于是，我们看到三个公式统一到了一起。 事实上，上述公式可推广到 R 中，得到
微分形式和外微分运算介绍 我们学习了 Green 公式、 Gauss公式和 Stokes 公式，它们都是把区 域上的积分同它边界上的积分相联系。前面曾提到过，这三个公式都 可看成是 Newton Leibniz 公式的推广，并稍微提及了外微分运算。 下面就对外微分运算做一些介绍。 先在 R 3 中定义一些概念，这些概念是可以在 R n 中推广的。 1. 微分间的外积运算和微分形式 在微分 dx, dy, dz 之间引进外积运算（相当于向量之间的叉乘） ，用符 号 表示，运算规则是：
Pdydz Qdzdx Rdxdy,
Rdxdydz
dx∧dy 外微分
dx∧dy 外微分
摘要：
1.外微分的定义
2.外微分的性质
3.外微分的应用
正文：
外微分是多元函数微分学的基础概念之一，它是指多元函数在某一点处的切向量。
具体来说，对于一个多元函数f(x,y)，其在点(x0,y0) 处的外微分可以表示为dx∧dy，其中∧表示向量叉乘。
外微分具有以下性质：
1.线性性：对于任意的函数f(x,y) 和常数c，以及任意的点(x0,y0)，有dx∧dy[f(x,y)+c] = dx∧dy[f(x,y)] + dx∧dy[c]。
2.保号性：当函数在某点可微时，其外微分与该点处的梯度方向相同，即当函数值上升时，外微分为正，反之则为负。
3.反对称性：对于函数f(x,y)，其在点(x0,y0) 处的外微分与点(y0,x0) 处的外微分相反，即dx∧dy[f(x,y)] = -dy∧dx[f(x,y)]。
外微分在多元函数的微分学中有广泛的应用，例如用于求解多元函数的极值、曲面的切线、法线等。
此外，外微分还可以用于计算多元函数的散度、旋度等物理量，这些物理量在物理学、流体力学等领域有着重要的应用。
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利用外微分对场论中三个算子的讨论
【摘要】
本文通过引入外微分算子,对经典场论中的梯度,旋度,散度做了统一的解释,寻找其中的关系.同时利用其寻找Newton—Leibniz公式、Green公式、Stokes公式和Gauss公式之间的联系.
关键词：外微分场论
1、引言
在关于多元函数积分的学习中，我们可以得出各种积分之间的联系.但是我们可以看到，关于统一这些积分形式的Newton—Leibniz公式、Green公式、Stokes公式和Gauss公式之间也是有一定联系的.通过查找资料知道，我们可以通过另一个形式——外微分，将它们统一起来.同时，也可以用外微分算子来解释经典场论中的三个算子：梯度算子、散度算子和旋度算子的引进.在三维空间中，我们只能得到四种相应的外微分形式，但是按照外微分算子的定义，其可以推广到n维.以上问题将在下面进行简要的讨论与证明.
2、主要结论及其证明
2.1场论的简单引入
2.1.1 场的概念
依据空间中坐标系的表现形式,场是关于点的坐标的多变量函数.根据原物理量,可以将场分为数量场和向量场.
2.1.2 场论中的三个算子
从对数量场的方向微商的定义中,可以引申出梯度的概念.
定义2.1:数量场u在点M处的梯度是一个向量,记为grad u,其大小为场u在点M的所有方向微商中的最大值,其方向为取到这个最大值所沿的那个方向.
在三维的直角坐标系中可以表达为:
.
从对向量场的通量的定义中,可以引申出散度的概念.
定义 2.2:设是区域上的向量场,是内一点.在场中围绕点做任意的闭
曲面,是所围成的闭区域,其体积记为.是外侧的单位法向量.若当区域无限收缩于点时,比式
的极限存在,就称该极限为向量场在点的散度,记为,即
它表示点附近单位体积所流出的流量，称为处源的密度.
从对向量场的环量的定义中,可以引申出旋度的概念.
定义2.3:设是定义在区域上的向量场,是中的一点,是在点处取定的单位向量.
在内过,做任意光滑的且以为法向量的曲面元,假定这个曲面元的面积为,它的边界
是逐段光滑的闭曲线.选取的环行方向,使之与向量组成右手螺旋系统.如果当面元
无限收缩于点，而在点处的法向量保持不变时，平均环量
的极限就存在，就称此极限为场在点处绕方向的涡量,记做,即
并且吧这些涡量的最大值以及取到最大值的方向所构成的一个向量称为在点的旋度,
记作.
2.2 外微分形式
2.2.1 外微分形式的外积
设在微分之间定义一种乘积的运算,它满足下述法则:两个相同微分的乘积为0;两个不
同微分的乘积变换顺序时变号.这种微分之间的乘积称作微分的外积,用表示.
则定义2.4:由微分的外积乘以三元函数组成的微分形式称为外微分形式.
设都是三维空间的函数，则分别称（1）~（4）式为零阶、一
阶、二阶和三阶外微分式
（1）
（2）
（3）
（4）
其满足分配律和结合律，但不满足交换律.
2.2.2 外微分形式的外微分
当我们在其中引入微分运算符d,若是零次外微分形式,即为函数,则定义
d就是通常的全微分算符.若是一次外微分形式
则定义
将全微分的表达式带入后化简，给出
若是二次外微分形式，则可以类比.
若__D_Dd__________ìĝϨϨ______________
2.3 对梯度、散度、旋度的统一
2.3.1 梯度,旋度,散度的计算与联系
因为在此，仅仅涉及到三维欧式空间，则三次外微分没有与之对应的“度”，可以不予以讨论,仅就场论中三个算子进行讨论.
(1)零次外微分形式的外微分公式为
而数量场的梯度为
所以零次外微分形式的外微分与梯度相对应。
(2)一次外微分形式的外微分为
而矢量场的旋度为
所以一次外微分形式的外微分与旋度相对应。
(3)二次外微分形式_//
而矢量场的散度为
所以二次外微分形式的外微分与散度相对应。
(4) 在三维空间，三次外微分形式的外微分为0.则这三个算子与外微分形式的对应关系为
外微分形式的次数外微分对应的度
0梯度
1旋度
2散度
2.3.2 对几个公式的描述
（1）牛顿-莱布尼兹公式
其中是在上的一个原函数。
若记,则，则牛顿-莱布尼兹公式可写为
（2）斯托克斯公式
其中是以分段光滑曲线为边界的光滑曲面，与的方向遵从右手法则.
在这个公式中，由于与都是有向的，故是有向长度微元，是有向面积微元，若记，则
故斯托克斯公式可写为
格林公式作为斯托克斯公式的特殊情形，自然也具有上述形式。
（3）高斯公式
其中空间闭区域以分片光滑曲面为边界，曲面取外侧。
在这个公式中，由于是有向的，故也可看作有向的。
若记
则
故高斯公式可写为
综合上述，可以将上述各公式统一为
令为维区域，则是的边界（因而是维的），是阶外微分（因而是阶外微分）。
此定理在N维无限的空间依然适用，并不只局限于三维空间.
3、举例
例1 求矢量场的旋度.
解: 设
则
所以
4、结论
利用外微分形式可以很好的将场论中的梯度,旋度,散度进行解释与统一.同时找到联系多元函数积分的几个公式间的统一形式.
参考文献
【1】陈天权《数学分析讲义》北京大学出版社 2010年
【2】中国科技大学高等数学教研室《高等数学导论》中国科学技术大学出版社 2008年【3】马知恩王锦森《工科数学分析基础》（第二版）高等教育出版社 2006年
【4】曹剑光曹维玺《外微分在场论中的应用》长安大学学报(自然科学版) 第25卷第3期 2005年5月。