电机电磁场计算中对周期性边界条件的处理_季小尹
用周期性边界条件模拟导波介质的传播模式及其模式常数的后续分析计算
用周期性边界条件模拟导波介质的传播模式及其模式常数的后续分析计算 例子：平板波导基本参数：光波长1064nm ，导波介质为钕玻璃（n=1.54），介质厚度1000nm 。
波导中传播模式的理论值：通过理论计算（见附录），可知该频率的TE 光在这个波导中存在两个模式。
基模（m=0）的角度θ为74.533°，即β=k*n*sin74.533°,传播方向x 上的空间波长为x sin λλθ==1064nm/1.54/sin74.533°=716.871nm 。
1模（m=1）的角度θ为42.192°，传播方向x 上的空间波长为x sin λλθ==1064nm/1.54/sin42.192°=1028.72nm 。
在例子中我们就将通过数值模拟，处理得到空间波长从而得到各个模式的角度。
STEP1：建立EastFDTD 文档。
设置合适的参数：选择合适的单位：本例子的波导厚1微米，脉冲中心波长1.064微米，故长度单位取0.01微米比较合适。
选择边界类型：为了节省计算空间，边界条件x 方向为周期性的边界条件。
Y 方向为PML 吸收边界条件。
由于是2D 模型，Z 方向为周期性边界条件。
由于本例子的计算空间是相当大的2000*200，为保证y 方向上吸收干净，PML 吸收边界设置多一些，本例子用32层。
设置计算区域：为了避免脉冲在传播过一个周期长度后头尾相干叠加影响计算结果，x方向一个周期的长度不能小于光源脉冲的长度。
而且为了空间分辨率提高，要尽可能的增加一个周期的长度，但x方向越长计算时间也越长，所以要适当取舍。
本例子中的2D结构计算时间短，x方向不妨设得长一些，这里设为正负1000。
由于波导厚度为1微米，故y方向设置正负100。
为了达到平衡后，只留下导模的光，计算时间设得较长，为15000步。
STEP2：建立材料。
这个例子只有两种材料：空气和钕玻璃。
空气不用新建，所以只新建一个材料。
电磁场问题边界条件及求解
d
x
π k x E0 ez sin( z ) cos(t k x x) (A/m) 0 d
（2） z = 0 处导体表面的电流密度为 πE0 J S ez H ey sin(t k x x) z 0 0 d
(A/m)
z = d 处导体表面的电流密度为
媒质1 媒质2 分界面上的电流面密度
电磁场与电磁波
第2章
电磁场的基本规律
5
1.2 两种常见的情况
1. 两种理想介质分界 面上的边界条件 在两种理想介质 分界面上，通常没有 电荷和电流分布，即 JS＝0、ρS＝0，故
媒质1 媒质2
en
媒质1 媒质2
en
、 D B的法向分量连续
E、 的切向分量连续 H
en (D1 D2 ) S
或
D1n D2n S
en (B1 B2 ) 0 或 B1n B2n
同理 ，由
S
B dS 0
电磁场与电磁波
第2章
电磁场的基本规律
3
（2）电磁场量的切向边界条件 在介质分界面两侧，选取如图所示的小环路，令Δh →0，则
或
S e n (J1 J 2 ) t
J J en 1 2 0 1 2
1
J1t
2
J 2t
或
电磁场与电磁波
第2章
电磁场的基本规律
8
例 场强度
在两导体平板（z = 0 和 z = d）之间的空气中，已知电
π E ey E0 sin( z ) cos(t k x x) V/m d 试求:（1）磁场强度 H；（2）导体表面的电流密度 J S 。 H , 有 解 （1）由 E 0 z t H 1 E y t 0 d 1 E y E y O ( e x ez ) 0 z x
工程电磁场第6章电磁场边值问题的解析方法
h
h
为零， q 和 q 使半球面电位为零。四个电荷共同作
用下，半球面的电位为零。
50
四个电荷共同产生的电场，其电位 在无限大平面和半球面上为零，满足边 界条件。镜象电荷得以确定。
51
52
直流线路产生电场的镜像法
1. 输电线路电场计算模型
实际输电线路的每条相导线(对应于 交流输电线路)或极导线(对应于直流输电 线路)一般采用分裂导线结构，即每条相 导线或极导线一般是指一个导线束。导 线束中的每条导线称为子导线，每条相 导线或极导线中子导线的个数称为此条 相导线或极导线的分裂数，每条相导线 或极导线中相距最近的两条子导线之间 的距离称为此条相导线或极导线的分裂 间距。
得方程组
q q q
1
2
解上述方程组，得
q q q
q 1 2 q ； q 2 2 q
1 2
1 2
44
确定了镜象电荷的位置和电荷量。 由 q 和 q 计算上半空间的电场，由 q 可计算下半空间的 电场。
45
例 6-3-1 计算无限大导体平面上方点电荷 q 在导体平面
当位函数u 在坐标系中只随一个坐标变化时， 问题可以用一维模型表示。 当右端项 f 函数表达式 不复杂时，一维泊松方程一般可以用解析积分方法 求解。根据问题的性质，选择合适的坐标系。
2
直角坐标系
如图6-1-1, 在直角坐标系中， 若u 只与坐标x 有关，不随 y 、z 变化，则一维泊松方 程为
两边积分一次
q 和距离 b 。
31
P
q 4r
q 4r
根据前面要求的条件， P 0 ，有
q q ； 4r 4r
第六章电磁场的边值问题
），因此，
方程数少于未知量，是非定解方式，必须加本构方程才为定解形式， 对于简单媒质，本构方程为
D E
B H
J E
(1-6)
3
3、 材 料 性 质 材料是均匀的 材料是非均匀：
co n st ， co n st ， co n st x, y, z ， x, y, z ， x, y, z
2
H t E t
H
2
t
2
2
0
E
2
E t
2
0
取洛伦兹规范 A
t
2
，则位函数满足的波动方程 A t t A
2
A
t
2
2
J
2
t
2
11
1、 静 电 场 方 程 静电场的基本方程 泊松方程 D , x x y y z z E 0
三维方程
若ε 是均匀、各向同性介质，上式为
, B 0, E 0, D 0
, D 0
M Q S 场 求 解 时 ，磁 场 可 以 用 稳 态 磁 场 的 方 法 求 解 ，然 后 用 上 述 公 式 求 电 场 ；E Q S 场求解时，电场可以用静电场的方法求解，然后用上述公式求磁场。
9
（1）扩散方程（抛物型方程） 忽略位移电流，MQS场的方程为
1
— 强加边界条件
12
例 1
铁磁体的磁场和电容器的电场（二维）
电磁场的边界条件一知识讲解
Adl AdS
L
S
直角坐标系中
xˆ yˆ zˆ x y z
xˆ yˆ zˆ
A
x y z
Ax Ay Az
2. 微分形式
积分形式
DdS0dV
S
V
LEdlS B tdS
BdS 0
S
LH dlSJ0dSSD tdS
微分形式
D0
E
B
t
B0
HJ0
D
t
在界面处，场不连续，微分关系不能用了，
13
3）用全电流定理就可以解决前面的
充电电路中的矛盾
S2
•若取以L为边界的曲面S1
L S1
i
只有传导电流，所以
i
LHdl i
•若取以L为边界的曲面S2
只有位移电流，所以
Hdl L
Id
14
若取以L为边界的曲面S1 若取以L为边界的曲面S2
可以证明 i Id
设平行板电容器板面积为S DDS
S
q
LHdl i
Id
•全电流
I I0 Id
•全电流定理 Hdl I全
L
i
11
•全电流
I I0 Id
•全电流定理 Hdl I全
L
i
I0J0dS
S
IdSD tdS
通常 形式
LH dlSJ0D tdS
12
讨论： 1）电流概念的推广 位移电流仅仅从产生磁场的能力上定义 仅此而已
2）其它方面均表现出与传导电流不同 如在真空中 位移电流不伴有电荷的任何运动 所以谈不上产生焦耳热
E t
更具重要性
17
在空间没有传导电流的情况下
无单元Galerkin方法中周期边界条件的处理
无单元Galerkin方法中周期边界条件的处理王晓东;欧阳洁;苏进【摘要】本文研究了无单元Galerkin方法中周期边界条件的处理技术,将Lagrange乘子法用于周期边界条件的处理.数值计算结果表明,该方法具有较高的计算精度.另外,它与无单元Galerkin方法中本质边界条件处理的Lagrange乘子法具有统一性,对于周期、本质混合型边界条件的处理尤为方便.%In this paper, the Lagrange multiplier method has been used to impose periodic boundary conditions in the element free Galerkin method. Numerical results indicate that the method maintains the high accuracy property of the element free Galerkin method in periodic problems. In addition,based on the similarity between the method used in this paper for periodic boundary conditions and the Lagrange multiplier method for essential boundary conditions, it is convenient to impose periodicessential mixed boundary conditions.【期刊名称】《工程数学学报》【年(卷),期】2011(028)001【总页数】8页(P67-74)【关键词】周期边界;无单元Galerkin方法;无网格方法;Lagrange乘子法【作者】王晓东;欧阳洁;苏进【作者单位】西北工业大学应用数学系,西安,710129;西北工业大学应用数学系,西安,710129;西北工业大学应用数学系,西安,710129【正文语种】中文【中图分类】O241.81 引言一些微分方程的解在整个求解区域内会具有某种周期性，例如：电磁场问题、某些流动问题、聚合物分子的取向分布问题等．针对这类问题，我们可以利用周期性将问题限定在一个周期内进行求解，从而降低问题规模并大大简化计算．如何在限定区域上给定边界条件，将直接关系到微分方程的求解．通常可以给定两种边界条件，一种是自由边界条件，另一种是周期边界条件．当解同时具有某种对称性，并且可以确定对称线或对称面的位置时，可以将求解区域取为两个相邻对称线或对称面之间的区域，并且由于解在对称线或对称面上导数为零，所以可以给定自然边界条件．而当解不具有对称性或无法确定对称线或对称面的位置时，则一般只能给定周期边界条件．无单元Galerkin(element free galerkin,EFG)方法[1-3]作为一种新型的微分方程求解方法，近年来受到很多学者的关注．该方法不依赖于网格或单元，具有易于进行自适应分析、容易构造高阶可导的近似函数、计算精度高等众多优点．由于存在这些优点，EFG方法非常适合求解诸如复杂流体多尺度模拟[4-6]中具有周期性边界条件的Fokker-Planck方程[7-10]等问题．它的高精度可以很好地避免Fokker-Planck方程求解过程中由于误差积累导致的取向分布概率密度函数失去守恒性的问题．要实现EFG方法在这类问题中的应用，首先就必须要解决周期边界条件的处理问题．EFG方法使用移动最小二乘法[1,2]构造形函数，而移动最小二乘法不具有Kronecker delta函数的性质，所以有限元等方法中周期边界条件的处理方法不能直接用于EFG方法．本文借鉴在EFG方法中使用Lagrange乘子法[11,12]处理本质边界条件的思想，提出了周期边界条件处理的Lagrange乘子法．该方法精度高，并且与本质边界条件处理的Lagrange乘子法具有统一性，易于实现．2 EFG方法的函数逼近EFG方法使用移动最小二乘法进行未知函数的逼近和检验函数的构造．移动最小二乘法[1,2](moving least squares,MLS)是局部近似与最小二乘相结合的产物，该方法直接基于空间离散点来进行近似，不需要对区域进行网格划分．在区域Ω中，未知标量函数u(x)的移动最小二乘逼近可以表示为其中h为节点间的平均距离，pT(x)为基函数向量，m为基函数个数．二维空间中，x=[x1,x2]T，基函数pT(x)可以取为式(1)中是与x有关的未知系数向量，为了确定a(x)，定义上述逼近误差的加权L2范数为其中N为节点总数，ui=u(xi)为函数在节点xi处的函数值，w(x−xi)为节点权函数，一般取为三次样条函数，即为保证uh(x)为最佳近似，需使R(x)达到最小，即满足这里从(3)式中求得a(x)并代入(1)式中，便可以得到函数u(x)的MLS逼近为3 EFG方法的方程离散假设L为定义在区域Ω上的任一微分算子，u为满足一定光滑性要求的未知函数，f为已知函数，微分方程的一般形式可以写为由于(5)式在区域Ω内任意点都满足，因此对任意函数v都有其中，函数v称为检验函数，⟨·,·⟨Ω为区域Ω上通过函数内积定义的泛函，即式(6)称为微分方程(5)的等效积分形式．一般地，对于给定的定解条件，方程(5)很难精确求解，只能采用数值的办法近似求解．设uh(x)为满足定解条件的方程(5)的一个近似解，称为试探函数，它可以表示为一组已知函数φi(x)的线性组合，即ui=u(xi)为待定参数．近似解uh(x)一般不能精确满足微分方程(5)，试探函数的项数N越多，近似解的精度就越高．当项数N趋于无穷大时，近似解将收敛于精确解[13]．如果对任意检验函数v，(6)式都成立，此时近似解便为精确解．实际上，不可能也不需要无穷多个检验函数，而是一般将检验函数取为一组基函数的线性组合，即其中M≥N．将(7),(8)两式代入(6)式，并考虑到系数ci的任意性，得上式的意义是通过选择合适的待定参数ui，使得微分方程(5)在某种平均意义上满足．对EFG方法，φi(x)通过MLS逼近得到，试探函数与检验函数取自同一函数空间，且M=N，即此时(9)式具体为或写成式(11)是以ui为未知量的N阶代数方程组．计算时可以使用分部积分或Green公式降低L中所含导数的阶次，从而降低对函数uh(x)的连续性要求．通过定解条件对代数方程组(11)做相应修正后求得ui，将ui代入(7)式即可得到近似解uh(x)．4 周期边界条件的处理假设微分方程(5)具有如下周期边界条件其中边界Γ1和Γ2空间位置不同，但几何形状和几何尺寸相同，例如：两个单点、两条长度相同的线段、两个大小和形状均相同的平面等．Γ1与Γ2上的点一一对应，(12)式表示对应点处未知函数取值相同．由于(12)式在边界Γ1和Γ2的所有对应点处满足，并且边界Γ1和Γ2的几何形状和几何尺寸相同，因此对任意的λ都有如下的积分形式成立式中λ为Lagrange乘子[11,12]．取检验函数为未知函数u的变分δu时，微分方程对应的等效积分形式(也称Galerkin变分形式)可以写为将(13)式以变分的形式引入到(14)式中得到δu和δλ分别为u和λ对应的变分函数，且δu ∈ H1(Ω),δλ ∈ H0(Ω)，其中H1(Ω),H0(Ω)为1阶和0阶的Sobolev空间．对任意的δu和δλ，使(15)式恒成立的u必然同时满足微分方程(5)和周期边界条件(12)．另外，由于(15)式等价于所以同时满足(16)和(17)式的u便是微分方程的解．计算时，u、λ分别采用MLS逼近和Lagrange插值近似[14]，并且选取δu和δλ分别为MLS形函数φi(x)和Lagrange插值基函数Ni(x)．对应的代数方程组形式为式中Np为边界Γ1或Γ2上的节点数．(18)和(19)式是以ui和λk为未知量的N+Np阶代数方程组．求得ui便可得到满足周期边界条件(12)的微分方程(5)的数值解．在(15)式中，周期边界条件是以弱形式引入的，即周期边界条件是在平均意义下满足的．也可以令边界Γ1与Γ2上所有对应节点满足周期边界条件(12)，即在计算过程中，引入(20)式等价于在计算(15)式中的边界积分时采用节点积分．5 数值算例5.1 一维情形对均质棒状分子聚合物稀溶液，把分子的旋转限定在平面内时，聚合物分子在微观的取向概率分布函数将满足如下的一维Fokker-Planck方程[7-10]给定周期边界条件其中ψ(θ,t)为取向分布概率密度函数，θ∈[0,2π]为构型变量，κ为宏观流场速度梯度张量，De为无量纲的Deborah数，在二维剪切流场和单轴拉伸流场两种情形下，κ分别取计算中Deborah数取De=10，初值取ψ(θ,0)=1/2π，取向空间内均匀布置101个节点，每个单元上采用4点Gauss积分，时间步长取为0.005．Fokker-Planck 方程的稳态解见图1．记剪切流场和单轴拉伸流场下的稳态数值解分别为ψs(θ,t)和ψe(θ,t)，计算得到为检验计算结果的正确性，图2给出了对应迎风格式下的差分解θ,t)和(θ,t)，且有对比图1和图2可以发现，EFG方法的计算结果与差分方法的计算结果吻合．另外从(23)-(26)式可以看出，使用EFG方法求解时，概率密度函数的归一性可以得到更好的满足．从而说明了本文提出的周期边界条件处理方法不仅可行而且具有较高的计算精度．图1: 无单元Galerkin方法求得的Fokker-Planck方程的稳态解图2: 差分法求得的Fokker-Planck方程的稳态解5.2 二维情形考虑如下Poisson方程左右边界上给定Dirichlet边界条件上下边界上给定周期边界条件该问题具有解析解计算时在求解区域[0,1]×[0,1]内均匀地布置41×41个节点，背景网格积分采用4×4点Gauss积分，计算结果见图3．图3: 二维Poisson方程求解结果若记数值解为uh，并基于L2范数定义如下误差计算所得误差为ε=0.00184641．计算结果表明本文提出的周期边界条件处理方法对二维问题仍然有效．6 结束语本文针对具有周期边界条件的微分方程，提出了EFG方法中周期边界条件处理的Lagrange乘子法．该方法将周期边界条件视为约束，写出与之等价的积分形式，然后使用Lagrange乘子法将其引入到Galerkin变分方程中，从而使周期边界条件在积分平均意义下得到满足．对一维Fokker-Planck方程和二维Poisson方程的求解，验证了该方法的可行性．并且数值计算结果表明：该方法具有较高的计算精度，在周期性问题的求解中保留了无单元Galerkin方法高精度的优点．参考文献：【相关文献】[1]Zhang Z,Zhao P,Liew K M.Improved element-free Galerkin method for two-dimensional potential problems[J].Engineering Analysis with Boundary Elements,2009,33:547-554 [2]Nguyen V P,et al.Meshless methods:a review and computer implementationaspects[J].Mathematics and Computers in Simulation,2008,79:763-813[3]Liu G R,Gu Y T.An Introduction to Meshfree Method and TheirProgramming[M].Berlin:Springer,2005[4]Zeng Q H,Yu A B,Lu G Q.Multiscale modeling and simulation of polymer nanocomposites[J].Progress in Polymer 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电磁场的源与边界条件
2、 电位移矢量 D 的散度、旋度和边界条件 （1） 电位移矢量 D 的散度 根据由电介质时的 Gauss 定理的微分形式，电位移矢量 D 的散度为
D
式中 为闭合面包围的自由电荷密度。
3/9
电磁场与电磁波
第二章 电磁场的基本规律
学习报告
（2） 电位移矢量 D 的旋度 对于各向P endS
因此，穿出闭合面 S 的正电荷为 P dS 。与之对应，留在闭合面 S 内的极化电荷量为
S
q p P dS PdV
S V
又由于
qP P dV
V
故有
P P
（2）极化强度 P 的旋度 对于各向同性和线性介质，有 P e 0 E ，其中合成电场强度 E 为自由电荷产生的外 电场 E 0 和极化电荷产生的附加电场 E 的叠加，由于两种电场强度的旋度都为零，故
第二章 电磁场的基本规律
学习报告
（1）磁化强度 M 的散度 对于各向同性和线性磁介质， M m H ，由于 H 的散度为零，故
M m H 0
（2）磁化强度 M 的旋度 在磁介质中任取一个有闭合回路 C 限定的曲面 S ， S 的法向与 回路的绕行方向构成右手螺旋关系。在周线 C 上取长度元 dl ，其方 向与分子磁矩 pmi 的夹角为 。以分子电流环面积 S 为底、dl 为斜 高作一个圆柱体，如图 7 所示。此时只有分子电流中心在圆柱内的 分子电流才对圆柱体内的磁化电流有贡献。 设单位体积中的分子数为
S (r ) lim
S 0
q dq S ' dS '
3、 电荷线密度 如果电荷分布在横截面积可以忽略的细长状空间区域， 则可把电荷看作分布在线上， 并
周期性边界条件
2.3.4周期性流动与换热如果我们计算的流动或者热场有周期性重复，或者几何边界条件周期性重复，就形成了周期性流动。
FLUENT 可以模拟两类周期性流动问题。
第一，无压降的周期性平板问题（循环边界）；第二，有压降的周期性边界导致的完全发展或周期性流向流动问题（周期性边界）。
流向周期性流动模拟的条件：1， 流动是不可压的2， 几何形状必须是周期性平移3， 如果用coupled solver 求解，则只能给定压力阶跃；如果是Segregated solver ，可以给定质量流率或者压力阶跃。
4， 周期性流动中不能考虑进口和出口有质量差，也不考虑过程中的额外源项或者稀疏相源项。
5， 只能计算进口出口没有质量流率变化的组分问题。
但不能考虑化学反应。
6， 不能计算稀疏相或者多相流动问题。
如果在这过程中计算有换热问题，则还必须满足以下条件：1， 必须用segregated solver 求解2， 热边界条件必须是给定热流率或者给定壁面温度。
对于一个具体的问题，热边界条件只能选择一个，而不能是多热边界条件问题。
对于给定温度热边界条件，所有壁面的温度必须相同（不能有变化）。
对于给定热流率边界条件，不同壁可以用不同值或曲线来模拟。
3， 对于有固体区域的问题，固体区域不能跨越周期性平板。
4， 热力学和输运特性（热容，热导系数，粘性系数，密度等）不能是温度的函数（所以不能模拟有化学反应流动问题）。
但输运特性（有效导热系数，有效粘性系数）可以随空间有周期性变化，因此可以对有周期性湍流输运特性不同的流动问题有模拟能力。
2.3.5 计算流向周期性流动问题的步骤：通常，可以先计算周期性流动到收敛，这时候不考虑温度场。
下一步，冻结速度场而计算温度场。
步骤如下：1， 建立周期性边界条件网格2， 输入热力学和分子输运特性参数3， 指定周期性压力梯度或者确定通过周期性边界的质量流量4， 计算周期性流动场。
求解连续，动量（湍流量）方程。
电磁场的边界条件
2区
o
试问关于1区中的 和 E能1 求得D出1 吗？
x
和
解。由根e据nE边1界(条E1件D，1 E只2能)，求有得0边界面z＝0 处的
1区 y
z
电介质与自由空间的 分界面
ez {ex E1x eyE1y ez E1z [ex 2 y ey 5x ez (3 z)]}z0
媒质1
en
(H 1
H
2
)
JS
en (E1 E2 ) 0
en en
( (
B1 D1
B2 ) 0
D2 )
S
分界面上的电荷面密度
媒质2
分界面上的电流面密度
2
边界条件的推证 （1） 电磁场量的法向边界条件
在两种媒质的交界面上任取一点P，作一 个包围点P的扁平圆柱曲面S，如图表示。
d
cos(
d
z) cos(t
kx x) ezkx
sin(
d
z)sin( t
kx x)]
12
将上式对时间 t 积分，得
H (x,z,t)
H (x,z,t) dt
t
z
ex
E0 0d
cos(
d
z) sin( t ykx xe)n
d
D
S
en
B
0
en en
E H
0
JS
理想导体表面上的电荷密度等于 的法向分D量 理想导体表面上 B的法向分量为0 理想导体表面上 E的切向分量为0 理想导体表面上的电流密度等于 H的切向分量
用有限元法求解二维电磁场时半周期性边界条件的程序化处理
用有限元法求解二维电磁场时半周期性边界条件的程序化处理陈福民;许大中
【期刊名称】《电工技术学报》
【年(卷),期】1989(000)004
【总页数】5页(P12-15,6)
【作者】陈福民;许大中
【作者单位】不详;不详
【正文语种】中文
【中图分类】TM153.1
【相关文献】
1.用半解析—半有限元法计算水平层状介质的电磁场 [J], 宋维琪;李泌
2.三维正弦电磁场问题中一类和周期性边界条件的处理方法 [J], 梁艳萍;陆永平;朱宽宁;李林合;黄浩
3.电机电磁场计算中对周期性边界条件的处理 [J], 季小尹;钟顺虎
4.基于PML和有限元法求解二维时谐散射问题 [J], 康彤;陈涛;涂中华;赵孟洲
5.有限元法求解电磁场问题的误差分析 [J], 吴雅祥;刘仲武;王开祥
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带电粒子在磁场中的周期性运动求解策略
带电粒子在磁场中周期性运动问题的求解策略１.带电粒子在磁场中轨道半径变化问题。
导致轨道半径变化的原因有：①带电粒子速度变化导致半径变化。
如带电粒子穿过极板速度变化；带电粒子使空气电离导致速度变化；回旋加速器加速带电粒子等。
②磁场变化导致半径变化。
如通电导线周围磁场，不同区域的匀强磁场不同；磁场随时间变化。
③动量变化导致半径变化。
如粒子裂变，或者与别的粒子碰撞；④电量变化导致半径变化。
如吸收电荷等。
总之，由qBmvr看m 、v 、q 、B 中某个量或某两个量的乘积或比值的变化就会导致带电粒子的轨道半径变化。
例1.如图所示，在x ＜0与x ＞0的区域中，存在磁感应强度大小分别为B 1与B 2的匀强磁场，磁场方向垂直于纸面向里，且B 1＞B 2。
一个带负电的粒子从坐标原点O 以速度v 沿x 轴负方向射出，要使该粒子经过一段时间后又经过O 点，B1与B2的比值应满足什么条件？２.带电粒子在磁场中的多解问题多解形成原因：带电粒子的电性不确定形成多解；磁场方向不确定形成多解；临界状态的不唯一形成多解，在有界磁场中运动时表现出来多解，带电粒子的运动学参量空间几何参量的不确定性表现出来多解，运动的重复性形成多解。
例题2、（第23届奥赛改编题）在半径为r 的圆筒中有沿筒轴线方向的匀强磁场，磁感应强度为B ；一质量为m 带电+q 的粒子以速度V 从筒壁A 处沿半径方向垂直于磁场射入筒中；若它在筒中只受洛伦兹力作用且与筒壁发生弹性碰撞，欲使粒子与筒壁连续相碰撞并绕筒壁一周后仍从A 处射出；则B 必须满足什么条件？运动的时间为多少？３.带电粒子在有界磁场中的极值问题寻找产生极值的条件：①直径是圆的最大弦；②同一圆中大弦对应大的圆心角；③由轨迹确定半径的极值。
例3． 在受控热核聚变反应的装置中温度极高，因而带电粒子没有通常意义上的容器可装，而是由磁场将带电粒子的运动束缚在某个区域内。
现有一个环形区域，其截面内圆半径R 1=33m ，外圆半径R 2=1.0m ，区域内有垂直纸面向外的匀强磁场（如图所示）。
磁场边界条件
在实际工程中，往往要遇到由不同的媒质组成的电磁系统。
在不同媒质分界面上，由于媒质的特性发生了突变，相应的场量一般也将发生突变。
在这一节中，我们将研究电磁场在两种媒质分界面上的变化规律。
决定分界面两侧电磁场变化关系的方程称为边界条件。
研究边界条件的出发点，仍然是麦克斯韦方程组。
但在不同媒质的交界面处，由于媒质不均匀，媒质的性质发生了突变，因此，微分形式的方程不再适用，只能从麦克斯韦方程组的积分形式出发，推导边界条件。
3.5.1 电场法向分量的边界条件如图3.9所示的两种媒质的分界面，第一种媒质的介电常数、磁导率和电导率分别为，和，第二种媒质的介电常数、磁导率和电导率分别为，和。
在这两种媒质分界面上取一个小的柱形闭合面，如图3.9所示，其高为无限小量，上下底面与分界面平行，并分别在分界面两侧，且底面积非常小，可以认为在上的电位移矢量和面电荷密度是均匀的。
，分别为上下底面的外法线单位矢量，在柱形闭合面上应用电场的高斯定律故(3.48a)若规定为从媒质Ⅱ指向媒质Ⅰ为正方向，则，，式(3.48a)可写为(3.48b)或(3.48c)式(3.48)称为电场法向分量的边界条件。
因为，所以式(3.48)可以用的法向分量表示(3.49a)或(3.49b)若两种媒质均为理想介质时，除非特意放置，一般在分界面上不存在自由面电荷，即，所以电场法向分量的边界条件变为(3.50a)或(3.50b)若媒质Ⅰ为理想介质，媒质Ⅱ为理想导体时，导体内部电场为零，即，，在导体表面存在自由面电荷密度，则式(3.48)变为(3.51a)或(3.51b) 3.5.2 电场切向分量的边界条件在两种媒质分界面上取一小的矩形闭合回路abcd，如图3.10所示，该回路短边为无限小量，其两个长边为，且平行于分界面，并分别在分界面两侧。
在此回路上应用法拉第电磁感应定律因为和故(3.52a)若为从媒质Ⅱ指向媒质Ⅰ为正方向，式(3.52a)可写为(3.52b)式(3.52)称为电场切向分量的边界条件。
电磁场的边界条件一
2. 全电流定理
•电流概念的推广
凡是能产生磁场的物理量均称电流
1）传导电流 载流子定向运动
I0 Id
2）位移电流 变化的电场
•全电流 •全电流定理
I I0 Id
H dl I全
L i
12
•全电流 •全电流定理
I 0 J 0 dS
S
I I0 Id
四电磁场的边界条件物质分界面上电场磁场电流电场在分界面上的边界条件介质1介质2介质1一侧紧邻界面p点的p1点的场量介质2一侧紧邻界面p点的p2点的场量分界面上一点p的情况?法线分量的关系在界面两侧p2作底面平行界面的扁圆柱面介质2处底面积记作s介质1处记作s介质1介质2因为所以由介质方程有介质1介质2在界面两侧过p1介质介质介质1介质2因为所以由介质方程有介质1介质2磁场在物质分界面上的边界条件界面某点p两侧的磁场场量的关系由介质方程有介质1介质2有了场量边界关系可为解题带来方便过场点作狭长矩形回路由于由介质方程有介质1介质2例如
H dl Ii内
L i
S2
S1
L
i
i
H dl i
L
•若取以L为边界的曲面S1
I
i
i内
i得•若取以L为边界的源自面S2Iii内
0
得
H dl 0
L
6
•若取以L为边界的曲面S1 得 I i内 i
i
H dl i
J0 0
0 0
情况下
E
H
满足的微分 方程形式是 波动方程
对沿 x 方向传播的电磁场(波) 有
Ey
2
x
2
2.9 电磁场的边界条件
2.9 电磁场的边界条件自强●弘毅●求是●拓新实际电磁场问题都是在一定的空间和时间范围内发 生的，它有起始状态（静态电磁场例外）和边界状 态。
即使是无界空间中的电磁场问题，该无界空间也可 能是由多种不同介质组成的，不同介质的交界面和 无穷远界面上电磁场构成了边界条件。
边界条件： 即电磁场在不同介质的边界面上服从的条件，也可 以理解为界面两侧相邻点在无限趋近时所要满足的 约束条件。
边界条件是完整的表示需要导出界面两 侧相邻点电磁场矢量所满足的约束关系。
由于在分界面两侧介质的特性参数发生突变，场在界 面两侧也发生突变。
所以Maxwell方程组的微分形式 在分界面两侧失去意义（因为微分方程要求场量连续 可微）。
而积分方程则不要求电磁场量连续，从积分 形式的麦克斯韦方程组出发，导出电磁场的边界条件把积分Maxwell方程组应用到图所表示的两媒质交界 面的扁平圆盘。
根据Gauss定理，让h→0，场在扁平 圆盘壁上的通量为零，得到： n ˆ ˆ D ds D ( n ) S D ( n S ) D 1 2 S 2 ( D2 n D1n )S s Sˆ s (D2 D1 ) n ˆ 0 (B 2 B1 ) nhr2D1 r1在介质分界面两侧，选取如图所示的积环路，应用安培环路积 分公式： D H dl H l H ( l ) ( H H ) t l ( J ) ds 1 2 1 2 l S t t N n ( H 2 H1 ) t ( H 2 H1 ) ( N n ) ˆ J N ˆ ˆ (H H ) N n2 1 sˆ ( H 2 H1 ) J s nˆ ( E 2 E1 ) 0 nD 0 E P, B 0 H Mn ( P 2 P1 ) f n (M 2 M 1 ) J mˆ s (D 2 D1 ) nn ( H 2 H1 ) J s n (B 2 B1 ) 0 ( J f J m )n ( E2 E1 ) ( f p ) / 0①任何分界面上E的切向分量是连续的 ②在分界面上有面电荷(在理想导体表面上)时，D的法向分量不 连续，其差等于面电荷密度；否则，D的法向分量是连续的 ③在分界面上若存在面电流(仅在理想导体表面上存在)，H的切 向分量 不连续 ，其差等于面电流密度；否则，H的切向分量是 连续的 ④任何分界面上B的法向分量是连续的理想介质理想介质是指 0，即无欧姆损耗的简单媒质。
电磁场理论中的电场边界条件研究
电磁场理论中的电场边界条件研究电磁场理论是物理学中非常重要的一个分支，它研究了电磁场的产生、传播和相互作用。
在电磁场的研究中，电场边界条件是一个关键的概念。
本文将探讨电磁场理论中的电场边界条件，并对其研究进行分析和总结。
首先，我们需要了解电场边界条件的基本概念。
在电磁场的传播过程中，当电磁波遇到介质边界时，会发生反射和折射。
而电场边界条件就是描述电场在介质边界上的行为的数学表达式。
它包括两个方面：法向电场分量的连续性条件和切向电场分量的连续性条件。
首先，我们来讨论法向电场分量的连续性条件。
根据电场的定义，电场的法向分量是垂直于介质边界的。
当电磁波传播到介质边界时，根据能量守恒定律，法向电场分量在介质边界上必须连续。
这意味着电场在介质边界上的数值不能突变。
通过数学推导，我们可以得到法向电场分量的连续性条件为：E1⊥ - E2⊥ = 0，其中E1⊥和E2⊥分别表示介质1和介质2中的法向电场分量。
接下来，我们来讨论切向电场分量的连续性条件。
切向电场分量是平行于介质边界的。
当电磁波传播到介质边界时，切向电场分量在介质边界上也必须连续。
这意味着电场在介质边界上的数值不能突变。
通过数学推导，我们可以得到切向电场分量的连续性条件为：E1∥ - E2∥ = σ/ε0，其中E1∥和E2∥分别表示介质1和介质2中的切向电场分量，σ表示介质边界上的电荷面密度，ε0表示真空介电常数。
通过研究电场边界条件，我们可以得出一些重要的结论。
首先，电场边界条件是电磁场理论中的基本假设之一，它可以用来解释电磁波的反射和折射现象。
其次，电场边界条件可以用来计算电磁波在介质边界上的传播速度和传播方向。
最后，电场边界条件还可以用来研究介质中的电荷分布和电流分布。
在实际应用中，电场边界条件在电磁场计算和电磁场仿真中起着重要的作用。
例如，在电磁波传播模拟中，我们可以通过电场边界条件来确定电磁波在不同介质中的传播路径和传播强度。
在电磁场计算中，我们可以通过电场边界条件来计算电场在不同介质中的分布和变化。
第3讲 电磁场的边界条件
质相对介电常数应为多少？
【解】由边界条件，若 E3平行于x轴，则 E2也必平行于x轴。 在左侧圆柱面分界面上，由电场边界条件：
E1t E2t E1 E2 E2 3
D1n D2n 1E1 2E2 E2
要使合成波E2 平行于x轴，则必有
E1z
z0
D1z
1
z0
3 0 5 0
3 5
最后得到
3
E1 ( x,
y,0)
ex 2 y
ey
5x
ez
5
D1(x, y,0) ex100 y ey x ez 30
第三讲 电磁场的边界条件
【例4】在两导体平板（z = 0 和 z = d）之间的空气中，已知电
场强度
E
ey E0
sin( π
媒质1
en 1
E1
1
媒质2 E2
2
2
en (E1 E2 ) 0
• 导体与电介质分界面
en (D1 D2 ) 0
• 场矢量的折射关系
tan1 E1t / E1n 1 / D1n 1 tan2 E2t / E2n 2 / D2n 2
en E1 0
en D1 S
第三讲 电磁场的边界条件
理想导体表面上的电荷密度等于D的法向分量 磁感应强度平行于导体表面 电场强度垂直于理想导体表面 理想导体表面上的电流密度等于H的切向分量
第三讲 电磁场的边界条件
三、几种常见边界条件
1、静电场的边界条件
• 一般形式
en (E1 E2 ) 0
en (D1 D2 ) S
• 两种电介质分界面