正方形几何综合专题---40道题目(含答案)

01如图，在正方形ABCD中，点G在对角线BD上(不与点B，D 重合)，GE⊥DC于点E，GF⊥BC于点F，连接AG.

(1)写出线段AG，GE，GF长度之间的等量关系，并说明理由；

(2)若正方形ABCD的边长为1，∠AGF＝105°，求线段BG的长．

解：(1)AG2＝GE2＋GF2；理由：如解图，连接CG，∵四边形ABCD是正方形，

∴∠ADG＝∠CDG＝45°，AD＝CD，DG＝DG，

∴△ADG≌△CDG，∴AG＝CG，

又∵GE⊥DC，GF⊥BC，∠BCD＝90°，

∴四边形CEGF是矩形，∴CF＝GE，

在Rt△GFC中，由勾股定理得，CG2＝GF2＋CF2，

∴AG2＝GE2＋GF2；

(2)如解图，过点A作AM⊥BD于点M，

∵GF⊥BC，∠ABG＝∠GBC＝45°，

∴∠BAM＝∠BGF＝45°，

∴△ABM，△BGF都是等腰直角三角形，

∵AB＝1，

∴AM＝BM＝

2 2

，

∵∠AGF＝105°，∴∠AGM＝60°，

∴tan60°＝AM GM

，

∴GM ＝6

6

，

∴BG ＝BM ＋GM ＝22＋66＝32＋6

6.

02如图，正方形ABCD 中，AB ＝6，点E 在边

CD 上，且CD ＝3DE ．将△ADE 沿AE 对折至△AFE ，延长EF 交边BC 于点G ，连结AG 、CF ．下列结论：①△ABG ≌△AFG ；②BG ＝GC ；③AG ∥CF ；④S △FGC ＝3．其中正确结论的个数是( )

A ．1

B ．2

C ．3

D ．4

A B

C

D

F

E

G

10题图

考点：翻折变换（折叠问题）；全等三角形的判定与性质；勾股定理

分析：根据翻折变换的性质和正方形的性质可证△ABG≌△AFG；在直角△ECG中，根据勾股定理可证BG=GC；通过证明∠AGB=∠AGF=∠GFC=∠GCF，由平行线的判定可得AG∥CF；由于S△FGC=S△GCE﹣S△FEC，求得面积比较即可．

解答：解：①正确．因为AB=AD=AF，AG=AG，∠B=∠

AFG=90°，∴△ABG≌△AFG；

②正确．因为：EF=DE=1

3

CD=2，设BG=FG=x，则CG=6﹣x．在直角

△ECG中，根据勾股定理，得（6﹣x）2+42=（x+2）2，解得

x=3．所以BG=3=6﹣3=GC；

③正确．因为CG=BG=GF，所以△FGC是等腰三角形，∠GFC=∠GCF．又∠AGB=∠AGF，∠AGB+∠AGF=180°﹣∠FGC=∠GFC+∠GCF，

∴∠AGB=∠AGF=∠GFC=∠GCF，∴AG∥CF；

④错误．过F作FH⊥DC，

∵BC⊥DH，

∴FH∥GC，

∴△EFH∽△EGC，

∴FH

GC

=

EF

EG

，

EF=DE=2，GF=3，∴EG=5，A

B C

D

F

E

G

10题

∴FH

GC

=

EF

EG

=

2

5

，

∴S△FGC=S△GCE﹣S△FEC=1

2

×3×4﹣

1

2

×4×（

2

5

×3）=

18

5

≠3．

故选C．

点评：本题综合性较强，考查了翻折变换的性质和正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，平行线的判定，三角形的面积计算，有一定的难度．

03如图，在一方形ABCD中．E为对角线AC上一点，连接EB、ED，

（1）求证：△BEC≌△DEC：

（2）延长BE交AD于点F，若∠DEB=140°．求∠AFE 的度数．

考点：正方形的性质；对顶角、邻补角；三角形内角和定理；全等三角形的判定与性质。

专题：证明题。

分析：（1）根据正方形的性质得出CD=CB，∠DCA=∠BCA，根据SAS即可证出结论；（2）根据对顶角相等求出∠AEF，根据正方形的性质求出∠DAC，根据三角形的内角和定理求出即可．

解答：（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，

∴CD=CB，∠DCA=∠BCA，

∵CE=CE，

∴△BEC≌△DEC．

（2）解：∵∠DEB=140°，

∵△BEC≌△DEC，

∴∠DEC=∠BEC=70°，

∴∠AEF=∠BEC=70°，

∵∠DAB=90°，

∴∠DAC=∠BAC=45°，

∴∠AFE=180°﹣70°﹣45°=65°．

答：∠AFE的度数是65°．

点评：本题主要考查对正方形的性质全等三角形的性质和判定，三角形的内角和定理，对顶角等知识点的理解和掌握，能熟练地运用这些性质进行推理是解此题的关键．

04如图，点E是正方形ABCD内一点，△CDE是等边三角形，连接EB、EA，延长BE交边AD于点F．（1）求证：△ADE≌△BCE；（5分）

（2）求∠AFB的度数．（5分）

【答案】解：（1）∵四边形ABCD是正方形，∴∠ADC=∠BCD=90°，AD=BC．

∵△CDE是等边三角形，

∴∠CDE=∠DCE=60°，DE=CE．