共形映射.ppt

例如 函数w =z 构成的映射
为第二类保角映射 o
定理：设函数w=f (z)是区域 D内解析，且 f (z) 0 ,
则它所构成的映射是第一类保角映射；
定义：设w=f (z)是区域D内的第一类保角映射，如果 当z1≠z2时，有f (z1)≠f (z2)，则称f (z)为共形映射。
共形映射的特点是双方单值，保角性和伸缩率不变性
构成的映射，称为分式线性映射。
1.四种基本的分式线性映射
(1) w=z+b (b为复数)： 平移映射，
(2) w=az (a≠0为整数)： 相似 (伸长或缩短)映射，
C
G
w
GC
w
z
b
z
o
o
(3) w=eiqz 旋转映射，
C
w
z
G
oz
o
(4) w 1 反演变换。
z 易知arg w
arg z,
w
1
w=az+b(a≠0)在整个扩充复平面上是双方单值的
当z 时, w az b解析且 dw a 0 dz
保形
当z 时,令 1， 1 ,则 j( )
z
w
b a
j( ) 解析，且j(0) 1 0
b a
a
再由w 1 在 0处亦保形性，从而有 整式映射具有保形性
定理: 分式线性函数在扩充复平面上是 共形映射。
§2 共形映射的基本问题
w=f (z)
D
G
D w=f (z) G
保域性定理：设函数f (z)在区域D内解析，
且不恒为常数，则象集合是区域。
边界对应原理：设区域D的边界为简单闭曲线C， 函数w=f (z)在 D DUC上解析，且将C双方单值地
映射成简单闭曲线G ，当z沿C的正向绕行时，相 应的w的绕行方向定为G 的正向，并令G是以G 为
约定： 反演映射将z=0映射成w=∞ 反演映射将z= 映射成w=0
任何分式线性映射总可以分解为上述四种分式线性映射
多项式除法
当c = 0时，w az b a (z b ) dda
当c ≠ 0时， w az b a bc ad cz d c c(cz d )
例4
将分式线性映射 w a bc ad 分解为四
z
故反演变换可分两步进行：
z argw1= argz, |w1|=1/|z| w1 argw= argw1, |w|=|w1|
w
w1
w1与z关于 圆周z 1对称
w1
1 z
w w1
定义：设某圆半径为R，A、B两点在圆心出发的射线 上，且OA OB R2，则称A、B 两点关于圆周对称。 反演映射由单位圆映射和实轴映射复合而成。
c c(cz d )
种形式的复合
z cz z1 z1d z2 cz2 z3 1/ z3 z4
(bcad)z4 z5 z5 a / c w
2.分式线性映射的保形性
(1)对于 w 1
z
w 1 在整个扩充复平面上是双方单值的
z
当z
0和z
时, w
1 解析且 dw
z
dz
1 z2
0
规定：两条伸向无穷远的曲线在处的夹角，等于它们
第六章 共形映射
§1 共形映射概念 §2 共形映射的基本问题 §3 分式线性映射
§4 几个初等函数构成的共形映射
第六章 共形映射
§1 共形映射概念
1. 导函数的几何意义
(1)伸缩率与旋转角
伸缩率：当z沿曲线C趋向于z0点时，如果
lim w w0 lim w zz0 z z0 z0 z
存在，则称此极限值为曲线C经函 数w=f (z)映射后在z0处的伸缩率。
o
u
lim w ei(j q )
z0 z
因此有
w
f (z0 )
lim z0
z
即对过z0的任何曲线C，经w = f(z)映射后在z0均
有相同的伸缩率，即该映射具有伸缩率不变性。
(3)旋转角不变性与保角性
根据上式有Argf
(z0
)
lim (j
z0
q)
j0
q0
根据旋转角的概念，Argf′(z0)就是曲线C经函
(2)z0=1+i, f′(1+i) = 2(1+i) 故w=z2在z0=1+i处的
旋转角为 / 4，伸缩率为2 2
2.共形映射的概念
定义：对于定义在区域D内的映射w=f (z)，如果 它在D内任意一点具有保角性和伸缩率不变性， 则称w=f (z)是第一类保角映射； 定义：如果它在D内任意一点保持曲线的交角的 大小不变但方向相反和伸缩率不变，则称w=f(z)是 第二类保角映射。
边界的区域，则w=f (z)将D共形映射成G。
注意：1. 确定象区域时，只需求出象区域的边界和方向
2. 象区域边界方向不同，象区域也不同
例3 区域D = {z: 0 < argz < /2,0 < |z| < 1}，求在映射
w = z2下的象区域
yห้องสมุดไป่ตู้
i
v
o 1x
ou
§3 分式线性映射
由分式线性函数
w az b (a,b,c,d为复数且ad bc≠0) cz d
数w=f(z)映射后在z0处的旋转角，它与曲线形
状和方向无关，即具有旋转角不变性。
如果，还有一条过z0的曲线C′,
y
C′ C
v
G′ G
z0+△z
w0+△w
z0
q q0 q1
j j0wj01
o
x
o
u
则有 Argf (z0 ) j1 q1
两式相等，得q1 q0 j1 j0
即这种映射保持了两条曲线的交角的大小
与方向不变，称这个性质为保角性。
f (z0 ) 0是必要的，否则保角性不成立
例1 试求映射w=f(z)=z2 在z0处的旋转角与 伸缩率: (1) z0=1 ； (2) z0=1+i
解： f′(z) = 2z (1)z0=1, f′(1) = 2 故w=z2在z0=1处的旋转角
为Argf (1) 0, 伸缩率为 f (1) 2
y
z z(t)C
旋转角：设曲线C在
z0
q q0
o
z0+△z z0处的切线倾角为q0， 曲线G在w0处的切线倾角为j0，
x 则称j0 q0为曲线C经函数w=f(z)
v
w f (z) G
映射后在z0处的旋转角。
j
w0
j0
w0+△w
(2)伸缩率不变性
f
( z0
)
lim
z0
w z
lim z0
w eij z eiq
在映射＝ 1 下映成的过原点 0的两条象曲线的夹角。
z
当z 时, 令 1/ z，则w j( )
w j( ) 在 0处解析且j( ) 1 0
故w 1 在z 处共形. z
从而由z 1 知其在w 处共形， w 也即w 1 在z 0点处共形。 z
反演映射具有保形性
(2) 对于 w = az+b (a≠0)