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正方形几何综合专题---40道题目(含答案)

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初三数学中考复习 正方形 专题练习题 含答案

初三数学中考复习 正方形 专题练习题 含答案

2019 初三中考数学复习正方形专题练习题1. 已知四边形ABCD中，∠A＝∠B＝∠C＝90°，如果添加一个条件，即可推出该四边形是正方形，那么这个条件可以是( )A．BC＝CD B．AB＝CD C．AD＝BC D．AC＝BD2. 下列说法不正确的是( )A．一组邻边相等的矩形是正方形B．对角线相等的矩形是正方形C．对角线互相垂直的矩形是正方形D．有一个角是直角的菱形是正方形3. 在四边形ABCD中，点O是对角线AC，BD的交点，能判定这个四边形是正方形的条件是( )A．AC＝BD，AB∥CD，AB＝CDB．AO＝BO＝CO＝DO，AC⊥BDC．AD∥BC，∠A＝∠CD．AO＝CO，BO＝DO，AB＝BC4. 如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC的垂直平分线EF交BC于点D，交AB于点E，且BE ＝BF，添加一个条件，仍不能证明四边形BECF为正方形的是( )A．BC＝AC B．CF⊥BF C．BD＝DF D．AC＝BF5. 如图，四边形ABCD中，AB＝BC，∠ABC＝∠CDA＝90°，BE⊥AD于点E，且四边形ABCD的面积为8，则BE的长为( )A．2 B．3 C．2 2 D．236. 正方形具有而菱形不一定具有的性质是( )A.对角线互相平分B.内角和为360°C.对角线相等D.对角线平分内角7. 能判定一个四边形是平行四边形的条件是( )A.一组对边平行，另一组对边相等B.一组对边平行，一组对角互补C.一组对角相等，一组邻角互补D.一组对角相等，另一组对角互补8. 矩形、菱形、正方形都具有的性质是( )A.对角线相等B.对角线垂直平分C.对角线平分一组对角D.对角线互相平分9. 正方形ABCD在平面直角坐标系中的位置如图所示，已知点A的坐标为(0，4)，点B坐标为(－3，0)，则点C的坐标为( )A．(1，3) B．(1，－3) C．(1，－4) D．(2，－4)10. 如图，正方形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，则图中的等腰三角形有( ) A．4个 B．6个 C．8个 D．10个11. 如图，在正方形ABCD的外侧，作等边△ADE，则∠BED的度数是____________．12. 如图，正方形ABCD的边长为9，将正方形折叠，使顶点D落在BC边上的点E处，折痕为GH.若BE∶EC＝2∶1，则线段CH的长是____．13. 如图，已知正方形ABCD的边长为1，连结AC，BD，CE平分∠ACD交BD于点E，则DE＝_________________.14. 如图，四边形ABCD是正方形，对角线AC与BD相交于O，MN∥AB，且分别与AO，BO交于M，N，求证：(1)BM＝CN；(2)BM⊥CN.15. 如图，正方形ABCD中，G为BC边上一点，BE⊥AG于E，DF⊥AG于F，连结DE.(1)求证：△ABE≌△DAF；(2)若AF ＝1，四边形ABED 的面积为6，求EF 的长．参考答案：1---10 ABBDC CCDBC11. 45°12. 4 13. 2－114. 解：(1)∵MN∥AB，∴∠OMN＝∠OAB，∠ONM ＝∠OBA，∵OA＝OB ，∴∠OAB＝∠OBA，∴∠OMN ＝∠ONM，∴OM＝ON ，∴AM＝OA －OM ＝OB －ON ＝BN ，在△ABM 和△BCN 中，⎩⎨⎧AB ＝BC∠MAB＝∠NBC AM ＝BN，∴△ABM≌△BCN(SAS)，∴BM＝CN(2)由△ABM≌△BCN 得，∠ABM＝∠BCN，又∵∠ABM＋∠CBM＝90°，∴∠BCN＋∠CBM＝90°，∴CN⊥BM15. 解：(1)∵四边形ABCD 是正方形，∴AB＝AD ，∵DF⊥AG，BE⊥A G ，∴∠BAE＋∠DAF＝90°，∠DAF＋∠ADF＝90°，∴∠BAE＝∠ADF，在△ABE 和△DAF 中，⎩⎨⎧∠BAE＝∠ADF，∠AEB＝∠DFA，AB ＝AD ，∴△ABE≌△DAF(AAS)(2)设EF ＝x ，则AE ＝DF ＝x ＋1，由题意2×12×(x＋1)×1＋12×x×(x＋1)＝6，解得x ＝2或－5(舍弃)，∴EF＝2。

正方形练习题(含答案)

正方形练习题(含答案)

正方形知识点一：正方形的定义：有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。

知识点二：正方形的性质：1.正方形的四个角都是直角，四条边都相等；2.正方形的对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角；3.正方形既是轴对称图形也是中心对称图形。

知识点三：正方形的判定方法：1.正方形的定义：有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。

2.有一组邻边相等的矩形是正方形；3.有一个角是直角的菱形是正方形.练习题：1.菱形、矩形、正方形都具有的性质是（ C ）A ．对角线相等且互相平分B ．对角线相等且互相垂直平分C ．对角线互相平分D ．四条边相等，四个角相等2.如图, E 、F 分别是正方形ABCD 的边CD 、AD 上的点，且CE ＝DF ，AE 、BF 相交于点O ，下列结论①AE ＝BF ；②AE ⊥BF ；③AO ＝OE ；④AOB DEOF S S ∆=四边形中，错误的有（ A ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个3.如图，E 是正方形ABCD 内一点，如果△ABE 为等边三角形，那么∠DCE= 15 度． 4.如图，E 是正方形ABCD 的边BC 延长线上一点，且CE=AC ，AE 交CD 于点F ，则∠E= 22.5 度．5.如图，若P 是边长1的正方形ABCD 内一点且S △ABP =0.4，则S △DCP = 0.1 ．分析：过P 作EF ，使EF ∥BC ，则EF ⊥CD ，EF ⊥AB ，∴S △ABP =错误!未找到引用源。

AB•EP ，S △CDP =错误!未找到引用源。

CD•PF ，根据S △ABP +S △CDP =错误!未找到引用源。

6.如图，在菱形ABCD 中，∠BAD=80°，AB 的垂直平分线交对角线AC 于点F ，E 为垂足，连接DF ，则∠CDF 的度数= 60 度．7.如图，在边长为2的正方形ABCD 中，M 为边AD 的中点，延长MD 至点E ，使ME ＝MC ，以DE 为边作正方形DEFG ，点G 在边CD 上，则DG 的长为 5－18.如图，E F G H ，，，分别为正方形ABCD 的边AB ，BC ，CD ，DA 上的点，且13AE BF CG DH AB ====，则图中阴影部分的面积与正方形ABCD 的面积之比为 2/5 9.如图，菱形ABCD 中，∠B ＝60°，AB ＝2，E 、F 分别是BC 、CD 的中点，连接AE 、EF 、AF ，则△AEF 周长为 3310.如图，已知P 是正方形ABCD 对角线BD 上一点，且BP = BC ，则∠ACP 度数是 22.5度 ．11.已知正方形ABCD 的边长为1，连接AC ，BD ，CE 平分∠ACD 交BD 于点E ，则DE ＝ 2－ 1 .11.如图，点E 是正方形ABCD 的边AB 上任意一点，过点D 作DF DE ⊥交BC 的延长线于点F ．求证：DE DF =．证明：∵四边形ABCD 是正方形，∴ AD=CD ,∠A=∠DCF=900又∵DF ⊥DE ，∴∠1+∠3=∠2+∠3∴∠1=∠2在Rt △DAE 和Rt △DCE 中，∠1=∠2，AD=CD ，∠A=∠DCF∴Rt △DAE ≅Rt △DCE (ASA) ∴DE=DF ．第2题 第3题 第4题 第5题 第6题12.如图，已知平行四边形ABCD 中，对角线AC BD ，交于点O ，E 是BD 延长线上的点，且ACE △是等边三角形．（1）求证：四边形ABCD 是菱形；（2）若2AED EAD ∠=∠，求证：四边形ABCD 是正方形．证明：（1）四边形ABCD 是平行四边形，AO CO ∴=．又ACE Q △是等边三角形，EO AC ∴⊥，即DB AC ⊥． ∴平行四边形ABCD 是菱形；（2）ACE Q △是等边三角形，60AEC ∴∠=o ． EO AC ⊥，1302AEO AEC ∴∠=∠=o ．2AED EAD ∠=∠，15EAD ∴∠=o ．45ADO EAD AED ∴∠=∠+∠=o ．四边形ABCD 是菱形，290ADC ADO ∴∠=∠=o ，∴四边形ABCD 是正方形．13.如图，ABCD 是正方形，AE ∥DB ，BE ＝BD ，BE 交AD 于F ，试说明：ΔDEF 是腰三角形。

挑战中考数学压轴题-几何综合题素质训练之正方形

挑战中考数学压轴题-几何综合题素质训练之正方形

挑战中考数学压轴题-几何综合题素质训练之正方形1．已知：如图，在正方形ABCD中，E、F分别在AD、DC上，且DE＝DF，BM⊥EF于M．求证：ME＝MF．2．如图，正方形ABCD，E是BC上的一点，延长AB至F使BFBE，延长AE交CF于G．求证：AGCF．3．如图，ABCD、BEFG都是正方形，A、B、Ｅ在一条直线上，连结A、G，且延长交CE的连线为H，求证：AHCE．（1）如图1，正方形ABCD中，作AE交BC于E，DFAE交AB于F，求证：AEDF；（2）如图2，正方形ABCD中，点E，F分别在AD，BC上，点G，H分别在AB，CD上，且EFGH，求EF:GH的值；（3）如图3，矩形ABCD中，ABa，BCb，点E，F分别在AD，BC上，且EFGH，求EF:GH的值．AFDBEC图1AEDHGBFCDH图2AEGBFC图35．已知：如图，正方形ABCD，P是BO上任意一点，DQ⊥AP，垂足是Q，交AC于R，求证：⑴、DP=CR．⑵、若P为OB延长线上一点，其它条件不变，那么上述的结论是否仍然成立，画图并证明.DARQOPBCRQADOBCP6．如图，已知ABCD是正方形，对角线AC与BD相交于O，MN//AB，且分别与AO、BO交于M、N．求证：BMCN．7．如图，已知正方形ABCD中，F为CD延长线上一点，CEAF于E，交AD于M．求：∠MFD的度数．8．已知：如图，正方形ABCD中，M为DC中点，DFAM交AC于E，交BC于F．求证：∠DMA=∠EMC．9．已知：如图，AM为△ABC的中线，四边形ABDE、ACFG均为正方形．求证：AM10．已知：如图，正方形ABCD中，CE垂直于CAD的平分线于E，AE交DC于F．求证：CE1EG．21AF．211．已知：如图，正方形ABCD中，M是CD中点，E是CD上一点，且BAE2DAM．求证：AE＝BC＋CE．12．已知：如图，正方形ABCD中，E、F分别为AB、BC的中点，CE、DF交于M．求证：AM=AD．13、如图正方形ABCD，以CD为边长向正方形内作等边△CDE,连BE交AC于F，连DF，求证：⑴△ADF≌△ABF⑵求∠AFD的大小⑶求证AF+DF=CFDFEACB14．（利用旋转处理正方形问题）△ABC是等腰直角三角形，∠C＝90°，M、N为斜边AB上两点，如果∠MCN＝45求证AM＋BN=MN222BNMCA15、已知M、N分别在正方形ABCD的边BC、CD上，且∠MAN=45°⑴如图1求证：MN=DN+BN⑵如图2，若点M、N分别在CB、DC的延长线上，∠MAN=45°，请探究：MN、BM、DN之间的关系DNCMABDCNBAM如果改∠MAN=45°顶点不在A点，而在正方形的中心O点处，其它的条件不变，请问MC、MB与MN之间的关系DCMONAB16、已知M、N分别在正方形ABCD的边BC、CD上，且MN=DN+BN⑴如图1求∠MAN的度数⑵如图2，若AM、AN分别和BD交于E、F点，请探究：DE、EF、FB之间的关系⑶若点M、N分别在CB、DC的延长线上，∠MAN=45°MN、DN、BN之间的关系；请探究：DE、EF、FB之间的关系画图证明DENCFADCMBNEBMAF17、如图正方形ABCD中，点O为对角线AC的中点，点P为正方形ABCD外的一点，且BP⊥CP⑴如图1，求证BP+CP=2OP⑵如图2，当点P在正方形的内部时，问BP、CP、OP三者又存在什么样的关系？请证明ADOEBPCADPOEB18、正方形ABCD中，点O是对角线AC的中点，P是对角线AC上一动点，过点P作PF⊥CD于点F。

中考数学-几何综合压轴问题(共40题)(学生版)

中考数学-几何综合压轴问题(共40题)(学生版)

几何综合压轴问题(40题)1(2023·四川自贡·统考中考真题)如图1，一大一小两个等腰直角三角形叠放在一起，M，N分别是斜边DE，AB的中点，DE=2,AB=4．(1)将△CDE绕顶点C旋转一周，请直接写出点M，N距离的最大值和最小值；(2)将△CDE绕顶点C逆时针旋转120°(如图2)，求MN的长．2(2023·山东烟台·统考中考真题)如图，点C为线段AB上一点，分别以AC,BC为等腰三角形的底边，在AB的同侧作等腰△ACD和等腰△BCE，且∠A=∠CBE．在线段EC上取一点F，使EF=AD，连接BF,DE．(1)如图1，求证：DE=BF；(2)如图2，若AD=2，BF的延长线恰好经过DE的中点G，求BE的长．3(2023·浙江绍兴·统考中考真题)在平行四边形ABCD中(顶点A,B,C,D按逆时针方向排列)，AB= 12,AD=10,∠B为锐角，且sin B=45．(1)如图1，求AB边上的高CH的长．(2)P是边AB上的一动点，点C,D同时绕点P按逆时针方向旋转90°得点C ,D ．①如图2，当点C 落在射线CA上时，求BP的长．②当△AC D 是直角三角形时，求BP的长．4(2023·甘肃武威·统考中考真题)【模型建立】(1)如图1，△ABC和△BDE都是等边三角形，点C关于AD的对称点F在BD边上．①求证：AE=CD；②用等式写出线段AD，BD，DF的数量关系，并说明理由．【模型应用】(2)如图2，△ABC是直角三角形，AB=AC，CD⊥BD，垂足为D，点C关于AD的对称点F在BD边上．用等式写出线段AD，BD，DF的数量关系，并说明理由．【模型迁移】(3)在(2)的条件下，若AD=42，BD=3CD，求cos∠AFB的值．5(2023·江西·统考中考真题)课本再现思考我们知道，菱形的对角线互相垂直．反过来，对角线互相垂直的平行四边形是菱形吗？可以发现并证明菱形的一个判定定理；对角线互相垂直的平行四边形是菱形．(1)定理证明：为了证明该定理，小明同学画出了图形(如图1)，并写出了“已知”和“求证”，请你完成证明过程．己知：在▱ABCD中，对角线BD⊥AC，垂足为O．求证：▱ABCD是菱形．(2)知识应用：如图2，在▱ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，AD=5，AC=8，BD=6．①求证：▱ABCD是菱形；②延长BC至点E，连接OE交CD于点F，若∠E=12∠ACD，求OFEF的值．6(2023·湖北随州·统考中考真题)1643年，法国数学家费马曾提出一个著名的几何问题：给定不在同一条直线上的三个点A，B，C，求平面上到这三个点的距离之和最小的点的位置，意大利数学家和物理学家托里拆利给出了分析和证明，该点也被称为“费马点”或“托里拆利点”，该问题也被称为“将军巡营”问题．(1)下面是该问题的一种常见的解决方法，请补充以下推理过程：(其中①处从“直角”和“等边”中选择填空，②处从“两点之间线段最短”和“三角形两边之和大于第三边”中选择填空，③处填写角度数，④处填写该三角形的某个顶点)当△ABC的三个内角均小于120°时，如图1，将△APC绕，点C顺时针旋转60°得到△A P C，连接PP ，由PC=P C，∠PCP =60°，可知△PCP 为三角形，故PP =PC，又P A =PA，故PA+PB+PC =PA +PB+PP ≥A B，由可知，当B，P，P ，A在同一条直线上时，PA+PB+PC取最小值，如图2，最小值为A B，此时的P点为该三角形的“费马点”，且有∠APC=∠BPC=∠APB=；已知当△ABC有一个内角大于或等于120°时，“费马点”为该三角形的某个顶点．如图3，若∠BAC≥120°，则该三角形的“费马点”为点．(2)如图4，在△ABC中，三个内角均小于120°，且AC=3，BC=4，∠ACB=30°，已知点P为△ABC的“费马点”，求PA+PB+PC的值；(3)如图5，设村庄A，B，C的连线构成一个三角形，且已知AC=4km，BC=23km，∠ACB=60°．现欲建一中转站P沿直线向A，B，C三个村庄铺设电缆，已知由中转站P到村庄A，B，C的铺设成本分别为a 元/km，a元/km，2a元/km，选取合适的P的位置，可以使总的铺设成本最低为元．(结果用含a的式子表示)7(2023·山东枣庄·统考中考真题)问题情境：如图1，在△ABC中，AB=AC=17，BC=30，AD是BC边上的中线．如图2，将△ABC的两个顶点B，C分别沿EF,GH折叠后均与点D重合，折痕分别交AB,AC,BC于点E，G，F，H．猜想证明：(1)如图2，试判断四边形AEDG的形状，并说明理由．问题解决；(2)如图3，将图2中左侧折叠的三角形展开后，重新沿MN折叠，使得顶点B与点H重合，折痕分别交AB, BC于点M，N，BM的对应线段交DG于点K，求四边形MKGA的面积．8(2023·湖南·统考中考真题)(1)[问题探究]如图1，在正方形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O．在线段AO上任取一点P(端点除外)，连接PD、PB．①求证：PD=PB；②将线段DP绕点P逆时针旋转，使点D落在BA的延长线上的点Q处．当点P在线段AO上的位置发生变化时，∠DPQ的大小是否发生变化？请说明理由；③探究AQ与OP的数量关系，并说明理由．(2)[迁移探究]如图2，将正方形ABCD换成菱形ABCD，且∠ABC=60°，其他条件不变．试探究AQ与CP的数量关系，并说明理由．9(2023·湖南岳阳·统考中考真题)如图1，在△ABC中，AB=AC，点M,N分别为边AB,BC的中点，连接MN．初步尝试：(1)MN与AC的数量关系是，MN与AC的位置关系是．特例研讨：(2)如图2，若∠BAC=90°,BC=42，先将△BMN绕点B顺时针旋转α(α为锐角)，得到△BEF，当点A,E,F在同一直线上时，AE与BC相交于点D，连接CF．(1)求∠BCF的度数；(2)求CD的长．深入探究：(3)若∠BAC<90°，将△BMN绕点B顺时针旋转α，得到△BEF，连接AE，CF．当旋转角α满足0°<α<360°，点C,E,F在同一直线上时，利用所提供的备用图探究∠BAE与∠ABF的数量关系，并说明理由．10(2023·湖北黄冈·统考中考真题)【问题呈现】△CAB和△CDE都是直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°,CB=mCA,CE=mCD，连接AD，BE，探究AD，BE的位置关系．(1)如图1，当m=1时，直接写出AD，BE的位置关系：；(2)如图2，当m≠1时，(1)中的结论是否成立？若成立，给出证明；若不成立，说明理由．【拓展应用】(3)当m=3,AB=47,DE=4时，将△CDE绕点C旋转，使A,D,E三点恰好在同一直线上，求BE的长．11(2023·河北·统考中考真题)如图1和图2，平面上，四边形ABCD中，AB=8,BC=211,CD=12, DA=6,∠A=90°，点M在AD边上，且DM=2．将线段MA绕点M顺时针旋转n°(0<n≤180)到MA ,∠A MA的平分线MP所在直线交折线AB-BC于点P，设点P在该折线上运动的路径长为x(x>0)，连接A P．(1)若点P在AB上，求证：A P=AP；(2)如图2．连接BD．①求∠CBD的度数，并直接写出当n=180时，x的值；②若点P到BD的距离为2，求tan∠A MP的值；(3)当0<x≤8时，请直接写出点A 到直线AB的距离．(用含x的式子表示)．12(2023·四川达州·统考中考真题)(1)如图①，在矩形ABCD的AB边上取一点E，将△ADE沿DE翻折，使点A落在BC上A 处，若AB=6,BC=10，求AEEB的值；(2)如图②，在矩形ABCD 的BC 边上取一点E ，将四边形ABED 沿DE 翻折，使点B 落在DC 的延长线上B 处，若BC ⋅CE =24,AB =6，求BE 的值；(3)如图③，在△ABC 中，∠BAC =45°,AD ⊥BC ，垂足为点D ,AD =10,AE =6，过点E 作EF ⊥AD 交AC 于点F ，连接DF ，且满足∠DFE =2∠DAC ，直接写出BD +53EF 的值．13(2023·湖南郴州·统考中考真题)已知△ABC 是等边三角形，点D 是射线AB 上的一个动点，延长BC 至点E ，使CE =AD ，连接DE 交射线AC 于点F ．(1)如图1，当点D 在线段AB 上时，猜测线段CF 与BD 的数量关系并说明理由；(2)如图2，当点D 在线段AB 的延长线上时，①线段CF 与BD 的数量关系是否仍然成立？请说明理由；②如图3，连接AE ．设AB =4，若∠AEB =∠DEB ，求四边形BDFC 的面积．14(2023·湖北宜昌·统考中考真题)如图，在正方形ABCD 中，E ，F 分别是边AD ，AB 上的点，连接CE ，EF ，CF ．(1)若正方形ABCD 的边长为2，E 是AD 的中点．①如图1，当∠FEC =90°时，求证：△AEF ∽△DCE ；②如图2，当tan ∠FCE =23时，求AF 的长；(2)如图3，延长CF ，DA 交于点G ，当GE =DE ,sin ∠FCE =13时，求证：AE =AF ．15(2023·湖北武汉·统考中考真题)问题提出：如图(1)，E 是菱形ABCD 边BC 上一点，△AEF 是等腰三角形，AE =EF ，∠AEF =∠ABC =αa ≥90° ,AF 交CD 于点G ，探究∠GCF 与α的数量关系．问题探究：(1)先将问题特殊化，如图(2)，当α=90°时，直接写出∠GCF 的大小；(2)再探究一般情形，如图(1)，求∠GCF 与α的数量关系．问题拓展：(3)将图(1)特殊化，如图(3)，当α=120°时，若DG CG =12，求BECE的值．16(2023·山西·统考中考真题)问题情境：“综合与实践”课上，老师提出如下问题：将图1中的矩形纸片沿对角线剪开，得到两个全等的三角形纸片，表示为△ABC 和△DFE ，其中∠ACB =∠DEF =90°,∠A =∠D ．将△ABC 和△DFE 按图2所示方式摆放，其中点B 与点F 重合(标记为点B )．当∠ABE =∠A 时，延长DE 交AC 于点G ．试判断四边形BCGE 的形状，并说明理由．(1)数学思考：谈你解答老师提出的问题；(2)深入探究：老师将图2中的△DBE 绕点B 逆时针方向旋转，使点E 落在△ABC 内部，并让同学们提出新的问题．①“善思小组”提出问题：如图3，当∠ABE =∠BAC 时，过点A 作AM ⊥BE 交BE 的延长线于点M ,BM 与AC 交于点N ．试猜想线段AM 和BE 的数量关系，并加以证明．请你解答此问题；②“智慧小组”提出问题：如图4，当∠CBE=∠BAC时，过点A作AH⊥DE于点H，若BC=9,AC=12，求AH的长．请你思考此问题，直接写出结果．17(2023·湖北十堰·统考中考真题)过正方形ABCD的顶点D作直线DP，点C关于直线DP的对称点为点E，连接AE，直线AE交直线DP于点F．(1)如图1，若∠CDP=25°，则∠DAF=°；(2)如图1，请探究线段CD，EF，AF之间的数量关系，并证明你的结论；(3)在DP绕点D转动的过程中，设AF=a，EF=b请直接用含a,b的式子表示DF的长．18(2023·辽宁大连·统考中考真题)综合与实践问题情境：数学活动课上，王老师给同学们每人发了一张等腰三角形纸片探究折叠的性质．已知AB=AC,∠A>90°，点E为AC上一动点，将△ABE以BE为对称轴翻折．同学们经过思考后进行如下探究：独立思考：小明：“当点D落在BC上时，∠EDC=2∠ACB．”小红：“若点E为AC中点，给出AC与DC的长，就可求出BE的长．”实践探究：奋进小组的同学们经过探究后提出问题1，请你回答：问题1：在等腰△ABC中，AB=AC,∠A>90°,△BDE由△ABE翻折得到．(1)如图1，当点D落在BC上时，求证：∠EDC=2∠ACB；(2)如图2，若点E为AC中点，AC=4,CD=3，求BE的长．问题解决：小明经过探究发现：若将问题1中的等腰三角形换成∠A<90°的等腰三角形，可以将问题进一步拓展．问题2：如图3，在等腰△ABC中，∠A<90°,AB=AC=BD=4,2∠D=∠ABD．若CD=1，则求BC的长．19(2023·山东·统考中考真题)(1)如图1，在矩形ABCD中，点E，F分别在边DC，BC上，AE⊥DF，垂足为点G．求证：△ADE∽△DCF．【问题解决】(2)如图2，在正方形ABCD中，点E，F分别在边DC，BC上，AE=DF，延长BC到点H，使CH=DE，连接DH．求证：∠ADF=∠H．【类比迁移】(3)如图3，在菱形ABCD中，点E，F分别在边DC，BC上，AE=DF=11，DE=8，∠AED=60°，求CF 的长．20(2023·福建·统考中考真题)如图1，在△ABC中，∠BAC=90°,AB=AC,D是AB边上不与A,B重合的一个定点．AO⊥BC于点O，交CD于点E．DF是由线段DC绕点D顺时针旋转90°得到的，FD,CA的延长线相交于点M．(1)求证：△ADE∽△FMC；(2)求∠ABF的度数；(3)若N是AF的中点，如图2．求证：ND=NO．21(2023·四川·统考中考真题)如图1，已知线段AB，AC，线段AC绕点A在直线AB上方旋转，连接BC，以BC为边在BC上方作Rt△BDC，且∠DBC=30°．(1)若∠BDC=90°，以AB为边在AB上方作Rt△BAE，且∠AEB=90°，∠EBA=30°，连接DE，用等式表示线段AC与DE的数量关系是；(2)如图2，在(1)的条件下，若DE⊥AB，AB=4，AC=2，求BC的长；(3)如图3，若∠BCD=90°，AB=4，AC=2，当AD的值最大时，求此时tan∠CBA的值．22(2023·广西·统考中考真题)【探究与证明】折纸，操作简单，富有数学趣味，我们可以通过折纸开展数学探究，探索数学奥秘．【动手操作】如图1，将矩形纸片ABCD对折，使AD与BC重合，展平纸片，得到折痕EF；折叠纸片，使点B 落在EF上，并使折痕经过点A，得到折痕AM，点B，E的对应点分别为B ，E ，展平纸片，连接AB ，BB ，BE ．请完成：(1)观察图1中∠1，∠2和∠3，试猜想这三个角的大小关系；(2)证明(1)中的猜想；【类比操作】如图2，N为矩形纸片ABCD的边AD上的一点，连接BN，在AB上取一点P，折叠纸片，使B ，P 两点重合，展平纸片，得到折痕EF ；折叠纸片，使点B ，P 分别落在EF ，BN 上，得到折痕l ，点B ，P 的对应点分别为B ，P ，展平纸片，连接，P B ．请完成：(3)证明BB 是∠NBC 的一条三等分线．23(2023·重庆·统考中考真题)在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，∠B =60°，点D 为线段AB 上一动点，连接CD ．(1)如图1，若AC =9，BD =3，求线段AD 的长．(2)如图2，以CD 为边在CD 上方作等边△CDE ，点F 是DE 的中点，连接BF 并延长，交CD 的延长线于点G ．若∠G =∠BCE ，求证：GF =BF +BE ．(3)在CD 取得最小值的条件下，以CD 为边在CD 右侧作等边△CDE ．点M 为CD 所在直线上一点，将△BEM 沿BM 所在直线翻折至△ABC 所在平面内得到△BNM ．连接AN ，点P 为AN 的中点，连接CP ，当CP 取最大值时，连接BP ，将△BCP 沿BC 所在直线翻折至△ABC 所在平面内得到△BCQ ，请直接写出此时NQ CP的值．24(2023·湖南·统考中考真题)如图，在等边三角形ABC 中，D 为AB 上的一点，过点D 作BC 的平行线DE 交AC 于点E ，点P 是线段DE 上的动点(点P 不与D 、E 重合)．将△ABP 绕点A 逆时针方向旋转60°，得到△ACQ ，连接EQ 、PQ ,PQ 交AC 于F ．(1)证明：在点P 的运动过程中，总有∠PEQ =120°．(2)当AP DP为何值时，△AQF 是直角三角形？25(2023·黑龙江·统考中考真题)如图①，△ABC和△ADE是等边三角形，连接DC，点F，G，H分别是DE,DC和BC的中点，连接FG,FH．易证：FH=3FG．若△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，且∠BAC=∠DAE=90°，如图②：若△ABC和△ADE都是等腰三角形，且∠BAC=∠DAE=120°，如图③：其他条件不变，判断FH和FG之间的数量关系，写出你的猜想，并利用图②或图③进行证明．26(2023·黑龙江齐齐哈尔·统考中考真题)综合与实践数学模型可以用来解决一类问题，是数学应用的基本途径．通过探究图形的变化规律，再结合其他数学知识的内在联系，最终可以获得宝贵的数学经验，并将其运用到更广阔的数学天地．(1)发现问题：如图1，在△ABC和△AEF中，AB=AC，AE=AF，∠BAC=∠EAF=30°，连接BE，CF，延长BE交CF于点D．则BE与CF的数量关系：，∠BDC=°；(2)类比探究：如图2，在△ABC和△AEF中，AB=AC，AE=AF，∠BAC=∠EAF=120°，连接BE，CF，延长BE，FC交于点D．请猜想BE与CF的数量关系及∠BDC的度数，并说明理由；(3)拓展延伸：如图3，△ABC和△AEF均为等腰直角三角形，∠BAC=∠EAF=90°，连接BE，CF，且点B，E，F在一条直线上，过点A作AM⊥BF，垂足为点M．则BF，CF，AM之间的数量关系：；(4)实践应用：正方形ABCD中，AB=2，若平面内存在点P满足∠BPD=90°，PD=1，则S△ABP=．27(2023·广东深圳·统考中考真题)(1)如图，在矩形ABCD中，E为AD边上一点，连接BE，①若BE=BC，过C作CF⊥BE交BE于点F，求证：△ABE≌△FCB；=20时，则BE⋅CF=．②若S矩形ABCD(2)如图，在菱形ABCD中，cos A=13，过C作CE⊥AB交AB的延长线于点E，过E作EF⊥AD交AD =24时，求EF⋅BC的值．于点F，若S菱形ABCD(3)如图，在平行四边形ABCD中，∠A=60°，AB=6，AD=5，点E在CD上，且CE=2，点F为BC上一点，连接EF，过E作EG⊥EF交平行四边形ABCD的边于点G，若EF⋅EG=73时，请直接写出AG的长．28(2023·内蒙古·统考中考真题)如图，在菱形ABCD中，对角线AC,BD相交于点O，点P,Q分别是边BC，线段OD上的点，连接AP,QP,AP与OB相交于点E．(1)如图1，连接QA．当QA=QP时，试判断点Q是否在线段PC的垂直平分线上，并说明理由；(2)如图2，若∠APB=90°，且∠BAP=∠ADB，①求证：AE=2EP；②当OQ=OE时，设EP=a，求PQ的长(用含a的代数式表示)．29(2023·内蒙古赤峰·统考中考真题)数学兴趣小组探究了以下几何图形．如图①，把一个含有45°角的三角尺放在正方形ABCD中，使45°角的顶点始终与正方形的顶点C重合，绕点C旋转三角尺时，45°角的两边CM ，CN 始终与正方形的边AD ，AB 所在直线分别相交于点M ，N ，连接MN ，可得△CMN ．【探究一】如图②，把△CDM 绕点C 逆时针旋转90°得到△CBH ，同时得到点H 在直线AB 上．求证：∠CNM =∠CNH ；【探究二】在图②中，连接BD ，分别交CM ，CN 于点E ，F ．求证：△CEF ∽△CNM ；【探究三】把三角尺旋转到如图③所示位置，直线BD 与三角尺45°角两边CM ，CN 分别交于点E ，F ．连接AC 交BD 于点O ，求EFNM的值．30(2023·山东东营·统考中考真题)(1)用数学的眼光观察．如图，在四边形ABCD 中，AD =BC ，P 是对角线BD 的中点，M 是AB 的中点，N 是DC 的中点，求证：∠PMN =∠PNM ．(2)用数学的思维思考．如图，延长图中的线段AD 交MN 的延长线于点E ，延长线段BC 交MN 的延长线于点F ，求证：∠AEM =∠F ．(3)用数学的语言表达．如图，在△ABC 中，AC <AB ，点D 在AC 上，AD =BC ，M 是AB 的中点，N 是DC 的中点，连接MN 并延长，与BC 的延长线交于点G ，连接GD ，若∠ANM =60°，试判断△CGD 的形状，并进行证明．31(2023·甘肃兰州·统考中考真题)综合与实践【思考尝试】(1)数学活动课上，老师出示了一个问题：如图1，在矩形ABCD中，E是边AB上一点，DF⊥CE于点F，GD⊥DF，AG⊥DG，AG=CF．试猜想四边形ABCD的形状，并说明理由；【实践探究】(2)小睿受此问题启发，逆向思考并提出新的问题：如图2，在正方形ABCD中，E是边AB上一点，DF⊥CE于点F，AH⊥CE于点H，GD⊥DF交AH于点G，可以用等式表示线段FH，AH，CF的数量关系，请你思考并解答这个问题；【拓展迁移】(3)小博深入研究小睿提出的这个问题，发现并提出新的探究点：如图3，在正方形ABCD中，E是边AB上一点，AH⊥CE于点H，点M在CH上，且AH=HM，连接AM，BH，可以用等式表示线段CM，BH的数量关系，请你思考并解答这个问题．32(2023·贵州·统考中考真题)如图①，小红在学习了三角形相关知识后，对等腰直角三角形进行了探究，在等腰直角三角形ABC中，CA=CB,∠C=90°，过点B作射线BD⊥AB，垂足为B，点P在CB上．(1)【动手操作】如图②，若点P在线段CB上，画出射线PA，并将射线PA绕点P逆时针旋转90°与BD交于点E，根据题意在图中画出图形，图中∠PBE的度数为度；(2)【问题探究】根据(1)所画图形，探究线段PA与PE的数量关系，并说明理由；(3)【拓展延伸】如图③，若点P在射线CB上移动，将射线PA绕点P逆时针旋转90°与BD交于点E，探究线段BA,BP, BE之间的数量关系，并说明理由．33(2023·辽宁·统考中考真题)在RtΔABC中，∠ACB=90°，CA=CB，点O为AB的中点，点D在直线AB上(不与点A,B重合)，连接CD，线段CD绕点C逆时针旋转90°，得到线段CE，过点B作直线l⊥BC，过点E作EF⊥l，垂足为点F，直线EF交直线OC于点G．(1)如图，当点D与点O重合时，请直接写出线段AD与线段EF的数量关系；(2)如图，当点D在线段AB上时，求证：CG+BD=2BC；(3)连接DE，△CDE的面积记为S1，△ABC的面积记为S2，当EF:BC=1:3时，请直接写出S1S2的值．34(2023·四川成都·统考中考真题)探究式学习是新课程倡导的重要学习方式，某兴趣小组拟做以下探究．在Rt△ABC中，∠C=90°,AC=BC，D是AB边上一点，且ADBD=1n(n为正整数)，E是AC边上的动点，过点D作DE的垂线交直线BC于点F．【初步感知】(1)如图1，当n=1时，兴趣小组探究得出结论：AE+BF=22AB，请写出证明过程．【深入探究】(2)①如图2，当n=2，且点F在线段BC上时，试探究线段AE，BF，AB之间的数量关系，请写出结论并证明；②请通过类比、归纳、猜想，探究出线段AE，BF，AB之间数量关系的一般结论(直接写出结论，不必证明)【拓展运用】(3)如图3，连接EF，设EF的中点为M．若AB=22，求点E从点A运动到点C的过程中，点M运动的路径长(用含n的代数式表示)．35(2023·江苏徐州·统考中考真题)【阅读理解】如图1，在矩形ABCD中，若AB=a,BC=b，由勾股定理，得AC2=a2+b2，同理BD2=a2+b2，故AC2+BD2=2a2+b2．【探究发现】如图2，四边形ABCD为平行四边形，若AB=a,BC=b，则上述结论是否依然成立？请加以判断，并说明理由．【拓展提升】如图3，已知BO为△ABC的一条中线，AB=a,BC=b,AC=c．求证：BO2=a2+b22-c24．【尝试应用】如图4，在矩形ABCD中，若AB=8,BC=12，点P在边AD上，则PB2+PC2的最小值为．36(2023·四川南充·统考中考真题)如图，正方形ABCD中，点M在边BC上，点E是AM的中点，连接ED，EC．(1)求证：ED=EC；(2)将BE绕点E逆时针旋转，使点B的对应点B 落在AC上，连接MB′．当点M在边BC上运动时(点M 不与B，C重合)，判断△CMB′的形状，并说明理由．(3)在(2)的条件下，已知AB=1，当∠DEB′=45°时，求BM的长．37(2023·安徽·统考中考真题)在Rt△ABC中，M是斜边AB的中点，将线段MA绕点M旋转至MD 位置，点D在直线AB外，连接AD,BD．(1)如图1，求∠ADB的大小；(2)已知点D和边AC上的点E满足ME⊥AD,DE∥AB．(ⅰ)如图2，连接CD，求证：BD=CD；(ⅱ)如图3，连接BE，若AC=8,BC=6，求tan∠ABE的值．38(2023·浙江宁波·统考中考真题)定义：有两个相邻的内角是直角，并且有两条邻边相等的四边形称为邻等四边形，相等两邻边的夹角称为邻等角．(1)如图1，在四边形ABCD中，AD∥BC,∠A=90°，对角线BD平分∠ADC．求证：四边形ABCD为邻等四边形．(2)如图2，在6×5的方格纸中，A，B，C三点均在格点上，若四边形ABCD是邻等四边形，请画出所有符合条件的格点D．(3)如图3，四边形ABCD是邻等四边形，∠DAB=∠ABC=90°，∠BCD为邻等角，连接AC，过B作BE∥AC交DA的延长线于点E．若AC=8,DE=10，求四边形EBCD的周长．39(2023·江苏扬州·统考中考真题)【问题情境】在综合实践活动课上，李老师让同桌两位同学用相同的两块含30°的三角板开展数学探究活动，两块三角板分别记作△ADB和△A D C,∠ADB=∠A D C=90°,∠B=∠C=30°，设AB=2．【操作探究】如图1，先将△ADB和△A D C的边AD、A D 重合，再将△A D C绕着点A按顺时针方向旋转，旋转角为α0°≤α≤360°，旋转过程中△ADB保持不动，连接BC．(1)当α=60°时，BC=；当BC=22时，α=°；(2)当α=90°时，画出图形，并求两块三角板重叠部分图形的面积；(3)如图2，取BC的中点F，将△A D C绕着点A旋转一周，点F的运动路径长为．40(2023·四川乐山·统考中考真题)在学习完《图形的旋转》后，刘老师带领学生开展了一次数学探究活动【问题情境】刘老师先引导学生回顾了华东师大版教材七年级下册第121页“探索”部分内容：如图，将一个三角形纸板△ABC绕点A逆时针旋转θ到达△AB C 的位置，那么可以得到：AB=AB ，AC =AC ，BC=B C ；∠BAC=∠B AC ，∠ABC=∠AB C ，∠ACB=∠AC B ()刘老师进一步谈到：图形的旋转蕴含于自然界的运动变化规律中，即“变”中蕴含着“不变”，这是我们解决图形旋转的关键；故数学就是一门哲学．【问题解决】(1)上述问题情境中“( )”处应填理由：；(2)如图，小王将一个半径为4cm，圆心角为60°的扇形纸板ABC绕点O逆时针旋转90°到达扇形纸板A BC 的位置．①请在图中作出点O；②如果BB =6cm，则在旋转过程中，点B经过的路径长为；【问题拓展】小李突发奇想，将与(2)中完全相同的两个扇形纸板重叠，一个固定在墙上，使得一边位于水平位置，另一个在弧的中点处固定，然后放开纸板，使其摆动到竖直位置时静止，此时，两个纸板重叠部分的面积是多少呢？如图所示，请你帮助小李解决这个问题．。

初中数学几何综合-含答案

初中数学几何综合-含答案

一．选择题（共13小题）1．如图，在正方形ABCD中，O是对角线AC与BD的交点，M是BC边上的动点（点M 不与B、C重合），过点C作CN垂直DM交AB于点N，连结OM、ON、MN．下列四个结论：其中正确结论是（）①S四边形ABCD＝4S四边形ONBM；②BM2+CM2＝2ON2；③△CON≌△DOM；④若AB＝2，则S△OMN的最小值是1．A．①②③B．①③④C．①②④D．②③④2．如图，正方形ABCD中，∠EAF＝45°，BD分别交AE、AF于M、N，连MF、EF，下列结论：①MN2＝BN2+DM2；②DE+BF＝EF；③AM＝MF且AM⊥MF；④若E为CD 中点，则＝．其中正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个3．如图，在正方形ABCD中，AB＝4，AC与BD相交于点O，N是AO的中点，点M在BC边上，且BM＝3，P为对角线BD上一点，当对角线BD平分∠NPM时，PM﹣PN值为（）A．1B．C．2D．4．如图，在正方形ABCD内一点E连接BE、CE，过C作CF⊥CE与BE延长线交于点F，连接DF、DE．CE＝CF＝1，DE＝，下列结论中：①△CBE≌△CDF；②BF⊥DF；③点D到CF的距离为2；④S四边形DECF＝+1．其中正确结论的个数是（）A．1B．2C．3D．45．如图，已知E，F分别为正方形ABCD的边AB，BC的中点，AF与DE交于点M．则下列结论：①∠AME＝90°，②∠BAF＝∠EDB，③AM＝MF，④ME+MF＝MB．其中正确结论的有（）A．4个B．3个C．2个D．1个6．如图，正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在CG上，BC＝1，CE＝3，H是AF的中点，EH与CF交于点O．则HE的长为（）A．2B．C．2D．或27．如图，在正方形ABCD中，E为BC上一点，过点E作EF∥CD，交AD于F，交对角线BD于G，取DG的中点H，连结AH，EH，FH．下列结论：①FH∥AE；②AH＝EH且AH⊥EH；③∠BAH＝∠HEC；④△EHF≌△AHD；⑤若，则．其中哪些结论是正确（）A．①②④⑤B．②③④C．①②③D．②③④⑤8．如图，在正方形ABCD中，AC、BD相交于点O，E、F分别为BC、CD上的两点，BE ＝CF，AE、BF分别交BD、AC于M、N两点，连OE、OF．下列结论：①AE＝BF；②AE⊥BF；③CE+CF＝BD；④S四边形OECF＝S正方形ABCD，其中正确的是（）A．①②B．①④C．①②④D．①②③④9．如图，在正方形ABCD中，M是对角线BD上的一点，点E在AD的延长线上，连接AM、EM、CM，延长EM交AB于点F，若AM＝EM，∠E＝30°，则下列结论：①FM＝ME；②BF＝DE；③CM⊥EF；④BF+MD＝BC，其中正确的结论序号是（）A．①②③B．①②④C．②③④D．①②③④10．如图，在正方形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，AG平分∠BAC交BD于G，DE ⊥AG于点H．下列结论：①AD＝2AE：②FD＝AG；③CF＝CD：④四边形FGEA是菱形；⑤OF＝BE，正确的有（）A．2个B．3个C．4个D．5个11．如图，以正方形ABCD的顶点A为圆心，以AD的长为半径画弧，交对角线AC于点E，再分别以D，E为圆心，以大于DE的长为半径画弧，两弧交于图中的点F处，连接AF并延长，与BC的延长线交于点P，则∠P＝（）A．90°B．45°C．30°D．22.5°12．如图，正方形ABCD中，点E在边CD上，连接AE，过点A作AF⊥AE交CB的延长线于点F，连接EF，AG平分∠F AE，AG分别交BC，EF于点G，H，连接EG，DH．则下列结论中：①AF＝AE；②∠EGC＝2∠BAG；③DE+BG＝EG；④AD+DE＝DH；⑤若DE＝CE，则CE：CG：EG＝3：4：5，其中正确的结论有（）A．2个B．3个C．4个D．5个13．如图，矩形ABCD中，O为AC的中点，过点O的直线分别与AB、CD交于点E、F，连接BF交AC于点M，连接DE、BO．若∠COB＝60°，FO＝FC＝2，则下列结论：①FB⊥OC；②△EOB≌△CMB；③四边形EBFD是菱形；④MB＝2．其中正确结论的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个二．填空题（共3小题）14．如图，点E为正方形ABCD外一点，且ED＝CD，连接AE，交BD于点F．若∠CDE ＝40°，则∠DFC的度数为．15．如图，正方形ABCD中，在AD的延长线上取点E，F，使DE＝AD，DF＝BD，连接BF分别交CD，CE于H，G，下列结论：①EC＝2DG；②∠GDH＝∠GHD；③S△CDG＝S四边形DHGE；④图中只有8个等腰三角形．其中正确的有（填番号）．16．如图，在正方形ABCD中，P为AB的中点，BE⊥PD的延长线于点E，连接AE、BE、F A⊥AE交DP于点F，连接BF，FC．若AE＝2，则FC＝．三．解答题（共24小题）17．如图，在直线l上将正方形ABCD和正方形ECGF的边CD和边CE靠在一起，连接DG，过点A作AH∥DG，交BG于点H．连接HF，AF，其中FH交DG于点M．（1）求证：△AHF为等腰直角三角形．（2）若AB＝3，EC＝4，求DM的长．18．如图，已知正方形ABCD的面积是8，连接AC、BD交于点O，CM平分∠ACD交BD 于点M，MN⊥CM，交AB于点N，（1）求∠BMN的度数；（2）求BN的长．19．如图示，正方形ABCD的对角线交于点O，点E、F分别在AB，BC的延长线上，且∠EOF＝90°，OE与BC交于点M，连接EF，G是EF的中点，连接OG．（1）求证：OE＝OF（2）若∠BOG＝65°，求∠BOE的度数；（3）是否存在点M是BC中点，且使（1）的结论成立，若存在，请给予证明；若不存在，请说明理由．20．如图，正方形ABCD中，AB＝，在边CD的右侧作等腰三角形DCE，使DC＝DE，记∠CDE为α（0°＜α＜90°），连接AE，过点D作DG⊥AE，垂足为G，交EC的延长线于点F，连接AF．（1）求∠DEA的大小（用α的代数式表示）；（2）求证：△AEF为等腰直角三角形；（3）当CF＝时，求点E到CD的距离．21．如图1，在正方形ABCD中，点E在边CD上（不与点C，D重合），AE交对角线BD 于点G，GF⊥AE交BC于点F．（1）求证：AG＝FG．（2）若AB＝10，BF＝4，求BG的长．（3）如图2，连接AF，EF，若AF＝AE，求正方形ABCD与△CEF的面积之比．22．在正方形ABCD中，点E是DC上一点，连结AC，AE．（1）如图1，若AC＝8，AE＝10，求△ACE的面积．（2）如图2，EF⊥AC于点F，连结BF．求证：AE＝BF．23．如图1，正方形ABCD中，点E是边BC延长线上一点，连接DE，过点B作BF⊥DE，垂足为点F，BF与CD相交于点G．（1）求证：△BCG≌△DCE；（2）如图2，连接BD，若，求BG的长．24．如图，在正方形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，E为OC上动点（不与O、C 重合），作AF⊥BE，垂足为G，分别交BC、OB于F、H，连接OG、CG．（1）求证：△AOH≌△BOE；（2）求∠AGO的度数；（3）若∠OGC＝90°，BG＝，求△OGC的面积．25．如图，O为正方形ABCD对角线的交点，E为AB边上一点，F为BC边上一点，△EBF 的周长等于BC的长．（1）若AB＝24，BE＝6，求EF的长；（2）求∠EOF的度数；（3）若OE＝OF，求的值．26．如图，正方形ABCD中，E为BC上一点，过B作BG⊥AE于G，延长BG至点F使∠CFB＝45°（1）求证：∠BAG＝∠CBF；（2）求证：AG＝FG；（3）若GF＝2BG，CF＝，求AB的长．27．如图1，在正方形ABCD中，点P是对角线BD上的一点，点E在AD的延长线上，且P A＝PE，PE交CD于点F，（1）证明：PC＝PE；（2）求∠CPE的度数；（3）如图2，把正方形ABCD改为菱形ABCD，其他条件不变，当∠ABC＝120°，连接CE，试探究线段AP与线段CE的数量关系，并说明理由．28．如图，△ABC中，点O为AC边上的一个动点，过点O作直线MN∥BC，设MN交∠BCA的外角平分线CF于点F，交∠ACB内角平分线CE于E．（1）试说明EO＝FO；（2）当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形并证明你的结论；（3）若AC边上存在点O，使四边形AECF是正方形，猜想△ABC的形状并证明你的结论．29．如图，已知平行四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，E是DB延长线上一点，且△ACE是等边三角形．（1）求证：四边形ABCD是菱形；（2）若∠AEB＝2∠EAB，求证：四边形ABCD是正方形．30．如图1，在正方形ABCD中，G为线段BD上一点，连接AG，过G作AG⊥GE交BC 于E，连接AE．（1）求证：BG＝DG+BE；（2）如图2，AB＝4，E为BC中点，P，Q分别为线段AB，AE上的动点，满足QE＝AP，则在P，Q运动过程中，当以PQ为对角线的正方形PRQS的一边恰好落在△ABE的某一边上时，直接写出正方形PRQS的面积．31．如图，在平行四边形ABCD中，AC⊥AD，延长DA于点E，使得DA＝AE，连接BE．（1）求证：四边形AEBC是矩形；（2）过点E作AB的垂线分别交AB，AC于点F，G，连接CE交AB于点O，连接OG，若AB＝6，∠CAB＝30°，求△OGC的面积．32．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AB＝BC，对角线AC、BD交于点O，BD平分∠ABC，过点D作DE⊥BC，交BC的延长线于点E，连接OE．（1）求证：四边形ABCD是菱形；（2）若DC＝2，AC＝4，求OE的长．33．如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，过点A作AE⊥BC于点E，延长BC至F，使CF＝BE，连接DF．（1）求证：四边形AEFD是矩形；（2）若BF＝8，DF＝4，求CD的长．34．已知：如图，点E为▱ABCD对角线AC上的一点，点F在线段BE的延长线上，且EF ＝BE，线段EF与边CD相交于点G．（1）求证：DF∥AC；（2）如果AB＝BE，DG＝CG，联结DE、CF，求证：四边形DECF是矩形．35．如图，▱ABCD的对角线AC，BD交于点O，过点D作DE⊥BC于E，延长CB到点F，使BF＝CE，连接AF，OF．（1）求证：四边形AFED是矩形．（2）若AD＝7，BE＝2，∠ABF＝45°，试求OF的长．36．如图，平行四边形ABCD中，AC⊥BC，过点D作DE∥AC交BC的延长线于点E，点M为AB的中点，连接CM．（1）求证：四边形ADEC是矩形；（2）若CM＝5，且AC＝8，求四边形ADEC的周长．37．如图，已知△OAB中，OA＝OB，分别延长AO、BO到点C、D．使得OC＝AO，OD ＝BO，连接AD、DC、CB．（1）求证：四边形ABCD是矩形；（2）以OA、OB为一组邻边作▱AOBE，连接CE，若CE⊥BD，求∠AOB的度数．38．如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，过点A作AE⊥BC于点E，延长BC到点F，使CF＝BE，连接DF．（1）求证：四边形AEFD是矩形；（2）连接OE，若AD＝10，EC＝4，求OE的长度．39．如图，在平行四边形BPCD中，点O为BD中点，连接CO并延长交PB延长线于点A，连接AD、BC，若AC＝CP，（1）求证：四边形ABCD为矩形；（2）在BA的延长线上取一点E，连接OE交AD于点F，若AB＝9，BC＝12，AE＝3，则AF的长为．40．如图，菱形ABCD中，AC与BD交于点O，DE∥AC，DE＝AC．（1）求证：四边形OCED是矩形；（2）连结AE，交OD于点F，连结CF，若CF＝CE＝1，求AC长．2021年01月06日杨莲莲的初中数学组卷参考答案与试题解析一．选择题（共13小题）1．如图，在正方形ABCD中，O是对角线AC与BD的交点，M是BC边上的动点（点M 不与B、C重合），过点C作CN垂直DM交AB于点N，连结OM、ON、MN．下列四个结论：其中正确结论是（）①S四边形ABCD＝4S四边形ONBM；②BM2+CM2＝2ON2；③△CON≌△DOM；④若AB＝2，则S△OMN的最小值是1．A．①②③B．①③④C．①②④D．②③④【分析】根据正方形的性质，依次判定△CNB≌△DMC，△AON≌△BOM，根据全等三角形的性质以及勾股定理进行计算即可得出结论．【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，∴AC⊥BD，AO＝AC，BO＝BD，AC＝BD，∴AO＝BO，∠OAN＝∠OBM＝45°，∠AOB＝90°，∵CN⊥DM，∴∠MCN+∠CMD＝∠CMD+∠CDM＝90°，∴∠CDM＝∠BCN，∵CD＝BC，∠DCM＝∠CBN，∴△CDM≌△BCN（AAS），∴CM＝BN，∴AN＝BM，∴△AON≌△BOM（SAS），∴S△AON＝S△BOM，∴S四边形ONBM＝S△AOB＝S正方形ABCD，∴S四边形ABCD＝4S四边形ONBM；故①正确；∵△AON≌△BOM，∴ON＝OM，∠AON＝∠BOM，∴∠NOM＝∠AOB＝90°，∴△NOM是等腰直角三角形，∴MN2＝2ON2，∵BN2+BM2＝MN2，∴CM2+BM2＝2ON2，故②正确；∵∠MON＝∠COD＝90°，∴∠NOC＝∠MOD，∵OD＝OC，ON＝OM，∴△CON≌△DOM（SAS），故③正确；∵AB＝2，∴S正方形ABCD＝4，∵△AON≌△BOM，∴四边形BMON的面积＝△AOB的面积＝1，即四边形BMON的面积是定值1，∴当△MNB的面积最大时，△MNO的面积最小，设BN＝x＝CM，则BM＝2﹣x，∴△MNB的面积＝x（2﹣x）＝﹣x2+x＝﹣（x﹣1）2+，∴当x＝1时，△MNB的面积有最大值，此时S△OMN的最小值是1﹣＝，故④不正确，故选：A．【点评】本题主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质，二次函数的最值以及勾股定理的综合应用，解题时注意二次函数的最值的运用．2．如图，正方形ABCD中，∠EAF＝45°，BD分别交AE、AF于M、N，连MF、EF，下列结论：①MN2＝BN2+DM2；②DE+BF＝EF；③AM＝MF且AM⊥MF；④若E为CD 中点，则＝．其中正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】①过B作BD的垂线，截取BH＝MD，连接AH，HN，如图，易证△ADM≌△ABH，△AHN≌△AMN，得MN＝HN，最后根据勾股定理可作判断；②延长CB，截取BI＝DE，连接AI，如图，易证△ADE≌△ABI，△AIF≌△AEF，得IF＝EF，即DE+BF＝EF，成立．③作辅助线，则可证△AFJ为等腰直角三角形，CK＝BF＝KJ，证明∠JCK＝45°，推出四边形BCJK为平行四边形，所以GJ＝BC＝AD，可证△GJM≌△DAM，则M为AJ的中点，又∠AFJ＝90°，故AM＝MF且AM⊥MF，成立．④延长CB，截取BL＝DE，连接AL，可设DE＝a，BF＝x，则EF＝LF＝a+x，CF＝2a﹣x，CE＝a，由勾股定理可知：3x＝2a，则＝＝，成立．【解答】解：①过B作BD的垂线，截取BH＝MD，连接AH，HN，如图，∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝AB，∠ADB＝∠ABD＝45°，∠BAD＝90°，∴∠ABH＝45°＝∠ADM，在△ADM和△ABM中，∵，∴△ADM≌△ABH（SAS），∴∠DAM＝∠BAH，AM＝AH，∵∠EAF＝45°，∠BAD＝90°，∴∠DAM+∠BAN＝∠BAH+∠BAN＝45°，∴∠MAN＝∠HAN＝45°，在△AHN和△AMN中，∵，∴△AHN≌△AMN（SAS），∴MN＝HN，Rt△BHN中，HN2＝BH2+BN2，∴MN2＝BN2+DM2，成立．②延长CB，截取BI＝DE，连接AI，如图，在△ADE和△ABI中，∵∴△ADE≌△ABI（SAS），同理得△AIF≌△AEF（SAS），∴IF＝EF，即DE+BF＝EF，成立；③如图，过F作FJ⊥AF交AE的延长线于J，过J作JK⊥BC于K，连接CJ，过J作JG ∥BC交BD于G，∴∠AFJ＝∠AFB+∠JFK＝90°，∵∠AFB+∠BAF＝90°，∴∠BAF＝∠JFK，∵∠EAF＝45°，∠AFJ＝90°，∴△AFJ是等腰直角三角形，在△ABF和△FKJ中，∵，∴△ABF≌△FKJ（SAS），∴AB＝FK＝BC，BF＝KJ，∴CK＝BF＝KJ，∴∠JCK＝45°，∴∠DBC＝∠JCK，∴BG∥CJ，∵JG∥BC，∴四边形BCJK为平行四边形，∴GJ＝BC＝AD，∵AD∥BC∥GJ，∴∠DAM＝∠MJK，在△GJM和△DAM中，∵，∴△GJM≌△DAM（AAS），∴AM＝MJ，则M为AJ的中点，又∠AFJ＝90°，故AM＝MF且AM⊥MF，成立．④延长CB，截取BL＝DE，连接AL，可设DE＝a，BF＝x，则EF＝LF＝a+x，∵E为CD中点，∴CD＝BC＝2a，∴CF＝2a﹣x，CE＝a，在Rt△EFC中，由勾股定理得：EF2＝CE2+CF2∴（a+x）2＝a2+（2a﹣x）2解得：3x＝2a，则＝＝，成立．故选：D．【点评】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，正确的作出辅助线是解题的关键．3．如图，在正方形ABCD中，AB＝4，AC与BD相交于点O，N是AO的中点，点M在BC边上，且BM＝3，P为对角线BD上一点，当对角线BD平分∠NPM时，PM﹣PN值为（）A．1B．C．2D．【分析】作以BD为对称轴作N的对称点N'，连接MN'，PN'，根据PM﹣PN＝PM﹣PN'≤MN'，当P，M，N'三点共线时，取“＝”，再证得△MCN'∽△BCA，从而推得△MCN'为等腰直角三角形，结合BM＝3．正方形的边长为4，求得CM，即为MN'，问题可解．【解答】解：如图所示，∵对角线BD平分∠NPM，∴作以BD为对称轴N的对称点N'，连接MN'，PN'，根据轴对称性质可知，PN＝PN'，∠NPO＝N′PO，NO＝N′O∵在正方形ABCD中，AB＝4∴AC＝AB＝4，∵O为AC中点∴OA＝OC＝2∵N为OA的中点∴ON＝∴ON'＝CN'＝∴AN'＝3∵BM＝3∴CM＝4﹣3＝1∴＝＝∵∠MCN'＝∠BCA∴△MCN'∽△BCA∴∠CMN'＝∠ABC＝90°∵∠MCN'＝45°∴△MCN'为等腰直角三角形∴MN'＝CM＝1∴PM﹣PN的值为1．故选：A．【点评】本题主要考查了正方形的性质，明确正方形的相关性质及相似三角形的判定、勾股定理等知识点，是解题的关键．4．如图，在正方形ABCD内一点E连接BE、CE，过C作CF⊥CE与BE延长线交于点F，连接DF、DE．CE＝CF＝1，DE＝，下列结论中：①△CBE≌△CDF；②BF⊥DF；③点D到CF的距离为2；④S四边形DECF＝+1．其中正确结论的个数是（）A．1B．2C．3D．4【分析】根据正方形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识逐项判断即可．【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，∴BC＝CD，∠BCD＝90°，∵CF⊥CE，∴∠ECF＝∠BCD＝90°，∴∠BCE＝∠DCF，在△BCE与△DCF中，，∴△BCE≌△DCF（SAS），故①正确；∵△BCE≌△DCF，∴∠CBE＝∠CDF，∴∠DFB＝∠BCD＝90°，∴BF⊥DF，故②正确，过点D作DM⊥CF，交CF的延长线于点M，∵∠ECF＝90°，FC＝EC＝1，∴∠CFE＝45°，∵∠DFM+∠CFB＝90°，∴∠DFM＝∠FDM＝45°，∴FM＝DM，∴由勾股定理可求得：EF＝，∵DE＝，∴由勾股定理可得：DF＝2，∵EF2+BE2＝2BE2＝BF2，∴DM＝FM＝，故③错误，∵△BCE≌△DCF，∴S△BCE＝S△DCF，∴S四边形DECF＝S△DCF+S△DCE＝S△ECF+S△DEF＝+，故④错误，故选：B．【点评】本题考查四边形的综合问题，涉及正方形的性质、全等三角形的性质与判定、勾股定理、三角形面积公式等知识内容，综合程度高，需要学生灵活运用知识解答．5．如图，已知E，F分别为正方形ABCD的边AB，BC的中点，AF与DE交于点M．则下列结论：①∠AME＝90°，②∠BAF＝∠EDB，③AM＝MF，④ME+MF＝MB．其中正确结论的有（）A．4个B．3个C．2个D．1个【分析】根据正方形的性质可得AB＝BC＝AD，∠ABC＝∠BAD＝90°，再根据中点定义求出AE＝BF，然后利用“边角边”证明△ABF和△DAE全等，根据全等三角形对应角相等可得∠BAF＝∠ADE，然后求出∠ADE+∠DAF＝∠BAD＝90°，从而求出∠AMD ＝90°，再根据邻补角的定义可得∠AME＝90°，得出①正确；根据中线的定义判断出∠ADE≠∠EDB，然后求出∠BAF≠∠EDB，判断出②错误；设正方形ABCD的边长为2a，利用勾股定理列式求出AF，再根据似三角形对应边成比例求出AM，然后求出MF，消掉a即可得到AM＝MF，判断出③正确；过点M作MN⊥AB于N，由相似三角形的性质得出＝＝，解得MN＝a，AN＝a，得出NB＝AB﹣AN＝2a﹣a＝a，根据勾股定理得BM＝a，求出ME+MF＝+a＝a，MB＝a，得出ME+MF＝MB，故④正确．于是得到结论．【解答】解：在正方形ABCD中，AB＝BC＝AD，∠ABC＝∠BAD＝90°，∵E、F分别为边AB，BC的中点，∴AE＝BF＝BC，在△ABF和△DAE中，，∴△ABF≌△DAE（SAS），∴∠BAF＝∠ADE，∵∠BAF+∠DAF＝∠BAD＝90°，∴∠ADE+∠DAF＝∠BAD＝90°，∴∠AMD＝180°﹣（∠ADE+∠DAF）＝180°﹣90°＝90°，∴∠AME＝180°﹣∠AMD＝180°﹣90°＝90°，故①正确；∵DE是△ABD的中线，∴∠ADE≠∠EDB，∴∠BAF≠∠EDB，故②错误；设正方形ABCD的边长为2a，则BF＝a，在Rt△ABF中，AF＝＝＝a，∵∠BAF＝∠MAE，∠ABC＝∠AME＝90°，∴△AME∽△ABF，∴＝，即＝，解得：AM＝a，∴MF＝AF﹣AM＝a﹣a＝a，∴AM＝MF，故③正确；如图，过点M作MN⊥AB于N，则MN∥BC，∴△AMN∽△AFB，∴＝＝，即＝＝，解得MN＝a，AN＝a，∴NB＝AB﹣AN＝2a﹣a＝a，根据勾股定理得：BM＝＝＝a，∵ME+MF＝+a＝a，MB＝a，∴ME+MF＝MB，故④正确．综上所述，正确的结论有①③④共3个．故选：B．【点评】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理等知识；仔细分析图形并作出辅助线构造出直角三角形与相似三角形是解题的关键．6．如图，正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在CG上，BC＝1，CE＝3，H是AF的中点，EH与CF交于点O．则HE的长为（）A．2B．C．2D．或2【分析】利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，分别求得HO和OE的长后即可求得HE的长．【解答】解：∵AC、CF分别是正方形ABCD和正方形CGFE的对角线，∴∠ACD＝∠GCF＝45°，∴∠ACF＝90°，又∵H是AF的中点，∴CH＝HF，∵EC＝EF，∴点H和点E都在线段CF的中垂线上，∴HE是CF的中垂线，∴点H和点O是线段AF和CF的中点，∴OH＝AC，在Rt△ACD和Rt△CEF中，AD＝DC＝1，CE＝EF＝3，∴AC＝，∴CF＝3，又OE是等腰直角△CEF斜边上的高，∴OE＝，∴HE＝HO+OE＝2．故选：C．【点评】本题考查了正方形的性质、直角三角形的性质及勾股定理的知识，综合性较强，难度较大．7．如图，在正方形ABCD中，E为BC上一点，过点E作EF∥CD，交AD于F，交对角线BD于G，取DG的中点H，连结AH，EH，FH．下列结论：①FH∥AE；②AH＝EH且AH⊥EH；③∠BAH＝∠HEC；④△EHF≌△AHD；⑤若，则．其中哪些结论是正确（）A．①②④⑤B．②③④C．①②③D．②③④⑤【分析】①根据正方形对角线互相垂直、过一点有且只有一条直线与已知直线垂直即可得结论；②根据矩形的判定和性质、直角三角形的性质，证明三角形全等即可得结论；③根据全等三角形性质、矩形的性质进行角的计算即可得结论；④根据边边边证明三角形全等即可得结论；⑤根据割补法求四边形的面积，再求等腰直角三角形的面积，即可得结论．【解答】证明：①在正方形ABCD中，∠ADC＝∠C＝90°，∠ADB＝45°，∵EF∥CD∴∠EFD＝90°，得矩形EFDC．在Rt△FDG中，∠FDG＝45°，∴FD＝FG，∵H是DG中点，∴FH⊥BD∵正方形对角线互相垂直，过A点只能有一条垂直于BD的直线，∴AE不垂直于BD，∴FH与AE不平行．所以①不正确．②∵四边形ABEF是矩形，∴AF＝EB，∠BEF＝90°，∵BD平分∠ABC，∴∠EBG＝∠EGB＝45°，∴BE＝GE，∴AF＝EG．在Rt△FGD中，H是DG的中点，∴FH＝GH，FH⊥BD，∴∠AFH＝∠AFE+∠GFH＝90°+45°＝135°，∠EGH＝180°﹣∠EGB＝180°﹣45°＝135°，∴∠AFH＝∠EGH，∴△AFH≌△EGH，∴AH＝EH，∠AHF＝∠EHG，∴∠AHF+AHG＝∠EHG+∠AHG，即∠FHG＝∠AHE＝90°，∴AH⊥EH．所以②正确．③∵△AFH≌△EGH，∴∠F AH＝∠GEH，∵∠BAF＝CEG＝90°，∴∠BAH＝∠HEC．所以③正确．④∵EF＝AD，FH＝DH，EH＝AH，∴△EHF≌△AHD所以④正确．⑤如图，过点H作HM⊥AD于点M，设EC＝FD＝FG＝x，则BE＝AF＝EG＝2x，∴BC＝DC＝AB＝AD＝3x，HM＝x，AM＝x，∴AH2＝（x）2+（x）2＝x2，S四边形DHEC＝S梯形EGDC﹣S△EGH＝（2x+3x）•x﹣×＝2x2S△AHE＝AH•EH＝AH2＝x2∴＝＝．所以⑤不正确．故选：B．【点评】本题考查了正方形的性质、矩形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、直角三角形的性质、三角形和梯形的面积等内容，解题关键是综合利用以上知识解决问题．8．如图，在正方形ABCD中，AC、BD相交于点O，E、F分别为BC、CD上的两点，BE ＝CF，AE、BF分别交BD、AC于M、N两点，连OE、OF．下列结论：①AE＝BF；②AE⊥BF；③CE+CF＝BD；④S四边形OECF＝S正方形ABCD，其中正确的是（）A．①②B．①④C．①②④D．①②③④【分析】①易证得△ABE≌△BCF（ASA），则可证得结论①正确；②由△ABE≌△BCF，可得∠FBC＝∠BAE，证得AE⊥BF，选项②正确；③证明△BCD是等腰直角三角形，求得选项③错误；④证明△OBE≌△OCF，根据正方形被对角线将面积四等分，即可得出选项④正确．【解答】解：①∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC，∠ABE＝∠BCF＝90°，在△ABE和△BCF中，∵，∴△ABE≌△BCF（SAS），∴AE＝BF，故①正确；②由①知：△ABE≌△BCF，∴∠FBC＝∠BAE，∴∠FBC+∠ABF＝∠BAE+∠ABF＝90°，∴AE⊥BF，故②正确；③∵四边形ABCD是正方形，∴BC＝CD，∠BCD＝90°，∴△BCD是等腰直角三角形，∴BD＝BC，∴CE+CF＝CE+BE＝＝BC，故③错误；④∵四边形ABCD是正方形，∴OB＝OC，∠OBE＝∠OCF＝45°，在△OBE和△OCF中，∵，∴△OBE≌△OCF（SAS），∴S△OBE＝S△OCF，∴S四边形OECF＝S△COE+S△OCF＝S△COE+S△OBE＝S△OBC＝S正方形ABCD，故④正确；故选：C．【点评】此题属于四边形的综合题．考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质、勾股定理以及等腰直角三角形的性质．注意掌握全等三角形的判定与性质是解此题的关键．9．如图，在正方形ABCD中，M是对角线BD上的一点，点E在AD的延长线上，连接AM、EM、CM，延长EM交AB于点F，若AM＝EM，∠E＝30°，则下列结论：①FM＝ME；②BF＝DE；③CM⊥EF；④BF+MD＝BC，其中正确的结论序号是（）A．①②③B．①②④C．②③④D．①②③④【分析】①证明△AFM是等边三角形，可判断；②③证明△CBF≌△CDE（ASA），可作判断；④设MN＝x，分别表示BF、MD、BC的长，可作判断．【解答】解：①∵AM＝EM，∠AEM＝30°，∴∠MAE＝∠AEM＝30°，∴∠AMF＝∠MAE+∠AEM＝60°，∵四边形ABCD是正方形，∴∠F AD＝90°，∴∠F AM＝90°﹣30°＝60°，∴△AFM是等边三角形，∴FM＝AM＝EM，故①正确；②连接CE、CF，∵四边形ABCD是正方形，∴∠ADB＝∠CDM，AD＝CD，在△ADM和△CDM中，∵，∴△ADM≌△CDM（SAS），∴AM＝CM，∴FM＝EM＝CM，∴∠MFC＝∠MCF，∠MEC＝∠ECM，∵∠ECF+∠CFE+∠FEC＝180°，∴∠ECF＝90°，∵∠BCD＝90°，∴∠DCE＝∠BCF，在△CBF和△CDE中，∵，∴△CBF≌△CDE（ASA），∴BF＝DE；故②正确；③∵△CBF≌△CDE，∴CF＝CE，∵FM＝EM，∴CM⊥EF，故③正确；④过M作MN⊥AD于N，设MN＝x，则AM＝AF＝2x，AN＝x，DN＝MN＝x，∴AD＝AB＝x+x，∴DE＝BF＝AB﹣AF＝x+x﹣2x＝x﹣x，∴BF+MD＝（x﹣x）+x＝x，∵BC＝AD＝x+x x，故④错误；所以本题正确的有①②③；故选：A．【点评】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质和判定，熟记正方形的性质确定出△AFM是等边三角形是解题的关键．【点评】此题考查的是正方形的性质，等腰直角三角形的性质和判定以及菱10．如图，在正方形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，AG平分∠BAC交BD于G，DE⊥AG于点H．下列结论：①AD＝2AE：②FD＝AG；③CF＝CD：④四边形FGEA是菱形；⑤OF ＝BE，正确的有（）A．2个B．3个C．4个D．5个【分析】①根据正方形的性质和角平分线的定义得：∠BAG＝∠CAG＝22.5°，由垂直的定义计算∠AED＝90°﹣22.5°＝67.5°，∠EAD＝∠EAD＝22.5°，得ED是AG的垂直平分线，则AE＝EG，△BEG是等腰直角三角形，则AD＝AB＞2AE，可作判断；②证明△DAF≌△ABG（ASA），可作判断；③分别计算∠CDF＝∠CFD＝67.5°，可作判断；④根据对角线互相平分且垂直的四边形是菱形可作判断；⑤设BG＝x，则AF＝AE＝x，表示OF和BE的长，可作判断．【解答】解：①∵四边形ABCD是正方形，∴∠BAD＝90°，∠BAC＝45°，∵AG平分∠BAC，∴∠BAG＝∠CAG＝22.5°，∵AG⊥ED，∴∠AHE＝∠EHG＝90°，∴∠AED＝90°﹣22.5°＝67.5°，∴∠ADE＝22.5°，∵∠ADB＝45°，∴∠EDG＝22.5°＝∠ADE，∵∠AHD＝∠GHD＝90°，∴∠DAG＝∠DGA，∴AD＝DG，AH＝GH，∴ED是AG的垂直平分线，∴AE＝EG，∴∠EAG＝∠AGE＝22.5°，∴∠BEG＝45°＝∠ABG，∴∠BGE＝90°，∴AE＝EG＜BE，∴AD＝AB＞2AE，故①不正确；②∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝AB，∠DAF＝∠ABG＝45°，∵∠ADF＝∠BAG＝22.5°，∴△DAF≌△ABG（ASA），∴DF＝AG，故②正确；③∵∠CDF＝45°+22.5°＝67.5°，∠CFD＝∠AFE＝90°﹣22.5°＝67.5°，∴∠CDF＝∠CFD，∴CF＝CD，故③正确；④∵∠EAH＝∠F AH，∠AHE＝∠AHF，∴∠AEF＝∠AFE，∴AE＝AF，∴EH＝FH，∵AH＝GH，AG⊥EF，∴四边形FGEA是菱形；故④正确；⑤设BG＝x，则AF＝AE＝x，由①知△BEG是等腰直角三角形，∴BE＝x，∴AB＝AE+BE＝x+x＝（+1）x，∴AO＝＝，∴OF＝AO﹣AF＝﹣x＝，∴＝＝，∴OF＝BE；故⑤正确；本题正确的结论有：②③④⑤；故选：C．形的判定与性质等知识．此题综合性较强，难度较大，注意掌握正方形的性质，注意数形结合思想的应用．11．如图，以正方形ABCD的顶点A为圆心，以AD的长为半径画弧，交对角线AC于点E，再分别以D，E为圆心，以大于DE的长为半径画弧，两弧交于图中的点F处，连接AF并延长，与BC的延长线交于点P，则∠P＝（）A．90°B．45°C．30°D．22.5°【分析】根据正方形的性质得到∠DAC＝∠ACD＝45°，由作图知，∠CAP＝∠DAC ＝22.5°，根据三角形的内角和即可得到结论．【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，∴∠DAC＝∠ACD＝45°，由作图知，∠CAP＝∠DAC＝22.5°，∴∠P＝180°﹣∠ACP﹣∠CAP＝22.5°，故选：D．【点评】本题考查了正方形的性质，角平分线定义，正确的理解题意是解题的关键．12．如图，正方形ABCD中，点E在边CD上，连接AE，过点A作AF⊥AE交CB的延长线于点F，连接EF，AG平分∠F AE，AG分别交BC，EF于点G，H，连接EG，DH．则下列结论中：①AF＝AE；②∠EGC＝2∠BAG；③DE+BG＝EG；④AD+DE＝DH；⑤若DE＝CE，则CE：CG：EG＝3：4：5，其中正确的结论有（）A．2个B．3个C．4个D．5个【分析】①正确．证明△ADE≌△ABF（ASA）可得结论．②正确．证明△AGF≌△AGE（SAS），推出∠AGF＝∠AGE＝90°﹣∠BAG，推出∠EGF ＝180°﹣2∠BAG可得结论．③正确．证明△GAF≌△GAE，推出GF＝GE可得结论．④正确．过点H作HM⊥AD于M，HN⊥CD于N，证明△HMA≌△HNE（AAS），推出AM＝EN，HM＝HN，再证明四边形HMDN是正方形可得结论．⑤正确．当DE＝EC时，设DE＝EC＝a，BG＝x，则EG＝a+x，GC＝2a﹣x，利用勾股定理构建方程求出x即可解决问题．【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD，∠ABC＝∠ABF＝∠ADE＝∠BAD＝90°，∵AE⊥AF，∴∠EAF＝∠BAD＝90°，∴∠BAF＝∠DAE，∴△ADE≌△ABF（ASA），∴AE＝AF，故①正确，∵AG平分∠EAF，∴∠GAF＝∠GAE，∵AF＝AE，AG＝AG，∴△AGF≌△AGE（SAS），∴∠AGF＝∠AGE＝90°﹣∠BAG，∴∠EGF＝180°﹣2∠BAG，∵∠EGF＝180°﹣∠EGC，∴∠EGC＝2∠BAG，故②正确，∵△ADE≌△ABF，∴DE＝BF，∵△GAF≌△GAE，∴GF＝GE，∵FG＝BF+BG＝DE+BG，∴EG＝BG+DE，故③正确，过点H作HM⊥AD于M，HN⊥CD于N，∵AE＝AF，∠EAF＝90°，AH平分∠EAF，∴AH⊥EF，HF＝HE，∴HA＝HE＝HF，∵∠ADE+∠AHE＝180°，∴∠HAD+∠DEH＝180°，∵∠DEH+∠HEN＝180°，∴∠HAM＝∠HEN，∵∠AMH＝∠ENH＝90°，∴△HMA≌△HNE（AAS），∴AM＝EN，HM＝HN，∵∠HMD＝∠HND＝∠MDN＝90°，∴四边形HMDN是矩形，∵HM＝HN，∴四边形HMDN是正方形，∴DM＝DN＝HM＝HN，DH＝DM，∴DA+DE＝DM+AM+DN﹣EN＝2DM＝DH，故④正确，当DE＝EC时，设DE＝EC＝a，BG＝x，则EG＝a+x，GC＝2a﹣x，在Rt△ECG中，∵EG2＝EC2+CG2，∴（x+a）2＝a2+（2a﹣x）2，解得x＝a，∴CG＝a，EG＝a，∴CE：CG：EG＝a：a：＝3：4：5，故⑤正确，故选：D．【点评】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考选择题中的压轴题．13．如图，矩形ABCD中，O为AC的中点，过点O的直线分别与AB、CD交于点E、F，连接BF交AC于点M，连接DE、BO．若∠COB＝60°，FO＝FC＝2，则下列结论：①FB⊥OC；②△EOB≌△CMB；③四边形EBFD是菱形；④MB＝2．其中正确结论的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】连接BD，先证明△BOC是等边三角形，得FO＝FC，BO＝BC，故①正确；因为△EOB≌△FOB≌△FCB，故△EOB不会全等于△CBM，故②错误；再证明四边形EBFD是平行四边形，由OB⊥EF推出四边形EBFD是菱形故③正确，先判断出CM＝，再由∠CBM＝30°，判断出BC＝2，进而判断出④，由此不难得到答案．【解答】解：连接BD，∵四边形ABCD是矩形，∴AC＝BD，AC、BD互相平分，∵O为AC中点，∴BD也过O点，∴OB＝OC，∵∠COB＝60°，OB＝OC，∴△OBC是等边三角形，∴OB＝BC＝OC，∠OBC＝60°，在△OBF与△CBF中，，∴△OBF≌△CBF（SSS），∴△OBF与△CBF关于直线BF对称，∴FB⊥OC，OM＝CM；∴①正确，∵∠OBC＝60°，∴∠ABO＝30°，∵△OBF≌△CBF，∴∠OBM＝∠CBM＝30°，∴∠ABO＝∠OBF，∵AB∥CD，∴∠OCF＝∠OAE，∵OA＝OC，∠AOE＝∠FOC∴△AOE≌△COF（ASA），∴OE＝OF，∴OB⊥EF，∴四边形EBFD是菱形，∴③正确，∵△EOB≌△FOB≌△FCB，∴△EOB≌△CMB错误．∴②错误；∵FO＝FC＝2，FM⊥OC，∠FCM＝30°，∴CM＝，∵∠CBM＝30°，∴BC＝2，∴BM＝3，∴④错误．综上可知其中正确结论的个数是2个，故选：B．【点评】本题属于四边形的综合题，考查矩形的性质、等边三角形的判定和性质．全等三角形的判定和性质、菱形的判定、勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用这些知识解决问题，属于中考常考题型．二．填空题（共3小题）14．如图，点E为正方形ABCD外一点，且ED＝CD，连接AE，交BD于点F．若∠CDE ＝40°，则∠DFC的度数为110°．【分析】根据正方形性质和已知得：AD＝DE，利用等腰三角形性质计算∠DAE＝25°，由三角形的内角和定理得：∠AFD＝110°，证明△ADF≌△CDF（SAS），∠DFC＝∠AFD ＝110°．【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝DC，∠ADC＝90°，∴∠ADB＝∠BDC＝45°，∵DC＝DE，∴AD＝DE，∴∠DAE＝∠DEA，∵∠ADE＝90°+40°＝130°，∴∠DAE＝＝25°，∴∠AFD＝180°﹣25°﹣45°＝110°，在△ADF和△CDF中，∵，∴△ADF≌△CDF（SAS），∴∠DFC＝∠AFD＝110°，故答案为：110°．【点评】本题考查了正方形的性质、三角形全等的性质和判定、等腰三角形的性质、三角形内角和定理，属于基础题，熟练掌握正方形的性质是关键．15．如图，正方形ABCD中，在AD的延长线上取点E，F，使DE＝AD，DF＝BD，连接BF分别交CD，CE于H，G，下列结论：①EC＝2DG；②∠GDH＝∠GHD；③S△CDG＝S四边形DHGE；④图中只有8个等腰三角形．其中正确的有②③（填番号）．【分析】根据正方形的性质和已知推出四边形DECB是平行四边形，得到BD＝CE，BD ∥CE，无法证出G为CE的中点；得到BD∥CE，推出∠DCG＝∠BDC＝45°，求出∠BGC＝∠GBC，得到BC＝CG＝CD，求出∠CDG＝∠DHG即可；根据三角形的面积公式推出△CDG和四边形DHGE的面积相等；可得有9个等腰三角形．【解答】解：∵正方形ABCD，DE＝AD，∴AD∥BC，DE＝BC，∠EDC＝90°，∴四边形DECB是平行四边形，∴BD＝CE，BD∥CE，∵DE＝BC＝AD，∴∠DCE＝∠DEC＝45°，要使CE＝2DG，只要G为CE的中点即可，但DE＝DC，DF＝BD，∴EF≠BC，即△EFG和△BCG不全等，∴G不是CE中点，∴①错误；∵∠ADB＝45°，DF＝BD，∴∠F＝∠DBH＝∠ADB＝22.5°，∴∠DHG＝180°﹣90°﹣22.5°＝67.5°，∵BD∥CE，∴∠DCG＝∠BDC＝45°，∵∠DHG＝67.5°，∴∠HGC＝22.5°，∠DEC＝45°，∵∠BGC＝180°﹣22.5°﹣135°＝22.5°＝∠GBC，∴BC＝CG＝CD，∴∠CDG＝∠CGD＝（180°﹣45°）＝67.5°＝∠DHG，∴②正确；∵CG＝DE＝CD，∠DCE＝∠DEC＝45，∠HGC＝22.5°，∠GDE＝90﹣∠CDG＝90﹣67.5＝22.5°，∴△DEG≌△CHG，要使△CDG和四边形DHGE的面积相等，只要△DEG和△CHG的面积相等即可，根据已知条件△DEG≌△CHG，∴③S△CDG＝S四边形DHGE；正确，等腰三角形有△ABD，△CDB，△BDF，△CDE，△BCG，△DGH，△EGF，△CDG，△DGF；∴④错误；故答案为：②③．【点评】本题主要考查对三角形的内角和定理，等腰三角形的性质和判定，正方形的性质，平行四边形的性质和判定等知识．综合运用这些性质进行推理是解此题的关键．16．如图，在正方形ABCD中，P为AB的中点，BE⊥PD的延长线于点E，连接AE、BE、F A⊥AE交DP于点F，连接BF，FC．若AE＝2，则FC＝2．【分析】根据正方形的性质可得AB＝AD，再求出∠BAE＝∠DAF，∠ABE＝∠ADF，然后利用“角边角”证明△ABE和△ADF全等，根据全等三角形对应边相等可得AE＝AF，从而判断出△AEF是等腰直角三角形，根据AE的长度求出EF，过点A作AH⊥EF于H，连接BH，根据等腰直角三角形的性质可得AH＝EH＝FH，利用“角边角”证明△APH 和△BPE全等，根据全等三角形对应边相等可得BE＝AH，然后求出△BEH是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质可得∠EHB＝45°，然后求出∠AHB＝∠FHB，再利用“边角边”证明△ABH和△FBH全等，根据全等三角形对应边相等可得AB＝BF，再根据全等三角形对应边相等求出BE＝DF，全等三角形对应角相等求出∠BAH＝∠BFE，然后求出∠BFE＝∠ADF，根据等角的余角相等求出∠EBF＝∠FDC，再利用“边角边”证明△BEF和△DFC全等，根据全等三角形对应边相等可得FC＝EF．【解答】解：在正方形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝90°，∵F A⊥AE，∴∠EAF＝90°，∴∠BAE＝∠DAF，∵∠ABE+∠BPE＝∠ADF+∠APD＝90°，∴∠ABE＝∠ADF，在△ABE和△ADF中，，∴△ABE≌△ADF（ASA），∴AE＝AF，BE＝DF，∵F A⊥AE，∴△AEF是等腰直角三角形，∴EF＝AE＝2，过点A作AH⊥EF于H，连接BH，。

九年级数学几何综合专项测试(含答案)

九年级数学几何综合专项测试(含答案)

学生做题前请先回答以下问题问题1：举例说明几何综合中常见的结构以及思考角度有哪些？问题2：中点的思考角度有哪些？几何综合专项测试一、单选题(共8道，每道12分)1.如图，在梯形ABCD中，已知AD∥BC，AD=DC=4，BC=8，点N在BC上，CN=2，E是AB 中点．在AC上存在一点M使EM+MN的值最小，则EM+MN的最小值为( )A.6B.8C.4D.答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：轴对称—最短路线问题2.如图，将边长为12cm的正方形ABCD折叠，使得A点落在边CD上的E点，然后压平得折痕GF，若GF的长为13cm，则线段CE的长为( )cm．A.6B.7C.8D.5答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：翻折变换（折叠问题）3.如图是两块完全一样的含30°角的直角三角板，分别记作△ABC与．现将两块三角板重叠在一起，设较长直角边的中点为M，绕中点M转动上面的三角板ABC，使其直角顶点C恰好落在三角板的斜边上．若∠A=30°，AC=10，则此时两直角顶点之间的距离是( )A.4B.5C.6D.答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：旋转的性质4.如图，在平行四边形ABCD中，BC=2AB，CE⊥AB于点E，F为AD的中点，若∠AEF=52°，则∠B=( )A.52°B.54°C.72°D.76°答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：类倍长中线5.如图，在平面直角坐标系xOy中，正方形ABCD的顶点A的坐标是(0，2)，顶点B在x轴负半轴上，对角线AC，BD相交于点M，，则点D的坐标是( )A.(-2，6)B.(-3，5)C.(-5，2)D.(-6，4)答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：弦图模型6.如图，已知正方形ABCD的周长为24，△BCE是等边三角形，F是CE的中点，AE，BF交于点G，连接CG，则CG的长为( )A. B. C. D.答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：三线合一7.如图1，等边△ABD和等边△BCD的边长均为1，将△ABD沿AC方向向右平移到的位置得到图2，则图中阴影部分的周长为( )A.1B.2C.2.5D.3答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：平移的性质8.如图，在Rt△POQ中，OP=OQ=4，M是PQ的中点，把一块直角三角板的直角顶点放在点M处，并将此三角板绕点M旋转，三角板的两直角边与边OP，OQ分别交于点A，B，连接AB．则在旋转三角板的过程中，△AOB周长的最小值为( )A. B.C.6D.答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：斜直角的处理思路（斜转直）。

初中正方形的判定专项练习30题

初中正方形的判定专项练习30题

正方形的判定专项练习30题（有答案）1．如图，已知平行四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，E是DB延长线上一点，且△ACE是等边三角形．（1）求证：四边形ABCD是菱形；（2）若∠AEB=2∠EAB，求证：四边形ABCD是正方形．2．已知：如图，CE、CF分别是△ABC的内外角平分线，过点A作CE、CF的垂线，垂足分别为E、F．（1）求证：四边形AECF是矩形；（2）当△ABC满足什么条件时，四边形AECF是正方形？3．已知：如图，点D、E分别为△ABC的边AB、AC的中点，将△ADE绕点D旋转180°至△BDF．（1）小明发现四边形BCEF的形状是平行四边形，请你帮他把说理过程补齐．理由是：因为△BDF是由△ADE绕点D旋转180°得到的所以△ADE与△BDF全等且点A、D、B在同一条直线上点E、D、F也在同一条直线上．所以BF=AE，∠F=∠_________可得BF∥_________又因为E是AC的中点，所以EC=AE，所以BF= _________因此，四边形BCEF是平行四边形（根据_________ ）（2）小明还发现在原有的△ABC中添加一个条件后，就可以使四边形BFEC成为一种特殊的平行四边形．你也来试试．你认为添加条件_________ 后，四边形BFEC是_________ ．（友情提示：我们将根据你所提出问题的难易程度，给予不同的分值．）理由是：_________ ．4．如图，在矩形ABCD中，AF、BE、CE、DF分别是矩形的四个角的角平分线，E、M、F、N是其交点，求证：四边形EMFN是正方形．5．如图，△ABC中，∠ACB=90°，D为AB中点，四边形BCED为平行四边形，DE、AC相交于点F．求证：（1）点F为AC中点；（2）试确定四边形ADCE的形状，并说明理由；（3）若四边形ADCE为正方形，△ABC应添加什么条件？并证明你的结论．6．求证：对角线相等的菱形是正方形．已知：四边形ABCD是菱形，且AC=BD （又：AC，BD互相平分）求证：四边形ABCD是正方形．7．在△ACD中，∠D=90°，∠D的平分线交AC于点E，EF⊥AD交AD于点F，EG⊥DC交DC于点G，请你说明四边形EFDG是正方形．8．已知：如图，点M是矩形ABCD的边AD的中点，点P是BC边上的一动点，PE⊥CM，PF⊥BM，垂足分别为E、F．（Ⅰ）当四边形PEMF为矩形时，矩形ABCD的长与宽满足什么条件？试说明理由．（Ⅱ）在（Ⅰ）中当点P运动到什么位置时，矩形PEMF变为正方形？为什么？9．如图，D是△ABC的边BC的中点，DE⊥AC，DF⊥AB，垂足分别是E、F，且BF=CE．（2）当∠A=90°时，求证：四边形AFDE是正方形．10．如图，四边形ABCD是矩形，E是BD上的一点，∠BAE=∠BCE，∠AED=∠CED，点G是BC、AE延长线的交点，AG 与CD相交于点F．求证：四边形ABCD是正方形．11．如图，在△ABC中，AB=AC，点D是BC边的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E、F．（1）求证：DE=DF；（2）若再添加一个条件，即可证得四边形AEDF为正方形，这个条件是_________ ．12．在△ABC中，∠C=90°，∠A，∠B的平分线交于点D，DE⊥BC于点E，DF⊥AC于点F，求证：四边形CFDE是正方形．13．已知：如图，在△ABC是，∠ACB=90°，CD平分∠ACB，DE⊥BC，DF⊥AC，垂足分别为EF，求证：四边形CFDE 是正方形．14．如图，在△ABC中，AB=AC，D为BC边的中点，过点D作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E、F．（2）若∠A=90°，判断四边形AEDF的形状，并说明理由．15．如图△ABC中，点O是AC上的一个动点，过点O作直线MN∥BC，设MN交∠BCA的平分线于点E，交∠GCA的平分线于点F．（1）说明 EO=FO．（2）当点O运动到何处，四边形AECF是矩形？说明你的结论．（3）当点O运动到何处，AC与BC具有怎样的关系时，四边形AECF是正方形？为什么？16．如图，在△ABC中，AB=AC，P是边BC的中点，PD⊥AB，PE⊥AC，垂足分别为D、E（1）求证：PD=PE；（2）DE与BC平行吗？请说明理由；（3）请添加一个条件，使四边形ADPE为正方形，并加以证明．17．如图，在直角三角形ABC中，∠C=90°，∠CAB、∠CBA的平分线交于点D，DE⊥BC于E，DF⊥AC于F，（1）求∠ADB的度数；（2）试说明四边形CEDF是什么形状的特殊四边形．18.证明：对角线相等的菱形是正方形．19．已知：如图，△ABC中，D是BC上任意一点，DE∥AC，DF∥AB．①试说明四边形AEDF的形状，并说明理由．②连接AD，当AD满足什么条件时，四边形AEDF为菱形，为什么？③在②的条件下，当△ABC满足什么条件时，四边形AEDF为正方形，不说明理由．20．如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D是BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC垂足分别为E，F．求证：四边形DEAF是正方形．21．如图所示，在Rt△ABC中，CF为直角的平分线，FD⊥CA于D，FE⊥BC于E，则四边形CDFE是怎样的四边形，为什么？22．如图所示，在△ABC中，∠ABC=90°，BD平分∠ABC，DE⊥BC，DF⊥AB．求证：四边形BEDF是正方形．23．如图所示，顺次延长正方形ABCD的各边AB，BC，CD，DA至E，F，G，H，且使BE=CF=DG=AH．求证：四边形EFGH是正方形．24．已知：如图Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD为∠ACB的平分线，DE⊥BC于点E，DF⊥AC于点F．求证：四边形CEDF是正方形．25．如图所示，四边形EFGH是由矩形ABCD的外角平分线围成的．求证：四边形EFGH是正方形．26．如图所示，E、F、G、H分别是四边形ABCD的边AB、BC、CD、AD的中点，当四边形ABCD满足什么条件时，四边形EFGH为正方形？并说明理由．27．已知四边形ABCD中，AB=CD，AC=BD，试添加适当的条件使四边形ABCD成为特殊的平行四边形，并说明理由．28．如图，已知在▱ABCD中，对角线AC，BD交于点O，E是BD延长线上的点，且EA=EC．（1）求证：四边形ABCD是菱形；（2）若∠DAC=∠EAD+∠AED，求证：四边形ABCD是正方形．29．如图，在△ABC中，点D、E、F分别在BC、AB、AC边上，且DE∥AC，DF∥AB．（1）如果∠BAC=90°那么四边形AEDF是_________ 形；（2）如果AD是△ABC的角平分线，那么四边形AEDF是_________ 形；（3）如果∠BAC=90°，AD是△ABC的角平分线，那么四边形AEDF是_________ 形，证明你的结论（仅需证明第3）题结论）30．如图，分别以△ABC的三边为边在BC的同侧作三个等边三角形，即△ABD，△BCE，△ACF．请回答下列问题：（1）说明四边形ADEF是什么四边形？（2）当△ABC满足什么条件时，四边形ADEF是矩形？（3）当△ABC满足什么条件时，四边形ADEF是菱形？（4）当△ABC满足什么条件时，四边形ADEF是正方形？（5）当△ABC满足什么条件时，以A，D，E，F为顶点的四边形不存在？（第（2）（3）（4）（5）题不必说明理由）矩形的判定30题参考答案：1.（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AO=CO．∵△ACE是等边三角形，∴AE=CE．∴BE⊥AC．∴四边形ABCD是菱形．（2）从上易得：△AOE是直角三角形，∴∠AEB+∠EAO=90°∵△ACE是等边三角形，∴∠EAO=60°，∴∠AEB=30°∵∠AEB=2∠EAB，∴∠EAB=15°，∴∠BAO=∠EAO﹣∠EAB=60°﹣15°=45°．又∵四边形ABCD是菱形．∴∠BAD=2∠BAO=90°∴四边形ABCD是正方形．2．（1）证明：∵CE、CF分别是△ABC的内外角平分线，∴∠ACE+∠ACF=×180°=90°，∵AE⊥CE，AF⊥CF，∴∠AEC=∠AFC=90°，∴四边形AECF是矩形．（2）答：当△ABC满足∠ACB=90°时，四边形AECF是正方形，理由是：∵∠ACE=∠ACB=45°，∵∠AEC=90°，∴∠EAC=45°=∠ACE，∴AE=CE，∵四边形AECF是矩形，∴四边形AECF是正方形．3．（1）故答案为∠AED（1分）；BF∥AC（2分）；EC（3分）；一组对边平行且相等的四边形为平行四边形．（2）A层次：（提出问题（1分），说理1分）添加条件∠C=90°后四边形BFEC为矩形．（5分）理由：由（1）得四边形BFEC为平行四边形，又∠C=90°，即有一个角是直角的平行四边形是矩形．（6分）．B层次：（提出问题分，说理1分）添加条件AC=2BC后四边形BFEC为菱形．理由：由（1）得四边形BFEC为平行四边形又知AC=2CE，AC=2BC，所以EC=BC，即一组邻边相等的平行四边形是菱形．C层次：（提出问题（3分），说理3分）添加条件∠C=90°且AC=2BC时四边形BFEC为正方形．（7分）理由：由（1）得四边形BFEC为平行四边形，又∠C=90°，即有一个角是直角的平行四边形是矩形，所以此时四边形BFEC为矩形，又因为AC=2CE，AC=2BC，所以EC=BC，一组邻边相等的矩形是正方形，所以此时四边形BFEC为正方形．4．∵四边形ABCD是矩形，∴四个内角均为90°，∵AF，BE，CE，DF分别是四个内角的平分线，∴∠EBC=∠ECB=45°，∴△EBC为等腰直角三角形，∴∠E=90°，同理∠F=∠EMF=∠ENF=90°，∴四边形MFNE为矩形，∵AD=BC，∠E=∠F=90°，∠DAF=∠EBC=45°，∴△DAF≌△CBE（AAS）∴AF=BE，∵AM=BM，∴AF﹣AM=BE﹣BM，即FM=EM，∴四边形MFNE是正方形．5．（1）∵四边形DBEC是平行四边形，∴DE∥BC，∵D为AB中点，∴DF为△ABC的中位线，即点F为AC的中点；（2）∵平行四边形BDEC，∴CE平行等于BD．∵D为AB中点，∴AD=BD，∴CE平行且等于AD，∴四边形ADCE为平行四边形，又∵AD=CD=BD，∴四边形ADCE为菱形；（3）应添加条件AC=BC．证明：∵AC=BC，D为AB中点，∴CD⊥AB（三线合一的性质），即∠ADC=90°．∵四边形BCED为平行四边形，四边形ADCE为平行四边形，∴DE=BC=AC，∠AFD=∠ACB=90°．∴四边形ADCE为正方形．（对角线互相垂直且相等的四边形是正方形）6．∵四边形ABCD是菱形，∴四边形ABCD也是平行四边形，又∵AC=BD（且AC，BD互相平分），∴四边形ABCD也为矩形，又∵四边形ABCD是菱形，∴四边形ABCD是正方形．7．∵DE平分∠ADE，EF⊥AD，EF⊥AD，∴EF=EG，∵DE=DE，∴△DEF≌△DGE（HL），∴∠DEF=∠EDG，∠DEG=∠EDF，∴FE∥DG，GE∥DF，∴四边形EFDG是平行四边形，∵∠EFD=90°，∴四边形EFDG是矩形，∵EF=EG，∴四边形EFDG是正方形．8．Ⅰ）法1：答：当四边形PEMF为矩形时，矩形ABCD的长是宽的2倍．证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠A=∠D=90°，AB=DC，又∵AM=DM，∴△AMB≌△DMC（SAS）∴∠AMB=∠DMC∵四边形PEMF为矩形，∴∠BMC=90°，∴∠AMB=∠DMC=45°∴AM=DM=DC，即AD=2DC．∴当四边形PEMF为矩形时，矩形ABCD的长是宽的2倍；法2：∵四边形PEMF为矩形，∴∠M为直角，∴B、C、M三点共圆，BC为直径，又∵M为AD的中点，∴BC=2CD，∴当四边形PEMF为矩形时，矩形ABCD的长是宽的2倍．（Ⅱ）答：当点P运动到BC中点时，四边形PEMF变为正方形．∵△AMB≌△DMC，∴MB=MC．∵四边形PEMF为矩形，∴PE∥MB，PF∥MC又∵点P是BC中点，∴PE=PF=MC∴四边形PEMF为正方形．9．（1）证明：∵DE⊥AC，DF⊥AB，∴∠BFD=∠CED=90°，在Rt△BDF和Rt△CDE 中，，∴Rt△BDF≌Rt△CDE（HL）；（2）答：四边形AFDE是正方形．证明：∵∠A=90°，DE⊥AC，DF⊥AB，∴四边形AFDE是矩形，又∵Rt△BDF≌Rt△CDE，∴DF=DE，∴四边形AFDE是正方形10．∵∠CED是△BCE的外角，∠AED是△ABE的外角，∴∠CED=∠CBE+∠BCE，∠AED=∠BAE+∠ABE，∵∠BAE=∠BCE，∠AED=∠CED，∴∠CBE=∠ABE，∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC=∠BCD=∠BAD=90°，AB=CD，∴∠CBE=∠ABE=45°，∴△ABD与△BCD是等腰直角三角形，∴AB=AD=BC=CD，∴四边形ABCD是正方形．11．（1）证明：∵AB=AC，∴∠B=∠C，又∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠BED=∠CFD=90°，又∵D是BC中点，AB=AC，∴BD=CD，在△BFD与△CED中，∴△BED≌△CFD（AAS），∴DE=DF．（2）解：当△ABC为等腰直角三角形时，则有AE=DE=DF=AF，四边形AEDF为菱形，又∵∠A=90°，∴菱形AEDF为正方形12．过点D作DG⊥AB，垂足为G，∵∠CFD=∠CED=∠C=90°，∴四边形CEDF是矩形．∵AD，BD分别是∠CAB，∠CBA的平分线，∴DF=DG，DG=DE．∴DF=DE．∴四边形CFDE是正方形．13．∵∠ACB=90°，DE⊥BC，DF⊥AC，∴四边形CFDE是矩形．.又∵CD平分∠ACB，DE⊥BC，DF⊥AC，∴DE=DF．∴四边形CFDE是正方形（有一组邻边相等的矩形是正方形）．14．（1）∵在△ABC中，AB=AC，∴∠B=∠C．∵D为BC边的中点，∴BD=CD．在△BED与△CFD中，∵，∴△BED≌△CFD（AAS）；（2）四边形AEDF是正方形．理由如下：∵∠DEB=90°，∠A=90°，∴∠DEB=∠A，∴AF∥ED．同理，AE∥FD，∴四边形AEDF是矩形．又由（1）知，△BED≌△CFD，∴ED=FD，∴矩形AEDF是正方形15．（1）∵MN∥BC，∴∠ECB=∠CEO，∠GCF=∠CFO，∵CE，CF分别为∠BCA，∠GCA的角平分线，∴∠ECB=∠ECO，∠GCF=∠OCF，∴∠CEO=∠ECO，∠CFO=∠OCF，∴OC=OE，OC=OF，∴OE=OF，（2）当O点运动到AC的中点时，四边形AECF为矩形，理由：∵O点为AC的中点，∴OA=OC，∵OE=OF，OC=OE=OF，∴OA=OC=OE=OF，∴AC=EF，∴四边形AECF是矩形，（3）当O点运动到AC的中点时，AC⊥BC时，四边形AECF是正方形，理由：∵O点为AC的中点，∴OA=OC，∵OE=OF，OC=OE=OF，∴OA=OC=OE=OF，∴AC=EF，∵AC⊥BC，MN∥BC，∴AC⊥EF，∴四边形AECF是正方形．16．1）证明：∵AB=AC，∴∠B=∠C，∵PD⊥AB，PE⊥AC，∴∠PDB=∠PEC=90°，∵P是BC的中点，∴BP=PC，即∠BDP=∠PEC=90°，∠B=∠C，PB=PC，∴△PDB≌△PEC，∴PD=PE．（2）答：DE∥BC，理由是：∵△PDB≌△PEC，∴BD=CE，∵AB=AC，∴=，∴DE∥BC．（3）答：当∠A=90°时，使四边形ADPE为正方形，证明：∵∠A=∠ADP=∠AEP=90°，∴四边形ADPE是矩形，∵AB=AC，BD=CE，∴AD=AE，∴矩形ADPE是正方形，即当∠A=90°时，使四边形ADPE为正方形．17．（1）∵△ABC是直角三角形，∠C=90°，∴∠CAB+∠CBA=90°，∴∠DAB+∠DBA=（∠CAB+∠CBA）=×90°=45°，∴∠ADB=180°﹣45°=135°；（2）四边形CEDF是正方形．过D作DG⊥AB于G，∵AD、BD是∠CAB、∠CBA的平分线，∴DF=DG，DE=DG，∴DF=DE，∵△ABC是直角三角形，∠C=90°，DE⊥BC于E，DF⊥AC 于F，∴四边形CEDF是正方形．18．连接AC、BD相交于O∵菱形ABCD∴OA=OC=AC，OB=OD=BD∵AC=BD∴OA=OB∵OA⊥OB（菱形的对角线互相垂直）∴∠OAB=∠OBA=45°同理∠OBC=∠OCB=45°..∴∠OBA+∠OBC=90° ∴∠ABC=90°∴ABCD 是正方形．19．①∵DE ∥AC ，DF ∥AB ， ∴四边形AEDF 为平行四边形； ②∵四边形AEDF 为菱形， ∴AD 平分∠BAC ，则AD 平分∠BAC 时，四边形AEDF 为菱形； ③由四边形AEDF 为正方形，∴∠BAC=90°， ∴△ABC 是以BC 为斜边的直角三角形即可 20．∵DE ⊥AB ，DF ⊥AC ∴∠AED=90°，∠AFD=90° ∵∠BAC=90° ∴∠EDF=90° ∴□AEDF 是矩形 在△BDE 和△CDF 中 ∵AB=AC∴∠ABC=∠ACB ∵DE ⊥AB ，DF ⊥AC ∴∠DEB=∠DFC 又∵D 是BC 的中点 ∴BD=DC∴△BDE ≌△CDF ∴DE=DF∴□AEDF 是正方形21．四边形CDFE 是正方形 理由如下：∵FD ⊥AC ，FE ⊥BC ，AC ⊥BC ∴四边形CDFE 是矩形 ∵CF 平分∠ACB ∴∠FCD=45° ∴CD=DF∴四边形CDFE 是正方形22．∵∠ABC=90°，DE ⊥BC ，DF ⊥AB ， ∴∠BFD=∠BED=∠ABC=90°． ∴四边形BEDF 为矩形．又∵BD 平分∠ABC ，DE ⊥BC ，DF ⊥AB ， ∴DF=DE ．∴矩形BEDF 为正方形．23．∵四边形ABCD 是正方形，∴AB=BC=CD=DA ，∠EBF=∠HAE=∠GDH=∠FCG ， 又∵BE=CF=DG=AH ， ∴CG=DH=AE=BF∴△AEH ≌△CGF ≌△DHG ，∴EF=FG=GH=HE ，∠EFB=∠HEA ， ∴四边形EFGH 为菱形，∵∠EFB+∠FEB=90°，∠EFB=∠HEA ， ∴∠FEB+∠HEA=90°，∴四边形EFGH 是正方形．24．∵CD 平分∠ACB ，DE ⊥BC ，DF ⊥AC ， ∴DE=DF ，∠DFC=90°，∠DEC=90°， 又∵∠ACB=90°，∴四边形DECF 是矩形， ∵DE=DF ，∴矩形DECF 是正方形．25．∵矩形的ABCD 的外角都是直角，HE ，EF 都是外角平分线，∴∠BAE=∠ABE=45°． ∴∠E=90°．同理，∠F=∠G=90°． ∴四边形EFGH 为矩形．∵AD=BC ，∠HAD=∠HDA=∠FBC=∠FCB=45°， ∴△ADH ≌△BCF （AAS ）． ∴AH=BF ．又∵∠EAB=∠EBA ， ∴AE=BE ．∴AE+AH=EB+BF ，即EH=EF ． ∴矩形EFGH 是正方形．26．四边形ABCD 满足AC=BD ，AC ⊥BD 时，四边形EFGH 为正方形． 理由如下：∵E 、F 、G 、H 分别是四边形ABCD 的边AB 、BC 、CD 、AD 的中点，∴EF ∥AC ，且EF=AC ， EH ∥BD ，且EH=BD ，∵四边形EFGH 是正方形， ∴EF=EH ，EF ⊥EH ， ∴AC=BD ，AC ⊥BD ，∴四边形ABCD 满足对角线互相垂直且相等时，四边形EFGH 是正方形．..即四边形ABCD 满足AC=BD ，AC ⊥BD 时，四边形EFGH 为正方形．27．本题答案不唯一，以下是其中两种解法： （1）添加条件AB ∥DC ，可得出该四边形是矩形； 理由：∵AB ∥DC ，AB=DC ， ∴四边形ABCD 是平行四边形． ∵AC=BD ，∴四边形ABCD 是矩形． （2）添加条件AC 垂直平分BD ，那么该四边形是正方形． 理由：∵AC 垂直平分BD ， ∴AB=AD ，BC=CD ． ∵AB=DC ，∴AB=AD=BC=DC ．∴四边形ABCD 是菱形． ∵AC 垂直BD ，∴四边形ABCD 是正方形．28．（1）∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AO=CO=AC ，∵EA=EC ， ∴EO ⊥AC ， 即BD ⊥AC ，∴平行四边形ABCD 是菱形；（2）∵∠1=∠EAD+∠AED ，∠DAC=∠EAD+∠AED ， ∴∠1=∠DAC ， ∴AO=DO ，∵四边形ABCD 是菱形， ∴AC=2AO ，DB=2DO ， ∴AC=BD ，∴四边形ABCD 是正方形．29．（1）∵DE ∥AC ，DF ∥AB ， ∴四边形AEDF 是平行四边形， 又∵∠BAC=90°，∴四边形AEDF 是矩形； （2）∵DE ∥AC ，DF ∥AB ，∴∠ADE=∠DAF ，四边形AEDF 是平行四边形， 又∵AD 是△ABC 的角平分线， ∴∠DAE=∠DAF ， ∴∠ADE=∠DAE ， ∴AE=DE ，∴▱AEDF 是菱形；（3）由（1）知四边形AEDF 是矩形，由（2）知四边形AEDF 是菱形，所以四边形AEDF 是正方形． 30．（1）四边形ADEF 是平行四边形． ∵等边三角形BCE 和等边三角形ABD ， ∴BE=BC ，BD=BA ．又∵∠DBE=60°﹣∠ABE ，∠ABC=60°﹣∠ABE ， ∴∠DBE=∠ABC ． 在△BDE 和△BCA 中，∴△BDE ≌△BCA ．（2分） ∴DE=AC ．∵在等边三角形ACF 中，AC=AF ， ∴DE=AF ． 同理DA=EF ．∴四边形ADEF 是平行四边形．（2）当∠BAC=150°时，四边形ADEF 是矩形．（5分） 理由：∵∠DAF=360°﹣∠DAB ﹣∠BAC ﹣∠CAF=90°， ∴▱ADEF 是矩形．（3）当AB=AC ，或∠ABC=∠ACB=15°时，四边形ADEF 是菱形．（6分） 理由：∵AB=AC ， ∴AD=AF ，∴▱ADEF 是菱形．（4）当∠BAC=150°且AB=AC ，或∠ABC=∠ACB=15°时，四边形ADEF 是正方形．（7分）（5）当∠BAC=60°时，以A ，D ，E ，F 为顶点的四边形不存在．（8分）。

初中数学 正方形 练习题(含答案)

初中数学 正方形 练习题(含答案)

第五章四边形第29课时正方形1.阅读下面材料：已知：如图，在正方形ABCD中，边AB＝a1.第1题图按照以下操作步骤，可以从该正方形开始，构造一系列的正方形，它们之间的边满足一定的关系，并且一个比一个小.请解决以下问题：(1)完成表格中的填空：①；②；③；④.(2)根据以上第三步、第四步的作法画出第三个正方形CHIJ(不要求尺规作图).数学文化专练2. (2019绵阳)公元三世纪，我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”如图所示，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形.如果大正方形的面积是125，小正方形面积是25，则(sinθ－cosθ)2＝()第2题图A. 15 B.55 C.355 D.95七巧板3. (2019苏州)“七巧板”是我们祖先的一项卓越创造，可以拼出许多有趣的图形，被誉为“东方魔板”.图①是由边长为10 cm的正方形薄板分为7块制作成的“七巧板”，图②是用该“七巧板”拼成的一个“家”的图形，该“七巧板”中7块图形之一的正方形边长为cm(结果保留根号).第3题图参考答案中考试题中的核心素养核心素养提升1. 解：(1)①斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等；②(2－1)a1；③(2－1)2a1；④(2－1)n－1a1.(2)所画正方形CHIJ见解图．第1题解图数学文化专练2. A【解析】∵大正方形的面积是125，小正方形面积是25，∴大正方形的边长为55，小正方形的边长为5，∴55cos θ－55sin θ＝5，∴cos θ－sin θ＝55，∴(sin θ－cos θ)2＝[－(cos θ－sin θ)]2＝15.3. 522【解析】如解图，由题意可知正方形ABCD的边长AB＝10 cm，∵△AOB是等腰直角三角形，∴AO＝BO＝52.∵△BEF是等腰直角三角形，∴BE＝EF.∵四边形OEFG是正方形，∴OE＝EF＝BE，∴OE＝52 2.第3题解图。

专题35 几何综合压轴题(40题)(原卷版)--2024年中考数学真题分类汇编

专题35 几何综合压轴题(40题)(原卷版)--2024年中考数学真题分类汇编

专题35几何综合压轴题（40题）一、解答题1．（2024·黑龙江大兴安岭地·中考真题）已知ABC 是等腰三角形，AB AC =，12MAN BAC ∠=∠，MAN ∠在BAC ∠的内部，点M 、N 在BC 上，点M 在点N 的左侧，探究线段BM NC MN 、、之间的数量关系．（1）如图①，当90BAC ∠=︒时，探究如下：由90BAC ∠=︒，AB AC =可知，将ACN △绕点A 顺时针旋转90︒，得到ABP ，则CN BP =且90PBM ∠=︒，连接PM ，易证AMP AMN △≌△，可得MP MN =，在Rt PBM △中，222BM BP MP +=，则有222BM NC MN +=．（2）当60BAC ∠=︒时，如图②：当120BAC ∠=︒时，如图③，分别写出线段BM NC MN 、、之间的数量关系，并选择图②或图③进行证明．2．（2024·四川广元·中考真题）小明从科普读物中了解到，光从真空射入介质发生折射时，入射角α的正弦值与折射角β的正弦值的比值sin sin αβ叫做介质的“绝对折射率”，简称“折射率”．它表示光在介质中传播时，介质对光作用的一种特征．(1)若光从真空射入某介质，入射角为α，折射角为β，且7cos 4α=30β=︒，求该介质的折射率；(2)现有一块与（1）中折射率相同的长方体介质，如图①所示，点A ，B ，C ，D 分别是长方体棱的中点，若光线经真空从矩形2121A D D A 对角线交点O 处射入，其折射光线恰好从点C 处射出．如图②，已知60α=︒，10cm CD =，求截面ABCD 的面积．3．（2024·内蒙古呼伦贝尔·中考真题）如图，在平行四边形ABCD 中，点F 在边AD 上，AB AF =，连接BF ，点O 为BF 的中点，AO 的延长线交边BC 于点E ，连接EE(1)求证：四边形ABEF 是菱形：(2)若平行四边形ABCD 的周长为22,1,120CE BAD =∠=︒，求AE 的长．4．（2024·四川甘孜·中考真题）如图，AB 为⊙O 的弦，C 为 AB 的中点，过点C 作CD AB ∥，交OB 的延长线于点D ．连接OA OC ，．(1)求证：CD 是⊙O 的切线；(2)若32OA BD ==，，求OCD 的面积．5．（2024·甘肃临夏·中考真题）如图1，在矩形ABCD 中，点E 为AD 边上不与端点重合的一动点，点F 是对角线BD 上一点，连接BE ，AF 交于点O ，且ABE DAF ∠=∠．【模型建立】（1）求证：AF BE ⊥；【模型应用】（2）若2AB =，3AD =，12DF BF =，求DE 的长；【模型迁移】（3）如图2，若矩形ABCD 是正方形，12DF BF =，求AF AD 的值．6．（2024·黑龙江绥化·中考真题）如图1，O 是正方形ABCD 对角线上一点，以O 为圆心，OC 长为半径的O 与AD 相切于点E ，与AC 相交于点F ．(1)求证：AB 与O 相切．(2)若正方形ABCD 21，求O 的半径．(3)如图2，在（2）的条件下，若点M 是半径OC 上的一个动点，过点M 作MN OC ⊥交 CE于点N ．当:1:4CM FM =时，求CN 的长．7．（2024·内蒙古赤峰·中考真题）数学课上，老师给出以下条件，请同学们经过小组讨论，提出探究问题．如图1，在ABC 中，AB AC =，点D 是AC 上的一个动点，过点D 作DE BC ⊥于点E ，延长ED 交BA 延长线于点F ．请你解决下面各组提出的问题：(1)求证：AD AF =；(2)探究DF DE 与AD DC 的关系；某小组探究发现，当13AD DC =时，23DF DE =；当45AD DC =时，85DF DE =．请你继续探究：①当76AD DC =时，直接写出DF DE 的值；②当AD m DC n =时，猜想DF DE的值（用含m ，n 的式子表示），并证明；(3)拓展应用：在图1中，过点F 作FP AC ⊥，垂足为点P ，连接CF ，得到图2，当点D 运动到使ACF ACB ∠=∠时，若AD m DC n =，直接写出AP AD的值（用含m ，n 的式子表示）．8．（2024·广东·中考真题）【问题背景】如图1，在平面直角坐标系中，点B ，D 是直线()0y ax a =>上第一象限内的两个动点()OD OB >，以线段BD 为对角线作矩形ABCD ，AD x ∥轴．反比例函数k y x=的图象经过点A ．【构建联系】（1）求证：函数k y x=的图象必经过点C ．（2）如图2，把矩形ABCD 沿BD 折叠，点C 的对应点为E ．当点E 落在y 轴上，且点B 的坐标为()1,2时，求k 的值．【深入探究】（3）如图3，把矩形ABCD 沿BD 折叠，点C 的对应点为E ．当点E ，A 重合时，连接AC 交BD 于点P ．以点O 为圆心，AC 长为半径作O ．若OP =O 与ABC 的边有交点时，求k 的取值范围．9．（2024·四川遂宁·中考真题）如图，AB 是O 的直径，AC 是一条弦，点D 是 AC 的中点，DN AB ⊥于点E ，交AC 于点F ，连结DB 交AC 于点G ．(1)求证：AF DF =；(2)延长GD 至点M ，使DM DG =，连接AM ．①求证：AM 是O 的切线；②若6DG =，5DF =，求O 的半径．10．（2024·四川德阳·中考真题）已知O 的半径为5，B C 、是O 上两定点，点A 是O 上一动点，且60,BAC BAC ∠=︒∠的平分线交O 于点D ．(1)证明：点D 为 BC上一定点；(2)过点D 作BC 的平行线交AB 的延长线于点F ．①判断DF 与O 的位置关系，并说明理由；②若ABC 为锐角三角形，求DF 的取值范围．11．（2024·四川泸州·中考真题）如图，ABC 是O 的内接三角形，AB 是O 的直径，过点B 作O 的切线与AC 的延长线交于点D ，点E 在O 上，AC CE =，CE 交AB 于点F ．(1)求证：CAE D ∠=∠；(2)过点C 作CG AB ⊥于点G ，若3OA =，32BD =FG 的长．12．（2024·四川南充·中考真题）如图，正方形ABCD 边长为6cm ，点E 为对角线AC 上一点，2CE AE =，点P 在AB 边上以1cm /s 的速度由点A 向点B 运动，同时点Q 在BC 边上以2cm /s 的速度由点C 向点B 运动，设运动时间为t 秒（03t <≤）．(1)求证：AEP CEQ ∽．(2)当EPQ △是直角三角形时，求t 的值．(3)连接AQ ，当1tan 3AQE ∠=时，求AEQ △的面积．13．（2024·安徽·中考真题）如图1，ABCD Y 的对角线AC 与BD 交于点O ，点M ，N 分别在边AD ，BC 上，且AM CN =．点E ，F 分别是BD 与AN ，CM 的交点．(1)求证：OE OF =；(2)连接BM 交AC 于点H ，连接HE ，HF ．（ⅰ）如图2，若HE AB ∥，求证：HF AD ∥；（ⅱ）如图3，若ABCD Y 为菱形，且2MD AM =，60EHF ∠=︒，求AC BD的值．14．（2024·江苏扬州·中考真题）在综合实践活动中，“特殊到一般”是一种常用方法，我们可以先研究特殊情况，猜想结论，然后再研究一般情况，证明结论．如图，已知ABC ，CA CB =，O 是ABC 的外接圆，点D 在 O 上（AD BD >），连接AD 、BD 、CD ．【特殊化感知】（1）如图1，若60ACB ∠=︒，点D 在AO 延长线上，则AD BD -与CD 的数量关系为________；【一般化探究】（2）如图2，若60ACB ∠=︒，点C 、D 在AB 同侧，判断AD BD -与CD 的数量关系并说明理由；【拓展性延伸】（3）若ACB α∠=，直接写出AD 、BD 、CD 满足的数量关系．（用含α的式子表示）15．（2024·山东·中考真题）一副三角板分别记作ABC 和DEF ，其中90ABC DEF ∠=∠=︒，45BAC ∠=︒，30EDF ∠=︒，AC DE =．作BM AC ⊥于点M ，EN DF ⊥于点N ，如图1．(1)求证：BM EN =；(2)在同一平面内，将图1中的两个三角形按如图2所示的方式放置，点C 与点E 重合记为C ，点A 与点D 重合，将图2中的DCF 绕C 按顺时针方向旋转α后，延长BM 交直线DF 于点P ．①当30α=︒时，如图3，求证：四边形CNPM 为正方形；②当3060α︒<<︒时，写出线段MP ，DP ，CD 的数量关系，并证明；当60120α︒<<︒时，直接写出线段MP ，DP ，CD 的数量关系．16．（2024·江西·中考真题）综合与实践如图，在Rt ABC △中，点D 是斜边AB 上的动点（点D 与点A 不重合），连接CD ，以CD 为直角边在CD 的右侧构造Rt CDE △，90DCE ∠=︒，连接BE ，CE CB m CD CA ==．特例感知（1）如图1，当1m =时，BE 与AD 之间的位置关系是______，数量关系是______；类比迁移（2）如图2，当1m ≠时，猜想BE 与AD 之间的位置关系和数量关系，并证明猜想．拓展应用（3）在（1）的条件下，点F 与点C 关于DE 对称，连接DF ，EF ，BF ，如图3．已知6AC =，设AD x =，四边形CDFE 的面积为y ．①求y 与x 的函数表达式，并求出y 的最小值；②当2BF =时，请直接写出AD 的长度．17．（2024·湖南·中考真题）【问题背景】已知点A 是半径为r 的O 上的定点，连接OA ，将线段OA 绕点O 按逆时针方向旋转9(0)0αα︒<<︒得到OE ，连接AE ，过点A 作O 的切线l ，在直线l 上取点C ，使得CAE ∠为锐角．【初步感知】（1）如图1，当60α=︒时，CAE ∠=︒；【问题探究】（2）以线段AC 为对角线作矩形ABCD ，使得边AD 过点E ，连接CE ，对角线AC ，BD 相交于点F ．①如图2，当2AC r =时，求证：无论α在给定的范围内如何变化，BC CD ED =+总成立：②如图3，当43=AC r ，23CE OE =时，请补全图形，并求tan α及AB BC 的值．18．（2024·河南·中考真题）综合与实践在学习特殊四边形的过程中，我们积累了一定的研究经验，请运用已有经验，对“邻等对补四边形”进行研究定义：至少有一组邻边相等且对角互补的四边形叫做邻等对补四边形．(1)操作判断用分别含有30︒和45︒角的直角三角形纸板拼出如图1所示的4个四边形，其中是邻等对补四边形的有________（填序号）．(2)性质探究根据定义可得出邻等对补四边形的边、角的性质．下面研究与对角线相关的性质．如图2，四边形ABCD 是邻等对补四边形，AB AD =，AC 是它的一条对角线．①写出图中相等的角，并说明理由；②若BC m =，DC n =，2BCD θ∠=，求AC 的长（用含m ，n ，θ的式子表示）．(3)拓展应用如图3，在Rt ABC △中，90B Ð=°，3AB =，4BC =，分别在边BC ，AC 上取点M ，N ，使四边形ABMN 是邻等对补四边形．当该邻等对补四边形仅有一组邻边相等时，请直接写出BN 的长．19．（2024·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）综合与实践：如图1，这个图案是3世纪我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，受这幅图的启发，数学兴趣小组建立了“一线三直角模型”．如图2，在ABC 中，90A ∠=︒，将线段BC 绕点B 顺时针旋转90︒得到线段BD ，作DE AB ⊥交AB 的延长线于点E ．(1)【观察感知】如图2，通过观察，线段AB 与DE 的数量关系是______；(2)【问题解决】如图3，连接CD 并延长交AB 的延长线于点F ，若2AB =，6AC =，求BDF 的面积；(3)【类比迁移】在(2)的条件下，连接CE 交BD 于点N ，则BN BC=______；(4)【拓展延伸】在(2)的条件下，在直线AB 上找点P ，使2tan 3BCP ∠=，请直接写出线段AP 的长度．20．（2024·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）综合与探究：如图，在平面直角坐标系中，已知直线122y x =-与x 轴交于点A ，与y 轴交于点C ，过A ，C 两点的抛物线()20y ax bx c a =++≠与x 轴的另一个交点为点(10)B -，，点P 是抛物线位于第四象限图象上的动点，过点P 分别作x 轴和y 轴的平行线，分别交直线AC 于点E ，点F ．(1)求抛物线的解析式；(2)点D 是x 轴上的任意一点，若ACD 是以AC 为腰的等腰三角形，请直接写出点D 的坐标；(3)当EF AC =时，求点P 的坐标；(4)在（3）的条件下，若点N 是y 轴上的一个动点，过点N 作抛物线对称轴的垂线，垂足为M ，连接NA MP ，，则NA MP +的最小值为______．21．（2024·四川广元·中考真题）数学实验，能增加学习数学的乐趣，还能经历知识“再创造”的过程，更是培养动手能力，创新能力的一种手段．小强在学习《相似》一章中对“直角三角形斜边上作高”这一基本图形（如图1）产生了如下问题，请同学们帮他解决．在ABC 中，点D 为边AB 上一点，连接CD ．(1)初步探究如图2，若ACD B ∠=∠，求证：2AC AD AB =⋅；(2)尝试应用如图3，在（1）的条件下，若点D 为AB 中点，4BC =，求CD 的长；(3)创新提升如图4，点E 为CD 中点，连接BE ，若30CDB CBD ∠=∠=︒，ACD EBD ∠=∠，27AC =BE 的长．22．（2024·内蒙古包头·中考真题）如图，在ABCD Y 中，ABC ∠为锐角，点E 在边AD 上，连接,BE CE ，且ABE DCE S S = ．(1)如图1，若F 是边BC 的中点，连接EF ，对角线AC 分别与,BE EF 相交于点,G H ．①求证：H 是AC 的中点；②求::AG GH HC ；(2)如图2，BE 的延长线与CD 的延长线相交于点M ，连接,AM CE 的延长线与AM 相交于点N ．试探究线段AM 与线段AN 之间的数量关系，并证明你的结论．23．（2024·吉林·中考真题）如图，在ABC 中，90C ∠=︒，30B ∠=︒，3cm AC =，AD 是ABC 的角平分线．动点P 从点A /s 的速度沿折线AD DB -向终点B 运动．过点P 作PQ AB ∥，交AC 于点Q ，以PQ 为边作等边三角形PQE ，且点C ，E 在PQ 同侧，设点P 的运动时间为()()s 0t t >，PQE V 与ABC 重合部分图形的面积为()2cm S ．(1)当点P 在线段AD 上运动时，判断APQ △的形状（不必证明），并直接写出AQ 的长（用含t 的代数式表示）．(2)当点E 与点C 重合时，求t 的值．(3)求S 关于t 的函数解析式，并写出自变量t 的取值范围．24．（2024·吉林长春·中考真题）如图，在ABC 中，5AB AC ==，6BC =．点D 是边BC 上的一点（点D 不与点B 、C 重合），作射线AD ，在射线AD 上取点P ，使AP BD =，以AP 为边作正方形APMN ，使点M和点C 在直线AD 同侧．(1)当点D 是边BC 的中点时，求AD 的长；(2)当4BD =时，点D 到直线AC 的距离为________；(3)连结PN ，当PN AC ⊥时，求正方形APMN 的边长；(4)若点N 到直线AC 的距离是点M 到直线AC 距离的3倍，则CD 的长为________．（写出一个即可）25．（2024·湖北·中考真题）如图，矩形ABCD 中，,E F 分别在,AD BC 上，将四边形ABFE 沿EF 翻折，使A 的对称点P 落在CD 上，B 的对称点为G PG ，交BC 于H ．(1)求证：EDP PCH △∽△．(2)若P 为CD 中点，且2,3AB BC ==，求GH 长．(3)连接BG ，若P 为CD 中点，H 为BC 中点，探究BG 与AB 大小关系并说明理由．26．（2024·内蒙古通辽·中考真题）数学活动课上，某小组将一个含45︒的三角尺AEF 利一个正方形纸板ABCD 如图1摆放，若1AE =，2AB =．将三角尺AEF 绕点A 逆时针方向旋转()090αα︒≤≤︒角，观察图形的变化，完成探究活动．【初步探究】如图2，连接BE ，DF 并延长，延长线相交于点,G BG 交AD 于点M ．问题1BE 和DF 的数量关系是________，位置关系是_________．【深入探究】应用问题1的结论解决下面的问题．问题2如图3，连接BD ，点O 是BD 的中点，连接OA ，OG ．求证==OA OD OG ．【尝试应用】问题3如图4，请直接写出当旋转角α从0︒变化到60︒时，点G 经过路线的长度．27．（2024·甘肃·中考真题）【模型建立】（1）如图1，已知ABE 和BCD △，AB BC ⊥，AB BC =，CD BD ⊥，AE BD ⊥．用等式写出线段AE ，DE ，CD 的数量关系，并说明理由．【模型应用】（2）如图2，在正方形ABCD 中，点E ，F 分别在对角线BD 和边CD 上，AE EF ⊥，AE EF =．用等式写出线段BE ，AD ，DF 的数量关系，并说明理由．【模型迁移】（3）如图3，在正方形ABCD 中，点E 在对角线BD 上，点F 在边CD 的延长线上，AE EF ⊥，AE EF =．用等式写出线段BE ，AD ，DF 的数量关系，并说明理由．28．（2024·湖南长沙·中考真题）对于凸四边形，根据它有无外接圆（四个顶点都在同一个圆上）与内切圆（四条边都与同一个圆相切），可分为四种类型，我们不妨约定：既无外接圆，又无内切圆的四边形称为“平凡型无圆”四边形；只有外接圆，而无内切圆的四边形称为“外接型单圆”四边形；只有内接圆，而无外接圆的四边形称为“内切型单圆”四边形；既有外接圆，又有内切圆的四边形称为“完美型双圆”四边形．请你根据该约定，解答下列问题：(1)请你判断下列说法是否正确（在题后相应的括号中，正确的打“√”，错误的打“×”，①平行四边形一定不是“平凡型无圆”四边形；（）②内角不等于90︒的菱形一定是“内切型单圆”四边形；（）③若“完美型双圆”四边形的外接圆圆心与内切圆圆心重合，外接圆半径为R ，内切圆半径为r ，则有2=R r ．（）(2)如图1，已知四边形ABCD 内接于O ，四条边长满足：AB CD BC AD +≠+．①该四边形ABCD 是“______”四边形（从约定的四种类型中选一种填入）；②若BAD ∠的平分线AE 交O 于点E ，BCD ∠的平分线CF 交O 于点F ，连接EF ．求证：EF 是O 的直径．(3)已知四边形ABCD 是“完美型双圆”四边形，它的内切圆O 与AB BC CD AD ，，，分别相切于点E ，F ，G ，H ．①如图2．连接EG FH ，交于点P ．求证：EG FH ⊥．②如图3，连接OA OB OC OD ，，，，若2OA =，6OB =，3OC =，求内切圆O 的半径r 及OD 的长．29．（2024·黑龙江大兴安岭地·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，等边三角形OAB 的边OB 在x 轴上，点A 在第一象限，OA 的长度是一元二次方程2560x x --=的根，动点P 从点O 出发以每秒2个单位长度的速度沿折线OA AB -运动，动点Q 从点O 出发以每秒3个单位长度的速度沿折线OB BA -运动，P 、Q 两点同时出发，相遇时停止运动．设运动时间为t 秒（0 3.6t <<），OPQ △的面积为S ．(1)求点A 的坐标；(2)求S 与t 的函数关系式；(3)在（2）的条件下，当63S =M 在y 轴上，坐标平面内是否存在点N ，使得以点O 、P 、M 、N 为顶点的四边形是菱形．若存在，直接写出点N 的坐标；若不存在，说明理由．30．（2024·重庆·中考真题）在Rt ABC △中，90ACB ∠=︒，AC BC =，过点B 作BD AC ∥．(1)如图1，若点D 在点B 的左侧，连接CD ，过点A 作AE CD ⊥交BC 于点E ．若点E 是BC 的中点，求证：2AC BD =；(2)如图2，若点D 在点B 的右侧，连接AD ，点F 是AD 的中点，连接BF 并延长交AC 于点G ，连接CF ．过点F 作FM BG ⊥交AB 于点M ，CN 平分ACB ∠交BG 于点N ，求证：22AM CN =+；(3)若点D 在点B 的右侧，连接AD ，点F 是AD 的中点，且AF AC =．点P 是直线AC 上一动点，连接FP ，将FP 绕点F 逆时针旋转60︒得到FQ ，连接BQ ，点R 是直线AD 上一动点，连接BR ，QR ．在点P 的运动过程中，当BQ 取得最小值时，在平面内将BQR 沿直线QR 翻折得到TQR △，连接FT ．在点R 的运动过程中，直接写出FT CP的最大值．31．（2024·重庆·中考真题）在ABC 中，AB AC =，点D 是BC 边上一点（点D 不与端点重合）．点D 关于直线AB 的对称点为点E ，连接,AD DE ．在直线AD 上取一点F ，使EFD BAC ∠∠=，直线EF 与直线AC 交于点G ．(1)如图1，若60,,BAC BD CD BAD α∠=︒<∠=，求AGE ∠的度数（用含α的代数式表示）；(2)如图1，若60,BAC BD CD ∠=︒<，用等式表示线段CG 与DE 之间的数量关系，并证明；(3)如图2，若90BAC ∠=︒，点D 从点B 移动到点C 的过程中，连接AE ，当AEG △为等腰三角形时，请直接写出此时CG AG的值．32．（2024·江苏连云港·中考真题）【问题情境】（1）如图1，圆与大正方形的各边都相切，小正方形是圆的内接正方形，那么大正方形面积是小正方形面积的几倍？小昕将小正方形绕圆心旋转45°（如图2），这时候就容易发现大正方形面积是小正方形面积的__________倍．由此可见，图形变化是解决问题的有效策略；【操作实践】（2）如图3，图①是一个对角线互相垂直的四边形，四边a 、b 、c 、d 之间存在某种数量关系．小昕按所示步骤进行操作，并将最终图形抽象成图4．请你结合整个变化过程，直接写出图4中以矩形内一点P 为端点的四条线段之间的数量关系；【探究应用】（3）如图5，在图3中“④”的基础上，小昕将PDC △绕点P 逆时针旋转，他发现旋转过程中DAP ∠存在最大值．若8PE =，5PF =，当DAP ∠最大时，求AD 的长；（4）如图6，在Rt ABC △中，90C ∠=︒，点D 、E 分别在边AC 和BC 上，连接DE 、AE 、BD ．若5AC CD +=，8BC CE +=，求AE BD +的最小值．33．（2024·上海·中考真题）在梯形ABCD 中，AD BC ∥，点E 在边AB 上，且13AE AB =．(1)如图1所示，点F 在边CD 上，且13DF CD =，联结EF ，求证：EF BC ∥；(2)已知1AD AE ==；①如图2所示，联结DE ，如果ADE V 外接圆的心恰好落在B ∠的平分线上，求ADE V 的外接圆的半径长；②如图3所示，如果点M 在边BC 上，联结EM 、DM 、EC ，DM 与EC 交于N ，如果4BC =，且2CD DM DN =⋅，DMC CEM ∠=∠，求边CD 的长．34．（2024·四川成都·中考真题）数学活动课上，同学们将两个全等的三角形纸片完全重合放置，固定一个顶点，然后将其中一个纸片绕这个顶点旋转，来探究图形旋转的性质．已知三角形纸片ABC 和ADE 中，3AB AD ==，4BC DE ==，90ABC ADE ∠=∠=︒．【初步感知】（1）如图1，连接BD ，CE ，在纸片ADE 绕点A 旋转过程中，试探究BD CE的值．【深入探究】（2）如图2，在纸片ADE 绕点A 旋转过程中，当点D 恰好落在ABC 的中线BM 的延长线上时，延长ED 交AC 于点F ，求CF 的长．【拓展延伸】（3）在纸片ADE 绕点A 旋转过程中，试探究C ，D ，E 三点能否构成直角三角形．若能，直接写出所有直角三角形CDE 的面积；若不能，请说明理由．35．（2024·河北·中考真题）已知O 的半径为3，弦5MN =ABC 中，90,3,32ABC AB BC ∠=︒==在平面上，先将ABC 和O 按图1位置摆放（点B 与点N 重合，点A 在O 上，点C 在O 内），随后移动ABC ，使点B 在弦MN 上移动，点A 始终在O 上随之移动，设BN x =．(1)当点B 与点N 重合时，求劣弧 AN 的长；(2)当OA MN ∥时，如图2，求点B 到OA 的距离，并求此时x 的值；(3)设点O 到BC 的距离为d ．①当点A 在劣弧 MN上，且过点A 的切线与AC 垂直时，求d 的值；②直接写出d 的最小值．36．（2024·四川乐山·中考真题）在一堂平面几何专题复习课上，刘老师先引导学生解决了以下问题：【问题情境】如图1，在ABC 中，90BAC ∠=︒，AB AC =，点D 、E 在边BC 上，且45DAE =︒∠，3BD =，4CE =，求DE 的长．解：如图2，将ABD △绕点A 逆时针旋转90︒得到ACD '△，连接ED '．由旋转的特征得BAD CAD '∠=∠，B ACD ∠=∠'，AD AD ='，BD CD '=．∵90BAC ∠=︒，45DAE =︒∠，∴45BAD EAC ∠+∠=︒．∵BAD CAD '∠=∠，∴45CAD EAC '∠+∠=︒，即45EAD '∠=︒．∴DAE D AE '∠=∠．在DAE 和D AE ' 中，AD AD ='，DAE D AE '∠=∠，AE AE =，∴___①___．∴DE D E '=．又∵90ECD ECA ACD ECA B ''︒，∴在Rt ECD '△中，___②___．∵3CD BD '==，4CE =，∴DE D E '==___③___．【问题解决】上述问题情境中，“①”处应填：______；“②”处应填：______；“③”处应填：______．刘老师进一步谈到：图形的变化强调从运动变化的观点来研究，只要我们抓住了变化中的不变量，就能以不变应万变．【知识迁移】如图3，在正方形ABCD 中，点E 、F 分别在边BC CD 、上，满足CEF △的周长等于正方形ABCD 的周长的一半，连结AE AF 、，分别与对角线BD 交于M 、N 两点．探究BM MN DN 、、的数量关系并证明．【拓展应用】如图4，在矩形ABCD 中，点E 、F 分别在边BC CD 、上，且45EAF CEF ∠=∠=︒．探究BE EF DF 、、的数量关系：______（直接写出结论，不必证明）．【问题再探】如图5，在ABC 中，90ABC ∠=︒，4AB =，3BC =，点D 、E 在边AC 上，且45DBE ∠=︒．设AD x =，CE y =，求y 与x 的函数关系式．2137．（2024·北京·中考真题）在平面直角坐标系xOy 中，O 的半径为1，对于O 的弦AB 和不在直线AB 上的点C ，给出如下定义：若点C 关于直线AB 的对称点C '在O 上或其内部，且ACB α∠=，则称点C 是弦AB 的“α可及点”．(1)如图，点()0,1A ，()1,0B ．①在点()12,0C ，()21,2C ，31,02C ⎛⎫ ⎪⎝⎭中，点___________是弦AB 的“α可及点”，其中α=____________︒；②若点D 是弦AB 的“90︒可及点”，则点D 的横坐标的最大值为__________；(2)已知P 是直线33y =上一点，且存在O 的弦MN ，使得点P 是弦MN 的“60︒可及点”．记点P 的横坐标为t ，直接写出t 的取值范围．38．（2024·广东·中考真题）【知识技能】（1）如图1，在ABC 中，DE 是ABC 的中位线．连接CD ，将ADC △绕点D 按逆时针方向旋转，得到A DC '' ．当点E 的对应点E '与点A 重合时，求证：AB BC =．【数学理解】（2）如图2，在ABC 中()AB BC <，DE 是ABC 的中位线．连接CD ，将ADC △绕点D 按逆时针方向旋转，得到A DC '' ，连接A B '，C C '，作A BD ' 的中线DF ．求证：2DF CD BD CC ⋅='⋅．【拓展探索】（3）如图3，在ABC 中，4tan 3B =，点D 在AB 上，325AD =．过点D 作DE BC ⊥，垂足为E ，3BE =，323CE =．在四边形ADEC 内是否存在点G ，使得180AGD CGE ∠+∠=︒？若存在，请给出证明；若不存在，请说明理由．2239．（2024·广东广州·中考真题）如图，在菱形ABCD 中，120C ∠=︒．点E 在射线BC 上运动（不与点B ，点C 重合），AEB △关于AE 的轴对称图形为AEF △．(1)当30BAF ∠=︒时，试判断线段AF 和线段AD 的数量和位置关系，并说明理由；(2)若663AB =+O 为AEF △的外接圆，设O 的半径为r ．①求r 的取值范围；②连接FD ，直线FD 能否与O 相切？如果能，求BE 的长度；如果不能，请说明理由．40．（2024·云南·中考真题）如图，AB 是O 的直径，点D 、F 是O 上异于A 、B 的点．点C 在O 外，CA CD =，延长BF 与CA 的延长线交于点M ，点N 在BA 的延长线上，AMN ABM ∠∠=，AM BM AB MN ⋅=⋅．点H 在直径AB 上，90AHD ∠= ，点E 是线段DH的中点．(1)求AFB ∠的度数；(2)求证：直线CM 与O 相切：(3)看一看，想一想，证一证：以下与线段CE 、线段EB 、线段CB 有关的三个结论：CE EB CB +<，CE EB CB +=，CE EB CB +>，你认为哪个正确？请说明理由．。

正方形几何综合专题---40道题目(含答案)

正方形几何综合专题---40道题目(含答案)

01如图，在正方形ABCD中，点G在对角线BD上(不与点B，D重合)，GE⊥DC于点E，GF⊥BC于点F，连接AG.(1)写出线段AG，GE，GF长度之间的等量关系，并说明理由；(2)若正方形ABCD的边长为1，∠AGF＝105°，求线段BG的长．解：(1)AG2＝GE2＋GF2；理由：如解图，连接CG，∵四边形ABCD是正方形，∴∠ADG＝∠CDG＝45°，AD＝CD，DG＝DG，∴△ADG≌△CDG，∴AG＝CG，又∵GE⊥DC，GF⊥BC，∠BCD＝90°，∴四边形CEGF是矩形，∴CF＝GE，在Rt△GFC中，由勾股定理得，CG2＝GF2＋CF2，∴AG2＝GE2＋GF2；(2)如解图，过点A作AM⊥BD于点M，∵GF⊥BC，∠ABG＝∠GBC＝45°，∴∠BAM＝∠BGF＝45°，∴△ABM，△BGF都是等腰直角三角形，∵AB＝1，∴AM＝BM＝2 2，∵∠AGF＝105°，∴∠AGM＝60°，∴tan60°＝AMGM，∴GM＝6 6，∴BG＝BM＋GM＝22＋66＝32＋66.02如图，正方形ABCD 中，AB ＝6，点E 在边CD 上，且CD ＝3DE ．将△ADE 沿AE 对折至△AFE ，延长EF 交边BC 于点G ，连结AG 、CF ．下列结论：①△ABG ≌△AFG ；②BG ＝GC ；③AG ∥CF ；④S △FGC ＝3．其中正确结论的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4A BCD FEG 10题图考点：翻折变换（折叠问题）；全等三角形的判定与性质；勾股定理分析：根据翻折变换的性质和正方形的性质可证△ABG ≌△AFG ；在直角△ECG 中，根据勾股定理可证BG =GC ；通过证明∠AGB =∠AGF =∠GFC =∠GCF ，由平行线的判定可得AG ∥CF ；由于S △FGC =S △GCE ﹣S △FEC ，求得面积比较即可．解答：解：①正确．因为AB =AD =AF ，AG =AG ，∠B =∠AFG =90°，∴△ABG ≌△AFG ； ②正确．因为：EF =DE =13CD =2，设BG =FG =x ，则CG =6﹣x ．在直角△ECG 中，根据勾股定理，得（6﹣x ）2+42=（x +2）2，解得x =3．所以BG =3=6﹣3=GC ； ③正确．因为CG =BG =GF ，所以△FGC 是等腰三角形，∠GFC =∠GCF ．又∠AGB =∠AGF ，∠AGB +∠AGF =180°﹣∠FGC =∠GFC +∠GCF ，∴∠AGB =∠AGF =∠GFC =∠GCF ，∴AG ∥CF ； ④错误．过F 作FH ⊥DC ， ∵BC ⊥DH ， ∴FH ∥GC ，∴△EFH ∽△EGC ， ∴FH GC =EFEG， EF =DE =2，GF =3， ∴EG =5， ∴FH GC =EF EG =25， ∴S △FGC =S △GCE ﹣S △FEC =12×3×4﹣12×4×（25×3）=185≠3． 故选C ．点评：本题综合性较强，考查了翻折变换的性质和正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，平行线的判定，三角形的面积计算，有一定的难度．A B CD FE G10题03如图，在一方形ABCD中．E为对角线AC上一点，连接EB、ED，（1）求证：△BEC≌△DEC：（2）延长BE交AD于点F，若∠DEB=140°．求∠AFE 的度数．考点：正方形的性质；对顶角、邻补角；三角形内角和定理；全等三角形的判定与性质。

中考数学复习----《正方形的判定》知识点总结与专项练习题(含答案解析)

中考数学复习----《正方形的判定》知识点总结与专项练习题(含答案解析)

中考数学复习----《正方形的判定》知识点总结与专项练习题（含答案解析）知识点总结1.直接判定：四条边都相等，四个角都是直角的四边形是正方形。

2.利用平行四边形判定：一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形。

（定义判定）3.利用菱形与矩形判定：①有一个角是直角的菱形是正方形。

②对角线相等的菱形是正方形。

③邻边相等的矩形是正方形。

④对角线相互垂直的矩形是正方形。

练习题1、（2022•绍兴）如图，在平行四边形ABCD中，AD＝2AB＝2，∠ABC＝60°，E，F是对角线BD上的动点，且BE＝DF，M，N分别是边AD，边BC上的动点．下列四种说法：①存在无数个平行四边形MENF；②存在无数个矩形MENF；③存在无数个菱形MENF；④存在无数个正方形MENF．其中正确的个数是（）A．1B．2C．3D．4【分析】根据题意作出合适的辅助线，然后逐一分析即可．【解答】解：连接AC，MN，且令AC，MN，BD相交于点O，∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA＝OC，OB＝OD，∵BE＝DF，∴OE＝OF，只要OM＝ON，那么四边形MENF就是平行四边形，∵点E，F是BD上的动点，∴存在无数个平行四边形MENF，故①正确；只要MN＝EF，OM＝ON，则四边形MENF是矩形，∵点E，F是BD上的动点，∴存在无数个矩形MENF，故②正确；只要MN⊥EF，OM＝ON，则四边形MENF是菱形，∵点E，F是BD上的动点，∴存在无数个菱形MENF，故③正确；只要MN＝EF，MN⊥EF，OM＝ON，则四边形MENF是正方形，而符合要求的正方形只有一个，故④错误；故选：C．2、（2022•滨州）下列命题，其中是真命题的是（）A．对角线互相垂直的四边形是平行四边形B．有一个角是直角的四边形是矩形C．对角线互相平分的四边形是菱形D．对角线互相垂直的矩形是正方形【分析】根据，平行四边形，矩形，菱形，正方形的判定方法一一判断即可．【解答】解：A、对角线互相垂直的四边形是平行四边形，是假命题，本选项不符合题意；B、有一个角是直角的四边形是矩形，是假命题，本选项不符合题意；C、对角线互相平分的四边形是菱形，是假命题，本选项不符合题意；D、对角线互相垂直的矩形是正方形，是真命题，本选项符合题意．故选：D．3、（2022•攀枝花）如图，以△ABC的三边为边在BC上方分别作等边△ACD、△ABE、△BCF．且点A在△BCF内部．给出以下结论：①四边形ADFE是平行四边形；②当∠BAC ＝150°时，四边形ADFE是矩形；③当AB＝AC时，四边形ADFE是菱形；④当AB＝AC，且∠BAC＝150°时，四边形ADFE是正方形．其中正确结论有（填上所有正确结论的序号）．【分析】①利用SAS证明△EFB≌△ACB，得出EF＝AC＝AD；同理由△CDF≌△CAB，得DF＝AB＝AE；根据两边分别相等的四边形是平行四边形得出四边形ADFE是平行四边形，即可判断结论①正确；②当∠BAC＝150°时，求出∠EAD＝90°，根据有一个角是90°的平行四边形是矩形即可判断结论②正确；③先证明AE＝AD，根据一组邻边相等的平行四边形是菱形即可判断结论③正确；④根据正方形的判定：既是菱形，又是矩形的四边形是正方形即可判断结论④正确．【解答】解：①∵△ABE、△CBF是等边三角形，∴BE＝AB，BF＝CB，∠EBA＝∠FBC＝60°；∴∠EBF＝∠ABC＝60°﹣∠ABF；∴△EFB≌△ACB（SAS）；∴EF＝AC＝AD；同理由△CDF≌△CAB，得DF＝AB＝AE；由AE＝DF，AD＝EF即可得出四边形ADFE是平行四边形，故结论①正确；②当∠BAC＝150°时，∠EAD＝360°﹣∠BAE﹣∠BAC﹣∠CAD＝360°﹣60°﹣150°﹣60°＝90°，由①知四边形AEFD是平行四边形，∴平行四边形ADFE是矩形，故结论②正确；③由①知AB＝AE，AC＝AD，四边形AEFD是平行四边形，∴当AB＝AC时，AE＝AD，∴平行四边形AEFD是菱形，故结论③正确；④综合②③的结论知：当AB＝AC，且∠BAC＝150°时，四边形AEFD既是菱形，又是矩形，∴四边形AEFD是正方形，故结论④正确．故答案为：①②③④．。

正方形的性质与判定专题练习

正方形的性质与判定专题练习

正方形专题训练（含答案)一．选择题（共11小题）1．如图，将正方形OABC放在平面直角坐标系中，O是原点，A的坐标为（1，）,则点C的坐标为（）2．）如图，点E在正方形ABCD的对角线AC上，且EC=2AE，直角三角形FEG的两直角边EF、EG分别交BC、DC于点M、N．若正方形ABCD的边长为a，则重叠部分四边形EMCN的面积为(）A．a2B．a2C．a2D．a23．如图，F是正方形ABCD的边CD上的一个动点，BF 的垂直平分线交对角线AC于点E，连接BE，FE，则∠EBF 的度数是（）A．45°B．50°C．60°D．不确定4．平行四边形、矩形、菱形、正方形都具有的是（）A．对角线互相平分B．对角线互相垂直C ．对角线相等D．对角线互相垂直且相等5．正方形的一条对角线长为4,则这个正方形的面积是（)6．（2014•福州）如图，在正方形ABCD的外侧，作等边三角形ADE，AC、BE相交于点F，则∠BFC为（）A．45°B．55°C．60°D．75°7．顺次连接菱形各边的中点所形成的四边形是（）A．等腰梯形B．矩形C．菱形D．正方形8．下列说法中，正确的是（）A．相等的角一定是对顶角B．四个角都相等的四边形一定是正方形C．平行四边形的对角线互相平分D．矩形的对角线一定垂直9．已知四边形ABCD是平行四边形，再从①AB=BC，②∠ABC=90°，③AC=BD，④AC⊥BD四个条件中,选两个作为补充条件后，使得四边形ABCD是正方形,现有下列四种选法，其中错误的是（）A．选①②B．选②③C．选①③D．选②④10．如图，在正方形ABCD中，CE=MN，∠MCE=35°，那么∠ANM等于（）A．45°B．50°C．55°D．60°11．如图,菱形ABCD中,∠B=60°，AB=5，则以AC为边长的正方形ACEF的面积为（）A．9B．16 C．20 D．25二．填空题(共5小题）12．如图，在正方形ABCD的外侧，作等边三角形ADE，则∠AEB=_________度．13．如图，已知P是正方形ABCD对角线BD上一点，且BP=BC，则∠ACP度数是_________度．14．如图，四边形ABCD为正方形，△ADE为等边三角形．AC为正方形ABCD的对角线，则∠EAC=_________度．A．8B．4C．8D．1615．已知：如图，菱形ABCD中，∠B=60°，AB=4，则以AC为边长的正方形ACEF的周长为_________．16．如图所示，正方形ABCD 的周长为16cm，顺次连接正方形ABCD各边的中点,得到四边形EFGH,则四边形EFGH的周长等于_________cm,四边形EFGH的面积等于_________cm．三．解答题（共6小题）17．如图，正方形ABCD中，E、F分别为BC、CD上的点，且AE⊥BF，垂足为点G．求证：AE=BF．18．如图，在正方形ABCD中，P是对角线AC上的一点,连接BP、DP，延长BC到E,使PB=PE．求证：∠PDC=∠PEC．19．如图，四边形ABCD是正方形，BE⊥BF，BE=BF，EF与BC交于点G．（1）求证：AE=CF；（2）若∠ABE=55°，求∠EGC的大小．20．在平面内正方形ABCD与正方形CEFH如图放置，连DE，BH，两线交于M．求证：（1）BH=DE．（2）BH⊥DE．21．已知：如图，▱ABCD中，O是CD的中点，连接AO 并延长,交BC的延长线于点E．(1）求证：△AOD≌△EOC；（2）连接AC，DE,当∠B=∠AEB=_________°时，四边形ACED是正方形？请说明理由．22．（2014•随州）已知：如图,在矩形ABCD中，M、N 分别是边AD、BC的中点,E、F分别是线段BM、CM的中点．（1）求证：△ABM≌△DCM；（2）填空：当AB：AD=_________时，四边形MENF 是正方形．一．选择题（共11小题）1．（2014•南充）如图，将正方形OABC 放在平面直角坐标系中，O 是原点，A 的坐标为（1，)，则点C 的坐标为( ）A ． （﹣，1） B ． (﹣1，） C ． (，1) D ． （﹣，﹣1）考点： 全等三角形的判定与性质；坐标与图形性质；正方形的性质．专题：几何图形问题． 分析： 过点A 作AD ⊥x 轴于D ，过点C 作CE ⊥x 轴于E ，根据同角的余角相等求出∠OAD=∠COE,再利用“角角边”证明△AOD 和△OCE 全等，根据全等三角形对应边相等可得OE=AD ，CE=OD ，然后根据点C 在第二象限写出坐标即可．解答： 解：如图，过点A 作AD ⊥x 轴于D ，过点C 作CE ⊥x 轴于E ，∵四边形OABC 是正方形， ∴OA=OC ，∠AOC=90°, ∴∠COE+∠AOD=90°， 又∵∠OAD+∠AOD=90°， ∴∠OAD=∠COE, 在△AOD 和△OCE 中，，∴△AOD ≌△OCE （AAS)， ∴OE=AD=，CE=OD=1，∵点C 在第二象限, ∴点C 的坐标为（﹣,1）．故选:A ．点评： 本题考查了全等三角形的判定与性质，正方形的性质，坐标与图形性质，作辅助线构造出全等三角形是解题的关键，也是本题的难点．2．（2014•山西)如图，点E 在正方形ABCD 的对角线AC 上，且EC=2AE ，直角三角形FEG 的两直角边EF 、EG 分别交BC 、DC 于点M 、N ．若正方形ABCD 的边长为a,则重叠部分四边形EMCN 的面积为（ ）A ． a 2B ． a 2C ． a 2D ． a 2考点：全等三角形的判定与性质；正方形的性质．专题：几何图形问题． 分析： 作EP ⊥BC 于点P ，EQ ⊥CD 于点Q ，△EPM ≌△EQN,利用四边形EMCN 的面积等于正方形MCQE 的面积求解．解答：解：作EP ⊥BC 于点P,EQ ⊥CD 于点Q ，∵四边形ABCD是正方形，∴∠BCD=90°，又∵∠EPM=∠EQN=90°，∴∠PEQ=90°,∴∠PEM+∠MEQ=90°，∵三角形FEG是直角三角形，∴∠NEF=∠NEQ+∠MEQ=90°,∴∠PEM=∠NEQ,∵AC是∠BCD的角平分线，∠EPC=∠EQC=90°，∴EP=EN，四边形MCQE是正方形，在△EPM和△EQN中，，∴△EPM≌△EQN(ASA）∴S△EQN=S△EPM,∴四边形EMCN的面积等于正方形MCQE的面积, ∵正方形ABCD的边长为a，∴AC=a，∵EC=2AE，∴EC=a，∴EP=PC=a，∴正方形MCQE的面积=a ×a=a2，∴四边形EMCN的面积=a2,故选：D．点评:本题主要考查了正方形的性质及全等三角形的判定及性质，解题的关键是作出辅助线,证出△EPM≌△EQN．3．（2014•台州）如图，F是正方形ABCD的边CD上的一个动点，BF的垂直平分线交对角线AC于点E，连接BE，FE，则∠EBF的度数是(）A．45°B．50°C．60°D．不确定考点:全等三角形的判定与性质；正方形的性质．专题：几何图形问题．分析:过E作HI∥BC，分别交AB、CD于点H、I，证明Rt△BHE≌Rt△EIF，可得∠IEF+∠HEB=90°，再根据BE=EF即可解题．解答:解：如图所示，过E作HI∥BC，分别交AB、CD于点H、I，则∠BHE=∠EIF=90°,∵E是BF的垂直平分线EM上的点，∴EF=EB，∵E是∠BCD角平分线上一点，∴E到BC和CD的距离相等，即BH=EI，Rt△BHE和Rt△EIF中，，∴Rt△BHE≌Rt△EIF（HL），∴∠HBE=∠IEF ， ∵∠HBE+∠HEB=90°， ∴∠IEF+∠HEB=90°， ∴∠BEF=90°， ∵BE=EF ，∴∠EBF=∠EFB=45°． 故选：A ．点评： 本题考查了正方形角平分线和对角线重合的性质,考查了直角三角形全等的判定，全等三角形对应角相等的性质．4．（2014•郴州）平行四边形、矩形、菱形、正方形都具有的是( ) A ． 对角线互相平分 B ． 对角线互相垂直 C ． 对角线相等 D ． 对角线互相垂直且相等考点： 正方形的性质;平行四边形的性质；菱形的性质；矩形的性质．专题：证明题． 分析: 本题主要依据平行四边形、矩形、菱形、正方形都具有对角线相互平分的性质来判断．解答： 解：A 、对角线相等是平行四边形、矩形、菱形、正方形都具有的性质;B 、对角线互相垂直是菱形、正方形具有的性质；C 、对角线相等是矩形和正方形具有的性质；D 、对角线互相垂直且相等是正方形具有的性质． 故选:A ．点评： 本题主要考查平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质定理．5．（2014•来宾）正方形的一条对角线长为4，则这个正方形的面积是（ ）A ． 8B ． 4C ． 8D ． 16考点：正方形的性质．分析： 根据正方形的面积等于对角线乘积的一半列式计算即可得解．解答： 解:∵正方形的一条对角线长为4, ∴这个正方形的面积=×4×4=8．故选:A ．点评： 本题考查了正方形的性质，熟记利用对角线求面积的方法是解题的关键．6．（2014•福州）如图,在正方形ABCD 的外侧,作等边三角形ADE ，AC 、BE 相交于点F ，则∠BFC 为（ ）A ． 45°B ． 55°C ． 60°D ．75°考点: 正方形的性质；等腰三角形的性质;等边三角形的性质．分析: 根据正方形的性质及全等三角形的性质求出∠ABE=15°，∠BAC=45°,再求∠BFC ． 解答： 解：∵四边形ABCD 是正方形， ∴AB=AD又∵△ADE 是等边三角形， ∴AE=AD=DE,∠DAE=60° ∴AD=AE∴∠ABE=∠AEB ，∠BAE=90°+60°=150° ∴∠ABE=（180°﹣150°）÷2=15° 又∵∠BAC=45° ∴∠BFC=45°+15°=60°故选:C ．点评： 本题主要是考查正方形的性质和等边三角形的性质,本题的关键是求出∠ABE=15°．7．（2014•来宾）顺次连接菱形各边的中点所形成的四边形是（ ） A ． 等腰梯形 B ． 矩形 C ． 菱形D ． 正方形考点:正方形的判定；三角形中位线定理；菱形的性质．分析：根据三角形的中位线定理以及菱形的性质即可证得． 解答： 解：∵E ，F 是中点， ∴EH ∥BD ，同理，EF ∥AC,GH ∥AC ，FG ∥BD ， ∴EH ∥FG ,EF ∥GH ，则四边形EFGH 是平行四边形． 又∵AC ⊥BD ， ∴EF ⊥EH ，∴平行四边形EFGH 是矩形． 故选：B ．点评： 本题主要考查了矩形的判定定理，正确理解菱形的性质以及三角形的中位线定理是解题的关键．8．（2014•湘西州）下列说法中，正确的是（ ） A ． 相等的角一定是对顶角B ． 四个角都相等的四边形一定是正方形C ． 平行四边形的对角线互相平分D ． 矩形的对角线一定垂直考点： 正方形的判定;对顶角、邻补角;平行四边形的性质;矩形的性质．分析： 根据对顶角的定义,正方形的判定，平行四边形的性质，矩形的性质对各选项分析判断利用排除法求解． 解答： 解：A 、相等的角一定是对顶角错误，例如,角平分线分成的两个角相等，但不是对顶角,故本选项错误；B 、四个角都相等的四边形一定是矩形，不一定是正方形,故本选项错误；C 、平行四边形的对角线互相平分正确，故本选项正确；D 、矩形的对角线一定相等，但不一定垂直,故本选项错误． 故选：C ．点评： 本题考查了正方形的判定，平行四边形的性质，矩形的性质,对顶角的定义，熟记各性质与判定方法是解题的关键．9．（2014•株洲）已知四边形ABCD 是平行四边形，再从①AB=BC ，②∠ABC=90°，③AC=BD,④AC ⊥BD 四个条件中,选两个作为补充条件后，使得四边形ABCD 是正方形，现有下列四种选法，其中错误的是（ ) A ． 选①② B ． 选②③ C ． 选①③ D ． 选②④考点：正方形的判定；平行四边形的性质．分析:要判定是正方形，则需能判定它既是菱形又是矩形． 解答: 解:A 、由①得有一组邻边相等的平行四边形是菱形，由②得有一个角是直角的平行四边形是矩形，所以平行四边形ABCD 是正方形，正确，故本选项不符合题意；B 、由②得有一个角是直角的平行四边形是矩形，由③得对角线相等的平行四边形是矩形,所以不能得出平行四边形ABCD 是正方形，错误，故本选项符合题意；C 、由①得有一组邻边相等的平行四边形是菱形,由③得对角线相等的平行四边形是矩形，所以平行四边形ABCD 是正方形，正确，故本选项不符合题意； D 、由②得有一个角是直角的平行四边形是矩形，由④得对角线互相垂直的平行四边形是菱形，所以平行四边形ABCD 是正方形，正确，故本选项不符合题意． 故选：B ．点评： 本题考查了正方形的判定方法：①先判定四边形是矩形，再判定这个矩形有一组邻边相等;②先判定四边形是菱形，再判定这个矩形有一个角为直角．③还可以先判定四边形是平行四边形，再用1或2进行判定．10．（2014•红桥区三模）如图，在正方形ABCD 中,CE=MN ，∠MCE=35°，那么∠ANM 等于（ ）A ． 45°B ．50° C ．55° D ．60°考点：全等三角形的判定与性质；正方形的性质． 分析: 过B 作BF ∥MN 交AD 于F,则∠AFB=∠ANM ，根据正方形的性质得出∠A=∠EBC=90°,AB=BC,AD ∥BC,推出四边形BFNM 是平行四边形，得出BF=MN=CE ，证Rt △ABF ≌Rt △BCE,推出∠AFB=∠ECB 即可．解答：解：过B 作BF ∥MN 交AD 于F ， 则∠AFB=∠ANM ， ∵四边形ABCD 是正方形，∴∠A=∠EBC=90°，AB=BC,AD ∥BC ， ∴FN ∥BM,BE ∥MN ，∴四边形BFNM 是平行四边形， ∴BF=MN ， ∵CE=MN ， ∴CE=BF,在Rt △ABF 和Rt △BCE 中∴Rt △ABF ≌Rt △BCE （HL ）, ∴∠AFB=∠ECB=35°， ∴∠ANM=∠AFB=55°， 故选C ．点评： 本题考查了平行四边形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，正方形的性质的应用，主要考查学生的推理能力．11．(2014•四会市一模）如图，菱形ABCD 中,∠B=60°，AB=5,则以AC 为边长的正方形ACEF 的面积为( ）A ． 9B ． 16C ． 20D ． 25考点:菱形的性质；正方形的性质．分析： 据已知可求得△ABC 是等边三角形，从而得到AC=AB,从而求出正方形ACEF 的边长,进而可求出其面积．解答： 解：∵B=60°,AB=BC ， ∴△ABC 是等边三角形，∴AC=AB=5，∴正方形ACEF 的边长为5， ∴正方形ACEF 的面积为25， 故选D ．点评： 本题考查菱形与正方形的性质，属于基础题，对于此类题意含有60°角的题目一般要考虑等边三角形的应用．二．填空题(共5小题）12．（2009•江西模拟）如图,在正方形ABCD 的外侧,作等边三角形ADE ，则∠AEB= 15 度．考点:正方形的性质;等边三角形的性质． 分析: 由等边三角形的性质可得∠DAE=60°，进而可得∠BAE=150°，又因为AB=AE ，结合等腰三角形的性质，易得∠AEB 的大小．解答: 解：△ADE 是等边三角形;故∠DAE=60°， ∠BAE=90°+60°=150°，又有AB=AE,故∠AEB=30°÷2=15°； 故答案为15°．点评: 主要考查了正方形基本性质：①两组对边分别平行;四条边都相等；相邻边互相垂直；②四个角都是90°;③对角线互相垂直；对角线相等且互相平分；每条对角线平分一组对角．13．(2008•佛山）如图,已知P 是正方形ABCD 对角线BD 上一点，且BP=BC,则∠ACP 度数是 22.5 度．考点： 正方形的性质．专题:计算题． 分析： 根据正方形的性质可得到∠DBC=∠BCA=45°又知BP=BC,从而可求得∠BCP 的度数,从而就可求得∠ACP 的度数． 解答： 解：∵ABCD 是正方形， ∴∠DBC=∠BCA=45°，∵BP=BC ，∴∠BCP=∠BPC=（180°﹣45°）=67。

2020-2021学年九年级中考专题复习：正方形及四边形综合问题(含答案)

2020-2021学年九年级中考专题复习：正方形及四边形综合问题(含答案)

2020-2021中考专题复习：正方形及四边形综合问题一、选择题1. 小红用次数最少的对折方法验证了一条四边形丝巾的形状是正方形，她对折了()A.1次B.2次C.3次D.4次2. 如图，在四边形ABCD中，AB=CD，AC，BD是对角线，E，F，G，H分别是AD，BD，BC，AC的中点，连接EF，FG，GH，HE，则四边形EFGH的形状是()A.平行四边形B.矩形C.菱形D.正方形3. 如图，正方形ABCD的面积为1，则以相邻两边中点连线EF为边的正方形EFGH的周长为()A. 2B. 2 2C. 2＋1D. 22＋14. 如图，正方形ABCD的边长为9，将正方形折叠，使顶点D落在BC边上的点E处，折痕为GH，若BE∶EC＝2∶1，则线段CH的长是()A. 3B. 4C. 5D. 65. 如图正方形ABCD中，E为AB中点，FE⊥AB，AF=2AE，FC交BD于点O，则∠DOC的度数为()A.60°B.67.5°C.75°D.54°6. （2020·湖北孝感）如图，点E在正方形ABCD的边CD上，将△ADE绕点A顺时针旋转90°，到△ABF的位置，连接EF，过点A作EF的垂线，垂足为点H，与BC交于点G，若BG=3，CG=2，则CE的长为( )A. B. C.4 D.7. （2020·东营）如图，在正方形ABCD中，点P是AB上一动点（不与A、B重合），对角线AC、BD相交于点O，过点P分别作AC、BD的垂线，分别交AC、BD于点E、F，交AD、BC于点M、N，下列结论：①△APE≌△AME；②PM+PN=AC；③222PE PF PO；④△POF∽△BNF；⑤点O在M、N两点的连线上．其中正确的是（）A. ①②③④B. ①②③⑤C. ①②③④⑤D. ③④⑤BCDEFMNO8. 已知在平面直角坐标系中放置了5个如图X3－1－10所示的正方形(用阴影表示)，点B1在y 轴上，点C1、E1、E2、C2、E3、E4、C3在x轴上．若正方形A1B1C1D1的边长为1，∠B1C1O＝60°，B1C1∥B2C2∥B3C3，则点A3到x轴的距离是()A.3＋318 B.3＋118C.3＋36 D.3＋16二、填空题9. 正方形有条对称轴．10. 如图，已知正方形ABCD 的面积为256，点F 在CD 上，点E 在CB 的延长线上，且 20AE AF AF ⊥=，，则BE 的长为FE D CBA11. 如图，E ，F是正方形ABCD 的对角线AC 上的两点，AC=8，AE=CF=2，则四边形BEDF的周长是 .12. ▱ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点O ，且AC ⊥BD ，请添加一个条件：________，使得▱ABCD 为正方形．13. 若正方形ABCD 的边长为4，E 为BC 边上一点，3BE =，M 为线段AE 上一点，射线BM 交正方形的一边于点F ，且BF AE =，则BM 的长为 ．14. 将n 个边长都为1cm 的正方形按如图所示摆放，点12...n A A A ，，，分别是正方形的中心，则n 个正方形重叠形成的重叠部分的面积和为A 5A 4A 3A 2A 115. 如图，正方形ABCD 的边长为2cm ，以B 为圆心，BC 长为半径画弧交对角线BD 于点E ，连接CE ，P 是CE 上任意一点，PM BC ⊥于M ，PN BD ⊥于N ，则PM PN +的值为PNME DC BA16. 如图，正方形ABCD 的面积为3 cm 2，E 为BC 边上一点，∠BAE ＝30°，F 为AE 的中点，过点F 作直线分别与AB ，DC 相交于点M ，N.若MN ＝AE ，则AM 的长等于________cm .三、解答题17. 如图，P 为正方形ABCD 对角线上一点，PE BC ⊥于E ，PF CD ⊥于F .求证：AP EF =.F EPDCB A18. 如图，AB 是☉O 的直径，DO ⊥AB于点O ，连接DA 交☉O 于点C ，过点C 作☉O 的切线交DO 于点E ，连接BC 交DO 于点F . (1)求证:CE=EF .(2)连接AF 并延长，交☉O 于点G.填空:①当∠D 的度数为 时，四边形ECFG 为菱形; ②当∠D 的度数为 时，四边形ECOG 为正方形.19. 如图，点M N ，分别在正方形ABCD 的边BC CD ，上，已知MCN ∆的周长等于正方形ABCD 周长的一半，求MAN ∠的度数NMD CBA20. 如图，已知正方形ABCD与正方形CEFG，M是AF的中点，连接DM，EM.(1)如图①，点E在CD上，点G在BC的延长线上，判断DM，EM的数量关系与位置关系，请直接写出结论.(2)如图②，点E在DC的延长线上，点G在BC上，(1)中结论是否仍然成立?请证明你的结论.21. 如图1，在正方形ABCD中，E、F、G、H分别为边AB、BC、CD、DA上的点，HA EB FC GD===，连接EG、FH，交点为O．⑴如图2，连接EF FG GH HE，，，，试判断四边形EFGH的形状，并证明你的结论；⑵将正方形ABCD沿线段EG、HF剪开，再把得到的四个四边形按图3的方式拼接成一个四边形．若正方形ABCD的边长为3cm，1cmHA EB FC GD====，则图3中阴影部分的面积为_________2cm．图3图1图2HD G CFE BAOHGFED CBA22. 已知正方形ABCD 中，点E 在BC 上，连接AE ，过点B 作BF ⊥AE 于点G ，交CD 于点F .(1)如图①，连接AF ，若AB ＝4，BE ＝1，求证：△BCF ≌△ABE ；(2)如图②，连接BD ，交AE 于点N ，连接AC ，分别交BD 、BF 于点O 、M ，连接GO ，求证：GO 平分∠AGF ；(3)如图③，在第(2)问的条件下，连接CG ，若CG ⊥GO ，AG ＝nCG ，求n 的值.2020-2021中考专题复习：正方形及四边形综合问题-答案一、选择题 1. 【答案】B2. 【答案】C[解析]∵点E ，F ，G ，H 分别是四边形ABCD 中AD ，BD ，BC ，CA 的中点，∴EF=GH=AB ，EH=FG=CD ，∵AB=CD ，∴EF=FG=GH=EH ，∴四边形EFGH 是菱形，故选C .3. 【答案】B【解析】∵正方形ABCD 的面积为1，∴BC ＝CD ＝1，∵E 、F 是边的中点，∴CE ＝CF ＝12，∴EF ＝（12）2＋（12）2＝22，则正方形EFGH 的周长为4×22＝2 2.4. 【答案】B 【解析】设CH ＝x ，∵BE ∶EC ＝2∶1，BC ＝9，∴EC ＝3，由折叠可知，EH ＝DH ＝9－x ，在Rt △ECH 中，由勾股定理得：(9－x )2＝32＋x 2，解得：x ＝4.5. 【答案】A [解析]连接BF ，∵E 为AB 中点，FE ⊥AB ，∴EF 垂直平分AB ，∴AF=BF .∵AF=2AE ， ∴AF=AB ，∴AF=BF=AB ，∴△ABF 为等边三角形，∴∠FBA=60°，BF=BC ，∴∠FCB=∠BFC=15°，∵四边形ABCD 为正方形，∴∠DBC=45°，根据三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和得∠DOC=15°+45°=60°.6. 【答案】B【解析】由旋转的性质得△ABF ≌△ADE ，∴BF=DE ，AF=AE ，又∵AH ⊥EF ，∴FH=EH ，∵四边形ABCD 是正方形，∴∠C=90°，∠EFC=∠EFC ，∴△FHG ∽△FCE ，∴FG FHFE FC=， ∵BG=3，CG=2，∴BC=5，设EC=x ，则BF=DE=5-x ，FG=BG+BF=3+5-x =8-x ，CF=BC+BF=5+5-x =10-x ，EF=22EC CF +=，22(10)x x +-2222(10)210(10)x x x x x +-=-+-，解得：x =154.故选B.7. 【答案】B【解析】本题考查了垂线、平行线和正方形的性质，全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判断和性质、相似三角形的判定和性质，是常见问题的综合，灵活的运用所学知识是解答本题的关键．综合应用垂线、平行线和正方形的性质，全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判断和性质、相似三角形的判定和性质等知识，逐个判断5个结论的正确性，得出结论． ①∵正方形ABCD ，∴∠APE =∠AME =45°，∵PM ⊥AE ，∴∠AEP =∠AEM =90°，∵AE =AE ，∴△APE ≌△AME （ASA ）； ②过点N 作NQ ⊥AC 于点Q ，则四边形PNQE 是矩形，∴PN =EQ ，∵正方形ABCD ，∴∠P AE =∠MAE =45°，∵PM ⊥AE ，∴∠PEA =45°，∴∠P AE =∠APE ，PE =NQ ，∴△APE 等腰直角三角形，∴AE =PE ，同理得：△NQC 等腰直角三角形，∴NQ =CQ ，∵△APE ≌△AME ，∴PE =ME ，∴PE =ME = NQ =CQ ，∴PM =AE +CQ ，∴PM +PN =AE +CQ +EQ =AC ，即PM +PN =AC 成立； ③∵正方形ABCD ，∴AC ⊥BD ，∴∠EOF 是直角，∵过点P 分别作AC 、BD 的垂线，分别交AC 、BD 于点E 、F ，∴∠PEO 和∠PFO 是直角，∴四边形PFOE 是矩形，∴PF =OE ，在R t △PEO 中，有PE 2+OE 2=PO 2，∴PE 2+PF 2=PO 2，即PE 2+PF 2=PO 2成立；④△BNF 是等腰直角三角形，点P 不在AB 的中点时，△POF 不是等腰直角三角形，所以△POF 与△BNF 不一定相似，即△POF ∽△BNF 不一定成立； ⑤∵△AMP 是等腰直角三角形，△PMN ∽△AMP ，∴△PMN 是等腰直角三角形，∵∠MPN =90°，∴PM =PN ，∵AP 2PM ，BP 2PN ，∴AP =BP ，∴点P 是AB 的中点，又∵O 为正方形的对称中点，∴点O 在M 、N 两点的连线上．综上，①②③⑤成立，即正确的结论有4个，答案选B ．8. 【答案】⎝ ⎛⎭⎪⎫72，0D 解析：过小正方形的一个顶点D 3作FQ ⊥x 轴于点Q ，过点A 3作A 3F ⊥FQ于点F .∵正方形A 1B 1C 1D 1的边长为1，∠B 1C 1O ＝60°，B 1C 1∥B 2C 2∥B 3C 3，∴∠B 3C 3E 4＝60°，∠D 1C 1E 1＝30°，∠E 2B 2C 2＝30°， ∴D 1E 1＝12D 1C 1＝12，∴D 1E 1＝B 2E 2＝12， ∴cos30°＝B2E 2B 2C 2＝12B 2C 2，解得：B 2C 2＝33.∴B 3E 4＝36，cos30°＝B 3E 4B 3C 3.解得：B 3C 3＝13. 则D 3C 3＝13. 根据题意得出：∠D 3C 3Q ＝30°，∠C 3D 3Q ＝60°，∠A 3D 3F ＝30°， ∴D 3Q ＝12×13＝16，FD 3＝D 3A 3·cos30°＝13×32＝36. 则点A 3到x 轴的距离FQ ＝D 3Q ＋FD 3＝16＋36＝3＋16. 二、填空题 9. 【答案】4 10. 【答案】1211. 【答案】8[解析]如图，连接BD 交AC 于点O ，∵四边形ABCD 为正方形，∴BD ⊥AC ，OD=OB=OA=OC ，∵AE=CF=2，∴OA -AE=OC -CF ，即OE=OF ，∴四边形BEDF 为平行四边形，且BD ⊥EF ， ∴四边形BEDF 为菱形，∴DE=DF=BE=BF ， ∵AC=BD=8，OE=OF==2，∴由勾股定理得:DE===2，∴四边形BEDF 的周长=4DE=4×2=8，故答案为:8.12. 【答案】∠BAD ＝90°(答案不唯一)【解析】∵▱ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点O ，且AC ⊥BD ，∴▱ABCD 是菱形，当∠BAD ＝90°时，菱形ABCD 为正方形．故可添加条件：∠BAD ＝90°.13. 【答案】125（如图1）或52（如图2）． 图2图1ABMECFDE FMDCBA14. 【答案】22cm 4n15. 2【解析】作CQ BD ⊥于Q ，则PM PN CQ +=，又CQ BD BC CD ⋅=⋅216. 【答案】233或33 【解析】如解图，过N 作NG ⊥AB ，交AB 于点G ，∵四边形ABCD 为正方形，∴AB ＝AD ＝NG ＝ 3 cm ，在Rt △ABE 中，∠BAE ＝30°，AB ＝ 3 cm ，∴BE ＝1 cm ，AE ＝2 cm ，∵F 为AE 的中点，∴AF ＝12AE ＝1 cm ，在Rt △ABE 和Rt △NGM 中，⎩⎨⎧AB ＝NG AE ＝NM ，∴Rt △ABE ≌Rt △NGM(HL )，∴BE ＝GM ，∠BAE ＝∠MNG ＝30°，∠AEB ＝∠NMG ＝60°，∴∠AFM ＝90°，即MN ⊥AE ，在Rt △AMF 中，∠FAM ＝30°，AF ＝1 cm ，∴AM ＝AFcos 30°＝132＝233 cm ，由对称性得到AM′＝BM ＝AB －AM ＝3－233＝33 cm ，综上，AM 的长等于233或33 cm .解图三、解答题17. 【答案】连接PC.∵ABCD为正方形∴A、C关于BD对称∴PA PC=∵PE BC⊥，PF CD⊥，BC CD⊥∴PECF为矩形∴PC EF=∴PA EF=.FEPDCBA18. 【答案】解:(1)证明:连接OC.∵CE是☉O的切线，∴OC⊥CE.∴∠FCO+∠ECF=90°.∵DO⊥AB，∴∠B+∠BFO=90°.∵∠CFE=∠BFO，∴∠B+∠CFE=90°.∵OC=OB，∴∠FCO=∠B.∴∠ECF=∠CFE.∴CE=EF .(2)∵AB 是☉O 的直径，∴∠ACB=90°.∴∠DCF=90°.∴∠DCE +∠ECF=90°，∠D +∠EFC=90°.由(1)得∠ECF=∠CFE ，∴∠D=∠DCE.∴ED=EC.∴ED=EC=EF .即点E 为线段DF 的中点.①四边形ECFG 为菱形时，CF=CE.∵CE=EF ，∴CE=CF=EF .∴△CEF 为等边三角形.∴∠CFE=60°.∴∠D=30°.故填30°.②四边形ECOG 为正方形时，△ECO 为等腰直角三角形. ∴∠CEF=45°.∵∠CEF=∠D +∠DCE ，∴∠D=∠DCE=22.5°.故填22.5°.19. 【答案】MN BM DN =+，延长CD 至'M ，使'M D BM =，证明''ADM ABM AM N AMN ∆∆∆∆≌，≌，测得1''452MAN M AN M AM ∠=∠=∠=︒20. 【答案】解:(1)结论:DM ⊥EM ，DM=EM.[解析]延长EM 交AD 于H.∵四边形ABCD是正方形，四边形EFGC是正方形，∴∠ADE=∠DEF=90°，AD=CD，∴AD∥EF，∴∠MAH=∠MFE，∵AM=MF，∠AMH=∠FME，∴△AMH≌△FME，∴MH=ME，AH=EF=EC，∴DH=DE，∵∠EDH=90°，∴DM⊥EM，DM=ME.(2)结论不变.DM⊥EM，DM=EM.证明:延长EM交DA的延长线于H.∵四边形ABCD是正方形，四边形EFGC是正方形，∴∠ADE=∠DEF=90°，AD=CD，∴AD∥EF，∴∠MAH=∠MFE，∵AM=MF，∠AMH=∠FME，∴△AMH≌△FME，∴MH=ME，AH=EF=EC，∴DH=DE，∵∠EDH=90°，∴DM⊥EM，DM=ME.21. 【答案】（1）四边形EFGH是正方形．证明：四边形ABCD是正方形∴90===∠=∠=∠=∠=︒，AB BC CD DAA B C D∵HA EB FC GD === ∴AE BF CG DH === ∴AEH BFE CGF DHG ∆∆∆∆≌≌≌∴EF FG GH HE ===∴四边形EFGH 是菱形．由DHG AEH ∆∆≌知DHG AEH ∠=∠∵90AEH AHE ∠+∠=︒∴90DHG AHE ∠+∠=︒∴90GHE ∠=︒∴四边形EFGH 是正方形．（2）122. 【答案】(1)证明：∵四边形ABCD 是正方形，∴BC ＝CD ＝AD ＝AB ＝4，∠ABE ＝∠C ＝∠D ＝90°， ∴∠ABG ＋∠CBF ＝90°，∵BF ⊥AE ，∴∠ABG ＋∠BAE ＝90°，∴∠BAE ＝∠CBF ，在△BCF 和△ABE 中，⎩⎨⎧∠C ＝∠ABEBC ＝AB∠CBF ＝∠BAE， ∴△BCF ≌△ABE (ASA)；(2)证明：∵AC ⊥BD ，BF ⊥AE ，∴∠AOB ＝∠AGB ＝∠AGF ＝90°，∴A 、B 、G 、O 四点共圆，∴∠AGO ＝∠ABO ＝45°，∴∠FGO ＝90°－45°＝45°＝∠AGO ，∴GO 平分∠AGF ；(3)解：如解图，连接EF ，解图∵CG ⊥GO ，∴∠OGC ＝90°，∵∠EGF ＝∠BCD ＝90°，∴∠EGF ＋∠BCD ＝180°，∴C 、E 、G 、F 四点共圆，∴∠EFC ＝∠EGC ＝180°－90°－45°＝45°，∴△CEF是等腰直角三角形，∴CE＝CF，同(1)得△BCF ≌△ABE，∴CF＝BE，∴CE＝BE＝12BC，∴OA＝12AC＝22BC＝2CE，由(2)得A、B、G、O四点共圆，∴∠BOG＝∠BAE，∵∠GEC＝90°＋∠BAE，∠GOA＝90°＋∠BOG，∴∠GOA＝∠GEC，又∵∠EGC＝∠AGO＝45°，∴△AOG∽△CEG，∴AGCG＝OACE＝2，∴AG＝ 2 CG，∴n= 2 .。

正方形的性质与判定综合练习题

正方形的性质与判定综合练习题

正方形的性质与判定综合练习题一、判断题（每题4分，共20分）1. 正方形的边长相等。

2. 正方形的对角线长相等。

3. 正方形的对边平行。

4. 正方形的内角都是直角。

5. 正方形的内角和等于360°。

二、选择题（每题4分，共20分）1. 设一个正方形的边长为a，则其对角线的长度为：A. aB. a/2C. a√2D. a²2. 若一个四边形的内角和为360°，则它一定是一个：A. 正方形B. 长方形C. 钝角四边形D. 平行四边形3. 下列说法中正确的是：A. 所有正方形都是长方形B. 所有长方形都是正方形C. 正方形和长方形没有交集D. 正方形和长方形都是平行四边形4. 若一个四边形的内角都是直角，且对边相等，则它一定是一个：A. 正方形B. 长方形C. 菱形D. 三角形5. 如果一个几何图形的边长均相等，对角线长度也相等，且相邻边垂直，则它一定是一个：A. 正方形B. 长方形C. 菱形D. 梯形三、计算题（每题10分，共30分）1. 已知一个正方形的对角线长为10cm，求其边长。

2. 一个正方形的内角和为240°，求其边长。

3. 一个四边形的内角分别是120°、90°、90°和x°，求x的值。

四、解答题（每题20分，共30分）1. 证明：正方形的对边平行。

2. 解答：一个四边形的内角分别是90°、60°、90°和90°，它是什么类型的四边形？3. 解答：一个几何图形的边长均为6cm，它的对角线长度为6√2 cm，它是什么类型的图形？以上是关于正方形的性质与判定的综合练习题，请同学们认真思考并回答。

正方形的综合题1[精华]

正方形的综合题1[精华]

正方形的综合题11. 已知点E 是正方形ABCD 外的一点，EA=ED ，线段BE 与对角线AC 相交于点F ，（1）如图1，当BF=EF 时，线段AF 与DE 之间有怎样的数量关系？并证明；（2）如图2，当△EAD 为等边三角形时，写出线段AF 、BF 、EF 之间的一个数量关系，并证明．2．已知正方形ABCD 和正方形AEFG ，联结CF ，P 是CF 的中点，联结EP 、DP ．（1）如图1，当点E 在边AB 上时，试研究线段EP 与DP 之间的数量关系和位置关系；（2）把（1）中的正方形AEFG 绕点A 逆时针方向旋转90°，试在图2中画出符合题意的图形，并研究这时（1）中的结论是否仍然成立；（3）把（1）中的正方形AEFG 绕点A 任意旋转某个角度（如图3），试按题意把图形补画完整，并研究（1）中的结论是否仍然成立．ABCDEFABCDEF图1图2DCBA（图2）（图1）DC BA EFPGDCBAEF（图3）G3．已知： O 为正方形ABCD 对角线的交点，点E 在边CB 的延长线上，联结EO ，OF ⊥OE 交BA 延长线于点F ，联结EF （如图1）。

（1） 求证：EO =FO ；（2） 若正方形的边长为2， OE =2OA ，求BE 的长；（3） 当OE =2OA 时，将△FOE 绕点O 逆时针旋转到△F 1OE 1，使得∠BOE 1=30 时，试猜想并证明△AOE 1是什么三角形。

4．边长为4的正方形ABCD 中，点O 是对角线AC 的中点， P 是对角线AC 上一动点，过点P 作PF ⊥CD 于点F ，作PE ⊥PB 交直线CD 于点E ，设PA=x ，S ⊿PCE =y ，⑴ 求证：DF ＝EF ；⑵ 当点P 在线段AO 上时，求y 关于x 的函数关系式及自变量x 的取值范围；⑶ 在点P 的运动过程中，⊿PEC 能否为等腰三角形？如果能够，请直接写出PA 的长；如果不能，请简单说明理由。

6.3 正方形(含答案)

6.3 正方形(含答案)

6.3 正方形◆基础训练1．若正方形ABCD对角线AC=5，则这个正方形的周长为_____．2．若E是正方形ABCD内一点，△ABE是等边三角形，则∠DEC=_____．3．如图，四边形EFGH是菱形，对角线HF，EG满足条件________________时，四边形EFGH•是正方形．4．如图，四边形ABCD是正方形，M是BC边的中点，将正方形折起，使点A与M重合，设折痕为EF，若正方形的面积为64，则△AEM的面积为_____．5．矩形各内角平分线组成的四边形是（）A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形6．下面命题中正确的是（）A．对角线相等的四边形一定是矩形B．一组对边相等，另一组对边平行的四边形一定是平行四边形C．两条对角线互相垂直的四边形一定是菱形D．两条对角线互相垂直平分且相等的四边形一定是正方形7．顺次连接正方形各边中点的小正方形的面积是原正方形面积的（）A．12B．13C．14D．158．如图，已知正方形ABCD中，∠ABE=∠CBF，求证：AE=CF．◆综合应用9．如图，已知矩形ABCD中，BE平分∠ABC，交AD于点E，EF⊥BC，垂足为F，求证：四边形ABFE是正方形．10．如图，正方形ABCD中，E是对角线BD上的点，且BE=AB，EF⊥BD，交CD于点F，•DE=2.5cm，求CF的长（结果保留1位小数）．◆拓展提升11．已知△ABC的边3，AC=2，BC边上的高3（1）BC的长；（2）如果有一个正方形的一边在AB上，另外两个顶点分别在AC，BC上，求这个正方形的面积．12．（1）顺次连接正方形ABCD的各边中点，得到一个小正方形EFGH．正方形EFGH与ABCD 的面积比是多少？（2）依次连接矩形（或菱形，或平行四边形）的各边中点，•所得四边形与原四边形的面积比是多少？（3）想一想，对于任意四边形，是否也有类似的结论？答案:1．2．150° 3．HF=EG 4．10 5．D 6．D 7．A8．由△ABE≌△CBF（ASA），•得出AE=CF9．先证四边形ABFE是平行四边形，因为∠ABF=90°，所以四边形ABFE•为矩形，因为BF=FE，所以矩形ABFE是正方形10．CF=2.5cm11．（1）BC=4 （2）•正方形的面积等于（312．（1）1：2 （2）1：2 （3）是.。

正方形练习题及答案

正方形练习题及答案

正方形练习题及答案一、选择题1. 正方形的四条边长度相等，其周长是边长的几倍？A. 2倍B. 3倍C. 4倍D. 5倍答案：C2. 如果正方形的边长为10厘米，那么它的面积是多少平方厘米？A. 20B. 50C. 100D. 200答案：C3. 一个正方形的对角线长度是边长的多少倍？A. 1B. √2C. 2D. √3答案：B二、填空题1. 正方形的四个角都是________角。

答案：直角2. 如果正方形的周长为32厘米，那么它的边长是________厘米。

答案：83. 一个正方形的面积为64平方厘米，它的边长是________厘米。

答案：8三、计算题1. 一个正方形的边长为x厘米，如果它的周长为20厘米，求边长x。

解：根据周长公式，4x = 20，解得x = 5厘米。

2. 已知正方形的面积为49平方厘米，求边长。

解：根据面积公式，边长^2 = 49，解得边长为7厘米。

四、应用题1. 一个正方形的花园，边长为15米。

如果花园的周围要围上一圈栅栏，需要多少米的栅栏？解：需要的栅栏长度等于正方形的周长，即4 * 15 = 60米。

2. 一个正方形的地砖，边长为30厘米。

如果要用这种地砖铺满一个面积为900平方厘米的正方形区域，需要多少块地砖？解：每块地砖的面积为30 * 30 = 900平方厘米，所以需要1块地砖。

五、综合题1. 一个正方形的水池，边长为10米。

如果水池的四个角各有一个边长为2米的正方形装饰区，求水池的实际使用面积。

解：水池的总面积为10 * 10 = 100平方米。

四个装饰区的总面积为4 * (2 * 2) = 16平方米。

实际使用面积为100 - 16 = 84平方米。

2. 一个正方形的房间，边长为6米。

如果房间的地面铺满地毯，地毯的面积至少是多少平方米？解：地毯的面积等于房间的面积，即6 * 6 = 36平方米。

结束语通过以上练习题，我们可以看到正方形的基本性质和计算方法。

掌握这些知识点，可以帮助我们解决实际生活中遇到的相关问题。

正方形性质与判定练习(含答案)

正方形性质与判定练习(含答案)

C． 2
D． 5 1
18．如图，正方形 ABCD 中，AD 5，点 E 、F 是正方形 ABCD 内的两点，且 AE FC 4 ，
BE DF 3，则以 EF 为直径的圆的面积为 ( )
A． 1 2
B． 3 5
C． 3 4
D．
19．如图，在平面直角坐标系中，正方形 A1B1C1D1 、D1E1E2B2 、A2 B2C2 D2 、D2 E3E4 B3 、A3B3C3D3 ，
D．16
21．如图，在正方形 ABCD 中，对角线 AC ，BD 相交于点 O ，E ，F 分别在 OD ，OC 上，
且 DE CF ，连接 DF ， AE ， AE 的延长线交 DF 于点 M ，则下列四个结论中正确结 论的个数是 ( )
① AE DF ；
② AM DF ；
③ DAE CDF ；
．
38．如图，正方形 ABCD 中， AB 12 ，点 E 在边 CD 上，CD 3DE ．将 ADE 沿 AE 对折
至 AFE ，延长 EF 交边 BC 于点 G ，连接 AG ，CF ．则下列结论正确的是
．
① ABG AFG ； ② BG GC ；
为
．
31．如图，RtABC 中，C 90 ，AC 2 ，BC 1 ，以斜边为一边向右上方作正方形 ABDE ，
连接 CD ，则 CD 的长为
．
32．如图，将正方形 OABC 放在平面直角坐标系中， O 是坐标原点，点 A 的坐标是 (2,3) ，
则 C 点坐标是
．
33．如图，在平面直角坐标系中，点 A 的坐标是 (0,3) ，点 B 的坐标是 (4,0) ，以 AB 为边
正方形性质与判定练习
1．如果要证明平行四边形 ABCD 为正方形，那么我们需要在四边形 ABCD 是平行四边形的 基础上，进一步证明 ( )

正方形的性质和判定典型试题综合训练(含解析)

正方形的性质和判定典型试题综合训练(含解析)

正方形的性质和判定典型试题综合训练（含解析）一．选择题（共15小题）1．关于▱ABCD的叙述，正确的是（）A．若AB⊥BC，则▱ABCD是菱形B．若AC⊥BD，则▱ABCD是正方形C．若AC=BD，则▱ABCD是矩形D．若AB=AD，则▱ABCD是正方形2．如图，△ABC中，DE∥BC，EF∥AB，要判定四边形DBFE是菱形，还需要添加的条件是（）A．AB=AC B．AD=BD C．BE⊥AC D．BE平分∠ABC3．如图所示，已知四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，则下列能判断它是正方形的条件是（）A．AO=BO=CO=DO，AC⊥BD B．AC=BC=CD=DA C．AO=CO，BO=DO，AC⊥BD D．AB=BC，CD⊥DA 4．如图是边长为10cm的正方形铁片，过两个顶点剪掉一个三角形，以下四种剪法中，裁剪线长度所标的数据（单位：cm）不正确．．．的是（）A．B．C．D．5．如图，正方形ABCD的面积为1，则以相邻两边中点连线EF为边正方形EFGH的周长为（）A．B．2C．+1 D．2+16．如图，四边形ABCD，AEFG都是正方形，点E，G分别在AB，AD上，连接FC，过点E作EH∥FC交BC于点H．若AB=4，AE=1，则BH的长为（）A．1 B．2 C．3 D．37．如图，有一平行四边形ABCD与一正方形CEFG，其中E点在AD上．若∠ECD=35°，∠AEF=15°，则∠B 的度数为何？（）A．50 B．55 C．70 D．758．如图，将n个边长都为2的正方形按如图所示摆放，点A1，A2，…A n分别是正方形的中心，则这n个正方形重叠部分的面积之和是（）A．n B．n﹣1 C．（）n﹣1D．n9．如图，在正方形ABCD中，△ABE和△CDF为直角三角形，∠AEB=∠CFD=90°，AE=CF=5，BE=DF=12，则EF的长是（）A．7 B．8 C．7D．710．正方形ABCD，正方形BEFG和正方形RKPF的位置如图所示，点G在线段DK上，且G为BC的三等分点，R为EF中点，正方形BEFG的边长为4，则△DEK的面积为（）A．10 B．12 C．14 D．1611．如图．边长为1的两个正方形互相重合，按住其中一个不动，将另一个绕顶点A顺时针旋转45°，则这两个正方形重叠部分的面积是（）A．B．C．D．12．如图是由三个边长分别为6、9、x的正方形所组成的图形，若直线AB将它分成面积相等的两部分，则x的值是（）A．1或9 B．3或5 C．4或6 D．3或613．如图，正方形ABCD的边长为4，点E在对角线BD上，且∠BAE=22.5°，EF⊥AB，垂足为点F，则EF 的长为（）A．1 B．4﹣2C．D．3﹣414．如图，在正方形ABCD中，点O为对角线AC的中点，过点O作射线OG、ON分别交AB、BC于点E、F，且∠EOF=90°，BO、EF交于点P，则下列结论中：（1）△OEF是等腰直角三角形；（2）图形中全等的三角形只有两对；（3）BE+BF=OA；（4）正方形ABCD的面积等于四边形OEBF面积的4倍，正确的结论有（）A．1个B．2 个C．3个D．4个15．在平面直角坐标系中，正方形A1B1C1D1、D1E1E2B2、A2B2C2D2、D2E3E4B3、A3B3C3D3…按如图所示的方式放置，其中点B1在y轴上，点C1、E1、E2、C2、E3、E4、C3…在x轴上，已知正方形A1B1C1D1的边长为1，∠B1C1O=60°，B1C1∥B2C2∥B3C3…则正方形A2015B2015C2015D2015的边长是（）A．（）2014B．（）2015C．（）2015D．（）2014二．填空题（共10小题）16．矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，请你添加一个适当的条件，使其成为正方形（只填一个即可）17．在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，要使四边形ABCD是正方形，还需添加一组条件．下面给出了四组条件：①AB⊥AD，且AB=AD；②AB=BD，且AB⊥BD；③OB=OC，且OB⊥OC；④AB=AD，且AC=BD．其中正确的序号是．18．如图，将正方形纸片按如图折叠，AM为折痕，点B落在对角线AC上的点E处，则∠CME=．19．如图，菱形ABCD的面积为120cm2，正方形AECF的面积为50cm2，则菱形的边长为cm．20．如图，正方形ABCO的顶点C、A分别在x轴、y轴上，BC是菱形BDCE的对角线，若∠D=60°，BC=2，则点D的坐标是．21．如图，正方形ABCD中，点E、F分别为AB、CD上的点，且AE=CF=AB，点O为线段EF的中点，过点O作直线与正方形的一组对边分别交于P、Q两点，并且满足PQ=EF，则这样的直线PQ（不同于EF）有条．22．如图所示，E是正方形ABCD边BC上任意一点，EF⊥BO于F，EG⊥CO于G，若AB=10厘米，则四边形EGOF的周长是厘米．23．如图，点G是正方形ABCD对角线CA的延长线上任意一点，以线段AG为边作一个正方形AEFG，线段EB和GD相交于点H．若AB=，AG=1，则EB=．24．如图，正方形ABCD的边长为1，以对角线AC为边作第二个正方形，再以对角线AE为边作第三个正方形AEGH，如此下去，第n个正方形的边长为．25．如图，在正方形ABCD中，O是对角线的交点，过点O作OE⊥OF，分别交AD，CD于E，F，若AE=6，CF=4，则EF=．三．解答题（共10小题）26．如图，E，F是正方形ABCD的对角线AC上的两点，且AE=CF．（1）求证：四边形BEDF是菱形；（2）若正方形边长为4，AE=，求菱形BEDF的面积．27．如图，在正方形ABCD中，E是AB上一点，F是AD延长线上一点，且DF=BE．（1）求证：CE=CF；（2）若点G在AD上，且∠GCE=45°，则GE=BE+GD成立吗？为什么？28．已知：如图，在菱形ABCD中，点E，O，F分别为AB，AC，AD的中点，连接CE，CF，OE，OF．（1）求证：△BCE≌△DCF；（2）当AB与BC满足什么关系时，四边形AEOF是正方形？请说明理由．29．如图，在正方形ABCD中，E、F分别为边AD和CD上的点，且AE=CF，连接AF、CE交于点G．求证：AG=CG．30．如图，在正方形ABCD中，点G在对角线BD上（不与点B，D重合），GE⊥DC于点E，GF⊥BC于点F，连结AG．（1）写出线段AG，GE，GF长度之间的数量关系，并说明理由；（2）若正方形ABCD的边长为1，∠AGF=105°，求线段BG的长．31．如图，△ABC中，MN∥BD交AC于P，∠ACB、∠ACD的平分线分别交MN于E、F．（1）求证：PE=PF；（2）当MN与AC的交点P在什么位置时，四边形AECF是矩形，说明理由；（3）当△ABC满足什么条件时，四边形AECF是正方形．（不需要证明）32．如图，点E正方形ABCD外一点，点F是线段AE上一点，△EBF是等腰直角三角形，其中∠EBF=90°，连接CE、CF．（1）求证：△ABF≌△CBE；（2）判断△CEF的形状，并说明理由．33．如图，在等腰直角三角形ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=4，D是AB的中点，E，F分别是AC，BC上的点（点E不与端点A，C重合），且AE=CF，连接EF并取EF的中点O，连接DO并延长至点G，使GO=OD，连接DE，DF，GE，GF．（1）求证：四边形EDFG是正方形；（2）当点E在什么位置时，四边形EDFG的面积最小？并求四边形EDFG面积的最小值．34．在数学活动课中，小辉将边长为和3的两个正方形放置在直线l上，如图1，他连结AD、CF，经测量发现AD=CF．（1）他将正方形ODEF绕O点逆时针旋转一定的角度，如图2，试判断AD与CF还相等吗？说明你的理由；（2）他将正方形ODEF绕O点逆时针旋转，使点E旋转至直线l上，如图3，请你求出CF的长．35．已知O为正方形ABCD的中心，M为射线OD上一动点（M与点O，D不重合），以线段AM为一边作正方形AMEF，连接FD．（1）当点M在线段OD上时（如图1），线段BM与DF有怎样的数量及位置关系？请说明理由；（2）当点M在线段OD的延长线上时（如图2），（1）中的结论是否仍然成立？请结合图2说明理由．正方形的性质和判定典型试题综合训练参考答案与试题解析一．选择题（共15小题）1．关于▱ABCD的叙述，正确的是（）A．若AB⊥BC，则▱ABCD是菱形B．若AC⊥BD，则▱ABCD是正方形C．若AC=BD，则▱ABCD是矩形D．若AB=AD，则▱ABCD是正方形【分析】由菱形的判定方法、矩形的判定方法、正方形的判定方法得出选项A、B、D错误，C正确；即可得出结论．【解答】解：∵▱ABCD中，AB⊥BC，∴四边形ABCD是矩形，不一定是菱形，选项A错误；∵▱ABCD中，AC⊥BD，∴四边形ABCD是菱形，不一定是正方形，选项B错误；∵▱ABCD中，AC=BD，∴四边形ABCD是矩形，选项C正确；∵▱ABCD中，AB=AD，∴四边形ABCD是菱形，不一定是正方形，选项D错误．故选：C．2．如图，△ABC中，DE∥BC，EF∥AB，要判定四边形DBFE是菱形，还需要添加的条件是（）A．AB=AC B．AD=BD C．BE⊥AC D．BE平分∠ABC【分析】当BE平分∠ABC时，四边形DBFE是菱形，可知先证明四边形BDEF是平行四边形，再证明BD=DE 即可解决问题．【解答】解：当BE平分∠ABC时，四边形DBFE是菱形，理由：∵DE∥BC，∴∠DEB=∠EBC，∵∠EBC=∠EBD，∴∠EBD=∠DEB，∴BD=DE，∵DE∥BC，EF∥AB，∴四边形DBEF是平行四边形，∵BD=DE，∴四边形DBEF是菱形．其余选项均无法判断四边形DBEF是菱形，故选D．3．如图所示，已知四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，则下列能判断它是正方形的条件是（）A．AO=BO=CO=DO，AC⊥BD B．AC=BC=CD=DA C．AO=CO，BO=DO，AC⊥BD D．AB=BC，CD⊥DA 【分析】根据正方形的判定对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形，对各个选项进行分析从而得到最后的答案．【解答】解：A、正确，AC⊥BD且AC、BD互相平分可判定为菱形，再由AC=BD判定为正方形；B、错误，不能判定为正方形；C、错误，只能判定为菱形；D、错误，不能判定为正方形；故选A．4．如图是边长为10cm的正方形铁片，过两个顶点剪掉一个三角形，以下四种剪法中，裁剪线长度所标的数据（单位：cm）不正确．．．的是（）A．B．C．D．【分析】利用勾股定理求出正方形的对角线为10≈14，由此即可判定A不正确．【解答】解：选项A不正确．理由正方形的边长为10，所以对角线=10≈14，因为15＞14，所以这个图形不可能存在．故选A．5．如图，正方形ABCD的面积为1，则以相邻两边中点连线EF为边正方形EFGH的周长为（）A．B．2C．+1 D．2+1【分析】由正方形的性质和已知条件得出BC=CD==1，∠BCD=90°，CE=CF=，得出△CEF是等腰直角三角形，由等腰直角三角形的性质得出EF的长，即可得出正方形EFGH的周长．【解答】解：∵正方形ABCD的面积为1，∴BC=CD==1，∠BCD=90°，∵E、F分别是BC、CD的中点，∴CE=BC=，CF=CD=，∴CE=CF，∴△CEF是等腰直角三角形，∴EF=CE=，∴正方形EFGH的周长=4EF=4×=2；故选：B．6．如图，四边形ABCD，AEFG都是正方形，点E，G分别在AB，AD上，连接FC，过点E作EH∥FC交BC于点H．若AB=4，AE=1，则BH的长为（）A．1 B．2 C．3 D．3【分析】求出BE的长，再根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形求出四边形EFCH平行四边形，根据平行四边形的对边相等可得EF=CH，再根据正方形的性质可得AB=BC，AE=EF，然后求出BH=BE即可得解．【解答】解：∵AB=4，AE=1，∴BE=AB﹣AE=4﹣1=3，∵四边形ABCD，AEFG都是正方形，∴AD∥EF∥BC，又∵EH∥FC，∴四边形EFCH平行四边形，∴EF=CH，∵四边形ABCD，AEFG都是正方形，∴AB=BC，AE=EF，∴AB﹣AE=BC﹣CH，∴BE=BH=3．故选：C．7．如图，有一平行四边形ABCD与一正方形CEFG，其中E点在AD上．若∠ECD=35°，∠AEF=15°，则∠B 的度数为何？（）A．50 B．55 C．70 D．75【分析】由平角的定义求出∠CED的度数，由三角形内角和定理求出∠D的度数，再由平行四边形的对角相等即可得出结果．【解答】解：∵四边形CEFG是正方形，∴∠CEF=90°，∵∠CED=180°﹣∠AEF﹣∠CEF=180°﹣15°﹣90°=75°，∴∠D=180°﹣∠CED﹣∠ECD=180°﹣75°﹣35°=70°，∵四边形ABCD为平行四边形，∴∠B=∠D=70°（平行四边形对角相等）．故选C．8．如图，将n个边长都为2的正方形按如图所示摆放，点A1，A2，…A n分别是正方形的中心，则这n个正方形重叠部分的面积之和是（）A．n B．n﹣1 C．（）n﹣1D．n【分析】根据题意可得，阴影部分的面积是正方形的面积的，已知两个正方形可得到一个阴影部分，则n个这样的正方形重叠部分即为（n﹣1）个阴影部分的和．【解答】解：由题意可得一个阴影部分面积等于正方形面积的，即是×4=1，5个这样的正方形重叠部分（阴影部分）的面积和为：1×4，n个这样的正方形重叠部分（阴影部分）的面积和为：1×（n﹣1）=n﹣1．故选：B．9．如图，在正方形ABCD中，△ABE和△CDF为直角三角形，∠AEB=∠CFD=90°，AE=CF=5，BE=DF=12，则EF的长是（）A．7 B．8 C．7D．7【分析】由正方形的性质得出∠BAD=∠ABC=∠BCD=∠ADC=90°，AB=BC=CD=AD，由SSS证明△ABE≌△CDF，得出∠ABE=∠CDF，证出∠ABE=∠DAG=∠CDF=∠BCH，由AAS证明△ABE≌△ADG，得出AE=DG，BE=AG，同理：AE=DG=CF=BH=5，BE=AG=DF=CH=12，得出EG=GF=FH=EF=7，证出四边形EGFH是正方形，即可得出结果．【解答】解：如图所示：∵四边形ABCD是正方形，∴∠BAD=∠ABC=∠BCD=∠ADC=90°，AB=BC=CD=AD，∴∠BAE+∠DAG=90°，在△ABE和△CDF中，，∴△ABE≌△CDF（SSS），∴∠ABE=∠CDF，∵∠AEB=∠CFD=90°，∴∠ABE+∠BAE=90°，∴∠ABE=∠DAG=∠CDF，同理：∠ABE=∠DAG=∠CDF=∠BCH，∴∠DAG+∠ADG=∠CDF+∠ADG=90°，即∠DGA=90°，同理：∠CHB=90°，在△ABE和△ADG中，，∴△ABE≌△ADG（AAS），∴AE=DG，BE=AG，同理：AE=DG=CF=BH=5，BE=AG=DF=CH=12，∴EG=GF=FH=EF=12﹣5=7，∵∠GEH=180°﹣90°=90°，∴四边形EGFH是正方形，∴EF=EG=7；故选：C．10．正方形ABCD，正方形BEFG和正方形RKPF的位置如图所示，点G在线段DK上，且G为BC的三等分点，R为EF中点，正方形BEFG的边长为4，则△DEK的面积为（）A．10 B．12 C．14 D．16【分析】连DB，GE，FK，则DB∥GE∥FK，再根据等底等高的三角形面积相等，正方形BEFG的边长为4可求出S△DGE=S△GEB，S△GKE=S△GFE，再由S阴影=S正方形GBEF即可求出答案．【解答】解：连DB，GE，FK，则DB∥GE∥FK，在梯形GDBE中，S△GDB=S△EDB（同底等高）∴S△GDB﹣公共三角形=S△EDB﹣公共三角形即∴S△DGE=S△GEB，S△GKE=S△GFE同理S△GKE=S△GFE∴S阴影=S△DGE+S△GKE=S△GEB+S△GEF=S正方形GBEF=42=16 故选：D．11．如图．边长为1的两个正方形互相重合，按住其中一个不动，将另一个绕顶点A顺时针旋转45°，则这两个正方形重叠部分的面积是（）A．B．C．D．【分析】根据旋转的性质及正方形的性质分别求得△ABC与△CD′E的面积，从而不难求得重叠部分的面积．【解答】解：∵绕顶点A顺时针旋转45°，∴∠D′CE=45°，∴CD′=D′E，∵ED′⊥AC，∴∠CD′E=90°，∵AC==，∴CD′=﹣1，∴正方形重叠部分的面积是×1×1﹣×（﹣1）（﹣1）=﹣1．故选：D．12．如图是由三个边长分别为6、9、x的正方形所组成的图形，若直线AB将它分成面积相等的两部分，则x的值是（）A．1或9 B．3或5 C．4或6 D．3或6【分析】根据题意列方程，即可得到结论．【解答】解：如图，∵若直线AB将它分成面积相等的两部分，∴（6+9+x）×9﹣x•（9﹣x）=×（6+9+x）×9﹣6×3，解得x=3，或x=6，故选D．13．如图，正方形ABCD的边长为4，点E在对角线BD上，且∠BAE=22.5°，EF⊥AB，垂足为点F，则EF 的长为（）A．1 B．4﹣2C．D．3﹣4【分析】在AF上取FG=EF，连接GE，可得△EFG是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质可得EG=EF，∠EGF=45°，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠BAE+∠AEG=∠EGF，然后求出∠BAE=∠AEG=22.5°，根据等角对等边可得AG=EG，再根据正方形的对角线平分一组对角求出∠ABD=45°，然后求出△BEF是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质可得BF=EF，设EF=x，最后根据AB=AG+FG+BF列方程求解即可．【解答】解：如图，在AF上取FG=EF，连接GE，∵EF⊥AB，∴△EFG是等腰直角三角形，∴EG=EF，∠EGF=45°，由三角形的外角性质得，∠BAE+∠AEG=∠EGF，∵∠BAE=22.5°，∠EGF=45°，∴∠BAE=∠AEG=22.5°，∴AG=EG，在正方形ABCD中，∠ABD=45°，∴△BEF是等腰直角三角形，∴BF=EF，设EF=x，∵AB=AG+FG+BF，∴4=x+x+x，解得x=2（2﹣）=4﹣2．故选B．14．如图，在正方形ABCD中，点O为对角线AC的中点，过点O作射线OG、ON分别交AB、BC于点E、F，且∠EOF=90°，BO、EF交于点P，则下列结论中：（1）△OEF是等腰直角三角形；（2）图形中全等的三角形只有两对；（3）BE+BF=OA；（4）正方形ABCD的面积等于四边形OEBF面积的4倍，正确的结论有（）A．1个B．2 个C．3个D．4个【分析】（1）（3）（4）正确．只要证明△BOE≌△COF，即可解决问题，（2）图中全等三角形不止两对，故（2）错误．【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，∴AB=BC，ABC=90°，∠BAO=∠ABO=∠OBC=45°，AC⊥BD，∵∠EOF=90°，∴∠BOE+∠BOF=90°，∵∠BOF+∠COF=90°，∴∠BOE=∠COF，在△BOE和△COF中，，∴△BOE≌△COF（ASA），∴OE=OF，BE=CF，∴△EOF是等腰直角三角形，故（1）正确，∴BE+BF=CF+BF=BC=OA，故（3）正确，∵S四边形OEBF=S△BOE+S△BOE=S△BOE+S△COF=S△BOC=S正方形ABCD，∴S正方形ABCD=4S四边形OEBF故（4）正确；图中全等三角形有△BOE≌△COF，△AOB≌△AOD≌△DOC≌△BOC，故（2）错误．故选C．15．在平面直角坐标系中，正方形A1B1C1D1、D1E1E2B2、A2B2C2D2、D2E3E4B3、A3B3C3D3…按如图所示的方式放置，其中点B1在y轴上，点C1、E1、E2、C2、E3、E4、C3…在x轴上，已知正方形A1B1C1D1的边长为1，∠B1C1O=60°，B1C1∥B2C2∥B3C3…则正方形A2015B2015C2015D2015的边长是（）A．（）2014B．（）2015C．（）2015D．（）2014【分析】利用正方形的性质结合锐角三角函数关系得出正方形的边长，进而得出变化规律即可得出答案．【解答】解：如图所示：∵正方形A1B1C1D1的边长为1，∠B1C1O=60°，B1C1∥B2C2∥B3C3…∴D1E1=B2E2，D2E3=B3E4，∠D1C1E1=∠C2B2E2=∠C3B3E4=30°，∴D1E1=C1D1sin30°=，则B2C2=（）1，同理可得：B3C3==（）2，故正方形A n B n C n D n的边长是：（）n﹣1．则正方形A2015B2015C2015D2015的边长是：（）2014．故选：D．二．填空题（共10小题）16．矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，请你添加一个适当的条件AB=BC（答案不唯一），使其成为正方形（只填一个即可）【分析】此题是一道开放型的题目答案不唯一，证出四边形ABCD是菱形，由正方形的判定方法即可得出结论．【解答】解：添加条件：AB=BC，理由如下：∵四边形ABCD是矩形，AB=BC，∴四边形ABCD是菱形，∴四边形ABCD是正方形，故答案为：AB=BC（答案不唯一）．17．在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，要使四边形ABCD是正方形，还需添加一组条件．下面给出了四组条件：①AB⊥AD，且AB=AD；②AB=BD，且AB⊥BD；③OB=OC，且OB⊥OC；④AB=AD，且AC=BD．其中正确的序号是①③④．【分析】由矩形、菱形、正方形的判定方法对各个选项进行判断即可．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，AB=AD，∴四边形ABCD是菱形，又∵AB⊥AD，∴四边形ABCD是正方形，①正确；∵四边形ABCD是平行四边形，AB=BD，AB⊥BD，∴平行四边形ABCD不可能是正方形，②错误；∵四边形ABCD是平行四边形，OB=OC，∴AC=BD，∴四边形ABCD是矩形，又OB⊥OC，即对角线互相垂直，∴平行四边形ABCD是正方形，③正确；∵四边形ABCD是平行四边形，AB=AD，∴四边形ABCD是菱形，又∵AC=BD，∴四边形ABCD是矩形，∴平行四边形ABCD是正方形，④正确；故答案为：①③④．18．如图，将正方形纸片按如图折叠，AM为折痕，点B落在对角线AC上的点E处，则∠CME=45°．【分析】由正方形的性质和折叠的性质即可得出结果．【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，∴∠B=90°，∠ACB=45°，由折叠的性质得：∠AEM=∠B=90°，∴∠CEM=90°，∴∠CME=90°﹣45°=45°；故答案为：45°．19．如图，菱形ABCD的面积为120cm2，正方形AECF的面积为50cm2，则菱形的边长为13cm．【分析】根据正方形的面积可用对角线进行计算解答即可．【解答】解：因为正方形AECF的面积为50cm2，所以AC=cm，因为菱形ABCD的面积为120cm2，所以BD=cm，所以菱形的边长=cm．故答案为：13．20．如图，正方形ABCO的顶点C、A分别在x轴、y轴上，BC是菱形BDCE的对角线，若∠D=60°，BC=2，则点D的坐标是（2+，1）．【分析】过点D作DG⊥BC于点G，根据四边形BDCE是菱形可知BD=CD，再由BC=2，∠D=60°可得出△BCD是等边三角形，由锐角三角函数的定义求出GD及CG的长即可得出结论．【解答】解：过点D作DG⊥BC于点G，∵四边形BDCE是菱形，∴BD=CD．∵BC=2，∠D=60°，∴△BCD是等边三角形，∴BD=BC=CD=2，∴CG=1，GD=CD•sin60°=2×=，∴D（2+，1）．故答案为：（2+，1）．21．如图，正方形ABCD中，点E、F分别为AB、CD上的点，且AE=CF=AB，点O为线段EF的中点，过点O作直线与正方形的一组对边分别交于P、Q两点，并且满足PQ=EF，则这样的直线PQ（不同于EF）有3条．【分析】能画3条：①与EF互相垂直且垂足为O，构建直角三角形，可以证明两直角三角形全等得EF=PQ；②在AD上截取AP=AD，连接PO延长得到PQ；③同理在AB了截取BQ=AB，连接QO并延长得到PQ．【解答】解：这样的直线PQ（不同于EF）有3条，①如图1，过O作PQ⊥EF，交AD于P，BC于Q，则PQ=EF；②如图2，以点A为圆心，以AE为半径画弧，交AD于P，连接PO并延长交BC于Q，则PQ=EF；③如图3，以B为圆心，以AE为半径画弧，交AB于Q，连接QO并延长交DC于点P，则PQ=EF．22．如图所示，E是正方形ABCD边BC上任意一点，EF⊥BO于F，EG⊥CO于G，若AB=10厘米，则四边形EGOF的周长是厘米．【分析】根据已知可得到△BFE，△CGE是等腰直角三角形，得到BF=EF，EG=GC，则四边形EGOF的周长OF+EF+OG+CG=OB+OC=BD【解答】解：∵EF⊥BO于F，EG⊥CO，∠BAC=∠ACB=45°∴△BFE，△CGE是等腰直角三角形∴BF=EF，EG=GC∴四边形EGOF的周长OF+EF+OG+CG=OB+OC=BD=10cm 故答案为10．23．如图，点G是正方形ABCD对角线CA的延长线上任意一点，以线段AG为边作一个正方形AEFG，线段EB和GD相交于点H．若AB=，AG=1，则EB=．【分析】首先连接BD交AC于O，由四边形ABCD、AGFE是正方形，即可得AB=AD，AE=AG，∠DAB=∠EAG，然后利用SAS即可证得△EAB≌△GAD，则可得EB=GD，然后在Rt△ODG中，利用勾股定理即可求得GD的长，继而可得EB的长．【解答】解：连接BD交AC于O，∵四边形ABCD、AGFE是正方形，∴AB=AD，AE=AG，∠DAB=∠EAG，∴∠EAB=∠GAD，在△AEB和△AGD中，，∴△EAB≌△GAD（SAS），∴EB=GD，∵四边形ABCD是正方形，AB=，∴BD⊥AC，AC=BD=AB=2，∴∠DOG=90°，OA=OD=BD=1，∵AG=1，∴OG=OA+AG=2，∴GD==，∴EB=．故答案为：．24．如图，正方形ABCD的边长为1，以对角线AC为边作第二个正方形，再以对角线AE为边作第三个正方形AEGH，如此下去，第n个正方形的边长为（）n﹣1．【分析】首先求出AC、AE、HE的长度，然后猜测命题中隐含的数学规律，即可解决问题．【解答】解：∵四边形ABCD为正方形，∴AB=BC=1，∠B=90°，∴AC2=12+12，AC=；同理可求：AE=（）2，HE=（）3…，∴第n个正方形的边长a n=（）n﹣1．故答案为（）n﹣1．25．如图，在正方形ABCD中，O是对角线的交点，过点O作OE⊥OF，分别交AD，CD于E，F，若AE=6，CF=4，则EF=2．【分析】由正方形的性质得出∠ADC=90°，∠OAE=∠ODE=∠ODF=∠OCF=45°，OA=OB=OC=OD，AC⊥BD，证出∠AOE=∠DOF，由ASA证明△AOE≌△DOF，得出AE=DF=6，同理：DE=CF=4，由勾股定理求出EF即可．【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，∴∠ADC=90°，∠OAE=∠ODE=∠ODF=∠OCF=45°，OA=OB=OC=OD，AC⊥BD，∴∠AOD=90°，∵OE⊥OF，∴∠EOF=90°，∴∠AOE=∠DOF，在△AOE和△DOF中，，∴△AOE≌△DOF（ASA），∴AE=DF=6，同理：DE=CF=4，∴EF===2．故答案为：2．三．解答题（共10小题）26．如图，E，F是正方形ABCD的对角线AC上的两点，且AE=CF．（1）求证：四边形BEDF是菱形；（2）若正方形边长为4，AE=，求菱形BEDF的面积．【分析】（1）连接BD交AC于点O，则可证得OE=OF，OD=OB，可证四边形BEDF为平行四边形，且BD ⊥EF，可证得四边形BEDF为菱形；（2）由正方形的边长可求得BD、AC的长，则可求得EF的长，利用菱形的面积公式可求得其面积．【解答】（1）证明：如图，连接BD交AC于点O，∵四边形ABCD为正方形，∴BD⊥AC，OD=OB=OA=OC，∵AE=CF，∴OA﹣AE=OC﹣CF，即OE=OF，∴四边形BEDF为平行四边形，且BD⊥EF，∴四边形BEDF为菱形；（2）解：∵正方形边长为4，∴BD=AC=4，∵AE=CF=，∴EF=AC﹣2=2，∴S菱形BEDF=BD•EF=×4×2=8．27．如图，在正方形ABCD中，E是AB上一点，F是AD延长线上一点，且DF=BE．（1）求证：CE=CF；（2）若点G在AD上，且∠GCE=45°，则GE=BE+GD成立吗？为什么？【分析】（1）由DF=BE，四边形ABCD为正方形可证△CEB≌△CFD，从而证出CE=CF．（2）由（1）得，CE=CF，∠BCE+∠ECD=∠DCF+∠ECD即∠ECF=∠BCD=90°又∠GCE=45°所以可得∠GCE=∠GCF，故可证得△ECG≌△FCG，即EG=FG=GD+DF．又因为DF=BE，所以可证出GE=BE+GD成立．【解答】（1）证明：在正方形ABCD中，∵，∴△CBE≌△CDF（SAS）．∴CE=CF．（2）解：GE=BE+GD成立．理由是：∵由（1）得：△CBE≌△CDF，∴∠BCE=∠DCF，∴∠BCE+∠ECD=∠DCF+∠ECD，即∠ECF=∠BCD=90°，又∵∠GCE=45°，∴∠GCF=∠GCE=45°．∵，∴△ECG≌△FCG（SAS）．∴GE=GF．∴GE=DF+GD=BE+GD．28．已知：如图，在菱形ABCD中，点E，O，F分别为AB，AC，AD的中点，连接CE，CF，OE，OF．（1）求证：△BCE≌△DCF；（2）当AB与BC满足什么关系时，四边形AEOF是正方形？请说明理由．【分析】（1）由菱形的性质得出∠B=∠D，AB=BC=DC=AD，由已知和三角形中位线定理证出AE=BE=DF=AF，OF=DC，OE=BC，OE∥BC，由SAS证明△BCE≌△DCF即可；（2）由（1）得：AE=OE=OF=AF，证出四边形AEOF是菱形，再证出∠AEO=90°，四边形AEOF是正方形．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，∴∠B=∠D，AB=BC=DC=AD，∵点E，O，F分别为AB，AC，AD的中点，∴AE=BE=DF=AF，OF=DC，OE=BC，OE∥BC，在△BCE和△DCF中，，∴△BCE≌△DCF（SAS）；（2）解：当AB⊥BC时，四边形AEOF是正方形，理由如下：由（1）得：AE=OE=OF=AF，∴四边形AEOF是菱形，∵AB⊥BC，OE∥BC，∴OE⊥AB，∴∠AEO=90°，∴四边形AEOF是正方形．29．如图，在正方形ABCD中，E、F分别为边AD和CD上的点，且AE=CF，连接AF、CE交于点G．求证：AG=CG．【分析】根据正方向的性质，可得∠ADF=CDE=90°，AD=CD，根据全等三角形的判定与性质，可得答案．【解答】证明：∵四边形ABCD是正方形，∴∠ADF=CDE=90°，AD=CD．∵AE=CF，∴DE=DF，在△ADF和△CDE中，∴△ADF≌△CDE（SAS），∴∠DAF=∠DCE，在△AGE和△CGF中，，∴△AGE≌△CGF（AAS），∴AG=CG．30．如图，在正方形ABCD中，点G在对角线BD上（不与点B，D重合），GE⊥DC于点E，GF⊥BC于点F，连结AG．（1）写出线段AG，GE，GF长度之间的数量关系，并说明理由；（2）若正方形ABCD的边长为1，∠AGF=105°，求线段BG的长．【分析】（1）结论：AG2=GE2+GF2．只要证明GA=GC，四边形EGFC是矩形，推出GE=CF，在Rt△GFC中，利用勾股定理即可证明；（2）过点A作AH⊥BG，在Rt△ABH、Rt△AHG中，求出AH、HG即可解决问题．【解答】解：（1）结论：AG2=GE2+GF2．理由：连接CG．∵四边形ABCD是正方形，∴A、C关于对角线BD对称，∵点G在BD上，∴GA=GC，∵GE⊥DC于点E，GF⊥BC于点F，∴∠GEC=∠ECF=∠CFG=90°，∴四边形EGFC是矩形，∴CF=GE，在Rt△GFC中，∵CG2=GF2+CF2，∴AG2=GF2+GE2．（2）过点A作AH⊥BG，∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABD=∠GBF=45°，∵GF⊥BC，∴∠BGF=45°，∵∠AGF=105°，∴∠AGB=∠AGF﹣∠BGF=105°﹣45°=60°，在Rt△ABH中，∵AB=1，∴AH=BH=，在Rt△AGH中，∵AH=，∠GAH=30°，∴HG=AH•tan30°=，∴BG=BH+HG=+．31．如图，△ABC中，MN∥BD交AC于P，∠ACB、∠ACD的平分线分别交MN于E、F．（1）求证：PE=PF；（2）当MN与AC的交点P在什么位置时，四边形AECF是矩形，说明理由；（3）当△ABC满足什么条件时，四边形AECF是正方形．（不需要证明）【分析】（1）根据CE平分∠ACB，MN∥BC，可知∠ACE=∠BCE，∠PEC=∠BCE，PE=PC，同理：PF=PC，故PE=PF．（2）根据矩形的性质可知当P是AC中点时四边形AECF是矩形．（3）当∠ACB=90°时四边形AECF是正方形．【解答】证明：（1）∵CE平分∠ACB，∴∠ACE=∠BCE．∵MN∥BC，∴∠PEC=∠BCE．∴∠ACE=∠PEC，PE=PC．同理：PF=PC．∴PE=PF．（2）当P是AC中点时四边形AECF是矩形，∵PA=PC，PF=PC，∴四边形AECF是平行四边形．∵PE=PC，∴AC=EF，四边形AECF是矩形．（3）当∠ACB=90°时，四边形AECF是正方形．32．如图，点E正方形ABCD外一点，点F是线段AE上一点，△EBF是等腰直角三角形，其中∠EBF=90°，连接CE、CF．（1）求证：△ABF≌△CBE；（2）判断△CEF的形状，并说明理由．【分析】（1）由四边形ABCD是正方形可得出AB=CB，∠ABC=90°，再由△EBF是等腰直角三角形可得出BE=BF，通过角的计算可得出∠ABF=∠CBE，利用全等三角形的判定定理SAS即可证出△ABF≌△CBE；（2）根据△EBF是等腰直角三角形可得出∠BFE=∠FEB，通过角的计算可得出∠AFB=135°，再根据全等三角形的性质可得出∠CEB=∠AFB=135°，通过角的计算即可得出∠CEF=90°，从而得出△CEF是直角三角形．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AB=CB，∠ABC=90°，∵△EBF是等腰直角三角形，其中∠EBF=90°，∴BE=BF，∴∠ABC﹣∠CBF=∠EBF﹣∠CBF，∴∠ABF=∠CBE．在△ABF和△CBE中，有，∴△ABF≌△CBE（SAS）．（2）解：△CEF是直角三角形．理由如下：∵△EBF是等腰直角三角形，∴∠BFE=∠FEB=45°，∴∠AFB=180°﹣∠BFE=135°，又∵△ABF≌△CBE，∴∠CEB=∠AFB=135°，∴∠CEF=∠CEB﹣∠FEB=135°﹣45°=90°，∴△CEF是直角三角形．33．如图，在等腰直角三角形ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=4，D是AB的中点，E，F分别是AC，BC上的点（点E不与端点A，C重合），且AE=CF，连接EF并取EF的中点O，连接DO并延长至点G，使GO=OD，连接DE，DF，GE，GF．（1）求证：四边形EDFG是正方形；（2）当点E在什么位置时，四边形EDFG的面积最小？并求四边形EDFG面积的最小值．【分析】（1）连接CD，根据等腰直角三角形的性质可得出∠A=∠DCF=45°、AD=CD，结合AE=CF可证出△ADE≌△CDF（SAS），根据全等三角形的性质可得出DE=DF、ADE=∠CDF，通过角的计算可得出∠EDF=90°，再根据O为EF的中点、GO=OD，即可得出GD⊥EF，且GD=2OD=EF，由此即可证出四边形EDFG是正方形；（2）过点D作DE′⊥AC于E′，根据等腰直角三角形的性质可得出DE′的长度，从而得出2≤DE＜2，再根据正方形的面积公式即可得出四边形EDFG的面积的最小值．【解答】（1）证明：连接CD，如图1所示．∵△ABC为等腰直角三角形，∠ACB=90°，D是AB的中点，∴∠A=∠DCF=45°，AD=CD．在△ADE和△CDF中，，∴△ADE≌△CDF（SAS），∴DE=DF，∠ADE=∠CDF．∵∠ADE+∠EDC=90°，∴∠EDC+∠CDF=∠EDF=90°，∴△EDF为等腰直角三角形．∵O为EF的中点，GO=OD，∴GD⊥EF，且GD=2OD=EF，∴四边形EDFG是正方形；（2）解：过点D作DE′⊥AC于E′，如图2所示．∵△ABC为等腰直角三角形，∠ACB=90°，AC=BC=4，∴DE′=BC=2，AB=4，点E′为AC的中点，∴2≤DE＜2（点E与点E′重合时取等号）．∴4≤S四边形EDFG=DE2＜8．∴当点E为线段AC的中点时，四边形EDFG的面积最小，该最小值为4．34．在数学活动课中，小辉将边长为和3的两个正方形放置在直线l上，如图1，他连结AD、CF，经测量发现AD=CF．（1）他将正方形ODEF绕O点逆时针旋转一定的角度，如图2，试判断AD与CF还相等吗？说明你的理由；（2）他将正方形ODEF绕O点逆时针旋转，使点E旋转至直线l上，如图3，请你求出CF的长．【分析】（1）根据正方形的性质可得AO=CO，OD=OF，∠AOC=∠DOF=90°，然后求出∠AOD=∠COF，再利用“边角边”证明△AOD和△COF全等，根据全等三角形对应边相等即可得证；（2）与（1）同理求出CF=AD，连接DF交OE于G，根据正方形的对角线互相垂直平分可得DF⊥OE，DG=OG=OE，再求出AG，然后利用勾股定理列式计算即可求出AD．【解答】解：（1）AD=CF．理由如下：在正方形ABCO和正方形ODEF中，AO=CO，OD=OF，∠AOC=∠DOF=90°，∴∠AOC+∠COD=∠DOF+∠COD，即∠AOD=∠COF，在△AOD和△COF中，，∴△AOD≌△COF（SAS），∴AD=CF；（2）与（1）同理求出CF=AD，如图，连接DF交OE于G，则DF⊥OE，DG=OG=OE，∵正方形ODEF的边长为，∴OE=OD=×=2，∴DG=OG=OE=×2=1，∴AG=AO+OG=3+1=4，在Rt△ADG中，AD===，∴CF=AD=．。

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01如图，在正方形ABCD中，点G在对角线BD上(不与点B，D 重合)，GE⊥DC于点E，GF⊥BC于点F，连接AG.(1)写出线段AG，GE，GF长度之间的等量关系，并说明理由；(2)若正方形ABCD的边长为1，∠AGF＝105°，求线段BG的长．解：(1)AG2＝GE2＋GF2；理由：如解图，连接CG，∵四边形ABCD是正方形，∴∠ADG＝∠CDG＝45°，AD＝CD，DG＝DG，∴△ADG≌△CDG，∴AG＝CG，又∵GE⊥DC，GF⊥BC，∠BCD＝90°，∴四边形CEGF是矩形，∴CF＝GE，在Rt△GFC中，由勾股定理得，CG2＝GF2＋CF2，∴AG2＝GE2＋GF2；(2)如解图，过点A作AM⊥BD于点M，∵GF⊥BC，∠ABG＝∠GBC＝45°，∴∠BAM＝∠BGF＝45°，∴△ABM，△BGF都是等腰直角三角形，∵AB＝1，∴AM＝BM＝2 2，∵∠AGF＝105°，∴∠AGM＝60°，∴tan60°＝AM GM，∴GM ＝66，∴BG ＝BM ＋GM ＝22＋66＝32＋66.02如图，正方形ABCD 中，AB ＝6，点E 在边CD 上，且CD ＝3DE ．将△ADE 沿AE 对折至△AFE ，延长EF 交边BC 于点G ，连结AG 、CF ．下列结论：①△ABG ≌△AFG ；②BG ＝GC ；③AG ∥CF ；④S △FGC ＝3．其中正确结论的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4A BCDFEG10题图考点：翻折变换（折叠问题）；全等三角形的判定与性质；勾股定理分析：根据翻折变换的性质和正方形的性质可证△ABG≌△AFG；在直角△ECG中，根据勾股定理可证BG=GC；通过证明∠AGB=∠AGF=∠GFC=∠GCF，由平行线的判定可得AG∥CF；由于S△FGC=S△GCE﹣S△FEC，求得面积比较即可．解答：解：①正确．因为AB=AD=AF，AG=AG，∠B=∠AFG=90°，∴△ABG≌△AFG；②正确．因为：EF=DE=13CD=2，设BG=FG=x，则CG=6﹣x．在直角△ECG中，根据勾股定理，得（6﹣x）2+42=（x+2）2，解得x=3．所以BG=3=6﹣3=GC；③正确．因为CG=BG=GF，所以△FGC是等腰三角形，∠GFC=∠GCF．又∠AGB=∠AGF，∠AGB+∠AGF=180°﹣∠FGC=∠GFC+∠GCF，∴∠AGB=∠AGF=∠GFC=∠GCF，∴AG∥CF；④错误．过F作FH⊥DC，∵BC⊥DH，∴FH∥GC，∴△EFH∽△EGC，∴FHGC=EFEG，EF=DE=2，GF=3，∴EG=5，AB CDFEG10题∴FHGC=EFEG=25，∴S△FGC=S△GCE﹣S△FEC=12×3×4﹣12×4×（25×3）=185≠3．故选C．点评：本题综合性较强，考查了翻折变换的性质和正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，平行线的判定，三角形的面积计算，有一定的难度．03如图，在一方形ABCD中．E为对角线AC上一点，连接EB、ED，（1）求证：△BEC≌△DEC：（2）延长BE交AD于点F，若∠DEB=140°．求∠AFE 的度数．考点：正方形的性质；对顶角、邻补角；三角形内角和定理；全等三角形的判定与性质。

专题：证明题。

分析：（1）根据正方形的性质得出CD=CB，∠DCA=∠BCA，根据SAS即可证出结论；（2）根据对顶角相等求出∠AEF，根据正方形的性质求出∠DAC，根据三角形的内角和定理求出即可．解答：（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴CD=CB，∠DCA=∠BCA，∵CE=CE，∴△BEC≌△DEC．（2）解：∵∠DEB=140°，∵△BEC≌△DEC，∴∠DEC=∠BEC=70°，∴∠AEF=∠BEC=70°，∵∠DAB=90°，∴∠DAC=∠BAC=45°，∴∠AFE=180°﹣70°﹣45°=65°．答：∠AFE的度数是65°．点评：本题主要考查对正方形的性质全等三角形的性质和判定，三角形的内角和定理，对顶角等知识点的理解和掌握，能熟练地运用这些性质进行推理是解此题的关键．04如图，点E是正方形ABCD内一点，△CDE是等边三角形，连接EB、EA，延长BE交边AD于点F．（1）求证：△ADE≌△BCE；（5分）（2）求∠AFB的度数．（5分）【答案】解：（1）∵四边形ABCD是正方形，∴∠ADC=∠BCD=90°，AD=BC．∵△CDE是等边三角形，∴∠CDE=∠DCE=60°，DE=CE．∵∠ADC=∠BCD=90°，∠CDE=∠DCE=60°，∴∠ADE=∠BCE=30°．∵AD=BC，∠ADE=∠BCE，DE=CE，∴△ADE≌△BCE．（2）∵△ADE≌△BCE，∴AE=BE，∴∠BAE=∠ABE．∵∠BAE+∠DAE=90°，∠ABE+∠AFB=90°，∠BAE=∠ABE，∴∠DAE=∠AFB．∵AD=CD=DE，∴∠DAE=∠DEA．∵∠ADE=30°，∴∠DAE=75°，∴∠AFB=75°．05如图，四边形ABCD是正方形，点E，K分别在BC，AB上，点G在BA的延长线上，且CE ＝BK＝AG．（1）求证：①DE＝DG；②DE⊥DG（2）尺规作图：以线段DE ，DG 为边作出正方形DEFG （要求：只保留作图痕迹，不写作法和证明）；（3）连接（2）中的KF ，猜想并写出四边形CEFK 是怎样的特殊四边形，并证明你的猜想： （4）当n CB CE 1时，请直接写出DEFGABCD 正方形正方形S S 的值．解答：（1）证明：∵四边形ABCD 是正方形，∴DC ＝DA ，∠DCE ＝∠DAG ＝90°． 又∵CE ＝AG ， ∴△DCE ≌△GDA ， ∴DE ＝DG ， ∠EDC ＝∠GDA ，又∵∠ADE ＋∠EDC ＝90°， ∴∠ADE ＋∠GDA ＝90°， ∴DE ⊥DG ． （2）如图．（3）四边形CEFK 为平行四边形． 证明：设CK ．DE 相交于M 点，∵四边形ABCD 和四边形DEFG 都是正方形， ∴AB ∥CD ，AB ＝CD ，EF ＝DG ，EF ∥DG ， ∵BK ＝AG ， ∴KG ＝AB ＝CD ，∴四边形CKGD 是平行四边形， ∴CK ＝DG ＝EF ，CK ∥DG ， ∴∠KME ＝∠GDE ＝∠DEF ＝90°， ∴∠KME ＋∠DEF ＝180°， ∴CK ∥EF ，∴四边形CEFK 为平行四边形． （4）122DEFGABCD +=n n S S 正方形正方形． 点评：此题考查的知识点是正方形的性质．全等三角形的判定和性质．平行四边形的判定及作图，解题的关键是先由正方形的性质通过证三角形全等得出结论，此题较复杂。

06如图，在正方形ABCD中，点O为对角线AC的中点，过点O作射线OM、ON分别交AB、BC于点E、F，且∠EOF=90°，BO、EF交于点P．则下列结论中：（1）图形中全等的三角形只有两对；（2）正方形ABCD的面积等于四边形OEBF面积的4倍；（3）BE+BF=2OA；（4）AE2+CF2=2OP•OB，正确的结论有（）个．A、1B、2C、3D、4考点：正方形的性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理；相似三角形的判定与性质。

分析：本题考查正方形的性质，四边相等，四个角都是直角，对角线相等，垂直且互相平分，且平分每一组对角．解答：解：（1）从图中可看出全等的三角形至少有四对．故（1）错误．（2）△OBE的面积和△OFC的面积相等，故正方形ABCD的面积等于四边形OEBF面积的4倍，故（2）正确．（3）BE+BF是边长，故BE+BF=OA是正确的．（4）因为AE=BF，CF=BE，故AE2+CF2=2OP•OB是正确的．故选C．点评：本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，以及勾股定理和相似三角形的判定和性质等．07在正方形ABCD的边AB上任取一点E，作EF⊥AB 交BD于点F，取FD的中点G，连接EG、CG，如图（1），易证EG=CG且EG⊥CG．（1）将△BEF绕点B逆时针旋转90°，如图（2），则线段EG和CG有怎样的数量关系和位置关系请直接写出你的猜想．（2）将△BEF绕点B逆时针旋转180°，如图（3），则线段EG和CG又有怎样的数量关系和位置关系请写出你的猜想，并加以证明．【考点】旋转的性质；全等三角形的判定与性质；正方形的性质。

【分析】从图（1）中寻找证明结论的思路：延长FE交DC延长线于M，连MG．构造出△GFE≌△GMC．易得结论；在图（2）、（3）中借鉴此解法证明．【解答】解：（1） EG=CG，EG⊥CG．（2分）（2）EG=CG，EG⊥CG．（2分）证明：延长FE交DC延长线于M，连MG．∵∠AEM=90°，∠EBC=90°，∠BCM=90°，∴四边形BEMC是矩形．∴BE=CM，∠EMC=90°，又∵BE=EF，∴EF=CM．∵∠EMC=90°，FG=DG，∴MG=12FD=FG．∵BC=EM，BC=CD，∴EM=CD．∵EF=CM，∴FM=DM，∴∠F=45°．又FG=DG，∠CMG=12∠EMC=45°，∴∠F=∠GMC．∴△GFE≌△GMC．∴EG=CG，∠FGE=∠MGC．（2分）∵∠FMC=90°，MF=MD，FG=DG，∴MG⊥FD，∴∠FGE+∠EGM=90°，∴∠MGC+∠EGM=90°，即∠EGC=90°，∴EG⊥CG．（2分）【点评】此题综合考查了旋转的性质及全等三角形的判断和性质，如何构造全等的三角形是难点，因此难度较大．08如图①，在正方形ABCD中，△AEF的顶点E，F分别在BC，CD边上，高AG与正方形的边长相等，求∠EAF的度数．（2）如图②，在Rt△ABD中，∠BAD=90°，AB=AD，点M，N是BD边上的任意两点，且∠MAN=45°，将△ABM绕点A逆时针旋转90°至△ADH位置，连接NH，试判断MN，ND，DH之间的数量关系，并说明理由．（3）在图①中，连接BD分别交AE，AF于点M，N，若EG=4，GF=6，BM=32，求AG，MN的长．考点：正方形的性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理。

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